在工程问题中，常常需要根据两个变量的
几组实验数值 —— 实验数据，来找出这两个变
量的函数关系的近似表达式．通常把这样得到
的函数的近似表达式叫做 经验公式,
一、经验公式
问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？
二、最小二乘法
例 1 为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的
实验：经过一定时间 (如每隔一小时 )，测量一
次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：
顺序编号 i 0 1 2 3 4 5 6 7
时间 it ( 小时 ) 0 1 2 3 4 5 6 7
刀具厚度 iy ( 毫米 ) 2 7, 0 2 6, 8 2 6, 5 2 6, 3 2 6, 1 2 5, 7 2 5, 3 2 4, 3
试根据上面的试验数据建立 y 和 t 之间的经验公
式 )( tfy ?,
观察可以认为
)( tfy ? 是线性函数,
并设,)( battf ?? 其中
a 和 b 是待定常数,
t
y
o 1 2 4 73 5 6 824
25
26
27如图，在坐标纸上画出
这些点，
因为这些点本来不在一条直线上，我们只
能要求选取这样的,使得 在
处的函数值与实验数据 相
差都很小．
ba,battf ??)(
710,,,ttt ? 710,,yyy ?
解 首先确定 )( tf 的类型,
就是要使偏差
)7,,2,1,0()( ??? itfy ii 都很小,
因此可以考虑选取常数,使得ba,
? ??
?
???
7
0
2)(
i
ii batyM
定义 这种根据偏差的平方和为最小的条件来选
择常数 的方法叫做 最小二乘法,ba,
这种确定常数的方法是通常所采用的,
最小来保证每个偏差的绝对值都很小．
M把 看成自变量 和 的一个二元函数，a b
那么问题就可归结为求函数 在那
些点处取得最小值,
),( baMM ? ? ?
? ?
?
?
?
??
?
?
?????
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
7
0
7
0;0)(2
,0)(2
i
ii
i
iii
baty
b
M
tbaty
a
M
令
即
? ?
? ??
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
7
0
7
0
.0)(
,0)(
i
ii
i
iii
baty
tbaty
将括号内各项进行整理合并，并把未知数
和 分离出来，便得
a
b
)1(
.8
,
7
0
7
0
7
0
7
0
7
0
2
?
?
?
?
?
??
??
??
???
??
???
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
ybta
tytbta
计算得,28
7
0
??
?i
it,140
7
0
2 ??
?i
it
,5.208
7
0
??
?i
iy 0.717
7
0
??
?i
ii ty
代入方程组（ 1）得
??
?
??
??
.5.2 0 8828
,7 1 7281 4 0
ba
ba
解此方程组，得到,1 2 5.27,3 0 3 6.0 ??? ba
这样便得到所求经验公式为
)2(.125.273036.0)( ???? ttfy
由（ 2）式算出的函数值 与实测 的有
一定的偏差,现列表比较如下：
)( itf iy
i
t 0 1 2 3 4 5 6 7
实测
i
y
2 7, 0 2 6, 8 2 6, 5 2 6, 3 2 6, 1 2 5, 7 2 5, 3 2 4, 3
算得
)(
i
tf
2 7, 1 2 5 2 6, 8 2 1 2 6, 5 1 8 2 6, 2 1 4 2 5, 9 1 1 2 5, 6 0 7 2 5, 3 0 3 2 5, 0 0 0
偏差
-0, 1 2 5 -0, 0 2 1 -0, 0 1 8 -0, 0 8 6 0, 1 8 9 0, 0 9 3 -0, 0 0 3 -0, 2 0 0
偏差的平方和,
它的平方根,
108165.0?M
329.0?M
我们把 称为 均方误差,它的大小在一定
程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关
系的近似程度的好坏．
M
例 2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：
i
i?
iy
其中 表示从实验开始算起的时间,表示时刻
反应物的量．试定出经验公式
? y
).(?fy ?
?
解 )(?fy ?由化学反应速度的理论知道,应是
指数函数：,?mkey ? 其中 和 是待定常数,k m
1 2 3 4 5 6 7 8
3 6 9 12 15 18 21 24
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5
由于
所以仿照例 1中的讨论,通过求方程组 )3(
lg8
,lg
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
2
?
?
?
??
?
?
??
??
??
???
??
???
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
yba
yba
?
???
的解,把 确定出来,ba,
,lg bay ?? ?讨论：
通过计算得,108
8
1
??
?i
i?,1836
8
1
2 ??
?i
i?
,3.10lg
8
1
??
?i
iy,122lg
8
1
??
?i
ii y?
将他们代入方程组（ 3）得
??
?
??
??
.3.1081 0 8
,1 2 21 0 81 8 3 6
ba
ba
解这方程组，得 ??
?
??
???
.8964.1lg
,045.04343.0
kb
ma
.78.78,1 0 3 6.0 ???? km
因此所求经验公式为,78.78 1 0 3 6.0 ??? ey
三、小结
用的一种．
，其中最小二乘法是常作曲线拟合有多种方法
，给定平面上一组点 ),,3,2,1(),( niyx ii ??
最小二乘法的原理：
? ? 达到最小．，使求 ?
?
???
n
i
ii batyMtf
1
2)()(
注意：计算机与数据拟合．
（参看高等数学实验课讲义 郭锡伯 徐安农编）
练 习 题
:
( % ) 0
的数据如下表与，由实验测得为
，其溶解温度为比某种合金的含铅量百分
?? p
Cp
．之间的经验公式与试用最小二乘法建立 bapp ????
%p
C0?
9.36 7.46 7.63
181 235197 292283270
8.77 0.84 5.87
练习题答案
.33.95234.2 ?? p?