第三章 直线与平面、平面与平面的
相对位置
§ 3-1 平 行 问 题
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§ 3-2 相交 问 题
§ 3-3 垂 直 问 题
一、直线与平面平行
P
A B
C D
E F几何条件：
1,若直线平行于平面上任意直线，则线、面平行。
2,若线、面平行，则过平面内任一点必能在平面内
作一直线平行于已知直线。
返回
§ 3-1 平行问题
例 1 判断直线 AB是否平行于 Δ CDE平面。
f
g’
f’
g
结论：直
线 AB不
平行于
ΔCDE平
面。
b’
a’
a
b
c’
e’
d’
e
d
c
OX
b’ a’
例 2 过点 K作水平线 AB平行于 ΔCDE平面
c’
e’
d’
d
k’
k
X Oe
c
a
f’
f
b
X
a
b
c
a’
b’
c’
d’
d
e’
e L
当直线平
行于特殊位置
平面时，平面
的积聚性投影
平行于直线的
同面投影。
例 3 过点 A作一铅垂面平行与 BC直线
二、两平面互相平行
几何条件：
两平面内各有一对 相交 直线分别对应平行。
X
a
b
c
d
e
f
g
h
a’
b’
c’
d’
e’
f’
g’
h’
m’
m
n’
n
结论：两平面不平行。
例 4 判别平面（ AB//CD)和（ EF//GH)是否平行
X
c
d
e
c’
d’
e’
k’
k
1’
2’
1
2
X
c
d
e
c’
d’
e’
k’
k
1
1’
2
2’L 当两特殊位置平面
相互平行
时，它们
具有积聚
性的同面
投影互相
平行。
例 5 过 K点作平面平行于 ΔCDE。
直线与平面相交 平面与平面相交
（ 1）求交点、交线
（ 2）判别投影的可见性
§ 3-2 相交问题
返回
—— 求交点并判别可见性
交点的性质：
1,是直线与平面的
公有点 ;
2,是可见与不可见
的分界点。
一、直线与平面相交
例 1 求 DE直线与 ?ABC的
交点。
X
d’
e’a’
b’
c’
a
b
cd
e
k’
k 1,2
1’
2’
( )
例 2 求 EF直线与 ?ABC的
交点。
X
a’
b’
c’
a
b
c
e’
f’
e(f) (k)
1
1’ k’ 3’ 4’
3
4
( )
从几何元素有积聚性的投影入手,先利用公有性得到
交点的一个投影,再根据从属关系求出交点的另一个投影。
可见性判断可用重影点法，简单时可用直观法。
—— 求交线并判别可见性
1,交线是两平面的公有线。
（凡两平面的公有点都在交
线上）
2,交线的投影是直线，可由
其上两个（公有）点的投影
确定。
3,求一平面内的一直线与另
一平面的交点来确定公有点
（转化为线、面交点问题）。
二、平面与平面相交
X
a
b
c
a’
b’
c’
d’ e’
f’g’
d(g)
e(f)
k1
k1’
k2
k2’
1’ 2’
1
2
( )
例 1 求 ?ABC和 DEFG两平面的交线。
X
a’ b’
c’d’
a b
cd
e
f g
h
(e’)f’
(h’)g’
A
B
C
D
E
F
G
H K1
K2
k1’
k1
k2’1’
1
k2 2 3
2’
3’
( )
K3k3’
k3
实际交线应
在两平面投影的
公共范围之内。
例 2 求 ABCD和 EFGH两平面的交线。
一、直线与特殊位置平面垂直
X
p’
p
a’ b’
a
b
V
H
X O
P
A
B
a
b
a’ b’
p’
pAB P
当直线垂直于特殊位置平面时，平面的积
聚性投影垂直于直线的同面投影。
§ 3-3垂直问题
返回
X
g’
a’
b’
c’
g
a b
c
(1) 作垂线；
f’
f
(2) 求垂足；
(3) 求实长。
L 作图步骤
例 1 求点 G到 ?ABC平面的距离。
X
V
H
O
P Q
p’ q’
p
q
X
p’ q’
p q
两特殊位置平面互相垂直时，它们具有积
聚性的同面投影互相垂直。
三、两特殊位置平面垂直
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相对位置
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§ 3-3 垂 直 问 题
一、直线与平面平行
P
A B
C D
E F几何条件：
1,若直线平行于平面上任意直线，则线、面平行。
2,若线、面平行，则过平面内任一点必能在平面内
作一直线平行于已知直线。
返回
§ 3-1 平行问题
例 1 判断直线 AB是否平行于 Δ CDE平面。
f
g’
f’
g
结论：直
线 AB不
平行于
ΔCDE平
面。
b’
a’
a
b
c’
e’
d’
e
d
c
OX
b’ a’
例 2 过点 K作水平线 AB平行于 ΔCDE平面
c’
e’
d’
d
k’
k
X Oe
c
a
f’
f
b
X
a
b
c
a’
b’
c’
d’
d
e’
e L
当直线平
行于特殊位置
平面时，平面
的积聚性投影
平行于直线的
同面投影。
例 3 过点 A作一铅垂面平行与 BC直线
二、两平面互相平行
几何条件：
两平面内各有一对 相交 直线分别对应平行。
X
a
b
c
d
e
f
g
h
a’
b’
c’
d’
e’
f’
g’
h’
m’
m
n’
n
结论：两平面不平行。
例 4 判别平面（ AB//CD)和（ EF//GH)是否平行
X
c
d
e
c’
d’
e’
k’
k
1’
2’
1
2
X
c
d
e
c’
d’
e’
k’
k
1
1’
2
2’L 当两特殊位置平面
相互平行
时，它们
具有积聚
性的同面
投影互相
平行。
例 5 过 K点作平面平行于 ΔCDE。
直线与平面相交 平面与平面相交
（ 1）求交点、交线
（ 2）判别投影的可见性
§ 3-2 相交问题
返回
—— 求交点并判别可见性
交点的性质：
1,是直线与平面的
公有点 ;
2,是可见与不可见
的分界点。
一、直线与平面相交
例 1 求 DE直线与 ?ABC的
交点。
X
d’
e’a’
b’
c’
a
b
cd
e
k’
k 1,2
1’
2’
( )
例 2 求 EF直线与 ?ABC的
交点。
X
a’
b’
c’
a
b
c
e’
f’
e(f) (k)
1
1’ k’ 3’ 4’
3
4
( )
从几何元素有积聚性的投影入手,先利用公有性得到
交点的一个投影,再根据从属关系求出交点的另一个投影。
可见性判断可用重影点法，简单时可用直观法。
—— 求交线并判别可见性
1,交线是两平面的公有线。
（凡两平面的公有点都在交
线上）
2,交线的投影是直线，可由
其上两个（公有）点的投影
确定。
3,求一平面内的一直线与另
一平面的交点来确定公有点
（转化为线、面交点问题）。
二、平面与平面相交
X
a
b
c
a’
b’
c’
d’ e’
f’g’
d(g)
e(f)
k1
k1’
k2
k2’
1’ 2’
1
2
( )
例 1 求 ?ABC和 DEFG两平面的交线。
X
a’ b’
c’d’
a b
cd
e
f g
h
(e’)f’
(h’)g’
A
B
C
D
E
F
G
H K1
K2
k1’
k1
k2’1’
1
k2 2 3
2’
3’
( )
K3k3’
k3
实际交线应
在两平面投影的
公共范围之内。
例 2 求 ABCD和 EFGH两平面的交线。
一、直线与特殊位置平面垂直
X
p’
p
a’ b’
a
b
V
H
X O
P
A
B
a
b
a’ b’
p’
pAB P
当直线垂直于特殊位置平面时，平面的积
聚性投影垂直于直线的同面投影。
§ 3-3垂直问题
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X
g’
a’
b’
c’
g
a b
c
(1) 作垂线；
f’
f
(2) 求垂足；
(3) 求实长。
L 作图步骤
例 1 求点 G到 ?ABC平面的距离。
X
V
H
O
P Q
p’ q’
p
q
X
p’ q’
p q
两特殊位置平面互相垂直时，它们具有积
聚性的同面投影互相垂直。
三、两特殊位置平面垂直
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