第 3章
正弦交流电路
第三章 正弦交流电路
§ 3.1 正弦电压与正弦电流
§ 3.2 正弦量的表示法
§ 3.3 单一参数的交流电路
§ 3.4 R,L,C串联交流电路
§ 3.5 复阻抗的串联、并联及混联
§ 3.6 功率因数的提高
§ 3.7 三相电源
§ 3.8 三相电路的分析与计算
如果电流或电压每经过一定时间 （ T ） 就
重复变化一次，则此种电流,电压称为周期
性交流电流或电压 。如正弦波、方波、三角
波、锯齿波 等。 记做,u(t) = u(t + T )
§ 3.1 正弦电压与正弦电流
T
u
t
u
T
t
3.1.1交流电的概念
如果在电路中电动势的大小与方向均随
时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电
压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为
正弦交流电路 。
正弦交流电的优越性,
便于传输；
便于运算；
有利于电器设备的运行；
,,,,,
3.1.2 正弦交流电路
正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向
假设。
交流电路进行计算时，首先也要规定物理量
的正方向，然后才能用数字表达式来描述 。
实际 方向和假设方向一致
实际方向和假设方向相反
t
i
3.1.3 正弦交流电的方向
i
u R
3.1.4 正弦量的三要素
? ??? ?? tIi m s i n
? t ?
i
mI
, 电流幅值 （最大值）
, 角频率（弧度 /秒）
, 初相角
mI
?
?
三要素,
? ??? ?? tIi m s i n
为正弦电流的最大值
mI
一、正弦量的三要素之一 —— 幅度
在工程应用中常用 有效值 表示幅度。 常用交流电
表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效
值。标准电压 220V，也是指供电电压的有效值。
最大值
电量名称必须大
写,下标加 m。
如,Um,Im
则有
??
T
ti
T
I
0
2 d1
（均方根）
可
得 2
mII ?当 时,
? ??? ?? tIi m s i n
tRi
T
d
0
2?
交流 直流
RTI 2?
热效应相当
电量必须大写
如,U,I
有效值 有
效
值
概
念
问题与讨论
电器 ~ 220V 最高耐压 =300V
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否
可用于 220V 的线路上?
?2
有效值 U = 220V
最大值 Um = 220V
= 311V
电源电压
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所
以不能用 。
二、正弦量的三要素之二 —— 角频率
i
t ?
T
描述变化周期的几种方法,
1,周期 T：变化一周所需的时间
单位：秒
T
f 1? f
T
π2π2 ???
3,角频率 ω：每秒变化的弧度
单位：弧度 /秒
2,频率 f：每秒变化的次数 单位：赫兹，
千赫兹,.,
* 电网频率,中国 50 Hz
美国,日本 60 Hz
小常识
* 有线通讯频率,300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率,30 kHz - 3× 104 MHz
? ??? ?? tIi s i n2
三、正弦量的 三要素之三 —— 初相位
,t = 0 时的相位，称为 初相位或初相角 。 ?
说明, 给出了观察正弦波的起点或参考点,?
常用于描述多个正弦波相互间的
关系。
i
?
t ?
）（ ?? ?t, 正弦波的相位角或相位。
? ? ? ? 1212 ??????? ?????? tt
两个 同频率 正弦量间的相位差 ( 初相差 )
? ?
? ?222
111
s i n
s i n
??
??
??
??
tIi
tIi
m
m
1?
2?
2i1i
? t
i
两种正弦信号的相位关系
同
相
位 1i
1?
2?
21 ?? ?
t
2i
021 ???? ???
滞后
2i1i2i
t
1?
相
位
滞
后
2?
1i
2i相
位
超
前
1i
1? 2?
021 ???? ???
超前
1i 2it
可以证明同频率正弦量运算后，频率不变 。
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu如,
结论,因角频率（ ?）不变，所以以下 讨论 同频
率正弦波 时,? 可不考虑，主要研究 幅度与初
相位的变化。
? ? ? ?
? ???
????
??
????
??
tU
tUtU
uuu
s i n2
s i n2 s i n2
2211
21
幅度、相位变化
频率不变
例
幅度,
A7 0 7.0
2
1
A 1 ??? II m
? ???? 301 0 0 0s i n ti
已知,
Hz159
π2
1000
π2
r a d / s 1000
???
?
?
?
f
频率,
?? 30 ?
初相位,
§ 3.2 正弦量的表示法
? 瞬时值表达式
? ???? 301 0 0 0s i n ti
? 相量
必须
小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法 。
? 波形图
i
t ?
3.2.1正弦波的表示方法,
重点
概念, 一个正弦量的瞬时值可以用一个旋
转的有向线段在纵轴上的投影值来表示 。
3.2.2 正弦量的相量表示法
矢量长度 =
mU
?
矢量与横轴夹角 = 初相位
ω 矢量以角速度 按逆时针方向旋转
? ??? ?? tUu m s i n
?
?
mU
t ?
ω
u
?
IU ??, 3,相量符号 包含幅度与相位信息 。
有效值
1,描述正弦量的有向线段称为相量 。若 其 幅度
用最大值表示,则用符号,
mm IU
??,
mU?
U?
最大值 相量的书写方式
2,在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用
符号,
IU ??,
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu
1U?
1?
2U?
2?
2U? 滞后于 1U?
1U?2U?
超前
滞后
？
正弦量的相量表示法举例
例 1,将 u1,u2 用相量表示。
相位,
幅度,相量大小
12 UU ?
12 ?? ?
设,
21 UUU
??? ??
U?
?
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu
同频率正弦量的
相量画在一起,
构成相量图 。
例 2,同频率 正弦量相加 -- 平行四边形法则
2?
2U?
1U?
1?
注意,
1,只有正弦量 才能用相量表示，非正弦量不可以
2,只有 同频率 的正弦量才能画在一张相量图
上，不同频率不行。
新问题 提出,
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入 相量的复数运算法 。
相量 复数表示法 复数运算
?? s i njco sj UUbaU ?????
相量的复数表示
a
b
U?
U
?
j
+1
将复数 U? 放到复平面上，可如下表示,
a
b
baU
1
22
t a n
?
?
??
?
j2
ee
s i n
2
ee
c o s
jj
jj
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?欧
拉
公
式
?
??
?
??
?
??
??
U
U
U
baU
j
e
)s i nj( c o s
j
?
代数式
指数式
极坐标形式
a
b
U?
U
?
?jej UbaU ???? ?
在第一象限
设 a,b为正实数
?jej UbaU ????? ?
在第二象限
?jej UbaU ????? ?
在第三象限
?
在第四象限
?jej UbaU ????
相量的复数运算
1,加, 减运算
222
111
j
j
baU
baU
??
??
?
?
设,
?j
2121
21
e
)(j)(
U
bbaa
UUU
?
????
?? ???
则,
2,乘 法 运算
2
1
j
22
j
11
e
e
?
?
UU
UU
?
?
?
?设,
)(j
21
21
21e ?? ????
??
UU
UUU ???
则,
设：任一相量 A?
则, ?? ? ?? 90jeA
A)j( ??
90° 旋转因子。 +j 逆时针
转 90°, -j 顺时针转 90°
说明,
3,除法 运算
2
1
j
22
j
11
e
e
?
?
UU
UU
?
?
?
?
设,
? ?21j
2
1
2
1 e ?? ??
U
U
U
U
?
?
则,
复数符号法应用举例
解,
A50j6.86301 0 030
2
4.1 4 1 ?????? ???I
V5.190j1106022060
2
1.311 ???????? ???U
例 1,已知瞬时值，求相量。
已知,
V
3
π
314s in1.311
A
6
π
314s in4.141
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
tu
ti 求,
i, u 的相量
A50j6.863010030
2
4.141 ?????? ???I
V5.1 9 0j1 1 0602 2 060
2
1.3 1 1 ???????? ???U
220
3π?
U?
I?
100
6π
求,
21 ii,
例 2,已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为,
Ae10I
A60100I
30j
2
1
??
? ?
?
???
A )306280s i n (210
A )606280s i n (2100
2
1
?
?
??
??
ti
ti
解,
62801000π2π2 ???? f? srad
波形图
瞬时值
相量图
复数
符号法
U?
I?
?? ????? UUbaU jej?
小结：正弦波的四种表示法
? ??? ?? tUu m s i n
T
mI
?
t ?
i
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如,
4j3 ???U?
4j3 ??U? )153s i n (25 ???? tu ?
4j3 ??U? )153s i n (25 ???? tu ?
)9126s i n (25 ???? tu ?
4j3 ???U? )9126s i n (25 ???? tu ?
符号说明
瞬时值 --- 小写 u,i
有效值 --- 大写 U,I
复数、相量 --- 大写 +,.”
U?
最大值 --- 大写 +下标
mU
正误判断
Utu ??? s i n1 0 0 ?
？
瞬时值 复数
正误判断
)15s i n (250e50 15j ?? ??? ? tU ?？
瞬时值 复数
?45
2
10
??I
已知,
)45s i n (10 ??? ti ?
正误判断
？
?? 45e10?
mI
？ 有效值
j45?
则,
已知,
)15(s i n102 ??? tu ?
10?U
正误判断
?? 15je10?U？
？ ?
?15?
则,
)50(s i n1 0 0 ??? ti ?
已知,
?? 50100 ??I
？
正误判断
最大值
21002 ?? II
m
3.3.1 纯电阻电路
u i R
根据 欧姆定律
iRu ?
tIt
R
U
R
u
i
tUu
??
?
s in2s in2
s in2
???
?
设
则
§ 3.3 单一参数的交流电路
tIt
R
U
R
u
i
tUu
??
?
s i n2s i n2
s i n2
???
?
1,频率相同 2,相位相同
3,有效值关系,
IRU ?
电阻电路中电流、电压的关系
4,相量关系, 设
?? 0?? UU
U?
I?
0 ?? ??
R
U
I
则
RIU ?? ?
或
电阻电路中的功率
)(s in2
)(s in2
tUu
tIi
?
?
?
?
RuiRiup /22 ????
u
i
R
1,瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积
小写
1,（耗能元件）
0?p
结论,
2,随时间变化
p
22 iu,
3,与 成比例
p
RuiRiup /22 ????
ω t u
i
p
ω t
?? ???
TT
tiu
T
tp
T
P
00
d
1
d
1
tUu
tIi
?
?
s i n2
s i n2
?
?
2,平均功率（有功功率） P,一个周期内的平均值
UIttUI
T
ttUI
T
T
T
?
?
???
?
0
0
2
d)2c o s1(
1
ds i n2
1
?
?
大写
IUP ??
u
i
R
3.3.2 电感电路
t
iLu
d
d? 基本 关系式,
i
u L
tIi ?si n2?设
)90s i n (2
)90s i n (2
c o s2
d
d
?
?
??
??
???
tU
tLI
tLI
t
i
Lu
?
??
??则
电感电路中电流、电压的关系
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 超前 i 90 ° ）
)90s i n (2
)90s i n (2
?
?
??
??
tU
tLIu
?
??tIi ?s i n2?
i
u
t?
?90
U?
I?
LI?
I
设,
3,有效值 LIU ??
感抗 （ Ω ） LX
L ??
定义,
)90s i n (2
)90s i n (2
?
?
??
??
tU
tLIu
?
??
LXIU ?
则,
电感电路
U?
I?
4,相量关系
)90s i n (2 ??? tUu ?
tIi ?s i n2?
?? 0?? II
设,
??? 9090 ???? LIUU ?
)j(e
9090
90j
L
XILIU
L
I
U
I
U
????
????
???
?
?
?
??
?
?
则,
? ?LXIU j?? ?
电感电路中复数形式的
欧姆定律
其中含有幅度和相位信息
U?
I?
Liu ??？
u,i 相位不一致 ！
U?
超前 ！
感抗（ XL =ωL ） 是频率的函数,表示电感电路中电
压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效 。
ω
XL
LL XIU ?
ω = 0 时
XL = 0
关于感抗的讨论
e
+
_ L
R
直流
E + _
R
电感电路中的功率
)90s i n (2
s i n2
???
?
tUu
tIi
?
?
tUI
ttUIuip
?
??
2s i n
c o ss i n2
?
???
1,瞬时功率 p
i
u L
储存
能量
p <0
释放
能量
+
p >0
p <0
可逆的
能量转换
过程
tUIuip ?2s i n???
u
i
u
i
u
i
u
i
i
u L
+
P
p >0 t?
u i
t?
电感电路中的功率
2,平均功率 P （有功功率）
0d)2(s i n
1
d
1
0
0
??
?
?
?
ttUI
T
tp
T
P
T
T
?
结论,纯电感不消耗能量,只和电源进行能量
交换（能量的吞吐）。
tUIuip ?2s i n???
电感电路中的功率
3,无功功率 Q
L
L X
UXIIUQ 22 ???
Q 的单位：乏、千乏 (var,kvar)
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用
以衡量电感电路中能量交换的规模。
tUIuip ?2s i n???
电感电路中的功率
基本关系式,
t
uCi
d
d?
设, tUu ?s i n2?
3.3.3 纯电容电路
u
i
C
)90s in (2
c o s2
d
d
?
???
??
tCU
tUC
t
u
Ci
??
??
则,
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 落后 i 90° ）
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
电容电路中电流、电压的关系
i u
t?
?90
I?
CU?
U?
U
3,有效值 或 CUI ??? I
C
U
?
1?
容抗 （ Ω）
C
X C
?
1?定义,
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
CXIU ?
则,
I
电容电路中电流、电压的关系
4,相量关系
设,
?? 0?? UU
??? 9090 ???? CUII ?
I?
U?
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
?
?
?
90
1
???
CI
U
?
则,
CXICIU
??? ? j901 ?????
?
电容电路中电流、电压的关系
? ?CXIU j?? ??
电容电路中复数形式的
欧姆定律
其中含有幅度和相位信息
U?
I? I?
领先 ！
E
+
- ω
C
X c
?
1?
e
+
-
关于容抗的讨论
直流
是频率的函数,表示电容
电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦
波有效 。
容抗
）（
C
X C
?
1?
ω＝ 0 时
??cX
电容电路中的功率
u
i
)90s in (2
s in2
?
??
?
tUu
tIi
?
?
tIUuip ?2s i n????
1,瞬时功率 p
tIUuip ?2s i n????
充电
p 放电 放电
P < 0
释放
能量
充电
P > 0
储存
能量
u
i
u
i
u
i
u
i
i u
ωt
电容电路中的功率
?
?
???
?
T
T
ttIU
T
tP
T
P
0
0
0d2s i n
1
d
1
?
2,平均功率 P
tIUuip ?2s i n????
电容电路中的功率
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
3,无功功率 Q
（电容性无功取负值）
UIQ ??
tUIp ?2s i n??
电容电路中的功率
已知,C ＝ 1μF
)
6
314s i n (27.70
?
?? tu
求,I, i
例
u
i
C
解,
????? ? 318010314 11 6CX C ?
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70
???
CX
U
I
求电容电路中的电流
mA)
3
3 1 4s i n (2.222
)
26
3 1 4s i n (2.222
?
??
???
????
t
ti
瞬时值 i 超前于 u 90°
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70 ???
CX
UI
U?
I?
6??
3?
1,单一参数电路中的基本关系
电路参数
LX L ?jj ?
dt
diLu ?
基本关系
复阻抗
L U?
I?
C
X C
?
1
jj ???
复阻抗
电路参数
dt
duCi ?
基本关系 C
U?
I?
电路参数 R 基本关系 iRu ?
复阻抗 R U?
I?
小 结
在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示,
电路参数用复数阻抗（ )
表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相
似。
IU ??、
CL XCXLRR jj ????,、
2,单一参数电路中复数形式的欧姆定律
电阻电路
RIU ?? ? )j(
LXIU ?? ?
电感电路
)j( CXIU ?? ??
电容电路
复数形式的欧姆定律
* 电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律,KVL
定律。
t
i
LiR
uuu
LR
d
d
??
??
3,简单正弦交流电路的关系 (以 R-L电路为例）
uL
i
uR u R
L
* 电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律,KVL
定律
U?
I?
LU?
RU?
? ?
)j
j
LLR
LLR
XRIUUU
XIURIU
????
??
（
、
????
????
R
L
I?
U?
RU?
LU?
在电阻电路中,
正误判断
R
u
i ?
？
R
U
i ?
R
U
I ?
？
？
瞬时值 有效值
?
?
在电感电路中,正误判断
？？
？
LX
u
i ?
L
ui
?
?
L
UI
?
?
LXI
U ?
?
?
Lj
I
U ??？？
?
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路
参数
电路图
（正方向）
复数
阻抗
电压、电流关系
瞬时值 有效值 相量图 相量式
功率
有功功率 无功功率
R
i
u
iRu?
R
设
则
tUu ?s in2?
tIi ?s in2?
IRU? RIU ?? ?
U?I?
u,i 同相
UI 0
L
i
u
dtdiLu?
C
i
u dtduCi?
L
XL
?j
j
?
C
C
XC
?
?
j
1
1j
j
?
??
?
设
则
tIi ?sin2?
)90s i n (
2
??
?
t
LIu
?
?
设
则
tUu ?s in2?
)90s i n (
12
??
?
t
C
Ui
?
?
LX
IXU
L
L???
CX
IXU
C
C
?1?
?
U?
I?
u领先 i 90°
U?
I?
u落后 i 90°
? ?LXIU j?? ?
? ?CXIU j?? ??
0
0
LXI
UI
2
CXI
UI
2?
?
基本
关系
§ 3.4 R,L,C串联交流电路
)90s i n ()
1
(2
)90s i n ()(2
s i n2
?
?
??
??
?
t
C
I
tLI
tIRu
?
?
??
?
tIi ?s i n2?若
则
CLR uuuu ???
3.4.1 电流、电压的关系
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
? ? ? ?
? ?? ?CL
CL
XXRI
XIXIRIU
???
????
j
jj
?
????
总电压与总电流
的关系式
CLR UUUU ???? ???
相量方程式,
则
? ?
? ?
CC
LL
R
XIU
XIU
RIU
j
j
??
?
?
??
??
??
相量模型
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
??? 0II?设 （参考相量）
R-L-C串联交流电路 ——电压、电流的关系
R-L-C串联交流电路 ——相量图
先画出参
考相量
CU?
U?
LU?
I?
? ?? ?CL XXRIU ??? j??
相量表达式,
RU?
CL UU ?? ?R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
电压
三角形
Z：复数阻抗
实部为阻
虚部为抗 容抗 感抗
? ?? ?CL XXRIU ??? j??
? ?CL XXRZ ??? j
令
则
ZIU ?? ?
3.4.2 R-L-C串联交流电路中的复数形式
欧姆定律
复数形式的
欧姆定律
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在正弦交流电路中，只要物理量用相量
表示,元件参数用复数阻抗表示，则电路
方程式的形式与直流电路相似。
是一个复数，但并不是正弦交流
量，上面 不能加点 。 Z 在方程式中
只是一个运算工具 。
Z
说明,
? ?CL XXRZ ??? j
?
ZIU ?? ?
?
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
R-L-C串联交流电路中的复数形式欧姆定律
3.4.3 关于复数阻抗 Z 的讨论
iu
i
u
I
U
Z
I
U
I
U
Z ???
?
?
?????
?
?
?? ?
?
ZIU ?? ?
由复数形式的欧姆定律 可得,
结论,Ｚ 的模为电路总电压和总电流有效值之比,
而 Ｚ 的幅角则为 总电压和总电流的相位差。
iu ??? ??I
UZ ?
1,Z 和总电流、总电压的关系
2,Z 和电路性质的关系
? ?CL XXRZZ ????? j?
一定时电
路性质由参
数决定
?
R
XX CL
iu
?
??? ? 1t a n???
当 时, 表示 u 领先 i －－ 电路呈感性
CL XX ? 0??
CL XX ? 0??
当 时,表示 u, i同相 －－ 电路呈电阻性
CL XX ? 0??
当 时, 表示 u 落后 i －－ 电路呈容性
阻抗角
关于复数阻抗 Z 的讨论
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
假设 R,L,C已定,
电路性质能否确定？
（阻性？感性？容性？）
不能！
当 ω不同时，可能出现,
XL > XC,或 XL < XC,或 XL =XC 。
C
XLX CL
?
? 1 ??,
?
关于复数阻抗 Z 的讨论
3,阻抗（ Z）三角形
阻抗
三角形
Z
?
R
CL XXX ??
R
XX
XXRZ
CL
CL
?
?
???
? 1
22
t a n
)(
?
?????? ZXXRZ CL )(j
关于复数阻抗 Z 的讨论
4,阻抗三角形和电压三角形的关系
电压三
角形 阻抗三 角形
相
似
? ?? ?CL
CLR
XXRI
UUUU
???
???
j?
????
? ?CL XXRZ ??? j
?
Z
R
CL XXX ??
CU?
?
RU?
U?
LU?
CL UU ?? ?
I?
关于复数阻抗 Z 的讨论
3.4.4 R,L,C 串联电路中的功率计算
CLR
pppiup ?????
1,瞬时功率
2,平均功率 P （有功功率）
RIIUP
tppp
T
tp
T
P
RR
T
CLR
T
2
0
0
d)(
1
d
1
???
???
?
?
?
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
总电压 总电流 u 与 i 的夹角
IUP R?
平均功率 P与总电压 U、总电流 I 间的关系,
RU?
U?
?
CL UU ?? ?
?cos
----- 功率因数
?c o sUU R ?
其中,
?c o sUIP ?
?
R,L,C 串联电路中的功率计算
在 R,L,C 串联的电路中,储能元件 R,L,C
虽然不消耗能量,但存在能量吞吐,吞吐的规模用
无功功率来表示。其大小为,
?s i nIU
IUU
IUIU
QQQ
CL
CL
CL
?
???
???
??
）（
）（
3,无功功率 Q,
RU?
U?
?
CL UU ?? ?
R,L,C 串联电路中的功率计算
4,视在功率 S,电路中总电压与总电流有效值的乘积。
UIS ? 单位：伏安、千伏安
?
P
Q
（有助记忆）
S
注,S＝ U I 可用来衡量发电机可能提供的最大
功率（额定电压 × 额定电流）
视在功率
UIS ?
5,功率三角形
?s inUIQ ?
无功功率
?c o sUIP ?
有功功率
R,L,C 串联电路中的功率计算
_
+
+ _
p
设 i 领先 u,（电容性电路）
?s inUI
?c o sUI
R,L,C 串联电路中的功率关系
t?
i u
RU?
U?
CL UU ?? ?
电压三角形
S
Q
P
功率三角形
CL XX ?
Z
R
?
阻抗三角形
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
R,L,C 串联电路中的三个三角形
含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全
补偿，使电路的功率因数等于 1，即,u,i 同相，
便称此电路处于谐振状态。
谐振
串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相
并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相
谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应
用非常广泛。
一、谐振概念,
3.4.5 R,L,C 串联谐振
一、串联谐振
? ?
? ?
R
XX
XXR
ZXXRZ
CL
CL
CL
?
????
?????
? 122
t a n
j ?
串联谐振的条件
CU?
R
L
C
U?
RU?
LU?
I?
串联谐振电路
IU ??, 同相
若令,
CL XX ?
?? 0?
则,
? 谐振
CL XX ?
串联谐振的条件是,
?
fCC
XfLLX CL
??
??
2
11 2 ????
谐振频率,
of
C
L
0
0
1
?
? ?
CL XX ?
LC
1
0 ??
LC
f
?2
1
0 ?
串联谐振的特点
? ? RXXRZZ CL ????? 22m i n
CL XX ?
?
?
0t a n 1 ??? ?
R
XX CL?U,I 同相
?
RXX CL ???
当 时
RIUXIUXIU CCLL 000 ??????
? 当电源电压一定时,
R
U
III ??? m a x0
UC, UL将大于
电源电压 U
注：串联谐振也被称为 电压谐振
当 时,
RXRX CL ??,
UUU CL ??
R
UI ?
0
谐振时,
U
R
X
X
R
U
XIU
U
R
X
X
R
U
XIU
C
CCC
L
LLL
???
???
0
0
LU?
CU?
I?
UU R ?? ?
CL XX ?
,
品质因素 —— Q 值
定义,电路处于串联谐振时，电感或电容上的
电压和总电压之比。
U
CR
U
R
X
U
U
R
L
U
R
X
U
C
C
L
L
0
0
1
?
?
??
??
谐振时,
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
?
?
????
?
在谐振状态下,若 R>XL,R>XC, Q 则体现了电
容或电感上电压比电源电压高出的倍数。
串联谐振特性曲线
0I
0f
2
0I
1f 2f f
I
R
UI ?
0
谐振电流
:0f
谐振频率
下限截止频率
上限截止频率
12
2
1
fff
f
f
??? 通频带
关于谐振曲线的讨论
(a) 不变,
0?
0I
变化。
(c) 不变,
f? 变化。
0?
0I
不变,
0?
0I
I
?
(b) 不变,
变化。
0?
0I
01? 02?
0I
I
? 0?
0I
I
?
分以下三种情况,
谐振曲线讨论（之一）
结论, R的变化引起 变化
R愈大 愈小（选择性差）
R愈小 愈大（选择性好）
0I
0I
0I
R小
R大
不变,
0?
0I
变化。
0I
0?
I
?
0I?
0?
（ 1） 不变
即 LC不变
LC
1
0 ??
R
UI ?
0
R改变
0I
改变
（ 2）
0I
分析,（ 1） 不变
即 U,R不变
R
UI ?
0
（ 2） 改变
0?
LC
1
0 ??
结论, LC 的变化引起 变化
L 变小或 C 变小 变大
L 变大或 C 变大 变小
0?
0?
0?
谐振曲线讨论（之二）
01? 02?
0I
I
?
不变,
变化。
0?
0I
谐振曲线讨论（之三）
结论, Q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐。
Q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦。
Q
f
L
R
f 0
2
???
?
分析,
0I
不变,不变
0? （ LC）,R 不变,
f? ? ?12 ?? ? 如何改变
或？
可以
证明,
可见 与 Q 相关。 f?
不变,
f? 变化。
0I
0?
不变,
0?
0I
I
?
2
0I
串联谐振时的阻抗特性
0?
R
?
感性
? ?0?? ?
? ? 22)(j CLCL XXRXXRZ ??????
Z
L?
C?1
容性
? ?0?? ?
串联谐振应用举例
收音机接收电路
1L
2L 3L
C
:1L
接收天线
2L
与 C,组成谐振电路
:3L
将选择的信号送
接收电路
1L
2L 3L
C
组成谐振电路,选出所需的电台。
C - 2L
321 eee,、
为来自 3个不同电台（不同频率）
的电动势信号；
C
2L
2LR
1e
2e
3e
已知,
??? 20 H2 5 0 22 LRL,?
k Hz8 2 01 ?f
C
2L
2LR
1e
2e
3e
解,
CL
f
2
1 2
1
?
?
? ? 222
1
Lf
C
?
?
? ? pF15010250108202
1
623
?
????
?
??
C
如果要收听 节目,C 应配多大？
1e
问题 （一）,
结论,当 C 调到 150 pF 时，可收听到 的节目。
1e
问题 （二）,
1e
信号在电路中产生的电流 有多
大？在 C 上 产生的电压是多少？
V101 μE ?
pF1501 ?C
H2 5 02 μL ?
?? 20 2LR
已知,
k Hz8 2 01 ?f
解答,
12902 1 ???? fLXX CL ??
A5.0
2
1 ???
R
EI V645C1 ??? CIXU
所希望的信号
被放大了 6４倍。
C
2L
2LR
1e
2e
3e
正误判断
因为交流物理量除有效值外还有相位。
? ?CLCLR XXIIRUUUU ??????？
?
CU?
RU?
U?
LU?
CL UU ?? ?
I?
CLR UUUU ???? ???
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在 R-L-C串联电路中
ZIU ??? ?
？
正误判断
而复数阻抗只是一个复数，不是时间的
函数。 Z 不能加, ?”
反映的是正弦电压或电流,
IU ??、
正误判断 在 Ｒ － Ｌ － Ｃ 正弦交流电路中
？
Z
U
I ? Z
u
i ?？
Z
U
I ?
？
Z
U
I
?
? ?？
Z
U
I
?
? ?？
?
?
正误判断
在 R-L-C 串联电路中，假设 ??? 0II?
？ 222
CLR UUUU ???
？ ? ?? ?
CL XXjRIU ???
??
?
？ ? ? 2
2
CL XXRIU ???
?
正误判断 在 R-L-C串联电路中，假设
??? 0II?
？
U
UU CL ?
? ? 1t a n?
？
R
CL ??
?
?
? ? 1t a n
？
R
XX CL ?
? ? 1t a n?
？
R
CL
U
UU ?
? ? 1t a n?
?
?
3.5.1 复阻抗的串联
§ 3.5 复阻抗的串联、并联及混联
)ZZ(IZIZIUUU 212121 ?????? ??????
ZIU ?? ?
根据等效电路可写出
I?
U?
Z
U?
1U?
2U?
I?
Z1
Z2
其等效复 阻抗为
21 ZZZ ??
注意：图中
21 UUU ??? ??
，但 U≠U1+U2,
所以
21 zzz ??
若有 n个复阻抗相串联，则它的等效复阻抗为
zXjRzz nnn ???? ???
∠
?
?
2
n
2
n )X()R(z ?? ??
式中
复阻抗的串联
例 如图,已知 Z1=5+j8,Z2=3+j4,电源电压
∠ 200V,试用相量法计算电路中的电流
和各复阻抗上的 电压,,并作相量图,
2 2 0U ?? I?
1U?
2U?
U?
1U?
2U?
I?
Z1
Z2
?解,Z=Z1+Z2= ?? ?
nn XjR
=(5+3)+j(8-4)=8.94∠ 26.60
)A(6.66.24I 0
6.2694.8
20220
Z
U
0
0 ?????
?
???
)8j5(6.66.24ZIU 011 ?????? ??
)v(4.512 3 2 0??
)V(7.59123
1.5356.66.24
)4J3(6.66.24ZI
0
00
0
2
???
??????
?????? ?
2U?
相量图如图所示
2U?
1U?
U?
I?
6.60 59.70
51.40 200
3.5.2 复阻抗的并联
)(UIII
2121 Z
1
Z
1
Z
U
Z
U
21 ??????
???? ??
Z1 Z2
2I?1
I?
I?
U?
U?
I?
Z
l
i 两个复阻抗的并联可用一个等效复阻抗 Z来
代替,.根据等效电路可列写出
Z
UI ?? ?
21
111
ZZZ ??必须指出,
21 III ??
由上面的分析可知,有 N个复阻抗并联,它的等
效复阻抗等于各个并联复阻抗的倒数之和,即
?? NZZ 11
21
111
ZZZ ??
例 如图,一线圈与电容并联,设线圈感抗比其电阻
大得多,即 ωL?R,试证明当电路中电压与电流
同相时,ω0≈,
解：电路的等效复阻抗为
LC
1
C R L
2I?
1I?
I?
U?
21
12
ZZ
ZZZ
?
??
Cj
Cj
LjR
LjR
?
?
?
?
1
1
)(
)(
??
??
?
LCRCj
LjR
21 ??
?
??
??
因为
RL ???
,上式可写成
LCRCj
LjZ
21 ??
?
???
)(
1
1
LL
RC Cj
?
? ??
?
当电路中电压与电流同相时,即等效复阻抗的
虚部为 0,所以
01 ?? LC ??
LC
1
0 ??
即
并联谐振的
谐振频率
3.5.3 复阻抗的混联
复阻抗的混联可与直流电路中电阻的混联一
样来分析，只不过交流电路中负载是复阻抗 Z,
电压、电流都用相量表示，并采用相量法分析。
例 求图中电流表 A0的读数及 XC，已知
U=10V,I1=1A
450
2I?
1I?
I?
U?
解,电路中已知电源电压和电容支路电流的
有效值，但不知道其相位，因此可设某一相量
为参考相量（通常复阻抗并联时设电压为参考
相量，复阻抗串联时设电流为参考相量），所
以在此电路中，设电压 V,则
0010 ??U?
)(452 055 0102 0
2
AI jZU ????? ????
Z1=-jXC为纯电容支路，所以
AI 01 901 ???
00
21 452901 ??????? III
???
)45s i n (2)45c o s (2 00 ????? jj
)(011 0 Ajj ?????
即电流表的读数为１Ａ,
)(10
1
??? IUCX 450
2I?
1I?
I?
U?
相量图如右图
3.6.1 问题的提出, 日常生活中很多负载为感
性的，其等效电路及相量关系如下图。
u
i
R
L
Ru
Lu
cos?
I 当 U,P 一定时,?
? 希望将 cos? 提高
§ 3.6 功率因数的提高
U?
I?
?
RU?
LU?
P = PR = UIcos?
其中消耗的有功功率为,
负
载
i
u
说明, 由负载性质决定。与电路的参数
和频率有关，与电路的电压、电流无关 。
?cos
功率因数 和电路参数的关系 ）（ ?c o s
R
XX CL ?
? a r c t a n?
R
?
CL XX ?
Z
例 40W白炽灯
1c o s ??
40W日光灯
5.0c o s ??
A3 6 4.0
5.02 2 0
40
c o s
?
?
??
?U
P
I
发电与供电
设备的容量
要求较大
供电局一般要求用户的,
否则受处罚。
85.0c o s ??
A182.0
220
40 ???
U
PI?c o sUIP ?
纯电阻电路
)0( ??1c o s ??
1c o s0 ?? ?R-L-C串联电路
)9090( ?????? ?
纯电感电路或
纯电容电路 0c o s ?? )90( ????
电动机 空载
满载
3.0~2.0c o s ??
9.0~7.0c o s ??
日光灯 （ R-L-
C串联电路） 6.0~5.0c o s ??
常用电路的功率因数
3.6.2 提高功率因数的原则,
必须保证原负载的工作状态不变。即：
加至负载上的电压和负载的有功功率不变 。
3.6.3提高功率因数的措施,
u
i
R
L
Ru
Lu
并联电容
C
?
RLI?
CI?
I?
L?
3.6.4并联电容值的计算
u
i
R
L
Ru
Lu
C
设原电路的功率因数为 cos? L，要求补偿到
cos? 须并联多大电容？（设 U,P 为已知）
U?
分析依据：补偿前后 P,U 不变 。
由相量图可知,
?? s i ns i n III LRLC ??
LRLUIP ?c o s??
?c o sUIP ?
CUXUI
CC
???
?
?
?
?
? s i n
c o s
s i n
c o s U
P
U
PCU
L
L
???
?
RLI?
CI?
I?
L?
U?
)ta n( t a n2 ??
?
?? L
U
P
C
?
?
?
?
? s in
c o s
s in
c o s U
P
U
P
CU L
L
??
i
u
R
L
Ru
Lu
C
呈电容性。
1c o s ??
I?
U?
RLI?
CI?
呈电感性
1c o s ??
0??
U?
I?
CI?
RLI?
0??
CI?
U?
I?
?
RLI?
问题与讨论
功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿
成以下三种情况,
功率因素补偿问题（一）
1c o s ??
呈电阻性
0??
功率因素补偿问题（二）
并联电容补偿后，总电路的有功功率是否改变？
问题与讨论
R
LjXCjX?
U?
I?
LI1?
2I?
定性说明：电路中电阻没有变，所以消耗的功率
也不变。
I?
RLI?
<
L??
<
通过计算可知总功率不变。
?c o sUIP ? ?cos I, 其中
?
RLI?
CI?
I?
L?
U?
功率因素补偿问题（三）
提高功率因数除并电容外，用其他方法行不行？
补偿后
R
U?
I?
RLU?L
I?
UU RL ?? ?
I?
RLU?
CU?
U?
0??
串电容
行否 补偿前
R
U?
I?
RLU?L
C
问题与讨论
?
结论,在 角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容
容量更大，经济上不合算,所以一般工作在欠补偿状态 。
?
感性（ 较小）
CI?
容性（ 较大）
CI'?
C 较大
功率因数补偿成感性好，还是容性好？
一般情况下很难做到完全补偿 （即,）
1c o s ??
过
补
偿
欠
补
偿
?
RLI?
U?
I?
CI?
?
U?
I?
CI'?
RLI?
?
UU RL ?
串电容功率因数可以提高，甚至可以补偿到 1,但
不可以这样做！
原因是：在外加电压不变的情况下,负载得不到所
需的额定工作电压。
同样，电路中串、并电感或电阻也不能用于功率因
数的提高。其请自行分析。
CU?
I?
RLU?
U?
R
U?
I?
RLU?L
C
CU?
3.7.1 三相电动势的产生
让线圈以 ? 的速度顺时
针旋转。
根据右手定则可知，线
圈中产生感应电动势,
其方向由 A?X。
N
S
A X
? e
合理设计磁极形状，使磁通按正弦规律分布，
线圈两端便可得到 单相 交流电动势。
tEe AX ?s i n2?
§ 3.7 三相电源
在两磁极中间，放一个线圈。
一、三相交流电动势的产生
?
? ?
A
X
Y
C B
Z S
N
定子
转子
?
定子中放三个线圈,
A ? X
B ? Y
C ? Z
首端 末端
三线圈空间位置
各差 120o
转子装有磁极并以
? 的速度旋转。三个
线圈中便产生三个单相电动势。
二、三相电动势的表示式
三相电动势的特征,
大小相等，频率相同，相位互差 120o。
? ?
? ????
???
?
240s in
120s in
s in
tEe
tEe
tEe
mZC
mYB
mXA
?
?
?
)120s i n ( ??? tE m ?
1,三角函数式
AE?
BE?
CE?
2,相量表示式及相互关系
0??? CBA EEE ???
???
????
???
120
120
0
EE
EE
EE
C
B
A
?
?
?
Em
BeAe Ce
3.7.2 三相交流电源的连接
一、星形接法
Ae
Ce
Be
A
X
Y
C
B
Z N
1,连接方式
Ce
（中线）
（火线）
（火线）
（火线）
ce
Be
A
X
Y
C
B
Z N
Ae
三相四线
制供电
火线（相线）,
A
B
C
中线（零线）,N
2,三相电源 星形接法的两组电压
CCN
BBN
AAN
eu
eu
eu
?
?
?
相电压, 火线对零线间的电压。
?
?
?
???
???
??
2 4 0
1 2 0
0
PCN
PBN
PAN
UU
UU
UU
?
?
?
Ce
ce
Be
A
C
B
N
Ae
120?
120?
120?
ANU?
BNU?
CNU?
ANu
BNu
CNu
线电压, 火线间的电压。
ANCNCA
CNBNBC
BNANAB
UUU
UUU
UUU
???
???
???
??
??
??
ABu
BCu CAu
CA
BC
AB
u
u
u
C
A
B
N
注意规定的
正方向
BNU??
ABU?
线电压和相电压的关系,
BNU?
ANU?
CNU?
30?
? ?BNAN
BNANAB
UU
UUU
??
???
???
??
??? 303
ANAB UU ??
?
?
????
????
30 3
30 3
CNANCNCA
BNCNBNBC
UUUU
UUUU
????
????
同 理,
????? 303
ANBNANAB UUUU ????
BNU?
ANU?
CNU?
ABU?
BCU?
CAU?
线电压与相电压的通用关系表达式,
??? 30 3
pl UU
??
lU
?
pU?
---为相电压
---为线电压
在日常生活与工农业生产中，多数用户的电压等级为
V3 8 0 V2 2 0 ?? lP UU,
CZCA
BYBC
AXAB
UU
UU
UU
??
??
??
?
?
?
pl UU ?? ?
二、三角接法
A ?
CAu
A
X
Y
C
B
Z
ABu
BCu
B C ? ?
特点,线电压 =相电压
短路
+
– E
三个电源串接
能否造成短路？
直流电源行吗？
A ?
Ae
Ce
Be
X
Y
Z
B C ? ?
问题讨论
?
? ?
+
+
+ -
-
- E
E
E
直流电源串接不行,
三相交流电源可以,
为什么？
A ?
Ae
Ce
Be
X
Y
Z
B C ? ?
Em
Ae Be Ce
三相交流电源中三个
电源可以串接的原因
在于,
三个电源的电压任
何瞬间相加均为零。
星形接法
A
C
B
N
Z
Z Z
§ 3.8 三相电路的分析与计算
三角形接法
A
C
B
Z Z
Z ? ?
?
负载也有两种接法,
3.8.1 三相负载的 星形联接和三角形联接
A
C
B
N
Z
Z
Z
ANu
BNu
CNu
Ai
Ci
Bi
ANi
CNi
BNi
相电流 (负载上的电流 ),
CNBNAN III
???,、
一,星形接法及计算
线电流 (火线上的电流 ),
CBA III
???,、
lp II
?? ?
CNC
BNB
ANA
II
II
II
??
??
??
?
?
?
A
C
B
N
Z
Z
Z
Ni
Ai
Ci
Bi
ANi
CNi
BNi
（一）、星形接法特点
相电流 =线电流 *
CNBNANN IIII ???? ???
NI?
,零线电流
* 线电压 =相电压 ? 3,线电压领先于相电压 30° 。
BNU?
ANU?
CNU?
ABU?
BCU?
CAU?
A
C
B
N
Z
Z
Z
ANU?
ABU?
CNU?
BNU?
CAU?
BCU?
?
?
??
??
30 3
30 3
CNCA
BNBC
UU
UU
??
??
??? 303
ANAB UU ??
Bi
Ai
A
C
B
N
ZA
ZB
ZC
Ni
Ci
ANi
CNi
BNi
Ce
ce
Be
Ae
（二）、负载星形接法时的一般计算方法
解题思路,
一般线电压 为已知，然后根据电压和负载求
电流。 lu
Z
U
IIuuuu pplpLppl
?
?? ??????
1,负载不对称时，各相单独计算。如,
已知,
三相负载 R,L,C
以及 三相线电压,
?
?
?
??
???
??
1 2 0
1 2 0
0
lCA
lBC
lAB
UU
UU
UU
?
?
?
求：各相、各线及中线电流
CI?
C
R
A
B
N
L
C
AI?
NI?
BI?
ANI?
BNI?
CNI?
解,(1)
CI?
C
R
A
B
N
L C
AI?
NI?
BI?
ANI?
BNI?
CNI?
???
????
???
1 2 0
1 2 0
0
lCA
lBC
lAB
UU
UU
UU
?
?
?
???????
????????
????????
90
3
1
30
3
1
150
3
1
30
3
1
30
3
1
30
3
1
lCACN
lBCBN
lABAN
UUU
UUU
UUU
??
??
??
相
电
压
线
电
压
CI?
C
R
A
B
N
L C
AI?
NI?
BI?
ANI?
BNI?
CNI?
lp UU 3
1
?
令,
则相电压为,
??????
????????
????????
9090
3
1
150150
3
1
3030
3
1
PlCN
PlBN
PlAN
UUU
UUU
UUU
?
?
?
(2) 相电流
CI?
C
R
A
B
N
L
C
AI?
NI?
BI?
ANI?
BNI?
CNI?
????? 30
R
U
R
UI PAN
AN
??
?
?
??
?
?
?
?
? 180
11
j
90
1
j
C
U
C
U
C
U
I
PPCN
CN
???
?
?
???????? 240
j
150
j L
U
L
U
L
UI PPBN
BN ???
??
?
CAU?
ABU?
BCU?
(3) 中线电流
CBAN IIII ???? ???
NI?
CNU?
ANU?
BNU?
BNI?
CNI?
ANI?
(4) 各电流相量关系
?
?
?
??
???
???
180
240
30
C
P
CN
L
P
BN
P
AN
X
U
I
X
U
I
R
U
I
?
?
?
AI?
BI?
CI?
2,负载对称时，只需计算一相。
????? ZZZZ CBA
如,
A
AN
AN IZ
U
I ?
?
? ??
则,
?
?
????
????
240
120
ANCCN
ANBBN
III
III
???
???
据此可直接得出另两相电流,
0???? CBAO IIII ????
（中线电流为 0）
CNU?
ANU?
BNU?
3,负载对称，只要求电流、电压大小时，仅算一相
有效值即可。
?
0???? CBAN IIII ????
)( ZZZZ CBA ???
负载对称时 问题及讨论
零线是否
可以取消？
答：三相完全对称时，零线可以取消。称为
三相三线制。
ce
A
C
B
Z
Z Z
Ce
Be
Ae
讨论 照明电路能否采用三相三线制
供电方式？
A
C
B
..,一层楼
二层楼
三层楼
N
不加零线
会不会出
现问题?
设线电压为 380V。
A相断开后,B,C 两相
串连，电压 UBC （ 380V）
加在 B,C负载上。如果
两相负载对称，则每相负
载上的电压为 190V。
问题 1,若一楼全部断开，二、三楼仍然接通,
情况如何?
A
C
B
..,一层楼
二层楼
三层楼
分析,
结果二、三楼电灯全部变暗，不能正常工作。
问题 2,若一楼断开，二、三楼接通。但两层楼
灯的数量不等（设二楼灯的数量为三层的
1/4 ）结果如何？
结果：二楼灯泡上的电压超过额定电压,
灯泡被烧毁；三楼的灯不亮。
A
C
B
R2
R3
V 76380
5
1
3 ???RU
V 304380
5
4
2 ???RU
分析
关于零线的结论
负载不对称而又没有中线时，负载上可能得到大
小不等的电压，有的超过用电设备的额定电压，有的
达不到额定电压，都不能正常工作。比如,照明电路
中各相负载不能保证完全对称，所以绝对不能采用三
相三相制供电，而且必须保证零线可靠。
中线的作用在于，使星形连接的不对称负载得到
相等的相电压。为了确保零线在运行中不断开，其上
不允许接保险丝也不允许接刀闸。
二,三角形接法及计算
ABi
CAi
BCi
Ci
Bi
Ai
CAu
ABu
BCu
A
C
B
lLp UU
?? ?
特点, 负载相电压 =线电压
各电流的计算
Bi
ABi
CAi
BCi
Ci
Ai
CAu
ABu
BCu
A
C
B
ZAB
ZBC
ZCA
CA
CA
CA
BC
BC
BC
AB
AB
AB
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
?
?
?
?
?
?
?
?
?
相电流
BCCAC
ABBCB
CAABA
III
III
III
???
???
???
??
??
??线
电
流
（ 2）负载对称时（ ZAB=ZBC=ZCA=Z ）,各相电流有
效值相等，相位互差 120? 。有效值为,
Z
U
IIII lPCABCAB ????
Bi
ABi
CAi
BCiCi
Ai
CAu
ABu
BCu
A
C
B
ZAB
ZBC ZCA
（ 1）负载不对称时，先算出各相电流，然后计算线电流。
?
CAABA III ??? ??
???? 303
ABA II ??
?
CAU?
ABU?
BCU?
BI?
CI?
ABI?
CAI?
BCI?
?
?
???
???
303
303
CAC
BCB
II
II
??
??
同理,
??? 0
lAB UU?
设：负载为阻性的，阻抗角为 0 ? 。
负载对称时，三角形接法线、相电流的相位关系
CAI??
AI?
A
B C
ABI?
CAI?
AI?
负载对称时三角形接法的特点
Bi
ABi
CAi
BCi
Ci
Ai
CAu
ABu
BCu
A
C
B
?
lLp UU
?? ?
?
???? 303
pl II
??
注意电路
中规定的
正方向
负载对称时,
?co s3 pLp IUP ?
CBA PPPP ???
三相总有功功率,
? 由负载
性质决定
3 plLpl IIUU ??
星形接法时,
3 plLpl IIUU ??
三角形接法时,
?
?c o s3 ll IUP ?
?
3.8.2 三相电路的功率
一、三相功率的计算
ll
ll
ll
IUS
IUQ
IUP
3
s in3
c o s3
?
?
?
?
?
有功功率,
无功功率,
视在功率,
在三相负载对称的条件下，三相电路的功率,
二、三相功率的测量
1W
*
*
2W
*
*
3W
*
*
负
载
A
C
B
N
三相总功率为三个功率表测得数据的总和。
三相四线制接法，用三个功率表测量,
三相总功率等于两表测得数据之和。
BuCi
Bi
Ai
ACu
BCu
A
C
B
Cu
AuA
Z
BZ
CZ
2W
*
*
1W
*
*
三相三线制的电路中，用二表法测功率,
两表法测量功率的原理,
? ? ? ?
BCBACA
CBBCAA
CCBBAA
uiui
uuiuui
iuiuiup
??
????
???
BAC iii ???
结论,三相总功率等于两表测得数据之和。每单个功
率表的读数没有意义。
实验用的 三相瓦特计实际上就是根据“二表法”
的原理设计的。
求：功率表 W1,W2的读数。
例
2W
*
*
电机
AI?
CI?
CBU?
A
C
B ABU?
1W
*
*
已知,
电机的功率为 2.5 kW,。
866.0c o s ??
（设电机为星形接法,N为其中点。）
电源线电压为 380V，各相 对称。
2W
*
*
电机
AI?
CI?
CBU?
A
C
B ABU?
1W
*
*
A386.4
866.03803
105.2
c o s3
c o s3
3
?
??
?
???
?
?
?
l
l
ll
U
P
I
IUP?
（ 1）求电流大小
2W
*
*
AI?
CI?
CBU?
A
C
B ABU?
1W
*
*
ZB
ZA
ZC N
AU?
V0220 ???NAU ?
设,
ANU?
ABU?
BCU?
CAU?
CBU?（ 2）求电流、电压的相位关系
V90380
V90380
V30380
?
?
?
??
???
??
CB
BC
AB
U
U
U
?
?
?
则,
2W
*
*
AI?
CI?
CBU?
A
C
B ABU?
1W
*
*
ZB
ZA
ZC N
AU?
ABU?
ANU?
AI?
ABA UI ??,
间的相位差
?60
1 ??
1?
已知电机的
866.0c o s ??
?30866.0co s -1 ???
?
A30386.4 ?? ???AI
?
AU?
ABU?
BCU?
CAU?
CBU?
AI?
BI?
CI?
W3.833
60c o s386.4380
c o s
11
?
???
?
?
?
AAB
IUP
W7.1 6 6 6
0c o s3 8 6.43 8 0
c o s
22
?
???
?
?
?
CCB
IUP
A90386.4 ???CI?
同理，由相量图可得
?0
2 ??CBC UI ??,
间的相位差
W1的读数为
833.3瓦
W2的读数为
1666.7瓦
三相交流电路的小结（ 1） --三相电源
三相三线制
三相四线制
A
Ae
Ce
Be
C
B
N
Ae
Ce
Be
A
C
B
Ae
Ce
Be
A
C
B
三相电源一
般都是对称
的，而且多
用三相四线
制接法。
三相交流电路的小结 (2)--三相负载
星形负载 三角形负载
A
C
B
N
Z
Z Z
A
C
B
Z Z
Z
三相交流电路的小结 (3)--三相电路计算
负载 ?形接法
lLP
Pl
UU
II
??
?? ?
?
??? 303
对称负载下,
各相电压、电流单独计算。 负载不对称时,
负载对称时,电压对称、电流对称，只需计算一相。
求电表读数时，可只算有效值，不算相位。
三相电路的计算要特别注意相位问题。
?
?
?
负载 Y形接法
???
??
303 ??
?
Pl
Pl
UU
II
电源对称时,
三相交流电路的小结 (4)--三相功率计算
CBA PPPP ???
三相总功率,
负载对称时,
?c o s3 pp IUP ?
?c o s3 ll IUP ?
和接法
无关
第３章
结 束
正弦交流电路
第三章 正弦交流电路
§ 3.1 正弦电压与正弦电流
§ 3.2 正弦量的表示法
§ 3.3 单一参数的交流电路
§ 3.4 R,L,C串联交流电路
§ 3.5 复阻抗的串联、并联及混联
§ 3.6 功率因数的提高
§ 3.7 三相电源
§ 3.8 三相电路的分析与计算
如果电流或电压每经过一定时间 （ T ） 就
重复变化一次，则此种电流,电压称为周期
性交流电流或电压 。如正弦波、方波、三角
波、锯齿波 等。 记做,u(t) = u(t + T )
§ 3.1 正弦电压与正弦电流
T
u
t
u
T
t
3.1.1交流电的概念
如果在电路中电动势的大小与方向均随
时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电
压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为
正弦交流电路 。
正弦交流电的优越性,
便于传输；
便于运算；
有利于电器设备的运行；
,,,,,
3.1.2 正弦交流电路
正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向
假设。
交流电路进行计算时，首先也要规定物理量
的正方向，然后才能用数字表达式来描述 。
实际 方向和假设方向一致
实际方向和假设方向相反
t
i
3.1.3 正弦交流电的方向
i
u R
3.1.4 正弦量的三要素
? ??? ?? tIi m s i n
? t ?
i
mI
, 电流幅值 （最大值）
, 角频率（弧度 /秒）
, 初相角
mI
?
?
三要素,
? ??? ?? tIi m s i n
为正弦电流的最大值
mI
一、正弦量的三要素之一 —— 幅度
在工程应用中常用 有效值 表示幅度。 常用交流电
表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效
值。标准电压 220V，也是指供电电压的有效值。
最大值
电量名称必须大
写,下标加 m。
如,Um,Im
则有
??
T
ti
T
I
0
2 d1
（均方根）
可
得 2
mII ?当 时,
? ??? ?? tIi m s i n
tRi
T
d
0
2?
交流 直流
RTI 2?
热效应相当
电量必须大写
如,U,I
有效值 有
效
值
概
念
问题与讨论
电器 ~ 220V 最高耐压 =300V
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否
可用于 220V 的线路上?
?2
有效值 U = 220V
最大值 Um = 220V
= 311V
电源电压
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所
以不能用 。
二、正弦量的三要素之二 —— 角频率
i
t ?
T
描述变化周期的几种方法,
1,周期 T：变化一周所需的时间
单位：秒
T
f 1? f
T
π2π2 ???
3,角频率 ω：每秒变化的弧度
单位：弧度 /秒
2,频率 f：每秒变化的次数 单位：赫兹，
千赫兹,.,
* 电网频率,中国 50 Hz
美国,日本 60 Hz
小常识
* 有线通讯频率,300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率,30 kHz - 3× 104 MHz
? ??? ?? tIi s i n2
三、正弦量的 三要素之三 —— 初相位
,t = 0 时的相位，称为 初相位或初相角 。 ?
说明, 给出了观察正弦波的起点或参考点,?
常用于描述多个正弦波相互间的
关系。
i
?
t ?
）（ ?? ?t, 正弦波的相位角或相位。
? ? ? ? 1212 ??????? ?????? tt
两个 同频率 正弦量间的相位差 ( 初相差 )
? ?
? ?222
111
s i n
s i n
??
??
??
??
tIi
tIi
m
m
1?
2?
2i1i
? t
i
两种正弦信号的相位关系
同
相
位 1i
1?
2?
21 ?? ?
t
2i
021 ???? ???
滞后
2i1i2i
t
1?
相
位
滞
后
2?
1i
2i相
位
超
前
1i
1? 2?
021 ???? ???
超前
1i 2it
可以证明同频率正弦量运算后，频率不变 。
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu如,
结论,因角频率（ ?）不变，所以以下 讨论 同频
率正弦波 时,? 可不考虑，主要研究 幅度与初
相位的变化。
? ? ? ?
? ???
????
??
????
??
tU
tUtU
uuu
s i n2
s i n2 s i n2
2211
21
幅度、相位变化
频率不变
例
幅度,
A7 0 7.0
2
1
A 1 ??? II m
? ???? 301 0 0 0s i n ti
已知,
Hz159
π2
1000
π2
r a d / s 1000
???
?
?
?
f
频率,
?? 30 ?
初相位,
§ 3.2 正弦量的表示法
? 瞬时值表达式
? ???? 301 0 0 0s i n ti
? 相量
必须
小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法 。
? 波形图
i
t ?
3.2.1正弦波的表示方法,
重点
概念, 一个正弦量的瞬时值可以用一个旋
转的有向线段在纵轴上的投影值来表示 。
3.2.2 正弦量的相量表示法
矢量长度 =
mU
?
矢量与横轴夹角 = 初相位
ω 矢量以角速度 按逆时针方向旋转
? ??? ?? tUu m s i n
?
?
mU
t ?
ω
u
?
IU ??, 3,相量符号 包含幅度与相位信息 。
有效值
1,描述正弦量的有向线段称为相量 。若 其 幅度
用最大值表示,则用符号,
mm IU
??,
mU?
U?
最大值 相量的书写方式
2,在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用
符号,
IU ??,
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu
1U?
1?
2U?
2?
2U? 滞后于 1U?
1U?2U?
超前
滞后
？
正弦量的相量表示法举例
例 1,将 u1,u2 用相量表示。
相位,
幅度,相量大小
12 UU ?
12 ?? ?
设,
21 UUU
??? ??
U?
?
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu
同频率正弦量的
相量画在一起,
构成相量图 。
例 2,同频率 正弦量相加 -- 平行四边形法则
2?
2U?
1U?
1?
注意,
1,只有正弦量 才能用相量表示，非正弦量不可以
2,只有 同频率 的正弦量才能画在一张相量图
上，不同频率不行。
新问题 提出,
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入 相量的复数运算法 。
相量 复数表示法 复数运算
?? s i njco sj UUbaU ?????
相量的复数表示
a
b
U?
U
?
j
+1
将复数 U? 放到复平面上，可如下表示,
a
b
baU
1
22
t a n
?
?
??
?
j2
ee
s i n
2
ee
c o s
jj
jj
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?欧
拉
公
式
?
??
?
??
?
??
??
U
U
U
baU
j
e
)s i nj( c o s
j
?
代数式
指数式
极坐标形式
a
b
U?
U
?
?jej UbaU ???? ?
在第一象限
设 a,b为正实数
?jej UbaU ????? ?
在第二象限
?jej UbaU ????? ?
在第三象限
?
在第四象限
?jej UbaU ????
相量的复数运算
1,加, 减运算
222
111
j
j
baU
baU
??
??
?
?
设,
?j
2121
21
e
)(j)(
U
bbaa
UUU
?
????
?? ???
则,
2,乘 法 运算
2
1
j
22
j
11
e
e
?
?
UU
UU
?
?
?
?设,
)(j
21
21
21e ?? ????
??
UU
UUU ???
则,
设：任一相量 A?
则, ?? ? ?? 90jeA
A)j( ??
90° 旋转因子。 +j 逆时针
转 90°, -j 顺时针转 90°
说明,
3,除法 运算
2
1
j
22
j
11
e
e
?
?
UU
UU
?
?
?
?
设,
? ?21j
2
1
2
1 e ?? ??
U
U
U
U
?
?
则,
复数符号法应用举例
解,
A50j6.86301 0 030
2
4.1 4 1 ?????? ???I
V5.190j1106022060
2
1.311 ???????? ???U
例 1,已知瞬时值，求相量。
已知,
V
3
π
314s in1.311
A
6
π
314s in4.141
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
tu
ti 求,
i, u 的相量
A50j6.863010030
2
4.141 ?????? ???I
V5.1 9 0j1 1 0602 2 060
2
1.3 1 1 ???????? ???U
220
3π?
U?
I?
100
6π
求,
21 ii,
例 2,已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为,
Ae10I
A60100I
30j
2
1
??
? ?
?
???
A )306280s i n (210
A )606280s i n (2100
2
1
?
?
??
??
ti
ti
解,
62801000π2π2 ???? f? srad
波形图
瞬时值
相量图
复数
符号法
U?
I?
?? ????? UUbaU jej?
小结：正弦波的四种表示法
? ??? ?? tUu m s i n
T
mI
?
t ?
i
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如,
4j3 ???U?
4j3 ??U? )153s i n (25 ???? tu ?
4j3 ??U? )153s i n (25 ???? tu ?
)9126s i n (25 ???? tu ?
4j3 ???U? )9126s i n (25 ???? tu ?
符号说明
瞬时值 --- 小写 u,i
有效值 --- 大写 U,I
复数、相量 --- 大写 +,.”
U?
最大值 --- 大写 +下标
mU
正误判断
Utu ??? s i n1 0 0 ?
？
瞬时值 复数
正误判断
)15s i n (250e50 15j ?? ??? ? tU ?？
瞬时值 复数
?45
2
10
??I
已知,
)45s i n (10 ??? ti ?
正误判断
？
?? 45e10?
mI
？ 有效值
j45?
则,
已知,
)15(s i n102 ??? tu ?
10?U
正误判断
?? 15je10?U？
？ ?
?15?
则,
)50(s i n1 0 0 ??? ti ?
已知,
?? 50100 ??I
？
正误判断
最大值
21002 ?? II
m
3.3.1 纯电阻电路
u i R
根据 欧姆定律
iRu ?
tIt
R
U
R
u
i
tUu
??
?
s in2s in2
s in2
???
?
设
则
§ 3.3 单一参数的交流电路
tIt
R
U
R
u
i
tUu
??
?
s i n2s i n2
s i n2
???
?
1,频率相同 2,相位相同
3,有效值关系,
IRU ?
电阻电路中电流、电压的关系
4,相量关系, 设
?? 0?? UU
U?
I?
0 ?? ??
R
U
I
则
RIU ?? ?
或
电阻电路中的功率
)(s in2
)(s in2
tUu
tIi
?
?
?
?
RuiRiup /22 ????
u
i
R
1,瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积
小写
1,（耗能元件）
0?p
结论,
2,随时间变化
p
22 iu,
3,与 成比例
p
RuiRiup /22 ????
ω t u
i
p
ω t
?? ???
TT
tiu
T
tp
T
P
00
d
1
d
1
tUu
tIi
?
?
s i n2
s i n2
?
?
2,平均功率（有功功率） P,一个周期内的平均值
UIttUI
T
ttUI
T
T
T
?
?
???
?
0
0
2
d)2c o s1(
1
ds i n2
1
?
?
大写
IUP ??
u
i
R
3.3.2 电感电路
t
iLu
d
d? 基本 关系式,
i
u L
tIi ?si n2?设
)90s i n (2
)90s i n (2
c o s2
d
d
?
?
??
??
???
tU
tLI
tLI
t
i
Lu
?
??
??则
电感电路中电流、电压的关系
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 超前 i 90 ° ）
)90s i n (2
)90s i n (2
?
?
??
??
tU
tLIu
?
??tIi ?s i n2?
i
u
t?
?90
U?
I?
LI?
I
设,
3,有效值 LIU ??
感抗 （ Ω ） LX
L ??
定义,
)90s i n (2
)90s i n (2
?
?
??
??
tU
tLIu
?
??
LXIU ?
则,
电感电路
U?
I?
4,相量关系
)90s i n (2 ??? tUu ?
tIi ?s i n2?
?? 0?? II
设,
??? 9090 ???? LIUU ?
)j(e
9090
90j
L
XILIU
L
I
U
I
U
????
????
???
?
?
?
??
?
?
则,
? ?LXIU j?? ?
电感电路中复数形式的
欧姆定律
其中含有幅度和相位信息
U?
I?
Liu ??？
u,i 相位不一致 ！
U?
超前 ！
感抗（ XL =ωL ） 是频率的函数,表示电感电路中电
压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效 。
ω
XL
LL XIU ?
ω = 0 时
XL = 0
关于感抗的讨论
e
+
_ L
R
直流
E + _
R
电感电路中的功率
)90s i n (2
s i n2
???
?
tUu
tIi
?
?
tUI
ttUIuip
?
??
2s i n
c o ss i n2
?
???
1,瞬时功率 p
i
u L
储存
能量
p <0
释放
能量
+
p >0
p <0
可逆的
能量转换
过程
tUIuip ?2s i n???
u
i
u
i
u
i
u
i
i
u L
+
P
p >0 t?
u i
t?
电感电路中的功率
2,平均功率 P （有功功率）
0d)2(s i n
1
d
1
0
0
??
?
?
?
ttUI
T
tp
T
P
T
T
?
结论,纯电感不消耗能量,只和电源进行能量
交换（能量的吞吐）。
tUIuip ?2s i n???
电感电路中的功率
3,无功功率 Q
L
L X
UXIIUQ 22 ???
Q 的单位：乏、千乏 (var,kvar)
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用
以衡量电感电路中能量交换的规模。
tUIuip ?2s i n???
电感电路中的功率
基本关系式,
t
uCi
d
d?
设, tUu ?s i n2?
3.3.3 纯电容电路
u
i
C
)90s in (2
c o s2
d
d
?
???
??
tCU
tUC
t
u
Ci
??
??
则,
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 落后 i 90° ）
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
电容电路中电流、电压的关系
i u
t?
?90
I?
CU?
U?
U
3,有效值 或 CUI ??? I
C
U
?
1?
容抗 （ Ω）
C
X C
?
1?定义,
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
CXIU ?
则,
I
电容电路中电流、电压的关系
4,相量关系
设,
?? 0?? UU
??? 9090 ???? CUII ?
I?
U?
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
?
?
?
90
1
???
CI
U
?
则,
CXICIU
??? ? j901 ?????
?
电容电路中电流、电压的关系
? ?CXIU j?? ??
电容电路中复数形式的
欧姆定律
其中含有幅度和相位信息
U?
I? I?
领先 ！
E
+
- ω
C
X c
?
1?
e
+
-
关于容抗的讨论
直流
是频率的函数,表示电容
电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦
波有效 。
容抗
）（
C
X C
?
1?
ω＝ 0 时
??cX
电容电路中的功率
u
i
)90s in (2
s in2
?
??
?
tUu
tIi
?
?
tIUuip ?2s i n????
1,瞬时功率 p
tIUuip ?2s i n????
充电
p 放电 放电
P < 0
释放
能量
充电
P > 0
储存
能量
u
i
u
i
u
i
u
i
i u
ωt
电容电路中的功率
?
?
???
?
T
T
ttIU
T
tP
T
P
0
0
0d2s i n
1
d
1
?
2,平均功率 P
tIUuip ?2s i n????
电容电路中的功率
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
3,无功功率 Q
（电容性无功取负值）
UIQ ??
tUIp ?2s i n??
电容电路中的功率
已知,C ＝ 1μF
)
6
314s i n (27.70
?
?? tu
求,I, i
例
u
i
C
解,
????? ? 318010314 11 6CX C ?
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70
???
CX
U
I
求电容电路中的电流
mA)
3
3 1 4s i n (2.222
)
26
3 1 4s i n (2.222
?
??
???
????
t
ti
瞬时值 i 超前于 u 90°
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70 ???
CX
UI
U?
I?
6??
3?
1,单一参数电路中的基本关系
电路参数
LX L ?jj ?
dt
diLu ?
基本关系
复阻抗
L U?
I?
C
X C
?
1
jj ???
复阻抗
电路参数
dt
duCi ?
基本关系 C
U?
I?
电路参数 R 基本关系 iRu ?
复阻抗 R U?
I?
小 结
在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示,
电路参数用复数阻抗（ )
表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相
似。
IU ??、
CL XCXLRR jj ????,、
2,单一参数电路中复数形式的欧姆定律
电阻电路
RIU ?? ? )j(
LXIU ?? ?
电感电路
)j( CXIU ?? ??
电容电路
复数形式的欧姆定律
* 电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律,KVL
定律。
t
i
LiR
uuu
LR
d
d
??
??
3,简单正弦交流电路的关系 (以 R-L电路为例）
uL
i
uR u R
L
* 电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律,KVL
定律
U?
I?
LU?
RU?
? ?
)j
j
LLR
LLR
XRIUUU
XIURIU
????
??
（
、
????
????
R
L
I?
U?
RU?
LU?
在电阻电路中,
正误判断
R
u
i ?
？
R
U
i ?
R
U
I ?
？
？
瞬时值 有效值
?
?
在电感电路中,正误判断
？？
？
LX
u
i ?
L
ui
?
?
L
UI
?
?
LXI
U ?
?
?
Lj
I
U ??？？
?
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路
参数
电路图
（正方向）
复数
阻抗
电压、电流关系
瞬时值 有效值 相量图 相量式
功率
有功功率 无功功率
R
i
u
iRu?
R
设
则
tUu ?s in2?
tIi ?s in2?
IRU? RIU ?? ?
U?I?
u,i 同相
UI 0
L
i
u
dtdiLu?
C
i
u dtduCi?
L
XL
?j
j
?
C
C
XC
?
?
j
1
1j
j
?
??
?
设
则
tIi ?sin2?
)90s i n (
2
??
?
t
LIu
?
?
设
则
tUu ?s in2?
)90s i n (
12
??
?
t
C
Ui
?
?
LX
IXU
L
L???
CX
IXU
C
C
?1?
?
U?
I?
u领先 i 90°
U?
I?
u落后 i 90°
? ?LXIU j?? ?
? ?CXIU j?? ??
0
0
LXI
UI
2
CXI
UI
2?
?
基本
关系
§ 3.4 R,L,C串联交流电路
)90s i n ()
1
(2
)90s i n ()(2
s i n2
?
?
??
??
?
t
C
I
tLI
tIRu
?
?
??
?
tIi ?s i n2?若
则
CLR uuuu ???
3.4.1 电流、电压的关系
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
? ? ? ?
? ?? ?CL
CL
XXRI
XIXIRIU
???
????
j
jj
?
????
总电压与总电流
的关系式
CLR UUUU ???? ???
相量方程式,
则
? ?
? ?
CC
LL
R
XIU
XIU
RIU
j
j
??
?
?
??
??
??
相量模型
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
??? 0II?设 （参考相量）
R-L-C串联交流电路 ——电压、电流的关系
R-L-C串联交流电路 ——相量图
先画出参
考相量
CU?
U?
LU?
I?
? ?? ?CL XXRIU ??? j??
相量表达式,
RU?
CL UU ?? ?R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
电压
三角形
Z：复数阻抗
实部为阻
虚部为抗 容抗 感抗
? ?? ?CL XXRIU ??? j??
? ?CL XXRZ ??? j
令
则
ZIU ?? ?
3.4.2 R-L-C串联交流电路中的复数形式
欧姆定律
复数形式的
欧姆定律
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在正弦交流电路中，只要物理量用相量
表示,元件参数用复数阻抗表示，则电路
方程式的形式与直流电路相似。
是一个复数，但并不是正弦交流
量，上面 不能加点 。 Z 在方程式中
只是一个运算工具 。
Z
说明,
? ?CL XXRZ ??? j
?
ZIU ?? ?
?
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
R-L-C串联交流电路中的复数形式欧姆定律
3.4.3 关于复数阻抗 Z 的讨论
iu
i
u
I
U
Z
I
U
I
U
Z ???
?
?
?????
?
?
?? ?
?
ZIU ?? ?
由复数形式的欧姆定律 可得,
结论,Ｚ 的模为电路总电压和总电流有效值之比,
而 Ｚ 的幅角则为 总电压和总电流的相位差。
iu ??? ??I
UZ ?
1,Z 和总电流、总电压的关系
2,Z 和电路性质的关系
? ?CL XXRZZ ????? j?
一定时电
路性质由参
数决定
?
R
XX CL
iu
?
??? ? 1t a n???
当 时, 表示 u 领先 i －－ 电路呈感性
CL XX ? 0??
CL XX ? 0??
当 时,表示 u, i同相 －－ 电路呈电阻性
CL XX ? 0??
当 时, 表示 u 落后 i －－ 电路呈容性
阻抗角
关于复数阻抗 Z 的讨论
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
假设 R,L,C已定,
电路性质能否确定？
（阻性？感性？容性？）
不能！
当 ω不同时，可能出现,
XL > XC,或 XL < XC,或 XL =XC 。
C
XLX CL
?
? 1 ??,
?
关于复数阻抗 Z 的讨论
3,阻抗（ Z）三角形
阻抗
三角形
Z
?
R
CL XXX ??
R
XX
XXRZ
CL
CL
?
?
???
? 1
22
t a n
)(
?
?????? ZXXRZ CL )(j
关于复数阻抗 Z 的讨论
4,阻抗三角形和电压三角形的关系
电压三
角形 阻抗三 角形
相
似
? ?? ?CL
CLR
XXRI
UUUU
???
???
j?
????
? ?CL XXRZ ??? j
?
Z
R
CL XXX ??
CU?
?
RU?
U?
LU?
CL UU ?? ?
I?
关于复数阻抗 Z 的讨论
3.4.4 R,L,C 串联电路中的功率计算
CLR
pppiup ?????
1,瞬时功率
2,平均功率 P （有功功率）
RIIUP
tppp
T
tp
T
P
RR
T
CLR
T
2
0
0
d)(
1
d
1
???
???
?
?
?
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
总电压 总电流 u 与 i 的夹角
IUP R?
平均功率 P与总电压 U、总电流 I 间的关系,
RU?
U?
?
CL UU ?? ?
?cos
----- 功率因数
?c o sUU R ?
其中,
?c o sUIP ?
?
R,L,C 串联电路中的功率计算
在 R,L,C 串联的电路中,储能元件 R,L,C
虽然不消耗能量,但存在能量吞吐,吞吐的规模用
无功功率来表示。其大小为,
?s i nIU
IUU
IUIU
QQQ
CL
CL
CL
?
???
???
??
）（
）（
3,无功功率 Q,
RU?
U?
?
CL UU ?? ?
R,L,C 串联电路中的功率计算
4,视在功率 S,电路中总电压与总电流有效值的乘积。
UIS ? 单位：伏安、千伏安
?
P
Q
（有助记忆）
S
注,S＝ U I 可用来衡量发电机可能提供的最大
功率（额定电压 × 额定电流）
视在功率
UIS ?
5,功率三角形
?s inUIQ ?
无功功率
?c o sUIP ?
有功功率
R,L,C 串联电路中的功率计算
_
+
+ _
p
设 i 领先 u,（电容性电路）
?s inUI
?c o sUI
R,L,C 串联电路中的功率关系
t?
i u
RU?
U?
CL UU ?? ?
电压三角形
S
Q
P
功率三角形
CL XX ?
Z
R
?
阻抗三角形
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
R,L,C 串联电路中的三个三角形
含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全
补偿，使电路的功率因数等于 1，即,u,i 同相，
便称此电路处于谐振状态。
谐振
串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相
并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相
谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应
用非常广泛。
一、谐振概念,
3.4.5 R,L,C 串联谐振
一、串联谐振
? ?
? ?
R
XX
XXR
ZXXRZ
CL
CL
CL
?
????
?????
? 122
t a n
j ?
串联谐振的条件
CU?
R
L
C
U?
RU?
LU?
I?
串联谐振电路
IU ??, 同相
若令,
CL XX ?
?? 0?
则,
? 谐振
CL XX ?
串联谐振的条件是,
?
fCC
XfLLX CL
??
??
2
11 2 ????
谐振频率,
of
C
L
0
0
1
?
? ?
CL XX ?
LC
1
0 ??
LC
f
?2
1
0 ?
串联谐振的特点
? ? RXXRZZ CL ????? 22m i n
CL XX ?
?
?
0t a n 1 ??? ?
R
XX CL?U,I 同相
?
RXX CL ???
当 时
RIUXIUXIU CCLL 000 ??????
? 当电源电压一定时,
R
U
III ??? m a x0
UC, UL将大于
电源电压 U
注：串联谐振也被称为 电压谐振
当 时,
RXRX CL ??,
UUU CL ??
R
UI ?
0
谐振时,
U
R
X
X
R
U
XIU
U
R
X
X
R
U
XIU
C
CCC
L
LLL
???
???
0
0
LU?
CU?
I?
UU R ?? ?
CL XX ?
,
品质因素 —— Q 值
定义,电路处于串联谐振时，电感或电容上的
电压和总电压之比。
U
CR
U
R
X
U
U
R
L
U
R
X
U
C
C
L
L
0
0
1
?
?
??
??
谐振时,
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
?
?
????
?
在谐振状态下,若 R>XL,R>XC, Q 则体现了电
容或电感上电压比电源电压高出的倍数。
串联谐振特性曲线
0I
0f
2
0I
1f 2f f
I
R
UI ?
0
谐振电流
:0f
谐振频率
下限截止频率
上限截止频率
12
2
1
fff
f
f
??? 通频带
关于谐振曲线的讨论
(a) 不变,
0?
0I
变化。
(c) 不变,
f? 变化。
0?
0I
不变,
0?
0I
I
?
(b) 不变,
变化。
0?
0I
01? 02?
0I
I
? 0?
0I
I
?
分以下三种情况,
谐振曲线讨论（之一）
结论, R的变化引起 变化
R愈大 愈小（选择性差）
R愈小 愈大（选择性好）
0I
0I
0I
R小
R大
不变,
0?
0I
变化。
0I
0?
I
?
0I?
0?
（ 1） 不变
即 LC不变
LC
1
0 ??
R
UI ?
0
R改变
0I
改变
（ 2）
0I
分析,（ 1） 不变
即 U,R不变
R
UI ?
0
（ 2） 改变
0?
LC
1
0 ??
结论, LC 的变化引起 变化
L 变小或 C 变小 变大
L 变大或 C 变大 变小
0?
0?
0?
谐振曲线讨论（之二）
01? 02?
0I
I
?
不变,
变化。
0?
0I
谐振曲线讨论（之三）
结论, Q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐。
Q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦。
Q
f
L
R
f 0
2
???
?
分析,
0I
不变,不变
0? （ LC）,R 不变,
f? ? ?12 ?? ? 如何改变
或？
可以
证明,
可见 与 Q 相关。 f?
不变,
f? 变化。
0I
0?
不变,
0?
0I
I
?
2
0I
串联谐振时的阻抗特性
0?
R
?
感性
? ?0?? ?
? ? 22)(j CLCL XXRXXRZ ??????
Z
L?
C?1
容性
? ?0?? ?
串联谐振应用举例
收音机接收电路
1L
2L 3L
C
:1L
接收天线
2L
与 C,组成谐振电路
:3L
将选择的信号送
接收电路
1L
2L 3L
C
组成谐振电路,选出所需的电台。
C - 2L
321 eee,、
为来自 3个不同电台（不同频率）
的电动势信号；
C
2L
2LR
1e
2e
3e
已知,
??? 20 H2 5 0 22 LRL,?
k Hz8 2 01 ?f
C
2L
2LR
1e
2e
3e
解,
CL
f
2
1 2
1
?
?
? ? 222
1
Lf
C
?
?
? ? pF15010250108202
1
623
?
????
?
??
C
如果要收听 节目,C 应配多大？
1e
问题 （一）,
结论,当 C 调到 150 pF 时，可收听到 的节目。
1e
问题 （二）,
1e
信号在电路中产生的电流 有多
大？在 C 上 产生的电压是多少？
V101 μE ?
pF1501 ?C
H2 5 02 μL ?
?? 20 2LR
已知,
k Hz8 2 01 ?f
解答,
12902 1 ???? fLXX CL ??
A5.0
2
1 ???
R
EI V645C1 ??? CIXU
所希望的信号
被放大了 6４倍。
C
2L
2LR
1e
2e
3e
正误判断
因为交流物理量除有效值外还有相位。
? ?CLCLR XXIIRUUUU ??????？
?
CU?
RU?
U?
LU?
CL UU ?? ?
I?
CLR UUUU ???? ???
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在 R-L-C串联电路中
ZIU ??? ?
？
正误判断
而复数阻抗只是一个复数，不是时间的
函数。 Z 不能加, ?”
反映的是正弦电压或电流,
IU ??、
正误判断 在 Ｒ － Ｌ － Ｃ 正弦交流电路中
？
Z
U
I ? Z
u
i ?？
Z
U
I ?
？
Z
U
I
?
? ?？
Z
U
I
?
? ?？
?
?
正误判断
在 R-L-C 串联电路中，假设 ??? 0II?
？ 222
CLR UUUU ???
？ ? ?? ?
CL XXjRIU ???
??
?
？ ? ? 2
2
CL XXRIU ???
?
正误判断 在 R-L-C串联电路中，假设
??? 0II?
？
U
UU CL ?
? ? 1t a n?
？
R
CL ??
?
?
? ? 1t a n
？
R
XX CL ?
? ? 1t a n?
？
R
CL
U
UU ?
? ? 1t a n?
?
?
3.5.1 复阻抗的串联
§ 3.5 复阻抗的串联、并联及混联
)ZZ(IZIZIUUU 212121 ?????? ??????
ZIU ?? ?
根据等效电路可写出
I?
U?
Z
U?
1U?
2U?
I?
Z1
Z2
其等效复 阻抗为
21 ZZZ ??
注意：图中
21 UUU ??? ??
，但 U≠U1+U2,
所以
21 zzz ??
若有 n个复阻抗相串联，则它的等效复阻抗为
zXjRzz nnn ???? ???
∠
?
?
2
n
2
n )X()R(z ?? ??
式中
复阻抗的串联
例 如图,已知 Z1=5+j8,Z2=3+j4,电源电压
∠ 200V,试用相量法计算电路中的电流
和各复阻抗上的 电压,,并作相量图,
2 2 0U ?? I?
1U?
2U?
U?
1U?
2U?
I?
Z1
Z2
?解,Z=Z1+Z2= ?? ?
nn XjR
=(5+3)+j(8-4)=8.94∠ 26.60
)A(6.66.24I 0
6.2694.8
20220
Z
U
0
0 ?????
?
???
)8j5(6.66.24ZIU 011 ?????? ??
)v(4.512 3 2 0??
)V(7.59123
1.5356.66.24
)4J3(6.66.24ZI
0
00
0
2
???
??????
?????? ?
2U?
相量图如图所示
2U?
1U?
U?
I?
6.60 59.70
51.40 200
3.5.2 复阻抗的并联
)(UIII
2121 Z
1
Z
1
Z
U
Z
U
21 ??????
???? ??
Z1 Z2
2I?1
I?
I?
U?
U?
I?
Z
l
i 两个复阻抗的并联可用一个等效复阻抗 Z来
代替,.根据等效电路可列写出
Z
UI ?? ?
21
111
ZZZ ??必须指出,
21 III ??
由上面的分析可知,有 N个复阻抗并联,它的等
效复阻抗等于各个并联复阻抗的倒数之和,即
?? NZZ 11
21
111
ZZZ ??
例 如图,一线圈与电容并联,设线圈感抗比其电阻
大得多,即 ωL?R,试证明当电路中电压与电流
同相时,ω0≈,
解：电路的等效复阻抗为
LC
1
C R L
2I?
1I?
I?
U?
21
12
ZZ
ZZZ
?
??
Cj
Cj
LjR
LjR
?
?
?
?
1
1
)(
)(
??
??
?
LCRCj
LjR
21 ??
?
??
??
因为
RL ???
,上式可写成
LCRCj
LjZ
21 ??
?
???
)(
1
1
LL
RC Cj
?
? ??
?
当电路中电压与电流同相时,即等效复阻抗的
虚部为 0,所以
01 ?? LC ??
LC
1
0 ??
即
并联谐振的
谐振频率
3.5.3 复阻抗的混联
复阻抗的混联可与直流电路中电阻的混联一
样来分析，只不过交流电路中负载是复阻抗 Z,
电压、电流都用相量表示，并采用相量法分析。
例 求图中电流表 A0的读数及 XC，已知
U=10V,I1=1A
450
2I?
1I?
I?
U?
解,电路中已知电源电压和电容支路电流的
有效值，但不知道其相位，因此可设某一相量
为参考相量（通常复阻抗并联时设电压为参考
相量，复阻抗串联时设电流为参考相量），所
以在此电路中，设电压 V,则
0010 ??U?
)(452 055 0102 0
2
AI jZU ????? ????
Z1=-jXC为纯电容支路，所以
AI 01 901 ???
00
21 452901 ??????? III
???
)45s i n (2)45c o s (2 00 ????? jj
)(011 0 Ajj ?????
即电流表的读数为１Ａ,
)(10
1
??? IUCX 450
2I?
1I?
I?
U?
相量图如右图
3.6.1 问题的提出, 日常生活中很多负载为感
性的，其等效电路及相量关系如下图。
u
i
R
L
Ru
Lu
cos?
I 当 U,P 一定时,?
? 希望将 cos? 提高
§ 3.6 功率因数的提高
U?
I?
?
RU?
LU?
P = PR = UIcos?
其中消耗的有功功率为,
负
载
i
u
说明, 由负载性质决定。与电路的参数
和频率有关，与电路的电压、电流无关 。
?cos
功率因数 和电路参数的关系 ）（ ?c o s
R
XX CL ?
? a r c t a n?
R
?
CL XX ?
Z
例 40W白炽灯
1c o s ??
40W日光灯
5.0c o s ??
A3 6 4.0
5.02 2 0
40
c o s
?
?
??
?U
P
I
发电与供电
设备的容量
要求较大
供电局一般要求用户的,
否则受处罚。
85.0c o s ??
A182.0
220
40 ???
U
PI?c o sUIP ?
纯电阻电路
)0( ??1c o s ??
1c o s0 ?? ?R-L-C串联电路
)9090( ?????? ?
纯电感电路或
纯电容电路 0c o s ?? )90( ????
电动机 空载
满载
3.0~2.0c o s ??
9.0~7.0c o s ??
日光灯 （ R-L-
C串联电路） 6.0~5.0c o s ??
常用电路的功率因数
3.6.2 提高功率因数的原则,
必须保证原负载的工作状态不变。即：
加至负载上的电压和负载的有功功率不变 。
3.6.3提高功率因数的措施,
u
i
R
L
Ru
Lu
并联电容
C
?
RLI?
CI?
I?
L?
3.6.4并联电容值的计算
u
i
R
L
Ru
Lu
C
设原电路的功率因数为 cos? L，要求补偿到
cos? 须并联多大电容？（设 U,P 为已知）
U?
分析依据：补偿前后 P,U 不变 。
由相量图可知,
?? s i ns i n III LRLC ??
LRLUIP ?c o s??
?c o sUIP ?
CUXUI
CC
???
?
?
?
?
? s i n
c o s
s i n
c o s U
P
U
PCU
L
L
???
?
RLI?
CI?
I?
L?
U?
)ta n( t a n2 ??
?
?? L
U
P
C
?
?
?
?
? s in
c o s
s in
c o s U
P
U
P
CU L
L
??
i
u
R
L
Ru
Lu
C
呈电容性。
1c o s ??
I?
U?
RLI?
CI?
呈电感性
1c o s ??
0??
U?
I?
CI?
RLI?
0??
CI?
U?
I?
?
RLI?
问题与讨论
功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿
成以下三种情况,
功率因素补偿问题（一）
1c o s ??
呈电阻性
0??
功率因素补偿问题（二）
并联电容补偿后，总电路的有功功率是否改变？
问题与讨论
R
LjXCjX?
U?
I?
LI1?
2I?
定性说明：电路中电阻没有变，所以消耗的功率
也不变。
I?
RLI?
<
L??
<
通过计算可知总功率不变。
?c o sUIP ? ?cos I, 其中
?
RLI?
CI?
I?
L?
U?
功率因素补偿问题（三）
提高功率因数除并电容外，用其他方法行不行？
补偿后
R
U?
I?
RLU?L
I?
UU RL ?? ?
I?
RLU?
CU?
U?
0??
串电容
行否 补偿前
R
U?
I?
RLU?L
C
问题与讨论
?
结论,在 角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容
容量更大，经济上不合算,所以一般工作在欠补偿状态 。
?
感性（ 较小）
CI?
容性（ 较大）
CI'?
C 较大
功率因数补偿成感性好，还是容性好？
一般情况下很难做到完全补偿 （即,）
1c o s ??
过
补
偿
欠
补
偿
?
RLI?
U?
I?
CI?
?
U?
I?
CI'?
RLI?
?
UU RL ?
串电容功率因数可以提高，甚至可以补偿到 1,但
不可以这样做！
原因是：在外加电压不变的情况下,负载得不到所
需的额定工作电压。
同样，电路中串、并电感或电阻也不能用于功率因
数的提高。其请自行分析。
CU?
I?
RLU?
U?
R
U?
I?
RLU?L
C
CU?
3.7.1 三相电动势的产生
让线圈以 ? 的速度顺时
针旋转。
根据右手定则可知，线
圈中产生感应电动势,
其方向由 A?X。
N
S
A X
? e
合理设计磁极形状，使磁通按正弦规律分布，
线圈两端便可得到 单相 交流电动势。
tEe AX ?s i n2?
§ 3.7 三相电源
在两磁极中间，放一个线圈。
一、三相交流电动势的产生
?
? ?
A
X
Y
C B
Z S
N
定子
转子
?
定子中放三个线圈,
A ? X
B ? Y
C ? Z
首端 末端
三线圈空间位置
各差 120o
转子装有磁极并以
? 的速度旋转。三个
线圈中便产生三个单相电动势。
二、三相电动势的表示式
三相电动势的特征,
大小相等，频率相同，相位互差 120o。
? ?
? ????
???
?
240s in
120s in
s in
tEe
tEe
tEe
mZC
mYB
mXA
?
?
?
)120s i n ( ??? tE m ?
1,三角函数式
AE?
BE?
CE?
2,相量表示式及相互关系
0??? CBA EEE ???
???
????
???
120
120
0
EE
EE
EE
C
B
A
?
?
?
Em
BeAe Ce
3.7.2 三相交流电源的连接
一、星形接法
Ae
Ce
Be
A
X
Y
C
B
Z N
1,连接方式
Ce
（中线）
（火线）
（火线）
（火线）
ce
Be
A
X
Y
C
B
Z N
Ae
三相四线
制供电
火线（相线）,
A
B
C
中线（零线）,N
2,三相电源 星形接法的两组电压
CCN
BBN
AAN
eu
eu
eu
?
?
?
相电压, 火线对零线间的电压。
?
?
?
???
???
??
2 4 0
1 2 0
0
PCN
PBN
PAN
UU
UU
UU
?
?
?
Ce
ce
Be
A
C
B
N
Ae
120?
120?
120?
ANU?
BNU?
CNU?
ANu
BNu
CNu
线电压, 火线间的电压。
ANCNCA
CNBNBC
BNANAB
UUU
UUU
UUU
???
???
???
??
??
??
ABu
BCu CAu
CA
BC
AB
u
u
u
C
A
B
N
注意规定的
正方向
BNU??
ABU?
线电压和相电压的关系,
BNU?
ANU?
CNU?
30?
? ?BNAN
BNANAB
UU
UUU
??
???
???
??
??? 303
ANAB UU ??
?
?
????
????
30 3
30 3
CNANCNCA
BNCNBNBC
UUUU
UUUU
????
????
同 理,
????? 303
ANBNANAB UUUU ????
BNU?
ANU?
CNU?
ABU?
BCU?
CAU?
线电压与相电压的通用关系表达式,
??? 30 3
pl UU
??
lU
?
pU?
---为相电压
---为线电压
在日常生活与工农业生产中，多数用户的电压等级为
V3 8 0 V2 2 0 ?? lP UU,
CZCA
BYBC
AXAB
UU
UU
UU
??
??
??
?
?
?
pl UU ?? ?
二、三角接法
A ?
CAu
A
X
Y
C
B
Z
ABu
BCu
B C ? ?
特点,线电压 =相电压
短路
+
– E
三个电源串接
能否造成短路？
直流电源行吗？
A ?
Ae
Ce
Be
X
Y
Z
B C ? ?
问题讨论
?
? ?
+
+
+ -
-
- E
E
E
直流电源串接不行,
三相交流电源可以,
为什么？
A ?
Ae
Ce
Be
X
Y
Z
B C ? ?
Em
Ae Be Ce
三相交流电源中三个
电源可以串接的原因
在于,
三个电源的电压任
何瞬间相加均为零。
星形接法
A
C
B
N
Z
Z Z
§ 3.8 三相电路的分析与计算
三角形接法
A
C
B
Z Z
Z ? ?
?
负载也有两种接法,
3.8.1 三相负载的 星形联接和三角形联接
A
C
B
N
Z
Z
Z
ANu
BNu
CNu
Ai
Ci
Bi
ANi
CNi
BNi
相电流 (负载上的电流 ),
CNBNAN III
???,、
一,星形接法及计算
线电流 (火线上的电流 ),
CBA III
???,、
lp II
?? ?
CNC
BNB
ANA
II
II
II
??
??
??
?
?
?
A
C
B
N
Z
Z
Z
Ni
Ai
Ci
Bi
ANi
CNi
BNi
（一）、星形接法特点
相电流 =线电流 *
CNBNANN IIII ???? ???
NI?
,零线电流
* 线电压 =相电压 ? 3,线电压领先于相电压 30° 。
BNU?
ANU?
CNU?
ABU?
BCU?
CAU?
A
C
B
N
Z
Z
Z
ANU?
ABU?
CNU?
BNU?
CAU?
BCU?
?
?
??
??
30 3
30 3
CNCA
BNBC
UU
UU
??
??
??? 303
ANAB UU ??
Bi
Ai
A
C
B
N
ZA
ZB
ZC
Ni
Ci
ANi
CNi
BNi
Ce
ce
Be
Ae
（二）、负载星形接法时的一般计算方法
解题思路,
一般线电压 为已知，然后根据电压和负载求
电流。 lu
Z
U
IIuuuu pplpLppl
?
?? ??????
1,负载不对称时，各相单独计算。如,
已知,
三相负载 R,L,C
以及 三相线电压,
?
?
?
??
???
??
1 2 0
1 2 0
0
lCA
lBC
lAB
UU
UU
UU
?
?
?
求：各相、各线及中线电流
CI?
C
R
A
B
N
L
C
AI?
NI?
BI?
ANI?
BNI?
CNI?
解,(1)
CI?
C
R
A
B
N
L C
AI?
NI?
BI?
ANI?
BNI?
CNI?
???
????
???
1 2 0
1 2 0
0
lCA
lBC
lAB
UU
UU
UU
?
?
?
???????
????????
????????
90
3
1
30
3
1
150
3
1
30
3
1
30
3
1
30
3
1
lCACN
lBCBN
lABAN
UUU
UUU
UUU
??
??
??
相
电
压
线
电
压
CI?
C
R
A
B
N
L C
AI?
NI?
BI?
ANI?
BNI?
CNI?
lp UU 3
1
?
令,
则相电压为,
??????
????????
????????
9090
3
1
150150
3
1
3030
3
1
PlCN
PlBN
PlAN
UUU
UUU
UUU
?
?
?
(2) 相电流
CI?
C
R
A
B
N
L
C
AI?
NI?
BI?
ANI?
BNI?
CNI?
????? 30
R
U
R
UI PAN
AN
??
?
?
??
?
?
?
?
? 180
11
j
90
1
j
C
U
C
U
C
U
I
PPCN
CN
???
?
?
???????? 240
j
150
j L
U
L
U
L
UI PPBN
BN ???
??
?
CAU?
ABU?
BCU?
(3) 中线电流
CBAN IIII ???? ???
NI?
CNU?
ANU?
BNU?
BNI?
CNI?
ANI?
(4) 各电流相量关系
?
?
?
??
???
???
180
240
30
C
P
CN
L
P
BN
P
AN
X
U
I
X
U
I
R
U
I
?
?
?
AI?
BI?
CI?
2,负载对称时，只需计算一相。
????? ZZZZ CBA
如,
A
AN
AN IZ
U
I ?
?
? ??
则,
?
?
????
????
240
120
ANCCN
ANBBN
III
III
???
???
据此可直接得出另两相电流,
0???? CBAO IIII ????
（中线电流为 0）
CNU?
ANU?
BNU?
3,负载对称，只要求电流、电压大小时，仅算一相
有效值即可。
?
0???? CBAN IIII ????
)( ZZZZ CBA ???
负载对称时 问题及讨论
零线是否
可以取消？
答：三相完全对称时，零线可以取消。称为
三相三线制。
ce
A
C
B
Z
Z Z
Ce
Be
Ae
讨论 照明电路能否采用三相三线制
供电方式？
A
C
B
..,一层楼
二层楼
三层楼
N
不加零线
会不会出
现问题?
设线电压为 380V。
A相断开后,B,C 两相
串连，电压 UBC （ 380V）
加在 B,C负载上。如果
两相负载对称，则每相负
载上的电压为 190V。
问题 1,若一楼全部断开，二、三楼仍然接通,
情况如何?
A
C
B
..,一层楼
二层楼
三层楼
分析,
结果二、三楼电灯全部变暗，不能正常工作。
问题 2,若一楼断开，二、三楼接通。但两层楼
灯的数量不等（设二楼灯的数量为三层的
1/4 ）结果如何？
结果：二楼灯泡上的电压超过额定电压,
灯泡被烧毁；三楼的灯不亮。
A
C
B
R2
R3
V 76380
5
1
3 ???RU
V 304380
5
4
2 ???RU
分析
关于零线的结论
负载不对称而又没有中线时，负载上可能得到大
小不等的电压，有的超过用电设备的额定电压，有的
达不到额定电压，都不能正常工作。比如,照明电路
中各相负载不能保证完全对称，所以绝对不能采用三
相三相制供电，而且必须保证零线可靠。
中线的作用在于，使星形连接的不对称负载得到
相等的相电压。为了确保零线在运行中不断开，其上
不允许接保险丝也不允许接刀闸。
二,三角形接法及计算
ABi
CAi
BCi
Ci
Bi
Ai
CAu
ABu
BCu
A
C
B
lLp UU
?? ?
特点, 负载相电压 =线电压
各电流的计算
Bi
ABi
CAi
BCi
Ci
Ai
CAu
ABu
BCu
A
C
B
ZAB
ZBC
ZCA
CA
CA
CA
BC
BC
BC
AB
AB
AB
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
?
?
?
?
?
?
?
?
?
相电流
BCCAC
ABBCB
CAABA
III
III
III
???
???
???
??
??
??线
电
流
（ 2）负载对称时（ ZAB=ZBC=ZCA=Z ）,各相电流有
效值相等，相位互差 120? 。有效值为,
Z
U
IIII lPCABCAB ????
Bi
ABi
CAi
BCiCi
Ai
CAu
ABu
BCu
A
C
B
ZAB
ZBC ZCA
（ 1）负载不对称时，先算出各相电流，然后计算线电流。
?
CAABA III ??? ??
???? 303
ABA II ??
?
CAU?
ABU?
BCU?
BI?
CI?
ABI?
CAI?
BCI?
?
?
???
???
303
303
CAC
BCB
II
II
??
??
同理,
??? 0
lAB UU?
设：负载为阻性的，阻抗角为 0 ? 。
负载对称时，三角形接法线、相电流的相位关系
CAI??
AI?
A
B C
ABI?
CAI?
AI?
负载对称时三角形接法的特点
Bi
ABi
CAi
BCi
Ci
Ai
CAu
ABu
BCu
A
C
B
?
lLp UU
?? ?
?
???? 303
pl II
??
注意电路
中规定的
正方向
负载对称时,
?co s3 pLp IUP ?
CBA PPPP ???
三相总有功功率,
? 由负载
性质决定
3 plLpl IIUU ??
星形接法时,
3 plLpl IIUU ??
三角形接法时,
?
?c o s3 ll IUP ?
?
3.8.2 三相电路的功率
一、三相功率的计算
ll
ll
ll
IUS
IUQ
IUP
3
s in3
c o s3
?
?
?
?
?
有功功率,
无功功率,
视在功率,
在三相负载对称的条件下，三相电路的功率,
二、三相功率的测量
1W
*
*
2W
*
*
3W
*
*
负
载
A
C
B
N
三相总功率为三个功率表测得数据的总和。
三相四线制接法，用三个功率表测量,
三相总功率等于两表测得数据之和。
BuCi
Bi
Ai
ACu
BCu
A
C
B
Cu
AuA
Z
BZ
CZ
2W
*
*
1W
*
*
三相三线制的电路中，用二表法测功率,
两表法测量功率的原理,
? ? ? ?
BCBACA
CBBCAA
CCBBAA
uiui
uuiuui
iuiuiup
??
????
???
BAC iii ???
结论,三相总功率等于两表测得数据之和。每单个功
率表的读数没有意义。
实验用的 三相瓦特计实际上就是根据“二表法”
的原理设计的。
求：功率表 W1,W2的读数。
例
2W
*
*
电机
AI?
CI?
CBU?
A
C
B ABU?
1W
*
*
已知,
电机的功率为 2.5 kW,。
866.0c o s ??
（设电机为星形接法,N为其中点。）
电源线电压为 380V，各相 对称。
2W
*
*
电机
AI?
CI?
CBU?
A
C
B ABU?
1W
*
*
A386.4
866.03803
105.2
c o s3
c o s3
3
?
??
?
???
?
?
?
l
l
ll
U
P
I
IUP?
（ 1）求电流大小
2W
*
*
AI?
CI?
CBU?
A
C
B ABU?
1W
*
*
ZB
ZA
ZC N
AU?
V0220 ???NAU ?
设,
ANU?
ABU?
BCU?
CAU?
CBU?（ 2）求电流、电压的相位关系
V90380
V90380
V30380
?
?
?
??
???
??
CB
BC
AB
U
U
U
?
?
?
则,
2W
*
*
AI?
CI?
CBU?
A
C
B ABU?
1W
*
*
ZB
ZA
ZC N
AU?
ABU?
ANU?
AI?
ABA UI ??,
间的相位差
?60
1 ??
1?
已知电机的
866.0c o s ??
?30866.0co s -1 ???
?
A30386.4 ?? ???AI
?
AU?
ABU?
BCU?
CAU?
CBU?
AI?
BI?
CI?
W3.833
60c o s386.4380
c o s
11
?
???
?
?
?
AAB
IUP
W7.1 6 6 6
0c o s3 8 6.43 8 0
c o s
22
?
???
?
?
?
CCB
IUP
A90386.4 ???CI?
同理，由相量图可得
?0
2 ??CBC UI ??,
间的相位差
W1的读数为
833.3瓦
W2的读数为
1666.7瓦
三相交流电路的小结（ 1） --三相电源
三相三线制
三相四线制
A
Ae
Ce
Be
C
B
N
Ae
Ce
Be
A
C
B
Ae
Ce
Be
A
C
B
三相电源一
般都是对称
的，而且多
用三相四线
制接法。
三相交流电路的小结 (2)--三相负载
星形负载 三角形负载
A
C
B
N
Z
Z Z
A
C
B
Z Z
Z
三相交流电路的小结 (3)--三相电路计算
负载 ?形接法
lLP
Pl
UU
II
??
?? ?
?
??? 303
对称负载下,
各相电压、电流单独计算。 负载不对称时,
负载对称时,电压对称、电流对称，只需计算一相。
求电表读数时，可只算有效值，不算相位。
三相电路的计算要特别注意相位问题。
?
?
?
负载 Y形接法
???
??
303 ??
?
Pl
Pl
UU
II
电源对称时,
三相交流电路的小结 (4)--三相功率计算
CBA PPPP ???
三相总功率,
负载对称时,
?c o s3 pp IUP ?
?c o s3 ll IUP ?
和接法
无关
第３章
结 束
