课 时 授 课 计 划 第20-22次课 【教学课题】： 第二章 平面力系 【教学目的】：掌握受力图画法，理解力在直角坐标轴上的投影和合力投影定理，掌握平面汇交力系平衡方程?，掌握力矩的概念和合力矩定理，掌握力偶的概念、性质、力偶系的合成与平衡理解力的平移定理及平面一般力系的简化与平衡条件。掌握物系受力图画法，掌握平面一般力系的平衡计算 【教学重点及处理方法】：受力图画法：平面汇交力系平衡方程，力矩及力偶的概念 力偶系的合成与平衡，平面一般力系的平衡条件，物系受力图及平面一般力系的平衡 处理方法： 详细讲解 【教学难点及处理方法】：约束反力画法，合力投影定理，力矩及力偶的概念?，平面一般力系的简化，物系受力图 处理方法： 结合例题分析讲解 【教学方法】: 讲授法 【教具】：三角板 【时间分配】： 引入新课 5min 新课 80 min 小结、作业 5min 第20-22次课 【提示启发 引出新课】 为了便于系统地研究力系，我们可以按照力系中各力作用线的分布情况来分类。凡力的作用线都在同一平面内的力系出称为平面力系，凡力的作用线不在同一片面内的力系称为空间力系。在这两类力系中，力作用线交于一点的力系称为汇交力系。平面汇交力系就是力作用线既在同一片面内有交于一点的力系。 【新课内容】 第二章 平面力系 平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。 空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。 汇交力系——作用线交于一点的力系。 平行力系——作用线相互平行的力系。 一般力系——作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。 ?本章主要研究平面力系的简化和合成方法，平衡条件和平衡方程，应用平衡方程求解物体平衡问题的方法步骤。 2.1 平面汇交力系 ??? 平面汇交力系的工程实例：  2.1.1 力的分解 ?按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。 2.1.2 力在坐标轴上的投影   ? 注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b(或由a1到b1)的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。 若已知力F在直角坐标轴上的投影Fx、Fy，则该力的大小和方向为  ? 力F可分解为Fx、Fy，可见利用力在直角坐标轴上的投影，可以同时表明力沿直角坐标轴分解时分力的大小和方向。 2.1.3合力投影定理 若刚体在平面上的一点作用着n个力F1，F2，…，Fn，按两个力合成的平行四边形法则（三角形）依次类推，从而得出力系的 合力等于各分力的矢量和。即   一般地，则其合力的投影  合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力投影定理是用解析法求解平面汇交力系合成与平衡问题的理论依据。 2.1.4 平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即  即平面汇交力系的平衡方程  力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。 例 2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成300角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）  　解：以三力交点为原点。 F1x=-F1=-2000N,?? F2x=-F2cos300=-5000×0.866N=-4330N,? F3x=0 F1y=0,?? F2y=-F2sin300=-5000×0.5N=-2500N,? F3x=-F3=-3000N Fx=∑Fx=-2000-4330+0=-6330N Fy=∑Fy=0-2500-3000=-5500N  由于Fx、Fy都是负值，所以合力应在第三象限，图b。   例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。  解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有 ?????  ?????  求出：   FNAC为负值，表明FNAC的实际指向与假设方向相反，即AC杆为受压杆件。 解静力学平衡问题的一般方法和步骤： 1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力； 2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。 3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。  1.已知 F1=500N，F2=300N，F3=600N，F4=1000N，用解析法求它们的合力的大小和方向。 2.圆柱形容器搁在两个滚子A、B上，A、B处于同一水平线，已知容器重G=30KN,半径R=500mm，滚子半径r=50mm，两滚子中心l=750mm，求滚子A、B所受的压力。 2.2 力矩与平面力偶系? ? 2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩) ? 1.力对点之矩的概念 ? 为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。 ?? ? 力对点之矩用MO（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd ??? 一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。  Mo(F) = ± 2△OAB ??? 力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。矩心不同，力矩不同。 ??? 规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。 ??? 力矩的单位是Nmm。 ??? 由力矩的定义可知：? （1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。 （2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。 ? 力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。 ??? 2.合力矩定理? 设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。  ??? 计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则   由上图可以看出，合力F对O点的矩为  据合力投影定理，有 Fy=F1y+F2y+---+Fny 两边同乘以l，得 Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl 即 Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn) ? 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。 3、力对点之矩的求法（力矩的求法) （1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。 注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。? ? 例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为α，又知OB=l，BC=h，求力F对O点的力矩。  解 （1）利用力矩的定义进行求解  ??? 如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有  （2）利用合力矩定理求解 ??? 将力F分解成一对正交的分力  力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即  2.2.2力偶及其性质? 1.力偶的定义 ??? 在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。  力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F') 力偶作用面——两个力所在的平面 力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d 力偶的转向——力偶使物体转动的方向 力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？ 力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。 ??? 设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为  MO(F)+MO(F')=F(x+d)-F'x=Fd 由于点O是任意选取的，故 力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积 （与矩心位置无关） 力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M M(F,F')=±Fd ??? 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位是Nmm。 ??? 力偶同力矩一样，是一代数量。Mo(F) = ± Fd ?? 力偶的三要素——大小、转向和作用平面 ??? 2.力偶的性质 ??? （1）力偶无合力。????????? ??? 力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。 ??? （2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。 ??? （3）力偶的等效性 力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。 ??? 力偶的等效条件： ??? 1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。经验：  不论将力偶加在A、B位置还是C、D位置，对方向盘的作用效应不变。 ??? 2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。经验：  2.2.3平面力偶系的合成与平衡 平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。 1.平面力偶系的合成 ? 例? 两个力偶的合成   2.平面力偶系的平衡 平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零， 例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。  解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图 ??? FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。 ?? （2）列平衡方程 ? ?  例2-5 电机轴通过联轴器与工件相连接，联轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，见图2-2-6，此圆周的直径d=150mm ，电机轴传给联轴器的力偶矩M=25kNm，求每个螺栓所受的力。  解 以联轴器为研究对象。 作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶矩M，四个螺栓的约束反力，假设四个螺栓的受力均匀，则F1=F2=F3=F4=F，其方向如图所示。由平面力偶系平衡条件可知，F1与F3 、F2与F4组成两个力偶，并与电动机传给联轴器的力偶矩M平衡。据平面力偶系的平衡方程  2.3 平面一般力系 平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。  上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用 2.3.1平面一般力系的简化 1.力的平移定理 力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。 问题：如果将力平移到刚体内另一位置？ 将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，  附加力偶，其力偶矩为 M(F,F'')=±Fd=Mo(F) 上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。 力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。 根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。 2.平面一般力系向平面内任意一点的简化  ???F'R——平面一般力系的主矢，其作用线过简化中心点O  ???? α——主矢与x轴的夹角 ?? Mo——平面一般力系的主矩 ??? 主矩=各附加力偶矩的代数和。 （由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。） Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn) 平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩Mo ，?主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。 主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。 3. 简化结果分析? 平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢F'R和一个主矩Mo，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：F'R =0,Mo≠0 F'R ≠0,Mo=0 F'R ≠0,Mo≠0 F'R =0,Mo=0(力系平衡) （1）F'R ≠0,Mo≠0,原力系简化为一个力和一个力偶。据力的平移定理，这个力和力偶还可以继续合成为一个合力FR，其作用线离O点的距离为d=Mo/F'R。 (2) F'R ≠0,Mo=0,原力系简化为一个力。主矢F'R 即为原力系的合力FR，作用于简化中心。 (3)F'R =0,Mo≠0,原力系简化为一个力偶，其矩等于原力系对简化 中心的主矩。主矩与简化中心的位置无关。因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。 (4)F'R =0,Mo=0，原力系是平衡力系。 2.3.2 平面一般力系的平衡? 1.平面一般力系的平衡条件 平面一般力系平衡的必要与充分条件为： F'R =0,Mo=0， 即  平面一般力系的平衡方程为  可求解出三个未知量 2.平面平行力系的平衡条件  平面平行力系的平衡方程为  平面平行力系的平衡方程,也可用两个力矩方程的形式，即  —式中A、B两点连线不能与各力的作用线平行 平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。 例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力G=500kN，重心在C点，与右轨相距a=1.5m。最大起吊重量P=250kN，与右轨B最远距离l=10m。平衡物重力为G1，与左轨A相距x=6m，二轨相距b=3m。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物G1的范围。  解：取起重机为研究对象。是一平面平行力系  1)要保障满载时机身平衡而不向右翻倒，则这些力必须满足平衡方程，在此状态下，A点将处于离地与不离地的临界状态，即有FNA=0。这样求出的G1值是它应有的最小值。  平衡方程：  ∑Fy=0??????????? -G1min-G-P+FNB=0 ∑MB(F)=0??????????? G1min(x+b)-Ga-Pl=0????? ?????????2)要保障空载时机身平衡而不向左翻倒，则这些力必须满足平衡方程，在此状态下，B点将处于离地与不离地的临界状态，即有FNB=0。这样求出的G1值是它应有的最大值。 ? ??? ???? 因此，平衡重力G1之值的范围为 3.物体系统的平衡条件 物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。 ?若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n 物系外力——系统外部物体对系统的作用力 物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力 物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。 例2-7 如图所示，为一三铰拱桥。左右两半拱通过铰链C联接起来，通过铰链A、B与桥基联接。已知G=40kN，P=10kN。试求铰链A、B、C三处的约束反力。  解 （1）取整体为研究对象画出受力图，并建立如图2-3-6b所示坐标系。列解平衡方程 ?????  ???????? （2）取左半拱为研究对象画出受力图，并建立如图所示坐标系。列解平衡方程 ???? ?????  ???? ??????? ??? ??? （3）取整体为研究对象。列解平衡方程 ?????? ???  ? ? 解平面力系平衡问题的方法和步骤： ①明确题意，正确选择研究对象。 ②分析研究对象的受力情况，画出受力图。这是解题的关键一步，尤其在处理物系平衡问题时，每确定一个研究对象就必须单独画出它的受力图，不能将几个研究对象的受力图都画在一起，以免混淆。另外，还要注意作用力、反作用力，外力、内力的区别。在受力图上内力不画出。 ③建立坐标系。建立坐标系的原则应使每个方程中的未知量越少越好，最好每个方程中只有一个未知量。 ④列解平衡方程，求未知量。在计算结果中，负号表示预先假设力的指向与实际指向相反。在运算中应连同符号一起代入其它方程中继续求解。 ⑤讨论并校核计算结果。 物体系统中每个物体的受力分析方法和单个物体分析方法相同，但应注意以下几点：? 1.物系受力分析时往往需要画整体受力图? 2.画单个物体受力图时，注意作用与反作用力的关系。? 3.注意判断二力构件（二力杆）。二力构件一般不作为单个物体画独立受力图。 平面力系平衡 解平面力系平衡问题的方法和步骤：? ①明确题意，正确选择研究对象。? ②分析研究对象的受力情况，画出受力图。这是解题的关键一步，尤其在处理物系平衡问题时，每确定一个研究对象就必须单独画出它的受力图。要注意作用力、反作用力，外力、内力的区别。在受力图上内力不画出。 ③建立坐标系。建立坐标系的原则应使每个方程中的未知量越少越好，最好每个方程中只有一个未知量。? ④列解平衡方程，求未知量。在计算结果中，负号表示预先假设力的指向与实际指向相反。在运算中应连同符号一起代入其它方程中继续求解。? ⑤讨论并校核计算结果。 例1 组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l=8m，F=5kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5kN·m，试求固端A、铰链C和支座E的反力。  ?????? 解： 1.取CE段为研究对象，受力分析如图。   【小结】： 【作业】： 2-6 【后记】：