0),(.1 ?yxF
一、一个方程的情形
隐函数存在定理 1 设函数 ),( yxF 在点 ),(
00
yxP 的
某一邻域内具有连续的偏导数，且 0),(
00
?yxF,
0),(
00
?yxF
y
，则方程 0),( ?yxF 在点 ),(
00
yxP 的
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 )( xfy ?,它满足条件 )(
00
xfy ?,并
有
y
x
F
F
dx
dy
??,
隐函数的求导公式
例１　 验证方程 01
22
??? yx 在点 )1,0( 的某邻
域内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y
的隐函数 )( xfy ?,并求这函数的一阶和二阶导
数在 0?x 的值,
解 令 1),( 22 ??? yxyxF
则,2 xF x ?,2 yF y ?
,0)1,0( ?F,02)1,0( ??yF依定理知方程 01
22 ??? yx 在点 )1,0( 的某邻域
内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y 的
函数 )( xfy ?,
函数的一阶和二阶导数为
y
x
F
F
dx
dy ??,
y
x??,0
0
?
?xdx
dy
22
2
y
yxy
dx
yd ????
2y
y
x
xy ?
?
?
?
?
?
??
??,1
3y??
.1
0
2
2
??
?xdx
yd
例 2 已知 xyyx a r c t a nln 22 ??,求 dxdy,
解 令
则
,a r ct a nln),( 22 xyyxyxF ???
,),( 22 yx yxyxF x ???,),( 22 yx xyyxF y ???
y
x
F
F
dx
dy ??,
xy
yx
?
???
隐函数存在定理 2 设函数 ),,( zyxF 在点,(
0
xP
),
00
zy 的某一邻域内有连续的偏导数，且,(
0
xF
0),
00
?zy, 0),,(
000
?zyxF
z
，则方程,,( yxF
0) ?z 在点 ),,(
000
zyxP 的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
),( yxfz ?,它满足条件 ),(
000
yxfz ?,
并有
z
x
F
F
x
z
??
?
?
,
z
y
F
F
y
z
??
?
?
.
0),,(.2 ?zyxF
例 3 设 04222 ???? zzyx,求 2
2
x
z
?
?,
解 令
则
,4),,( 222 zzyxzyxF ????
,2 xF x ?,42 ?? zF z,2 zxFFxz
z
x
?????
?
2
2
x
z
?
?
2)2(
)2(
z
x
z
xz
?
?
?
??
? 2
)2(
2
)2(
z
z
x
xz
?
?
???
?
.)2( )2( 3
22
z
xz
?
???
例 4 设 ),( xy zzyxfz ???,求 xz??, yx??, zy??,
思路：
把 z 看成 yx,的函数对 x 求偏导数得
x
z
?
?
，
把 x 看成 yz,的函数对 y 求偏导数得
y
x
?
?
，
把 y 看成 zx,的函数对 z 求偏导数得 zy??,
解 令,zyxu ???,xyzv ?
则 ),,( vufz ?
把 z 看成 yx,的函数对 x 求偏导数得
x
z
?
? )1(
x
zf
u ?
???? ),(
x
zxyyzf
v ?
????
整理得 xz??,1
vu
vu
x yff
yz ff
??
??
把 x 看成 yz,的函数对 y 求偏导数得
)1(0 ????? yxf u ),( yxyzxzf v ?????
整理得,
vu
vu
yz ff
x z ff
?
???
y
x
?
?
把 y 看成 zx,的函数对 z 求偏导数得
)1(1 ????? zyf u ),( zyxzxyf v ?????
整理得 zy??,1
vu
vu
x z ff
x yff
?
???
??
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF二、方程组的情形
隐函数存在定理 3 设 ),,,( vuyxF, ),,,( vuyxG 在
点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续
偏导数，且 0),,,(
0000
?vuyxF,),,,(
0000
vuyxG
0?,且偏导数所组成的函数行列式 （或称雅可比
式）
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
在点 ),,,(
0000
vuyxP 不等于零，则方程组
0),,,( ?vuyxF, 0),,,( ?vuyxG
在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一
组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu ?,
),( yxvv ?,它们满足条件 ),(
000
yxuu ?,vv ?
0
),(
00
yx,并有
,
),(
),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
vx
GF
Jx
u
??
?
?
??
?
?
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xu
GF
Jx
v ??
?
???
?
?
),(
),(1
,
),(
),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vy
GF
Jy
u ??
?
???
?
?
.
),(
),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yu
GF
Jy
v ??
?
???
?
?
例 5 设 0?? yvxu, 1?? xvyu,
求
x
u
?
?
，
y
u
?
?
，
x
v
?
?
和
y
v
?
?
.
解 1 直接代入公式；
解 2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 求导并移项x
,
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
v
x
v
x
x
u
y
u
x
v
y
x
u
x
xy
yxJ ??
,22 yx ??
在 0?J 的条件下，
xy
yx
xv
yu
x
u
?
?
??
?
?
?
,22 yx yvxu ????
xy
yx
vy
ux
x
v
?
?
?
?
?
?
,22 yx xvyu ???
将所给方程的两边对 求导，用同样方法得y
,22 yx yuxvyu ?????,22 yx yvxuyv ??????
（分以下几种情况）隐函数的求导法则
0),()1( ?yxF
0),,()2( ?zyxF
??
?
?
?
0),,,(
0),,,()3(
vuyxG
vuyxF
三、小结
已知 )(
z
y
z
x
??,其中 ? 为可微函数，
求??
?
?
?
?
?
y
z
y
x
z
x
思考题
思考题解答
记 )(),,( zyzxzyxF ???,则 zF x 1?,
,1)( zzyF y ???? ?,)()( 22 z yzyz xF z ?????? ?
,
)(
z
yyx
z
F
F
x
z
z
x
? ??
???
?
?,
)(
)(
z
y
yx
z
y
z
F
F
y
z
z
y
?
?
??
??
???
?
?
于是 zyzyxzx ??????,
一,填空题,
1, 设
x
y
yx a rcta nln
22
??,则
?
dx
dy
__ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _.
2,设
zx
yz ?,则
?
?
?
x
z
__ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _,
?
?
?
y
z
__ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _.
二,设
,32)32s i n (2 zyxzyx ?????
证明,.1?
?
?
?
?
?
y
z
x
z
练 习 题
三,如 果 函 数 ),,( zyxf 对任何 t 恒满足关系式
),,(),,( zyxfttztytxf
k
?,则称函数 ),,( zyxf 为
k 次齐次函数,试证, k 次齐次函数满足方程
),,( zyxkf
z
f
z
y
f
y
x
f
x ?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
四、设,,3
2
33
yx
z
ax yzz
??
?
?? 求
五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数,
1, 设
?
?
?
???
??
2032
222
22
zyx
yxz
,求,,
dx
dz
dx
dy
2, 设
?
?
?
??
??
),(
),(
2
yvxugv
yvuxfu
，求,,
x
v
x
u
?
?
?
?
（其中
gf,
具有一阶连续偏导数）
六,设函数 )( xu 由方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
0),(
0),,(
),(
zxh
zyxg
yxfu
所确定,
且,,0,0
dx
du
z
h
y
g
求?
?
?
?
?
?
( hgf,,均可微 )
七,设
),,( txfy ?
而
t
是由方程
0),,( ?tyxF
所确定的
yx,
的函数,求,
dx
dy
八,设
),( yxzz ?
由方程 ),(
x
z
y
y
x
xF ?? =0 所确定,
证明, xyz
y
z
y
x
z
x ??
?
?
?
?
?
.
一,1,
yx
yx
?
?； 2,
yyxz
zz
zx
x
ln
ln
1
?
?
?；
3,
yyxz
zy
zx
z
ln
1
1
?
?
?
.
四、
32
22242
)(
)2(
xyz
yxx yzzz
yx
z
?
??
?
??
?
.
五,1,
13
,
)13(2
)16(
?
?
?
??
?
z
x
dx
dz
zy
zx
dx
dy；
2,
1221
1221
)12)(1(
)12(
gfgyvfx
gfgyvfu
x
u
????????
????????
?
?
?
,
1221
111
)12)(1(
)1(
gfgyvfx
fufxg
x
v
????????
?????
?
?
?
.
练习题答案
六、
zy
xzy
y
xx
x
hg
hgf
g
gf
f
dx
du
???
?????
?
?
???
???
zy
xzyzxxzyx
hg
hgfhgfhgf
??
???????????
?,
七、
tyt
txxt
fFF
fFfF
dx
dy
?????
???????
?,