第三章 静定结构的受力分析
1.?静定结构的概念
从几何构造分析的角度看，结构必须是几何不变体系。根据多余约束 n,几何不变体系又分为：
有多余约束( n > 0)的几何不变体系——超静定结构；
无多余约束( n = 0)的几何不变体系——静定结构。
从求解内力和反力的方法也可以认为：
静定结构：凡只需要利用静力平衡条件就能计算出结构的全部支座反力和杆件内力的结构。
超静定结构：若结构的全部支座反力和杆件内力，不能只有静力平衡条件来确定的结构。
2.?教学目的进一步巩固杆件受力分析和内力分析的特点；
理解多跨静定梁、静定平面刚架、静定桁架的概念；
熟练掌握多跨静定梁、静定平面刚架、静定桁架内力的计算方法，能够画出内力图；
理解截面法、结点法、联合法，熟练求出静定桁架的内力。
3.?主要章节
§3-1 梁的内力计算回顾
§3-2 多跨静定梁
§3-3 静定平面刚架
§3-4 静定平面桁架
§3-5 组合结构
§3-6 求解器的应用
§3-7 小结
§3-8 思考与讨论
§3-9 习题
§3-10 测验
4.?学习指导本章所学内容的基础是以前所学的“隔离体和平衡方程”，但是不能认为已经学过了，就有所放松。其实，在静定结构的静力分析中，虽然基本原理不多，平衡方程只有几种形式，但是其变化是无穷的，因此重要的是知识的应用能力。为了能够熟中生巧，在学习时应多做练习。
5.?参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P57～P137
§3-1 梁的内力计算回顾
一.?教学目的
复习材料力学中的内力概念和计算方法，梁的内力图的画法；
熟练掌握各种荷载作用下的梁的内力图画法；
掌握叠加法画弯矩图。
二.?主要内容
1.?内力的概念和表示
2.?内力的计算方法
3.?内力图与荷载的关系
4.?分段叠加法三.?参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》?P57～P64
各种《材料力学》教材
3.1.1 内力的概念和表示在平面杆件的任意截面上，将内力一般分为三个分量：轴力FN,剪力FQ和弯矩M(图3-1)。
轴力----截面上应力沿轴线方向的合力,轴力以拉力为正。
剪力----截面上应力沿杆轴法线方向的合力,剪力以截开部分顺时针转向为正。
弯矩----截面上应力对截面形心的力矩，在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时弯矩为正。
图3-1
作图时，轴力图、剪力图要注明正负号，弯矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号。
3.1.2 内力的计算方法
梁的内力的计算方法主要采用截面法。截面法可用以下六个字描述：
1.?截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作为隔离体。
2.?代替----用相应内力代替该截面的应力之和。
3.?平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。
利用截面法可得出以下结论：
1.?轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆轴切线方向的投影代数和；
2.?剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和；
3.?弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。
以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用。
3.1.3 内力图与荷载的关系
1.?弯矩、剪力与荷载的微分关系对于分布荷载?q?，则分布区域内的剪力?FQ?对长度的一阶导数为?q?，弯矩对长度的一阶导数等于剪力。
2.?内力图与荷载的关系无荷载的区段弯矩图为直线，剪力图为平行于轴线的直线。
有均布荷载的区段，弯矩图为曲线，曲线的图像与均布荷载的指向一致，剪力图为一直线。
在集中力作用处，剪力在截面的左、右侧面有增量，增值为集中力的大小，弯矩图则出现尖角。
在集中力偶作用处,弯矩在截面的左、右侧面有增量，增值为集中力偶矩的大小，剪力不发生变化。
3.1.4 分段叠加法画弯矩图
1.叠加原理几个力对杆件的作用效果，等于每一个力单独作用效果的总和。
利用叠加原理，可做出以下梁的弯矩图（如下图3-1演示过程）:
||
||
+
+
图3-1
2.分段叠加原理上述叠加法同样可用于绘制结构中任意直杆段的弯矩图。
图3-2a为一简支梁,AB 段的弯矩可以用叠加法进行计算，计算过程可用图3-2a～3-2d表示。
图3-2a
图3-2b
图3-2c
图3-2d
其过程为：先求出直线段两端截面上的弯矩 MA 和 MB,画出直线的弯矩 M1。在此基础上，叠加相应简支梁 AB 在跨间荷载作用下的弯矩M0 。
利用分段叠加法求弯矩可用如下公式：
AB段中点的弯矩值:
§3-2 多跨静定梁
1.?教学目的理解多跨静定梁结构的分析方法和受力特点；
理解层次图的概念，能够绘制各种荷载作用下的内力图。
2.?主要内容
1.?多跨静定梁的受力特点
2.?多跨静定梁的实例分析
3.?学习方法充分利用材料力学课程中所学的知识，以及绘制内力图的方法，多做练习和测验，不断提高分析问题解决问题的能力。
4.?参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P64～P68
3.2.1 多跨静定梁的受力特点
1,多跨静定连续梁的实例现实生活中，一些梁是由几根短梁用榫接相连而成，在力学中可以将榫接简化成铰约束,这样由几个单跨梁组成的几何不变体，称作为多跨静定连续梁。图（3-3a）为简化的多跨静定连续梁。
图3-3
2,多跨静定连续梁的受力特点和结构特点
结构特点：图中?AB?依靠自身就能保持其几何不变性的部分称为基本部分，如图中 AB ；而必须依靠基本部分才能维持其几何不变性的部分称为附属部分，如图中 CD。
受力特点：作用在基本部分的力不影响附属部分，作用在附属部分的力反过来影响基本部分。因此，多跨静定梁的解题顺序为先附属部分后基本部分。为了更好地分析梁的受力，往往先画出能够表示多跨静定梁各个部分相互依赖关系的层次图（图3-3b）。
因此,计算多跨静定梁时,应遵守以下原则:先计算附属部分后计算基本部分。将附属部分的支座反力反向指向，作用在基本部分上，把多跨梁拆成多个单跨梁，依次解决。将单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。弯矩图和剪力图的画法同单跨梁相同。
3.2.2 多跨静定梁的实例分析画出图(3-4a)所示多跨梁的的弯矩图和剪力。
图?3-4a
解:
(1)结构分析和绘层次图此梁的组成顺序为先固定梁?AB?,再固定梁?BD?,最后固定梁?DE?。由此得到层次图（图3-4b）。
(2)计算各单跨梁的支座反力计算是根据层次图，将梁拆成单跨梁（图3-4c）进行计算，以先附属部分后基本部分，按顺序依次进行，求得各个单跨亮的支反力。
(3)画弯矩图和剪力图根据各梁的荷载和支座反力，依照弯矩图和剪力图的作图规律，分别画出各个梁的弯矩图及剪力图，再连成一体，即得到相应的弯矩图和剪力图（图3-4d、e）
图?3-4b、c
图?3-4d
图?3-4e
§3-3 静定平面刚架
1.?教学内容和要求刚架结构建是建筑结构中常见的一种结构。本节主要学习常见的刚架结构的反力、内力计算以及刚架结构的内力图的画法。
通过本节的学习，了解刚架的特点和特征，熟练地求解反力和内力，能够利用各种方法绘出刚架结构的内力图。
2.?主要内容
1.?平面刚架的概念
2.?刚架的支座反力
3.?刚架内力图
4.?实例分析
3.?学习指导刚架结构的重要特点是结构中具有刚结点，因此，内力图画法中关键要利用刚结点处内力平衡。叠加法也是常用的方法。
学习的关键是多做题、多分析，最终能够灵活掌握刚架结构的内力图画法。
4.?参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P68～P79
.3.1 刚架的特点和分类刚架：由直杆组成具有刚结点的结构。
当组成刚架的各杆的轴线和外力都在同一平面时，称作平面刚架。
如图3-5a所示为一平面刚架
图3-5a
图3-5b
图3-5c
当B、C处为铰结点时为几何可变体（图3-5b），要是结构为几何不变体，则需增加杆AC（图3-5c）或把B、C变为刚结点。
刚架的特点:
1.?杆件少，内部空间大，便于利用。
2.?刚结点处各杆不能发生相对转动，因而各杆件的夹角始终保持不变。
3.?刚结点处可以承受和传递弯矩，因而在刚架中弯矩是主要内力。
4.?刚架中的各杆通常情况下为直杆，制作加工较方便。
正是以上特点，刚架在工程中得到广泛的应用。
静定平面刚架的类型有：
1.?悬臂刚架：常用于火车站站台（图3-6a）、雨棚等。
2.?简支刚架：常用于起重机的刚支架及渡槽横向计算所取的简图等（图3-6b）；
3.?三铰刚架：常用于小型厂房、仓库、食堂等结构（图3-6c）。
图3-6a
图3-6b
图3-6c
3.3.2 刚架的支座反力刚架结构常见的有：悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架和复杂刚架。悬臂刚架、简支刚架的支反力可利用平衡方程直接求出。
以下以三铰刚架来分析刚架支座反力的求法。
三铰刚架的支座反力的求法主要是充分利用平衡条件来进行计算，分析时经常采用先整体后拆开的方法。
三铰刚架一般由两部分组成(如图所示),整体共有四个约束反力:FxA、FyA、FxB,FyB(图3-7b)。整体有三个平衡方程，为了求解还应拆开考虑，取半部分作为研究对象，利用铰结点的弯矩为零，就可以全部求解。
图3-7a
图3-7b
1.?利用两个整体平衡方程求FYA、FYB
2.?利用铰C处弯矩等于零的平衡方程求FxA
取左半部分：
3.?利用整体的第三个平衡方程求FxB
3.3.3 刚架内力图
1.?刚架的内力计算刚架中的杆件多为粱式杆，杆截面中同时存在弯矩、剪力和轴力。计算的方法与粱完全相同。只需将刚架的每一根杆看作是粱，逐杆用截面法计算控制截面的内力。
计算时应注意：
(1)内力的正负号
(2)结点处有不同的杆端截面
(3)正确选取隔离体
(4)结点处平衡
2.?刚架中杆端内力的表示由于刚架的内力的正负号与粱基本相同。为了明确各截面内力，特别是区别相交于同一结点的不同杆端截面的内力，在内力符号右下角采用两个角标，其中第一个角标表示内力所属截面，第二个角标表示该截面所在杆的另一端。
MAB 表示 AB 杆 A 端截面的弯矩,MBA 则表示 AB 杆端 B 截面的弯矩。
3.?刚架内力图的画法弯矩图：画在杆件的受拉一侧，不注正、负号。
剪力图：画在杆件的任一侧，但应注明正、负号。
轴力图：画在杆件的任一侧，但应注明正、负号。
剪力的正负号规定：剪力使所在杆件产生顺时针转向为正，反之为负。
轴力的正负号规定：拉力为正、压力为负。
3.3.4 刚架内力图实例分析例1,作出图3-8a所示简支刚架的内力图
图3-8a
图3-8b
图3-8c
图3-8d
解:
(1)求支反力 以整体为脱离体
ΣMA=0FyB=75kN(向上)
ΣMB=0FyA=45kN(向上)?
ΣFX=0FxA=10kN(向左)?
(2)作弯矩图 逐杆分段计算控制截面的弯矩，利用作图规律和叠加法作弯矩图(图3-8b)。
AC杆：MAC=0MCA=40kN?m （右侧受拉）AC杆上无荷载，弯矩图为直线 。
CD杆：MDC=0MCD=20kN?m （左侧受拉）CD杆上无荷载，弯矩图为直线 。
CE杆：MCE=60kN?m（下侧受拉）MEC=0kN?m CE杆上为均布荷载，弯矩图为抛物线 。
利用叠加法求出中点截面弯矩 MCE中=30+60=90 kN?m
(3)作剪力图利用截面法和反力直接计算各杆端剪力。
QCD=10kNQCA=10kNQCE=45kNQEC=-75kNQEB=0kN
剪力图一般为直线,求出杆端剪力后直接画出剪力图。AC杆上无荷载，剪力为常数。CE杆上有均布荷载，剪力图为斜线(图3-8c)。
(4)作轴力图利用平衡条件，求各杆端轴力。
NCA=NAC=-45kN?NEB=NBE=-75kN
各杆上均无切向荷载，轴力均为常数(图3-8d)。
(5)校核
图3-9a
图3-9b
结点C各杆端的弯矩、剪力、轴力，满足平衡条件(图3-9a)：
ΣMC=60-20-40=0
ΣFX=10-10=0
ΣFy=45-45=0
同理，结点E处也满足平衡方程(图3-9b)。
§3-4 静定平面桁架
1.?教学内容和要求本节主要学习静定平面桁架结构的受力特点和结构特点以及桁架结构的内力计算方法——结点法、截面法、联合法。
通过学习，熟练掌握桁架结构计算的方法，能够判断零杆、计算桁架的轴力。
2.?主要内容
1.?桁架的结构特点
2.?结点法(1)
3.?结点法(2)
4.?结点法(3)
5.?结点法(4)
6.?截面法(1)
7.?截面法(2)
8.?联合法
3.?学习指导桁架内力计算中主要是应用平面力系的平衡方程，因此，应正确理解平衡方程的特点和结构的受力特点，最关键的是利用力系的可解条件，从而使问题可解。学习中应注重理解方法特点，多做练习、分析，从而达到灵活应用。
4.?参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P83～P97
3.4.1 静定平面桁架的特点
1.?静定平面桁架：由若干直杆在两端铰接组成的静定结构。
桁架在工程实际中得到广泛的应用，但是，结构力学中的桁架与实际有差别，主要进行了以下简化：
(1)所有结点都是无摩擦的理想铰；
(2)各杆的轴线都是直线并通过铰的中心；
(3)荷载和支座反力都作用在结点上。
2.?桁架的受力特点桁架的杆件都在两端受轴向力，因此，桁架中的所有杆件均为二力杆 。
3.?桁架的分类简单桁架：由一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图3-11a）
联合桁架：由几个简单桁架，按两刚片法则或三刚片法则所组成的几何不变体。（图3-11b）
复杂桁架：不属于前两种的桁架。（图3-11c）
图3-11a
图3-11b
图3-11c
4.桁架内力计算的方法结点法、截面法、联合法。
3.4.2 结点法结点法：截取桁架的一个结点为脱离体计算桁架内力的方法。
结点上的荷载、反力和杆件内力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力系，因此，结点法是利用平面汇交力系求解内力的。
常见的以下几种情况可使计算简化：
图3-12a
图3-12b
图3-12c
图3-13d
1.不共线的两杆结点，当无荷载作用时，则两杆内力为零(图3-12a),F1=F2=0。
2.由三杆构成的结点，有两杆共线且无荷载作用时(图3-12b)，则不共线的第三杆内力必为零，共线的的两杆内力相等，符号相同,F1=F2，F3 =0
3.由四根杆件构成的K型结点，其中两杆共线，另两杆在此直线的同侧且夹角相同（图3-12c），在无荷载作用时，则不共线的两杆内力相等，符号相反，F3=-F4 。
4.由四根杆件构成的X型结点，各杆两两共线（ 图3-13d），在无荷载作用时，则共线的内力相等，且符号相同，F1=F2，F3=F4 。
3.4.3 结点法(2)
利用结点法求解桁架，主要是利用汇交力系求解，每一个结点只能求解两根杆件的内力，因此，结点法最适用于计算简单桁架。
由于静定桁架的自由度为零，即
W = 2j - b = 0
于是：b = 2j。因此，利用j个结点的2j个独立的平衡方程，便可求出全部b个杆件或支杆的未知力。
在建立平衡方程式，一般将斜杆的轴力 F 分解为水 平分力 Fx 和竖向分力 Fy 。此三个力与杆长l及其水平投影 lx 和竖向投影 ly 存在以下关系(图3-13),
图3-13
3.4.4 结点法(3)
实例分析分析时,各个杆件的内力一般先假设为受拉,当计算结果为正时,说明杆件受拉;为负时,杆件受压。
利用结点法最好计算简单桁架，且能够求出全部杆件内力。
例：求出图（3-14a）所示桁架所有杆件的轴力。
图3-14a
图3-14b
图3-14c
图3-14d
图3-14e
解:由于桁架和荷载都是对称的，相应的杆的内力和支座反力也必然是对称的，故计算半个桁架的内力即可。
（1）计算支座反力
V1=V8=10KN
(2)计算各杆内力
由于只有结点1、8处仅包含两个未知力，故从结点1开始计算，逐步依次进行，计算结果如下：
结点1（图3-14b）所示，列平衡方程
由比例关系可得：
?
结点2（图3-14c）所示，列平衡方程
结点3（图3-14d）所示，列平衡方程
再利用比例关系，可求：
（为什么、可考虑结点4）
校核：利用结点5（图3-14e）
讨论：利用零杆判断，可以直接判断出哪几根杆的内力是零？最终只求几根杆即可？
3.4.5 结点法(4)
结点单杆的概念:在同一结点的所有内力为未知的各杆中,除结点单杆外,其余杆件均共线。
单杆结点主要有以下两种情况：
1、结点只包含两个未知力杆，且此二杆不共线，则每杆都是单杆。
2、结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线，则第三杆是单杆。
性质及应用：
1、结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求出。
2、当结点无荷载时，则单杆必为零杆。（内力为零）
3、如果依靠拆除结点单杆的方法可将整个桁架拆完，则此桁架可应用结点法按照每次只解一个未知力的方式求出各杆内力。
3.4.6 截面法(1)
截面法：用适当的截面，截取桁架的一部分（至少包括两个结点）为隔离体，利用平面任意力系的平衡条件进行求解。
截面法最适用于求解指定杆件的内力，隔离体上的未知力一般不超过三个。在计算中，轴力也一般假设为拉力。
为避免联立方程求解，平衡方程要注意选择，每一个平衡方程一般包含一个未知力。另外，有时轴力的计算可直接计算，可以不进行分解。
例题分析：求出图示杆件1、2、3的内力（图3-15a）。
图3-15a
图3-15b
解：
1,求支反力由于对称性可得: FRA = FRB = 30kN
2,将桁架沿1-1截开，选取右半部分为研究对象，截开杆件处用轴力代替（图3-15b），列平衡方程：
问题：左半部分如何？
3,校核：
计算结果无误!
3.4.7 截面法(2)
截面单杆的概念:如果某一截面所截的内力为未知的各杆中,除某一根杆件外,其余各杆都汇交于一点(或平行),此杆称为该截面的单杆.
截面单杆在解决复杂桁架时,往往是解题的关键,要学会分析截面单杆。
截面单杆主要在以下情况中:
1、截面只截断三根杆，此三杆不完全汇交也不完全平行，则每一根杆均是截面单杆（上一例题中的截面所示）。
2、截面所截杆数大于3，除一根杆外，其余杆件均汇交于一点（或平行），则这根杆为截面单杆。
性质：截面单杆的内力可由本截面相应的隔离体的平衡方程直接求出。
（平衡方程的选取：坐标轴与未知力平行、矩心选在未知力的交点处。）
以下几种情况中就是几种截面单杆的例子
图3-16a
图3-16b
图3-16a中的杆2，图3-16b中的杆1、2、3都是截面单杆。
3.4.8 联合法在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力,这时需要将这两种方法进行联合，从而进行解题，解题的关键是从几何构造分析，利用结点单杆、截面单杆，使问题可解。
图3-17所示的桁架中，当求出支反力后，只有A、B两个结点可解，其余各个结点均包含有三个未知杆件，不能利用结点法进行求解，但是，m-m截开后，由三根截面单杆，可利用截面法直接求解，当求出这三根杆件后，其它的结点也就可解，进而求出全部内力。
图3-17
§3-5 组合结构
1.组合结构:由链杆(只受轴力)和粱式杆(受轴力外,还受弯矩作用)组成的结构 (图3-17a、b）
图3-17a
图3-17b
以上两个结构均是组合结构,它们在结点荷载作用下,由二力杆、粱式杆组成。
问题：哪些是粱式杆？哪些是二力杆？
应用截面法时，要区别杆件是粱式杆还是链杆，因为二者的内力不同，粱式杆的内力有：轴力、剪力、弯矩。
学习此部分时应注意几何组成分析和结构特点，充分利用平衡方程的可解条件。
2.图3-18a所示一组合结构,根据分析画出内力图。
图3-18a
弯矩图3-18b
剪力图3-18c
轴力图3-18d
分析：
1.支反力可直接计算（如图）
2.由于AE、CE、BG、CG 不是链杆，A、B 点是不可直接计算。为了求解，根据对称性，取半结构，以 C 为矩心可直接求出 DF 杆内力（图3-18e）。依次求各杆内力，计算方法与以前所讲相同。
图3-18e
讨论:
1.能否以结点B为隔离体求BF、BG杆的内力？
2.如何正确利用平衡方程求解组合结构？
§3-6 求解器的应用一,教学目的能够利用求解器确定截面单杆，
能够利用求解器求解组合结构。
二、主要内容
1,用求解器确定截面单杆
2,用求解器求解组合结构三,参考资料
《结构力学(I)》P127～P133
§3-9 习题
1,教学要求通过练习，掌握本章内容。
做题之前，请先阅读手工求解说明。
2,本节目录手工求解说明
习题(1) (连续梁内力图)
习题(2) (连续梁内力图)
习题(3) (刚架内力图)
习题(4) (刚架内力图)
习题(5) (刚架内力图)
习题(6) (截面法求轴力)
习题(7) (截面法求轴力)
习题(8) (截面法求轴力)
习题(9) (找桁架零杆)
习题(10) (组合结构内力图)
1.?静定结构的概念
从几何构造分析的角度看，结构必须是几何不变体系。根据多余约束 n,几何不变体系又分为：
有多余约束( n > 0)的几何不变体系——超静定结构；
无多余约束( n = 0)的几何不变体系——静定结构。
从求解内力和反力的方法也可以认为：
静定结构：凡只需要利用静力平衡条件就能计算出结构的全部支座反力和杆件内力的结构。
超静定结构：若结构的全部支座反力和杆件内力，不能只有静力平衡条件来确定的结构。
2.?教学目的进一步巩固杆件受力分析和内力分析的特点；
理解多跨静定梁、静定平面刚架、静定桁架的概念；
熟练掌握多跨静定梁、静定平面刚架、静定桁架内力的计算方法，能够画出内力图；
理解截面法、结点法、联合法，熟练求出静定桁架的内力。
3.?主要章节
§3-1 梁的内力计算回顾
§3-2 多跨静定梁
§3-3 静定平面刚架
§3-4 静定平面桁架
§3-5 组合结构
§3-6 求解器的应用
§3-7 小结
§3-8 思考与讨论
§3-9 习题
§3-10 测验
4.?学习指导本章所学内容的基础是以前所学的“隔离体和平衡方程”，但是不能认为已经学过了，就有所放松。其实，在静定结构的静力分析中，虽然基本原理不多，平衡方程只有几种形式，但是其变化是无穷的，因此重要的是知识的应用能力。为了能够熟中生巧，在学习时应多做练习。
5.?参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P57～P137
§3-1 梁的内力计算回顾
一.?教学目的
复习材料力学中的内力概念和计算方法，梁的内力图的画法；
熟练掌握各种荷载作用下的梁的内力图画法；
掌握叠加法画弯矩图。
二.?主要内容
1.?内力的概念和表示
2.?内力的计算方法
3.?内力图与荷载的关系
4.?分段叠加法三.?参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》?P57～P64
各种《材料力学》教材
3.1.1 内力的概念和表示在平面杆件的任意截面上，将内力一般分为三个分量：轴力FN,剪力FQ和弯矩M(图3-1)。
轴力----截面上应力沿轴线方向的合力,轴力以拉力为正。
剪力----截面上应力沿杆轴法线方向的合力,剪力以截开部分顺时针转向为正。
弯矩----截面上应力对截面形心的力矩，在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时弯矩为正。
图3-1
作图时，轴力图、剪力图要注明正负号，弯矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号。
3.1.2 内力的计算方法
梁的内力的计算方法主要采用截面法。截面法可用以下六个字描述：
1.?截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作为隔离体。
2.?代替----用相应内力代替该截面的应力之和。
3.?平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。
利用截面法可得出以下结论：
1.?轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆轴切线方向的投影代数和；
2.?剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和；
3.?弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。
以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用。
3.1.3 内力图与荷载的关系
1.?弯矩、剪力与荷载的微分关系对于分布荷载?q?，则分布区域内的剪力?FQ?对长度的一阶导数为?q?，弯矩对长度的一阶导数等于剪力。
2.?内力图与荷载的关系无荷载的区段弯矩图为直线，剪力图为平行于轴线的直线。
有均布荷载的区段，弯矩图为曲线，曲线的图像与均布荷载的指向一致，剪力图为一直线。
在集中力作用处，剪力在截面的左、右侧面有增量，增值为集中力的大小，弯矩图则出现尖角。
在集中力偶作用处,弯矩在截面的左、右侧面有增量，增值为集中力偶矩的大小，剪力不发生变化。
3.1.4 分段叠加法画弯矩图
1.叠加原理几个力对杆件的作用效果，等于每一个力单独作用效果的总和。
利用叠加原理，可做出以下梁的弯矩图（如下图3-1演示过程）:
||
||
+
+
图3-1
2.分段叠加原理上述叠加法同样可用于绘制结构中任意直杆段的弯矩图。
图3-2a为一简支梁,AB 段的弯矩可以用叠加法进行计算，计算过程可用图3-2a～3-2d表示。
图3-2a
图3-2b
图3-2c
图3-2d
其过程为：先求出直线段两端截面上的弯矩 MA 和 MB,画出直线的弯矩 M1。在此基础上，叠加相应简支梁 AB 在跨间荷载作用下的弯矩M0 。
利用分段叠加法求弯矩可用如下公式：
AB段中点的弯矩值:
§3-2 多跨静定梁
1.?教学目的理解多跨静定梁结构的分析方法和受力特点；
理解层次图的概念，能够绘制各种荷载作用下的内力图。
2.?主要内容
1.?多跨静定梁的受力特点
2.?多跨静定梁的实例分析
3.?学习方法充分利用材料力学课程中所学的知识，以及绘制内力图的方法，多做练习和测验，不断提高分析问题解决问题的能力。
4.?参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P64～P68
3.2.1 多跨静定梁的受力特点
1,多跨静定连续梁的实例现实生活中，一些梁是由几根短梁用榫接相连而成，在力学中可以将榫接简化成铰约束,这样由几个单跨梁组成的几何不变体，称作为多跨静定连续梁。图（3-3a）为简化的多跨静定连续梁。
图3-3
2,多跨静定连续梁的受力特点和结构特点
结构特点：图中?AB?依靠自身就能保持其几何不变性的部分称为基本部分，如图中 AB ；而必须依靠基本部分才能维持其几何不变性的部分称为附属部分，如图中 CD。
受力特点：作用在基本部分的力不影响附属部分，作用在附属部分的力反过来影响基本部分。因此，多跨静定梁的解题顺序为先附属部分后基本部分。为了更好地分析梁的受力，往往先画出能够表示多跨静定梁各个部分相互依赖关系的层次图（图3-3b）。
因此,计算多跨静定梁时,应遵守以下原则:先计算附属部分后计算基本部分。将附属部分的支座反力反向指向，作用在基本部分上，把多跨梁拆成多个单跨梁，依次解决。将单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。弯矩图和剪力图的画法同单跨梁相同。
3.2.2 多跨静定梁的实例分析画出图(3-4a)所示多跨梁的的弯矩图和剪力。
图?3-4a
解:
(1)结构分析和绘层次图此梁的组成顺序为先固定梁?AB?,再固定梁?BD?,最后固定梁?DE?。由此得到层次图（图3-4b）。
(2)计算各单跨梁的支座反力计算是根据层次图，将梁拆成单跨梁（图3-4c）进行计算，以先附属部分后基本部分，按顺序依次进行，求得各个单跨亮的支反力。
(3)画弯矩图和剪力图根据各梁的荷载和支座反力，依照弯矩图和剪力图的作图规律，分别画出各个梁的弯矩图及剪力图，再连成一体，即得到相应的弯矩图和剪力图（图3-4d、e）
图?3-4b、c
图?3-4d
图?3-4e
§3-3 静定平面刚架
1.?教学内容和要求刚架结构建是建筑结构中常见的一种结构。本节主要学习常见的刚架结构的反力、内力计算以及刚架结构的内力图的画法。
通过本节的学习，了解刚架的特点和特征，熟练地求解反力和内力，能够利用各种方法绘出刚架结构的内力图。
2.?主要内容
1.?平面刚架的概念
2.?刚架的支座反力
3.?刚架内力图
4.?实例分析
3.?学习指导刚架结构的重要特点是结构中具有刚结点，因此，内力图画法中关键要利用刚结点处内力平衡。叠加法也是常用的方法。
学习的关键是多做题、多分析，最终能够灵活掌握刚架结构的内力图画法。
4.?参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P68～P79
.3.1 刚架的特点和分类刚架：由直杆组成具有刚结点的结构。
当组成刚架的各杆的轴线和外力都在同一平面时，称作平面刚架。
如图3-5a所示为一平面刚架
图3-5a
图3-5b
图3-5c
当B、C处为铰结点时为几何可变体（图3-5b），要是结构为几何不变体，则需增加杆AC（图3-5c）或把B、C变为刚结点。
刚架的特点:
1.?杆件少，内部空间大，便于利用。
2.?刚结点处各杆不能发生相对转动，因而各杆件的夹角始终保持不变。
3.?刚结点处可以承受和传递弯矩，因而在刚架中弯矩是主要内力。
4.?刚架中的各杆通常情况下为直杆，制作加工较方便。
正是以上特点，刚架在工程中得到广泛的应用。
静定平面刚架的类型有：
1.?悬臂刚架：常用于火车站站台（图3-6a）、雨棚等。
2.?简支刚架：常用于起重机的刚支架及渡槽横向计算所取的简图等（图3-6b）；
3.?三铰刚架：常用于小型厂房、仓库、食堂等结构（图3-6c）。
图3-6a
图3-6b
图3-6c
3.3.2 刚架的支座反力刚架结构常见的有：悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架和复杂刚架。悬臂刚架、简支刚架的支反力可利用平衡方程直接求出。
以下以三铰刚架来分析刚架支座反力的求法。
三铰刚架的支座反力的求法主要是充分利用平衡条件来进行计算，分析时经常采用先整体后拆开的方法。
三铰刚架一般由两部分组成(如图所示),整体共有四个约束反力:FxA、FyA、FxB,FyB(图3-7b)。整体有三个平衡方程，为了求解还应拆开考虑，取半部分作为研究对象，利用铰结点的弯矩为零，就可以全部求解。
图3-7a
图3-7b
1.?利用两个整体平衡方程求FYA、FYB
2.?利用铰C处弯矩等于零的平衡方程求FxA
取左半部分：
3.?利用整体的第三个平衡方程求FxB
3.3.3 刚架内力图
1.?刚架的内力计算刚架中的杆件多为粱式杆，杆截面中同时存在弯矩、剪力和轴力。计算的方法与粱完全相同。只需将刚架的每一根杆看作是粱，逐杆用截面法计算控制截面的内力。
计算时应注意：
(1)内力的正负号
(2)结点处有不同的杆端截面
(3)正确选取隔离体
(4)结点处平衡
2.?刚架中杆端内力的表示由于刚架的内力的正负号与粱基本相同。为了明确各截面内力，特别是区别相交于同一结点的不同杆端截面的内力，在内力符号右下角采用两个角标，其中第一个角标表示内力所属截面，第二个角标表示该截面所在杆的另一端。
MAB 表示 AB 杆 A 端截面的弯矩,MBA 则表示 AB 杆端 B 截面的弯矩。
3.?刚架内力图的画法弯矩图：画在杆件的受拉一侧，不注正、负号。
剪力图：画在杆件的任一侧，但应注明正、负号。
轴力图：画在杆件的任一侧，但应注明正、负号。
剪力的正负号规定：剪力使所在杆件产生顺时针转向为正，反之为负。
轴力的正负号规定：拉力为正、压力为负。
3.3.4 刚架内力图实例分析例1,作出图3-8a所示简支刚架的内力图
图3-8a
图3-8b
图3-8c
图3-8d
解:
(1)求支反力 以整体为脱离体
ΣMA=0FyB=75kN(向上)
ΣMB=0FyA=45kN(向上)?
ΣFX=0FxA=10kN(向左)?
(2)作弯矩图 逐杆分段计算控制截面的弯矩，利用作图规律和叠加法作弯矩图(图3-8b)。
AC杆：MAC=0MCA=40kN?m （右侧受拉）AC杆上无荷载，弯矩图为直线 。
CD杆：MDC=0MCD=20kN?m （左侧受拉）CD杆上无荷载，弯矩图为直线 。
CE杆：MCE=60kN?m（下侧受拉）MEC=0kN?m CE杆上为均布荷载，弯矩图为抛物线 。
利用叠加法求出中点截面弯矩 MCE中=30+60=90 kN?m
(3)作剪力图利用截面法和反力直接计算各杆端剪力。
QCD=10kNQCA=10kNQCE=45kNQEC=-75kNQEB=0kN
剪力图一般为直线,求出杆端剪力后直接画出剪力图。AC杆上无荷载，剪力为常数。CE杆上有均布荷载，剪力图为斜线(图3-8c)。
(4)作轴力图利用平衡条件，求各杆端轴力。
NCA=NAC=-45kN?NEB=NBE=-75kN
各杆上均无切向荷载，轴力均为常数(图3-8d)。
(5)校核
图3-9a
图3-9b
结点C各杆端的弯矩、剪力、轴力，满足平衡条件(图3-9a)：
ΣMC=60-20-40=0
ΣFX=10-10=0
ΣFy=45-45=0
同理，结点E处也满足平衡方程(图3-9b)。
§3-4 静定平面桁架
1.?教学内容和要求本节主要学习静定平面桁架结构的受力特点和结构特点以及桁架结构的内力计算方法——结点法、截面法、联合法。
通过学习，熟练掌握桁架结构计算的方法，能够判断零杆、计算桁架的轴力。
2.?主要内容
1.?桁架的结构特点
2.?结点法(1)
3.?结点法(2)
4.?结点法(3)
5.?结点法(4)
6.?截面法(1)
7.?截面法(2)
8.?联合法
3.?学习指导桁架内力计算中主要是应用平面力系的平衡方程，因此，应正确理解平衡方程的特点和结构的受力特点，最关键的是利用力系的可解条件，从而使问题可解。学习中应注重理解方法特点，多做练习、分析，从而达到灵活应用。
4.?参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P83～P97
3.4.1 静定平面桁架的特点
1.?静定平面桁架：由若干直杆在两端铰接组成的静定结构。
桁架在工程实际中得到广泛的应用，但是，结构力学中的桁架与实际有差别，主要进行了以下简化：
(1)所有结点都是无摩擦的理想铰；
(2)各杆的轴线都是直线并通过铰的中心；
(3)荷载和支座反力都作用在结点上。
2.?桁架的受力特点桁架的杆件都在两端受轴向力，因此，桁架中的所有杆件均为二力杆 。
3.?桁架的分类简单桁架：由一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图3-11a）
联合桁架：由几个简单桁架，按两刚片法则或三刚片法则所组成的几何不变体。（图3-11b）
复杂桁架：不属于前两种的桁架。（图3-11c）
图3-11a
图3-11b
图3-11c
4.桁架内力计算的方法结点法、截面法、联合法。
3.4.2 结点法结点法：截取桁架的一个结点为脱离体计算桁架内力的方法。
结点上的荷载、反力和杆件内力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力系，因此，结点法是利用平面汇交力系求解内力的。
常见的以下几种情况可使计算简化：
图3-12a
图3-12b
图3-12c
图3-13d
1.不共线的两杆结点，当无荷载作用时，则两杆内力为零(图3-12a),F1=F2=0。
2.由三杆构成的结点，有两杆共线且无荷载作用时(图3-12b)，则不共线的第三杆内力必为零，共线的的两杆内力相等，符号相同,F1=F2，F3 =0
3.由四根杆件构成的K型结点，其中两杆共线，另两杆在此直线的同侧且夹角相同（图3-12c），在无荷载作用时，则不共线的两杆内力相等，符号相反，F3=-F4 。
4.由四根杆件构成的X型结点，各杆两两共线（ 图3-13d），在无荷载作用时，则共线的内力相等，且符号相同，F1=F2，F3=F4 。
3.4.3 结点法(2)
利用结点法求解桁架，主要是利用汇交力系求解，每一个结点只能求解两根杆件的内力，因此，结点法最适用于计算简单桁架。
由于静定桁架的自由度为零，即
W = 2j - b = 0
于是：b = 2j。因此，利用j个结点的2j个独立的平衡方程，便可求出全部b个杆件或支杆的未知力。
在建立平衡方程式，一般将斜杆的轴力 F 分解为水 平分力 Fx 和竖向分力 Fy 。此三个力与杆长l及其水平投影 lx 和竖向投影 ly 存在以下关系(图3-13),
图3-13
3.4.4 结点法(3)
实例分析分析时,各个杆件的内力一般先假设为受拉,当计算结果为正时,说明杆件受拉;为负时,杆件受压。
利用结点法最好计算简单桁架，且能够求出全部杆件内力。
例：求出图（3-14a）所示桁架所有杆件的轴力。
图3-14a
图3-14b
图3-14c
图3-14d
图3-14e
解:由于桁架和荷载都是对称的，相应的杆的内力和支座反力也必然是对称的，故计算半个桁架的内力即可。
（1）计算支座反力
V1=V8=10KN
(2)计算各杆内力
由于只有结点1、8处仅包含两个未知力，故从结点1开始计算，逐步依次进行，计算结果如下：
结点1（图3-14b）所示，列平衡方程
由比例关系可得：
?
结点2（图3-14c）所示，列平衡方程
结点3（图3-14d）所示，列平衡方程
再利用比例关系，可求：
（为什么、可考虑结点4）
校核：利用结点5（图3-14e）
讨论：利用零杆判断，可以直接判断出哪几根杆的内力是零？最终只求几根杆即可？
3.4.5 结点法(4)
结点单杆的概念:在同一结点的所有内力为未知的各杆中,除结点单杆外,其余杆件均共线。
单杆结点主要有以下两种情况：
1、结点只包含两个未知力杆，且此二杆不共线，则每杆都是单杆。
2、结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线，则第三杆是单杆。
性质及应用：
1、结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求出。
2、当结点无荷载时，则单杆必为零杆。（内力为零）
3、如果依靠拆除结点单杆的方法可将整个桁架拆完，则此桁架可应用结点法按照每次只解一个未知力的方式求出各杆内力。
3.4.6 截面法(1)
截面法：用适当的截面，截取桁架的一部分（至少包括两个结点）为隔离体，利用平面任意力系的平衡条件进行求解。
截面法最适用于求解指定杆件的内力，隔离体上的未知力一般不超过三个。在计算中，轴力也一般假设为拉力。
为避免联立方程求解，平衡方程要注意选择，每一个平衡方程一般包含一个未知力。另外，有时轴力的计算可直接计算，可以不进行分解。
例题分析：求出图示杆件1、2、3的内力（图3-15a）。
图3-15a
图3-15b
解：
1,求支反力由于对称性可得: FRA = FRB = 30kN
2,将桁架沿1-1截开，选取右半部分为研究对象，截开杆件处用轴力代替（图3-15b），列平衡方程：
问题：左半部分如何？
3,校核：
计算结果无误!
3.4.7 截面法(2)
截面单杆的概念:如果某一截面所截的内力为未知的各杆中,除某一根杆件外,其余各杆都汇交于一点(或平行),此杆称为该截面的单杆.
截面单杆在解决复杂桁架时,往往是解题的关键,要学会分析截面单杆。
截面单杆主要在以下情况中:
1、截面只截断三根杆，此三杆不完全汇交也不完全平行，则每一根杆均是截面单杆（上一例题中的截面所示）。
2、截面所截杆数大于3，除一根杆外，其余杆件均汇交于一点（或平行），则这根杆为截面单杆。
性质：截面单杆的内力可由本截面相应的隔离体的平衡方程直接求出。
（平衡方程的选取：坐标轴与未知力平行、矩心选在未知力的交点处。）
以下几种情况中就是几种截面单杆的例子
图3-16a
图3-16b
图3-16a中的杆2，图3-16b中的杆1、2、3都是截面单杆。
3.4.8 联合法在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力,这时需要将这两种方法进行联合，从而进行解题，解题的关键是从几何构造分析，利用结点单杆、截面单杆，使问题可解。
图3-17所示的桁架中，当求出支反力后，只有A、B两个结点可解，其余各个结点均包含有三个未知杆件，不能利用结点法进行求解，但是，m-m截开后，由三根截面单杆，可利用截面法直接求解，当求出这三根杆件后，其它的结点也就可解，进而求出全部内力。
图3-17
§3-5 组合结构
1.组合结构:由链杆(只受轴力)和粱式杆(受轴力外,还受弯矩作用)组成的结构 (图3-17a、b）
图3-17a
图3-17b
以上两个结构均是组合结构,它们在结点荷载作用下,由二力杆、粱式杆组成。
问题：哪些是粱式杆？哪些是二力杆？
应用截面法时，要区别杆件是粱式杆还是链杆，因为二者的内力不同，粱式杆的内力有：轴力、剪力、弯矩。
学习此部分时应注意几何组成分析和结构特点，充分利用平衡方程的可解条件。
2.图3-18a所示一组合结构,根据分析画出内力图。
图3-18a
弯矩图3-18b
剪力图3-18c
轴力图3-18d
分析：
1.支反力可直接计算（如图）
2.由于AE、CE、BG、CG 不是链杆，A、B 点是不可直接计算。为了求解，根据对称性，取半结构，以 C 为矩心可直接求出 DF 杆内力（图3-18e）。依次求各杆内力，计算方法与以前所讲相同。
图3-18e
讨论:
1.能否以结点B为隔离体求BF、BG杆的内力？
2.如何正确利用平衡方程求解组合结构？
§3-6 求解器的应用一,教学目的能够利用求解器确定截面单杆，
能够利用求解器求解组合结构。
二、主要内容
1,用求解器确定截面单杆
2,用求解器求解组合结构三,参考资料
《结构力学(I)》P127～P133
§3-9 习题
1,教学要求通过练习，掌握本章内容。
做题之前，请先阅读手工求解说明。
2,本节目录手工求解说明
习题(1) (连续梁内力图)
习题(2) (连续梁内力图)
习题(3) (刚架内力图)
习题(4) (刚架内力图)
习题(5) (刚架内力图)
习题(6) (截面法求轴力)
习题(7) (截面法求轴力)
习题(8) (截面法求轴力)
习题(9) (找桁架零杆)
习题(10) (组合结构内力图)
