Ao
D
i??
irr?
ii rrr ???
ii ??? ???
i???
iiiiii rrr ??? ?????????
22
2
1)(
2
1
iiii rrr ??????? )2(2
1
ii
iii rrrr ????????
2
)(
,iii rr ??????
.)s i n,co s(),( ???? ?
DD
r d r drrfd x d yyxf ???
一、利用极坐标系计算二重积分
.)s i n,c os()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r drrrfd
??
A
D
o
)(1 ???r )(2 ???r
??
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
区域特征如图
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
.)s in,c o s()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r d rrrfd
??
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
??
Ao
D )(
2 ???r
)(1 ???r
Ao
D
)(???r
.)s i n,c os()(0??? ???? ??? r drrrfd
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,??? ??
).(0 ???? r
??
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
??
??
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
.)s i n,c os()(020 ??? ??? ??? r drrrfd
极坐标系下区域的面积,???
D
r d r d ??
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
).(0 ???? r
D
o A
)(???r
,2????0
例 1 写出积分 ??
D
d x d yyxf ),( 的极坐标二次积分形
式，其中积分区域
,11|),{(
2
xyxyxD ????? }10 ?? x,
1??yx
122 ?? yx解 在极坐标系下
??
?
?
?
?
?
s in
c o s
ry
rx
所以圆方程为 1?r,
直线方程为 ?? c o ss i n 1??r,
??
D
d x d yyxf ),(,)s in,c os(20 1
c o ss i n
1? ?
?
?
?
??
??? r drrrfd
例 2 计算 dxdye
D
yx?? ?? 22,其中 D 是由中心在
原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域,
解 在极坐标系下
D, ar ??0, ???? 20,
dxdye
D
yx?? ?? 22 ?? ?? ?? a r r dred
0
2
0
2
).1( 2ae ????
例 3 求广义积分 ? ? ?0 2 dxe x,
解 }|),{( 2221 RyxyxD ???
}2|),{( 2222 RyxyxD ???
}0,0{ ?? yx
}0,0|),{( RyRxyxS ?????
显然有 21 DSD ??
,022 ??? yxe?
? ?? ??
1
22
D
yx dxdye?? ???
S
yx dxdye 22,
2
22?? ???
D
yx dxd ye
1D
2DS
S
1D
2D
R R2
又 ?? ???
S
yx d xd yeI 22?
?? ??? R yR x dyedxe 00 22 ;)( 20 2? ?? R x dxe
?1I ?? ??
1
22
D
yx dxdye
?? ?? ?? R r r d red 00 22 );1(4 2Re ????
同理 ?2I ?? ??
2
22
D
yx d x d ye);1(
4
22 Re ????
当 ??R 时,,41 ??I,42 ??I
故当 ??R 时,,4??I 即 ??
? ? 2
0
)( 2 dxe x 4?,
所求广义积分 ??
? ?
0
2 dxe x
2
?,
,21 III ???
);1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee ??? ??????? ?
例 4 计算 d x d yyx
D
)(
22
?? ?,其 D 为由圆
yyx 2
22
??, yyx 4
22
?? 及直线 yx 3? 0?,
03 ?? xy 所围成的平面闭区域,
解 32 ?? ??
61
?? ??
?s i n4?? r
?s i n2?? r
dx dyyx
D
)( 22?? ? ? ??? ?? ??? 3
6
s i n4
s i n2
2 r d rrd ).3
2(15 ?
??
yyx 422 ??
yyx 222 ??
03 ?? yx
03 ?? xy
例 5 计算二重积分 ??
?
??
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (
,
其中积分区域为 }41|),{(
22 ???? yxyxD
.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分,
注意,被积函数也要有对称性,
?? ? ??
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s in ( 4? ??
?
??
1
22
22 )s i n (
D
dxdy
yx
yx
?? ??? ? 210 s i n4 2 r d rr rd,4??
14 DD ?
1D
例 6 求曲线 )(2)( 222222 yxayx ???
和 222 ayx ?? 所围成的图形的面积,
解 根据对称性有 14 DD ?
在极坐标系下
)(2)( 222222 yxayx ???,2c o s2 ?ar ??
,222 arayx ????
1D
由
?
?
?
?
?
ar
ar ?2co s2
,得交点 )
6,(
?? aA,
所求面积 ???
D
d x d y????
1
4
D
d xd y
?? ?? ?? 2c o s20 64 aa r d rd
).33(2 ??? a
二重积分在极坐标下的计算公式
（在积分中注意使用 对称性 ）
二、小结
??
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
.)s i n,c os()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r drrrfd
.)s i n,c os()(0??? ???? ??? r drrrfd
.)s i n,c os()(020 ??? ??? ??? r drrrfd
?
?
?
?
?
交换积分次序,
).0(),(
c o s
0
2
2
???? ??
?
?
?
?
adrrfdI
a
思考题
,
c o s0
22:
??
?
?
?
???
??????
ar
D
o x
y
思考题解答
?cosar ?D
a
a
ra rcc o s???
a
ra rc c o s??
.),(a r c co s
a r c co s0 ?? ?
? a
r
a
r
a drfdrI ??
一,填空题,
1, 将
??
D
d x d yyxf ),(,D 为 xyx 2
22
??,表示为极坐
标形式的二次积分,为 __ _ __ __ __ _ __ __ _ _ _ _ _ __,
2, 将
??
D
d x d yyxf ),(,
D
为
xy ??? 10
,
10 ?? x
,表
示为极坐标形式的二次积分为 __ _ __ __ _ _ _ _ _ __,
3, 将 ?? ?
x
x
dyyxfdx
3
22
2
0
)( 化为极坐标形式的二
次积分为 __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ _.
4, 将 ??
2
0
1
0
),(
x
dyyxfdx
化为极坐标形式的二次积分
为 __ __ _ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __,
练 习 题
5, 将
??
?
?
x
x
dyyxdx
2
2
1
)(
22
1
0
化为极坐标形式的二次积
分为 ___ ___ ___ _ ___ __,其值为 ___ __ ___ __ ___ _ _.
二,计算下列二重积分,
1,
??
??
D
dyx ?)1l n (
22
,其中
D
是由圆周 1
22
?? yx
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域,
2, ?? ?
D
dyx ?)(
22
其中
D
是由直线
xy ?
,
)0(3,,????? aayayaxy
所围成的区域,
3, ??
??
D
dyxR ?
222
,其中
D
是由圆周
Rxyx ??
22
所围成的区域,
4, ??
??
D
dyx ?2
22
,其中
D
:
3
22
?? yx
.
三、试将对极坐标的二次积分
??
?
?
?
?
????
c o s2
0
4
4
)s i n,co s(
a
r d rrrfdI 交换积分次序,
四、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 ?2?r 上一段
弧 (
2
0
?
??? ) 与直线
2
?
?? 所围成,它的面密度为
22
),( yxyx ???
,求这薄片的质量,
五,计算以 xoy 面上的圆周
axyx ??
22
围成的闭区域为
底，而以曲面
22
yxz ??
为顶的曲顶柱体的体积,
一,1, r d rrrfd
??
?
?
?
?
???
c o s2
0
2
2
)s i n,co s( ；
2,
??
?
???
?
???
1
)s i n( c o s
0
2
0
)s i n,co s( r d rrrfd ；
3,
??
?
?
?
?
s e c2
0
3
4
)( r d rrfd ；
4,
??
?
??
?
???
s e c
t a ns e c
4
0
)s i n,co s( r d rrrfd ；
5,
??
?
??
?
2
c o s
s i n
0
4
0
1
r d r
r
d,
12 ?
.
二,1, )12ln2(
4
?
?； 2,
4
14 a ；
练习题答案
3, )
3
4
(
3
3
??
R； 4, ?
2
5
.
三、
??
?
?
?
????
4
4
2
0
)s i n,co s( drrfr d rI
a
??
?
????
a
r
a
r
a
a
drrfr d r
2
a r c c o s
2
a r c c o s
2
2
)s i n,co s(,
四、
40
5
?
.
五、
4
32
3
a
?
.