电磁能 p292 4-63,67,69,72
点电荷之间的相互作用能电荷连续分布情形的静电能电场的能量和能量密度电荷或电荷组在外电场中的能量磁场的能量和能量密度
2005.5 北京大学物理学院王稼军编点电荷之间的相互作用能
定义静电能为零的状态
设想带电体系中的电荷可以无限分割为许多小单元,最初认为它们分散在彼此相距很远的位置上,规定这种状态下系统的静电能为零 。
—— We=0
静电能 We：
把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集成现有带电体系时外力抵抗电场力所做的全部功
A’=-A （电场力做功）
2005.5 北京大学物理学院王稼军编两个点电荷的情形
先移动 q1 到 M点,——— 外力不做功
再移动 q2 到 N点,——— 外力做功
121212' UqldEqldFAA
NN

q1 单独存在时 N的点电势
交换移动次序可得
212121'' UqldEqldFAA
NN

q2单独存在时
M点的电势
'''4 1 21
0
2112 AAr
qqUqUq

系统的静电能 )(
2
1
4
1
1221
21
0
UqUqrqqW e
q1单独存在时 q2
处的电势
q2 单独存在时在 q1处的电势
2005.5 北京大学物理学院王稼军编多个点电荷的情形
把无限分散的多个点电荷逐个从无穷远移至相应位置，计算外力所做的功


1
1
,121
23133312221
')('
)(',',0'
i
j
jiiinnnnnn UqAUUUqA
UUqAUqAA
iP
ij
i
jijji r
qldEPUU
04
1)(

代表第 j
个电荷在第 i个电荷所在位置 Pi处产生的电势
点 电 荷组的总功应为
)1(
4
1
''''''
1
1
10
1
11
1
321




n
i
i
j ji
ji
i
j
ji
n
i
i
n
i
in
r
qq
Uq
AAAAAA

P266 4.106式
2005.5 北京大学物理学院王稼军编第二种表达式
可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
ij
ji
jiiijj r
qq
UqUq
04
1

)(2
1
jiiijjjiiijj UqUqUqUq
)2(
8
1
2
1'
1,10,11




n
i
n
ijj ji
ji
n
ijj
ji
n
i
i r
qq
UqA



n
ijj ji
j
ii r
q
PUU
,104
1)(

Ui:除点电荷 i外其它点电荷单独存在时 qi
所在处的电势总和 )3(21'
1
n
i
iiUqA
4.108
4.107
2005.5 北京大学物理学院王稼军编点电荷组的静电势能
点电荷组的静电势能 We等于电场力所做的功 A’
相应的表达式为 p266(4.109),(4.110),(4.111)
)1(
4
1 1
11
1
110




i
j
ji
n
i
i
i
j ji
ji
n
i
ie Uqr
qq
qW

)2(
8
1
,110


n
ijj ji
ji
n
i
e r
qq
W

)3(21
1
n
i
iie UqW
Ui:除点电荷 i外其它点电荷单独存在时 qi 所在处的电势总和
2005.5 北京大学物理学院王稼军编电荷连续分布情形的静电能
将上式推广到电荷连续分布的情形,假定电荷是体分布,体密度为?e,把连续分布的带电体分割成许多电荷元,其电量?qi=?e?Vi,则有
)3(
2
1
1
n
i
iie UqW
)4(21 Ud VW ee?
带电体各部分电荷在积分处的总电势总静电能不是相互作用能

i
iiee UVW?2
1 0 iV
SUdWUd lW eeee 2121,；,面电荷线电荷
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
EDDEe 2121?
电场的能量和能量密度
从公式看，静电能仅对其中包含电荷的体积或面积进行，在其他地方，积分等于零
是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？
以平行板电容器为例说明
UdSWUdVW eeee 2121,；,面电荷体电荷
DE VDE S dS E dUQW e 21212121 00
极板上的电量板间电压体积为 V
内的 W
电能密度：单位体积内的电能
ED 0?
dVEDdVW ee 21?
普遍适用能量定域于场中
2
02
1 E
e
2005.5 北京大学物理学院王稼军编例题
例题 15,p267
例题二：两个半径为 R1,R2的同心球壳，
均匀带电，电量分 别为 Q1,Q2,求带电体系的相互作用能
例题三：求原子核静电能 —— 近似模型为均匀带电球体,半径为 R,带电量为 Q,球外真空
2005.5 北京大学物理学院王稼军编电荷或电荷组在外电场中的能量
电荷或电荷组（最简单的是偶极子）在其他带电体产生的电场（外场）中具有电势能
一个电荷在外电场中的电势能
)()( PqUPW?
外场中 P点的电势
一个电偶极子在外电场中的电势能
)()( lrqUrqUW
)(rU?
)( lrU
llUrUlrU )()(
UlrU )(
c o s)( pErEpUPUlqW
2005.5 北京大学物理学院王稼军编带电体系在外场中受的力或力矩与静电势能的关系
设处在一定位形的带电体系的电势能为 W,当它的位形 发生微小变化
电势能将相应地改变?W
电场力做一定的功?A
设系统无能量耗散和补充,能量守恒
A= -?W
电场力的功等于电势能的减少
利用上述关系可以给出带电体系的静电能与体系受力的关系
2005.5 北京大学物理学院王稼军编平移
设想带电体系有一微小位移?l
lFlFA l
电场力在?l方向上的投影
W
0l? l
WF
l?

转动
设想带电体系绕某一方向的轴作微小的角位移
LA?
力矩在转轴方向的投影 W 0

WL
用虚功原理：虚设位形变化时，电（或磁）
场力做虚功 —— 求力
2005.5 北京大学物理学院王稼军编例题,利用虚功原理证明均匀带电球壳在单位面积上受到的静电排斥力为
一个总电量为 q，半径为 R
均匀带电的球壳的自能为
02 2/ e
R
qW
0
2
8自
设想球面稍有膨胀
则单位面积所受的斥力 RRR
)
8
(
4
1
4
1
4 0
2
222 R
q
RRR
W
RR
Ff



0
2
2
2
00
2
0
2
2 2)4(2
1
84
1

e
R
q
R
q
R
2005.5 北京大学物理学院王稼军编问题：
若先将带电球壳自能用电荷面密度表示
2
0
3
2
2
0
3
0
2
2
4)
4(2
4
8 e
R
R
qR
R
qW?

自
2
0
2
0
22 2
4)4(
2
1
4
1
4 eeRRR
W
RR
Ff?




与前面得到的不同，那个对？为什么？
求导过程中认为电荷密度不变，对吗？
2005.5 北京大学物理学院王稼军编磁场的能量和能量密度
线圈建立电流过程中,电源克服感应电动势所做的功转变成磁能储存在线圈内
—— 充磁
磁能储存在何处？
近距作用观点
与电场相同,磁能同样应当定域在磁场中,
凡磁场不为零处便有相应的磁能,能量是磁场的重要属性
借助于长直螺线管的特例形式地导出普遍适用的磁场能量密度公式
2005.5 北京大学物理学院王稼军编磁场能量密度公式
长直螺线管自感
自感磁能为
11
22B H V VBH
磁能密度：单位体积内的磁能
1
2
W m
m VBH
1
2W d V d Vmm BH
普遍成立 磁能定域在磁场中
VInLIW m 2202 2121
VnL 20
VnInI ))((21 0
2005.5 北京大学物理学院王稼军编两个线圈的磁场能量公式
电容器 电容 C 储存电能
线圈 电感 L,M 储存磁能
C,L,M都只与电容器或线圈的几何尺寸,介质有关,是交流电路中的元件
两个线圈的磁场能量公式
dVdVW m )()(2121 2121 HHBBHB
dV )()(2 21210 HHHH
dVHH )2(2 2122210 HH
自感磁能互感磁能
2005.5 北京大学物理学院王稼军编例题 22,求无限长同轴线单位长度内的自感系数
磁场只存在于 区域内21 RrR
2
IH
r r
IHB

2
0
0
22
1
20
2
0
0
2
1
ln
22
1
4
2
222
1
2
1
2
1
LII
R
Rl
r
drlI
r l d r
r
I
r
I
dVW
R
R
R
R
mm






讲座超导 1
例题 23 22 200 8222121 rIrIrIm HB