设 ),( 000 yxP 是 x o y 平面上的一个点,? 是某
一正数，与点 ),( 000 yxP 距离小于 ? 的点 ),( yxP
的全体，称为点 0P 的 ? 邻域，记为 ),( 0 ?PU,
（ 1）邻域
0P
?),( 0 ?PU ? ???? || 0PPP
? ?,)()(|),( 2020 ?????? yyxxyx
一、多元函数的概念
?
（ 2）区域
.
)(
的内点为则称
，的某一邻域一个点．如果存在点
是平面上的是平面上的一个点集，设
EP
EPUP
PE
?
.EE 的内点属于
E
P?,为开集则称
的点都是内点，如果点集
E
E
}41),{( 221 ???? yxyxE例如，
即为开集．
的边界点．为），则称可以不属于
，也本身可以属于的点（点也有不属于
的点，于的任一个邻域内既有属如果点
EPE
EPE
EP
E
P? 的边界．的边界点的全体称为 EE
是连通的．开集
，则称且该折线上的点都属于
连结起来，任何两点，都可用折线
内是开集．如果对于设
D
D
DD
? ?
连通的开集称为区域或开区域．
}.41|),{( 22 ??? yxyx例如,x
y
o
开区域连同它的边界一起称为闭区域,
}.41|),{( 22 ??? yxyx例如,x
y
o
}0|),{( ?? yxyx
有界闭区域；
无界开区域．
x
y
o
例如，则称为无界点集．
为有界点集，否成立，则称对一切
即
，不超过间的距离与某一定点
，使一切点如果存在正数对于点集
EEP
KAP
KAPAEP
KE
?
?
?
}41|),{( 22 ??? yxyx
（ 3）聚点 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的
一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限
多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点,
?内点一定是聚点；
说明：
?边界点可能是聚点；
}10|),{( 22 ??? yxyx例
(0,0)既是 边界点也是聚点．
? 点集 E的聚点可以属于 E，也可以不属于 E．
}10|),{( 22 ??? yxyx例如,
(0,0) 是聚点但不属于集合．
}1|),{( 22 ?? yxyx例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（ 4） n维空间
设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组
),,,( 21 nxxx ? 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数
组 ),,,( 21 nxxx ? 称为 n 维空间中的一个点，数
ix 称为该点的第 i 个坐标,
?n维空间的记号为
说明：;nR
?n维空间中两点间距离公式
),,,,( 21 nxxxP ? ),,,,( 21 nyyyQ ?
.)()()(|| 2222211 nn xyxyxyPQ ??????? ?
?n维空间中邻域、区域等概念
? ?nRPPPPPU ???,||),( 00 ??
特殊地当 时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
3,2,1?n
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
邻域：
设两点为
设 D 是平面上的一个点集,如果对于每个点
DyxP ?),(,变量 z 按照一定的法则总有确定的
值和它对应，则称 z 是变量 yx,的二元函数，记为
),( yxfz ? （或记为 )( Pfz ? ）,
（ 5）二元函数的定义
当 2?n 时,n 元函数统称为多元函数,
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、
因变量等概念,
类似地可定义三元及三元以上函数．
例 1 求 的定义域,2
22 )3a r c s i n (
),(
yx
yxyxf
?
???
解
??
?
?
?
??
???
0
13
2
22
yx
yx
?
?
?
?
???
2
22 42
yx
yx
?
所求定义域为 }.,42|),{( 222 yxyxyxD ?????
（ 6） 二元函数 的图形 ),( yxfz ?
设函数 ),( yxfz ? 的定义域为 D,对于任意
取定的 DyxP ?),(,对应的函数值为
),( yxfz ?,这样，以 x 为横坐标,y 为纵坐
标,z 为竖坐标在空间就确定一点 ),,( zyxM,
当 x 取遍 D 上一切点时，得一个空间点集
}),(),,(|),,{( Dyxyxfzzyx ??,这个点集称
为二元函数的图形,
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面,
x
y
z
o
xyz sin?
例如,
图形如右图,
2222 azyx ???
例如,
左图球面,
}.),{( 222 ayxyxD ???
222 yxaz ???
.222 yxaz ????
单值分支,
定义 1 设 函 数 ),( yxfz ? 的 定 义 域 为
),(,
000
yxPD 是其聚点，如果对于任意给定的
正数 ?,总存在正数 ?,使得对于适合不等式
???????
2
0
2
00
)()(||0 yyxxPP 的 一 切
点，都有 ??? |),(| Ayxf 成立，则称 A 为函数
),( yxfz ?
当
0
xx ?,
0
yy ? 时的极限，
记为 Ayxf
yy
xx
?
?
?
),(l i m
0
0
（或
)0(),( ?? ?Ayxf
这里 || 0PP?? ）,
二、多元函数的极限
说明：
（ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP ?
（ 2）二元函数的极限也叫二重极限 );,(l i m
0
0
yxf
yy
xx
?
?
（ 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例 2 求证
证
01s i n)(l i m 2222
0
0
???
?
? yx
yx
y
x
01s i n)( 2222 ??? yxyx
22
22 1s i n
yxyx ???? 22 yx ??
,0?? ?,?? ??
当 时,?????? 22 )0()0(0 yx
????? 01s i n)( 2222 yxyx 原结论成立．
例 3 求极限,
)s i n (lim
22
2
0
0 yx
yx
y
x ?
?
?
解 22
2
0
0
)si n (l i m
yx
yx
y
x ?
?
?
,)s i n (lim 22
2
2
2
0
0 yx
yx
yx
yx
y
x ?
??
?
?
其中 yx
yx
y
x 2
2
0
0
)si n (l i m
?
? u
u
u
sinlim
0?,1?
22
2
yx
yx
? x2
1?,00?? ?? ?x,0)s i n (lim 22
2
0
0
???
?
? yx
yx
y
x
yxu 2?
例 4 证明 不存在．
证
26
3
0
0
lim
yx
yx
y
x ?
?
?
取,3kxy ?
26
3
0
0
l i m
yx
yx
y
x ?
?
? 626
33
0
3
li m
xkx
kxx
kxy
x ?
??
?
?,1 2k
k
??
其值随 k的不同而变化，
故极限不存在．
不存在,观察 26
3
0
0
lim
yx
yx
y
x ?
?
?,26
3
图形yx yxz ??
播放
（ 1 ） 令 ),( yxP 沿 kxy ? 趋向于 ),( 000 yxP,若
极限值与 k 有关，则可断言极限不存在；
（ 2 ） 找两种不同趋近方式，使 ),(l i m
0
0
yxf
yy
xx
?
?
存在，
但两者不相等，此时也可断言 ),( yxf 在点
),(
000
yxP 处极限不存在．
确定极限 不存在 的方法：
定义 2 设 n 元函数 )( Pf 的定义域为点集
0
,PD 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ?,
总存在正数 ?,使得对于适合不 等式
??? ||0
0
PP 的 一 切 点 DP ?, 都 有
??? |)(| APf 成立，则称 A 为 n 元函数 )( Pf
当
0
PP ? 时的极限，记为
APf
PP
?
?
)(l i m
0
.
n 元函数的极限利用点函数的形式有
设 n 元函数 )( Pf 的定义域为点集
0
,PD
是其聚点且 DP ?
0
，如果 )()(lim
0
0
PfPf
PP
?
?
则称 n 元函数 )( Pf 在点
0
P 处连续,
设 0P 是函数 )( Pf 的定义域的聚点，如果
)( Pf 在点 0P 处不连续，则称 0P 是函数 )( Pf 的
间断点,
三、多元函数的连续性
定义 3
例 5 讨论函数 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
),( 22
33
yx
yx
yx
yx
yxf
在 (0,0)处的连续性．
解 取,cos ???x
?? s in?y
)0,0(),( fyxf ?
)c o s( s i n 33 ??? ?? ?2?
?? ??? 2)0,0(),( fyxf
故函数在 (0,0)处连续,
),0,0(),(lim )0,0(),( fyxfyx ??
,0?? ?,2?? ?? 当 时 ???? 220 yx
例 6 讨论函数
?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在 (0,0)的连续性．
解 取 kxy ?
22
0
0
l im yx xy
y
x ?
?
? 222
2
0
l i m
xkx
kx
kxy
x ?
?
?
? 21 k
k
??
其值随 k的不同而变化,极限不存在．
故函数在 (0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
在有界闭区域 D上的多元连续函数，如
果在 D上取得两个不同的函数值，则它在 D上
取得介于这两值之间的任何值至少一次．
（ 1）最大值和最小值定理
（ 2）介值定理
（ 3）一致连续性定理
在有界闭区域 D上的多元连续函数必定
在 D上一致连续．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数
经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可
用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
例７,
11lim
0
0 xy
xy
y
x
??
?
?
求
解 )11(
11lim
0
0 ??
???
?
? xyxy
xy
y
x
原式
11
1lim
0
0 ??
?
y
x
.21?
).()(lim
)()(
)()(lim
00
0
0
0
PfPfP
PfPfP
PfPf
PP
PP
?
?
?
处连续，于是点
在的定义域的内点，则是数，且
是初等函时，如果一般地，求
多元函数极限的概念
多元函数连续的概念
闭区域上连续函数的性质
（注意趋近方式的 任意性 ）
四、小结
多元函数的定义
若点 ),( yx 沿着无数多条平面曲线趋向于
点 ),( 00 yx 时，函数 ),( yxf 都趋向于 A,能否
断定 Ayxf
yxyx
?
?
),(l i m
),(),( 00
？
思考题
思考题解答
不能,
例,)(),( 242
23
yx
yxyxf
?? )0,0(),( ?yx
取,kxy ? 2442
223
)(),( xkx
xkxkxxf
?
??
00?? ?? ?x
但是 不存在, ),(l i m
)0,0(),( yxfyx ?
原因为若取,2yx ? 244
26
2
)(),( yy
yyyyf
??.4
1?
一,填空题,
1, 若
y
x
xyyxyxf ta n),(
22
???,则 ),( tytxf = ____,
2, 若
xy
yx
yxf
2
),(
22
?
?,则 ?? )3,2(f ____ _ ____ _ ;
?),1(
x
y
f _____ ____ _____ __,
3, 若 )0()(
22
?
?
? y
y
yx
x
y
f,则 ?)( xf _____ ___,
4, 若
22
),( yx
x
y
yxf ???,则
?),( yxf
_____ ____,
函数
)1l n (
4
22
2
yx
yx
z
??
?
? 的定义域是 _______ ___,
练 习 题
6,函数 yxz ?? 的定义域是 __ __ _ __ __ _ __ __,
7,函数
x
y
z a rcs i n? 的定义域是 __ __ _ __ __ _ __ __ _,
8,函数
xy
xy
z
2
2
2
2
?
?
? 的间断点是 __ __ _ __ __ _ __ __ __,
二,求下列各极限,
1,
xy
xy
y
x
42
l i m
0
0
??
?
?；
2,
x
xy
y
x
s i n
l i m
0
0
?
?；
3,
2222
22
0
0 )(
)co s (1
l i m
yxyx
yx
y
x ?
??
?
?
.
三,证明,0l i m
22
0
0
?
?
?
? yx
xy
y
x
.
四,证明极限
yx
xy
y
x ?
??
?
?
11
l i m
0
0
不存在,
一,1, ),(
2
yxft ； 2,
12
13
?,),( yxf ；
3,
x
x
2
1 ?； 4,
y
y
x
?
?
1
1
2；
5, ? ?xyyxyx 4,10),(
222
???? ；
6, ? ?yxyxyx ???
2
,0,0),( ；
7,
? ?xyxxyx ????,0),(
? ?xyxxyx ?????,0),(；
8,
? ?02),(
2
?? xyyx,
二,1,
4
1
? ； 2, 0 ； 3,
??
.
练习题答案