G
y
xo
? ?1L Q dyP dx
则称曲线积分 ? ?L Q d yPd x 在 G 内 与路径无关,
一、曲线积分与路径无关的定义
? ?2L Q dyP dx
1L
2L
?B
?A
如果在区域 G内有
?
否则与路径有关,
二、曲线积分与路径无关的条件
设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
则曲线积分 ? ?
L
Q d yP d x 在 G 内与路径无关
（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在 G 内恒成立,
定理 2
( 1 ) 开区域 G 是一个单连通域,(2) 函数 ),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连
续偏导数,
两条件缺一不可
有关定理的说明：
三、二元函数的全微分求积
设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导
数,则 dyyxQdxyxP ),(),( ? 在 G 内为某一
函数 ),( yxu 的全微分的充要条件是等式
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在 G 内恒成立,
定理 3
x
Q
y
P
?
??
?
?若
? ?),( ),( 11 00 yxB yxA Q dyP dx则
dyyxQdxyxP yyxx ),(),( 1
0
1
0 10 ??
??
),( 01 yxC?
),( 11 yxB?
x
y
o
),( 00 yxA?
dxyxPdyyxQ xxyy ),(),( 1
0
1
0 10 ??
??或
例 1 计算 ? ???
L
dyyxdxxyx )()2( 422, 其中
L 为由点 )0,0(O 到点 )1,1(B 的曲线弧
2
s i n
x
y
?
?,
xxyx
yy
P
2)2(
2
??
?
?
?
?
?
xyx
xx
Q
2)(
42
??
?
?
?
?
?解
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
?,
原积分与路径无关
故原式 ? ? ???
1
0
1
0
42 )1( dyydxx
.1523?
例 2 设曲线积分 ? ??
L
dyxydxxy )(
2
与路径无
关,其中 ? 具有连续的导数,且 0)0( ??,
计算 ? ??
)1,1(
)0,0(
2
)( dyxydxxy,
积分与路径无关 xQyP ?????,
解
,2)( 2 xyxyyyP ?????? ),()]([ xyxy
xx
Q ? ???
?
??
?
?
,),( 2xyyxP ? ),(),( xyyxQ ??
由 0)0( ??, 知 0?c 2)( xx ???,
故 ? ??)1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy
由 xyxy 2)( ?? ? cxx ???? 2)(
?? ?? 1010 0 y d ydx,21?
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条
件
在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有
连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
? ?L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
? ???C DCQd yP d x 闭曲线,0)2(
Q d yP d xduyxUD ??使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
?
??
?
?,)4( 内在
等
价
命
题
一,填空题,
1, 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数
),(,),( yxQyxP 及在 D 上具有一阶连续偏导数,则
有 ?
?
?
?
?
?
??
D
d x d y
y
P
x
Q
)( ___ __ ___ __ __ ___ _ ；
2, 设
D
为平面上的一个单连通域,函数
),(,),( yxQyxP
在
D
内有一阶连续偏导数,则
?
?
L
QdyP d x 在
D
内与路径无关的充要条件是
___ __ ___ __ ___ __ 在
D
内处处成立；
3, 设
D
为由分段光滑的曲线
L
所围成的闭区域,其面
积为 5,又
),( yxP
及
),( yxQ
在
D
上有一阶连续偏
导数,且 1?
?
?
x
Q
,1??
?
?
y
P
,则 ???
L
Q d yP d x ___,
练 习 题
二,计算
?
???
L
dyyxdxxxy )()2(
22
其中 L 是由抛物线
2
xy ? 和 xy ?
2
所围成的区域的正向边界曲线,并
验证格林公式的正确性,
三,利用曲线积分,求星形线 taytax
33
sin,co s ?? 所
围成的图形的面积,
四、证明曲线积分
?
???
)4,3(
)2,1(
2232
)36()6( dyxyyxdxyxy 在整个
xoy
面
内与路径无关,并计算积分值,
五、利用格林公式,计算下列曲线积分,
1, ? ???
L
dyyxdxyx )s i n()(
22
其中 L 是在圆周
2
2 xxy ?? 上由点 ( 0,0 ) 到点 ( 1,1 ) 的一段弧；
2,求曲线积分
?
????
A M B
dyyxdxyxI
22
1
)()( 和
?
????
A N B
dyyxdxyxI
22
2
)()( 的差, 其中 A M B
是过原点和 )1,1(A,)6,2(B 且其对称轴垂直于 x
轴的抛物线上的弧段,A M B 是连接 BA,的线段,
六、计算 ?
?
?
L
yx
y d xx d y
22
,其中
L
为不经过原点的光滑闭曲
线,( 取逆时针方向 )
七、验证 yxxdxxyyx
2322
8()83( ??? dyye
y
)12? 在整
个
xoy
平面内是某一函数
),( yxu
的全微分,并求这
样一个
),( yxu
.
八、试确定 ?,使得 dyr
y
x
dxr
y
x
??
2
2
? 是某个函数
),( yxu 的全微分,其中
22
yxr ??,并求
),( yxu,
九、设在半平面 0?x 内有力 )(
3
jyix
r
k
F ??? 构成力
场,其中 k 为常数,
22
yxr ??, 证明在此力场中
场力所作的功与所取的路径无关,
练习题答案
一,1,
?
?
L
d yQP d x ； 2,
x
Q
y
p
?
?
?
?
?； 3, 10.
三、
30
1
,四、
2
8
3
a?, 五,236,
六,1, 2sin
4
1
6
7
?? ； 2, -2,
七,1,当
所包围L
的
D区域
不包含原点时,0 ；
2,当
所包围L
的
D区域
包含原点,
仅绕且 L
原点
一圈时,?2 ；
3,当
所包围L
的
D区域
包含原点,
绕且 L n原点
圈时,?n2,
七,)(124),( 223 yy eyeyxyxyxu ????,
八、
y
ryxu ??? ),(,1?,