第二章 点、直线和平面的投影
§ 2— 1 点的投影
§ 2-2 直线的投影
§ 2-3 平 面 的 投 影
返回
一、点在三投影面体系中的投影
§ 2— 1 点的投影
返回
二、点的投影和坐标
三、两点的相对位置
H
V
X O
Z
Y
W
a'
a
a"A
ax
az
ay
点的正面投影,a’,b ’,c ’……
点的水平投影,a,b, c ……
点的侧面投影,a",b ", c " ……
一,点在三投影面体系中的投影
1,点的三面投影
H
V
X O
Z
Y
W
a'
a
a"A
ax
az
ay
H
a'
a
a"
V W
X O
Z
YW
YH
2,点的三面投影的展开
H
a'
a
a"
V W
X O
Z
YW
YH
ax
ay
az
ay
H
V
X O
Z
Y
W
a'
a
a"A
ax
az
ay
1,点的正面投影和水
平投影的连线垂直于
OX轴 （ aa’?OX)
2,点的正面投影和侧
面投影的连线垂直于
OZ轴（ aa”?OZ)
3,点的水平投影到 OX轴的距离
等于侧面投影到 OZ轴的距离
（ aax=a”az)
3,点在三投影面体系中的投影
Z
YH
X YWO
a' a"
a
已知点 A的正面投影 a’和水平投影 a，求其
侧面投影 a”。
1,a’a?OX ; 2,a’a” ?OZ ; 3,aax=a”az
例：
H
a'
a
a"
V W
X O
Z
YW
YH
ax
ay
az
ay
(xA,zA)
(xA,yA)
(yA,zA)
H
V
X O
Z
Y
W
a'
a
a"
ay
ax
az
xy
z
A
1.点的坐标
XA(Oax) = Aa” —— 点到 W投影面的距离；
YA(Oay) = Aa’ —— 点到 V投影面的距离；
ZA(Oaz) = Aa —— 点到 H投影面的距离。
点到投
影面的
距离
2.点的投影
二,点的投影和坐标
X O
Z
Y
三, 两点的相对位置
两点中 X值大 的点 —— 在左
两点中 Y值大 的点 —— 在前
两点中 Z值大 的点 —— 在上
X
Z
YW
YH
O
a' a"
a
b'
b
b"a"
a'
a
b"
b'
b
B
A
上-
下
左 -右
后-
前
后 -前
两点间的相对位置
可用它们同方向的
坐标差值来判断
V
c
(c')d'
d
C
D
a(b)
a'
b'
A
B
两点相对位置 — 重影点及可见性
对 H面的 重影点
对 V面的 重影点
当空间两点在某一投
影面上的投影重合成
一点时称为对该投影
面的重影点。
已知 A点在 B点之前 5毫米，之上 9毫米，之右 8
毫米，求 A点的投影。
X
Z
YW
YH
O
b'
b
b"
5
8
9
a' a"
a
例：
§ 2-2 直线的投影
一、直线的投影
二、各种位置直线的投影特性
三、一般位置直线的实长及其对
对投影面的倾角
四、直线上的点的投影
五、两直线的相对位置
六、垂直相交两直线的投影
直线的投影一般情况下仍为直线，特殊情况
下为一点。
H
A
B
a
b
D
C
c(d)
一,直线的投影
一、直线的投影
ox
z
yH
yW
b
a
b
a
a
bγ
αβ
b
a
b
aa
b
A
B
直线上两点同面投影的连线可确定直线的投影
但不能确定直线对投影面的倾角
三
棱
锥
各
棱
线
的
位
置
分
析
二、各种位置直线的投影特性
特
殊
位
置
直
线
（一）投影面平行线
（二） 投影面垂直线
水平线 //水平面
正平线 //正平面
侧平线 //侧平面
铅垂线 ?水平面
正垂线 ?正平面
侧垂线 ?侧 平面
直线对投影面的相对位置分类
（三）一般位置直线 与三个投影面均倾斜的直线
（一）投影面平行线 —— 水平线
V
W
OX
Y
Z
b
a
b
a
a b
A
Bγ
γ
β
β
投影特性：
1,a'b'//OX,a"b"//OY
2,ab=AB
3,反映 ?,?角的真实大小
ox
z
yH
yW
ba
b
a
a b
（一）投影面平行线 —— 正平线
投影特性：
1,ab//OX, a"b"//OZ
2,a'b'=AB
3,反映 ?,?角的真实大小
（一）投影面平行线 —— 侧平线
投影特性：
1.a'b'//OZ, ab//OY
2.a"b"=AB
3.反映 ?,?角的真实大小
投影面平行线的投影特性
1,在与其平行的投影面上的投影反映实长,其与相邻投影
轴的夹角反映直线对另外两投影面的真实倾角；
2.另两投影长度缩短,且分别平行与相应的投影轴。
ox
z
yH
yWb
aa
b
V
W
OX
Y
Z
A
B b
a
a
b
a(b) a(b)
投影特性：
?1,a b 积聚 成一点
?2,a’b’?OX ; a’’ b’’ ? OY
?3,a’b’ = a’’b’’ =AB
（二）投影面垂直线 —— 铅垂线
（二）投影面垂直线 —— 正垂线
投影特性：
?1,a’b’ 积聚 成一点
?2,ab ? OX ; a’’b’’ ? OZ
?3,ab = a’’b’’ =AB
H
W
（二）投影面垂直线 —— 侧垂线
投影特性：
?1,a’’b’’ 积聚 成一点
?2,ab ? OY ; a’b’ ? OZ
?3,ab = a’b’ =AB
H
W
投影面垂直线的投影特性
1,在与其垂直的投影面上的投影积聚成一点 ;
2,另两投影显实长,且分别垂直于相应的投影轴。
H
W
（三）一般位置直线的投影特性
ox
z
yH
yW
b
a
b
a
a
b
b
a
b
aa
b
A
B
1,直线的三个投影均为长度缩短的直线 ;
2,直线的投影中不能反映直线的实长和倾角。
1,求直线的实长及对水平投影面的夹角 ?角
2.求直线的实长及对正立投影面的夹角 ?角
3.求直线的实长及对侧立投影面的夹角 ?角
三、一般位置直线的实长及其
对投影面的倾角
1,求直线的实长及对水平投影面的夹角 ?角
?
?ZAB ?
AB
?ZAB
ab
?
?ZAB
AB
?
AB
ab
?ZAB
2,求直线的实长及对正面投影面的夹角 ?角
a’b’
AB
?
?YAB
AB ?
AB
?
a’b’
?YAB
?YAB
?
?YAB
X
a’
b’
b
30°
a b
a b a
a
例 1 已知 AB直线的正面投影 a’b’及点 B的
水平投 影 b,?=30°,求 a b。
X
a’
b’
a
b
L
?ZAB
?ZAB
L
c
b0
c0
c’
AB
例 2,在 AB直线上取一点 C,使 AC = L。
V
A
B
1.点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上；
AC,CB = ac,cb = a’c’,c’b’= a’’c’’,c’’b’’
C
b
a
a
b
c
c
2,点分线段成定比，其空间比等于投影比。
四、直线上点的投影
OX
b
a
b
a
c
c
AC:CB
= ac:cb
= a’c’:c’b’
= 2:1
例 1 已知线段 AB的投影图，试将 AB分成
AC:CB=2, 1两段，求分点 C的投影。
ca
bc
c’
例 2 已知点 C在线段 AB上，求点 C的正面投影。
（一） 平行两直线
（二）相交两直线
（三） 交叉两直线
共面
直线
异面直线
两直线相对位置
的投影规律
两直线相对位置
的判别方法
五、两直线的相对位置
V
OX
b’
a
a’
d’
b b
c
c’
x o
b’
a’
a
b d
c’
d’
c
1.平行 两直线的同面投影仍然 平行。
D
C
B
A
2.平行 两直线在投影后，长度比保持不变。
（一）平行两直线
平行两直线投影特性：
若两直线的
各同面投影均
互相平行,则它
们空间平行。
若为一般
位置直线，由
两面投影互相
平行即可判断
两直线空间平
行。
X
a
b
c
d
a’
b’
d’
c’
Z
O
YH
YW
a”
b”
c”
d”
判别：
C D
A
B
V
X Oc
d
a
b
a c
d
b
b
a
c
d
c
a
d
b
相交两直线 的同面投影必相交, 且交
点的投影 符合 点的投影规律。
k'
k
K X O
k'
k
（二）相交两直线
若两直线的各同面投影均相交,且交点的投
影符合点的投影规律，则两直线空间相交。
若两直线均为一般位置直线，且两面投影
满足上述条件，即可判断两直线空间相交。
判别：
若两直线的同面投影相交，但交点的投影
不符合点的投影规律，则不是相交的空间两直
线。
o
b’
x
a’
a
b
c’
d’
d
c
1
1’(2’)
2
交叉两直线的同面投影中，可能有一组或两组同面投影互相平
行，但它们的第三组同面投影是不平行的。
同理，交叉两直线的同面投影中，可能有一组、两组或三组同
面投影相交，但它们的交点不符合点的投影规律。
（三）交叉两直线
d’’
a’’
c’’
b’’
o YW
YH
z
结论：
空间直线
AB和 CD是
两交叉直线
例 1, 判断空间两直线 AB,CD的相对位置。
例 2 判断空间两直线 AB,CD的相对位置。
1’
1
1’d’ 1’c’
结论：
直线 AB、
CD是两交叉
直线。
X O
d
c
b
a
a
b
c
d
判断两直线重影点的可见性。
3’ 4’
3
4
1’
2’
1 2( )
( )
例
空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某
投影面,则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直 。
A
B
C x o
bc
a
c
a b
c a b
若两直线的某面投影互相垂直，且其中一条平行于
该投影面，则两直线空间互相垂直。
六、垂直相交两直线的投影 (直角投影定理 )
交叉垂直的两直线的投影
X
a’ b’
c’
b
c
a
d’
d
例 1 已知长方形 ABCD中 BC边的两投影,AB
边的正面投影（ a’b’//OX)，求作长方形的两投
影。
X
a(b)
a’
b’
c
d
c’
d’
H
A
B C
D
E F
a b e
c
d
f
f
f ’
e
e’
例 2 求直线 AB和 CD间的最短距离。
X
a’
a
b’
b
e’
e
Lf ’
f
?ZFE
?ZFE
f 0
Lc0
c
c’
d
d’
例 3 已知菱形 ABCD的对角线 AB的两投影，另
一对角线 CD长为 2L,且知其正面投影的方向，
求作菱形的两投影。
一、平面的投影
二、各种位置平面的投影特性
三、平面上的点和直线
§ 2-3 平 面 的 投 影
返回
平面的表示法
a’
a
b’
c’
b
c
b’
a’
a
c’
b
c
b’
a’
a
c’
b
c
a’
a
b’
c’
b
c
各种形式可相互转换a’
a
b’
c’
b
c
d’
d
一、平面的投影
(1) (2) (3) (4)
(5)
投影面平行面
投影面垂直面
特
殊
位
置
平
面
水平面 //H面
正平面 //V面
侧平面 //W面
铅垂面 ?H面
正垂面 ?V面
侧垂面 ?W面
一般位置平面
二、各种位置面的投影
V
W
OX
Y
Z
PH
?
?
ox
z
yH
yW
b
c
a
P
A
B
C b
c
a
bc
a
b
c
a
投影特性：
1,abc积聚为一条线。
2, a?b?c?,a?b?c?为 ?ABC的类似形。
3,abc与 OX,OYH的夹角 反映 ?,?角的真实大小。
（一） 投影面垂直面 —— 铅垂面
V
W
OX
Y
Z
QV
Q
α
?
ox
z
yH
yW
b
a
c
b
c
a
b
c
ab
c
a
投影特性：
1.a?b?c? 积聚为一条线。
2.abc,a?b?c?为 ?ABC的类似形。
A
B
C
3.a?b? c'与 OX,OZ 的夹角 反映 α,? 角的真实大小。
（一）投影面垂直面 —— 正垂面
V
W
OX
Y
Z
（一）投影面垂直面 —— 侧垂面
投影特性：
1,a?b?c?积聚为一条线。
2, abc,a?b?c?为 ? ABC的类似形。
α
β
SW
A
B
C
b
c
a
ox
z
yH
yWb
c
a
b
c
a
b
c
a
3,a?b?c?与 OZ,OYw的夹角 反映 α、角的实大小。
投影面垂直面的投影特性
V
W
OX
Y
Z
QV
Q α
?
ox
z
yH
yW
b
a
c
b
c
a
b
c
a
b
c
a
A
B
C
1,在所垂直的投影面上的投影积聚为直线 ;其积聚性投影
与投影轴的夹角反映了平面对另两投影面的真实倾角。
2,另两投影为缩小的类似形。
（二） 投影面平行面 —— 水平面
投影特性：
1,水平投影 abc反映 ?ABC实形。
2,a?b?c?, a?b?c?积聚为直线，且分别平行于 OX和 OYW
轴。
Z
c
YWX
a’ b’ b’’
b
a
o
YH
a’’c’ c’’
（二）投影面平行面 —— 正平面
投影特性：
1.正面投影 a?b?c?反映 ? ABC实形 。
2,abc,a?b?c?积聚为直线，且分别平行于 OX和 OZ轴。
c’’ Y
a’’
b’’b’
o
Y
a’
c’
bc a
X
Z
（二）投影面平行面 —— 侧平面
投影特性：
1,侧面投影 a?b?c?反映 ? ABC实形。
2,abc,a?b?c? 积聚为直线，且分别平行于 OYH和 OZ轴。
投影面平行面的投影特性
1,在所平行的投影面上的投影反映实形 ;
2,另两投影积聚为直线,且分别平行于相应的投影轴。
c’’ Y
a’’
b’’b’
o
Y
a’
c’
bc a
X
Z
（三） 一般位置平面
投影特性：
1.三个投影均为缩小的类似形。
2.各投影都不反映 实形与倾角。
例 1 过点 A作铅垂
面，使 ?=30o。
X
a’
a
30o
b’
c’
b
c
例 2 过直线 AB作
正垂面。
X
a’
b’
a
b
c
c’
D
E
d?
d
e?
e
P
1,直线和点在平面上的几何条件
1）直线过平面上两点；
f?
f
2）直线过平面上一点且平行于平面内任意直线。
F
g?
g
3）点在平面内的任意直线上。
G
三、平面上的点和直线
2,在平面上取点和直线
已知平面的投影和其上点或直线的一个投影,
根据它们的从属关系,求出点或直线的未知投影。
F
f
f?
Q
例 1 已知 ?ABC给定一平面，试判断点 D是否属于该
平面。
e
e?
例 2 已知点 D在 ?ABC上，试求点 D的水平投影 。
d
e
e?
x o
c
b
a
c
b
a
d
例 3 完成平面四边形 ABCD上缺口 EFGH的水平
投影（ a’b’//g’h’,b’c’//g’f ’）。
a’
X
b’
c’ d’e’f’
g’ h’
ab
c
d
共面二直线，
一组同面投
影平行，则
空间平行。
1’
1
g
f
h
2’
2
e
线在面上的几何
条件；平行线的
投影特性。
3,平面上的投影面平行线
例 1 已知 ?ABC给定一平面，试过点 C作属于该平面
的正平线，过点 B作属于该平面 的水平线。
m?
n?
1'
mn
1
m
n
m? n?
r s
r?
s?
10
15
e?
e
例 2 已知点 E在 ?ABC平面上，且点 E距离 H面 15，距离 V
面 10，试求点 E的投影。
本章结束
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§ 2-2 直线的投影
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一、点在三投影面体系中的投影
§ 2— 1 点的投影
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二、点的投影和坐标
三、两点的相对位置
H
V
X O
Z
Y
W
a'
a
a"A
ax
az
ay
点的正面投影,a’,b ’,c ’……
点的水平投影,a,b, c ……
点的侧面投影,a",b ", c " ……
一,点在三投影面体系中的投影
1,点的三面投影
H
V
X O
Z
Y
W
a'
a
a"A
ax
az
ay
H
a'
a
a"
V W
X O
Z
YW
YH
2,点的三面投影的展开
H
a'
a
a"
V W
X O
Z
YW
YH
ax
ay
az
ay
H
V
X O
Z
Y
W
a'
a
a"A
ax
az
ay
1,点的正面投影和水
平投影的连线垂直于
OX轴 （ aa’?OX)
2,点的正面投影和侧
面投影的连线垂直于
OZ轴（ aa”?OZ)
3,点的水平投影到 OX轴的距离
等于侧面投影到 OZ轴的距离
（ aax=a”az)
3,点在三投影面体系中的投影
Z
YH
X YWO
a' a"
a
已知点 A的正面投影 a’和水平投影 a，求其
侧面投影 a”。
1,a’a?OX ; 2,a’a” ?OZ ; 3,aax=a”az
例：
H
a'
a
a"
V W
X O
Z
YW
YH
ax
ay
az
ay
(xA,zA)
(xA,yA)
(yA,zA)
H
V
X O
Z
Y
W
a'
a
a"
ay
ax
az
xy
z
A
1.点的坐标
XA(Oax) = Aa” —— 点到 W投影面的距离；
YA(Oay) = Aa’ —— 点到 V投影面的距离；
ZA(Oaz) = Aa —— 点到 H投影面的距离。
点到投
影面的
距离
2.点的投影
二,点的投影和坐标
X O
Z
Y
三, 两点的相对位置
两点中 X值大 的点 —— 在左
两点中 Y值大 的点 —— 在前
两点中 Z值大 的点 —— 在上
X
Z
YW
YH
O
a' a"
a
b'
b
b"a"
a'
a
b"
b'
b
B
A
上-
下
左 -右
后-
前
后 -前
两点间的相对位置
可用它们同方向的
坐标差值来判断
V
c
(c')d'
d
C
D
a(b)
a'
b'
A
B
两点相对位置 — 重影点及可见性
对 H面的 重影点
对 V面的 重影点
当空间两点在某一投
影面上的投影重合成
一点时称为对该投影
面的重影点。
已知 A点在 B点之前 5毫米，之上 9毫米，之右 8
毫米，求 A点的投影。
X
Z
YW
YH
O
b'
b
b"
5
8
9
a' a"
a
例：
§ 2-2 直线的投影
一、直线的投影
二、各种位置直线的投影特性
三、一般位置直线的实长及其对
对投影面的倾角
四、直线上的点的投影
五、两直线的相对位置
六、垂直相交两直线的投影
直线的投影一般情况下仍为直线，特殊情况
下为一点。
H
A
B
a
b
D
C
c(d)
一,直线的投影
一、直线的投影
ox
z
yH
yW
b
a
b
a
a
bγ
αβ
b
a
b
aa
b
A
B
直线上两点同面投影的连线可确定直线的投影
但不能确定直线对投影面的倾角
三
棱
锥
各
棱
线
的
位
置
分
析
二、各种位置直线的投影特性
特
殊
位
置
直
线
（一）投影面平行线
（二） 投影面垂直线
水平线 //水平面
正平线 //正平面
侧平线 //侧平面
铅垂线 ?水平面
正垂线 ?正平面
侧垂线 ?侧 平面
直线对投影面的相对位置分类
（三）一般位置直线 与三个投影面均倾斜的直线
（一）投影面平行线 —— 水平线
V
W
OX
Y
Z
b
a
b
a
a b
A
Bγ
γ
β
β
投影特性：
1,a'b'//OX,a"b"//OY
2,ab=AB
3,反映 ?,?角的真实大小
ox
z
yH
yW
ba
b
a
a b
（一）投影面平行线 —— 正平线
投影特性：
1,ab//OX, a"b"//OZ
2,a'b'=AB
3,反映 ?,?角的真实大小
（一）投影面平行线 —— 侧平线
投影特性：
1.a'b'//OZ, ab//OY
2.a"b"=AB
3.反映 ?,?角的真实大小
投影面平行线的投影特性
1,在与其平行的投影面上的投影反映实长,其与相邻投影
轴的夹角反映直线对另外两投影面的真实倾角；
2.另两投影长度缩短,且分别平行与相应的投影轴。
ox
z
yH
yWb
aa
b
V
W
OX
Y
Z
A
B b
a
a
b
a(b) a(b)
投影特性：
?1,a b 积聚 成一点
?2,a’b’?OX ; a’’ b’’ ? OY
?3,a’b’ = a’’b’’ =AB
（二）投影面垂直线 —— 铅垂线
（二）投影面垂直线 —— 正垂线
投影特性：
?1,a’b’ 积聚 成一点
?2,ab ? OX ; a’’b’’ ? OZ
?3,ab = a’’b’’ =AB
H
W
（二）投影面垂直线 —— 侧垂线
投影特性：
?1,a’’b’’ 积聚 成一点
?2,ab ? OY ; a’b’ ? OZ
?3,ab = a’b’ =AB
H
W
投影面垂直线的投影特性
1,在与其垂直的投影面上的投影积聚成一点 ;
2,另两投影显实长,且分别垂直于相应的投影轴。
H
W
（三）一般位置直线的投影特性
ox
z
yH
yW
b
a
b
a
a
b
b
a
b
aa
b
A
B
1,直线的三个投影均为长度缩短的直线 ;
2,直线的投影中不能反映直线的实长和倾角。
1,求直线的实长及对水平投影面的夹角 ?角
2.求直线的实长及对正立投影面的夹角 ?角
3.求直线的实长及对侧立投影面的夹角 ?角
三、一般位置直线的实长及其
对投影面的倾角
1,求直线的实长及对水平投影面的夹角 ?角
?
?ZAB ?
AB
?ZAB
ab
?
?ZAB
AB
?
AB
ab
?ZAB
2,求直线的实长及对正面投影面的夹角 ?角
a’b’
AB
?
?YAB
AB ?
AB
?
a’b’
?YAB
?YAB
?
?YAB
X
a’
b’
b
30°
a b
a b a
a
例 1 已知 AB直线的正面投影 a’b’及点 B的
水平投 影 b,?=30°,求 a b。
X
a’
b’
a
b
L
?ZAB
?ZAB
L
c
b0
c0
c’
AB
例 2,在 AB直线上取一点 C,使 AC = L。
V
A
B
1.点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上；
AC,CB = ac,cb = a’c’,c’b’= a’’c’’,c’’b’’
C
b
a
a
b
c
c
2,点分线段成定比，其空间比等于投影比。
四、直线上点的投影
OX
b
a
b
a
c
c
AC:CB
= ac:cb
= a’c’:c’b’
= 2:1
例 1 已知线段 AB的投影图，试将 AB分成
AC:CB=2, 1两段，求分点 C的投影。
ca
bc
c’
例 2 已知点 C在线段 AB上，求点 C的正面投影。
（一） 平行两直线
（二）相交两直线
（三） 交叉两直线
共面
直线
异面直线
两直线相对位置
的投影规律
两直线相对位置
的判别方法
五、两直线的相对位置
V
OX
b’
a
a’
d’
b b
c
c’
x o
b’
a’
a
b d
c’
d’
c
1.平行 两直线的同面投影仍然 平行。
D
C
B
A
2.平行 两直线在投影后，长度比保持不变。
（一）平行两直线
平行两直线投影特性：
若两直线的
各同面投影均
互相平行,则它
们空间平行。
若为一般
位置直线，由
两面投影互相
平行即可判断
两直线空间平
行。
X
a
b
c
d
a’
b’
d’
c’
Z
O
YH
YW
a”
b”
c”
d”
判别：
C D
A
B
V
X Oc
d
a
b
a c
d
b
b
a
c
d
c
a
d
b
相交两直线 的同面投影必相交, 且交
点的投影 符合 点的投影规律。
k'
k
K X O
k'
k
（二）相交两直线
若两直线的各同面投影均相交,且交点的投
影符合点的投影规律，则两直线空间相交。
若两直线均为一般位置直线，且两面投影
满足上述条件，即可判断两直线空间相交。
判别：
若两直线的同面投影相交，但交点的投影
不符合点的投影规律，则不是相交的空间两直
线。
o
b’
x
a’
a
b
c’
d’
d
c
1
1’(2’)
2
交叉两直线的同面投影中，可能有一组或两组同面投影互相平
行，但它们的第三组同面投影是不平行的。
同理，交叉两直线的同面投影中，可能有一组、两组或三组同
面投影相交，但它们的交点不符合点的投影规律。
（三）交叉两直线
d’’
a’’
c’’
b’’
o YW
YH
z
结论：
空间直线
AB和 CD是
两交叉直线
例 1, 判断空间两直线 AB,CD的相对位置。
例 2 判断空间两直线 AB,CD的相对位置。
1’
1
1’d’ 1’c’
结论：
直线 AB、
CD是两交叉
直线。
X O
d
c
b
a
a
b
c
d
判断两直线重影点的可见性。
3’ 4’
3
4
1’
2’
1 2( )
( )
例
空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某
投影面,则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直 。
A
B
C x o
bc
a
c
a b
c a b
若两直线的某面投影互相垂直，且其中一条平行于
该投影面，则两直线空间互相垂直。
六、垂直相交两直线的投影 (直角投影定理 )
交叉垂直的两直线的投影
X
a’ b’
c’
b
c
a
d’
d
例 1 已知长方形 ABCD中 BC边的两投影,AB
边的正面投影（ a’b’//OX)，求作长方形的两投
影。
X
a(b)
a’
b’
c
d
c’
d’
H
A
B C
D
E F
a b e
c
d
f
f
f ’
e
e’
例 2 求直线 AB和 CD间的最短距离。
X
a’
a
b’
b
e’
e
Lf ’
f
?ZFE
?ZFE
f 0
Lc0
c
c’
d
d’
例 3 已知菱形 ABCD的对角线 AB的两投影，另
一对角线 CD长为 2L,且知其正面投影的方向，
求作菱形的两投影。
一、平面的投影
二、各种位置平面的投影特性
三、平面上的点和直线
§ 2-3 平 面 的 投 影
返回
平面的表示法
a’
a
b’
c’
b
c
b’
a’
a
c’
b
c
b’
a’
a
c’
b
c
a’
a
b’
c’
b
c
各种形式可相互转换a’
a
b’
c’
b
c
d’
d
一、平面的投影
(1) (2) (3) (4)
(5)
投影面平行面
投影面垂直面
特
殊
位
置
平
面
水平面 //H面
正平面 //V面
侧平面 //W面
铅垂面 ?H面
正垂面 ?V面
侧垂面 ?W面
一般位置平面
二、各种位置面的投影
V
W
OX
Y
Z
PH
?
?
ox
z
yH
yW
b
c
a
P
A
B
C b
c
a
bc
a
b
c
a
投影特性：
1,abc积聚为一条线。
2, a?b?c?,a?b?c?为 ?ABC的类似形。
3,abc与 OX,OYH的夹角 反映 ?,?角的真实大小。
（一） 投影面垂直面 —— 铅垂面
V
W
OX
Y
Z
QV
Q
α
?
ox
z
yH
yW
b
a
c
b
c
a
b
c
ab
c
a
投影特性：
1.a?b?c? 积聚为一条线。
2.abc,a?b?c?为 ?ABC的类似形。
A
B
C
3.a?b? c'与 OX,OZ 的夹角 反映 α,? 角的真实大小。
（一）投影面垂直面 —— 正垂面
V
W
OX
Y
Z
（一）投影面垂直面 —— 侧垂面
投影特性：
1,a?b?c?积聚为一条线。
2, abc,a?b?c?为 ? ABC的类似形。
α
β
SW
A
B
C
b
c
a
ox
z
yH
yWb
c
a
b
c
a
b
c
a
3,a?b?c?与 OZ,OYw的夹角 反映 α、角的实大小。
投影面垂直面的投影特性
V
W
OX
Y
Z
QV
Q α
?
ox
z
yH
yW
b
a
c
b
c
a
b
c
a
b
c
a
A
B
C
1,在所垂直的投影面上的投影积聚为直线 ;其积聚性投影
与投影轴的夹角反映了平面对另两投影面的真实倾角。
2,另两投影为缩小的类似形。
（二） 投影面平行面 —— 水平面
投影特性：
1,水平投影 abc反映 ?ABC实形。
2,a?b?c?, a?b?c?积聚为直线，且分别平行于 OX和 OYW
轴。
Z
c
YWX
a’ b’ b’’
b
a
o
YH
a’’c’ c’’
（二）投影面平行面 —— 正平面
投影特性：
1.正面投影 a?b?c?反映 ? ABC实形 。
2,abc,a?b?c?积聚为直线，且分别平行于 OX和 OZ轴。
c’’ Y
a’’
b’’b’
o
Y
a’
c’
bc a
X
Z
（二）投影面平行面 —— 侧平面
投影特性：
1,侧面投影 a?b?c?反映 ? ABC实形。
2,abc,a?b?c? 积聚为直线，且分别平行于 OYH和 OZ轴。
投影面平行面的投影特性
1,在所平行的投影面上的投影反映实形 ;
2,另两投影积聚为直线,且分别平行于相应的投影轴。
c’’ Y
a’’
b’’b’
o
Y
a’
c’
bc a
X
Z
（三） 一般位置平面
投影特性：
1.三个投影均为缩小的类似形。
2.各投影都不反映 实形与倾角。
例 1 过点 A作铅垂
面，使 ?=30o。
X
a’
a
30o
b’
c’
b
c
例 2 过直线 AB作
正垂面。
X
a’
b’
a
b
c
c’
D
E
d?
d
e?
e
P
1,直线和点在平面上的几何条件
1）直线过平面上两点；
f?
f
2）直线过平面上一点且平行于平面内任意直线。
F
g?
g
3）点在平面内的任意直线上。
G
三、平面上的点和直线
2,在平面上取点和直线
已知平面的投影和其上点或直线的一个投影,
根据它们的从属关系,求出点或直线的未知投影。
F
f
f?
Q
例 1 已知 ?ABC给定一平面，试判断点 D是否属于该
平面。
e
e?
例 2 已知点 D在 ?ABC上，试求点 D的水平投影 。
d
e
e?
x o
c
b
a
c
b
a
d
例 3 完成平面四边形 ABCD上缺口 EFGH的水平
投影（ a’b’//g’h’,b’c’//g’f ’）。
a’
X
b’
c’ d’e’f’
g’ h’
ab
c
d
共面二直线，
一组同面投
影平行，则
空间平行。
1’
1
g
f
h
2’
2
e
线在面上的几何
条件；平行线的
投影特性。
3,平面上的投影面平行线
例 1 已知 ?ABC给定一平面，试过点 C作属于该平面
的正平线，过点 B作属于该平面 的水平线。
m?
n?
1'
mn
1
m
n
m? n?
r s
r?
s?
10
15
e?
e
例 2 已知点 E在 ?ABC平面上，且点 E距离 H面 15，距离 V
面 10，试求点 E的投影。
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