第一章 绪论
一、教学内容结构力学的基本概念和基本学习方法。
二、学习目标了解结构力学的基本研究对象、方法和学科内容。
明确结构计算简图的概念及几种简化方法，进一步理解结构体系、结点、支座的形式和内涵。
理解荷载和结构的分类形式。
在认真学习方法论——学习方法的基础上，对学习结构力学有一个正确的认识，逐步形成一个行之有效的学习方法，提高学习效率和效果。
三、本章目录
§1-1 结构力学的学科内容和教学要求
§1-2 结构的计算简图及简化要点
§1-3 杆件结构的分类
§1-4 荷载的分类
§1-5 方法论(1)——学习方法(1)
§1-6 方法论(1)——学习方法(2)
§1-7 方法论(1)——学习方法(3)
§1-1 结构力学的学科内容和教学要求
1,结构建筑物和工程设施中承受、传递荷载而起骨架作用的部分称为工程结构,简称结构。例如房屋中的梁柱体系，水工建筑物中的闸门和水坝，公路和铁路上的桥梁和隧洞等。
从几何的角度，结构分为如表1.1.1所示的三类:
表1.1.1 结构的分类分类名称
特点
实例
杆件结构
由杆件组成的结构，是结构力学的研究对象
梁、拱、刚架、桁架
板壳结构
又称壁结构，几何特征是其厚度要比长度和宽度小得多
房屋中的楼板和壳体屋盖
实体结构
长、宽、厚三个尺度大小相仿
水工结构中的重力坝
2,结构力学的研究内容和方法结构力学与理论力学、材料力学、弹塑性力学有着密切的关系。
理论力学着重讨论物体机械运动的基本规律，而其他三门力学着重讨论结构及其构件的强度、刚度、稳定性和动力反应等问题。
其中材料力学以单个杆件为主要研究对象，结构力学以杆件结构为主要研究对象，弹塑性力学以实体结构和板壳结构为主要研究对象。学习好理论力学和材料力学是学习结构力学的基础和前提。
结构力学的任务是根据力学原理研究外力和其他外界因素作用下结构的内力和变形，结构的强度、刚度、稳定性和动力反应，以及结构的几何组成规律。包括以下三方面内容：
(1) 讨论结构的组成规律和合理形式，以及结构计算简图的合理选择；
(2) 讨论结构内力和变形的计算方法，进行结构的强度和刚度的验算；
(3) 讨论结构的稳定性以及在动力荷载作用下的结构反应。
结构力学问题的研究手段包含理论分析、实验研究和数值计算，本课程只进行理论分析和数值计算。结构力学的计算方法很多，但都要考虑以下三方面的条件：
(1) 力系的平衡条件或运动条件。
(2) 变形的几何连续条件。
(3) 应力与变形间的物理条件（本构方程）。
利用以上三方面进行计算的，又称为“平衡-几何”解法。
采用虚功和能量形式来表述时候，则称为“虚功-能量”解法。
随着计算机的进一步发展和应用，结构力学的计算由过去的手算正逐步由计算机所代替，本课程的特点是将结构力学求解器集成到网络中，主要利用求解器进行计算和画图。
3,课程教学中的能力培养
(1) 分析能力选择结构计算简图的能力：将实际结构进行分析，确定其计算简图。
进行力系平衡分析和变形几何分析的能力：对结构的受力状态进行平衡分析，对结构的变形和位移状态要进行几何分析。这两方面的分析能力是结构分析的两个看家本领，要在反复运用中加以融会贯通，逐步提高，力求达到能正确、熟练、灵活运用的水平。
选择计算方法的能力：要了解结构力学中的各种计算方法的特点，具有根据具体问题选择恰当的计算方法的能力。
(2) 计算能力具有对各种结构进行计算或确定计算步骤的能力。
具有对计算结果进行定量校核或定性判断的能力。
初步具有应用计算机计算的能力。
做题练习是学习结构力学的重要环节。不做一定量的习题就很难对基本概念和方法有深入的理解和掌握，也很难培养较好的计算能力。
(3) 自学能力自学包含两个方面：消化已学知识、摄取新的知识。
§1-2 结构的计算简图及简化要点
实际结构往往是很复杂的,进行力学计算以前，必须加以简化，用一个简化的图形来代替实际结构，这个图形称为结构的计算简图。
一、简化的原则
（1）从实际出发——计算简图要反映实际结构的主要性能。
（2）分清主次，略去细节——计算简图要便于计算。
二、简化的要点
1,结构体系的简化一般的结构都是空间结构。但是，当空间结构在某一平面内的杆系结构承担该平面内的荷载时，可以把空间结构分解成几个平面结构进行计算。本课程主要讨论平面结构的计算。当然，也有一些结构具有明显的空间特征而不宜简化成平面结构。
2,杆件的简化在计算简图中，结构的杆件总是用其纵向轴线代替。
3,杆件间连接的简化结构中杆件相互连接的部分称为结点，结点通常简化为铰结点或刚结点。
铰结点是指相互连接的杆件在连接处不能相对移动，但可相对转动，即：可传递力，但不能传递力矩。
刚结点是指相互连接的杆件在连接处不能相对移动，也不能相对转动，既可传递力，又能传递力矩。
4,结构与基础间连接的简化结构与基础的连接区简化为支座。按受力特征，通常简化为：
(1) 滚轴支座：只约束了竖向位移，允许水平移动和转动。提供竖向反力。在计算简图中用支杆表示。
(2) 铰支座：约束竖向和水平位移，只允许转动。提供两个反力。在计算简图中用两根相交的支杆表示。
(3) 定向支座：只允许沿一个方向平行滑动。提供反力矩和一个反力。在计算简图中用两根平行支杆表示。
(4) 固定支座：约束了所有位移。提供两个反力也一个反力矩。
5,材料性质的简化在土木、水利工程中结构所用的建筑材料通常为钢、混凝土、砖、石、木料等。在结构计算中，为了简化，对组成各构件的材料一般都假设为连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的。
上述假设对于金属材料在一定受力范围内是符合实际情况的。对于混凝土、钢筋混凝土、砖、石等材料则带有一定程度的近似性。至于木材，因其顺纹和横纹方向的物理性质不同，故应用这些假设时应予注意。
6,荷载的简化作用在实际结构上的荷载形式比较多，简化比较复杂，但根据其分布情况大致可简化为集中荷载和分布荷载两大类。
§1-3 杆件结构的分类
结构的分类实际上是计算简图的分类。
1,梁梁是一种受弯构件，其轴线通常为直线，既可以是单跨，也可以是多跨(图1-1a、b)。
图1-1a
图1-1b
2,拱拱是一种杆轴为曲线且在竖向力作用下，会产生水平反力的结构(图1-2a、b)。
图1-2a
图1-2b
3,桁架桁架是由若干个直杆组成,所有结点都为铰结点(图1-3)。
图1-3
图1-4
4,刚架刚架由直杆组成，其结点通常为刚结点（图1-4）。
5,组合结构组合结构是桁架和梁或刚架组合在一起的结构(图1-5)。
图1-5
§1-4 荷载的分类
一、按作用时间的久暂荷载可分为恒载和活载。
恒载是长期作用与结构上的不变荷载，如结构的自重、安装在结构上的设备重量等，这种荷载的大小、方向、作用位置是不变的。
活载是建筑物在施工和使用期间可能存在的可变荷载，如吊车荷载、结构上的人群、风、雪等荷载。
二、按荷载的作用范围荷载可分为集中荷载和分布荷载。
荷载的作用面积相对于总面积是微小的，作用在这个面积上的荷载，可以简化为集中荷载。
分布作用在一定面积或长度上的荷载，可简化为分布荷载，如风、雪、自重等荷载。
三、按荷载作用的性质荷载可分为静力荷载和动力荷载。
静力荷载的数量、方向和位置不随时间变化或变化极其缓慢，不使结构产生显著的加速度，因而可以忽略惯性力的影响。
动力荷载是随时间迅速变化或在短暂时间内突然作用或消失的荷载，使结构产生显著的加速度。
车辆荷载、风荷载和地震荷载通常在设计中简化为静力荷载，但在特殊情况下要按动力荷载考虑。
四、按荷载位置的变化荷载可分为固定荷载和移动荷载。
作用位置固定不变的荷载为固定荷载。如风、雪、结构自重等。
可以在结构上自由移动的荷载称为移动荷载。如吊车梁上的吊车荷载、公路桥梁上的汽车荷载就是移动荷载。
荷载的确定，常常是比较复杂的，荷载规范总结了设计经验和科学研究的成果，供设计时应用。但在不少情况下，设计者要深入现场，结合实际情况进行调查研究，才能对荷载作出合理的确定。
§1-5 方法论(1)——学习方法(1)
学习要讲究方法，要学会，更要会学。下面是在结构力学的教学和科研过程中产生的一些想法,主要从加、减、问、用和创新五个方面展开讨论。
一、会加
1.勤于积累摄取和积累知识是培养能力的基础，也是研究创新的基础。“才须学也。非学无以广才，非志无以成学”(诸葛亮)。要有集腋成裘、积土成山的志趣。
2.融会贯通要把知识连成一片，互相沟通，左右联系，前后呼应，融会贯通。在数学语言和力学语言之间要会翻译：把抽象的数学公式翻译成具体生动的物理概念；把直观的力学思路翻译成严密的数学程序。
3.用心梳理积累知识要用心梳理，使之条理化，成为一个脉络清晰、有主有次、有目有纲的知识网。
4.落地生根把别人的、书本上的知识变成自己的，化他为己，这样的知识才是牢靠的，生了根的。把新学来的知识融化在自己已有的知识结构上，把“故”作为“新”的基地，使“新”在“故”上生根发芽成长。
二、会减
1,概括的能力把一章内容概括成三言两语，对一门课理出它的主要脉络，写人能勾出特征，画龙会点睛。
2,简化的能力盲目简化——不分主次，乱剪乱砍。合理简化——分清主次，剪枝留干。
选取结构计算简图是结构力学的基本功。不会简略估算、定性判断，是很危险的。
3,统帅驾驭的能力学习积累的知识，要形成一个知识系统，要培养提纲挈领、统帅全局的能力,达到纲举目张、灵活驾驭的目的。
4,弃形取神的能力在力学学习和科学研究中要培养由表入里、弃形取神的能力：
个别到一般：舍弃千差万别的个性和特殊性，摘取其中的共性和普遍性。
具体到抽象：舍弃不同问题的具体性，提炼为一般原理的抽象性。
现象到规律：舍弃现象的表面形态，洞察出深藏的本质和内在的规律。
温故到创新：拆除旧观念的篱笆，标新立异，另辟新路，开拓新途径和新领域。
§1-6 方法论(1)——学习方法(2)
三、会问
1,多问出智慧学习中要多问，多打几个问号。“？”像一把钥匙，一把开启心扉和科学迷宫的钥匙。
2,要会问学习中提不出问题是学习中最大的问题。发现了问题是好事，抓住了隐藏的问题是学习深化的表现。
3,要追问重要的问题要抓住不放，要层层剥笋，穷追紧逼，把深藏的核心问题解决了，才能达到“柳暗花明”的境界。
4,要问自己四、会用学而时习之，学习=学+习。
什么是“习”，通常把“习”理解为复习；更准确些，应把“习”理解为用，理解为实践。“用”是“学”的继续、深化和检验。与“学”相比，“用”有更丰富的内涵：
多面性：把知识应用于解决各式各样的问题，把单面的知识化为多方面的知识。
综合性：处理问题时，要综合应用多种方法和知识。分门别类地学，综合优选地用。
反思性：正面学，反面用。计算是由因到果，校核时由果到因。
跳跃性：循规蹈矩地学，跳跃式地用。
灵活性：用能生巧。
牢固性：反复用过的知识是牢固的，久经难忘。
悟性：学习可以获得言传的知识，应用可以体验难以言传的悟性。
检验性：学来的知识是真懂、半懂还是不懂，考几道题就分辨出来了。
针对涉及工程计算的一些学科的情况，还要对“习题”和“校核”两个具体问题作些议论。
1.习题做题练习,是学习工程计算学科的重要环节。不作一定数量的习题,就很难对基本概念和方法有深入的理解,也很难培养较好的计算能力。做题也要避免各种盲目性。举例如下：
不看书，不复习，埋头做题，这是一种盲目性。应当在理解的基础上做题，通过做题来巩固和加深理解。
贪图求快，不求甚解，这是另一种盲目性。
只会对答数，不会自己校核和判断，这也是一种盲目性。
做错了题不改正，不会从中吸取教训，这又是一种盲目性。
2.校核计算的结果要经过校核。“校核”是“计算”中应有之义。没有校核过的计算书是未完成的计算书。
出错是难免的。重要的是要会判断、抓错和改错。判断是对计算结果的真伪性和合理性作出鉴定。抓错是分析错误根源，指明错在何处。改错是提出改正对策，得出正确答案。改错不易，抓错、判断更难。
关于判断和校核可分为三层：细校、粗算和定性。
另法细校：细校是指详细的定量的校核，不是重算一遍而是提倡用另外的方法来核算。
毛估粗算：粗算是指采用简略的算法对计算结果进行毛估，确定其合理范围。粗算是要能分清主次、抓大放小，对大事不糊涂。其做法有：选取简化计算模型，在公式中忽略次要的项，检查典型特例，考虑问题的极限情况，等等。
定性判断：定性判断是根据基本概念来判断结果的合理性，而不是进行定量的计算。力学中常用的例子有：
采用量纲分析，判断所列方程是否有误。
根据物理概念，看答案的数量级和正负号是否对头。
根据误差理论，估计误差的范围。
根据互等定理，看计算结果是否合理。
根据上下限定理，看计算结果是否出格。
在渐进法和迭代法中，判断结果是否收敛。
对称结构计算，检查结果的对称性。
当参数变化时，看结果的相应变化是否合理。
在近似算法中，判断所得结果是偏于安全还是偏于不安全，并采用“前者宽，后者严”的不同标准。
不细算而能断是非，断案如神，既快又准，这是总工程师应具备的看家本领，也是每个工程师和有心人应及早学会的本领。这种本领来源于扎实的理论和经验的积累。
计算机引入结构力学后，增加了我们进行大型计算，分析大型结构的能力。但是，计算机并不排斥力学理论，而是要求我们更深更活地掌握力学理论。
§1-7 方法论(1)——学习方法(3)
五、创新科学精神的精髓是求实创新。
创新：推陈出新，破旧立新，有推有出，有破有立。创新并不神秘，把知识向前推进一步，向更广、更深、更精、更神的方向迈出一步，都是创新的一步。创新意识要贯穿在整个学习过程中，在加、减、问、用各个方面都要着眼于创新，有心于创新。
加：在继承中创新。每项创新成果都吸收了前人的成果。像牛顿那样站在巨人的肩上才能看得更远。广采厚积是创新的基础。
减：在“去粗取精，弃形取神”的减法过程中要注意“去”和“弃”。在“推陈出新、破旧立新”的创新过程中要注意“推”和“破”。二者是相通的。
问：在已有的知识中发现疑点，感到困惑，是走向解惑和创新的起点。创新是善问巧思的回报。
用：在应用和实践中对已有的知识进行检验，发现其中的不足而加以改正，这就是创新。实践为创新提供了机遇。
创新不能违反客观规律。在求实中创新，“出新意于法度之中”（苏轼）。在客观规律的容许之下，创造力有充分的自由活动空间。
后语把以上的议论归纳为五句话：
加 —— 广采厚积，织网生根。
减 —— 去粗取精，弃形取神。
问 —— 知惑解惑，开启迷宫。
用 —— 实践检验，多用巧生。
创新 —— 觅真理立巨人肩上，出新意于法度之中。
第二章 几何构造分析
1,主要内容一个体系要能承受荷载，首先它的几何构造应当合理，能够使几何形状和位置保持不变。因此，在进行结构受力分析之前，先进行几何构造分析。
在几何构造分析中，最基本的规律是三角形规律。规律本身是简单浅显的，但规律的运用则变化无穷。因此，学习本章时遇到的困难不在于学懂，而在于灵活运用。
本章在全书中只是一个短小的前奏，只是从几何构造的角度讨论结构力学中的一个侧面，根本不涉及到内力和应变。但是构造分析与内力分析之间又是密切相关的，本章内容将在后面许多章节中得到应用。
2,教学目的理解自由度、可变体系与不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念；
正确理解三角形规律，并能熟练应用三角形规律分析平面体系的几何构造；
掌握计算自由度的计算方法，能计算一般平面体系的自由度。
3,本章目录
§2-1 基本概念
§2-2 自由度计算
§2-3 几何不变体系的组成规律
§2-4 几何构造分析方法与实例
§2-5 求解器的应用
§2-6 小结
§2-7 习题
§2-8 测验
4,参考章节
《结构力学教程(Ⅰ)》，第2章、结构的几何构造分析，pp.17-54。
§2-1 基本概念
1,教学要求理解自由度、几何可变体系与几何不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念。
2,本节目录
1,几何不变体系和几何可变体系
2,运动自由度 S
3,约束
4,多余约束和非多余约束
5,瞬变体系
6,瞬铰和无穷远处的瞬铰
7,思考与讨论
3,参考章节
《结构力学教程(Ⅰ)》，pp.18-22。
2.1.1 几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系：体系的位置和形状是不能改变的(图2-1b)。
几何可变体系：体系的位置或形状是可以改变的(图2-1a)。
以上讨论的前提：不考虑材料的应变。
图2-1a
图2-1b
一般结构都必须是几何不变体系，而不能采用几何可变体系
2.1.2 运动自由度 S
S：体系运动时可以独立改变的坐标的数目。
图2-2a
图2-2b
(平面内一个点有两个自由度)
(平面内一个刚体有三个自由度)
2.1.3 约束减少体系自由度的装置。
图2-3a
图2-3b
图2-3c
S 由3个减少到2个
S 由6个减少到4个
S 由6个减少到3个
一个支杆相当于一个约束
一个简单铰相当于两个约束
一个简单刚结相当于三个约束
2.1.4 多余约束和非多余约束不能减少体系自由度的约束叫多余约束。
能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。
注意：多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。
图2-4a
图2-4b
链杆1或2能减少点 A 的两个自由度，因此链杆1和2都是非多余约束。
链杆1、2和3共减少点 A 的两个自由度，因此三根链杆中只有两根是非多余约束，有一个是多余约束。
一个体系中有多个约束时，应当分清多余约束和非多余约束，只有非多余约束才对体系的自由度有影响。
2.1.5 瞬变体系
图2-5a
图2-5b
分析:
(1)当链杆1和2共线时，圆弧Ⅰ和Ⅱ在 A 点相切(图2-5a)，因此 A 点可沿公切线方向做微小运动，体系是可变体系。
(2)当 A 点沿公切线发生微小位移后，链杆1和2不再共线(图2-5b)，因此体系不再是可变体系。
本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变的体系称为瞬变体系。
可以发生大位移的几何可变体系称为常变体系。
可变体系可进一步分为瞬变体系和常变体系。
(3)点 A 在平面内有两个自由度，增加两根共线链杆后,A 点仍有一个自由度，因此链杆1和2中有一个是多余约束。
一般说来，瞬变体系中必然存在多余约束。
2.1.6 瞬铰和无穷远处的瞬铰两刚片间以两链杆相连，其两链杆约束相当(等效)于两链杆交点处一简单铰的约束，这个铰称为瞬铰或虚铰(如图2-6a)。
图2-6a图2-6b图2-6c
图2-6a中，链杆1和2交于 O 点，刚片I可以发生以 O 为中心的微小转动。
图2-6b和图2-6c中，链杆1和2的交点在无穷远处，因此两根链杆所起作用的相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用，绕瞬铰的转动转化为沿两根链杆的正交方向上的平动。在图2-6a、b、c各体系的相对运动过程中，瞬铰位置不断变化。
在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时，可以采用射影几何中关于∞点和∞线的下列四点结论,
(1) 每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。
(2) 不同方向上有不同的∞点。
(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。
(4) 各有限远点都不在∞线上。
2.1.7 思考与讨论
1.有的文献把几何可变体系称为几何不稳体系，把几何不变体系称为几何稳定体系。材料力学中把压杆屈曲问题称为弹性稳定性问题。试对几何稳定性和弹性稳定性这几个不同概念加以比较。
2.“多余约束”从以下哪个角度来看才是多余的？
(a) 从对体系的自由度是否有影响的角度看；
(b) 从对体系的计算自由度是否有影响的角度来看；
(c) 从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度来看；
(d) 从区分静定和超静定两类问题的角度来看。
§2-2 自由度计算
1,教学要求掌握实际自由度和计算自由度的计算方法。
2,本节目录
1,实际自由度 S 和计算自由度 W
2,部件和约束
3,平面体系的计算自由度 W 的求法(1)
4,平面体系的计算自由度 W 的求法(2)
5,思考与讨论
3,参考章节
1.《结构力学教程(Ⅰ)》，pp.28-32。
2,§2-1 基本概念
2.2.1 实际自由度 S 和计算自由度 W
S = （各部件自由度总和 a）－（非多余约束数总和 c ）?-------? (2-1)
S = 1×2－2 = 0，
非多余约束数 c = 2,
多余约束数 n = 2,
但是复杂情况难以找全多余约束。
图3-1
W = （各部件自由度总和 a ）－ （全部约束数总和 d ）--------? (2-2)
2.2.2 部件和约束
1,部件可以是点，也可以是刚片在几何构造分析时要注意刚片内部是否有多余约束。
图3-2a
图3-2b
图3-2c
图3-2d
一根链杆
一个铰
一个刚结
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
在计算体系的约束总数时也应当考虑刚片内部的多余约束。
2,约束可分为单约束和复约束在几何构造分析时要将复约束简化为几个单约束。
图3-3a
图3-3b
(图中复铰相当两个单铰)
m = 2,h = 1
m = 3,h = 2
S = 3 × 2 - 2 × 1 = 4
S = 3 × 3 - 2 × 2 = 5
图3-4a
图3-4b
(图中复刚结相当两个单刚结)
m = 2,g = 1
m = 3,g = 2
S = 3 × 2 - 3 × 1 = 3
S = 3 × 3 - 2 × 3 = 3
一般说来，联结 n 个刚片的复铰(复刚结)相当于(n-1)个单铰(单刚结)。
图3-5a
图3-5b
(图中复链杆相当三个单链杆)
j = 2,b = 1
j = 3,b = 3
S = 2× 2 - 1 = 3
S = 2 × 3 - 3 = 3
又，联结 n 个结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
2.2.3 平面体系的计算自由度 W 的求法(1)
1,刚片系部件(约束对象)数：刚片数 m ；
约束数：单铰数 h,简单刚结数 g,链杆数 b 。
W = 3m - 2h - 3g - b ---------------------- (2-4)
例1,求如下图示刚片系的计算自由度
图3-6a
图3-6b
m = 7，h = 4，g = 2，b = 6
m = 5，h = 4，b = 6
W = 3×7 - 2×4 - 3×2 - 6 = 1 >0
W = 3×5 - 2×4 - 6 = 1 > 0
2,链杆系约束对象：结点数 j ；
约束数：链杆(含支杆)数 b 。
W = 2j - b--------------------------------- (2-5)
例2,求如下图示链杆系的计算自由度
j = 5，b = 10
W = 2×5 - 10 = 0
S = 0
n = 0
图3-7
2.2.4 平面体系的计算自由度 W 的求法(2)
3,混合系约束对象：刚片数 m,结点数 j
约束条件：单铰数 h,简单刚结数 g,单链杆(含支杆)数 b
W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)----------------- (2-6)
m = 2，h = 1，g = 0，j = 2，b = 8
W = (3×2+2×2)-(3×0+2×1+8) = 0
S = 0
n = 0
图3-8
W 的结果分析：
W > 0 则 S > 0?几何可变；
W = 0 则 S = n?若 n = 0?几何不变；
W = 0 则 S = n?若 n > 0?几何可变；
W < 0 则 n > 0?体系有多余约束,但不一定几何不变。
结论：W ≤0只是几何不变的必要条件，不是充分条件。
2.2.5 思考与讨论
如果已经算出体系的计算自由度 W，而未进行几何构造分析，则对体系的自由度 S 和多余约束数 n 能得出什么结论？如果再进一步已知体系为几何不变，则对 n 能得出什么结论？
§2-3 几何不变体系的组成规律
1,教学要求熟练掌握几何不变体系的三条基本组成规律。
2,本节目录
1,二元体法则
2,两刚片法则
3,三刚片法则
3,参考章节
《结构力学教程(Ⅰ)》,pp,22-28。
2.3.1 二元体法则一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。
图4-1分析：
约束对象：结点 C 与刚片 I
约束条件：不共线的两链杆；
结论：几何不变且无多余约束。
图4-1
图4-2分析：
两链杆共线，
C 点可垂直于AB做微小移动；
结论：瞬变体系。
图4-2
2.3.2 两刚片法则
1,两刚片用一铰及不过该铰的一链杆相连组成几何不变体系且无多余约束。
图4-3
图4-4 瞬变体系
C 可垂直于 BC 做微小运动
(等效于图4-4)
图4-5 瞬变体系(之二)
2,两刚片用不共点的三链杆相连，组成内部几何不变整体且无多余约束
图4-6
特殊情况,
三链杆共点三链杆平行等长三链杆平行不等长
图4-7 瞬变体系图4-8 常变体系图4-9 瞬变体系
2.3.3 三刚片法则三刚片用不共线的三铰两两相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。
图4-10
图4-11 三铰共线 瞬变体系
上述三条规律虽然表述不同，但本质相同，即三角形规律：
若三个铰不共线，则铰结三角形内部几何不变且无多余约束。
§2-4 构造分析方法与例题
1,教学要求熟练掌握几何构造分析的各种方法。
2,本节目录
1,基本分析方法(1)
2,基本分析方法(2)
3,约束等效代换
4,考虑体系与地基关系的方法
5,复杂体系(1)
6,复杂体系(2)
7,复杂体系(3)
8,思考与讨论
3,参考章节
1.《结构力学教程(Ⅰ)》，pp,22-28。
2,§2-3 几何不变体系的组成规律
2.4.1 基本分析方法(1)
一,先找第一个不变单元，逐步组装
1,先从地基开始逐步组装例1 图5-1a，图5-1b
图5-1a
图5-1b
2,先从内部开始，组成几个大刚片后，总组装例2 图5-2a，图5-2b
图5-2a
图5-2b
2.4.2 基本分析方法(2)
二,去除二元体例3 图5-3a，图5-3b
图5-3a
图5-3b
2.4.3 约束等效代换
1,曲(折)链杆等效为直链杆
2,联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰例3
分析:
1.折链杆 AC 与 DB 用直杆2、3代替；
2.刚片 ECD 通过支杆1与地基相连。
结论：若杆1、2、3交于一点，则整个体系几何瞬变有多余约束；
若杆1、2、3不交于一点，则整个体系几何不变无多余约束。
图5-4a
例4
分析:
1.刚片Ⅰ、Ⅱ、地基Ⅲ由铰 A 与瞬铰 B、C 相连。
2.A、B、C 不共线。
结论：整个体系几何不变无多余约束。
图5-4b
2.4.4 考虑体系与地基关系的方法
1,体系与地基以不共点的三支杆相连时，可以先分析体系内部再与地基一起分析。
图5-5a
2,体系与地基连接多于3支杆则应与地基一起分析。
具体分析方法见例3。
图5-5b
2.4.5 复杂体系(1)
1,通常要运用瞬铰并使对象拉开距离
例5
分析：
1.体系 W = 0 。
2.刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由1、2杆连于瞬铰 A。
4.刚片Ⅱ、Ⅲ由3、4杆连于瞬铰 B。
5.刚片Ⅰ、Ⅱ由5、6杆连于铰 C。
结论：体系几何不变,无多余约束。
图5-6
“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用实铰。
下面两种做法均未能使刚片拉开距离，也就没能允分利用链杆，而是以实铰连接，不能正确分析此题。
实铰?A、C
Ⅰ、Ⅱ及Ⅰ、Ⅲ均未拉开距离
实铰?A、C
Ⅰ、Ⅲ未拉开距离
图5-6b
图5-6c
例6
分析：
1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰A)相连 ；
2.刚片Ⅱ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰B)相连；
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆5、6(瞬铰C,无穷远)相连。
结论,A、B、C 三瞬铰不共线,体系几何不变无多余约束。
图5-7
2.4.6 复杂体系(2)
2,三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处。若此两瞬铰在不同方向，则体系几何不变,反之几何可变。
图5-7a
图5-7b
例7
分析：
1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰B)相连 。
2.刚片Ⅱ、Ⅲ由铰A相连。
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰C)相连。
4.内部几何不变组成大刚片再与地基相连。
结论:几何不变无多余约束。
图5-8
例8
分析：
1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰A)相连。
2.刚片Ⅱ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰B)相连。
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆5、6(瞬铰C)相连。
4.刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成大刚片，再与地基相连。
结论:几何不变无多余约束。
图5-9
2.4.7 复杂体系(3)
3,三刚片由三铰两两相连,其中两瞬铰在无穷远处，若此两瞬铰在不同方向，则几何不变。
图5-10 几何不变
4,三刚片由三瞬铰两两相连,若三瞬铰均在无穷远处,则体系几何可变。
例9
无穷远处所有点均在一无穷远直线上曲率 k = 1/R
R —> ∞
k —> 0 直线
图5-11a 几何可变(瞬变)
图5-11b 几何可变(常变)
图5-11c 几何可变(瞬变)
注意：以上所有W = 0且几何可变(瞬变或常变)的体系均存在多余约束。
2.4.8 思考与讨论
(1)分析平面体系的几何构造时，运用基本构造单元按照搭积木和拆积木的方式是两种相逆的方法，很多体系可以用这两种方法进行分析，参考图5-1a、图5-1b和图5-3a、图5-3b。
(2)在几何构造分析中可以进行哪些等效变换，如何保证变换的等效性？
§2-5 求解器的应用一,教学目的熟悉结构力学求解器的界面，能够利用菜单输入平面结构体系，同时利用求解器进行平面体系几何组成分析。
二,主要内容
1.平面结构的输入
2.用求解器求解几何构造分析三,参考资料
《结构力学教程(I)》，pp,36～45。
2.5.1 平面结构的输入一个平面结构体系主要有结点定义、单元定义、约束定义。欲输入一个结构体系，首先建立一个新文件，然后输入命令。在求解器中输入命令有两种方法：利用“命令”菜单中的子菜单，打开相应的对话框，在对话框中根据提示和选项输入命令；在命令中直接键入命令行。第二种方法要求用户对命令格式相当熟悉，因此下面主要介绍如何应用“命令”菜单输入平面结构体系。
1,结点的输入和定义
打开“命令”菜单下的子菜单“结点”
在结点对话框中输入单元码及坐标，单击“应用”
在观览器中显示结点
将命令自然写在文档上
利用上述步骤，连续输入所需的结点,完成输入后,单击“关闭”按钮，关闭结点对话框。
2,单元的定义
打开“命令”菜单下的子菜单“单元”
选择单元端点的连接方式，单击“应用”
在观览器中显示单元
将命令自然写在文档上
利用上述步骤，连续输入所需的单元,完成输入后,单击“关闭”按钮，关闭单元对话框。若要预览；可以单击“预览”。修改时可以修改命令。
3,结点支座的定义
打开“命令”菜单下的子菜单“位移约束”
选择结点码、支座类型等，单击“应用”
在观览器中显示支座
将命令自动写在文档上
利用上述步骤，连续输入所需的结点支座,完成输入后，单击“关闭”按钮，关闭支座约束对话框。若要预览，可以单击“预览”。修改时可以修改命令。最后形成所需的平面几何体系。
下面讨论如何利用求解器进行几何组成分析。
2.5.2 用求解器求解几何构造分析对于几何构造分析，求解器具有两种求解功能。
1,自动求解
打开“求解”菜单下的“几何组成”
显示几何组成分析结果
静态显示
利用自动求解：可以判断几何可变还是几何不变；对于可变体系，给出体系的自由度，指出是常变体系还是瞬变体系，并静态或动画显示机构运动模态；若体系有多余的约束，给出多余约束的数目。
2,智能求解
平面体系图形
打开“求解”菜单下的“几何构造”，显示几何组成分析对话框
§2-6 小结
1,教学要求回顾本章所学知识。
2,本节目录
1,几何构造分析的两个主要问题
2,几何构造分析中采用的方法
3,关于三角形规律的运用问题
4,关于计算自由度 W,自由度 S 和多余约束数 n
5,其它一些问题
3,参考章节
《结构力学教程(Ⅰ)》，pp,46-48。
2.6.1 几何构造分析的两个主要问题
对杆件体系进行几何构造分析，主要是讨论两个问题：
(1) 判断体系是否可变，确定体系的自由度 S 。
(2) 判断体系中有无多余约束，确定多余约束的个数 n 。
对杆件体系进行几何构造分析，主要是解决两个问题：
(1) 结构应是一个几何不变体系，其自由度 S 应等于零。
(2) 结构分为静定和超静定两类，它们的标志分别为 n = 0 与 n > 0 。
2.6.2 几何构造分析中采用的方法
方法
经典方法
计算机方法
主要作法
辅助作法
零载法
(W = 0)
SM Solver
内容
多次应用三条基本组成规律及其四种形式，由局部到整体，完成整个体系的装配过程和分析过程。
求出体系的计算自由度 W,从而得到关于自由度 S 和多余约束 n 的下限公式。
用求体系的内力的方法来进行几何构造分析。
把几何构造分析问题归结为一组齐次线性方程，再由解的性质得出几何构造分析的有关结论。
特点
直观灵巧，便于分析常规体系，但不便于分析复杂体系，也不便于编制计算程序。
W 的算式很简单，但单靠这种作法不能求出 S 和 n 的确定值。如果把上述主要作法和辅助作法结合起来，互相配合，有时会收到好的效果。
分析复杂体系的经典方法。
这是一种便于编制程序的计算机方法。
2.6.3 关于三角形规律的运用问题运用三角形规律对平面体系进行几何构造分析时，有几点值得注意：
(1) 三角形规律是组成无多余约束的几何不变体系的基本组成规律。
(2) 要学会搭积木的方法。
(3) 装配方式通常有两种：
a,如果体系与地基之间只有三个约束，则可先从内部刚片出发进行装配。
b,如果体系与地基之间多于三个约束，则应将地基作为大刚片参与整体分析。
(4) 进行约束的等效变换(如异形链杆、瞬铰等)。
(5) 三角形规律只适用于分析常规体系。
(6) 三角形规律是浅显的，但规律的运用却灵活多变，要由浅入深地作必要的练习，逐步提高运用能力。
2.6.4 关于计算自由度 W,自由度 S 和多余约束数 n
自由度 S 和多余约束 n 都与具体的构造有关，但 W = S - n 只与体系所具有的部件和约束的个数有关。
根据 W 的数值，可对体系的几何构造特性得出一些结论，如下表所示：
W 的数值
几何构造特性
W > 0
对象的自由度数 S > n ；
体系为几何可变，不能用作结构。
W = 0
对象的自由度数 S = n ；
如体系为几何不变，则无多余约束，体系为静定结构；
如体系为几何可变，则有多余约束。
W < 0
对象的自由度数 S < n ；
体系有多余约束；
如体系为几何不变，则为超静定结构。
2.6.5 其他一些问题
1,平面体系的分类
其中，几何不变体系在以后的章节中还可分为静定结构和超静定结构，几何不变体系和几何可变体系的区分参见2.1.1几何不变体系和几何可变体系,几何瞬变体系和几何常变体系的区分见2.1.5 瞬变体系。
2,体系内部几何不变和体系内部几何可变本章中很多习题中的平面体系没有与大地相连，体系至少应该有3个自由度，实际上这时是在分析这个体系内部是否不变。
§2-7 习题
1,教学要求通过练习，掌握本章内容。
做题之前，请先阅读手工求解说明。
2,本节目录手工求解说明
习题(1)
习题(2)
习题(3)
习题(4)
习题(5)
习题(6)
习题(7)
习题(8)
习题(9)
习题(10)
一、教学内容结构力学的基本概念和基本学习方法。
二、学习目标了解结构力学的基本研究对象、方法和学科内容。
明确结构计算简图的概念及几种简化方法，进一步理解结构体系、结点、支座的形式和内涵。
理解荷载和结构的分类形式。
在认真学习方法论——学习方法的基础上，对学习结构力学有一个正确的认识，逐步形成一个行之有效的学习方法，提高学习效率和效果。
三、本章目录
§1-1 结构力学的学科内容和教学要求
§1-2 结构的计算简图及简化要点
§1-3 杆件结构的分类
§1-4 荷载的分类
§1-5 方法论(1)——学习方法(1)
§1-6 方法论(1)——学习方法(2)
§1-7 方法论(1)——学习方法(3)
§1-1 结构力学的学科内容和教学要求
1,结构建筑物和工程设施中承受、传递荷载而起骨架作用的部分称为工程结构,简称结构。例如房屋中的梁柱体系，水工建筑物中的闸门和水坝，公路和铁路上的桥梁和隧洞等。
从几何的角度，结构分为如表1.1.1所示的三类:
表1.1.1 结构的分类分类名称
特点
实例
杆件结构
由杆件组成的结构，是结构力学的研究对象
梁、拱、刚架、桁架
板壳结构
又称壁结构，几何特征是其厚度要比长度和宽度小得多
房屋中的楼板和壳体屋盖
实体结构
长、宽、厚三个尺度大小相仿
水工结构中的重力坝
2,结构力学的研究内容和方法结构力学与理论力学、材料力学、弹塑性力学有着密切的关系。
理论力学着重讨论物体机械运动的基本规律，而其他三门力学着重讨论结构及其构件的强度、刚度、稳定性和动力反应等问题。
其中材料力学以单个杆件为主要研究对象，结构力学以杆件结构为主要研究对象，弹塑性力学以实体结构和板壳结构为主要研究对象。学习好理论力学和材料力学是学习结构力学的基础和前提。
结构力学的任务是根据力学原理研究外力和其他外界因素作用下结构的内力和变形，结构的强度、刚度、稳定性和动力反应，以及结构的几何组成规律。包括以下三方面内容：
(1) 讨论结构的组成规律和合理形式，以及结构计算简图的合理选择；
(2) 讨论结构内力和变形的计算方法，进行结构的强度和刚度的验算；
(3) 讨论结构的稳定性以及在动力荷载作用下的结构反应。
结构力学问题的研究手段包含理论分析、实验研究和数值计算，本课程只进行理论分析和数值计算。结构力学的计算方法很多，但都要考虑以下三方面的条件：
(1) 力系的平衡条件或运动条件。
(2) 变形的几何连续条件。
(3) 应力与变形间的物理条件（本构方程）。
利用以上三方面进行计算的，又称为“平衡-几何”解法。
采用虚功和能量形式来表述时候，则称为“虚功-能量”解法。
随着计算机的进一步发展和应用，结构力学的计算由过去的手算正逐步由计算机所代替，本课程的特点是将结构力学求解器集成到网络中，主要利用求解器进行计算和画图。
3,课程教学中的能力培养
(1) 分析能力选择结构计算简图的能力：将实际结构进行分析，确定其计算简图。
进行力系平衡分析和变形几何分析的能力：对结构的受力状态进行平衡分析，对结构的变形和位移状态要进行几何分析。这两方面的分析能力是结构分析的两个看家本领，要在反复运用中加以融会贯通，逐步提高，力求达到能正确、熟练、灵活运用的水平。
选择计算方法的能力：要了解结构力学中的各种计算方法的特点，具有根据具体问题选择恰当的计算方法的能力。
(2) 计算能力具有对各种结构进行计算或确定计算步骤的能力。
具有对计算结果进行定量校核或定性判断的能力。
初步具有应用计算机计算的能力。
做题练习是学习结构力学的重要环节。不做一定量的习题就很难对基本概念和方法有深入的理解和掌握，也很难培养较好的计算能力。
(3) 自学能力自学包含两个方面：消化已学知识、摄取新的知识。
§1-2 结构的计算简图及简化要点
实际结构往往是很复杂的,进行力学计算以前，必须加以简化，用一个简化的图形来代替实际结构，这个图形称为结构的计算简图。
一、简化的原则
（1）从实际出发——计算简图要反映实际结构的主要性能。
（2）分清主次，略去细节——计算简图要便于计算。
二、简化的要点
1,结构体系的简化一般的结构都是空间结构。但是，当空间结构在某一平面内的杆系结构承担该平面内的荷载时，可以把空间结构分解成几个平面结构进行计算。本课程主要讨论平面结构的计算。当然，也有一些结构具有明显的空间特征而不宜简化成平面结构。
2,杆件的简化在计算简图中，结构的杆件总是用其纵向轴线代替。
3,杆件间连接的简化结构中杆件相互连接的部分称为结点，结点通常简化为铰结点或刚结点。
铰结点是指相互连接的杆件在连接处不能相对移动，但可相对转动，即：可传递力，但不能传递力矩。
刚结点是指相互连接的杆件在连接处不能相对移动，也不能相对转动，既可传递力，又能传递力矩。
4,结构与基础间连接的简化结构与基础的连接区简化为支座。按受力特征，通常简化为：
(1) 滚轴支座：只约束了竖向位移，允许水平移动和转动。提供竖向反力。在计算简图中用支杆表示。
(2) 铰支座：约束竖向和水平位移，只允许转动。提供两个反力。在计算简图中用两根相交的支杆表示。
(3) 定向支座：只允许沿一个方向平行滑动。提供反力矩和一个反力。在计算简图中用两根平行支杆表示。
(4) 固定支座：约束了所有位移。提供两个反力也一个反力矩。
5,材料性质的简化在土木、水利工程中结构所用的建筑材料通常为钢、混凝土、砖、石、木料等。在结构计算中，为了简化，对组成各构件的材料一般都假设为连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的。
上述假设对于金属材料在一定受力范围内是符合实际情况的。对于混凝土、钢筋混凝土、砖、石等材料则带有一定程度的近似性。至于木材，因其顺纹和横纹方向的物理性质不同，故应用这些假设时应予注意。
6,荷载的简化作用在实际结构上的荷载形式比较多，简化比较复杂，但根据其分布情况大致可简化为集中荷载和分布荷载两大类。
§1-3 杆件结构的分类
结构的分类实际上是计算简图的分类。
1,梁梁是一种受弯构件，其轴线通常为直线，既可以是单跨，也可以是多跨(图1-1a、b)。
图1-1a
图1-1b
2,拱拱是一种杆轴为曲线且在竖向力作用下，会产生水平反力的结构(图1-2a、b)。
图1-2a
图1-2b
3,桁架桁架是由若干个直杆组成,所有结点都为铰结点(图1-3)。
图1-3
图1-4
4,刚架刚架由直杆组成，其结点通常为刚结点（图1-4）。
5,组合结构组合结构是桁架和梁或刚架组合在一起的结构(图1-5)。
图1-5
§1-4 荷载的分类
一、按作用时间的久暂荷载可分为恒载和活载。
恒载是长期作用与结构上的不变荷载，如结构的自重、安装在结构上的设备重量等，这种荷载的大小、方向、作用位置是不变的。
活载是建筑物在施工和使用期间可能存在的可变荷载，如吊车荷载、结构上的人群、风、雪等荷载。
二、按荷载的作用范围荷载可分为集中荷载和分布荷载。
荷载的作用面积相对于总面积是微小的，作用在这个面积上的荷载，可以简化为集中荷载。
分布作用在一定面积或长度上的荷载，可简化为分布荷载，如风、雪、自重等荷载。
三、按荷载作用的性质荷载可分为静力荷载和动力荷载。
静力荷载的数量、方向和位置不随时间变化或变化极其缓慢，不使结构产生显著的加速度，因而可以忽略惯性力的影响。
动力荷载是随时间迅速变化或在短暂时间内突然作用或消失的荷载，使结构产生显著的加速度。
车辆荷载、风荷载和地震荷载通常在设计中简化为静力荷载，但在特殊情况下要按动力荷载考虑。
四、按荷载位置的变化荷载可分为固定荷载和移动荷载。
作用位置固定不变的荷载为固定荷载。如风、雪、结构自重等。
可以在结构上自由移动的荷载称为移动荷载。如吊车梁上的吊车荷载、公路桥梁上的汽车荷载就是移动荷载。
荷载的确定，常常是比较复杂的，荷载规范总结了设计经验和科学研究的成果，供设计时应用。但在不少情况下，设计者要深入现场，结合实际情况进行调查研究，才能对荷载作出合理的确定。
§1-5 方法论(1)——学习方法(1)
学习要讲究方法，要学会，更要会学。下面是在结构力学的教学和科研过程中产生的一些想法,主要从加、减、问、用和创新五个方面展开讨论。
一、会加
1.勤于积累摄取和积累知识是培养能力的基础，也是研究创新的基础。“才须学也。非学无以广才，非志无以成学”(诸葛亮)。要有集腋成裘、积土成山的志趣。
2.融会贯通要把知识连成一片，互相沟通，左右联系，前后呼应，融会贯通。在数学语言和力学语言之间要会翻译：把抽象的数学公式翻译成具体生动的物理概念；把直观的力学思路翻译成严密的数学程序。
3.用心梳理积累知识要用心梳理，使之条理化，成为一个脉络清晰、有主有次、有目有纲的知识网。
4.落地生根把别人的、书本上的知识变成自己的，化他为己，这样的知识才是牢靠的，生了根的。把新学来的知识融化在自己已有的知识结构上，把“故”作为“新”的基地，使“新”在“故”上生根发芽成长。
二、会减
1,概括的能力把一章内容概括成三言两语，对一门课理出它的主要脉络，写人能勾出特征，画龙会点睛。
2,简化的能力盲目简化——不分主次，乱剪乱砍。合理简化——分清主次，剪枝留干。
选取结构计算简图是结构力学的基本功。不会简略估算、定性判断，是很危险的。
3,统帅驾驭的能力学习积累的知识，要形成一个知识系统，要培养提纲挈领、统帅全局的能力,达到纲举目张、灵活驾驭的目的。
4,弃形取神的能力在力学学习和科学研究中要培养由表入里、弃形取神的能力：
个别到一般：舍弃千差万别的个性和特殊性，摘取其中的共性和普遍性。
具体到抽象：舍弃不同问题的具体性，提炼为一般原理的抽象性。
现象到规律：舍弃现象的表面形态，洞察出深藏的本质和内在的规律。
温故到创新：拆除旧观念的篱笆，标新立异，另辟新路，开拓新途径和新领域。
§1-6 方法论(1)——学习方法(2)
三、会问
1,多问出智慧学习中要多问，多打几个问号。“？”像一把钥匙，一把开启心扉和科学迷宫的钥匙。
2,要会问学习中提不出问题是学习中最大的问题。发现了问题是好事，抓住了隐藏的问题是学习深化的表现。
3,要追问重要的问题要抓住不放，要层层剥笋，穷追紧逼，把深藏的核心问题解决了，才能达到“柳暗花明”的境界。
4,要问自己四、会用学而时习之，学习=学+习。
什么是“习”，通常把“习”理解为复习；更准确些，应把“习”理解为用，理解为实践。“用”是“学”的继续、深化和检验。与“学”相比，“用”有更丰富的内涵：
多面性：把知识应用于解决各式各样的问题，把单面的知识化为多方面的知识。
综合性：处理问题时，要综合应用多种方法和知识。分门别类地学，综合优选地用。
反思性：正面学，反面用。计算是由因到果，校核时由果到因。
跳跃性：循规蹈矩地学，跳跃式地用。
灵活性：用能生巧。
牢固性：反复用过的知识是牢固的，久经难忘。
悟性：学习可以获得言传的知识，应用可以体验难以言传的悟性。
检验性：学来的知识是真懂、半懂还是不懂，考几道题就分辨出来了。
针对涉及工程计算的一些学科的情况，还要对“习题”和“校核”两个具体问题作些议论。
1.习题做题练习,是学习工程计算学科的重要环节。不作一定数量的习题,就很难对基本概念和方法有深入的理解,也很难培养较好的计算能力。做题也要避免各种盲目性。举例如下：
不看书，不复习，埋头做题，这是一种盲目性。应当在理解的基础上做题，通过做题来巩固和加深理解。
贪图求快，不求甚解，这是另一种盲目性。
只会对答数，不会自己校核和判断，这也是一种盲目性。
做错了题不改正，不会从中吸取教训，这又是一种盲目性。
2.校核计算的结果要经过校核。“校核”是“计算”中应有之义。没有校核过的计算书是未完成的计算书。
出错是难免的。重要的是要会判断、抓错和改错。判断是对计算结果的真伪性和合理性作出鉴定。抓错是分析错误根源，指明错在何处。改错是提出改正对策，得出正确答案。改错不易，抓错、判断更难。
关于判断和校核可分为三层：细校、粗算和定性。
另法细校：细校是指详细的定量的校核，不是重算一遍而是提倡用另外的方法来核算。
毛估粗算：粗算是指采用简略的算法对计算结果进行毛估，确定其合理范围。粗算是要能分清主次、抓大放小，对大事不糊涂。其做法有：选取简化计算模型，在公式中忽略次要的项，检查典型特例，考虑问题的极限情况，等等。
定性判断：定性判断是根据基本概念来判断结果的合理性，而不是进行定量的计算。力学中常用的例子有：
采用量纲分析，判断所列方程是否有误。
根据物理概念，看答案的数量级和正负号是否对头。
根据误差理论，估计误差的范围。
根据互等定理，看计算结果是否合理。
根据上下限定理，看计算结果是否出格。
在渐进法和迭代法中，判断结果是否收敛。
对称结构计算，检查结果的对称性。
当参数变化时，看结果的相应变化是否合理。
在近似算法中，判断所得结果是偏于安全还是偏于不安全，并采用“前者宽，后者严”的不同标准。
不细算而能断是非，断案如神，既快又准，这是总工程师应具备的看家本领，也是每个工程师和有心人应及早学会的本领。这种本领来源于扎实的理论和经验的积累。
计算机引入结构力学后，增加了我们进行大型计算，分析大型结构的能力。但是，计算机并不排斥力学理论，而是要求我们更深更活地掌握力学理论。
§1-7 方法论(1)——学习方法(3)
五、创新科学精神的精髓是求实创新。
创新：推陈出新，破旧立新，有推有出，有破有立。创新并不神秘，把知识向前推进一步，向更广、更深、更精、更神的方向迈出一步，都是创新的一步。创新意识要贯穿在整个学习过程中，在加、减、问、用各个方面都要着眼于创新，有心于创新。
加：在继承中创新。每项创新成果都吸收了前人的成果。像牛顿那样站在巨人的肩上才能看得更远。广采厚积是创新的基础。
减：在“去粗取精，弃形取神”的减法过程中要注意“去”和“弃”。在“推陈出新、破旧立新”的创新过程中要注意“推”和“破”。二者是相通的。
问：在已有的知识中发现疑点，感到困惑，是走向解惑和创新的起点。创新是善问巧思的回报。
用：在应用和实践中对已有的知识进行检验，发现其中的不足而加以改正，这就是创新。实践为创新提供了机遇。
创新不能违反客观规律。在求实中创新，“出新意于法度之中”（苏轼）。在客观规律的容许之下，创造力有充分的自由活动空间。
后语把以上的议论归纳为五句话：
加 —— 广采厚积，织网生根。
减 —— 去粗取精，弃形取神。
问 —— 知惑解惑，开启迷宫。
用 —— 实践检验，多用巧生。
创新 —— 觅真理立巨人肩上，出新意于法度之中。
第二章 几何构造分析
1,主要内容一个体系要能承受荷载，首先它的几何构造应当合理，能够使几何形状和位置保持不变。因此，在进行结构受力分析之前，先进行几何构造分析。
在几何构造分析中，最基本的规律是三角形规律。规律本身是简单浅显的，但规律的运用则变化无穷。因此，学习本章时遇到的困难不在于学懂，而在于灵活运用。
本章在全书中只是一个短小的前奏，只是从几何构造的角度讨论结构力学中的一个侧面，根本不涉及到内力和应变。但是构造分析与内力分析之间又是密切相关的，本章内容将在后面许多章节中得到应用。
2,教学目的理解自由度、可变体系与不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念；
正确理解三角形规律，并能熟练应用三角形规律分析平面体系的几何构造；
掌握计算自由度的计算方法，能计算一般平面体系的自由度。
3,本章目录
§2-1 基本概念
§2-2 自由度计算
§2-3 几何不变体系的组成规律
§2-4 几何构造分析方法与实例
§2-5 求解器的应用
§2-6 小结
§2-7 习题
§2-8 测验
4,参考章节
《结构力学教程(Ⅰ)》，第2章、结构的几何构造分析，pp.17-54。
§2-1 基本概念
1,教学要求理解自由度、几何可变体系与几何不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念。
2,本节目录
1,几何不变体系和几何可变体系
2,运动自由度 S
3,约束
4,多余约束和非多余约束
5,瞬变体系
6,瞬铰和无穷远处的瞬铰
7,思考与讨论
3,参考章节
《结构力学教程(Ⅰ)》，pp.18-22。
2.1.1 几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系：体系的位置和形状是不能改变的(图2-1b)。
几何可变体系：体系的位置或形状是可以改变的(图2-1a)。
以上讨论的前提：不考虑材料的应变。
图2-1a
图2-1b
一般结构都必须是几何不变体系，而不能采用几何可变体系
2.1.2 运动自由度 S
S：体系运动时可以独立改变的坐标的数目。
图2-2a
图2-2b
(平面内一个点有两个自由度)
(平面内一个刚体有三个自由度)
2.1.3 约束减少体系自由度的装置。
图2-3a
图2-3b
图2-3c
S 由3个减少到2个
S 由6个减少到4个
S 由6个减少到3个
一个支杆相当于一个约束
一个简单铰相当于两个约束
一个简单刚结相当于三个约束
2.1.4 多余约束和非多余约束不能减少体系自由度的约束叫多余约束。
能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。
注意：多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。
图2-4a
图2-4b
链杆1或2能减少点 A 的两个自由度，因此链杆1和2都是非多余约束。
链杆1、2和3共减少点 A 的两个自由度，因此三根链杆中只有两根是非多余约束，有一个是多余约束。
一个体系中有多个约束时，应当分清多余约束和非多余约束，只有非多余约束才对体系的自由度有影响。
2.1.5 瞬变体系
图2-5a
图2-5b
分析:
(1)当链杆1和2共线时，圆弧Ⅰ和Ⅱ在 A 点相切(图2-5a)，因此 A 点可沿公切线方向做微小运动，体系是可变体系。
(2)当 A 点沿公切线发生微小位移后，链杆1和2不再共线(图2-5b)，因此体系不再是可变体系。
本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变的体系称为瞬变体系。
可以发生大位移的几何可变体系称为常变体系。
可变体系可进一步分为瞬变体系和常变体系。
(3)点 A 在平面内有两个自由度，增加两根共线链杆后,A 点仍有一个自由度，因此链杆1和2中有一个是多余约束。
一般说来，瞬变体系中必然存在多余约束。
2.1.6 瞬铰和无穷远处的瞬铰两刚片间以两链杆相连，其两链杆约束相当(等效)于两链杆交点处一简单铰的约束，这个铰称为瞬铰或虚铰(如图2-6a)。
图2-6a图2-6b图2-6c
图2-6a中，链杆1和2交于 O 点，刚片I可以发生以 O 为中心的微小转动。
图2-6b和图2-6c中，链杆1和2的交点在无穷远处，因此两根链杆所起作用的相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用，绕瞬铰的转动转化为沿两根链杆的正交方向上的平动。在图2-6a、b、c各体系的相对运动过程中，瞬铰位置不断变化。
在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时，可以采用射影几何中关于∞点和∞线的下列四点结论,
(1) 每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。
(2) 不同方向上有不同的∞点。
(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。
(4) 各有限远点都不在∞线上。
2.1.7 思考与讨论
1.有的文献把几何可变体系称为几何不稳体系，把几何不变体系称为几何稳定体系。材料力学中把压杆屈曲问题称为弹性稳定性问题。试对几何稳定性和弹性稳定性这几个不同概念加以比较。
2.“多余约束”从以下哪个角度来看才是多余的？
(a) 从对体系的自由度是否有影响的角度看；
(b) 从对体系的计算自由度是否有影响的角度来看；
(c) 从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度来看；
(d) 从区分静定和超静定两类问题的角度来看。
§2-2 自由度计算
1,教学要求掌握实际自由度和计算自由度的计算方法。
2,本节目录
1,实际自由度 S 和计算自由度 W
2,部件和约束
3,平面体系的计算自由度 W 的求法(1)
4,平面体系的计算自由度 W 的求法(2)
5,思考与讨论
3,参考章节
1.《结构力学教程(Ⅰ)》，pp.28-32。
2,§2-1 基本概念
2.2.1 实际自由度 S 和计算自由度 W
S = （各部件自由度总和 a）－（非多余约束数总和 c ）?-------? (2-1)
S = 1×2－2 = 0，
非多余约束数 c = 2,
多余约束数 n = 2,
但是复杂情况难以找全多余约束。
图3-1
W = （各部件自由度总和 a ）－ （全部约束数总和 d ）--------? (2-2)
2.2.2 部件和约束
1,部件可以是点，也可以是刚片在几何构造分析时要注意刚片内部是否有多余约束。
图3-2a
图3-2b
图3-2c
图3-2d
一根链杆
一个铰
一个刚结
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
在计算体系的约束总数时也应当考虑刚片内部的多余约束。
2,约束可分为单约束和复约束在几何构造分析时要将复约束简化为几个单约束。
图3-3a
图3-3b
(图中复铰相当两个单铰)
m = 2,h = 1
m = 3,h = 2
S = 3 × 2 - 2 × 1 = 4
S = 3 × 3 - 2 × 2 = 5
图3-4a
图3-4b
(图中复刚结相当两个单刚结)
m = 2,g = 1
m = 3,g = 2
S = 3 × 2 - 3 × 1 = 3
S = 3 × 3 - 2 × 3 = 3
一般说来，联结 n 个刚片的复铰(复刚结)相当于(n-1)个单铰(单刚结)。
图3-5a
图3-5b
(图中复链杆相当三个单链杆)
j = 2,b = 1
j = 3,b = 3
S = 2× 2 - 1 = 3
S = 2 × 3 - 3 = 3
又，联结 n 个结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
2.2.3 平面体系的计算自由度 W 的求法(1)
1,刚片系部件(约束对象)数：刚片数 m ；
约束数：单铰数 h,简单刚结数 g,链杆数 b 。
W = 3m - 2h - 3g - b ---------------------- (2-4)
例1,求如下图示刚片系的计算自由度
图3-6a
图3-6b
m = 7，h = 4，g = 2，b = 6
m = 5，h = 4，b = 6
W = 3×7 - 2×4 - 3×2 - 6 = 1 >0
W = 3×5 - 2×4 - 6 = 1 > 0
2,链杆系约束对象：结点数 j ；
约束数：链杆(含支杆)数 b 。
W = 2j - b--------------------------------- (2-5)
例2,求如下图示链杆系的计算自由度
j = 5，b = 10
W = 2×5 - 10 = 0
S = 0
n = 0
图3-7
2.2.4 平面体系的计算自由度 W 的求法(2)
3,混合系约束对象：刚片数 m,结点数 j
约束条件：单铰数 h,简单刚结数 g,单链杆(含支杆)数 b
W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)----------------- (2-6)
m = 2，h = 1，g = 0，j = 2，b = 8
W = (3×2+2×2)-(3×0+2×1+8) = 0
S = 0
n = 0
图3-8
W 的结果分析：
W > 0 则 S > 0?几何可变；
W = 0 则 S = n?若 n = 0?几何不变；
W = 0 则 S = n?若 n > 0?几何可变；
W < 0 则 n > 0?体系有多余约束,但不一定几何不变。
结论：W ≤0只是几何不变的必要条件，不是充分条件。
2.2.5 思考与讨论
如果已经算出体系的计算自由度 W，而未进行几何构造分析，则对体系的自由度 S 和多余约束数 n 能得出什么结论？如果再进一步已知体系为几何不变，则对 n 能得出什么结论？
§2-3 几何不变体系的组成规律
1,教学要求熟练掌握几何不变体系的三条基本组成规律。
2,本节目录
1,二元体法则
2,两刚片法则
3,三刚片法则
3,参考章节
《结构力学教程(Ⅰ)》,pp,22-28。
2.3.1 二元体法则一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。
图4-1分析：
约束对象：结点 C 与刚片 I
约束条件：不共线的两链杆；
结论：几何不变且无多余约束。
图4-1
图4-2分析：
两链杆共线，
C 点可垂直于AB做微小移动；
结论：瞬变体系。
图4-2
2.3.2 两刚片法则
1,两刚片用一铰及不过该铰的一链杆相连组成几何不变体系且无多余约束。
图4-3
图4-4 瞬变体系
C 可垂直于 BC 做微小运动
(等效于图4-4)
图4-5 瞬变体系(之二)
2,两刚片用不共点的三链杆相连，组成内部几何不变整体且无多余约束
图4-6
特殊情况,
三链杆共点三链杆平行等长三链杆平行不等长
图4-7 瞬变体系图4-8 常变体系图4-9 瞬变体系
2.3.3 三刚片法则三刚片用不共线的三铰两两相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。
图4-10
图4-11 三铰共线 瞬变体系
上述三条规律虽然表述不同，但本质相同，即三角形规律：
若三个铰不共线，则铰结三角形内部几何不变且无多余约束。
§2-4 构造分析方法与例题
1,教学要求熟练掌握几何构造分析的各种方法。
2,本节目录
1,基本分析方法(1)
2,基本分析方法(2)
3,约束等效代换
4,考虑体系与地基关系的方法
5,复杂体系(1)
6,复杂体系(2)
7,复杂体系(3)
8,思考与讨论
3,参考章节
1.《结构力学教程(Ⅰ)》，pp,22-28。
2,§2-3 几何不变体系的组成规律
2.4.1 基本分析方法(1)
一,先找第一个不变单元，逐步组装
1,先从地基开始逐步组装例1 图5-1a，图5-1b
图5-1a
图5-1b
2,先从内部开始，组成几个大刚片后，总组装例2 图5-2a，图5-2b
图5-2a
图5-2b
2.4.2 基本分析方法(2)
二,去除二元体例3 图5-3a，图5-3b
图5-3a
图5-3b
2.4.3 约束等效代换
1,曲(折)链杆等效为直链杆
2,联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰例3
分析:
1.折链杆 AC 与 DB 用直杆2、3代替；
2.刚片 ECD 通过支杆1与地基相连。
结论：若杆1、2、3交于一点，则整个体系几何瞬变有多余约束；
若杆1、2、3不交于一点，则整个体系几何不变无多余约束。
图5-4a
例4
分析:
1.刚片Ⅰ、Ⅱ、地基Ⅲ由铰 A 与瞬铰 B、C 相连。
2.A、B、C 不共线。
结论：整个体系几何不变无多余约束。
图5-4b
2.4.4 考虑体系与地基关系的方法
1,体系与地基以不共点的三支杆相连时，可以先分析体系内部再与地基一起分析。
图5-5a
2,体系与地基连接多于3支杆则应与地基一起分析。
具体分析方法见例3。
图5-5b
2.4.5 复杂体系(1)
1,通常要运用瞬铰并使对象拉开距离
例5
分析：
1.体系 W = 0 。
2.刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由1、2杆连于瞬铰 A。
4.刚片Ⅱ、Ⅲ由3、4杆连于瞬铰 B。
5.刚片Ⅰ、Ⅱ由5、6杆连于铰 C。
结论：体系几何不变,无多余约束。
图5-6
“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用实铰。
下面两种做法均未能使刚片拉开距离，也就没能允分利用链杆，而是以实铰连接，不能正确分析此题。
实铰?A、C
Ⅰ、Ⅱ及Ⅰ、Ⅲ均未拉开距离
实铰?A、C
Ⅰ、Ⅲ未拉开距离
图5-6b
图5-6c
例6
分析：
1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰A)相连 ；
2.刚片Ⅱ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰B)相连；
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆5、6(瞬铰C,无穷远)相连。
结论,A、B、C 三瞬铰不共线,体系几何不变无多余约束。
图5-7
2.4.6 复杂体系(2)
2,三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处。若此两瞬铰在不同方向，则体系几何不变,反之几何可变。
图5-7a
图5-7b
例7
分析：
1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰B)相连 。
2.刚片Ⅱ、Ⅲ由铰A相连。
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰C)相连。
4.内部几何不变组成大刚片再与地基相连。
结论:几何不变无多余约束。
图5-8
例8
分析：
1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰A)相连。
2.刚片Ⅱ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰B)相连。
3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆5、6(瞬铰C)相连。
4.刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成大刚片，再与地基相连。
结论:几何不变无多余约束。
图5-9
2.4.7 复杂体系(3)
3,三刚片由三铰两两相连,其中两瞬铰在无穷远处，若此两瞬铰在不同方向，则几何不变。
图5-10 几何不变
4,三刚片由三瞬铰两两相连,若三瞬铰均在无穷远处,则体系几何可变。
例9
无穷远处所有点均在一无穷远直线上曲率 k = 1/R
R —> ∞
k —> 0 直线
图5-11a 几何可变(瞬变)
图5-11b 几何可变(常变)
图5-11c 几何可变(瞬变)
注意：以上所有W = 0且几何可变(瞬变或常变)的体系均存在多余约束。
2.4.8 思考与讨论
(1)分析平面体系的几何构造时，运用基本构造单元按照搭积木和拆积木的方式是两种相逆的方法，很多体系可以用这两种方法进行分析，参考图5-1a、图5-1b和图5-3a、图5-3b。
(2)在几何构造分析中可以进行哪些等效变换，如何保证变换的等效性？
§2-5 求解器的应用一,教学目的熟悉结构力学求解器的界面，能够利用菜单输入平面结构体系，同时利用求解器进行平面体系几何组成分析。
二,主要内容
1.平面结构的输入
2.用求解器求解几何构造分析三,参考资料
《结构力学教程(I)》，pp,36～45。
2.5.1 平面结构的输入一个平面结构体系主要有结点定义、单元定义、约束定义。欲输入一个结构体系，首先建立一个新文件，然后输入命令。在求解器中输入命令有两种方法：利用“命令”菜单中的子菜单，打开相应的对话框，在对话框中根据提示和选项输入命令；在命令中直接键入命令行。第二种方法要求用户对命令格式相当熟悉，因此下面主要介绍如何应用“命令”菜单输入平面结构体系。
1,结点的输入和定义
打开“命令”菜单下的子菜单“结点”
在结点对话框中输入单元码及坐标，单击“应用”
在观览器中显示结点
将命令自然写在文档上
利用上述步骤，连续输入所需的结点,完成输入后,单击“关闭”按钮，关闭结点对话框。
2,单元的定义
打开“命令”菜单下的子菜单“单元”
选择单元端点的连接方式，单击“应用”
在观览器中显示单元
将命令自然写在文档上
利用上述步骤，连续输入所需的单元,完成输入后,单击“关闭”按钮，关闭单元对话框。若要预览；可以单击“预览”。修改时可以修改命令。
3,结点支座的定义
打开“命令”菜单下的子菜单“位移约束”
选择结点码、支座类型等，单击“应用”
在观览器中显示支座
将命令自动写在文档上
利用上述步骤，连续输入所需的结点支座,完成输入后，单击“关闭”按钮，关闭支座约束对话框。若要预览，可以单击“预览”。修改时可以修改命令。最后形成所需的平面几何体系。
下面讨论如何利用求解器进行几何组成分析。
2.5.2 用求解器求解几何构造分析对于几何构造分析，求解器具有两种求解功能。
1,自动求解
打开“求解”菜单下的“几何组成”
显示几何组成分析结果
静态显示
利用自动求解：可以判断几何可变还是几何不变；对于可变体系，给出体系的自由度，指出是常变体系还是瞬变体系，并静态或动画显示机构运动模态；若体系有多余的约束，给出多余约束的数目。
2,智能求解
平面体系图形
打开“求解”菜单下的“几何构造”，显示几何组成分析对话框
§2-6 小结
1,教学要求回顾本章所学知识。
2,本节目录
1,几何构造分析的两个主要问题
2,几何构造分析中采用的方法
3,关于三角形规律的运用问题
4,关于计算自由度 W,自由度 S 和多余约束数 n
5,其它一些问题
3,参考章节
《结构力学教程(Ⅰ)》，pp,46-48。
2.6.1 几何构造分析的两个主要问题
对杆件体系进行几何构造分析，主要是讨论两个问题：
(1) 判断体系是否可变，确定体系的自由度 S 。
(2) 判断体系中有无多余约束，确定多余约束的个数 n 。
对杆件体系进行几何构造分析，主要是解决两个问题：
(1) 结构应是一个几何不变体系，其自由度 S 应等于零。
(2) 结构分为静定和超静定两类，它们的标志分别为 n = 0 与 n > 0 。
2.6.2 几何构造分析中采用的方法
方法
经典方法
计算机方法
主要作法
辅助作法
零载法
(W = 0)
SM Solver
内容
多次应用三条基本组成规律及其四种形式，由局部到整体，完成整个体系的装配过程和分析过程。
求出体系的计算自由度 W,从而得到关于自由度 S 和多余约束 n 的下限公式。
用求体系的内力的方法来进行几何构造分析。
把几何构造分析问题归结为一组齐次线性方程，再由解的性质得出几何构造分析的有关结论。
特点
直观灵巧，便于分析常规体系，但不便于分析复杂体系，也不便于编制计算程序。
W 的算式很简单，但单靠这种作法不能求出 S 和 n 的确定值。如果把上述主要作法和辅助作法结合起来，互相配合，有时会收到好的效果。
分析复杂体系的经典方法。
这是一种便于编制程序的计算机方法。
2.6.3 关于三角形规律的运用问题运用三角形规律对平面体系进行几何构造分析时，有几点值得注意：
(1) 三角形规律是组成无多余约束的几何不变体系的基本组成规律。
(2) 要学会搭积木的方法。
(3) 装配方式通常有两种：
a,如果体系与地基之间只有三个约束，则可先从内部刚片出发进行装配。
b,如果体系与地基之间多于三个约束，则应将地基作为大刚片参与整体分析。
(4) 进行约束的等效变换(如异形链杆、瞬铰等)。
(5) 三角形规律只适用于分析常规体系。
(6) 三角形规律是浅显的，但规律的运用却灵活多变，要由浅入深地作必要的练习，逐步提高运用能力。
2.6.4 关于计算自由度 W,自由度 S 和多余约束数 n
自由度 S 和多余约束 n 都与具体的构造有关，但 W = S - n 只与体系所具有的部件和约束的个数有关。
根据 W 的数值，可对体系的几何构造特性得出一些结论，如下表所示：
W 的数值
几何构造特性
W > 0
对象的自由度数 S > n ；
体系为几何可变，不能用作结构。
W = 0
对象的自由度数 S = n ；
如体系为几何不变，则无多余约束，体系为静定结构；
如体系为几何可变，则有多余约束。
W < 0
对象的自由度数 S < n ；
体系有多余约束；
如体系为几何不变，则为超静定结构。
2.6.5 其他一些问题
1,平面体系的分类
其中，几何不变体系在以后的章节中还可分为静定结构和超静定结构，几何不变体系和几何可变体系的区分参见2.1.1几何不变体系和几何可变体系,几何瞬变体系和几何常变体系的区分见2.1.5 瞬变体系。
2,体系内部几何不变和体系内部几何可变本章中很多习题中的平面体系没有与大地相连，体系至少应该有3个自由度，实际上这时是在分析这个体系内部是否不变。
§2-7 习题
1,教学要求通过练习，掌握本章内容。
做题之前，请先阅读手工求解说明。
2,本节目录手工求解说明
习题(1)
习题(2)
习题(3)
习题(4)
习题(5)
习题(6)
习题(7)
习题(8)
习题(9)
习题(10)
