第二章 电路的暂态分析
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
思考题与习题
2.5 RL电路的暂态分析
2.4 RC暂态电路的应用
2.3 一阶线性电路暂态电路分析的三要素法
2.2 RC暂态电路的分析
2.1电路暂态的基本概念及换路定则
2.1.1 电路的稳态与暂态
一,电路的稳定状态
二,电路的换路
三,电路的暂态
本章重点讨论仅含一个储能元件（电容或电感）的暂态过程，
即
RC电路和 RL电路的一阶线性电路在直流电路中的暂态过程 。
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
2.1.2 储能元件
一,电容元件
1、电容元件的基本性质
电容元件是一个理想的二端元件,它的图形符号如图
所示。
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电容器由两个被绝缘体隔开的金属极板组成。
电容器极板上聚集的电荷量 Q与极板间电
压的比值定义为电容器的电容量，用 C表示
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电容的 SI单位为法［拉］,符号为 F; 1 F=1
C／ V。常采用微法 （ μF） 和皮法 （ pF） 作为 其
单位。
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电容元件的 u— i关系
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电容元件的储能
在电压和电流关联的参考方向下,电容元件
吸收的功率为,
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电容元件的储能
在电压和电流关联的参考方向下，电容元件
吸收的电能为,
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
2,电容器的串并联
① 电容器的串联
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
MM
CUqq
CCCC
q
C
q
C
q
uuu
CCCC
C
q
u
CCC
q
C
q
C
q
C
q
uuuu
uCuCuCq
??
??
???
?
?????????
???
321321
321
321
321321
321
332211
1
:
1
:
1
::::
1111
)
111
(
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
② 电容器的并联
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
321
3213
21321
321321
332211
)(
::::
,,
CCCC
uCCCuC
uCuCqqqq
CCCqqq
uCquCquCq
???
???
??????
?
???
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
二,电感元件
自感磁链
称为电感元件的自感系数,或电感系数,简称电感
LL N ???
L
L
i
L
?
?
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
线圈的磁通和磁链
线性电感元件
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电感 SI单位为亨［利］,符号为 H; 1 H=1 Wb／ A。
通常还用毫亨 （ mH） 和微亨 （ μH） 作为其单位,
HHHmH 63 101,101 ?? ?? ?
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电感元件的 u— i关系,
dt
di
Lu
dt
Lid
dt
d
u
Li
L
L
?
??
?
)(?
?
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电感元件的储能
在电压和电流关联参考方向下,电感元件吸收的
功率为,
dt
di
iLuip ??
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电感元件的储能
从 t0到 t时间内,电感元件吸收的电能为,
)(
2
1
)(
2
1
0
22
)(
)(
00
tLitLi
diiLpd
ti
ti
t
t
L
??
?? ?? ??
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
若选取 t0为电流等于零的时刻,即 i(t0)=０
从时间 t1到 t2,电感元件吸收的能量为,
)(
2
1 2 tLi
L ??
)()()(21)(21 121222)(
)(
2
1
tttLitLidiiL LLtt
tiL
??? ????? ?
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
2.1.3 产生暂态过程的原因
在含有储能元件的电路中, 当电路结构或
元件参数发生改变时, 会引起电路中电流和电
压的变化, 而电路中电压和电流的建立或其量
值的改变, 必然伴随着电容中电场能量和电感
中磁场能量的改变 。 这种改变是能量渐变, 而
不是跃变 （ 即从一个量值即时地变到另一个量
值 ）, 否则将导致功率 P=dw/dt成为无限大,
这在实际中是不可能的 。
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
在电容中储能表现为电场能 量,
由于换路时能量不能跃变, 故电容上的电压一不
能跃变 。 从电流的观点来看, 电容上电压的跃变
将导致其中的电流 变为无限大, 这通
常也是不可能的 。 由于电路中总要有电阻, iC只能
是有限值, 所以有限电流对电容充电, 电容电荷
及电压 uC就只能逐渐增加, 而不可能在瞬间突然
跃变 。
2
2
1
CC CuW ?
dt
duCi
C ?
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
对电感中储存的磁场能量,
电感中的电压电流关系为, 能量
不能跃变, 电压为有限值, 故电感中的电流一般
也不能跃变 。 因此, 当电路结构或电路参数发生
改变时, 电感的电流和电容的电压必然有一个从
原先值到新的稳态值的过渡过程, 而电路中其他
的电流, 电压也会有一个过渡过程 。
2
2
1
LL LiW ?
dt
diLu L
L ?
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
由此可以得出两个重要结论,
⑴ 电感元件中的电流不能突变；
⑵ 电容元件两端的电压不能突变；
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
2.1.4 换路定则
在换路瞬间, 电容元件的电流有限时, 其电
压 uC不能跃变； 电感元件的电压有限时, 其电流
iL不能跃变, 这一结论叫做换路定律 。
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
把电路发生换路时刻取为计时起点 t=0,而以
t=0- 表示换路前的最后一瞬间, 它和 t=0之间的间
隔趋近于零；以 t=0+表示换路后的最前一瞬间, 它
和 t=0之间的间隔也趋近于零 。 则换路定律的数学
表达式表示为,
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
[例 ] 作出图 （ a） 所示电路 t=0+时的等效电
路, 并计算 iR3(0+),iR2(0+),uC(0+),uL(0+)。
已知开关闭合前, 电路无储能 。
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
［ 解 ］ 因为换路前电路无储能, 所以 uC(0-)=0,
iL(0-)=0。 作出 t=0+时的等效电路如图 （ b） 所示,
因为 uC(0+)=uC(0-)=0,所以电容可看成短路；因
iL(0+)=iL(0-)=0,所以电感可看成开路 。
用直流电阻电路分析方法计算得,
21
2
2
3
21
2
)0()0(
0)0(,0)0(,)0(
RR
RU
uu
ui
RR
U
i
s
RL
CR
s
R
?
??
??
?
?
??
???
2.2 RC电路的暂态分析
2.2.1 RC电路的放电
如图是 RC串联电路，开关 S原在,1”位置,
电
路处于稳定状态，电容器充电，在 t=0时,将开关
S打到,2”位置，使 RC电路脱离电源，由于电容
原
来已储存能量，于是电容元件开始经过电阻 R放电
放电电流的参考方向如图 （ b） 所示。
2.2 RC电路的暂态分析
2.2 RC电路的暂态分析
根据图 （ b）, 在所选各量的参考方向下, 由
KVL得
-uR+uC=0 （ 2-1）
将元件的电压电流关系 uR=Ri,i=-C (负号表示
电容的电压和电流为非关联参考方向 )代入上式,得
（ 2-2）
)0(0 ??? tudtduRC CC
2.2 RC电路的暂态分析
解此 RC电路的微分方程, 得到电容电压随时
间的变化规律 。 用一阶常系数线性齐次常微分方
程求解方法和初始条件解得它的通解为,
uC=AePt
将其代入式 （ 2-2）, 得特征方程
RCp+1=0
解得特征根
2.2 RC电路的暂态分析
所以
（ 2-3）
RC
p
1
??
)0( ??
?
tAeu RC
t
C
2.2 RC电路的暂态分析
式中的常数 A由电路的初始条件确定 。 由换路
定律得
uC(0+)=uC(0-)=U0
即 t=0+时 uC=U0,将其代入式 （ 2-3）
得 A=U0。 最后得电容两端的电压,
（ t≥0）（ 2-4）
RC
C eUu
1
0
?
?
2.2 RC电路的暂态分析
它是一个随时间衰减的指数函数, uC随时间
变化的曲线如图 5-3所示, 在 t=0时 uC=u0,没有
跃变 。 uC求得后, 可得电路中的电流
(t>0) (5-6) RCtC e
R
U
dt
duCi ???? 0
2.2 RC电路的暂态分析
uC变化曲线
0, 3 6 8 U
0
t
u
C
/ V
0, 0 1 8 3 U
0
O ?
U
0
2 ? 3 ? 4 ?
2.2 RC电路的暂态分析
图 2-2 i变化曲线
tO
i / A
R
U
0
2.2 RC电路的暂态分析
它也是一个随时间衰减的指数函数,波形如图
2-2所示,在 t=0时,电流由零跃变为 U0/R,发生
了跃变,这正是由电容电压不能跃变所决定的。
2.2 RC电路的暂态分析
在式 （ 2-4）, （ 2-5） 中,令
（ t≥0） （ 2-6）
(t>0) （ 2-7） ?
?
?
t
t
C
e
R
U
i
eUu
RC
?
?
?
?
?
0
0
2.2 RC电路的暂态分析
e的指数项 （ -t/τ） 必然是一个无量纲的数, 因
此 R和 C的乘积具有时间的量纲, 与电路初始情况
无关, 所以把 τ=RC叫做 RC电路的时间常数 。
当 C用法拉, R用欧姆为单位时, 有,
? ? ? ? s
V
As
V
CFRC ??????? ????
2.2 RC电路的暂态分析
电容电压及电流随时间变化的规律
2.2 RC电路的暂态分析
下面以式 （ 2-6） 为例来说明时间常数 τ的意
义 。 开始放电时, uC=u0,经过一个 τ的时间,
uC衰减为,
uC(τ)=U0e-1=0.368U0
2.2 RC电路的暂态分析
时间常数就是按指数规律衰减的量衰减到它
的初始值的 36.8%时所需的时间。 可以证明,若
以 τ和 τ的倍数标注时间轴,那么,uC和 i的指数
曲线上任意点的次切距长度都等于时间常数 τ,即
以任意点的切线匀速衰减到零所需要的时间为 τ。
当 t=4τ时,uC(4τ)=U0e-4=0.0183U0,
电压已下降到初始值 U0的 1.83%,可认为电压
已基本衰减到零。
2.2 RC电路的暂态分析
工程上一般认为,换路后,时间经过 3τ～ 5τ,
过渡过程就结束。 由此可看出,电压,电流衰减
的快慢取决于时间常数 τ的大小,时间常数越大,
衰减越慢,过渡过程越长； 反之,时间常数越小,
衰减越快,过渡过程越短。 RC电路的零输入响
应
是由电容的初始电压 U0和时间常数 τ= R C 所确定
的。
2.2 RC电路的暂态分析
［ 例 ］ 电路如图 2-3所示, 开关 S闭合前电路已
处于稳态 。 t=0时将开关闭合, 试求 t>0时的电压
uC和电流 iC,i1及 i2。
2.2 RC电路的暂态分析
【 解 】,
在 t>0时,左边电路被短路,对右边电路不起作用,
这时电容经电阻 1 Ω和 2 Ω两支路放电,等效电阻为,
故时间常数为,
02321
6)0()0( UVuu
CC ?????? ??
?3221 21 ????R
66 102103
3
2 ?? ?????? RC?
2.2 RC电路的暂态分析
由式 （ 2-6） 和 （ 2-7） 得
Aeiii
Ae
u
i
Aeee
R
U
i
VeeeUu
t
C
tC
t
tt
C
t
tt
C
5
5
5
6
5
6
105
21
105
2
105
1020
105
102
0
2
2
3
3/2
2
22
??
??
??
?
??
??
?
??
????
??
??????
???
?
?
?
?
2.2 RC电路的暂态分析
2.2.2 RC电路的充电
下图是一 RC串联电路。电容 C中初始储能为零,
在 t=0时刻，将开关 S合上，电容器开始充电。
2.2 RC电路的暂态分析
由 KVL有 （ 2-8）
将各元件的伏安关系 uR=i R和 代入
式 (2-8) 得
(τ=RC)
(2-9)
sCR Uuu ??
sC
C Uu
dt
duRC ??
?
t
C
sC
CCC
Aeu
Uu
uuu
?
?
?
??
"
'
"' (2-10)
(2-11)
(2-12)
dt
duCi C?
2.2 RC电路的暂态分析
将式 （ 2-11）, （ 2-12） 代入式 （ 2-10）,得
于是
Us为电容充电电压的最大值,称为稳态分量。
?
t
sCCC AeUuuu
????? "'
0)0()0( ?? ?? CC uu
s
sss
UA
AUAeUAeU
??
??????
? 0
0
0 ?
?
t
ssC eUUu
???
2.2 RC电路的暂态分析
是随时间按指数规律衰减的分量，
称为暂态分量。
?
t
seU
?
)1( ?
t
sC eUu
???
??
tt
sRC
s
RC
t
ss
C
eIe
R
U
eU
RC
C
eUU
dt
d
C
dt
du
Ci
???
?
???
?
?
?
?
?
???
???
0
1
)(
1
)(
??
t
s
t
s
R eUReR
U
iRu
??
???
2.2 RC电路的暂态分析
0
u
R
t
U
s
u
R
i
U
s
R
0
u
C
t
U
s
( a )
( b )
i
2.2 RC电路的暂态分析
【 例 】 如图 (a） 所示电路,已知 Us=220V,
R=200Ω,C=1μF,电容事先未充电,在 t=0时合上
开关 S
（ 1） 时间常数 ;
（ 2） 最大充电电流 ;
（ 3） uC,uR和 i的表达式 ;
（ 4） 作 uC,uR和 i随时间的变化曲线 ;
（ 5） 开关合上后 1ms时的 uC,uR和 i的值 。
2.2 RC电路的暂态分析
【 解 】 ⑴ 时间常数
⑵ 最大充电电流
⑶ uC,uR,I 的表达式为
ssRC ?? 200102101200 46 ??????? ??
ARUi s 1.1200220m a x ???
Aeee
R
U
i
VeeUu
VeeeUu
t
tt
s
t
t
sR
t
tt
sC
3
3
3
4
105
105
105102
1.1
2 0 0
2 2 0
2 2 0
)1(2 0 0)1(2 0 0)1(
??
??
??
?
???
??
???
??
??????
?
??
?
?
2.2 RC电路的暂态分析
（ 4） 画出 uC,uR,i的曲线如图 （ b）所示。
2.2 RC电路的暂态分析
（ 5） 当 时
smst 3101 ???
Aei
Veu
Veeu
R
C
0 0 7 7.00 0 7.01.11.1
5.10 0 7.02 2 02 2 0
5.2 1 8)0 0 7.01(2 2 0)1(2 2 0)1(2 2 0
33
33
33
10105
10105
510105
????
????
???????
?
?
?
???
???
????
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
稳态值,初始值 和 时间常数,我们称这三个量
为一阶电路的 三要素,由三要素可以直接写出一阶
电路过渡过程的解。 此方法叫 三要素法 。
设 f（ 0+） 表示电压或电流的初始值,f（ ∞）
表示电压或电流的新稳态值,τ表示电路的时间常
数,f（ t） 表示要求解的电压或电流。这样,电路的
表达式为,
?
t
effftf ?? ????? )]()0([)()( （ 2-13）
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
三要素法解题的一般 步骤,
(1) 画出换路前 （ t = 0-） 的等效电路。求出电
容电压 uC（ 0-） 或电感电流 iL (0-)。
(2) 根据换路定律 uC(0+)=uC (0-),iL(0+)=iL (0-
),
画出换路瞬间 （ t = 0+） 时的等效电路,求出电流
或电压的初始值 i(0+)或 u(0+),即 f(0+)
(3) 画出 t=∞时的稳态等效电路 （ 稳态时电容
相当于开路,电感相当于短路）,求出稳态下电流
或电压的稳态值 i(∞)或 u(∞),即 f(∞)
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
(4) 求出电路的时间常数 τ。 τ=RC或 L/R,其
中 R值是换路后断开储能元件 C或 L,由储能元件两
端看进去,用戴维南或诺顿等效电路求得的等效内
阻。
(5) 根据所求得的三要素,代入式 （ 2-13）即
可得电流或电压的动态过程表达式。
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
【 例 】 如图 （ a） 所示电路,
已 R1=100Ω,R2=400Ω,C=125μF,Us=200V,在换路前
电容有电压 uC(0-)=50V。求 S闭合后电容电压和电流的变
化规律。
【 解 】, 用三要素法求解,
(1) 画 t=0- 时的等效电路，如图 (b)所示。由题意已
知 uC(0-)=50V。
(2) 画 t =0+时的等效电路,如图 (c)所示。由换路定律
可得 uC(0+)= uC(0-)=50V
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
(3) 画 t=∞时的等效电路,如图 (d)所示。
(4) 求电路时间常数 τ
VRRR Uu sC 1 6 04 0 04 0 01 0 02 0 0)( 2
21
???????
sCR
RR
RR
R
01.01012580
80
400100
400100
6
0
21
21
0
?????
??
?
?
?
?
?
??
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
(5) 由公式 (2-13)得,
Vee
euuutu
t
t
t
CCCC
10001.0 110160)16050(160
)]()0([)()(
?
?
?
?
?????
????? ?
Aedt tduCti tCC 1 0 0375.1)()( ???
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
2.4 RC暂态电路的应用
2.4.1 微分电路
2.4 RC暂态电路的应用
组成微分电路的 条件,
⑴ 取电阻两端的电压为输出电压；
⑵ 电容器充放电的时间常数远远小于矩形
脉冲宽度。
2.4 RC暂态电路的应用
微分电路的输入电压和输出电压波形
2.4 RC暂态电路的应用
2.4.2 积分电路
积分电路与微分电路正好相反，组成积分电
路的条件,
⑴取电容器两端的电压为输出电压；
⑵电路的时间常数远远大于矩形脉冲宽度。
2.4 RC暂态电路的应用
积分电路
2.4 RC暂态电路的应用
积分电路的输入电压和输出电压波形
2.5 RL电路的暂态分析
2.5.1 RL电路的短接
下图所示电路是一 RL串联电路，开关原断开,
电感中有电流。在 t=0时刻，将开关合上，使电路
脱离电源，电路被短接。
2.5 RL电路的暂态分析
在前面我们对 RC电路的过渡过程进行了详细
的分析,对 RL电路暂态过程的分析与 R C 电路类
似, 这里讨论的是含有一个电感元件的 RL电路,
描述电路的微分方程是一阶微分方程 。 我们已知
道,当电感电压为有限值时, 电感电流不能跃变,
假如在 t＝ 0时换路, 则 iL(0+) = iL(0-),即电感电
流的初始值由换路定律求得, 其他电压或电流的
初始值由 0＋ 等效电路求出 。
2.5 RL电路的暂态分析
在 0＋ 等效电路中,电感元件用电流为 iL(0+)
的电流源替代。 求 t＝ ∞时的稳态值时,电感相当
于短路。
RL电路的时间常数 τ＝ L/R,R为从电感元
件两端看进去无源二端网络的等效电阻。
2.5 RL电路的暂态分析
【 例 2.5.1】 电路如图 (a)所示,换路前电路已处
于稳态，开关 S在 t＝ 0时闭合，求 t ≥ 0 时的 i(t),
uL(t),uR(t)并画出曲线。
2.5 RL电路的暂态分析
［ 解 ］ 换路前电路已处于稳态, 电感相当于短路,
由换路定律得电感电流初始值
列换路后的电路方程。 在所选各量参考方向下,
由 KVL得
uL+uR=0
0
1
)0()0( I
RR
U
ii sLL ?
?
?? ??
2.5 RL电路的暂态分析
将元件的电压电流关系, uR=Ri代入
上式得
（ t＞ 0）
（ t＞ 0）
dt
diLu
L ?
0
0
??
??
i
dt
di
R
L
Ri
dt
di
2.5 RL电路的暂态分析
它是一阶常系数线性齐次常微分方程, 求解微
分方程即可得出电流的变化规律, 在这里我们不
再赘述 。 采用与 RC电路零输入响应的微分方程
0?? CC u
dt
duRC
2.5 RL电路的暂态分析
对照的办法, 其解可直接写出 。 得 RL电路中
的
电 流为,
(t≥0)
t
L
Rt
eIeiti
??
? ?? 0)0()(
?
2.5 RL电路的暂态分析
电感电压及电阻电压为,
(t＞ 0)
(t＞ 0)
i(t),uL(t),uR(t)随时间变化的曲线如图 (b)所示,
t
L
R
R
t
L
R
L
eRIRiu
eRI
dt
di
Ltu
?
?
??
???
0
0
)(
2.5 RL电路的暂态分析
RL电路的时间常数 τ＝ L/R,单位是秒 （ s）,
RL电路的短接也是以初始值开始按指数规律衰减
的,衰减的快慢决定于时间常数的大小。 τ越小,
衰减越快。 在这一过程中,电感中原先储存的磁
场能量逐渐被电阻消耗,转化为热能。
RL电路的暂态分析也可直接按三要素法写出。
2.5 RL电路的暂态分析
【 例 2.5.2】 电路如图 （ a） 所示,开关动作
前电路已处于稳态,在 t＝ 0时开关闭合,试求
iL,uL,i并画出其波形。
2.5 RL电路的暂态分析
［ 解 ］ 用三要素法 。
（ 1） 求初始值 。 根据对换路前电路的分
析及换路定律, 有,
Aii LL
3
5
42
10)0()0( ?
?
?? ??
2.5 RL电路的暂态分析
画出 0＋ 等效电路如图 （ b） 所示,可得
V
ii
iiiu
Ai
Ui
L
LLL
s
9
20
)
3
5
2
9
25
(4
)]0(2)0([4
)0(4)]0()0([4)0(
9
25
63
54
6
10
)0(
3
5
4)42()0(
?????
??
???
?
?
?
??
?????
??
????
?
?
2.5 RL电路的暂态分析
（ 2） 求稳态值。 在稳态时电感相当于短路,
所以,
0)(
4
5
)(
2
1
)(
2
5
4
10
44
44
2
)(
??
????
??
?
?
?
??
L
L
i
Aii
A
Us
i
2.5 RL电路的暂态分析
（ 3） 求时间常数 。 换路后的电路除电感外
的等效电阻为,
s
R
L
R
8
3
3
16
2
3
16
42
42
4
???
?
?
?
??
?
?
2.5 RL电路的暂态分析
（ 4） 写出各方程如下,
Vetu
Aeeti
Aee
eiiiti
t
L
tt
tt
t
LLLL
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
9
20
)(
18
5
2
5
)
2
5
9
25
(
2
5
)(
12
5
4
5
)
4
5
3
5
(
4
5
)]()0([)()(
?
??
??
?
?
??
?????
?????
?????
?
2.5 RL电路的暂态分析
（ 5） iL,i和 uL的波形
2.5 RL电路的暂态分析
2.5.2 RL电路接通直流电源
下图是 RL串联电路，在开关 S合上前，线圈中未
储存能量，在 t = 0时，开关 S合上，即与一直流电
源接通。
2.5 RL电路的暂态分析
由 KVL有, uR+uL=Us
根据元件的伏安关系得
即
s
L
L Udt
diLRi ??
R
Ui
dt
di
R
L s
L
L ??
?
t
s
L AeR
Ui ??? ( 2-14 )
2.5 RL电路的暂态分析
即
将 A=-Us/R 代入式 (2-14),得
0)0( ????? ?? ARUAeRUi s
t
s
L
?
R
UA s??
)1(
t-
??
t
ss
L eIeR
U
R
Ui ?????
式
中,I=Us/R
2.5 RL电路的暂态分析
求得电感和电阻上的电压为,
)1()1(
1
)]1([
??
???
?
?
tt
ttt
eUeRIRiu
eUe
R
U
L
R
LIeL
eI
dt
d
L
dt
di
Lu
sLR
s
s
t
L
L
??
???
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
2.5 RL电路的暂态分析
2.5 RL电路的暂态分析
【 例 2.5.3 】 下图所示电路为一直流发电机电路
简图,已知励磁电阻 R=20Ω,励磁电感 L=20H,外
加电压为 Us=200V,
（ 1）当 S闭合后,励磁电流的变化规律和达到
稳态值所需的时间 ;
(2) 如果将电源电压提高到 250V,求励磁电流
达到额定值的时间。
2.5 RL电路的暂态分析
2.5 RL电路的暂态分析
【 解 】 （ 1） 由 RL串联电路的分析知,
式中 Us=200 V,R=20 Ω,τ=L/R=20/20=1s,所以
)1( ?
t
s
L eR
Ui ???
Aeei t
t
L )1(10)1(20
2 0 0 ?? ???? ?
2.5 RL电路的暂态分析
一般认为当 t=（ 3～ 5） τ时过渡过程基本结束,
取 t=5τ,则合上开关 S后,电流达到稳态所需的时
间为 5秒 。
2.5 RL电路的暂态分析
（ 2） 由上述计算知使励磁电流达到稳态需要 5
秒钟时间
st
e
eeti
t
t
t
6.1
)1(5.1210
)1(5.12)1(
20
2 5 0
)(
?
??
????
?
?
?
?
2.5 RL电路的暂态分析
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
思考题与习题
2.5 RL电路的暂态分析
2.4 RC暂态电路的应用
2.3 一阶线性电路暂态电路分析的三要素法
2.2 RC暂态电路的分析
2.1电路暂态的基本概念及换路定则
2.1.1 电路的稳态与暂态
一,电路的稳定状态
二,电路的换路
三,电路的暂态
本章重点讨论仅含一个储能元件（电容或电感）的暂态过程，
即
RC电路和 RL电路的一阶线性电路在直流电路中的暂态过程 。
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
2.1.2 储能元件
一,电容元件
1、电容元件的基本性质
电容元件是一个理想的二端元件,它的图形符号如图
所示。
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电容器由两个被绝缘体隔开的金属极板组成。
电容器极板上聚集的电荷量 Q与极板间电
压的比值定义为电容器的电容量，用 C表示
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电容的 SI单位为法［拉］,符号为 F; 1 F=1
C／ V。常采用微法 （ μF） 和皮法 （ pF） 作为 其
单位。
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电容元件的 u— i关系
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电容元件的储能
在电压和电流关联的参考方向下,电容元件
吸收的功率为,
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电容元件的储能
在电压和电流关联的参考方向下，电容元件
吸收的电能为,
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
2,电容器的串并联
① 电容器的串联
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
MM
CUqq
CCCC
q
C
q
C
q
uuu
CCCC
C
q
u
CCC
q
C
q
C
q
C
q
uuuu
uCuCuCq
??
??
???
?
?????????
???
321321
321
321
321321
321
332211
1
:
1
:
1
::::
1111
)
111
(
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
② 电容器的并联
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
321
3213
21321
321321
332211
)(
::::
,,
CCCC
uCCCuC
uCuCqqqq
CCCqqq
uCquCquCq
???
???
??????
?
???
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
二,电感元件
自感磁链
称为电感元件的自感系数,或电感系数,简称电感
LL N ???
L
L
i
L
?
?
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
线圈的磁通和磁链
线性电感元件
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电感 SI单位为亨［利］,符号为 H; 1 H=1 Wb／ A。
通常还用毫亨 （ mH） 和微亨 （ μH） 作为其单位,
HHHmH 63 101,101 ?? ?? ?
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电感元件的 u— i关系,
dt
di
Lu
dt
Lid
dt
d
u
Li
L
L
?
??
?
)(?
?
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电感元件的储能
在电压和电流关联参考方向下,电感元件吸收的
功率为,
dt
di
iLuip ??
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
电感元件的储能
从 t0到 t时间内,电感元件吸收的电能为,
)(
2
1
)(
2
1
0
22
)(
)(
00
tLitLi
diiLpd
ti
ti
t
t
L
??
?? ?? ??
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
若选取 t0为电流等于零的时刻,即 i(t0)=０
从时间 t1到 t2,电感元件吸收的能量为,
)(
2
1 2 tLi
L ??
)()()(21)(21 121222)(
)(
2
1
tttLitLidiiL LLtt
tiL
??? ????? ?
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
2.1.3 产生暂态过程的原因
在含有储能元件的电路中, 当电路结构或
元件参数发生改变时, 会引起电路中电流和电
压的变化, 而电路中电压和电流的建立或其量
值的改变, 必然伴随着电容中电场能量和电感
中磁场能量的改变 。 这种改变是能量渐变, 而
不是跃变 （ 即从一个量值即时地变到另一个量
值 ）, 否则将导致功率 P=dw/dt成为无限大,
这在实际中是不可能的 。
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
在电容中储能表现为电场能 量,
由于换路时能量不能跃变, 故电容上的电压一不
能跃变 。 从电流的观点来看, 电容上电压的跃变
将导致其中的电流 变为无限大, 这通
常也是不可能的 。 由于电路中总要有电阻, iC只能
是有限值, 所以有限电流对电容充电, 电容电荷
及电压 uC就只能逐渐增加, 而不可能在瞬间突然
跃变 。
2
2
1
CC CuW ?
dt
duCi
C ?
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
对电感中储存的磁场能量,
电感中的电压电流关系为, 能量
不能跃变, 电压为有限值, 故电感中的电流一般
也不能跃变 。 因此, 当电路结构或电路参数发生
改变时, 电感的电流和电容的电压必然有一个从
原先值到新的稳态值的过渡过程, 而电路中其他
的电流, 电压也会有一个过渡过程 。
2
2
1
LL LiW ?
dt
diLu L
L ?
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
由此可以得出两个重要结论,
⑴ 电感元件中的电流不能突变；
⑵ 电容元件两端的电压不能突变；
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
2.1.4 换路定则
在换路瞬间, 电容元件的电流有限时, 其电
压 uC不能跃变； 电感元件的电压有限时, 其电流
iL不能跃变, 这一结论叫做换路定律 。
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
把电路发生换路时刻取为计时起点 t=0,而以
t=0- 表示换路前的最后一瞬间, 它和 t=0之间的间
隔趋近于零；以 t=0+表示换路后的最前一瞬间, 它
和 t=0之间的间隔也趋近于零 。 则换路定律的数学
表达式表示为,
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
[例 ] 作出图 （ a） 所示电路 t=0+时的等效电
路, 并计算 iR3(0+),iR2(0+),uC(0+),uL(0+)。
已知开关闭合前, 电路无储能 。
2.1 电路暂态的基本概念及换路定则
［ 解 ］ 因为换路前电路无储能, 所以 uC(0-)=0,
iL(0-)=0。 作出 t=0+时的等效电路如图 （ b） 所示,
因为 uC(0+)=uC(0-)=0,所以电容可看成短路；因
iL(0+)=iL(0-)=0,所以电感可看成开路 。
用直流电阻电路分析方法计算得,
21
2
2
3
21
2
)0()0(
0)0(,0)0(,)0(
RR
RU
uu
ui
RR
U
i
s
RL
CR
s
R
?
??
??
?
?
??
???
2.2 RC电路的暂态分析
2.2.1 RC电路的放电
如图是 RC串联电路，开关 S原在,1”位置,
电
路处于稳定状态，电容器充电，在 t=0时,将开关
S打到,2”位置，使 RC电路脱离电源，由于电容
原
来已储存能量，于是电容元件开始经过电阻 R放电
放电电流的参考方向如图 （ b） 所示。
2.2 RC电路的暂态分析
2.2 RC电路的暂态分析
根据图 （ b）, 在所选各量的参考方向下, 由
KVL得
-uR+uC=0 （ 2-1）
将元件的电压电流关系 uR=Ri,i=-C (负号表示
电容的电压和电流为非关联参考方向 )代入上式,得
（ 2-2）
)0(0 ??? tudtduRC CC
2.2 RC电路的暂态分析
解此 RC电路的微分方程, 得到电容电压随时
间的变化规律 。 用一阶常系数线性齐次常微分方
程求解方法和初始条件解得它的通解为,
uC=AePt
将其代入式 （ 2-2）, 得特征方程
RCp+1=0
解得特征根
2.2 RC电路的暂态分析
所以
（ 2-3）
RC
p
1
??
)0( ??
?
tAeu RC
t
C
2.2 RC电路的暂态分析
式中的常数 A由电路的初始条件确定 。 由换路
定律得
uC(0+)=uC(0-)=U0
即 t=0+时 uC=U0,将其代入式 （ 2-3）
得 A=U0。 最后得电容两端的电压,
（ t≥0）（ 2-4）
RC
C eUu
1
0
?
?
2.2 RC电路的暂态分析
它是一个随时间衰减的指数函数, uC随时间
变化的曲线如图 5-3所示, 在 t=0时 uC=u0,没有
跃变 。 uC求得后, 可得电路中的电流
(t>0) (5-6) RCtC e
R
U
dt
duCi ???? 0
2.2 RC电路的暂态分析
uC变化曲线
0, 3 6 8 U
0
t
u
C
/ V
0, 0 1 8 3 U
0
O ?
U
0
2 ? 3 ? 4 ?
2.2 RC电路的暂态分析
图 2-2 i变化曲线
tO
i / A
R
U
0
2.2 RC电路的暂态分析
它也是一个随时间衰减的指数函数,波形如图
2-2所示,在 t=0时,电流由零跃变为 U0/R,发生
了跃变,这正是由电容电压不能跃变所决定的。
2.2 RC电路的暂态分析
在式 （ 2-4）, （ 2-5） 中,令
（ t≥0） （ 2-6）
(t>0) （ 2-7） ?
?
?
t
t
C
e
R
U
i
eUu
RC
?
?
?
?
?
0
0
2.2 RC电路的暂态分析
e的指数项 （ -t/τ） 必然是一个无量纲的数, 因
此 R和 C的乘积具有时间的量纲, 与电路初始情况
无关, 所以把 τ=RC叫做 RC电路的时间常数 。
当 C用法拉, R用欧姆为单位时, 有,
? ? ? ? s
V
As
V
CFRC ??????? ????
2.2 RC电路的暂态分析
电容电压及电流随时间变化的规律
2.2 RC电路的暂态分析
下面以式 （ 2-6） 为例来说明时间常数 τ的意
义 。 开始放电时, uC=u0,经过一个 τ的时间,
uC衰减为,
uC(τ)=U0e-1=0.368U0
2.2 RC电路的暂态分析
时间常数就是按指数规律衰减的量衰减到它
的初始值的 36.8%时所需的时间。 可以证明,若
以 τ和 τ的倍数标注时间轴,那么,uC和 i的指数
曲线上任意点的次切距长度都等于时间常数 τ,即
以任意点的切线匀速衰减到零所需要的时间为 τ。
当 t=4τ时,uC(4τ)=U0e-4=0.0183U0,
电压已下降到初始值 U0的 1.83%,可认为电压
已基本衰减到零。
2.2 RC电路的暂态分析
工程上一般认为,换路后,时间经过 3τ～ 5τ,
过渡过程就结束。 由此可看出,电压,电流衰减
的快慢取决于时间常数 τ的大小,时间常数越大,
衰减越慢,过渡过程越长； 反之,时间常数越小,
衰减越快,过渡过程越短。 RC电路的零输入响
应
是由电容的初始电压 U0和时间常数 τ= R C 所确定
的。
2.2 RC电路的暂态分析
［ 例 ］ 电路如图 2-3所示, 开关 S闭合前电路已
处于稳态 。 t=0时将开关闭合, 试求 t>0时的电压
uC和电流 iC,i1及 i2。
2.2 RC电路的暂态分析
【 解 】,
在 t>0时,左边电路被短路,对右边电路不起作用,
这时电容经电阻 1 Ω和 2 Ω两支路放电,等效电阻为,
故时间常数为,
02321
6)0()0( UVuu
CC ?????? ??
?3221 21 ????R
66 102103
3
2 ?? ?????? RC?
2.2 RC电路的暂态分析
由式 （ 2-6） 和 （ 2-7） 得
Aeiii
Ae
u
i
Aeee
R
U
i
VeeeUu
t
C
tC
t
tt
C
t
tt
C
5
5
5
6
5
6
105
21
105
2
105
1020
105
102
0
2
2
3
3/2
2
22
??
??
??
?
??
??
?
??
????
??
??????
???
?
?
?
?
2.2 RC电路的暂态分析
2.2.2 RC电路的充电
下图是一 RC串联电路。电容 C中初始储能为零,
在 t=0时刻，将开关 S合上，电容器开始充电。
2.2 RC电路的暂态分析
由 KVL有 （ 2-8）
将各元件的伏安关系 uR=i R和 代入
式 (2-8) 得
(τ=RC)
(2-9)
sCR Uuu ??
sC
C Uu
dt
duRC ??
?
t
C
sC
CCC
Aeu
Uu
uuu
?
?
?
??
"
'
"' (2-10)
(2-11)
(2-12)
dt
duCi C?
2.2 RC电路的暂态分析
将式 （ 2-11）, （ 2-12） 代入式 （ 2-10）,得
于是
Us为电容充电电压的最大值,称为稳态分量。
?
t
sCCC AeUuuu
????? "'
0)0()0( ?? ?? CC uu
s
sss
UA
AUAeUAeU
??
??????
? 0
0
0 ?
?
t
ssC eUUu
???
2.2 RC电路的暂态分析
是随时间按指数规律衰减的分量，
称为暂态分量。
?
t
seU
?
)1( ?
t
sC eUu
???
??
tt
sRC
s
RC
t
ss
C
eIe
R
U
eU
RC
C
eUU
dt
d
C
dt
du
Ci
???
?
???
?
?
?
?
?
???
???
0
1
)(
1
)(
??
t
s
t
s
R eUReR
U
iRu
??
???
2.2 RC电路的暂态分析
0
u
R
t
U
s
u
R
i
U
s
R
0
u
C
t
U
s
( a )
( b )
i
2.2 RC电路的暂态分析
【 例 】 如图 (a） 所示电路,已知 Us=220V,
R=200Ω,C=1μF,电容事先未充电,在 t=0时合上
开关 S
（ 1） 时间常数 ;
（ 2） 最大充电电流 ;
（ 3） uC,uR和 i的表达式 ;
（ 4） 作 uC,uR和 i随时间的变化曲线 ;
（ 5） 开关合上后 1ms时的 uC,uR和 i的值 。
2.2 RC电路的暂态分析
【 解 】 ⑴ 时间常数
⑵ 最大充电电流
⑶ uC,uR,I 的表达式为
ssRC ?? 200102101200 46 ??????? ??
ARUi s 1.1200220m a x ???
Aeee
R
U
i
VeeUu
VeeeUu
t
tt
s
t
t
sR
t
tt
sC
3
3
3
4
105
105
105102
1.1
2 0 0
2 2 0
2 2 0
)1(2 0 0)1(2 0 0)1(
??
??
??
?
???
??
???
??
??????
?
??
?
?
2.2 RC电路的暂态分析
（ 4） 画出 uC,uR,i的曲线如图 （ b）所示。
2.2 RC电路的暂态分析
（ 5） 当 时
smst 3101 ???
Aei
Veu
Veeu
R
C
0 0 7 7.00 0 7.01.11.1
5.10 0 7.02 2 02 2 0
5.2 1 8)0 0 7.01(2 2 0)1(2 2 0)1(2 2 0
33
33
33
10105
10105
510105
????
????
???????
?
?
?
???
???
????
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
稳态值,初始值 和 时间常数,我们称这三个量
为一阶电路的 三要素,由三要素可以直接写出一阶
电路过渡过程的解。 此方法叫 三要素法 。
设 f（ 0+） 表示电压或电流的初始值,f（ ∞）
表示电压或电流的新稳态值,τ表示电路的时间常
数,f（ t） 表示要求解的电压或电流。这样,电路的
表达式为,
?
t
effftf ?? ????? )]()0([)()( （ 2-13）
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
三要素法解题的一般 步骤,
(1) 画出换路前 （ t = 0-） 的等效电路。求出电
容电压 uC（ 0-） 或电感电流 iL (0-)。
(2) 根据换路定律 uC(0+)=uC (0-),iL(0+)=iL (0-
),
画出换路瞬间 （ t = 0+） 时的等效电路,求出电流
或电压的初始值 i(0+)或 u(0+),即 f(0+)
(3) 画出 t=∞时的稳态等效电路 （ 稳态时电容
相当于开路,电感相当于短路）,求出稳态下电流
或电压的稳态值 i(∞)或 u(∞),即 f(∞)
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
(4) 求出电路的时间常数 τ。 τ=RC或 L/R,其
中 R值是换路后断开储能元件 C或 L,由储能元件两
端看进去,用戴维南或诺顿等效电路求得的等效内
阻。
(5) 根据所求得的三要素,代入式 （ 2-13）即
可得电流或电压的动态过程表达式。
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
【 例 】 如图 （ a） 所示电路,
已 R1=100Ω,R2=400Ω,C=125μF,Us=200V,在换路前
电容有电压 uC(0-)=50V。求 S闭合后电容电压和电流的变
化规律。
【 解 】, 用三要素法求解,
(1) 画 t=0- 时的等效电路，如图 (b)所示。由题意已
知 uC(0-)=50V。
(2) 画 t =0+时的等效电路,如图 (c)所示。由换路定律
可得 uC(0+)= uC(0-)=50V
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
(3) 画 t=∞时的等效电路,如图 (d)所示。
(4) 求电路时间常数 τ
VRRR Uu sC 1 6 04 0 04 0 01 0 02 0 0)( 2
21
???????
sCR
RR
RR
R
01.01012580
80
400100
400100
6
0
21
21
0
?????
??
?
?
?
?
?
??
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
(5) 由公式 (2-13)得,
Vee
euuutu
t
t
t
CCCC
10001.0 110160)16050(160
)]()0([)()(
?
?
?
?
?????
????? ?
Aedt tduCti tCC 1 0 0375.1)()( ???
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
2.3一阶线性电路暂态分析的三要素法
2.4 RC暂态电路的应用
2.4.1 微分电路
2.4 RC暂态电路的应用
组成微分电路的 条件,
⑴ 取电阻两端的电压为输出电压；
⑵ 电容器充放电的时间常数远远小于矩形
脉冲宽度。
2.4 RC暂态电路的应用
微分电路的输入电压和输出电压波形
2.4 RC暂态电路的应用
2.4.2 积分电路
积分电路与微分电路正好相反，组成积分电
路的条件,
⑴取电容器两端的电压为输出电压；
⑵电路的时间常数远远大于矩形脉冲宽度。
2.4 RC暂态电路的应用
积分电路
2.4 RC暂态电路的应用
积分电路的输入电压和输出电压波形
2.5 RL电路的暂态分析
2.5.1 RL电路的短接
下图所示电路是一 RL串联电路，开关原断开,
电感中有电流。在 t=0时刻，将开关合上，使电路
脱离电源，电路被短接。
2.5 RL电路的暂态分析
在前面我们对 RC电路的过渡过程进行了详细
的分析,对 RL电路暂态过程的分析与 R C 电路类
似, 这里讨论的是含有一个电感元件的 RL电路,
描述电路的微分方程是一阶微分方程 。 我们已知
道,当电感电压为有限值时, 电感电流不能跃变,
假如在 t＝ 0时换路, 则 iL(0+) = iL(0-),即电感电
流的初始值由换路定律求得, 其他电压或电流的
初始值由 0＋ 等效电路求出 。
2.5 RL电路的暂态分析
在 0＋ 等效电路中,电感元件用电流为 iL(0+)
的电流源替代。 求 t＝ ∞时的稳态值时,电感相当
于短路。
RL电路的时间常数 τ＝ L/R,R为从电感元
件两端看进去无源二端网络的等效电阻。
2.5 RL电路的暂态分析
【 例 2.5.1】 电路如图 (a)所示,换路前电路已处
于稳态，开关 S在 t＝ 0时闭合，求 t ≥ 0 时的 i(t),
uL(t),uR(t)并画出曲线。
2.5 RL电路的暂态分析
［ 解 ］ 换路前电路已处于稳态, 电感相当于短路,
由换路定律得电感电流初始值
列换路后的电路方程。 在所选各量参考方向下,
由 KVL得
uL+uR=0
0
1
)0()0( I
RR
U
ii sLL ?
?
?? ??
2.5 RL电路的暂态分析
将元件的电压电流关系, uR=Ri代入
上式得
（ t＞ 0）
（ t＞ 0）
dt
diLu
L ?
0
0
??
??
i
dt
di
R
L
Ri
dt
di
2.5 RL电路的暂态分析
它是一阶常系数线性齐次常微分方程, 求解微
分方程即可得出电流的变化规律, 在这里我们不
再赘述 。 采用与 RC电路零输入响应的微分方程
0?? CC u
dt
duRC
2.5 RL电路的暂态分析
对照的办法, 其解可直接写出 。 得 RL电路中
的
电 流为,
(t≥0)
t
L
Rt
eIeiti
??
? ?? 0)0()(
?
2.5 RL电路的暂态分析
电感电压及电阻电压为,
(t＞ 0)
(t＞ 0)
i(t),uL(t),uR(t)随时间变化的曲线如图 (b)所示,
t
L
R
R
t
L
R
L
eRIRiu
eRI
dt
di
Ltu
?
?
??
???
0
0
)(
2.5 RL电路的暂态分析
RL电路的时间常数 τ＝ L/R,单位是秒 （ s）,
RL电路的短接也是以初始值开始按指数规律衰减
的,衰减的快慢决定于时间常数的大小。 τ越小,
衰减越快。 在这一过程中,电感中原先储存的磁
场能量逐渐被电阻消耗,转化为热能。
RL电路的暂态分析也可直接按三要素法写出。
2.5 RL电路的暂态分析
【 例 2.5.2】 电路如图 （ a） 所示,开关动作
前电路已处于稳态,在 t＝ 0时开关闭合,试求
iL,uL,i并画出其波形。
2.5 RL电路的暂态分析
［ 解 ］ 用三要素法 。
（ 1） 求初始值 。 根据对换路前电路的分
析及换路定律, 有,
Aii LL
3
5
42
10)0()0( ?
?
?? ??
2.5 RL电路的暂态分析
画出 0＋ 等效电路如图 （ b） 所示,可得
V
ii
iiiu
Ai
Ui
L
LLL
s
9
20
)
3
5
2
9
25
(4
)]0(2)0([4
)0(4)]0()0([4)0(
9
25
63
54
6
10
)0(
3
5
4)42()0(
?????
??
???
?
?
?
??
?????
??
????
?
?
2.5 RL电路的暂态分析
（ 2） 求稳态值。 在稳态时电感相当于短路,
所以,
0)(
4
5
)(
2
1
)(
2
5
4
10
44
44
2
)(
??
????
??
?
?
?
??
L
L
i
Aii
A
Us
i
2.5 RL电路的暂态分析
（ 3） 求时间常数 。 换路后的电路除电感外
的等效电阻为,
s
R
L
R
8
3
3
16
2
3
16
42
42
4
???
?
?
?
??
?
?
2.5 RL电路的暂态分析
（ 4） 写出各方程如下,
Vetu
Aeeti
Aee
eiiiti
t
L
tt
tt
t
LLLL
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
9
20
)(
18
5
2
5
)
2
5
9
25
(
2
5
)(
12
5
4
5
)
4
5
3
5
(
4
5
)]()0([)()(
?
??
??
?
?
??
?????
?????
?????
?
2.5 RL电路的暂态分析
（ 5） iL,i和 uL的波形
2.5 RL电路的暂态分析
2.5.2 RL电路接通直流电源
下图是 RL串联电路，在开关 S合上前，线圈中未
储存能量，在 t = 0时，开关 S合上，即与一直流电
源接通。
2.5 RL电路的暂态分析
由 KVL有, uR+uL=Us
根据元件的伏安关系得
即
s
L
L Udt
diLRi ??
R
Ui
dt
di
R
L s
L
L ??
?
t
s
L AeR
Ui ??? ( 2-14 )
2.5 RL电路的暂态分析
即
将 A=-Us/R 代入式 (2-14),得
0)0( ????? ?? ARUAeRUi s
t
s
L
?
R
UA s??
)1(
t-
??
t
ss
L eIeR
U
R
Ui ?????
式
中,I=Us/R
2.5 RL电路的暂态分析
求得电感和电阻上的电压为,
)1()1(
1
)]1([
??
???
?
?
tt
ttt
eUeRIRiu
eUe
R
U
L
R
LIeL
eI
dt
d
L
dt
di
Lu
sLR
s
s
t
L
L
??
???
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
2.5 RL电路的暂态分析
2.5 RL电路的暂态分析
【 例 2.5.3 】 下图所示电路为一直流发电机电路
简图,已知励磁电阻 R=20Ω,励磁电感 L=20H,外
加电压为 Us=200V,
（ 1）当 S闭合后,励磁电流的变化规律和达到
稳态值所需的时间 ;
(2) 如果将电源电压提高到 250V,求励磁电流
达到额定值的时间。
2.5 RL电路的暂态分析
2.5 RL电路的暂态分析
【 解 】 （ 1） 由 RL串联电路的分析知,
式中 Us=200 V,R=20 Ω,τ=L/R=20/20=1s,所以
)1( ?
t
s
L eR
Ui ???
Aeei t
t
L )1(10)1(20
2 0 0 ?? ???? ?
2.5 RL电路的暂态分析
一般认为当 t=（ 3～ 5） τ时过渡过程基本结束,
取 t=5τ,则合上开关 S后,电流达到稳态所需的时
间为 5秒 。
2.5 RL电路的暂态分析
（ 2） 由上述计算知使励磁电流达到稳态需要 5
秒钟时间
st
e
eeti
t
t
t
6.1
)1(5.1210
)1(5.12)1(
20
2 5 0
)(
?
??
????
?
?
?
?
2.5 RL电路的暂态分析
