第六章 均匀设计法
§ 6－ 1 基本原理
? 一、引言
? 正交试验设计利用,
? 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐
? 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀
?
? 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的
试验结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，
正交试验的次数也会很大。如 5因素 5水平，用正交表
需要安排 55＝ 25次试验。这时，可以选用均匀设计法，
仅用 5次试验就可能得到能满足需要的结果
? 1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五
因素的试验，希望每个因素的水平数要多于 10，而试
验总数又不超过 50，显然优选法和正交设计都不能用，
方开泰与王元经过几个月的共同研究，提出了一个新
的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用于
导弹设计，取得了成效
? 均匀设计法愈正交设计法的不同,
? 均匀设计法不再考虑“数据整齐可比”性，只考虑试
验点在试验范围内充分“均衡分散”
? 均匀设计属于近年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的
范筹。将经典的确定的单变量问题的计算方法推广后
用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有
关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无法实际应用，
乌拉母（ S.Ulam）与冯诺依曼 (J.von Neumann)在 40年
代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法的
大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率问
题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题，这
样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重
定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组随
机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随
机数的均匀性与独立性。
? 二、均匀设计表
? 均匀设计表符号表示的意义
U7(76)
均匀表的代号
试验次数
因素的水平数
因素数
? 如 U6(64)表示要做次 6试验，每个因素有 6个水
平，该表有 4列。
1 2 3 4
1 1 2 3 6
2 2 4 6 5
3 3 6 2 4
4 4 1 5 3
5 5 3 1 2
6 6 5 4 1
U6(64)
列号 试验号
? 每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设
计表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的
均匀度。下表是 U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因
素，应选用 1,3两列来安排试验；若有三个因素，应选用 1，
2,3三列,…,最后 1列 D表示刻划均匀度的偏差
(discrepancy)，偏差值越小，表示均匀度越好。
s 列 号 D
2 1 3
0.1875
3 1 2 3
0.2656
4 1 2 3 4 0.2990
U6(64)的使用表
? 均匀设计有其独特的布（试验）点方式,
? 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验
? 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列
有且仅有一个试验点
? 以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性”，即对
各因素，每个因素的每个水平一视同仁。
? 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价
? 例如用 U6(64)的 1,3 和 1,4列分别画图，得到下面的
图 (a)和图 (b)。我们看到,(a)的点散布比较均匀，而
(b)的点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交
表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个
附加的使用表。
? 三、试验结果分析
? 均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结
果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回
归分析或逐步回归分析的方法,
^
0 1 1
__
1
__
1
2
_
1
_
1
22
,1,2,,( 8 2 )
1,2,,( 8 3 )
( 8 4 )
( 8 1 )
k
n
ij
i j i k i k
k
N
i
i y i k k
K
N
y y k
i
N
ii
i
mm
i k i k
L x x x x i j m
L
y
x x y y i m
Ly
b b x b x b x
x
y
x
xy
y
x
?
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??
??
?
?
?
?
令 代 表 因 素 在 第 k 次 试 验 时 取 的 值, 表 示 响 应 值
在 第 次 试 验 的 结 果 。
1,2,( 8 5 )im??
?
_
1
1 1 1 1 1
2 1 1 2 2
11
__
0
1
1
( 8 6 )
87
N
k
i
M m y
m m y
m m m m m y
N
ii
i
yy
N
L b L b L
L b L b L
L b L b L
b y b y
?
?
??
?
?
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?
? ? ??
?
?
?
? ? ?
?
?
??
?
?
?
?
回归方程组系数由下列正规方程组决定：
（ － ）
2 2
111
1
2
( ) ( 8 9 )
m T m
i i i j i j i i i m
iii
j
i j i
b x b x x b x T C
x x x
???
?
? ? ? ? ?? ? ?
0
当各因素与响应值关系是非线性关系时，或存在因素
的交互作用时，可采用多项式回归分析的方法
例如各因素与响应值均为二次关系时的回归方程为：
y=b
其 中 反 映 了 因 素 间 的 多 互 效 应, 反 映 因 素 而 此 项
的银杏，通过变量代换( 8 - 9 ) 式可化为多元线性方程求
解。
1
2^
2
0
1
( 1,2,; 1 ) ( 8 1 0 )
( 8 9 ) ( ) ( 8 1 1 )
U
ij
mT
l l m
l
x x x i m j
y b b x T C
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ??
即令
方 程 化 为
在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能
选用试验次数等于因素数的均匀设计表，二必须选用试
验次数大于或等于回归方程系数总数的 表了
§ 6－ 2 应用举例
? 利用均匀设计表来安排试验的步骤,
? （ 1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。
? （ 2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的
使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，
并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试
验就安排好了
? 在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，
选取了原料配比 (A)、吡啶量 (B)和反应时间 (C)
三个因素，它们各取了 7个水平如下,
? 原料配比（ A）,1.0,1.4,1.8,2.2,2.6,3.0,3.4
? 吡啶量（ B） (ml),10,13,16,19,22,25,28
? 反应时间（ C） (h),0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5
? 7个水平，需要安排 7次试验，根据因素和水平，我们
可以选用 U7(76)完成该试验。
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
6
5
6
2
2
4
6
5
3
5
3
3
6
2
4
1
4
4
4
1
5
3
6
3
5
5
3
1
2
4
2
6
6
5
4
1
2
1
7
7
7
7
7
7
7
U7(76)
列号
试验号
因素数 列号
2
1
3
3
1
2
3
4
1
2
3
6
5
1
2
3
4
6
6
1
2
3
4
5
6
U7(76)使用表
U7(76)共有 6列，现在有 3个因素，根据其使用表，应
该取 1,2,3列安排试验。
No,配比
（ A）
吡啶量
（ B）
反应时
间（ C）
收率
（ Y）
1
1.0(1)
13(2)
1.5(3)
0.330
2
1.4(2)
19(4)
3.0(6)
0.336
3
1.8(3)
25(6)
1.0(2)
0.294
4
2.2(4)
10(1)
2.5(5)
0.476
5
2.6(5)
16(3)
0.5(1)
0.209
6
3.0(6)
22(5)
2.0(4)
0.451
7
3.4(7)
28(7)
3.5(7)
0.482
制备阿魏酸的试验方案 U7(73)和结果
?根据试验方案进行试验，其收率 (Y)列于表的
最后一列，其中以第 7号试验为最好，其工艺
条件为配比 3.4，吡啶量 28ml，反应时间 3.5h。
?我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据
n 7 7 0, 3 3 0,1, 0,1 3,1, 5 ),0, 3 3 6 1, 4,
1 9,3, 0 ijL
解, 这 时 ＝,组 观 测 值 为 ( (,
） ( 0, 4 8 2,3, 4,2 9,3, 5 ),它 们 的 均 值 为,
_ _ _ _
1 2 3
1 1 1 2 1 2 1
2 2 2 3 2
3 3 3
1 2 3
2, 2 1 9 2, 0 0, 3 6 8 3
4, 4 8 1 6, 8 1, 4 0, 2 4 0 4
2 5 2, 0 1 0, 5 0, 5 6 4 0
7, 0 0, 5 2 4 5
0, 0 3 7,0, 0 0 3 4 3,0, 0 7 7
0, 3 6 8 3 0, 0 3 7 2, 2 0, 0 0 3 4 3 1 9 0,
y
y
y
i j j i
x x x y
L L L L
L L L
LL
LL
b b b
a
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
??
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
由 于, 故 不 必 全 部 列 出, 将 它 们 代 入 方 程 组 中
可以解得
从而
0 7 7 2, 0 0, 2 0 1??
1 2 3
0, 0 7,
0, 2 0 1 0, 0 3 7 0, 0 0 3 4 3 0, 0 0 7 7 ( 8 1 2 )Y X X X
? ? ?
? ? ? ? ?
于是回归方程为：
进一步对它做方差分析，其方差分
的估计
析表如下：
方差来源 自由度 平方和 均方 F
回归
误差
总和
3
3
6
0.048770
0.014838
0.063608
0.016257
0.004946
3.29
方差分析表
,1 3,3
0, 0 5 F
( ) ( 0, 0 5 ) 9, 2 8 3, 2 9
m n m
F F F
?
?
??
?
? ? ? ?
当 时 表 的 临 界 值
回归方程不可信。
? 现在用逐步回归分析的方法来筛选变量,
? 逐步回归是回归分析中的一种筛选变量的技术,开
始它将贡献最大的一个变量选入回归方程，并且预先
确定两个阈值 Fin和 Fout，用于决定变量能否入选或剔
除,逐步回归在每一步有三种可能的功能,
? 将一个新变量引进回归模型，这时相应的 F统计量必须大于 Fin
? 将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的 F统计量必须小于 Fout
? 将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。
? 设先用后退法来选变量,所谓后退法，就是开始
将所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程
没有显著贡献的变量，直到方程中所有的变量
都有显著贡献为止。
? 仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程，
得 (2.12).统计软件包通常还会提供每个变量的 t
值,t值越大（按绝对值计）表示该因素越重
要,对本例有
? t0=0.204,t1=0.96,t2=-0.67,t3=2.77
? 这表明三个因素中以 X3（反应时间）对得率（ Y）
影响最大，配比次之，吡啶量最小。
? 这些 t 值都是随机变量，它们遵从 tn-m-1分布。
若取 α=0.05,这时 n=7,m=3,tn-m-1= 的临界值
t3(0.05)=3.18。 t值大于该值的因素表示对方程有显著
贡献，否则表示不显著。今 均小于 (0.05)=3.18,说明
回归方程 (2.18)的三个变量至少有一个不起显著作用,
于是我们将贡献最小的 X2删去，重新建立 Y和 X1及 X3
的线性回归方程，得
130, 1 6 9 0, 0 2 5 1 0, 0 7 4 2Y X X? ? ?
22
0 1 3
43
3
35
0, 0 6 5 2 6,t 2, 1 2,0, 7 9,2, 9 1,
tt
( 0, 0 5 ) 2, 7 8,Y X
0, 2 1 4 1 0, 0 7 9 ( 8 1 3 )
3, 3 4 ( 0, 0 5 ) 2, 5 7,0, 0 6 3
t t t
t
YX
tt
?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
1
三 个 值 分 别 为
这 时 这 三 个 值 遵 从 含 四 个 自 由 度 的 分 布, 临 界 值 为
从 而 X 应 从 方 程 中 剔 除, 然 后 对 和
建立回归方程
这 里 。 因 此, 回 归 方
程 ( 8 - 1 3 ) 并 非 真 正 的 最 终 模 型, 而 是 在 线 性 框 架 下 的
最终产物。
XY
3
上述的分析只发现 对 有显著作用，其它两个因素均
没有显著作用，该结论与实际经验不温和，因此猜想用
线性模型不一定符合实际。
2
0
11
2
3 3 1 3
2
13
( 8 1 4 )
0, 0 6 2 3 2 0, 2 5 1 0, 0 6 0, 0 2 3 5 ( 8 1 5 )
0, 0 2 1 7,9 7, 7 7
X
mm
i i i i i i j i j
i i i j
Y X X X X
Y X X X X
R
XX
? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
?
? ? ?
0
3
这 时 方 程 中 有 9 项 （ 不 算 ） 。 利 用 逐 步 回 归 技 术 求 得 回
归方程如下：
其 响 应 的 。
显然，回归方程( 8 - 1 5 ) 的效果优于( 8 - 1 3 ) 。该方程
于是进一步考虑二次回
表明
因 素 和 交 互 作 用
归模型
对 Y 有显著的影响
2
33
3
?
X
X 3, 4 ( 8 1 5 )
?
0, 0 6 2 3 2 0, 3 3 0 9 0, 0 6
?
/ 0 0,2, 7 5 7 5
?
5 1, 8 5 %
Y
Y X X
YX
Y
??
?
? ? ?
? ? ?
1
33
的极大值。
此处我们可以用简单的微积分求得极值。由于 在试
验范围内极大值3, 4,将 ＝ 代入 得
令, 解 得 0, 3 3 0 9 - 0, 1 2 X
(8-15) 方程要求我们在配比1, 0 - 3, 4,吡啶量1 0 - 2 8,
反应时间0
X
这 时 的 极 大
.5-3.5 时, 求 方 程 ( 8
值 为 。
这时收
-15) 中
率大于前 U面 所 讲 的 用 表 安 排 的 7 号 试 验 的 结 果
棗 4 8, 2 %,达到了优化的目的
例,均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用
? 1,均匀设计表的选取
? 本实验的目的是提高镀层光亮性。经初步研究，取
其固定组成为硫酸镍 25g/L，次磷酸钠 25g/L，醋酸钠
25g/L。考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，
润湿剂 4个因素，每个因素取值范围为 t个水平（ t 为实
验次数）,4个因素的一次项及二次项各有 4项,4项因
素间的两两交互作用设有 6项，共 14项，实验数不能小
于 14，本实验选用 U17（ 178）表。
均匀表 U17（ 178）
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 4 6 9 10 11 14 15
2 2 8 12 1 3 5 11 13
3 3 12 1 10 13 16 8 11
4 4 16 7 2 6 10 5 9
5 5 3 13 11 16 4 2 7
6 6 7 2 3 9 15 16 5
7 7 11 8 12 2 9 13 3
8 8 15 14 4 12 3 10 1
9 9 2 3 13 5 14 7 16
10 10 6 9 5 15 8 4 14
11 11 10 15 14 8 2 1 12
12 12 14 4 6 1 13 15 10
13 13 1 10 15 11 7 12 8
14 14 5 16 7 5 1 9 6
15 15 9 5 16 14 12 6 4
16 16 13 11 8 7 6 3 2
17 17 17 17 17 17 17 17 17
试验号
列号
水平号
U17（ 178）表的使用表
因数个数
2 1 6
3 1 5 8
4 1 5 7 8
5 1 2 5 7 8
6 1 2 3 5 7 8
7 1 2 3 4 5 7 8
列号
本实验为 4因素，这 4个因素安排在均匀表的 1,5,7,8
列，去掉 U17（ 178）的最后一行，将实验方案及结果见
下表。
综合指标
水平号 c m g / L 水平号 c m g / L 水平号 c m g / L 水平号 c m g / L Z
1 1 0.2 10 5.5 14 7.5 15 37.0 79.15
2 2 0.4 3 2.0 11 6.0 13 32.0 87.50
3 3 0.6 13 7.0 8 4.5 11 27.0 86.95
4 4 0.8 6 3.5 5 3.0 9 22.9 90.95
5 5 1.0 16 8.5 2 1.5 7 17.0 91.58
6 6 1.2 9 5.0 16 8.5 5 12.0 87.40
7 7 1.4 2 1.5 13 7.0 3 7.0 87.55
8 8 1.6 12 6.5 10 5.5 1 2.0 90.88
9 9 1.8 5 3.0 7 4.0 16 39.5 80.92
10 10 2.0 15 8.0 4 2.5 14 34.5 78.40
11 11 2.2 8 4.5 1 1.0 12 29.5 69.95
12 12 2.4 1 1.0 15 8.0 10 24.5 66.40
13 13 2.6 11 6.0 12 6.5 8 19.5 48.13
14 14 2.8 4 2.5 9 5.0 6 14.5 60.50
15 15 3.0 14 7.5 6 3.5 4 9.5 35.70
16 16 3.2 7 4.0 3 2.0 2 4.5 30.13
第 8 列润湿剂
试验号
第 1 列稳定剂 第 5 列主光亮剂 第 7 列辅助光亮剂
2.指标的选择和优化
? 指标是回归方程中的响应函数，在本实验中即是镀
件质量。根据我们对镀件的要求，定义一个综合指标 z，
z的分值由外观评分 R，沉积速度评分 V，耐腐蚀性评分
Q乘以不同的权重构成,z=0.5R+0.2V+0.3Q。 R,V,Q
的分值分别为 0－ 100。
3.实验方法
? 试样为 10cm× 5cm× 0.2cm的低碳钢板，在 88－ 90℃ 的恒温
水浴槽内施镀，镀液 pH值控制在 4.5-5.0。镀前处理按常规进
行，按均匀设计表中确定的组成分别配成 16种化学镀液，挂
镀法施镀 1h，清洗，晾干，对试样进行外观的评定。
? 沉积速度测定：沉积速度，样片增加的重量 /样片的面积
(g/cm2 )
? 耐腐蚀性测定,10％硫酸浸泡 24h，根据失重及腐蚀后外观
评分
4.结果处理及分析
? 实验结果用计算机处理，主要运用软件为 SPSS和
Matlab。
?
? 4.1建立数学模型及筛选变量
? 考虑到可能有的数学关系，将各因素的一次项，二
次项，两因子间的交互作用项均作为考察对象，回归
方程模型为,
? R=b0+∑ bixi+∑ bijxixj+∑ biixi2 (i=1,2,3,4;i≠ j)
? b为各项系数。将给因素的值及综合指标输入计算
机，用自后淘汰变量法 (backward selection)进行回归
分析和变量筛选,sigF＞ 0.10的变量被淘汰,最后得
到指标与相关组成的回归方程。
Z=86.726+6.555× d－ 4.554× p2＋ 1.384× c2＋ 0.01641× ω2－
3.177× p× c＋ 0.1932× p× ω－ 0.1209× c× ω－ 0.3779× d× ω
c为主光亮剂； d为辅助光亮剂； ω为润湿剂； p为稳定剂。
4.2对回归方程的优化处理
用求条件极值的强约束优化法对回归方程进行优化，用 Matlab
语言编程,用 BFGS拟牛顿 (Quasi-Newton)算法及最小二乘法寻
优，本实验找到的最优解为：主光亮剂 HC3.7mg/L，辅助光亮
剂 HD1.1ml/g，稳定剂 0.2mg/L，润湿剂 19.7mg/L，乳酸 6mol/L。
? 4.3优化结果的验证
? 按最优解所得到的组成配成镀液进行施镀，所得试样外
观达到镜面全光亮，镀件经各种腐蚀介质分别浸泡 24h后
外观仍然光亮，镀层无明显变化。镀片综合指数评定值为
96.2，优于实验中最好的 5号试样。镀速可达 11－ 5μm /h，
镀液使用周期可达 8周期以上。
4.4各因素对镀层质量影响的分析
回归方程中各项系数的大小反映了该因素对指标影响的大小,
但由于给系数的单位不同不能进行比较，因此需对给变量的
系数进行标准化，将回归方程系数变为标准回归系数 b0,
主光亮剂 c2 辅助光亮剂 d 稳定剂 p2 润湿剂 ω2
b0 0.384 0.384 － 0.759 － 0.418
交互 pc 交互 pw 交互 cw 交互 dw
b0 － 0.485 0.233 － 0.229 － 0.714
从以上数据看出，但因素对综合指标影响最大的是稳定
剂，其次是润湿剂。根据交互作用项的系数可看出，润
湿剂与辅助光亮剂的交互作用 dw影响最大，其次主光亮
剂与稳定剂的交互作用影响液也较大。
§ 6－ 1 基本原理
? 一、引言
? 正交试验设计利用,
? 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐
? 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀
?
? 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的
试验结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，
正交试验的次数也会很大。如 5因素 5水平，用正交表
需要安排 55＝ 25次试验。这时，可以选用均匀设计法，
仅用 5次试验就可能得到能满足需要的结果
? 1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五
因素的试验，希望每个因素的水平数要多于 10，而试
验总数又不超过 50，显然优选法和正交设计都不能用，
方开泰与王元经过几个月的共同研究，提出了一个新
的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用于
导弹设计，取得了成效
? 均匀设计法愈正交设计法的不同,
? 均匀设计法不再考虑“数据整齐可比”性，只考虑试
验点在试验范围内充分“均衡分散”
? 均匀设计属于近年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的
范筹。将经典的确定的单变量问题的计算方法推广后
用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有
关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无法实际应用，
乌拉母（ S.Ulam）与冯诺依曼 (J.von Neumann)在 40年
代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法的
大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率问
题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题，这
样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重
定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组随
机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随
机数的均匀性与独立性。
? 二、均匀设计表
? 均匀设计表符号表示的意义
U7(76)
均匀表的代号
试验次数
因素的水平数
因素数
? 如 U6(64)表示要做次 6试验，每个因素有 6个水
平，该表有 4列。
1 2 3 4
1 1 2 3 6
2 2 4 6 5
3 3 6 2 4
4 4 1 5 3
5 5 3 1 2
6 6 5 4 1
U6(64)
列号 试验号
? 每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设
计表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的
均匀度。下表是 U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因
素，应选用 1,3两列来安排试验；若有三个因素，应选用 1，
2,3三列,…,最后 1列 D表示刻划均匀度的偏差
(discrepancy)，偏差值越小，表示均匀度越好。
s 列 号 D
2 1 3
0.1875
3 1 2 3
0.2656
4 1 2 3 4 0.2990
U6(64)的使用表
? 均匀设计有其独特的布（试验）点方式,
? 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验
? 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列
有且仅有一个试验点
? 以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性”，即对
各因素，每个因素的每个水平一视同仁。
? 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价
? 例如用 U6(64)的 1,3 和 1,4列分别画图，得到下面的
图 (a)和图 (b)。我们看到,(a)的点散布比较均匀，而
(b)的点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交
表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个
附加的使用表。
? 三、试验结果分析
? 均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结
果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回
归分析或逐步回归分析的方法,
^
0 1 1
__
1
__
1
2
_
1
_
1
22
,1,2,,( 8 2 )
1,2,,( 8 3 )
( 8 4 )
( 8 1 )
k
n
ij
i j i k i k
k
N
i
i y i k k
K
N
y y k
i
N
ii
i
mm
i k i k
L x x x x i j m
L
y
x x y y i m
Ly
b b x b x b x
x
y
x
xy
y
x
?
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??
??
?
?
?
?
令 代 表 因 素 在 第 k 次 试 验 时 取 的 值, 表 示 响 应 值
在 第 次 试 验 的 结 果 。
1,2,( 8 5 )im??
?
_
1
1 1 1 1 1
2 1 1 2 2
11
__
0
1
1
( 8 6 )
87
N
k
i
M m y
m m y
m m m m m y
N
ii
i
yy
N
L b L b L
L b L b L
L b L b L
b y b y
?
?
??
?
?
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?
? ? ??
?
?
?
? ? ?
?
?
??
?
?
?
?
回归方程组系数由下列正规方程组决定：
（ － ）
2 2
111
1
2
( ) ( 8 9 )
m T m
i i i j i j i i i m
iii
j
i j i
b x b x x b x T C
x x x
???
?
? ? ? ? ?? ? ?
0
当各因素与响应值关系是非线性关系时，或存在因素
的交互作用时，可采用多项式回归分析的方法
例如各因素与响应值均为二次关系时的回归方程为：
y=b
其 中 反 映 了 因 素 间 的 多 互 效 应, 反 映 因 素 而 此 项
的银杏，通过变量代换( 8 - 9 ) 式可化为多元线性方程求
解。
1
2^
2
0
1
( 1,2,; 1 ) ( 8 1 0 )
( 8 9 ) ( ) ( 8 1 1 )
U
ij
mT
l l m
l
x x x i m j
y b b x T C
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ??
即令
方 程 化 为
在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能
选用试验次数等于因素数的均匀设计表，二必须选用试
验次数大于或等于回归方程系数总数的 表了
§ 6－ 2 应用举例
? 利用均匀设计表来安排试验的步骤,
? （ 1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。
? （ 2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的
使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，
并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试
验就安排好了
? 在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，
选取了原料配比 (A)、吡啶量 (B)和反应时间 (C)
三个因素，它们各取了 7个水平如下,
? 原料配比（ A）,1.0,1.4,1.8,2.2,2.6,3.0,3.4
? 吡啶量（ B） (ml),10,13,16,19,22,25,28
? 反应时间（ C） (h),0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5
? 7个水平，需要安排 7次试验，根据因素和水平，我们
可以选用 U7(76)完成该试验。
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
6
5
6
2
2
4
6
5
3
5
3
3
6
2
4
1
4
4
4
1
5
3
6
3
5
5
3
1
2
4
2
6
6
5
4
1
2
1
7
7
7
7
7
7
7
U7(76)
列号
试验号
因素数 列号
2
1
3
3
1
2
3
4
1
2
3
6
5
1
2
3
4
6
6
1
2
3
4
5
6
U7(76)使用表
U7(76)共有 6列，现在有 3个因素，根据其使用表，应
该取 1,2,3列安排试验。
No,配比
（ A）
吡啶量
（ B）
反应时
间（ C）
收率
（ Y）
1
1.0(1)
13(2)
1.5(3)
0.330
2
1.4(2)
19(4)
3.0(6)
0.336
3
1.8(3)
25(6)
1.0(2)
0.294
4
2.2(4)
10(1)
2.5(5)
0.476
5
2.6(5)
16(3)
0.5(1)
0.209
6
3.0(6)
22(5)
2.0(4)
0.451
7
3.4(7)
28(7)
3.5(7)
0.482
制备阿魏酸的试验方案 U7(73)和结果
?根据试验方案进行试验，其收率 (Y)列于表的
最后一列，其中以第 7号试验为最好，其工艺
条件为配比 3.4，吡啶量 28ml，反应时间 3.5h。
?我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据
n 7 7 0, 3 3 0,1, 0,1 3,1, 5 ),0, 3 3 6 1, 4,
1 9,3, 0 ijL
解, 这 时 ＝,组 观 测 值 为 ( (,
） ( 0, 4 8 2,3, 4,2 9,3, 5 ),它 们 的 均 值 为,
_ _ _ _
1 2 3
1 1 1 2 1 2 1
2 2 2 3 2
3 3 3
1 2 3
2, 2 1 9 2, 0 0, 3 6 8 3
4, 4 8 1 6, 8 1, 4 0, 2 4 0 4
2 5 2, 0 1 0, 5 0, 5 6 4 0
7, 0 0, 5 2 4 5
0, 0 3 7,0, 0 0 3 4 3,0, 0 7 7
0, 3 6 8 3 0, 0 3 7 2, 2 0, 0 0 3 4 3 1 9 0,
y
y
y
i j j i
x x x y
L L L L
L L L
LL
LL
b b b
a
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
??
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
由 于, 故 不 必 全 部 列 出, 将 它 们 代 入 方 程 组 中
可以解得
从而
0 7 7 2, 0 0, 2 0 1??
1 2 3
0, 0 7,
0, 2 0 1 0, 0 3 7 0, 0 0 3 4 3 0, 0 0 7 7 ( 8 1 2 )Y X X X
? ? ?
? ? ? ? ?
于是回归方程为：
进一步对它做方差分析，其方差分
的估计
析表如下：
方差来源 自由度 平方和 均方 F
回归
误差
总和
3
3
6
0.048770
0.014838
0.063608
0.016257
0.004946
3.29
方差分析表
,1 3,3
0, 0 5 F
( ) ( 0, 0 5 ) 9, 2 8 3, 2 9
m n m
F F F
?
?
??
?
? ? ? ?
当 时 表 的 临 界 值
回归方程不可信。
? 现在用逐步回归分析的方法来筛选变量,
? 逐步回归是回归分析中的一种筛选变量的技术,开
始它将贡献最大的一个变量选入回归方程，并且预先
确定两个阈值 Fin和 Fout，用于决定变量能否入选或剔
除,逐步回归在每一步有三种可能的功能,
? 将一个新变量引进回归模型，这时相应的 F统计量必须大于 Fin
? 将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的 F统计量必须小于 Fout
? 将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。
? 设先用后退法来选变量,所谓后退法，就是开始
将所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程
没有显著贡献的变量，直到方程中所有的变量
都有显著贡献为止。
? 仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程，
得 (2.12).统计软件包通常还会提供每个变量的 t
值,t值越大（按绝对值计）表示该因素越重
要,对本例有
? t0=0.204,t1=0.96,t2=-0.67,t3=2.77
? 这表明三个因素中以 X3（反应时间）对得率（ Y）
影响最大，配比次之，吡啶量最小。
? 这些 t 值都是随机变量，它们遵从 tn-m-1分布。
若取 α=0.05,这时 n=7,m=3,tn-m-1= 的临界值
t3(0.05)=3.18。 t值大于该值的因素表示对方程有显著
贡献，否则表示不显著。今 均小于 (0.05)=3.18,说明
回归方程 (2.18)的三个变量至少有一个不起显著作用,
于是我们将贡献最小的 X2删去，重新建立 Y和 X1及 X3
的线性回归方程，得
130, 1 6 9 0, 0 2 5 1 0, 0 7 4 2Y X X? ? ?
22
0 1 3
43
3
35
0, 0 6 5 2 6,t 2, 1 2,0, 7 9,2, 9 1,
tt
( 0, 0 5 ) 2, 7 8,Y X
0, 2 1 4 1 0, 0 7 9 ( 8 1 3 )
3, 3 4 ( 0, 0 5 ) 2, 5 7,0, 0 6 3
t t t
t
YX
tt
?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
1
三 个 值 分 别 为
这 时 这 三 个 值 遵 从 含 四 个 自 由 度 的 分 布, 临 界 值 为
从 而 X 应 从 方 程 中 剔 除, 然 后 对 和
建立回归方程
这 里 。 因 此, 回 归 方
程 ( 8 - 1 3 ) 并 非 真 正 的 最 终 模 型, 而 是 在 线 性 框 架 下 的
最终产物。
XY
3
上述的分析只发现 对 有显著作用，其它两个因素均
没有显著作用，该结论与实际经验不温和，因此猜想用
线性模型不一定符合实际。
2
0
11
2
3 3 1 3
2
13
( 8 1 4 )
0, 0 6 2 3 2 0, 2 5 1 0, 0 6 0, 0 2 3 5 ( 8 1 5 )
0, 0 2 1 7,9 7, 7 7
X
mm
i i i i i i j i j
i i i j
Y X X X X
Y X X X X
R
XX
? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
?
? ? ?
0
3
这 时 方 程 中 有 9 项 （ 不 算 ） 。 利 用 逐 步 回 归 技 术 求 得 回
归方程如下：
其 响 应 的 。
显然，回归方程( 8 - 1 5 ) 的效果优于( 8 - 1 3 ) 。该方程
于是进一步考虑二次回
表明
因 素 和 交 互 作 用
归模型
对 Y 有显著的影响
2
33
3
?
X
X 3, 4 ( 8 1 5 )
?
0, 0 6 2 3 2 0, 3 3 0 9 0, 0 6
?
/ 0 0,2, 7 5 7 5
?
5 1, 8 5 %
Y
Y X X
YX
Y
??
?
? ? ?
? ? ?
1
33
的极大值。
此处我们可以用简单的微积分求得极值。由于 在试
验范围内极大值3, 4,将 ＝ 代入 得
令, 解 得 0, 3 3 0 9 - 0, 1 2 X
(8-15) 方程要求我们在配比1, 0 - 3, 4,吡啶量1 0 - 2 8,
反应时间0
X
这 时 的 极 大
.5-3.5 时, 求 方 程 ( 8
值 为 。
这时收
-15) 中
率大于前 U面 所 讲 的 用 表 安 排 的 7 号 试 验 的 结 果
棗 4 8, 2 %,达到了优化的目的
例,均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用
? 1,均匀设计表的选取
? 本实验的目的是提高镀层光亮性。经初步研究，取
其固定组成为硫酸镍 25g/L，次磷酸钠 25g/L，醋酸钠
25g/L。考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，
润湿剂 4个因素，每个因素取值范围为 t个水平（ t 为实
验次数）,4个因素的一次项及二次项各有 4项,4项因
素间的两两交互作用设有 6项，共 14项，实验数不能小
于 14，本实验选用 U17（ 178）表。
均匀表 U17（ 178）
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 4 6 9 10 11 14 15
2 2 8 12 1 3 5 11 13
3 3 12 1 10 13 16 8 11
4 4 16 7 2 6 10 5 9
5 5 3 13 11 16 4 2 7
6 6 7 2 3 9 15 16 5
7 7 11 8 12 2 9 13 3
8 8 15 14 4 12 3 10 1
9 9 2 3 13 5 14 7 16
10 10 6 9 5 15 8 4 14
11 11 10 15 14 8 2 1 12
12 12 14 4 6 1 13 15 10
13 13 1 10 15 11 7 12 8
14 14 5 16 7 5 1 9 6
15 15 9 5 16 14 12 6 4
16 16 13 11 8 7 6 3 2
17 17 17 17 17 17 17 17 17
试验号
列号
水平号
U17（ 178）表的使用表
因数个数
2 1 6
3 1 5 8
4 1 5 7 8
5 1 2 5 7 8
6 1 2 3 5 7 8
7 1 2 3 4 5 7 8
列号
本实验为 4因素，这 4个因素安排在均匀表的 1,5,7,8
列，去掉 U17（ 178）的最后一行，将实验方案及结果见
下表。
综合指标
水平号 c m g / L 水平号 c m g / L 水平号 c m g / L 水平号 c m g / L Z
1 1 0.2 10 5.5 14 7.5 15 37.0 79.15
2 2 0.4 3 2.0 11 6.0 13 32.0 87.50
3 3 0.6 13 7.0 8 4.5 11 27.0 86.95
4 4 0.8 6 3.5 5 3.0 9 22.9 90.95
5 5 1.0 16 8.5 2 1.5 7 17.0 91.58
6 6 1.2 9 5.0 16 8.5 5 12.0 87.40
7 7 1.4 2 1.5 13 7.0 3 7.0 87.55
8 8 1.6 12 6.5 10 5.5 1 2.0 90.88
9 9 1.8 5 3.0 7 4.0 16 39.5 80.92
10 10 2.0 15 8.0 4 2.5 14 34.5 78.40
11 11 2.2 8 4.5 1 1.0 12 29.5 69.95
12 12 2.4 1 1.0 15 8.0 10 24.5 66.40
13 13 2.6 11 6.0 12 6.5 8 19.5 48.13
14 14 2.8 4 2.5 9 5.0 6 14.5 60.50
15 15 3.0 14 7.5 6 3.5 4 9.5 35.70
16 16 3.2 7 4.0 3 2.0 2 4.5 30.13
第 8 列润湿剂
试验号
第 1 列稳定剂 第 5 列主光亮剂 第 7 列辅助光亮剂
2.指标的选择和优化
? 指标是回归方程中的响应函数，在本实验中即是镀
件质量。根据我们对镀件的要求，定义一个综合指标 z，
z的分值由外观评分 R，沉积速度评分 V，耐腐蚀性评分
Q乘以不同的权重构成,z=0.5R+0.2V+0.3Q。 R,V,Q
的分值分别为 0－ 100。
3.实验方法
? 试样为 10cm× 5cm× 0.2cm的低碳钢板，在 88－ 90℃ 的恒温
水浴槽内施镀，镀液 pH值控制在 4.5-5.0。镀前处理按常规进
行，按均匀设计表中确定的组成分别配成 16种化学镀液，挂
镀法施镀 1h，清洗，晾干，对试样进行外观的评定。
? 沉积速度测定：沉积速度，样片增加的重量 /样片的面积
(g/cm2 )
? 耐腐蚀性测定,10％硫酸浸泡 24h，根据失重及腐蚀后外观
评分
4.结果处理及分析
? 实验结果用计算机处理，主要运用软件为 SPSS和
Matlab。
?
? 4.1建立数学模型及筛选变量
? 考虑到可能有的数学关系，将各因素的一次项，二
次项，两因子间的交互作用项均作为考察对象，回归
方程模型为,
? R=b0+∑ bixi+∑ bijxixj+∑ biixi2 (i=1,2,3,4;i≠ j)
? b为各项系数。将给因素的值及综合指标输入计算
机，用自后淘汰变量法 (backward selection)进行回归
分析和变量筛选,sigF＞ 0.10的变量被淘汰,最后得
到指标与相关组成的回归方程。
Z=86.726+6.555× d－ 4.554× p2＋ 1.384× c2＋ 0.01641× ω2－
3.177× p× c＋ 0.1932× p× ω－ 0.1209× c× ω－ 0.3779× d× ω
c为主光亮剂； d为辅助光亮剂； ω为润湿剂； p为稳定剂。
4.2对回归方程的优化处理
用求条件极值的强约束优化法对回归方程进行优化，用 Matlab
语言编程,用 BFGS拟牛顿 (Quasi-Newton)算法及最小二乘法寻
优，本实验找到的最优解为：主光亮剂 HC3.7mg/L，辅助光亮
剂 HD1.1ml/g，稳定剂 0.2mg/L，润湿剂 19.7mg/L，乳酸 6mol/L。
? 4.3优化结果的验证
? 按最优解所得到的组成配成镀液进行施镀，所得试样外
观达到镜面全光亮，镀件经各种腐蚀介质分别浸泡 24h后
外观仍然光亮，镀层无明显变化。镀片综合指数评定值为
96.2，优于实验中最好的 5号试样。镀速可达 11－ 5μm /h，
镀液使用周期可达 8周期以上。
4.4各因素对镀层质量影响的分析
回归方程中各项系数的大小反映了该因素对指标影响的大小,
但由于给系数的单位不同不能进行比较，因此需对给变量的
系数进行标准化，将回归方程系数变为标准回归系数 b0,
主光亮剂 c2 辅助光亮剂 d 稳定剂 p2 润湿剂 ω2
b0 0.384 0.384 － 0.759 － 0.418
交互 pc 交互 pw 交互 cw 交互 dw
b0 － 0.485 0.233 － 0.229 － 0.714
从以上数据看出，但因素对综合指标影响最大的是稳定
剂，其次是润湿剂。根据交互作用项的系数可看出，润
湿剂与辅助光亮剂的交互作用 dw影响最大，其次主光亮
剂与稳定剂的交互作用影响液也较大。
