1
2
3
ij
ij
ij
i ij i
ii
i
1
1
N
( ) ( 2 1 2)
1
i
p
i
i
a
p
a
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
?
? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
2
规律表现在：
（） 正的和负的个数差不多，多个的平均近于零；
（2） 误差小的比误差大的多；
（3） 不同试验之间，误差的大小是不相关的，即 之间是彼此独立的。
用一句话来说,是相互独立的随机变量。遵从正态分布 （, ）
式(2- 1-1)中 和 都是未知的。而真值 可表达为：
式中
i
1,2,....,.,pi?? ??
4
i i i
ii
i
i
p
ii
i=1
ii
aA
A
X a 1,2,......,( 2 1 3 )
A
a a 0 ( 2 1 4)
a ___ _ A
ij ij
ij
ip
X
? ? ?
?
??? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ??
称为一般平均。 是 对于 的偏移，为 的水平效应或主效应。
所以把 理解为,（一般平均）＋（ 平均效应）
即,（一般平均）＋（ 平均效应）＋（误差）
显然{ }之 间有关系
表示水平 对试验结果产生的影响。
5
i
p
i
i=1
ij
X a 1,2,......,
j 1,2,......,r
2 a 0
3N
ij ij
ip??
? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
2
方差分析的数学模型的几条假定
（1）
（）
（） 是相互独立且遵从正态分布 （, ）
由这三条建立的模型叫做线性模型
建立数学模型后，统计分析需要解决两个问题
（1）参数估计
（2）统计检验
6
? （二）参数估计
i
_
11
_
1 1 1 1
11
a
11
( ) ( 2 1 5 )
11
( ) ( 2 1 6)
11
rr
ij i ij i i
jj
pprr
ij i ij
i j i j
pr
ij
ji
x a a
rr
xa
p r p r
r p r
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
?
??
? ? ? ?
??
i
_
i
_
__
i
参数估计即通过子样（样本，一组试验数据）算出统计量，
用这些统计量 和{a }，它 们的估计量用 和 表示。
根据子样平均值的定义
x
x
式中：
1
( 2 1 7 )
r
ij
j ?
???
7
__
_ _ _ _
i
2 1 8
a ( 2 1 9)
( 2 1 10)
i i i
i ij
ij
xx
x x a x x
al
l
??
?
?
?
??
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
ij
是 的一个无偏估计量，记作 （ －－）
的无偏估计是 即
于是(2- 1-3 )可 以改写为,x
式中 反映了误差
根据(2- 1-1 0)对 试验数据进行分解，通过数据的分解可看出
水平效应和误差大小。
8
? 例 2－ 1 考察温度对一化工产品的得率的影响，选了五种不同
的温度，同一温度做了三次试验，结果如下,
A A1 A2 A3 A4 A5
温度 (℃ ) 60 65 70 75 80
得
率
(%)
平均得率
90 97 96 84 84
92 93 96 83 86
88 92 93 88 82
90 94 95 85 84
表 2－ 1测定结果
_ 8 9,6x ?总平均
9
_
_
__
11
__
22
__
33
__
44
__
55
89.6
89.6
90 89.6 0.4
94 89.6 4.4
95 89.6 5.4
85 89.6 4.6
84 89.6 5.6
x
x
a x x
a x x
a x x
a x x
a x x
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
总平均
11 11 1
12 12 1
13 13 1
90 89.6 0.4 0
92 89.6 0.4 2
88 89.6 0.4 2
89.6 0.4 0
89.6 0.4 2
89.6 0.4 2
ij
l x a
l x a
l x a
x
?
?
?
??
??
??
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
11
12
13
依(2- 1-10) 式有：
这样 就可以分解成三个数之和：
x
x
x
10
? 对其它数据也进行类似分解,通过对数据
的分解，可以看到分组因素（温度）影响的大
小和试验误差的大小。
_ _ _ _ _
_ _ _ _ _
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( 2 1 11 )
ij ij
i ij i
i
i ij
x a l
x x x x x x
x x x x x x
?
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
ij
ij
ij
因：
即：
移项：
上式说明，测量值与总平均的变差，是组平均值与总平均值
之变差已经测量值与组平均值之变差的和。
11
_ _ _ _ _
2 2 2
( ) ( ) ( )
( 2 1 12)
i
i ij
x x x x x x? ? ? ? ?
??
ij
方差分析的基本方程式（即方差和的加和性原理）：
的加和 的加和 的加和
即 总差方和＝组间差方和＋组内差方和
式中，组内差方和___ _表征分组因素效应的大小
组内差方和__ __ 表征试验误差的大小
12
?（三）统计检验
_
2
11
_
_
A
H
( ) ( 2 1 13 )
_____
/ ( 1 ) ( 2 1 14)
p r
ij i
ij
xx
Se p r
??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
i0
如果统计假设是对的，即因素 对测量指标没有影响，则效应
{a } 全为零。设为统计假设
1,组内变差平方和的平均值：
Se
Se 组内平方和
组内差方和的平均值
Se
Se 又称为组内均方
13
_ _ _ _
1 1 1
__
__
2
2
_
11
1
_
22
0
_
22
0
2
( ) ( ) ( 2 1 16)
_____
() ()
( 2 1 17 )
11
( ) ( 2 1 18 )
ppr
ii
i j i
p r
p
i
i
ij
i
A
A
x x r x x
xx r x x
pp
Er
r
??
??
? ? ?
??
?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
?
? ? ?
?? ?
A
A
A
A
A
、组间变差平方和的平均值
S
S 组间平方和
组间差方和的平均值（又称为组间均方）
S
S
是S 的数学期望或者期望方差
14
_
22
_2
2
__
0
HF
/
( 2 1 19)
/
AA
0
/
1 F 1 H
F >F
F <F
AeA A A
e e
A
A
rS f S
f
Se
F S Se
??
?
?
?
? ? ? ?
?
?
0
临
临
如果统计假设 成立，可作 检验：
F=
Se
如果统计假设成立，即分组因素 对测定值没有影响，因素
的效应为零，即组间方差 。则
应该是与 相近的一个数。所以 近于 表示 成立。
显著
不显著
15
( 2 1 20)
( 2 1 21 )
( 2 1 20)
( 2 1 21 )
Ae
T A e
SS
f f f
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
T
可以证明
S
叫变差平方和分解公式
叫自由度分解公式
16
?二、正交试验方差分析的数学模型
? (一 )数学模型
? 根据一般线性模型的假定,若 9次试验结果 (如例 111中的转化率 )
以 x1,x2,…,x９ 表示,我们首先假定,
? (1)
? (2)为 9个数据可分解为,
? x1=μ+a1+b1+c1+ε1
? x2=μ+a1+b2+c2+ε2
? x3=μ+a1+b3+c3+ε3
? x4=μ+a2+b1+c2+ε4
? x5=μ+a2+b２ +c3+ε5
17
? x6=μ+a2+b3+c1+ε6
? x7=μ+a3+b1+c3+ε7
? x8=μ+a3+b2+c1+ε8
? x9=μ+a３ +b３ +c２ +ε9
? 其中,μ—— 一般平均 ;估计 =∑xi=x1+x2+……+x9 叫全部数据的
? a1,a2,a3表示 A
? b1,b2,b3表示 B
? c1,c2,c3表示 C在不同水平时的效应。
? (3)各因素的效应为零,或者,各因素的效应的加和为零
? ∑ai=0 ∑bi=0 ∑ci=0
18
? (4) {εi}是试验误差,它们相互独立,且遵从标准正态分布 N(0,1),
所以多个试验误差的平均值近似等于零。
? (二 )
? 有了数学模型,还应通过子样的实测值,对以上的各个参数作
由数理统计知识
E（ ）＝ μ
E（ ） —— 表示 μ的一个无偏估计
量。可表示为,
_x?? ?
_x
_x _x _x
19
§ 2－ 2正交试验的方差分析法
?一、方差分析的必要性
? 极差分析不能估计试验中以及试验结果测定
中必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点，
可采用方差分析的方法。
? 方差分析法是将因素水平（或交互作用）的变
化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的
试验结果间的差异区分开来的一种数学方法
? 所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将
总变差平方和进行分解，而你还进行统计检验的一
直数学方法。
20
?二、单因素方差分析法 （以例 2－ 1为例）
? 方差分析法的基本思路,
? （ 1）由数据中的总变差平方和中分出组内变差平
方和、组间变差平方和，并赋予它们的数量表示；
? （ 2）用组间变差平方和与组内变差平方和在一定
意义下进行比较，如两者相差不大，说明因素水平
的变化对指标影响不大；如两者相差较大，组间变
差平方和比组内变差平方和大得多，说明因素水平
的变化影响很大，不可忽视；
? （ 3）选择较好的工艺条件或进一步的试验方向 。
21
_
2
T
11
2 2 2
_ _ _ _
22
1 1 1
2 2 2
1.
S ( ) ( 2 2 1 )
( 90 89.6) ( 92 89.6),....,( 88 89.6) 353.6
2.
( ) ( ) ( 2 2 2)
3 ( 90 89.6) ( 94 89.6),....,( 84 89.6) 303
p r
ij
ij
ppr
ii
A
i j i
xx
S x x r x x
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ?
总
（一）变差平方和的分解
总变差平方和
S
组间变差平方和
.6
22
_
2
11
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
3.
( ) ( 2 2 3 )
( 60) ( 65 ) ( 70) ( 75 ) ( 80)
( 60) ( 90 90) ( 92 90) ( 88 90) 8
( 65 ) ( 97 94) ( 93 94) ( 92 94) 14
( 70) ( 96 95 ) ( 96 95 ) ( 93 95 ) 6
( 75 ) ( 84 85 ) (
p r
e ij i
ij
e e e e e
e
e
e
e
S x x
S S S S S
S
S
S
S
??
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
组内变差平方和
式中：
22
222
86 84) ( 82 84) 14
( 80) ( 84 84) ( 86 84) ( 82 84) 8
( 60) ( 65 ) ( 70) ( 75 ) ( 80) 50
e
e e e e e e
T A e
S
S S S S S S
S S S
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??我们发现有：
23
__
2
1
_
2
11
1,( )
pp
p1
()
pr r
pr p p r p r
p
i
A
i
p r
e ij i
ij
S r x x
S x x
?
??
??
??
?
??
（二）自由度
个成分都是对总平均值的差，而全部差相加为领，所以 个
成分的约束的个数为1，独立成分的个数为（ －）。
2.
个成分的平方和。由于 个成分之和为零，所以独立成分是
－ ＝ （ －1 ）个。则误差平方和自由度是 （ －1 ）。
24
_
2
T
11
S ( )
pr
pr pr
1
1
( 1 )
p r
ij i
ij
Ae
A e T A e
A
e
xx
f f f f
f f f S S S
f pr
fp
f p r
??
??
??
??
??
??
??
T
T
T
3.
个成分的平方和。由于所有这些成分之和为零，独立成分
是 －1。 所以总平方和的自由度是 －1。
用符号 表示自由度，
、, 分别表示,, 的自由度
25
A
e
22
A
2
e
A
1
( 1 )
()
()
A
A
Ae
e
S
p
S
pr
Er
E
??
?
?
?
?
?
??
?
_
_
_
_
_
（三）平均平方（均方）与均方期望值
平均和除以自由度称为均方。记为S
则,间均方 S
误差均方 S
它们的期望值为
S
S
26
_
_
/
/
A A A
e
e
S f S
f
S
?
e
（四）显著性检验
F=
S
F > F
F < F
临
临
显著
不显著
Aa
Aa
F F a a
A F F a
Aa
??
?
例如当 时，若 ＝0, 0 5,就有（1 － ）1 0 0 ％即9 5 ％的
把握说因素 是显著的。若,则在 水平下不能认为因
素 是显著的。通常是当试验精度很差时,可取得比较大。
A
A
A
FF
F
F
表的用法：表上方横行的数字对应 的分子的自由度，表左
侧竖列的数字对于 分母的自由度。横行与竖列的交叉点上的
数字，就是 的临界值。
27
__
A
a
Aa
0,05
0,05
F
/
2 a F F ( )
3F
,A *
,A * *
,A
,A
Ae
A e A e
A
A
A
A
SS
f f f f
FF
F
FF
F
??
?
??
?
0.01
0.01
0.1
0.10
检验的步骤：
（1） 计算F =
（ ）根据自由度, 及制定的显著性水平 查 表，得,
（）比较F 与,作出判断
通常：
（1） 对a=0,05,F 则说明因素 显著，记为
（2） 对a=0,01,F 则说明因素 高度显著，记为
（3） F 则说明因素 有一定影响，记为
（4） F 则说明因素 无显著性影响
28
246
aA
A
/ 303,6 / 4
1 15.1 8
/ 50.0 / 10
2 F P ) a 0.05 a
( 4,10) 3.5
( 4,10) 6.0
F F F,
A
AA
e
Sf
f
F
F
FF
??
?
?
?
e
0.05
0.01
A 0,05 0,01
以例2－1为例，检验其中因素 的显著性
（ ）计算F=
S
（ ）查 表（,对 ＝ 及 ＝0,01分 别有
（3） 比较 与
说明因素 高度显著。方差分析表如下
方差来源 变差平方和 自由度 平方差平方和 F临 FA 显著性
A SA=303.6 4 75.9 3.5 15.18 **
e Se=50.0 10 5.0 6.0
总和
29
22
1 1 1 1 1
22 2
1 1 1 1 1
11
()
11
()
aS
bb
ppr r r
ij ij ij
j i j i j
p p prr
i ij ij
i i j i j
T
A
e
x x P K x
pr pr
Q K x R x
rr
S R P
S Q P
S R Q
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
i
2
（五）小结
令 K K=
则有：
当数据比较特殊时，还可以进行如下简化
（1）每 个数据加(减)同 一个数,平方和 不变。
（2）每 个数据乘(除)同 一个数,相与的平方和增大(缩小) 倍。
30
三、正交试验的方差分析
? （一）无交互作用情况（以例 1－ 1为例）
A温度（ ℃ ） 1 B时间（ Min） 2 C用碱量（ x%） 3 4 转化率（ x%）
1 1(80℃ ) 1(90Min) 1(5%) 1 31
2 1(80℃ ) 2(120Min) 2(6%) 2 54
3 1(80℃ ) 3(150Min) 3(7%) 3 38
4 2(85℃ ) 1(90Min) 2(6%) 3 53
5 2(85℃ ) 2(120Min) 3(7%) 1 49
6 2(85℃ ) 3(150Min) 1(5%) 2 42
7 3(90℃ ) 1(90Min) 3(7%) 2 57
8 3(90℃ ) 2(120Min) 1(5%) 3 62
9 3(90℃ ) 3(150Min) 2(6%) 1 64
列号 试验号
31
29
22
9
2
1
3
2 2
11
3
2
1
3
2
1
......
11
9
11
()
33
1
()
3
1
()
3
i
i
p
A
A i i
ii
B
Bi
i
C
Ci
i
x x x
P K K
pr
Wx
Q k k
Qk
Qk
?
??
?
?
? ? ?
??
?
??
?
?
?
??
?
?
1
总体公式：
K=
AA
BB
CC
T
e T A B C
S Q P
S Q P
S Q P
S W P
S S S S S
??
??
??
??
? ? ? ?
32
A温度（ ℃ ） 1 B时间（ Min） 2 C用碱量（ x%） 3 4 转化率（ x%）
1 1(80℃ ) 1(90Min) 1(5%) 1 31
2 1(80℃ ) 2(120Min) 2(6%) 2 54
3 1(80℃ ) 3(150Min) 3(7%) 3 38
4 2(85℃ ) 1(90Min) 2(6%) 3 53
5 2(85℃ ) 2(120Min) 3(7%) 1 49
6 2(85℃ ) 3(150Min) 1(5%) 2 42
7 3(90℃ ) 1(90Min) 3(7%) 2 57
8 3(90℃ ) 2(120Min) 1(5%) 3 62
9 3(90℃ ) 3(150Min) 2(6%) 1 64
K1 123 141 135 144
K2 144 165 171 153
K3 183 144 144 153
Qi 23118 22614 22734 22518
Si 618 114 234 18
列号 试验号
9
1
2
450
1
450
9
22500
i
i
Kx
P
?
?
?
??
?
?
1.总平方和等于各列的平方和
33
方差来源 变差平方和 自由度 平方差平方和 F临 FA 显著性
A SA=618 2 309 34.33 19 *
e Se=18 2 9 4
总和 984 8
B SB=114 2 57 6.33 99 △
C SC=234 2 117 13.00 9 ⊙
方差分析表
4列平方和刚好等于总平方和,
S总 =SA+SB+SC+Se
34
2
2
1
2.
p r,,.....,
p r
......
1
( 2 2 24)
1
( 2 2 25 )
1 ( 2 2 26)
3.
p
i
i
PK
pr
QK
r
S Q P
fp
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
1 1 p
1 2 P
计算规格化
设某一列有 个水平，每个水平有 次试验。K K K 代表
个水平的 个数据之和。则：
K=K K K
该列平方和
相应自由度
便于分析因素的主次
35
? （二）有交互作用的正交试验的方差分析
? 当任意两因素之间 (如 A与 B）存在交互作用而
且显著时，则不论因素 A,B本身的影响是否显著，
A和 B的最佳因素都应从 A与 B的搭配中去选择
? 例 2－ 2某分析试验，起测定值受 A,B,C三种
因素的影响，每因素去两个水平，由于因素间存在
交互作用，在设计试验方案时，可选用 L8(27)表，
试验安排结果如表（试验指标要求越小越好）
36
因素 试验号
1
2
3
4
5
6
7
8
K1
K2
Qi
Si
A
1
B
1
A× B
3
C
4
B× C
6
误差
7
试验指标
（经简化后）
A× C
5
1
1
1
1
2
2
2
2
-5
0
6.25
3.125
1
1
2
2
1
1
2
2
+10
-15
81.25
78.125
1
1
2
2
2
2
1
1
0
-5
6.25
3.125
1
2
1
2
1
2
1
2
-40
35
706.25
703.125
2
1
2
1
2
1
2
1
20
-25
256.25
253.15
1
2
2
1
1
2
2
1
-5
0
6.25
3.125
1
2
2
1
2
1
1
2
5
-10
31.25
28.125
0
5
-10
0
-5
20
-15
10
2
5
1
5
8
3,1 2 5
K
P
?
??
?
正交试验结果计算表
37
1
22
1
22
212
8
22
1
11
48
1
6.25 3.125 3.125
48
1
1071.87 5
8
ii
i
A
A C B C e
T A A C B C e
i
i
S K K
KK
SK
S S S S S S
S S S S S S S S
xK
?
? ? ?
? ? ?
?
??
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
B A B C
B A B C
计算方法如下：
同理可得,,,,,
可以证明 + + + +
该式可以用来检验各列平方和的计算是否有错
38
方差来源 平方和 自由度 均方 F FA 显著性
方差分析表
B
C
A× C
A
A× B
B× C
误差
总和
78.125
703.125
253.125
3.125
3.125
3.125
28.125
1071.875
1
1
1
1
1
1
1
7
78.125
703.125
253.125
8.3
75
25
F0.05(1,4)=7.1
F0.01(1,4)=21.2
3,1 2 5 3,1 2 5 3,1 2 5 2 8,1 2 5
9,3 7 5
1111e
S
???
??
???
重新计算均方：
__ 7 8,1 2 5/
9,3 7 5AeSS ?
*
**
**
39
? 结果表明 B,C,A× C对试验结果影响最大,B可取 B2，而 A和
C见存在显著的交互作用，可通过二元表和二元图来确定其最优水平
A
C A1 A2
C1 -10 -20
C2 5 30
由图可知,A2C1最好,故最佳试验
条件为 A2B2C1，这正好是第 7号试
验。事实上，从试验结果看，它的
效果也最好。
20
10
0
-10
-20
-30
-40
A1 A2
指标
A
C1
C2
40
说明：对二水平因素，平方和的计算有一个简单的公式
设计算方法对任何二水平的因素都是适用的，设共做了 n次
试验，某一列是二水平，相应的 K值是 K1和 K2
则该列的平方和 S为,
2
12
1 ()S k k
n
??
41
例 2－ 3 某一种抗菌素的发酵培养基由黄豆饼粉、蛋白胨、葡萄
糖、碳源 1号、、无机盐 1号等组成。现打算对其中五个成分
的最适配比，以及最适装量，按三种水平进行试验，并将其
两个成分（黄豆饼与蛋白胨）合并为一个因素，这样构成一
个五因素三水平试验。需考虑的交互作用有 A× B,A× C、
A× E。因素 — 水平表如表 2－ 9所示。
因素
水平
黄豆粉＋蛋白胨 葡萄糖 KH2PO4 碳源 1号 装量 E(ml/250m
l三角瓶 )
A（％） B（％） B(%) D
1 0.5+0.5 4.5 0 0.5 30
2 1＋ 1 6.5 0.01 1.5 60
3 1.5+1.5 8.5 0.03 2.5 90
42
13
27
5 ( 3 1 ) 3 ( 3 1 ) ( 3 1 ) 22 L ( 3 )? ? ? ? ?
表 头 设 计, 从 要 考 虑 的 因 素 及 交 互 作 用 知, 总 自 由 度 有
个 。 故 可 选 用 正 交 表 。
依 第 一 章 讲 的 表 头 设 计 原 则, 表 头 设 计 如 下,
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
表头设计 A B A× B C A× C E A× E D
试验方案及结果分析见表 2－ 10
43
§ 2－ 3有重复试验的方差分析
? 正交试验中有重复试验的方差分析同单因素有
重复试验的方差分析方法基本相同。在无重复的
试验中，我们把空列的平方和作为误差的平方和，
其中既包括有试验误差，也包含有模型误差。称
为第一类误差平方和，记为 Se1，在重复试验中，
还有第二类误差平方和，记为 Se2，定义如下,
_
2
2
11
2
( ) ( 2 2 29)
( 1 )
i j r
( 2 2 29)
nr
e ij i
ij
e
ij
S x x
f n r
x
??
? ? ? ?
??
??
??
其自由度为
式中,表示第 个试验号的第 次试验，同一号试验重复 次。
式 的意义是：表示整个试验组内的变差平方和，真正
反应试验误差的大小
44
11
2
2
11
2
1
2
1
( 2 2 34)
1
( 2 2 35 )
( 2 2 36)
1
( 2 2 37 )
1
( ) ( 2 2 41 )
(
nr
ij
ij
nr
ij
ij
n
i
i
p
i
i
x
PK
nr
Wx
RX
r
QK
qr
pq
??
??
?
?
??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
?
?
实际计算公式如下：
K=
个水平，每个水平 个试验号)
WR
WP
S Q P
??
??
??
e2
T
则实用计算公式为：
S
S
45
例 2－ 4 某厂进行硅橡胶工艺参数试验，指标为老化前的抗拉
强度，因素水平如表 2－ 12所示。
因素
水平
A
第一阶段硫
化温度
B
第一阶段硫
化时间
C
硫化压力
D
第二阶段保
温温度
1
130℃ 20（分） 按压强计算表
压
150℃ 保温 1
小时生至
250℃ 保温 4
小时
2
143℃ 15（分） 以模具闭合为
准
150 ℃ 保温 1
小时升至 250
℃ 保温 6小时
46
表头设计
(因素 )
A B A× B C A× D D
列号 1 2 3 4 5 6 7
需考虑的交互作用有 A× B,A× D，每次试验重复四次,
表头设计如下,
47
方差来源 平方和 自由度 均方 F值 显著性
A 197.5 1 197.5 3.49
B 259.4 1 259.4 4.59 *
A×B 381.4 1 381.4 6.75 *
C 173.4 1 173.4 3.07
D 192.6 1 192.6 3.41
A×D 947.2 1 947.2 15.77 **
Se 141.2 25 56.48
总和 3563.5 31
F临
F 0.01 =(1,25)=7.27
F 0.05 =(1,25)=4.24
表 2－ 14 方差分析表
48
结论：方差分析的结果表明,C,D对指标影响不显著，且 C不涉及交互作
用，依节方便的原则取 C1,而 A,B,D的最优水平，通过作二元表及二元图
选出。二元表及二元图如下,
A
B
A1 A2
B1 -33.6 13.9
B2 16.8 9.05
A
D
A1 A2
D1 -20.35 43.5
D2 3.55 -20.1
49
从二元表及二元图知，对 A× B，好的搭配为 A2B2
对 A× D，好的搭配为 A2D1
综合考虑 A,B,D三因素应取水平搭配为 A2D1B1C1,
故，选出的最优条件为 A2D1B1C1
50
因为重复试验能大大提高试验的精度，所以在条件许可时，
应尽可能安排重复试验。
例 2－ 5 研究某三因素二水平体系，其取值如表 2－ 15所示。
试安排试验并从试验结果分析因素 A,B,C及其交互作
用对试验指标的影响。若有重复试验时，其结果又如何呢？
选取 L8(27)表安排试验，试验方案及结果计算如表 2－ 16所示。
因素
水平
A B C
1 1.5 Ⅰ 型 2.5
2 1.0 Ⅱ 型 2.0
51
因素 (列号 ）
实验号
A
1
B
2
A× B
3
C
4
A× C
5
B× C
6
7 实验指标
1
2
3
4
5
6
7
8
-0.5
0
0
-0.5
0
1.0
0.5
0
K1
K2
R
S
-1.0 0.5 0 0 0.5 -1.0 0.5
1.5 0 0.5 0.5 0 1.5 0
2.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2.5 0.5
0.7812 0.0312 0.0312 0.0312 0.0312 0.7812 0.0312
表 2-16 实验方案及结果计算表
8 0
1
0.5i
i
X
?
??
78 (2 )L ?
52
所以，整个试验的最佳水平组合为 A2B1C1
二元表及二元图如下
0.50
0.25
0
-0.25
B1 B2 B
C2
C1
指标
53
方差来源 平方和 自由度 均方 F值 显著性
A 0.7812 1 0.7812 24.8 △
B 0.0312 1 0.0312 0.99
C 0.0312 1 0.0312 0.99
A×B 0.0312 1 0.0312 0.99
A×C 0.0312 1 0.0312 0.99
B×C 0.7812 1 0.7812 24.8 △
0.0315 1 0.0315
总和 1.7187 7
F临
F 0.20 (1,1)=9.5
表 2－ 17 方差分析表
?
54
如果对同一号的试验均重复一次或几次，显然
可以提高试验的精确度。本例对所作的 8次试验各
重复一次，其试验结果及计算如表 2－ 18所示。
55
表 2－ 18 试验结果及计算
X i1 X i2
-0.5 -0.4 -0.9
0 -0.2 -0.2
0 0.3 0.3
-0.5 -0.6 -1.1
0 0.1 0.1
1 1.2 2.2
0.5 0.5 1
0 -0.1 -0.1
-1.9 1.2 -0.2 0.5 1.5 -2.0 1.2
3.2 0.1 1.5 0.8 -2.0 3.3 0.1
5.1 1.1 1.7 0.3 1.7 5.3 1.3
1.625 0.075 0.005 0.180 0.180 1.755 0.079
5
6
重复实验次数 X i =
X i1 + X i2
1
2
R
S
7
8
K 1
K 2
3
4
78(2 )L
A
1
B
2
A× B
3
C
4
A× C
5
B× C
6 7
因素 (列号 )
试验号
1.3iX ??
56
表 2－ 19 方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 显著性 最优水平
A 1.625 1 1.625 124 ** A 2
B 0.005 1 0.005 5.7 * B 1
C 0.005 1 0.005 0.4
A×B 0.180 1 0.180 13.7 ** A 2 B 1
A×C 0.180 1 0.180 134 ** A 2 C 2
B×C 1.755 1 1.755 6 * B 1 C 2
S e1 0.079 1 0.079 6.03 *
S e2 0.105 8 0.0131
总和 4.004 15
F 临
F 0.05 (1,8)=5.32
F 0.01 (1,8)=11.3
57
§ 2－ 4缺落数据的弥补
? 当因素超过一个时，要求数据整齐，有时，某
些试验不幸做坏了，或者数据丢失，客观条件不
允许重复试验。
? 一、试验有重复的情况
? 试验有重复，并且每一处理至少有一个数据没有丢失，这时
丢失或缺落的数据就用同一处理的而没有丢失的数据的平均值代
替。通过这样弥补来的数据不能算在自由度内。
? 二、一种处理数据完全脱落的情况
? 1.用数据结构模型和参数估计的方法
? 2.极小化误差法
58
59
8
3 2 3 3 2 3
9
88
1
33
8
1.
8x
8 3 2 3 8
8
?
? ? ?§ 2 1,,,,,,
1 1 1
? ( 23.7 ) 2.6
9 9 9
?
i
i
x a b c
a b c a b c
x x x x
a A x
??
?
??
?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
?
现 在 我 们 假 设 由 于 某 种 原 因, 第 号 试 验 的 数 据 缺 落, 下 面 介 绍 两 个 弥 补 的
方 法 。
利 用 数 据 结 构 模 型 的 参 数 估 计 的 方 法
第 号 试 验 数 据 构 造 为
随 机 变 量 。
用 本 章 － 讲 的 参 数 估 计 法, 分 别 求 出 参 数 的 估 计 值
＝
水 平 下 试 验 数 据 的 平 均 值 －
60
8
8
8
2
2
3
3 8 8
8
8 3 2 3
8
88
8
8
1
3.9 )
3
1.3
3
?
2.3
3
11
? ?( 7.1 ) 2.4
33
?
? ? ?
6.0 3
2
( 5.2 )
9
3.6
B
c
xx
x
x
x
b x x
k
c x x x x x
k
x
x a b c
x x x
xx
x
x
?
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
?
＝ （
由 此 得 的 估 计 值 为
＝ ＋ ＋ ＋
＝ ＋
＝ 6+
7
＝ 0.8+
9
61
方差来源 平方和 自由度 均方 F值 显著性
A S A =S 1= 1.29 2 0.65
B S B= S 2 =27.73 2 13.87 10.54 **
C S C =1.88 2 0.91 2.43
S 3 =1.39 1
总和 Se=S 1 +S 3 +S 4 =4.50 5 0.9
F 0.05 (2,5)=5.79
F临
F 0.01 (2,5)=13.3
表 2－ 23 方差分析表
62
? 2.极小化误差法
? 这要求估计值能使误差的平方和达到最小值,这
? 如例 1-1的第 9号试验数据丢失了,为清楚起见,我
们将计算的表格还是列出,Se可通过第四列算出,我
们先算第四列的 K值。设第九号试验的转化率为 x,
由表 2-24所示,
63
64
? ?
2
2
22
4
e
e
1
( 386 )
9
1
80 153 153
3
SP
xS
0
e
e
e
Px
Q Q x
Q
dQ dP
dX dX
??
??
? ? ? ? ?
??
? ? ?
e
则
＝ －
取 使 达 极 小 。
dS
dX
65
d 2
( 80 )
d3
2
( 386 )
9
/d
2
80 ( 386 ) 0
3
X 63
e
Q
x
X
dP
x
dx
x
xx
??
??
? ? ?
e
将
代 入 dS 得,
2
（ )-
9
解 得
＝
与 实 际 得
e
64
f1
F
是 很 接 近 的 。
同 前 例, 丢 失 的 数 据 补 上 后, 仍 可 按 通 常 的 方 法 进 行 计 算, 但 误 差 的 自 由 度 原 来 是 2,
现 在 要 减 去, 即 ＝ 。
从 上 面 的 例 子 看 到 由 于 误 差 的 自 由 度 减 少, 检 验 的 灵 敏 度 降 低, 对 分 析 问 题 是 不
利 的, 而 且 补 救 的 数 据 毕 竟 不 是 真 实 的, 只 能 作 为 分 析 问 题 的 参 考, 丢 失 的 信 息
难 全 部 补 救, 所 以 最 好 不 要 丢 失 数 据 。
2
3
ij
ij
ij
i ij i
ii
i
1
1
N
( ) ( 2 1 2)
1
i
p
i
i
a
p
a
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
?
? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
2
规律表现在：
（） 正的和负的个数差不多，多个的平均近于零；
（2） 误差小的比误差大的多；
（3） 不同试验之间，误差的大小是不相关的，即 之间是彼此独立的。
用一句话来说,是相互独立的随机变量。遵从正态分布 （, ）
式(2- 1-1)中 和 都是未知的。而真值 可表达为：
式中
i
1,2,....,.,pi?? ??
4
i i i
ii
i
i
p
ii
i=1
ii
aA
A
X a 1,2,......,( 2 1 3 )
A
a a 0 ( 2 1 4)
a ___ _ A
ij ij
ij
ip
X
? ? ?
?
??? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ??
称为一般平均。 是 对于 的偏移，为 的水平效应或主效应。
所以把 理解为,（一般平均）＋（ 平均效应）
即,（一般平均）＋（ 平均效应）＋（误差）
显然{ }之 间有关系
表示水平 对试验结果产生的影响。
5
i
p
i
i=1
ij
X a 1,2,......,
j 1,2,......,r
2 a 0
3N
ij ij
ip??
? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
2
方差分析的数学模型的几条假定
（1）
（）
（） 是相互独立且遵从正态分布 （, ）
由这三条建立的模型叫做线性模型
建立数学模型后，统计分析需要解决两个问题
（1）参数估计
（2）统计检验
6
? （二）参数估计
i
_
11
_
1 1 1 1
11
a
11
( ) ( 2 1 5 )
11
( ) ( 2 1 6)
11
rr
ij i ij i i
jj
pprr
ij i ij
i j i j
pr
ij
ji
x a a
rr
xa
p r p r
r p r
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
?
??
? ? ? ?
??
i
_
i
_
__
i
参数估计即通过子样（样本，一组试验数据）算出统计量，
用这些统计量 和{a }，它 们的估计量用 和 表示。
根据子样平均值的定义
x
x
式中：
1
( 2 1 7 )
r
ij
j ?
???
7
__
_ _ _ _
i
2 1 8
a ( 2 1 9)
( 2 1 10)
i i i
i ij
ij
xx
x x a x x
al
l
??
?
?
?
??
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
ij
是 的一个无偏估计量，记作 （ －－）
的无偏估计是 即
于是(2- 1-3 )可 以改写为,x
式中 反映了误差
根据(2- 1-1 0)对 试验数据进行分解，通过数据的分解可看出
水平效应和误差大小。
8
? 例 2－ 1 考察温度对一化工产品的得率的影响，选了五种不同
的温度，同一温度做了三次试验，结果如下,
A A1 A2 A3 A4 A5
温度 (℃ ) 60 65 70 75 80
得
率
(%)
平均得率
90 97 96 84 84
92 93 96 83 86
88 92 93 88 82
90 94 95 85 84
表 2－ 1测定结果
_ 8 9,6x ?总平均
9
_
_
__
11
__
22
__
33
__
44
__
55
89.6
89.6
90 89.6 0.4
94 89.6 4.4
95 89.6 5.4
85 89.6 4.6
84 89.6 5.6
x
x
a x x
a x x
a x x
a x x
a x x
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
总平均
11 11 1
12 12 1
13 13 1
90 89.6 0.4 0
92 89.6 0.4 2
88 89.6 0.4 2
89.6 0.4 0
89.6 0.4 2
89.6 0.4 2
ij
l x a
l x a
l x a
x
?
?
?
??
??
??
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
11
12
13
依(2- 1-10) 式有：
这样 就可以分解成三个数之和：
x
x
x
10
? 对其它数据也进行类似分解,通过对数据
的分解，可以看到分组因素（温度）影响的大
小和试验误差的大小。
_ _ _ _ _
_ _ _ _ _
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( 2 1 11 )
ij ij
i ij i
i
i ij
x a l
x x x x x x
x x x x x x
?
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
ij
ij
ij
因：
即：
移项：
上式说明，测量值与总平均的变差，是组平均值与总平均值
之变差已经测量值与组平均值之变差的和。
11
_ _ _ _ _
2 2 2
( ) ( ) ( )
( 2 1 12)
i
i ij
x x x x x x? ? ? ? ?
??
ij
方差分析的基本方程式（即方差和的加和性原理）：
的加和 的加和 的加和
即 总差方和＝组间差方和＋组内差方和
式中，组内差方和___ _表征分组因素效应的大小
组内差方和__ __ 表征试验误差的大小
12
?（三）统计检验
_
2
11
_
_
A
H
( ) ( 2 1 13 )
_____
/ ( 1 ) ( 2 1 14)
p r
ij i
ij
xx
Se p r
??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
i0
如果统计假设是对的，即因素 对测量指标没有影响，则效应
{a } 全为零。设为统计假设
1,组内变差平方和的平均值：
Se
Se 组内平方和
组内差方和的平均值
Se
Se 又称为组内均方
13
_ _ _ _
1 1 1
__
__
2
2
_
11
1
_
22
0
_
22
0
2
( ) ( ) ( 2 1 16)
_____
() ()
( 2 1 17 )
11
( ) ( 2 1 18 )
ppr
ii
i j i
p r
p
i
i
ij
i
A
A
x x r x x
xx r x x
pp
Er
r
??
??
? ? ?
??
?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
?
? ? ?
?? ?
A
A
A
A
A
、组间变差平方和的平均值
S
S 组间平方和
组间差方和的平均值（又称为组间均方）
S
S
是S 的数学期望或者期望方差
14
_
22
_2
2
__
0
HF
/
( 2 1 19)
/
AA
0
/
1 F 1 H
F >F
F <F
AeA A A
e e
A
A
rS f S
f
Se
F S Se
??
?
?
?
? ? ? ?
?
?
0
临
临
如果统计假设 成立，可作 检验：
F=
Se
如果统计假设成立，即分组因素 对测定值没有影响，因素
的效应为零，即组间方差 。则
应该是与 相近的一个数。所以 近于 表示 成立。
显著
不显著
15
( 2 1 20)
( 2 1 21 )
( 2 1 20)
( 2 1 21 )
Ae
T A e
SS
f f f
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
T
可以证明
S
叫变差平方和分解公式
叫自由度分解公式
16
?二、正交试验方差分析的数学模型
? (一 )数学模型
? 根据一般线性模型的假定,若 9次试验结果 (如例 111中的转化率 )
以 x1,x2,…,x９ 表示,我们首先假定,
? (1)
? (2)为 9个数据可分解为,
? x1=μ+a1+b1+c1+ε1
? x2=μ+a1+b2+c2+ε2
? x3=μ+a1+b3+c3+ε3
? x4=μ+a2+b1+c2+ε4
? x5=μ+a2+b２ +c3+ε5
17
? x6=μ+a2+b3+c1+ε6
? x7=μ+a3+b1+c3+ε7
? x8=μ+a3+b2+c1+ε8
? x9=μ+a３ +b３ +c２ +ε9
? 其中,μ—— 一般平均 ;估计 =∑xi=x1+x2+……+x9 叫全部数据的
? a1,a2,a3表示 A
? b1,b2,b3表示 B
? c1,c2,c3表示 C在不同水平时的效应。
? (3)各因素的效应为零,或者,各因素的效应的加和为零
? ∑ai=0 ∑bi=0 ∑ci=0
18
? (4) {εi}是试验误差,它们相互独立,且遵从标准正态分布 N(0,1),
所以多个试验误差的平均值近似等于零。
? (二 )
? 有了数学模型,还应通过子样的实测值,对以上的各个参数作
由数理统计知识
E（ ）＝ μ
E（ ） —— 表示 μ的一个无偏估计
量。可表示为,
_x?? ?
_x
_x _x _x
19
§ 2－ 2正交试验的方差分析法
?一、方差分析的必要性
? 极差分析不能估计试验中以及试验结果测定
中必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点，
可采用方差分析的方法。
? 方差分析法是将因素水平（或交互作用）的变
化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的
试验结果间的差异区分开来的一种数学方法
? 所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将
总变差平方和进行分解，而你还进行统计检验的一
直数学方法。
20
?二、单因素方差分析法 （以例 2－ 1为例）
? 方差分析法的基本思路,
? （ 1）由数据中的总变差平方和中分出组内变差平
方和、组间变差平方和，并赋予它们的数量表示；
? （ 2）用组间变差平方和与组内变差平方和在一定
意义下进行比较，如两者相差不大，说明因素水平
的变化对指标影响不大；如两者相差较大，组间变
差平方和比组内变差平方和大得多，说明因素水平
的变化影响很大，不可忽视；
? （ 3）选择较好的工艺条件或进一步的试验方向 。
21
_
2
T
11
2 2 2
_ _ _ _
22
1 1 1
2 2 2
1.
S ( ) ( 2 2 1 )
( 90 89.6) ( 92 89.6),....,( 88 89.6) 353.6
2.
( ) ( ) ( 2 2 2)
3 ( 90 89.6) ( 94 89.6),....,( 84 89.6) 303
p r
ij
ij
ppr
ii
A
i j i
xx
S x x r x x
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ?
总
（一）变差平方和的分解
总变差平方和
S
组间变差平方和
.6
22
_
2
11
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
3.
( ) ( 2 2 3 )
( 60) ( 65 ) ( 70) ( 75 ) ( 80)
( 60) ( 90 90) ( 92 90) ( 88 90) 8
( 65 ) ( 97 94) ( 93 94) ( 92 94) 14
( 70) ( 96 95 ) ( 96 95 ) ( 93 95 ) 6
( 75 ) ( 84 85 ) (
p r
e ij i
ij
e e e e e
e
e
e
e
S x x
S S S S S
S
S
S
S
??
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
组内变差平方和
式中：
22
222
86 84) ( 82 84) 14
( 80) ( 84 84) ( 86 84) ( 82 84) 8
( 60) ( 65 ) ( 70) ( 75 ) ( 80) 50
e
e e e e e e
T A e
S
S S S S S S
S S S
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??我们发现有：
23
__
2
1
_
2
11
1,( )
pp
p1
()
pr r
pr p p r p r
p
i
A
i
p r
e ij i
ij
S r x x
S x x
?
??
??
??
?
??
（二）自由度
个成分都是对总平均值的差，而全部差相加为领，所以 个
成分的约束的个数为1，独立成分的个数为（ －）。
2.
个成分的平方和。由于 个成分之和为零，所以独立成分是
－ ＝ （ －1 ）个。则误差平方和自由度是 （ －1 ）。
24
_
2
T
11
S ( )
pr
pr pr
1
1
( 1 )
p r
ij i
ij
Ae
A e T A e
A
e
xx
f f f f
f f f S S S
f pr
fp
f p r
??
??
??
??
??
??
??
T
T
T
3.
个成分的平方和。由于所有这些成分之和为零，独立成分
是 －1。 所以总平方和的自由度是 －1。
用符号 表示自由度，
、, 分别表示,, 的自由度
25
A
e
22
A
2
e
A
1
( 1 )
()
()
A
A
Ae
e
S
p
S
pr
Er
E
??
?
?
?
?
?
??
?
_
_
_
_
_
（三）平均平方（均方）与均方期望值
平均和除以自由度称为均方。记为S
则,间均方 S
误差均方 S
它们的期望值为
S
S
26
_
_
/
/
A A A
e
e
S f S
f
S
?
e
（四）显著性检验
F=
S
F > F
F < F
临
临
显著
不显著
Aa
Aa
F F a a
A F F a
Aa
??
?
例如当 时，若 ＝0, 0 5,就有（1 － ）1 0 0 ％即9 5 ％的
把握说因素 是显著的。若,则在 水平下不能认为因
素 是显著的。通常是当试验精度很差时,可取得比较大。
A
A
A
FF
F
F
表的用法：表上方横行的数字对应 的分子的自由度，表左
侧竖列的数字对于 分母的自由度。横行与竖列的交叉点上的
数字，就是 的临界值。
27
__
A
a
Aa
0,05
0,05
F
/
2 a F F ( )
3F
,A *
,A * *
,A
,A
Ae
A e A e
A
A
A
A
SS
f f f f
FF
F
FF
F
??
?
??
?
0.01
0.01
0.1
0.10
检验的步骤：
（1） 计算F =
（ ）根据自由度, 及制定的显著性水平 查 表，得,
（）比较F 与,作出判断
通常：
（1） 对a=0,05,F 则说明因素 显著，记为
（2） 对a=0,01,F 则说明因素 高度显著，记为
（3） F 则说明因素 有一定影响，记为
（4） F 则说明因素 无显著性影响
28
246
aA
A
/ 303,6 / 4
1 15.1 8
/ 50.0 / 10
2 F P ) a 0.05 a
( 4,10) 3.5
( 4,10) 6.0
F F F,
A
AA
e
Sf
f
F
F
FF
??
?
?
?
e
0.05
0.01
A 0,05 0,01
以例2－1为例，检验其中因素 的显著性
（ ）计算F=
S
（ ）查 表（,对 ＝ 及 ＝0,01分 别有
（3） 比较 与
说明因素 高度显著。方差分析表如下
方差来源 变差平方和 自由度 平方差平方和 F临 FA 显著性
A SA=303.6 4 75.9 3.5 15.18 **
e Se=50.0 10 5.0 6.0
总和
29
22
1 1 1 1 1
22 2
1 1 1 1 1
11
()
11
()
aS
bb
ppr r r
ij ij ij
j i j i j
p p prr
i ij ij
i i j i j
T
A
e
x x P K x
pr pr
Q K x R x
rr
S R P
S Q P
S R Q
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
i
2
（五）小结
令 K K=
则有：
当数据比较特殊时，还可以进行如下简化
（1）每 个数据加(减)同 一个数,平方和 不变。
（2）每 个数据乘(除)同 一个数,相与的平方和增大(缩小) 倍。
30
三、正交试验的方差分析
? （一）无交互作用情况（以例 1－ 1为例）
A温度（ ℃ ） 1 B时间（ Min） 2 C用碱量（ x%） 3 4 转化率（ x%）
1 1(80℃ ) 1(90Min) 1(5%) 1 31
2 1(80℃ ) 2(120Min) 2(6%) 2 54
3 1(80℃ ) 3(150Min) 3(7%) 3 38
4 2(85℃ ) 1(90Min) 2(6%) 3 53
5 2(85℃ ) 2(120Min) 3(7%) 1 49
6 2(85℃ ) 3(150Min) 1(5%) 2 42
7 3(90℃ ) 1(90Min) 3(7%) 2 57
8 3(90℃ ) 2(120Min) 1(5%) 3 62
9 3(90℃ ) 3(150Min) 2(6%) 1 64
列号 试验号
31
29
22
9
2
1
3
2 2
11
3
2
1
3
2
1
......
11
9
11
()
33
1
()
3
1
()
3
i
i
p
A
A i i
ii
B
Bi
i
C
Ci
i
x x x
P K K
pr
Wx
Q k k
Qk
Qk
?
??
?
?
? ? ?
??
?
??
?
?
?
??
?
?
1
总体公式：
K=
AA
BB
CC
T
e T A B C
S Q P
S Q P
S Q P
S W P
S S S S S
??
??
??
??
? ? ? ?
32
A温度（ ℃ ） 1 B时间（ Min） 2 C用碱量（ x%） 3 4 转化率（ x%）
1 1(80℃ ) 1(90Min) 1(5%) 1 31
2 1(80℃ ) 2(120Min) 2(6%) 2 54
3 1(80℃ ) 3(150Min) 3(7%) 3 38
4 2(85℃ ) 1(90Min) 2(6%) 3 53
5 2(85℃ ) 2(120Min) 3(7%) 1 49
6 2(85℃ ) 3(150Min) 1(5%) 2 42
7 3(90℃ ) 1(90Min) 3(7%) 2 57
8 3(90℃ ) 2(120Min) 1(5%) 3 62
9 3(90℃ ) 3(150Min) 2(6%) 1 64
K1 123 141 135 144
K2 144 165 171 153
K3 183 144 144 153
Qi 23118 22614 22734 22518
Si 618 114 234 18
列号 试验号
9
1
2
450
1
450
9
22500
i
i
Kx
P
?
?
?
??
?
?
1.总平方和等于各列的平方和
33
方差来源 变差平方和 自由度 平方差平方和 F临 FA 显著性
A SA=618 2 309 34.33 19 *
e Se=18 2 9 4
总和 984 8
B SB=114 2 57 6.33 99 △
C SC=234 2 117 13.00 9 ⊙
方差分析表
4列平方和刚好等于总平方和,
S总 =SA+SB+SC+Se
34
2
2
1
2.
p r,,.....,
p r
......
1
( 2 2 24)
1
( 2 2 25 )
1 ( 2 2 26)
3.
p
i
i
PK
pr
QK
r
S Q P
fp
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
1 1 p
1 2 P
计算规格化
设某一列有 个水平，每个水平有 次试验。K K K 代表
个水平的 个数据之和。则：
K=K K K
该列平方和
相应自由度
便于分析因素的主次
35
? （二）有交互作用的正交试验的方差分析
? 当任意两因素之间 (如 A与 B）存在交互作用而
且显著时，则不论因素 A,B本身的影响是否显著，
A和 B的最佳因素都应从 A与 B的搭配中去选择
? 例 2－ 2某分析试验，起测定值受 A,B,C三种
因素的影响，每因素去两个水平，由于因素间存在
交互作用，在设计试验方案时，可选用 L8(27)表，
试验安排结果如表（试验指标要求越小越好）
36
因素 试验号
1
2
3
4
5
6
7
8
K1
K2
Qi
Si
A
1
B
1
A× B
3
C
4
B× C
6
误差
7
试验指标
（经简化后）
A× C
5
1
1
1
1
2
2
2
2
-5
0
6.25
3.125
1
1
2
2
1
1
2
2
+10
-15
81.25
78.125
1
1
2
2
2
2
1
1
0
-5
6.25
3.125
1
2
1
2
1
2
1
2
-40
35
706.25
703.125
2
1
2
1
2
1
2
1
20
-25
256.25
253.15
1
2
2
1
1
2
2
1
-5
0
6.25
3.125
1
2
2
1
2
1
1
2
5
-10
31.25
28.125
0
5
-10
0
-5
20
-15
10
2
5
1
5
8
3,1 2 5
K
P
?
??
?
正交试验结果计算表
37
1
22
1
22
212
8
22
1
11
48
1
6.25 3.125 3.125
48
1
1071.87 5
8
ii
i
A
A C B C e
T A A C B C e
i
i
S K K
KK
SK
S S S S S S
S S S S S S S S
xK
?
? ? ?
? ? ?
?
??
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
B A B C
B A B C
计算方法如下：
同理可得,,,,,
可以证明 + + + +
该式可以用来检验各列平方和的计算是否有错
38
方差来源 平方和 自由度 均方 F FA 显著性
方差分析表
B
C
A× C
A
A× B
B× C
误差
总和
78.125
703.125
253.125
3.125
3.125
3.125
28.125
1071.875
1
1
1
1
1
1
1
7
78.125
703.125
253.125
8.3
75
25
F0.05(1,4)=7.1
F0.01(1,4)=21.2
3,1 2 5 3,1 2 5 3,1 2 5 2 8,1 2 5
9,3 7 5
1111e
S
???
??
???
重新计算均方：
__ 7 8,1 2 5/
9,3 7 5AeSS ?
*
**
**
39
? 结果表明 B,C,A× C对试验结果影响最大,B可取 B2，而 A和
C见存在显著的交互作用，可通过二元表和二元图来确定其最优水平
A
C A1 A2
C1 -10 -20
C2 5 30
由图可知,A2C1最好,故最佳试验
条件为 A2B2C1，这正好是第 7号试
验。事实上，从试验结果看，它的
效果也最好。
20
10
0
-10
-20
-30
-40
A1 A2
指标
A
C1
C2
40
说明：对二水平因素，平方和的计算有一个简单的公式
设计算方法对任何二水平的因素都是适用的，设共做了 n次
试验，某一列是二水平，相应的 K值是 K1和 K2
则该列的平方和 S为,
2
12
1 ()S k k
n
??
41
例 2－ 3 某一种抗菌素的发酵培养基由黄豆饼粉、蛋白胨、葡萄
糖、碳源 1号、、无机盐 1号等组成。现打算对其中五个成分
的最适配比，以及最适装量，按三种水平进行试验，并将其
两个成分（黄豆饼与蛋白胨）合并为一个因素，这样构成一
个五因素三水平试验。需考虑的交互作用有 A× B,A× C、
A× E。因素 — 水平表如表 2－ 9所示。
因素
水平
黄豆粉＋蛋白胨 葡萄糖 KH2PO4 碳源 1号 装量 E(ml/250m
l三角瓶 )
A（％） B（％） B(%) D
1 0.5+0.5 4.5 0 0.5 30
2 1＋ 1 6.5 0.01 1.5 60
3 1.5+1.5 8.5 0.03 2.5 90
42
13
27
5 ( 3 1 ) 3 ( 3 1 ) ( 3 1 ) 22 L ( 3 )? ? ? ? ?
表 头 设 计, 从 要 考 虑 的 因 素 及 交 互 作 用 知, 总 自 由 度 有
个 。 故 可 选 用 正 交 表 。
依 第 一 章 讲 的 表 头 设 计 原 则, 表 头 设 计 如 下,
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
表头设计 A B A× B C A× C E A× E D
试验方案及结果分析见表 2－ 10
43
§ 2－ 3有重复试验的方差分析
? 正交试验中有重复试验的方差分析同单因素有
重复试验的方差分析方法基本相同。在无重复的
试验中，我们把空列的平方和作为误差的平方和，
其中既包括有试验误差，也包含有模型误差。称
为第一类误差平方和，记为 Se1，在重复试验中，
还有第二类误差平方和，记为 Se2，定义如下,
_
2
2
11
2
( ) ( 2 2 29)
( 1 )
i j r
( 2 2 29)
nr
e ij i
ij
e
ij
S x x
f n r
x
??
? ? ? ?
??
??
??
其自由度为
式中,表示第 个试验号的第 次试验，同一号试验重复 次。
式 的意义是：表示整个试验组内的变差平方和，真正
反应试验误差的大小
44
11
2
2
11
2
1
2
1
( 2 2 34)
1
( 2 2 35 )
( 2 2 36)
1
( 2 2 37 )
1
( ) ( 2 2 41 )
(
nr
ij
ij
nr
ij
ij
n
i
i
p
i
i
x
PK
nr
Wx
RX
r
QK
qr
pq
??
??
?
?
??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
?
?
实际计算公式如下：
K=
个水平，每个水平 个试验号)
WR
WP
S Q P
??
??
??
e2
T
则实用计算公式为：
S
S
45
例 2－ 4 某厂进行硅橡胶工艺参数试验，指标为老化前的抗拉
强度，因素水平如表 2－ 12所示。
因素
水平
A
第一阶段硫
化温度
B
第一阶段硫
化时间
C
硫化压力
D
第二阶段保
温温度
1
130℃ 20（分） 按压强计算表
压
150℃ 保温 1
小时生至
250℃ 保温 4
小时
2
143℃ 15（分） 以模具闭合为
准
150 ℃ 保温 1
小时升至 250
℃ 保温 6小时
46
表头设计
(因素 )
A B A× B C A× D D
列号 1 2 3 4 5 6 7
需考虑的交互作用有 A× B,A× D，每次试验重复四次,
表头设计如下,
47
方差来源 平方和 自由度 均方 F值 显著性
A 197.5 1 197.5 3.49
B 259.4 1 259.4 4.59 *
A×B 381.4 1 381.4 6.75 *
C 173.4 1 173.4 3.07
D 192.6 1 192.6 3.41
A×D 947.2 1 947.2 15.77 **
Se 141.2 25 56.48
总和 3563.5 31
F临
F 0.01 =(1,25)=7.27
F 0.05 =(1,25)=4.24
表 2－ 14 方差分析表
48
结论：方差分析的结果表明,C,D对指标影响不显著，且 C不涉及交互作
用，依节方便的原则取 C1,而 A,B,D的最优水平，通过作二元表及二元图
选出。二元表及二元图如下,
A
B
A1 A2
B1 -33.6 13.9
B2 16.8 9.05
A
D
A1 A2
D1 -20.35 43.5
D2 3.55 -20.1
49
从二元表及二元图知，对 A× B，好的搭配为 A2B2
对 A× D，好的搭配为 A2D1
综合考虑 A,B,D三因素应取水平搭配为 A2D1B1C1,
故，选出的最优条件为 A2D1B1C1
50
因为重复试验能大大提高试验的精度，所以在条件许可时，
应尽可能安排重复试验。
例 2－ 5 研究某三因素二水平体系，其取值如表 2－ 15所示。
试安排试验并从试验结果分析因素 A,B,C及其交互作
用对试验指标的影响。若有重复试验时，其结果又如何呢？
选取 L8(27)表安排试验，试验方案及结果计算如表 2－ 16所示。
因素
水平
A B C
1 1.5 Ⅰ 型 2.5
2 1.0 Ⅱ 型 2.0
51
因素 (列号 ）
实验号
A
1
B
2
A× B
3
C
4
A× C
5
B× C
6
7 实验指标
1
2
3
4
5
6
7
8
-0.5
0
0
-0.5
0
1.0
0.5
0
K1
K2
R
S
-1.0 0.5 0 0 0.5 -1.0 0.5
1.5 0 0.5 0.5 0 1.5 0
2.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2.5 0.5
0.7812 0.0312 0.0312 0.0312 0.0312 0.7812 0.0312
表 2-16 实验方案及结果计算表
8 0
1
0.5i
i
X
?
??
78 (2 )L ?
52
所以，整个试验的最佳水平组合为 A2B1C1
二元表及二元图如下
0.50
0.25
0
-0.25
B1 B2 B
C2
C1
指标
53
方差来源 平方和 自由度 均方 F值 显著性
A 0.7812 1 0.7812 24.8 △
B 0.0312 1 0.0312 0.99
C 0.0312 1 0.0312 0.99
A×B 0.0312 1 0.0312 0.99
A×C 0.0312 1 0.0312 0.99
B×C 0.7812 1 0.7812 24.8 △
0.0315 1 0.0315
总和 1.7187 7
F临
F 0.20 (1,1)=9.5
表 2－ 17 方差分析表
?
54
如果对同一号的试验均重复一次或几次，显然
可以提高试验的精确度。本例对所作的 8次试验各
重复一次，其试验结果及计算如表 2－ 18所示。
55
表 2－ 18 试验结果及计算
X i1 X i2
-0.5 -0.4 -0.9
0 -0.2 -0.2
0 0.3 0.3
-0.5 -0.6 -1.1
0 0.1 0.1
1 1.2 2.2
0.5 0.5 1
0 -0.1 -0.1
-1.9 1.2 -0.2 0.5 1.5 -2.0 1.2
3.2 0.1 1.5 0.8 -2.0 3.3 0.1
5.1 1.1 1.7 0.3 1.7 5.3 1.3
1.625 0.075 0.005 0.180 0.180 1.755 0.079
5
6
重复实验次数 X i =
X i1 + X i2
1
2
R
S
7
8
K 1
K 2
3
4
78(2 )L
A
1
B
2
A× B
3
C
4
A× C
5
B× C
6 7
因素 (列号 )
试验号
1.3iX ??
56
表 2－ 19 方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 显著性 最优水平
A 1.625 1 1.625 124 ** A 2
B 0.005 1 0.005 5.7 * B 1
C 0.005 1 0.005 0.4
A×B 0.180 1 0.180 13.7 ** A 2 B 1
A×C 0.180 1 0.180 134 ** A 2 C 2
B×C 1.755 1 1.755 6 * B 1 C 2
S e1 0.079 1 0.079 6.03 *
S e2 0.105 8 0.0131
总和 4.004 15
F 临
F 0.05 (1,8)=5.32
F 0.01 (1,8)=11.3
57
§ 2－ 4缺落数据的弥补
? 当因素超过一个时，要求数据整齐，有时，某
些试验不幸做坏了，或者数据丢失，客观条件不
允许重复试验。
? 一、试验有重复的情况
? 试验有重复，并且每一处理至少有一个数据没有丢失，这时
丢失或缺落的数据就用同一处理的而没有丢失的数据的平均值代
替。通过这样弥补来的数据不能算在自由度内。
? 二、一种处理数据完全脱落的情况
? 1.用数据结构模型和参数估计的方法
? 2.极小化误差法
58
59
8
3 2 3 3 2 3
9
88
1
33
8
1.
8x
8 3 2 3 8
8
?
? ? ?§ 2 1,,,,,,
1 1 1
? ( 23.7 ) 2.6
9 9 9
?
i
i
x a b c
a b c a b c
x x x x
a A x
??
?
??
?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
?
现 在 我 们 假 设 由 于 某 种 原 因, 第 号 试 验 的 数 据 缺 落, 下 面 介 绍 两 个 弥 补 的
方 法 。
利 用 数 据 结 构 模 型 的 参 数 估 计 的 方 法
第 号 试 验 数 据 构 造 为
随 机 变 量 。
用 本 章 － 讲 的 参 数 估 计 法, 分 别 求 出 参 数 的 估 计 值
＝
水 平 下 试 验 数 据 的 平 均 值 －
60
8
8
8
2
2
3
3 8 8
8
8 3 2 3
8
88
8
8
1
3.9 )
3
1.3
3
?
2.3
3
11
? ?( 7.1 ) 2.4
33
?
? ? ?
6.0 3
2
( 5.2 )
9
3.6
B
c
xx
x
x
x
b x x
k
c x x x x x
k
x
x a b c
x x x
xx
x
x
?
??
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
?
＝ （
由 此 得 的 估 计 值 为
＝ ＋ ＋ ＋
＝ ＋
＝ 6+
7
＝ 0.8+
9
61
方差来源 平方和 自由度 均方 F值 显著性
A S A =S 1= 1.29 2 0.65
B S B= S 2 =27.73 2 13.87 10.54 **
C S C =1.88 2 0.91 2.43
S 3 =1.39 1
总和 Se=S 1 +S 3 +S 4 =4.50 5 0.9
F 0.05 (2,5)=5.79
F临
F 0.01 (2,5)=13.3
表 2－ 23 方差分析表
62
? 2.极小化误差法
? 这要求估计值能使误差的平方和达到最小值,这
? 如例 1-1的第 9号试验数据丢失了,为清楚起见,我
们将计算的表格还是列出,Se可通过第四列算出,我
们先算第四列的 K值。设第九号试验的转化率为 x,
由表 2-24所示,
63
64
? ?
2
2
22
4
e
e
1
( 386 )
9
1
80 153 153
3
SP
xS
0
e
e
e
Px
Q Q x
Q
dQ dP
dX dX
??
??
? ? ? ? ?
??
? ? ?
e
则
＝ －
取 使 达 极 小 。
dS
dX
65
d 2
( 80 )
d3
2
( 386 )
9
/d
2
80 ( 386 ) 0
3
X 63
e
Q
x
X
dP
x
dx
x
xx
??
??
? ? ?
e
将
代 入 dS 得,
2
（ )-
9
解 得
＝
与 实 际 得
e
64
f1
F
是 很 接 近 的 。
同 前 例, 丢 失 的 数 据 补 上 后, 仍 可 按 通 常 的 方 法 进 行 计 算, 但 误 差 的 自 由 度 原 来 是 2,
现 在 要 减 去, 即 ＝ 。
从 上 面 的 例 子 看 到 由 于 误 差 的 自 由 度 减 少, 检 验 的 灵 敏 度 降 低, 对 分 析 问 题 是 不
利 的, 而 且 补 救 的 数 据 毕 竟 不 是 真 实 的, 只 能 作 为 分 析 问 题 的 参 考, 丢 失 的 信 息
难 全 部 补 救, 所 以 最 好 不 要 丢 失 数 据 。
