),(),( yxfyxxf ??? xyxf x ?? ),(
),(),( yxfyyxf ??? yyxf y ?? ),(
二元函数
对 x 和对 y 的 偏微分
二元函数
对 x 和对 y 的 偏增量
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
一、全微分的定义
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的某邻域内
有定义，并设 ),( yyxxP ????? 为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
),(),( yxfyyxxf ?????
为函数在点 P 对应于自变量增量 yx ??,的全增
量，记为 z?,
即
z?
= ),(),( yxfyyxxf ?????
全增量的概念
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz ??????? 可以表示为
)( ?oyBxAz ??????,其中 BA,不依赖于
yx ??,而仅与 yx,有关，
22
)()( yx ?????,
则称函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 可微分，
yBxA ??? 称为函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的
全微分,记为
dz
，即
dz
=
yBxA ???
.
全微分的定义
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，
则称这函数在 D 内可微分,
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 可微分,则
函数在该点连续,
事实上 ),( ?oyBxAz ??????,0li m
0 ??? z?
),(lim
0
0
yyxxf
y
x
????
??
?? ]),([lim 0 zyxf ??? ??
),( yxf?
故函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 处连续,
二、可微的条件
定理 1 （ 必要条件）　如果函数 ),( yxfz ? 在点
),( yx 可微分，则该函数在点 ),( yx 的偏导数
x
z
?
?
、
y
z
?
?
必存在，且函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的全微分
为
y
y
z
x
x
z
dz ?
?
?
??
?
?
?,
证 如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yxP 可微分,
?????? ),( yyxxP P 的某个邻域
)( ?oyBxAz ?????? 总成立,
当 0?? y 时，上式仍成立，此时 || x???,
),(),( yxfyxxf ??? |),(| xoxA ?????
Ax yxfyxxf
x
?? ???
??
),(),(l i m
0
,xz???
同理可得,yzB ???
一元函数在某点的导数存在 微分存在．
多元函数的各偏导数存在 全微分存在．
例如，
.
00
0
),(
22
22
22
?
?
?
?
?
??
??
??
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 )0,0( 处有
0)0,0()0,0( ?? yx ff
])0,0()0,0([ yfxfz yx ???????,)()( 22 yx yx ??? ????
如果考虑点 ),( yxP ??? 沿着直线 xy ? 趋近于 )0,0(,
则 ?
22 )()( yx
yx
???
???
22 )()( xx
xx
???
????,
2
1?
说明它不能随着 0?? 而趋于 0,0??当 时，
),(])0,0()0,0([ ?oyfxfz yx ????????
函数在点 )0,0( 处不可微,
说明,多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２ （充分条件）　如果函数 ),( yxfz ? 的偏
导数
x
z
?
?
、
y
z
?
?
在点 ),( yx 连续，则该函数在点 ),( yx
可微分．
证 ),(),( yxfyyxxfz ???????
)],(),([ yyxfyyxxf ????????
)],,(),([ yxfyyxf ????
),(),( yyxfyyxxf ???????
xyyxxf x ?????? ),( 1? )0( 1 ?? ?
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
xxyxf x ???? 1),( ?（依偏导数的连续性）
且当 0,0 ???? yx 时,01 ??,
其中 1? 为 yx ??,的函数,
xxyxf x ???? 1),( ? yyyxf y ???? 2),( ?z?
21
21 ??
?
?? ????? yx?
,00?? ?? ??
故函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 处可微,
同理 ),(),( yxfyyxf ???
,),( 2 yyyxf y ???? ?当 0?? 时,02 ??,
习惯上，记全微分为,dyyzdxxzdz ??????
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
.dzzudyyudxxudu ?????????
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个
偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加
原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 1 计算函数 xyez ? 在点 )1,2( 处的全微分,
解,xyye
x
z ?
?
?,xyxe
y
z ?
?
?
,2
)1,2(
e
x
z ?
?
?,2 2
)1,2(
e
y
z ?
?
?
.2 22 dyedxedz ??所求全微分
例 2 求函数 )2c o s ( yxyz ??,当
4
?
?x, ??y,
4
?
?dx, ??dy 时的全微分,
解 ),2s i n ( yxyxz ?????
),2s i n (2)2c o s ( yxyyxyz ??????
dy
y
zdx
x
zdz
),
4
(),4(
),
4
(
???
??
?
?
??
?
??
).74(8 2 ????
例 3 计算函数 yzeyxu ???
2
si n 的全微分,
解,1???xu,2c o s21 yzzeyyu ????
,yzyezu ???
所求全微分
.)2co s21( dzyedyzeydxdu yzyz ????
例 4 试证函数
?
?
?
?
?
?
?
??
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
1
s i n
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf 在
点 )0,0( 连续且偏导数存在，但偏导数在点 )0,0(
不连续，而 f 在点 )0,0( 可微,
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
)0,0(),( ?yx, )0,0(),( ?yx 讨论,
证 令,c o s???x,s in ???y
则 22)0,0(),(
1s i nlim
yx
xy
yx ??
?????
1s i nc o ss i nlim 2
0
??
? 0? ),0,0(f?
故函数在点 )0,0( 连续,
?)0,0(xf x fxfx ? ???? )0,0()0,(l i m 0,000lim 0 ???? ?? xx
同理,0)0,0( ?yf
当 )0,0(),( ?yx 时，
?),( yxf x,1c os)(1s i n 22322
2
22 yxyx
yx
yxy ????
当点 ),( yxP 沿直线 xy ? 趋于 )0,0( 时,
),(l i m )0,0(),( yxf xxx ?
,||2 1c os||22||2 1s i nlim 3
3
0
?
?
??
?
? ??
? xx
x
xxx
不存在,
所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不连续,
同理可证 ),( yxf y 在 )0,0( 不连续,
)0,0(),( fyxff ?????
22 )()(
1s i n
yx
yx
???
?????
))()(( 22 yxo ????
故 ),( yxf 在点 )0,0( 可微.0)0,0( ?df
多元函数连续、可导、可微的关系
函数可微
函数连续
偏导数连续
函数可导
全微分在近似计算中的应用
都较小时，有近似等式
连续，且个偏导数
的两在点当二元函数
yxyxfyxf
yxPyxfz
yx ??
?
,),(),,(
),(),(
.),(),( yyxfxyxfdzz yx ??????
也可写成
.),(),(),(
),(
yyxfxyxfyxf
yyxxf
yx ?????
????
例 5 计算 02.2)04.1( 的近似值,
解,),( yxyxf ?设函数
.02.0,04.0,2,1 ?????? yxyx取
,1)2,1( ?f?
,),( 1?? yx yxyxf,ln),( xxyxf yy ?
,2)2,1( ?xf,0)2,1( ?yf
由公式得 02.0004.021)04.1( 02.2 ?????.08.1?
１、多元函数全微分的概念；
２、多元函数全微分的求法；
３、多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
三、小结
函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 处可微的充分条件是,
（ 1 ） ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处连续；
（ 2 ） ),( yxf
x
?
,),( yxf
y
?
在点 ),(
00
yx 的
某邻域存在；
（ 3 ） yyxfxyxfz
yx
?
?
??
?
?? ),(),(,
当 0)()(
22
???? yx 时是无穷小量；
（ 4 ）
22
)()(
),(),(
yx
yyxfxyxfz
yx
???
?
?
??
?
??
,
当 0)()(
22
???? yx 时是无穷小量,
思考题
一,填空题,
1, 设
x
y
ez ?,则 ?
?
?
x
z
__ __ __ __ _ __ __ ；
?
?
?
y
z
__ _ __ __ __ _ __ ； ?dz __ __ _ __ __ _ __,
2, 若 )l n(
222
zyxu ???,则
?du
__ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ _,
3, 若函数
x
y
z ?,当
1,2 ?? yx
,
2.0,1.0 ????? yx
时,
函数的全增量 ?? z __ __ __ _ ; 全微分 ?dz __ _ __ __ _,
4, 若 函 数
y
x
xyz ??,则
xz 对
的 偏 增 量
?? z
x
__ _ __ __ _ __ _;
?
?
?
??
x
z
x
x 0
l i m
_ _ __ __ _ __ __ __ _,
练 习 题
二,求函数 )1l n (
22
yxz ??? 当,1?x
2?y 时的全微分,
三,计算
33
)97.1()02.1( ? 的近似值,
四,设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度均为
cm1.0,内高为 cm20,内半径为 cm4,求容器外壳体
积的近似值,
五,测得一块三角形土地的两边边长分别为
m1.063 ?
和
m1.078 ?
,这两边的夹角为
0
160 ?, 试求三角形面积
的近似值,并求其绝对误差和相对误差,
六、利用全微分证明, 乘积的相对误差等于各因子的相
对误差之和 ; 商的相对误差等于被除数及除数的相
对误差之和,
七、求函数
),( yxf
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
0,0
0,
1
s i n)(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
的偏导数,并研究在点 )0,0( 处偏导数的连续性及
函数 ),( yxf 的可微性,
一,1, )(
1
,
1
,
2
dydx
x
y
e
x
e
x
e
x
y
x
y
x
y
x
y
??? ；
2,
222
)(2
zyx
z d zyd yxdx
??
??； 3, -0.119,-0,125 ；
4,
y
yx
y
y
1
,)
1
( ???,
二,dydx
3
2
3
1
?, 三,2.9 5,四、
3
cm3.55,
五,%.30.1,m6.27,m2 1 2 8
22
七,),(),,( yxfyxf
yx
?? 在 )0,0( 处均不连续,
),( yxf
在点 (0,0) 处可微,
练习题答案