o x
y
A
B
L
一、问题的提出
1?nMiM
1?iM
2M
1M
ix?
iy?实例, 变力沿曲线所作的功
,,BAL ?
jyxQiyxPyxF ?? ),(),(),( ??
常力所作的功
分割,),,(,),,(,1111110 BMyxMyxMMA nnnn ?? ????
.)()(1 jyixMM iiii ?? ?????
.ABFW ??
求和
.]),(),([
1
?
?
?????? n
i
iiiiii yQxP ????
取极限,]),(),([lim
10
?
??
?????? n
i
iiiiii yQxPW ?????
近似值
精确值
,),(),(),( jQiPF iiiiii ?? ?????? ??取
,),( 1 iiiii MMFW ???? ??
.),(),( iiiiiii yQxPW ????? ????即
?
?
??
n
i
iWW
1
o x
y
A
B
L
1?nMiM
1?iM2M
1M
),( iiF ??
ix?
iy?
二、对坐标的曲线积分的概念
,0
.
),(,,
).,;,,2,1(
),(,
),,(),,(.
),(),,(,
1
11
01
111
222111
时长度的最大值
如果当各小弧段上任意取定的点
为点设
个有向小弧段分成把
上的点用上有界
在函数向光滑曲线弧
的一条有到点面内从点为设
??
????????
???
?
??
?
???
ii
iiiiiiii
nii
nnn
MM
yyyxxx
BMAMniMM
nLyxM
yxMyxML
LyxQyxP
BAxoyL
?
?
1.定义
.),(lim),(
,(
),(
,),(
1
0
1
ii
n
i
i
L
n
i
iii
xPdxyxP
xLyxP
xP
??
?
??
?
?
?
?
??
??
?
记作或称第二类曲线积分）积分
的曲线上对坐标在有向曲线弧数
则称此极限为函的极限存在
类似地定义,),(lim),(
10
ii
n
i
iL yQdyyxQ ?? ??
??
??
?
,),(),,( 叫做被积函数其中 yxQyxP,叫积分弧段L
2.存在条件：
.,
),(),,(
第二类曲线积分存在上连续时
在光滑曲线弧当 LyxQyxP
3.组合形式
?
??
??
?
L
LL
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
.,jdyidxdsjQiPF ????? ????其中
.? ?? L dsF?
4.推广
?空间有向曲线弧
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i xPdxzyxP ?? ??
???
???
?
.?? ?? Rd zQ d yPd x
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i yQdyzyxQ ????? ??
????
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i zRdzzyxR ????? ??
????
5.性质
.
,)1(
21
21
??? ????? LLL Q dyP dxQ dyP dxQ dyP dx
LLL 则和分成如果把
则有向曲线弧
方向相反的是与是有向曲线弧设
,
,)2( LLL ?
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,
?? ????? LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),(
三、对坐标的曲线积分的计算
,),(),(
,0)()(,
)(),(
,),(,
),(
),(
,
),(),,(
22
存在
则曲线积分且续导数
一阶连为端点的闭区间上具有及在以
运动到终点沿的起点从点时到
变单调地由当参数的参数方程为续
上有定义且连在曲线弧设
?
?
????
?
?
?
?
?
L
dyyxQdxyxP
tt
tt
BLALyxM
t
ty
tx
L
LyxQyxP
??
????
?
?
?
?
定理
dttttQtttP
dyyxQdxyxP
L
)}()](),([)()](),([{
),(),(
??????
?
?
????
?
?
?且
特殊情形
.)(:)1( baxxyyL,终点为起点为?
.)}()](,[)](,[{ dxxyxyxQxyxPQdyP dx baL ?? ????则
.)(:)2( dcyyxxL,终点为起点为?
.]}),([)(]),([{ dyyyxQyxyyxPQ dyP dx dcL ?? ????则
.,,
)(
)(
)(
:)3( ??
?
?
?
终点起点推广 t
tz
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dtttttR
ttttQ
ttttP
R dzQdyP dx
)}()](),(),([
)()](),(),([
)()](),(),([{
????
????
????
?
?
??
??
??
??
?
??
(4) 两类曲线积分之间的联系：
,)( )(
??
?
?
?
ty
txL
?
?：设有向平面曲线弧为
,,),( ??为处的切线向量的方向角上点 yxL
?? ????? LL dsQPQ d yP d x )c o sc o s(则
其中,)()( )(c os 22 tt t?? ?? ???
??,
)()(
)(c os
22 tt
t
??
??
???
??
（可以推广到空间曲线上 ）?
,,,),,( ???? 为处的切线向量的方向角上点 zyx
?? ?? ???????? dsRQPR d zQ d yP d x )c o sc o sc o s(则
?? ?? dstA ?? ?? ?? rdA ??,??? dsAt?可用向量表示
，其中 },,{ RQPA ?? },co s,co s,{ co s ????t?
},,{ dzdydxdstrd ?? ?? 有向曲线元；
.上的投影在向量为向量 tAA t ??
处的单位切向量上点 ),,( zyx?
例 1
.)1,1()1,1(
,2
的一段弧到
上从为抛物线其中计算
BA
xyLxy dx
L
?
??
解 的定积分，化为对 x)1(,xy ??
??? ?? OBAOL x ydxx ydxx ydx
?? ??? 1001 )( dxxxdxxx
?? 10 232 dxx,54?
xy ?2
)1,1( ?A
)1,1(B
的定积分，化为对 y)2(
,2yx ?
?? ? ABL x ydxx ydx
?? ?? 1 1 22 )( dyyyy
.11 到从 ?y
??? 11 42 dyy,54?
xy ?2
)1,1( ?A
)1,1(B
.)0,()0,()2(;
)1(
,
2
的直线段轴到点沿从点
的上半圆周
针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为
为其中计算
aBxaA
a
Ldxy
L
?
?
例 2
解,s in
c os:)1(
??
?
?
?
?
?
ay
axL?
，变到从 ?? 0
)0,(aA)0,( aB ???
? 0原式 ??? daa )s i n(s i n 22 ?
)0,(aA)0,( aB ?
.34 3a??
,0:)2( ?yL?
，变到从 aax ?
? ?? aa dx0原式,0?
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但
路径不同积分结果不同,
??? 03a )(c o s)c o s1( 2 ?? d?
例 3
).1,1(),0,1(
)0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(
,2
2
2
2
依次是点，这里有向折线
的一段弧到上从抛物线
的一段弧到上从抛物线
为其中计算
BAOOA B
BOyx
BOxy
Ldyxx y d x
L
?
?
??
2xy?
)0,1(A
)1,1(B解,)1( 的积分化为对 x
,10,,2 变到从xxyL ?
? ???? 10 22 )22( dxxxxx原式
?? 10 34 dxx,1?
)0,1(A
)1,1(B
2yx?,)2( 的积分化为对 y
,10,,2 变到从yyxL ?
? ???? 10 42 )22( dyyyyy原式
?? 10 45 dxy,1?
)0,1(A
)1,1(B
)3(
?
?
??
??
AB
OA
dyxxydx
dyxxydx
2
2
2
2原式
,上在 OA,10,0 变到从xy ?
?? ????? 10 22 )002(2 dxxxdyxx y d xOA
.0?
,上在 AB,10,1 变到从yx ?
?? ???? 102 )102(2 dyydyxxy dxAB,1?
10 ??? 原式,1?
)0,1(A
)1,1(B
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但
路径不同而积分结果相同,
四、小结
1、对坐标曲线积分的概念
2、对坐标曲线积分的计算
3、两类曲线积分之间的联系
思考题
当曲线 L 的参数方程与参数的变化范围给定
之后 （例如 L, tax c o s?, tay s i n?,
]2,0[ ??t, a 是正常数），试问如何表示 L 的方
向 （如 L 表示为顺时针方向、逆时针方向）？
思考题解答
曲线方向由参数的变化方向而定,
例如 L, tax c o s?, tay s i n?, ]2,0[ ??t 中
当 t 从 0 变到 ?2 时,L 取逆时针方向 ;
反之当 t 从 ?2 变到 0 时,L 取顺时针方向,
一,填空题,
1, 对 __ __ _ __ _ __ __ __ 的曲线积分与曲线的方向有关；
2, 设 0),(),( ??
?
dyyxQdxyxP
L
,则
?
?
?
?
? ?
L
L
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
__ __ __ __ _ __ _ ；
3, 在公式 ??
?
dyyxQdxyxP
L
),(),(
?
???
?
?
?????? dttttQtttP )}()](,)([)()](,)([{ 中,下
?限
对应于
L
的 __ _ _ 点,上限
?
对应于
L
的 ____ 点；
4,两类曲线积分的联系是 __ __ _ __ __ __ _ _ _ __ _ __ __ __
__ __ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ _,
练 习 题
二,计算下列对坐标的曲线积分,
1, ?
L
x yd x,L其中 为圆周 )0()(
222
???? aayax 及
x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界 ( 按
逆时针方向绕行 ) ；
2, ?
?
???
L
yx
dyyxdxyx
22
)()(
,L其中 为圆周
222
ayx ?? ( 按逆时针方向饶行 ) ；
3, ?
?
?? yd zdydx,其中为有向闭折线 A B C D,这里
的 CBA,,依次为点 ( 1,0,0 ),( 0,1,0 ),( 0,0,1 ) ；
4, ?
?
?
A B C D A
yx
dydx
,其中 A B C D A 是以 )0,1(A, )1,0(B,
)0,1( ?C,)1,0( ?D 为顶点的正方形正向边界线,
三,设 z 轴与重力的方向一致,求质量为 m 的质点从位
置 ),,(
111
zyx 沿直线移到 ),,(
222
zyx 时重力所作
的功,
四,把对坐标的曲线积分
?
?
L
dyyxQdxyxP ),(),( 化成
对弧长的积分,
L其中
为,
1, 在
xoy
面内沿直线从点 (0,0 ) 到点 (1,1) ；
2, 沿抛物线
2
xy ? 从点 (0,0 ) 到点 (1,1 ) ；
3, 沿上半圆周 xyx 2
22
?? 从点 (0,0 ) 到点 (1,1).
练习题答案
一,1,坐标； 2, -1 ； 3,起,点；
4, dzRQ d yP d x?
?
??
dsRQP )co sco sco s( ????
?
???,
二,1, ;
2
3
a
?
? 2, ?? 2 ；
3,
2
1； 4, 0,
三,? ? )(,,0,0 12 zzmgWmgF ???,
四,1, ? ?
L
dyyxQdxyxP ),(),(
?
?
?
L
ds
yxQyxP
2
),(),(；
2, ? ?
L
dyyxQdxyxP ),(),(
?
?
?
?
L
ds
x
yxxQyxP
2
41
),(2),(；
3, ? ?
L
dyyxQdxyxP ),(),(
? ????
L
dsyxQxyxPxx )],()1(),(2[
2
.