第四章 静定结构总论
1.?学习要求
本章是从整体上分析静定结构的受力特点，同时补充了一些分析方法，是对上一章内容的总结和补充。通过对本章的学习，提高对静定各种结构的分析方法和认识，为结构设计选取合理的结构打下良好的基础。
2.?主要内容
§4-1 隔离体方法及其截取顺序的优选
§4-2 几何构造分析与受力分析之间的对偶关系
§4-3 刚体体系的虚功原理?(1)?(2)?(3)
§4-4 静定结构的一般性质
§4-5 各种结构形式的受力特点
§4-6 用求解器求解静定结构
§4-7 小结
§4-8 思考与讨论
3.?学习指导本章内容的学习要以第三章为基础，因此要在掌握了静定结构的内力计算以后在学习本章。由于静定结构的分析是以静力平衡方程为基础，静力平衡方程的可解性是分析的关键。
4.?参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P153～P185。
§4-1 隔离体方法及其截取顺序的优选
一.?隔离体的形式、约束力及其平衡方程静定结构的内力分析的关键是选取适当的隔离体，利用静定平衡方程进行求解。
1.?隔离体的形式隔离体的形式有：结点（铰结点、刚结点、组合结点）、杆件、刚片、杆件微单元。
桁架的隔离体：一个结点、多个结点。
刚架的隔离体：杆件、刚结点、铰结点。
2.?约束力的类型截断链杆----->一个轴力截断简单铰结----->两个约束反力截断刚结点----->三个约束反力
3.?平面可解条件
(1)?独立方程的个数等于隔离体的自由度的个数。
(2)n?个未知力，但有?n?-1个未知力汇交于一点或者平行，可求出第?n?个力。
此两条是优先选择隔离体的关键，应当正确理解和掌握。
二.?计算的简化和隔离体的截取顺序
1.?直接能够利用方程求解。
2.?选择合理的矩心和坐标轴，避免联合求解，矩心选在未知力的交点处，作标轴与未知力平行或垂直。
3.?简化杆件的受力，合理的判断出二力杆、零杆。
4.?利用对称结构的计算。
5.?通过几何组成分析，正确理解结构的组成规律，选择合理的解题顺序，解题顺序与组成顺序相反。
§4-2 几何构造分析与受力分析之间的对偶关系一.?从计算自由度?W?得力学含义和几何含义看对偶关系计算自由度?W?=?各部件的自由度总数?-?全部约束数
由于约束与约束力之间存在着一定的相应关系：
计算自由度?W?=?各部件的平衡方程数?-?未知力总数（重点理解）
因此，可得到一下结论：
(1)?W?>?0，结构为几何可变体系.
(2)?W?<?0，结构为超静定，平衡方程组有解，则解为无穷多个。
(3)?W?=?0，平衡方程数等于未知力个数平衡方程的解有方程组的系数行列式?D?决定：
D?<>?0?，方程有唯一的解，结构为几何不变体，且无多余的约束。
D=?0?，方程在一般荷载下无解，在特殊情况下有无穷多个解，结构为瞬变体系。
§4-3 刚体体系的虚功原理一.?虚功原理虚功原理的表达形式有多种多样，对于理想约束的刚体体系可描述如下：
设刚体上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小的刚体体系位移，则主动力在位移上所做的虚功总和等于零。
虚功原理的关键：平衡力系与位移的相互独立性，二者都可以进行假设，根据不同的问题进行不同的假设。
本节是利用假设的位移进行求解未知力。
下面通过实例来理解刚体体系的虚功原理.
图示4-1a是一几何可变体系，已知力?P?，为了平衡是求力?F?的大小。
虚设一位移状态图4-1b，位移的假设应与荷载相一致。
根据虚功原理,可以通过以下计算求出力?F?:
图4-1a
图4-1b
特点:
1.?位移是假设的；
2.?解题的关键是利用几何关系求出位移之间的几何关系；
3.?采用几何几何的方法求解静力平衡问题。
§4-3 刚体体系的虚功原理二.?应用虚功原理求静定结构的约束力----单位支座位移法虚功原理的关键是存在两种状态：力状态、位移状态。
力状态：结构的实际受力的同时，再加上所求的约束反力。
位移状态：在所求约束反力的方向上产生相应的位移。
由于在位移状态时约束已经去掉，结构则变成可变体系（机构）。
刚体体系的虚功原理可用如下方法进行：
(1)解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反力?FX?来代替,同时,结构则相应的变为机构.
(2)把结构可能发生的刚体体系位移当作虚位移，设未知力?FX?和主动荷载?FP?相应的位移分别是?ΔX?和?ΔP?，利用虚功原理可得,
(3)求出?ΔX?和?ΔP?之间的相互关系，即可求得?FX?：
(4)为了计算方便，假设?ΔX?=?1?，此时，?ΔP?则用?δP?表示。
以上的关键是虚设位移状态，及其各种位移的关系。由于?ΔX?=?1，所以又称单位支座位移法。
实例分析
§4-3 刚体体系的虚功原理三.?实例分析
求图4-2a所示简支粱支座?B?的支反力及截面?C?处的弯矩.
图4-2
解:
(1)求支座?B?的支反力?R?。
力状态：将支座?B?去掉，用支反力R代替，同时也变成几何可变体系（图4-2-b）。
位移状态：在支座?B?处设一竖向位移1，?AB?杆成斜线（图4-2-c）。
则：支反力的虚功为?1R?；
均不荷载的虚功为：
(2)求?R?截面处的弯矩?M?
力状态：撤除与弯矩相应的约束，将截面?C?由刚接改为铰接，注意?C?截面的弯矩为一对大小相等，方向相反的力偶组成（图4-2d）。
位移状态?：设?C?处的竖向位移为1，则?AC?、BC?段的转角分别为：
§4-4 静定结构的一般性质本节主要是简单介绍静定结构的一般性质,以后通过超静定结构的学习，将进一步分析其性质。
一.?温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力由于静定结构随着温度的改变、支座移动和制造误差等因素的改变，只引起结构形状的改变，因此不引起内力。
二.?静定结构的局部平衡特性在荷载作用下，如果仅靠静定结构中的某以局部就可以与荷载维持平衡，则其余部分的内力必为零。
事实上，多跨静定粱的基本部分上的荷载不影响附属部分；桁架中的零杆的判断，都是静定结构的局部平衡特性的具体体现。
当然，局部平衡可以是几何不变体，也可以是几何可变体。
三.?静定结构的荷载等效性当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变。
四.?静定结构的构造变换特性当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分的内力不变。
§4-5 各种结构形式的受力特点考虑结构的受力特点，应主要从结构的轴力和弯矩进行分析，在无弯矩的情况下，轴力在截面上时均匀分布，能够充分利用材料的强度；而弯矩产生的应力在截面上为三角形分布，没有充分利用材料的强度，因此，在结构的受力特点分析中主要考虑结构中的弯矩的分布及最大值。
经过计算，在相同跨度和相同荷载下，简支粱的弯矩最大，伸臂粱、静定多跨粱、三铰刚架、组合结构的弯矩次之，而桁架结构的弯矩为零，基于此在工程中简支粱多用于小跨度结构；伸臂粱、静定多跨粱、三铰刚架、组合结构可用于较大跨度的结构；而大跨度结构通常采用桁架结构或者拱结构。
在实际工程中，处考虑受力特点之外，欢迎考虑结构的施工、几何特点、构造本身，如：简支粱结构简单，施工方便，桁架结构便于进行安装，但杆件较多，结点构造比较复杂。
§4-6 用求解器求解静定结构
利用结构力学求解器可以自动求解静定结构的结构的内力、位移，在应用结构力学求解器时，要注意内力的画法及其正负号的规定：
(1)弯矩图画在杆件受拉纤维的一边，局部坐标y<0 一侧的弯矩图标为正号；
(2)剪力正负号是以绕微段隔离体顺时针转动者为正，正剪力画在局部坐标y>0 一侧；
(3)轴力以受拉为正，正轴力画在局部坐标y>0 一侧。
利用求解器求解的主要程序已在相关的章节中进行分析。
下面简单进行说明：
1,在“命令”菜单下，输入结点、单元、约束条件、荷载条件，最终形成一个结构。如果进行位移计算时还要输入单元材料性质。
2,在“求解”菜单下，选择“内力计算”，求解器打开“内力计算”对话框，“内力显示”组中选择“结构”，再选择“弯矩”，观览器中显示结构的弯矩图。
3,在观览器中，可以进行设置，调节图形的幅值。
§4-7 小结
1,静定结构各种受力分析方法的比较静定结构的受力分析方法有两类:
(1)取隔离体，建立平衡方程的方法。
(2)虚设位移，建立虚功方程的方法。
第一，要对每一类方法深入学习，学懂学会。第二，要把两类方法合在一起，加以研究和比较：了解两类方法的本质区别以及各自的优缺点。
2,几何构造分析与受力分析之间的联系学习过程经常是首先分门别类的学，然后融会贯通的想，综合优先的用。
几何构造分析与受力分析要将两部分融会贯通起来，掌握两者之间的对偶关系，并能灵活的交叉应用。
隔离体截取顺序的优选正是借鉴几何构造分析的知识，用以指导受力分析方法的优选。
3,与静定结构各种特性相贯通的基本特性静定结构的基本特性是：在静定结构中，满足平衡条件的内力解答是存在的，而且是唯一的。此基本特性派生了静定结构的四条普遍性质。
4,评价各种结构型式受力特性的一个基本观点各种结构的受力特点已经作了对比，如何评价结构型式的合理性，要从受力特性、施工、经济等方面综合考虑，而从受力特性的角度看，一个基本的观点就是要设法“材尽其用”，尽量减少弯矩峰值，尽量接近无弯矩状态这一理想境界。
§4-8 思考与讨论
1.?如何才能避免联合解平衡方程组？
2.?如何理解平衡方程无解和无穷多个解的概念？
3.?虚功原理中，位移的假设是否是任意的？
4.?利用虚功原理能否求解多个约束力？
5.?为什么温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力？
6.?为什么当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变？
1.?学习要求
本章是从整体上分析静定结构的受力特点，同时补充了一些分析方法，是对上一章内容的总结和补充。通过对本章的学习，提高对静定各种结构的分析方法和认识，为结构设计选取合理的结构打下良好的基础。
2.?主要内容
§4-1 隔离体方法及其截取顺序的优选
§4-2 几何构造分析与受力分析之间的对偶关系
§4-3 刚体体系的虚功原理?(1)?(2)?(3)
§4-4 静定结构的一般性质
§4-5 各种结构形式的受力特点
§4-6 用求解器求解静定结构
§4-7 小结
§4-8 思考与讨论
3.?学习指导本章内容的学习要以第三章为基础，因此要在掌握了静定结构的内力计算以后在学习本章。由于静定结构的分析是以静力平衡方程为基础，静力平衡方程的可解性是分析的关键。
4.?参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P153～P185。
§4-1 隔离体方法及其截取顺序的优选
一.?隔离体的形式、约束力及其平衡方程静定结构的内力分析的关键是选取适当的隔离体，利用静定平衡方程进行求解。
1.?隔离体的形式隔离体的形式有：结点（铰结点、刚结点、组合结点）、杆件、刚片、杆件微单元。
桁架的隔离体：一个结点、多个结点。
刚架的隔离体：杆件、刚结点、铰结点。
2.?约束力的类型截断链杆----->一个轴力截断简单铰结----->两个约束反力截断刚结点----->三个约束反力
3.?平面可解条件
(1)?独立方程的个数等于隔离体的自由度的个数。
(2)n?个未知力，但有?n?-1个未知力汇交于一点或者平行，可求出第?n?个力。
此两条是优先选择隔离体的关键，应当正确理解和掌握。
二.?计算的简化和隔离体的截取顺序
1.?直接能够利用方程求解。
2.?选择合理的矩心和坐标轴，避免联合求解，矩心选在未知力的交点处，作标轴与未知力平行或垂直。
3.?简化杆件的受力，合理的判断出二力杆、零杆。
4.?利用对称结构的计算。
5.?通过几何组成分析，正确理解结构的组成规律，选择合理的解题顺序，解题顺序与组成顺序相反。
§4-2 几何构造分析与受力分析之间的对偶关系一.?从计算自由度?W?得力学含义和几何含义看对偶关系计算自由度?W?=?各部件的自由度总数?-?全部约束数
由于约束与约束力之间存在着一定的相应关系：
计算自由度?W?=?各部件的平衡方程数?-?未知力总数（重点理解）
因此，可得到一下结论：
(1)?W?>?0，结构为几何可变体系.
(2)?W?<?0，结构为超静定，平衡方程组有解，则解为无穷多个。
(3)?W?=?0，平衡方程数等于未知力个数平衡方程的解有方程组的系数行列式?D?决定：
D?<>?0?，方程有唯一的解，结构为几何不变体，且无多余的约束。
D=?0?，方程在一般荷载下无解，在特殊情况下有无穷多个解，结构为瞬变体系。
§4-3 刚体体系的虚功原理一.?虚功原理虚功原理的表达形式有多种多样，对于理想约束的刚体体系可描述如下：
设刚体上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小的刚体体系位移，则主动力在位移上所做的虚功总和等于零。
虚功原理的关键：平衡力系与位移的相互独立性，二者都可以进行假设，根据不同的问题进行不同的假设。
本节是利用假设的位移进行求解未知力。
下面通过实例来理解刚体体系的虚功原理.
图示4-1a是一几何可变体系，已知力?P?，为了平衡是求力?F?的大小。
虚设一位移状态图4-1b，位移的假设应与荷载相一致。
根据虚功原理,可以通过以下计算求出力?F?:
图4-1a
图4-1b
特点:
1.?位移是假设的；
2.?解题的关键是利用几何关系求出位移之间的几何关系；
3.?采用几何几何的方法求解静力平衡问题。
§4-3 刚体体系的虚功原理二.?应用虚功原理求静定结构的约束力----单位支座位移法虚功原理的关键是存在两种状态：力状态、位移状态。
力状态：结构的实际受力的同时，再加上所求的约束反力。
位移状态：在所求约束反力的方向上产生相应的位移。
由于在位移状态时约束已经去掉，结构则变成可变体系（机构）。
刚体体系的虚功原理可用如下方法进行：
(1)解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反力?FX?来代替,同时,结构则相应的变为机构.
(2)把结构可能发生的刚体体系位移当作虚位移，设未知力?FX?和主动荷载?FP?相应的位移分别是?ΔX?和?ΔP?，利用虚功原理可得,
(3)求出?ΔX?和?ΔP?之间的相互关系，即可求得?FX?：
(4)为了计算方便，假设?ΔX?=?1?，此时，?ΔP?则用?δP?表示。
以上的关键是虚设位移状态，及其各种位移的关系。由于?ΔX?=?1，所以又称单位支座位移法。
实例分析
§4-3 刚体体系的虚功原理三.?实例分析
求图4-2a所示简支粱支座?B?的支反力及截面?C?处的弯矩.
图4-2
解:
(1)求支座?B?的支反力?R?。
力状态：将支座?B?去掉，用支反力R代替，同时也变成几何可变体系（图4-2-b）。
位移状态：在支座?B?处设一竖向位移1，?AB?杆成斜线（图4-2-c）。
则：支反力的虚功为?1R?；
均不荷载的虚功为：
(2)求?R?截面处的弯矩?M?
力状态：撤除与弯矩相应的约束，将截面?C?由刚接改为铰接，注意?C?截面的弯矩为一对大小相等，方向相反的力偶组成（图4-2d）。
位移状态?：设?C?处的竖向位移为1，则?AC?、BC?段的转角分别为：
§4-4 静定结构的一般性质本节主要是简单介绍静定结构的一般性质,以后通过超静定结构的学习，将进一步分析其性质。
一.?温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力由于静定结构随着温度的改变、支座移动和制造误差等因素的改变，只引起结构形状的改变，因此不引起内力。
二.?静定结构的局部平衡特性在荷载作用下，如果仅靠静定结构中的某以局部就可以与荷载维持平衡，则其余部分的内力必为零。
事实上，多跨静定粱的基本部分上的荷载不影响附属部分；桁架中的零杆的判断，都是静定结构的局部平衡特性的具体体现。
当然，局部平衡可以是几何不变体，也可以是几何可变体。
三.?静定结构的荷载等效性当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变。
四.?静定结构的构造变换特性当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分的内力不变。
§4-5 各种结构形式的受力特点考虑结构的受力特点，应主要从结构的轴力和弯矩进行分析，在无弯矩的情况下，轴力在截面上时均匀分布，能够充分利用材料的强度；而弯矩产生的应力在截面上为三角形分布，没有充分利用材料的强度，因此，在结构的受力特点分析中主要考虑结构中的弯矩的分布及最大值。
经过计算，在相同跨度和相同荷载下，简支粱的弯矩最大，伸臂粱、静定多跨粱、三铰刚架、组合结构的弯矩次之，而桁架结构的弯矩为零，基于此在工程中简支粱多用于小跨度结构；伸臂粱、静定多跨粱、三铰刚架、组合结构可用于较大跨度的结构；而大跨度结构通常采用桁架结构或者拱结构。
在实际工程中，处考虑受力特点之外，欢迎考虑结构的施工、几何特点、构造本身，如：简支粱结构简单，施工方便，桁架结构便于进行安装，但杆件较多，结点构造比较复杂。
§4-6 用求解器求解静定结构
利用结构力学求解器可以自动求解静定结构的结构的内力、位移，在应用结构力学求解器时，要注意内力的画法及其正负号的规定：
(1)弯矩图画在杆件受拉纤维的一边，局部坐标y<0 一侧的弯矩图标为正号；
(2)剪力正负号是以绕微段隔离体顺时针转动者为正，正剪力画在局部坐标y>0 一侧；
(3)轴力以受拉为正，正轴力画在局部坐标y>0 一侧。
利用求解器求解的主要程序已在相关的章节中进行分析。
下面简单进行说明：
1,在“命令”菜单下，输入结点、单元、约束条件、荷载条件，最终形成一个结构。如果进行位移计算时还要输入单元材料性质。
2,在“求解”菜单下，选择“内力计算”，求解器打开“内力计算”对话框，“内力显示”组中选择“结构”，再选择“弯矩”，观览器中显示结构的弯矩图。
3,在观览器中，可以进行设置，调节图形的幅值。
§4-7 小结
1,静定结构各种受力分析方法的比较静定结构的受力分析方法有两类:
(1)取隔离体，建立平衡方程的方法。
(2)虚设位移，建立虚功方程的方法。
第一，要对每一类方法深入学习，学懂学会。第二，要把两类方法合在一起，加以研究和比较：了解两类方法的本质区别以及各自的优缺点。
2,几何构造分析与受力分析之间的联系学习过程经常是首先分门别类的学，然后融会贯通的想，综合优先的用。
几何构造分析与受力分析要将两部分融会贯通起来，掌握两者之间的对偶关系，并能灵活的交叉应用。
隔离体截取顺序的优选正是借鉴几何构造分析的知识，用以指导受力分析方法的优选。
3,与静定结构各种特性相贯通的基本特性静定结构的基本特性是：在静定结构中，满足平衡条件的内力解答是存在的，而且是唯一的。此基本特性派生了静定结构的四条普遍性质。
4,评价各种结构型式受力特性的一个基本观点各种结构的受力特点已经作了对比，如何评价结构型式的合理性，要从受力特性、施工、经济等方面综合考虑，而从受力特性的角度看，一个基本的观点就是要设法“材尽其用”，尽量减少弯矩峰值，尽量接近无弯矩状态这一理想境界。
§4-8 思考与讨论
1.?如何才能避免联合解平衡方程组？
2.?如何理解平衡方程无解和无穷多个解的概念？
3.?虚功原理中，位移的假设是否是任意的？
4.?利用虚功原理能否求解多个约束力？
5.?为什么温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力？
6.?为什么当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变？
