证
),()( tttu ?? ?????则 );()( tttv ?? ?????
一、链式法则
定理　如果函数 )( tu ?? 及 )( tv ?? 都在点 t 可
导，函数 ),( vufz ? 在对应点 ),( vu 具有连续偏
导数，则复合函数 )](),([ ttfz ??? 在对应点 t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
?
?
?
?
?
?,
，获得增量设 tt ?
由于函数 ),( vufz ? 在点 ),( vu 有连续偏导数
,21 vuvvzuuzz ????????????? ??
当 0?? u, 0?? v 时，01 ??, 02 ??
t
v
t
u
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
21 ??
当 0?? t 时,0?? u, 0?? v
,dtdutu ???,dtdvtv ???
.l i m
0 dt
dv
v
z
dt
du
u
z
t
z
dt
dz
t
???????????
??
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,
如 dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz ?????????
u
v
w
tz
以上公式中的导数 称为 全导数,dtdz
上定理还可推广到中间变量不是一元函数
而是多元函数的情况,)].,(),,([ yxyxfz ???
如果 ),( yxu ?? 及 ),( yxv ?? 都在点 ),( yx
具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 ),( vufz ? 在对应
点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数
)],(),,([ yxyxfz ??? 在对应点 ),( yx 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
u
v
x
z
y
链式法则如图示
???xz ???uz xu?? ???? vz,xv??
???yz ???uz y
u
?
? ?
?
??
v
z,
y
v
?
?
类似地再推广，设 ),( yxu ??, ),( yxv ??,
),( yxww ? 都在点 ),( yx 具有对 x 和 y 的偏导数，复合
函数 )],(),,(),,([ yxwyxyxfz ??? 在对应点 ),( yx
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
z
w
v
u
y
x
特殊地 ),,( yxufz ? ),( yxu ??
即 ],,),,([ yxyxfz ??
,xfxuufxz ???????????,yfyuufyz ???????????
令,xv ?,yw ?
其中
,1???xv,0???xw,0???yv,1???yw
把复合函数 ],),,([ yxyxfz ??
中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
把 ),,( yxufz ?
中的 u 及 y 看作不
变而对 x 的偏导数
两者的区别
区
别
类
似
例 1 设 vez u s i n?,而 xyu ?, yxv ??,
求
x
z
?
?
和
y
z
?
?
.
解 ???xz ???uz xu?? ???? vz xv??
1c o ss i n ???? veyve uu ),c o ss in( vvye u ??
???yz ???uz y
u
?
? ?
?
??
v
z
y
v
?
?
1c o ss i n ???? vexve uu ).c o ss in( vvxe u ??
例 2 设 tuvz si n??,而
teu ?
,tv c os?,
求全导数
dt
dz
.
解
t
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
?
???
?
???
?
??
ttuve t c o ss i n ???
ttete tt c oss i nc os ???
.c o s)s in( c o s ttte t ???
例 3 设 ),( xyzzyxfw ???, f 具有二阶
连续偏导数，求
x
w
?
?
和
zx
w
??
? 2
.
解 令,zyxu ??? ;xy zv ?
记,),(1 u vuff ????,),(
2
12 vu
vuff
??
????
同理有,2f?,11f??,22f??
???xw xvvfxuuf ??????????? ;21 fyzf ????
???? zxw
2
)( 21 fyzfz ????? ;221 zfyzfyzf ? ?????? ???
?? ??zf1 zvvfzuuf ???? ??????? ?? 11 ;1211 fxyf ??????
?? ??zf2 zvvfzuuf ???? ??????? ?? 22 ;2221 fxyf ??????
于是 ???? zxw
2
1211 fxyf ????? 2y ?? )( 2221 fxyfyz ??????
.)( 22221211 fyfzxyfzxyf ????????????
设函数 ),( vufz ? 具有连续偏导数，则有全微分
dv
v
z
du
u
z
dz
?
?
?
?
?
? ; 当 ),( yxu ??, ),( yxv ??
时，有 dy
y
z
dx
x
z
dz
?
?
?
?
?
?,
全微分形式不变形的实质,
无论 是自变量 的函数或中间变量
的函数，它的全微分形式是一样的,
z vu,vu、
二、全微分形式不变性
dxxvvzxuuz ?????? ????????????
dyyzdxxzdz ??????
dyyvvzyuuz ?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?? dy
y
udx
x
u
u
z ?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?? dy
y
vdx
x
v
v
z
duuz???,dvvz???
例 4 已知 02 ???? zxy eze,求 xz?? 和 yz??,
解,0)2( ???? zxy ezed?
,02)( ????? ? dzedzxyde zxy
)()2( y d xxdyedze xyz ??? ?
dyexedxeyedz z
xy
z
xy
)2()2( ????
??
x
z
?
?,
2??
?
z
xy
e
ye
y
z
?
?,
2??
?
z
xy
e
xe
1、链式法则 （分三种情况）
2、全微分形式不变性
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
（理解其实质）
三、小结
设 ),,( xvufz ?,而 )( xu ??, )( xv ??,
则
x
f
dx
dv
v
f
dx
du
u
f
dx
dz
?
?
?
?
?
?
?
?
?,
试问
dx
dz
与
x
f
?
?
是否相同？为什么？
思考题
思考题解答
不相同,
等式左端的 z 是作为一个自变量 x 的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为 xvu,,的三元函数，
写出来为
????? xxvux dxduufdxdz ),,(,),,(),,( xvuxxvu xfdxdvvf ??????
一、填空题,
1,设
xy
yx
z
co s
co s
?,则 ?
?
?
x
z
__ __ __ __ _ __ __ __ _ ；
?
?
?
y
z
__ _ __ __ __ _ __ __ _ _,
2, 设
2
2
)23l n(
y
yxx
z
?
?,则 ?
?
?
x
z
__ __ __ __ _ __ __ _ _ ；
?
?
?
y
z
__ _ __ __ __ _ __ __ _ _.
3,设
3
2s i n tt
ez
?
?,则 ?
dt
dz
__ __ __ __ _ __ __ __ _,
二、设 u
v
uez ?,而 xyvyxu ???,22,求 yzxz ????,.
练 习 题
三、设 )a r c t a n ( xyz ?,而
x
ey ?,求
dx
dz
.
四、设 ),,(
22 xy
eyxfz ?? ( 其 具中 f 有一阶连续偏导
数 ),求
y
z
x
z
?
?
?
?
,.
五、设
)( x y zxyxfu ???
,( 其
具中 f
有一阶连续偏导
数 ),求,,,
z
u
y
u
x
u
?
?
?
?
?
?
六、设 ),(
y
x
xfz ?,( 其
具中 f
有二阶连续偏导数 ),求
2
22
2
2
,,
y
z
yx
z
x
z
?
?
??
?
?
?
.
七、设,
)(
22
yxf
y
z
?
? 其中为可导函数,
验证,
2
11
y
z
y
z
yx
z
x
?
?
?
?
?
?
.
八、设 ????,],),([ 其中yyxxz ??? 具有二阶导数,求
,,
2
2
2
2
y
z
x
z
?
?
?
?
一,1,
xy
yyyxx
xy
xxxy
222
co s
)co ssin(co s
,
co s
)sin(co sco s ?
?
?；
2,,
)23(
3
)23l n(
2
2
2
2
yyx
x
yx
y
x
?
??
2
2
3
2
)23(
2
)23l n(
2
yyx
x
yx
y
x
?
??? ；
3,,
)43(1
)41(3
23
2
tt
t
??
?
二、,]
)(
2
2[
22
222
2
yx
xy
e
yyx
yx
yx
x
z
?
?
???
?
?
)(
22
2
22
]
)(
2
2[
yx
xy
e
yx
xy
xy
y
z
?
?
???
?
?
.
练习题答案
三、
x
x
ex
xe
dx
dz
22
1
)1(
?
?
?,
四,.2,2
2121
fxefy
y
z
fyefx
x
z
xyxy
?????
?
?
????
?
?
五,.),(),1( fxy
z
u
xzxf
y
u
yzyf
x
u
??
?
?
???
?
?
????
?
?
六、,
12
22
2
1211
2
2
f
y
f
y
f
x
z
?????????
?
?
,
1
)
1
(
2
2
2212
2
2
f
y
f
y
f
y
x
yx
z
?????????
??
?
.
2
22
4
2
2
32
2
f
y
x
f
y
x
y
z
?????
?
?
八、,)1( 1211
2
2
???? ??????
?
?
x
z
2221112211
2
2
)( ????????? ??????????
?
?
y
z
.