2005.4 北京大学物理学院王稼军编有介质存在时的 Gauss定理和环路定理
)','('0qPE
0' EEE
描述极化的几个物理量是互相影响、互相制约，一个知道则都知道，而一个不知道均不知道
有介质时，场和真空中的场有何异、同？
库仑定律 +叠加原理 仍成立
静电场性质 （ 有源,无旋 ）？ —— 不变
为什么？因为极化电荷也是静电荷（只是不能动）
EP e 0
2005.4 北京大学物理学院王稼军编考虑关系
把静电场 Gauss定理变换一下
S S
qSdP
内
'
S SSSS
SdPqqqSdE
内内内
0
00
0
0
1'11
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内
0
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1
S S
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内
00 )(?PED 0?
电位移矢量
S S
qSdD
内
0
S面内包围的自由电荷电位移矢量通量
2005.4 北京大学物理学院王稼军编电位移矢量
D的 Gauss定理,有电介质存在时，通过电介质中任意闭合曲面的 电位移通量,等于闭合曲面所包围的 自由电荷的代数和,与极化电荷无关
公式中不显含 P,q’,E’，可以掩盖矛盾，
但没有解决原有的困难
若 q0已知，只要场分布有一定对称性，可以求出 D，但由于不知道 P，仍然无法求出 E
S S
qSdD
内
0
PED 0? 辅助矢量
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
PED 0?
需要 补充 D和 E的关系式，并且需要 已知 描述介质极化性质的极化率?e
对于各向同性线性介质,有
EP e 0
真空中 ED
01,
有介质的问题总体上说,比较复杂
但就各向同性线性介质来说,比较简单 。
e1 相对介电常数（与真空相对）
介电常数
EEe 00 )1(
2005.4 北京大学物理学院王稼军编有介质时 D的 通量 与闭合面内 自由电荷 的关系
理论地位：描述场的性质，有源无旋场
可以用来计算某些场分布（由对称性决定）
利用 D- Gauss定理按以下路径求
')'(' EqPED
S S
qSdD
内
0
利用电容定义和串并联公式按以下路径求
')'(' EqPDEC
2005.4 北京大学物理学院王稼军编例题一：
求相对介电常数为?的无限大均匀电介质中点电荷 q的场分布，用 D-Gauss定理，是球对称场，作球形 Gauss面
S
qSdD24 rD? 24 r
qD
00
0
2
00 4
EDErqDE 00,CCUU?
介质内场强削弱了 倍
电容增加了 倍?
1
2005.4 北京大学物理学院王稼军编特殊情况下，特别是在各向同性线性介质中 D 与 E之间关系简单
从理论上可以证明
当均匀介质充满整个电场空间，或均匀介质是等势面时有介质部分内，下述关系式成立
0
00,
EEED
等势面?这种情况下可以把有介质部分与真空部分看成两个电容的串、并联
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
各向同性线性介质 D 正比于 E
普遍情况下,两者关系不简单，不一定成正比关系
S S
qSdD
内
0
小结：
真空 有介质
0
L
ldE
S S
qSdE
内0
1
0
L
ldE
静电荷
（自由、极化） 自由电荷
2005.4 北京大学物理学院王稼军编均匀介质内部极化体电荷密度‘ ＝ 0
利用 D－ Gauss定理证明：
在介质内部取任意高斯面 S，则有
0
S
SdD
无自由电荷
EP e 0 ED 0?DP e
0'
S
e
S
SdDSdPq
命题得证
2005.4 北京大学物理学院王稼军编电介质的击穿 p285 4-22,23,24
一般情况下
电介质中的载流子（离子、电子或空穴、电咏）在外电场作用下也会运动，一般情况下，这些运动电荷数量有限，
作用是微弱的，可以忽略，此时电介质是绝缘体
外电场增加到相当强时
在电介质内会形成电流，介质也会有一定的电导
当电场继续增加到某一临界值时，电导率突然剧增，电介质丧失其固有的绝缘性能变成导体，作为电介质的效能被破坏 —— 击穿
击穿场强 Em：电介质发生击穿时的临界场强
击穿电压 Vm,电介质发生击穿时的临界电压
2005.4 北京大学物理学院王稼军编例题,
球形电容器内外半径分别为 R1与 R2其间充以相对介电常数为?1和?2的均匀介质,两介质界面半径为 R。 求,1） 容器的电容； 2） 若内外两层电介质的 击穿场强 分别为 E1和 E2,且 E1< E2，
为合理使用材料,最好使两种介质内的电场强度 同时达到其击穿值,求此时 R的大小 。
求电容：求 D—— E—— U—— C
2
20
22
2
10
21
1
4
,
4
4
,
4
,0
r
Q
E
r
Q
DRrR
r
Q
E
r
Q
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oEDRr
CC
BB
AA
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
求 R：要求两种介质内的电场强度 同时达到 其击穿值，
且 E1< E2；由于 r越小 E越大,所以 内层最先达到击穿值,只要取 r=R1处的场强为该层介质的击穿场强 E1,
则可以确定加在电容器两极的最大电量 Q0
RRR
RRRRRQ
RRRR
Q
ldEldEldEU
R
R
C
R
R
B
R
R
AD
2121
11222121
0
22110
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2
1
2
1
RRRRR
RRR
U
QC
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11222121
21210
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
对于外层介质，当 r=R处场强达到 E2，则击穿
11
2
100
1
2
10
1 44| 1 ERQR
QEE o
RrB
2
10
2 4| R
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RrC
1
22
11
22
1
2
112 R
E
ER
E
ERR
2005.4 北京大学物理学院王稼军编接触起电
理想的电介质
在外电场的作用下应该没有电荷的转移和传导
实际的电介质
或多或少的具有一定数量的 弱联系的带电质点
弱联系的带电质点在外电场的作用下会 形成电传导和电荷转移,例如：
不同介质接触面之间的电荷可能转移
有的电介质内会形成电流
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
脱衣服时常听到衣服间的放电声音,有时两人的手接触,也会感到有瞬间的触电感觉
接触起电的机理可以用物质的 功函数 来解释
一个电子从物体内部跑到物体外部必须作的最小功
物体置于真空中,电子在物体中就好比处在深为
的势阱中,如图所示：若 A,B两种物体的 功函数不等,分别为?A和?B
2005.4 北京大学物理学院王稼军编起电机制
当两物体表面距离25?m时,有电子从一个物体转移到另一物体
若?A>?B,则 B 内的电子容易向 A转移,则 A表面形成多余的负空间电荷 （ 不是极化,而是由对方转移而来的 ）
B表面层将因失去电子而出现等量的正空间电荷 ；于是两接触面之间产生一个 偶电层,其厚度为?
在接触面两侧电荷转移达到平衡时,偶电层 产生的电势差恰好抵消了两侧 功函数之差
此时如果 迅速分离 两物体,则偶电层两边的电荷 来不及完全消失,而使 A面带负电,B面带正电 —— 接触起电
接触面上所带电荷面密度取决于两物体的功函数差
2005.4 北京大学物理学院王稼军编例题
如图 金属 与 电介质 的接触面，均为无限大平面，设金属上的空间 电荷面密度为?m，功函数为?m 。转移到电介质一侧的空间电荷近似假设为 均匀分布于厚度为?的表面层内,体密度为
。求介质表面层单位面积上的空间电荷（面电荷密度）?。
m
作高斯面
S
SxSxSdD
S
m )()(
)()(
0
xExD
r
介介
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
偶电层产生的电势差恰好抵消了两侧功函数之差
00
0
0
dxxd xldE
e r
m
介
rr
0
2
22
0 22
1
)(2 0 mre 00
0
m
m
介质表面积累了导体转移过来的负电荷,
而导体表面因失去电子而出现正电荷 。
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
类似地可以得到两种电介质相接触时的偶电层电荷面密度的大小为
2
2
1
1
210 )2
rr
e
212121,、、、,rr
依次为两侧电介质功函数、
相对介电常数和空间电荷的厚度电子由功函数 小 的一侧 转移至功函数大 的一侧 。
接触起电虽然是静电现象，但是有时也会造成严重的不良后果
2005.4 北京大学物理学院王稼军编接触起电的危害和应用
人体放电
人体对地 电容 约为 100~200pf，人坐在人造革椅子上起立，或在塑料地板上步行数步所产生的接触静电电荷造成人体的静电电压可以达到
104V～ 空气的击穿场强,有时会出现瞬间放电现象
航天工业
静电放电造成火箭和卫星发射失败，干扰航天飞行器的运行
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
绝缘液体的流动也会造成大量接触起电静电荷
油轮的船体与油之间也有接触起电的可能
美国从 1960年到 1975年由于静电引起的火灾爆炸事故达 116起
1969年底在不到一个月的时间内荷兰、挪威、英国三艘 20万吨超级油轮洗舱时产生的静电引起相继发生爆炸
我国近年来在石化企业曾发生 30多起较大的静电事故
上海某石化公司的 2000米 3 甲苯罐,
山东某石化公司的胶渣罐
抚顺某石化公司的航煤罐等都因静电造成了严重火灾爆炸事故 。
应用
电子照相、静电储存、静电分选、静电喷涂
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描述极化的几个物理量是互相影响、互相制约，一个知道则都知道，而一个不知道均不知道
有介质时，场和真空中的场有何异、同？
库仑定律 +叠加原理 仍成立
静电场性质 （ 有源,无旋 ）？ —— 不变
为什么？因为极化电荷也是静电荷（只是不能动）
EP e 0
2005.4 北京大学物理学院王稼军编考虑关系
把静电场 Gauss定理变换一下
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电位移矢量
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S面内包围的自由电荷电位移矢量通量
2005.4 北京大学物理学院王稼军编电位移矢量
D的 Gauss定理,有电介质存在时，通过电介质中任意闭合曲面的 电位移通量,等于闭合曲面所包围的 自由电荷的代数和,与极化电荷无关
公式中不显含 P,q’,E’，可以掩盖矛盾，
但没有解决原有的困难
若 q0已知，只要场分布有一定对称性，可以求出 D，但由于不知道 P，仍然无法求出 E
S S
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内
0
PED 0? 辅助矢量
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
PED 0?
需要 补充 D和 E的关系式，并且需要 已知 描述介质极化性质的极化率?e
对于各向同性线性介质,有
EP e 0
真空中 ED
01,
有介质的问题总体上说,比较复杂
但就各向同性线性介质来说,比较简单 。
e1 相对介电常数（与真空相对）
介电常数
EEe 00 )1(
2005.4 北京大学物理学院王稼军编有介质时 D的 通量 与闭合面内 自由电荷 的关系
理论地位：描述场的性质，有源无旋场
可以用来计算某些场分布（由对称性决定）
利用 D- Gauss定理按以下路径求
')'(' EqPED
S S
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内
0
利用电容定义和串并联公式按以下路径求
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编例题一：
求相对介电常数为?的无限大均匀电介质中点电荷 q的场分布，用 D-Gauss定理，是球对称场，作球形 Gauss面
S
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00
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2
00 4
EDErqDE 00,CCUU?
介质内场强削弱了 倍
电容增加了 倍?
1
2005.4 北京大学物理学院王稼军编特殊情况下，特别是在各向同性线性介质中 D 与 E之间关系简单
从理论上可以证明
当均匀介质充满整个电场空间，或均匀介质是等势面时有介质部分内，下述关系式成立
0
00,
EEED
等势面?这种情况下可以把有介质部分与真空部分看成两个电容的串、并联
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
各向同性线性介质 D 正比于 E
普遍情况下,两者关系不简单，不一定成正比关系
S S
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内
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小结：
真空 有介质
0
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静电荷
（自由、极化） 自由电荷
2005.4 北京大学物理学院王稼军编均匀介质内部极化体电荷密度‘ ＝ 0
利用 D－ Gauss定理证明：
在介质内部取任意高斯面 S，则有
0
S
SdD
无自由电荷
EP e 0 ED 0?DP e
0'
S
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命题得证
2005.4 北京大学物理学院王稼军编电介质的击穿 p285 4-22,23,24
一般情况下
电介质中的载流子（离子、电子或空穴、电咏）在外电场作用下也会运动，一般情况下，这些运动电荷数量有限，
作用是微弱的，可以忽略，此时电介质是绝缘体
外电场增加到相当强时
在电介质内会形成电流，介质也会有一定的电导
当电场继续增加到某一临界值时，电导率突然剧增，电介质丧失其固有的绝缘性能变成导体，作为电介质的效能被破坏 —— 击穿
击穿场强 Em：电介质发生击穿时的临界场强
击穿电压 Vm,电介质发生击穿时的临界电压
2005.4 北京大学物理学院王稼军编例题,
球形电容器内外半径分别为 R1与 R2其间充以相对介电常数为?1和?2的均匀介质,两介质界面半径为 R。 求,1） 容器的电容； 2） 若内外两层电介质的 击穿场强 分别为 E1和 E2,且 E1< E2，
为合理使用材料,最好使两种介质内的电场强度 同时达到其击穿值,求此时 R的大小 。
求电容：求 D—— E—— U—— C
2
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编
求 R：要求两种介质内的电场强度 同时达到 其击穿值，
且 E1< E2；由于 r越小 E越大,所以 内层最先达到击穿值,只要取 r=R1处的场强为该层介质的击穿场强 E1,
则可以确定加在电容器两极的最大电量 Q0
RRR
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21210
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
对于外层介质，当 r=R处场强达到 E2，则击穿
11
2
100
1
2
10
1 44| 1 ERQR
QEE o
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2
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1
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2
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编接触起电
理想的电介质
在外电场的作用下应该没有电荷的转移和传导
实际的电介质
或多或少的具有一定数量的 弱联系的带电质点
弱联系的带电质点在外电场的作用下会 形成电传导和电荷转移,例如：
不同介质接触面之间的电荷可能转移
有的电介质内会形成电流
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
脱衣服时常听到衣服间的放电声音,有时两人的手接触,也会感到有瞬间的触电感觉
接触起电的机理可以用物质的 功函数 来解释
一个电子从物体内部跑到物体外部必须作的最小功
物体置于真空中,电子在物体中就好比处在深为
的势阱中,如图所示：若 A,B两种物体的 功函数不等,分别为?A和?B
2005.4 北京大学物理学院王稼军编起电机制
当两物体表面距离25?m时,有电子从一个物体转移到另一物体
若?A>?B,则 B 内的电子容易向 A转移,则 A表面形成多余的负空间电荷 （ 不是极化,而是由对方转移而来的 ）
B表面层将因失去电子而出现等量的正空间电荷 ；于是两接触面之间产生一个 偶电层,其厚度为?
在接触面两侧电荷转移达到平衡时,偶电层 产生的电势差恰好抵消了两侧 功函数之差
此时如果 迅速分离 两物体,则偶电层两边的电荷 来不及完全消失,而使 A面带负电,B面带正电 —— 接触起电
接触面上所带电荷面密度取决于两物体的功函数差
2005.4 北京大学物理学院王稼军编例题
如图 金属 与 电介质 的接触面，均为无限大平面，设金属上的空间 电荷面密度为?m，功函数为?m 。转移到电介质一侧的空间电荷近似假设为 均匀分布于厚度为?的表面层内,体密度为
。求介质表面层单位面积上的空间电荷（面电荷密度）?。
m
作高斯面
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SxSxSdD
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介介
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
偶电层产生的电势差恰好抵消了两侧功函数之差
00
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介质表面积累了导体转移过来的负电荷,
而导体表面因失去电子而出现正电荷 。
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
类似地可以得到两种电介质相接触时的偶电层电荷面密度的大小为
2
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依次为两侧电介质功函数、
相对介电常数和空间电荷的厚度电子由功函数 小 的一侧 转移至功函数大 的一侧 。
接触起电虽然是静电现象，但是有时也会造成严重的不良后果
2005.4 北京大学物理学院王稼军编接触起电的危害和应用
人体放电
人体对地 电容 约为 100~200pf，人坐在人造革椅子上起立，或在塑料地板上步行数步所产生的接触静电电荷造成人体的静电电压可以达到
104V～ 空气的击穿场强,有时会出现瞬间放电现象
航天工业
静电放电造成火箭和卫星发射失败，干扰航天飞行器的运行
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
绝缘液体的流动也会造成大量接触起电静电荷
油轮的船体与油之间也有接触起电的可能
美国从 1960年到 1975年由于静电引起的火灾爆炸事故达 116起
1969年底在不到一个月的时间内荷兰、挪威、英国三艘 20万吨超级油轮洗舱时产生的静电引起相继发生爆炸
我国近年来在石化企业曾发生 30多起较大的静电事故
上海某石化公司的 2000米 3 甲苯罐,
山东某石化公司的胶渣罐
抚顺某石化公司的航煤罐等都因静电造成了严重火灾爆炸事故 。
应用
电子照相、静电储存、静电分选、静电喷涂
