第七章 力法一,教学目的正确的判断静定结构和超静定结构;
理解力法方程的物理意义;
掌握力法的基本概念及解题步骤;
能够应用力法求解超静定粱、刚架、排架、桁架在荷载作用下的内力;
了解温度变化时的内力计算。
二,主要章节
§7-1 超静定结构的组成和超静定次数
§7-2 力法的基本概念
§7-3 超静定刚架和排架
§7-4 超静定桁架和组合结构
§7-5 对称结构的计算
§7-6 支座移动和温度改变时的计算
§7-7 用求解器进行力法计算
§7-8 小结
§7-9 思考与讨论
§7-10 习题
§7-11 测验三,学习指导力法计算超静定结构主要是利用静定结构内力计算和位移计算来解决超静定结构的内力计算，因此静定结构的内力计算和位移计算是本章的基础；由于力法的计算量较大，本章的学习重点应是力法的基本方程的理解和应用，主要是不超过三次超静定结构。
四,参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P315～P384
§7-1 超静定结构的组成和超静定次数一,教学目的正确理解超静定结构的概念和超静定的次数;
能够正确确定超静定结构的次数。
二,主要内容
1,超静定结构的组成
2,超静定次数三,学习指导正确理解超静定结构的含义，理解超静定结构的几何特征和静力特征，可以为今后的学习打下一个基础。
四,参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P315～P318
7.1.1 超静定结构的组成
静定结构:结构的反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定(图7-1a)。
超静定结构:结构的反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一的加以确定(图7-1b)。
图7-1
从几何组成分析中可知：静定结构和超静定结构都是几何不变体体系，而静定结构没有多余的约束，超静定结构存在多余约束，将图7-1b中支座C去掉结构仍为几何不变体系(图7-1C)。
结论：
满足平衡方程的内力解不唯一，几何上有多余约束，这就是超静定结构区别于静定结构的基本特点。
超静定次数
7.1.2 超静定次数超静定次数：超静定结构中多余约束的个数；也可以认为多余未知力的数目。
将超静定结构中多余约束去掉，可变为相应的静定结构，则去掉多余约束的个数 n 即为原结构的超静定次数。
结构去掉多余约束的方式有以下几种：
1.去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束(图7-2)。
2.去掉一个固定铰支座或撤去一个单铰，等于去掉两个约束。
3.将刚性连接改为单铰，相当于去掉一个约束(图7-3)。
4.去掉一个固定端或切断一个粱式杆，等于去掉三个约束(图7-4)。
图7-2
图7-3
图7-4
对于一个超静定结构，去掉多余约束的方式可能有几种，但必须注意：
去掉多余约束后，一般应是几何不变的、静定的结构；。
图7-2a、图7-3a、图7-4a结构的超静定次数分别为1、1、3。
§7-2 力法的基本概念
一,教学目的正确理解力法的基本原理和思路、力法方程的物理含义，掌握力法的基本解题过程，能够利用力法求解简单的超静定结构。
二,主要内容
1,基本思路(1)?
2,基本思路(2)
3,基本思路(3)
4,基本思路(4)
2,超静定结构的计算(1)
2,超静定结构的计算(2)
三,学习指导本节内容是通过简单的实例揭示力法的基本原理，对于今后的学习力法是一个基础，学习的关键是对力法原理的理解和应用，一定要正确理解力法方程的物理意义，才能最终达到融会贯通的目的。
四,参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P318～P323
7.2.1 基本思路(1)
力法是计算超静定结构的最基本方法。
力法的基本思路是把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。
下面结合实例说明力法的基本思路和原理图7-5a为一次超静定结构，如果撤去 B 处的支座链杆并用未知力 X1 代替变成了图7-5b所示的静定结构，这样就得到了含有多余未知力的静定结构，此结构称为力法的基本体系（基本体系并不唯一）。相应的把原超静定结构中多余约束和荷载都去掉后得到的静定结构称为力法的基本结构图7-5c。
图7-5
这样通过把多余约束去掉用多余未知力来代替，将超静定结构变为静定结构，解题的关键就是多余未知力的求解问题，这也是力法的第一个特点：
把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键，把多余未知力当作关键地位的未知力----力法的基本未知量下面将讨论如何建立力法方程来求解基本未知量继续
7.2.2 基本思路(2)
为了求解多余的未知力，显然静力平衡方程式不能够求解，必须建立新的方程。
图7-5
下面将通过对原结构和基本体系进行受力和变形对比，从而建立力法方程。
从受力上看，当基本未知量 X1 为任意有限值时,基本体系和原结构都满足的平衡方程。
从变形上看，原结构由于支座 B 的支承，因此，不会发生竖向位移。而基本体系 B 处的竖向位移与基本未知量 X1 有关，只有当基本未知量 X1 为某一值时，基本体系 B 处的竖向位移Δ1 恰好等于零，即不发生竖向位移，这时基本体系的变形也与原结构的变形相同。于是，可以根据Δ1 =0的条件来确定基本未知量 X1 的大小，所求的 X1 就是原结构多余约束的反力 。
归纳起来力法的基本思路就是：
第一步：去掉原结构的多余约束，代之以多余未知力，得到静定的基本体系。
第二步：基本体系和原结构的变形相同，特别是基本体系上与多余未知力相应的位移与原超静定结构上多余约束处的位移条件一致，这是确定多余未知力大小的依据。一般情况下，当原结构上在多余约束处没有支座位移时，则基本体系应满足的变形条件是：与多余未知力相应的位移为零。
下面按照以上思路具体求解图7-5a所示的超静定结构。
7.2.3 基本思路(3)
图7-6
根据以上分析图7-5b所示的基本体系应满足的变形条件是：沿多余未知力 X1 方向的位移Δ1 为零，即
Δ1 =0
利用叠加原理计算基本体系的位移Δ1 并用基本未知量表示。
图7-6a 为基本体系在荷载和多余未知力 X1 共同作用，图 (b)、(c) 则分别是两者单独作用的状态，图 (d)、(e)、(f) 则是相应的变形图。
利用叠加原理，上述变形条件可表述为：
Δ1 = Δ1P + Δ11=0
这里Δ1 是基本体系上多余未知力 X1 方向的位移(图7-6d)，Δ1P 是基本结构在实际荷载作用下沿多余未知力 X1 方向的位移(图7-6e),Δ11 是基本结构在多余未知力 X1 单独作用下沿多余未知力 X1 方向的位移(图7-6f)，位移与多余未知力方向一致时为正。
由于位移Δ11与多余未知力 X1 成正比,可以写成
Δ11=δ11X1
δ11表示单位未知力X1 =1的作用，使基本结构在多余未知力 X1 方向产生的位移，于是变形条件可写成
δ11X1 + Δ1P =0
这个方程叫作力法典型方程，它体现了是基本体系恢复到原超静定结构的转化条件。式中的系数由单位荷载法进行计算。
下面将具体进行计算
7.2.4 基本思路(4)
图7-6
根据分析确定了力法典型方程：δ11X1 + Δ1P =0
为了计算δ11,Δ1P,做基本结构在荷载作用下的荷载弯矩MP (图7-7b)和单位未知力X1 =1的作用下的单位弯矩图M1 (图7-7c)。
图7-7
应用图乘法得到
代入力法方程
多余未知力求出后,利用平衡条件求原结构的内力计算结果如图7-7a，弯矩图也可以应用叠加公式计算:
力法的基本思路：将超静定结构的计算转化为静定结构的计算，首先选择基本结构和基本体系，然后利用基本体系与原结构之间在多余约束方向的位移一致性和变形叠加列出力法典型方程，最后求出多余未知力和原结构的内力。
下面讨论一般情况下的力法典型方程
7.2.5 多次超静定结构的计算(1)
图7-8为一个二次超静定结构，如图选择基本体系和基本结构。
图7-8
利用原结构与基本体系的在结点 C 沿 X1 和 X2 方向的位移相同的条件
这里Δ1 和Δ2 分别是基本体系沿X1 和 X2 方向的位移。
图7-9
下面应用叠加原理把变形条件展开,分别计算荷载、X1=1 和 X2=1 单独作用时在X1 和 X2 方向的位移,如图7-9。
位移的表示采用双下标，第一个下标表示位移的位置和方向，第二个下标表示产生的原因。
于是可得：
变形条件即为
这也是两次超静定结构的力法基本方程。
多余未知力求出后，利用叠加原理可绘制弯矩图，具体计算为
下面讨论 n 次超静定的情形。
7.2.6 多次超静定结构的计算(2)
若结构为 n 次超静定，则与 n 个多余约束相对应，基本体系上就有 n 个多余的未知力X1、X2、X3,....,Xn，则力法典型方程为
根据位移互等定理：δij=δji
δij表示单位力Xj =1在基本结构沿Xi 方向产生的位移，ΔiP 表示在基本结构实际荷载沿Xi 方向产生的位移。δij又称为柔度系数。
将方程的柔度系数写成矩阵形式：
这个矩阵称为柔度矩阵，其中，主对角线上的系数为主系数，主系数都为正值，根据位移互等定理，柔度矩阵为一对角矩阵。
解力法方程求出多余的未知力，然后应用叠加法计算超静定的内力。
§7-3 超静定刚架和排架
一,教学目的通过实例分析,掌握力法的基本方法,能够应用力法求解超静定刚架和排架。
二,主要内容
1,力法的基本解题步骤
2,应用力法求解刚架三,学习指导本节内容是通过实例进一步揭示力法的基本原理，主要是通过例题的分析，掌握力法的应用,主要应掌握一次和二次超静定结构。
四,参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P325～P331
7.3.1 力法的基本解题思路根据力法的基本原理和思路，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：
1,选择基本体系确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并用相应的约束反力来代替。
2,建立力法方程利用基本体系与原结构在相应约束处的变形条件，建力力法典型方程。
3,计算系数和自由项
4,求多余的未知力
5,作内力图按静定结构，用平衡条件或叠加原理计算结构特殊截面的内力，然后画出内力图。
下面一刚架为例进行说明
7.3.2 应用力法求解刚架图7-10a 为一超静定刚架，试作出结构的内力图，EI 为常数。
原结构
基本体系
MP图
M1图
弯矩图
弯矩图
图7-10
1,选择基本体系（图7-10b）
2,建立力法方程基本体系应满足B 点无水平位移的变形条件。力法方程为
δ11X1 + Δ1P =0
3,计算系数和自由项分别画出实际荷载及单位未知力X1 =1的作用的弯矩图（图7-10c、d），利用图乘法计算系数。
4,求多余的未知力
5,作内力图（图7-10e）
讨论：图7-10f 是当粱和柱的抗弯刚度发生变化时，超静定的弯矩图，为什么两个弯矩图不相同？
§7-4 超静定桁架和组合结构
超静定桁架和组合结构的计算与刚架和粱结构的方法相同，所不同的是，桁架是链杆体系，计算力法方程的系数和自由项时，只考虑轴力的影响。组合结构中既有链杆也由粱式杆，计算系数时，链杆只考虑轴力的影响，而粱式杆则只考虑弯矩的影响。
图7-11a为一次超静定的组合结构，AD 粱式杆 EI =10000kNm2,所有的链杆 EA =100000kN，求所示荷载作用下的内力。
图7-11a
图7-11b
图7-11c
图7-11d
图7-11e
1,选择基本体系切断多余链杆 CD,在切口处用未知力X1 代替（图7-11b）
2,建立力法方程
δ11X1 + Δ1P =0
3,计算系数和自由项分别画出荷载和单位未知力的内力图（图7-11c、d、e）
4,求多余的未知力
x1=-5.55
5,作内力图按静定结构，用平衡条件或叠加原理计算结构特殊截面的内力，然后画出内力图(图7-11f、g）。
图7-11f
图7-11g
§7-5 对称结构的计算一,教学目的正确理解对称结构的概念，能够应用对称结构的特点求解对称荷载和反对称荷载作用的各种刚架。
二,主要内容
1,对称结构的概念
2,对称结构对称荷载的作用
3,对称结构反对称荷载的作用
4,一般情形三,学习指导对称结构是结构力学中的一种重要的结构形式，利用结构的对称性可以使问题简化，减少计算量。
四,参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P336～P342
7.5.1 对称结构的概念在工程中有很多对称结构，结构力学中应满足以下两方面条件：
1,结构的几何形状、支承情况关于某条直线对称(此条直线称为对称轴)；
2,杆件截面和材料性质,即刚度,也关于此条直线对称。
对称荷载：沿对称轴对折，两部分上的荷载重合(图7-12a)。
反对称荷载：沿对称轴对折，两部分上的荷载作用点重合，方向相反(图7-12b)。
对称结构对称荷载
对称结构反对称荷载
图7-12
根据力法原理,计算超静定结构的关键是选择基本体系，对于对称结构应选择对称的基本体系，并取对称力或反对称力作为多余未知力。
下面按对称结构对称荷载和对称结构反对称荷载进行讨论。
7.5.2 对称结构对称荷载的计算
原结构
基本体系
图7-13
图7-13a 所示一对称结构对称荷载，选择图7-13b 所示的基本体系（为什么）。
变形条件为：
力法方程为:
单位未知力为1时的弯矩图为图7-13c、图7-13d、图7-13e，图7-13f为荷载弯矩图，其中M1图为反对称，M2图、M3图、荷载弯矩图为对称。于是有
Δ1p=0
方程可简化为
可用下图代替基本体系
图7-14
7.5.3 对称结构反对称荷载的计算
图7-15a为一对称结构反对称荷载，选择图7-15b 所示的基本体系。
图7-15
应用对称荷载的结论，
Δ3p=Δ2p=0
可以得到： X1=0,X2=0
图7-15d为单位未知力的弯矩图，图7-15c为荷载弯矩图，其中M1图、荷载弯矩图为反对称。于是方程可简化为
δ11X1 + Δ1P =0
下面将进行总结
7.5.4 一般情况
小结,
利用对称性可以进行计算的简化，主要是：
选择对称的基本结构，选用对称力或反对称力作为基本未知量。
在对称荷载作用下，只考虑对称未知力。
在反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力。
一般情况：
对于非对称荷载可分解为对称和反对称荷载进行计算。
解题的方法同前面描述完全相同，例题的分析将省略。
另外还可以采用半结构法进行计算，此部分将在以后进行分析。
§7-6 支座移动和温度改变时的计算
一,教学目的理解支座移动和温度变化时超静定结构计算的特点，能够计算温度变化和支座移动时超静定结构的内力。
二,主要内容
1,支座移动时的计算
2,温度变化时的计算三,学习指导超静定结构的一个重要特点是：当支座移动和温度变化时，虽然没有荷载的作用,但是也能产生内力，这种内力称为自内力。
用力法计算自内力时，计算步骤与荷载作用的情形基本相同，这里讨论和学习其不同之处，主要有：力法方程的自由项是由支座移动或温度变化产生的；力法方程中等号右侧可能不为零，应等于原结构上多余未知力的相应的位移。
支座移动和温度变化时超静定结构计算的关键是正确理解力法方程的物理意义，合理的选择基本体系，同时注意自由项的计算。
四,参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P364～P371
7.6.1 支座移动时的计算
原结构
基本体系
图7-16
如图7-16a 所示的等截面粱，右端支座下沉为 a，试分析自内力。
选择如图7-16b为基本体系，
原结构在多余未知力方向的实际位移为
Δ1 =-a
列力法方程：
δ11X1 =-a
计算系数可应用图7-16c
代入力法方程并计算多余未知力
可得如图7-16d 所示的弯矩图。
讨论：如果选择简支粱为基本体系力法方程将如何建立。
下面讨论温度变化的情形
7.6.2 温度变化时的计算图7-17a 为一次超静定结构，跨度4m,截面尺寸、温度变化如图，试计算自内力。
?
原结构
基本体系
图7-17
选择如图7-17b 所示基本体系，
列力法方程：
计算系数可应用图7-17c
代入方程并计算多余未知力
可得如图7-17d 所示的弯矩图。
§7-7 用求解器进行力法计算
利用求解器可以求解一般平面超静定结构的位移和内力。
在利用求解器求解超静定结构的内力和位移时，只要输入一超静定结构，同时由于超静定结构的内力与刚度有关，故应输入各个杆件的材料性质(EI,EA)，然后可直接应用求解器中的命令进行计算。
当然利用求解器也可以练习力法，具体做法是：
1.输入一超静定结构（手工输入）。
2.根据情况选择一基本体系，基本体系可以是静定结构，也可以是超静定结构（手工输入基本体系）。
3.列力法方程（手工列方程）。
4.利用求解器计算位移的功能，计算各项系数（求解器自动计算）。
5.求出多余未知力（收手工计算）。
思考：为什么基本体系可以选择超静定结构？
§7-8 小结力法是以多余约束力作为基本未知量解超静定结构的方法，主要应掌握力法的基本原理，了解力法的基本未知量、力法的基本体系和力法方程这三个环节，力法是利用以学过的静定结构的内力计算和位移计算来解决新的超静定结构的内力、位移计算问题。
力法的典型方程是以基本体系与原结构在多余约束处位移的关系建立的。
力法解题的基本步骤是：
1.选取基本体系，确定超静定次数，去掉多余的约束用未知力代替，所得的在荷载和多余未知力共同作用下的静定结构。基本体系一定是几何不变体。
2.建立力法典型方程，利用基本体系在解除约束处的位移与原结构一致的条件建立力法方程
3.计算系数和自由项，利用计算位移的方法计算各项系数。
4.求多余的未知力。
5.利用静力方法或叠加法画内力图。
为了计算简化，要善于利用对称性，选取适当的基本体系。
§7-9 思考与讨论
1.什么是力法的基本体系和基本结构以及基本未知量？如何选取基本体系？
2.力法方程的物理意义是什么？方程中的系数和自由项的物理意义是什么？
3.没有荷载就没有内力，这个结论在什么情况下成立？在什么情况下不成立？
4.简述用力法解超静定结构的步骤。
5.为什么力法方程中的主系数都为正数？
6.为什么静定结构的内力与结构的刚度无关，而超静定结构的内力与刚度有关？
7.力法典型方程的右端是否一定为零？
8.如何利用对称性使问题的计算得以简化？
9.计算超静定结构时，考虑支座移动的影响与考虑荷载作用的影响，两者有何异同？
10.当支座移动时，如何选择基本体系使力法方程得以简化？
理解力法方程的物理意义;
掌握力法的基本概念及解题步骤;
能够应用力法求解超静定粱、刚架、排架、桁架在荷载作用下的内力;
了解温度变化时的内力计算。
二,主要章节
§7-1 超静定结构的组成和超静定次数
§7-2 力法的基本概念
§7-3 超静定刚架和排架
§7-4 超静定桁架和组合结构
§7-5 对称结构的计算
§7-6 支座移动和温度改变时的计算
§7-7 用求解器进行力法计算
§7-8 小结
§7-9 思考与讨论
§7-10 习题
§7-11 测验三,学习指导力法计算超静定结构主要是利用静定结构内力计算和位移计算来解决超静定结构的内力计算，因此静定结构的内力计算和位移计算是本章的基础；由于力法的计算量较大，本章的学习重点应是力法的基本方程的理解和应用，主要是不超过三次超静定结构。
四,参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P315～P384
§7-1 超静定结构的组成和超静定次数一,教学目的正确理解超静定结构的概念和超静定的次数;
能够正确确定超静定结构的次数。
二,主要内容
1,超静定结构的组成
2,超静定次数三,学习指导正确理解超静定结构的含义，理解超静定结构的几何特征和静力特征，可以为今后的学习打下一个基础。
四,参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P315～P318
7.1.1 超静定结构的组成
静定结构:结构的反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定(图7-1a)。
超静定结构:结构的反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一的加以确定(图7-1b)。
图7-1
从几何组成分析中可知：静定结构和超静定结构都是几何不变体体系，而静定结构没有多余的约束，超静定结构存在多余约束，将图7-1b中支座C去掉结构仍为几何不变体系(图7-1C)。
结论：
满足平衡方程的内力解不唯一，几何上有多余约束，这就是超静定结构区别于静定结构的基本特点。
超静定次数
7.1.2 超静定次数超静定次数：超静定结构中多余约束的个数；也可以认为多余未知力的数目。
将超静定结构中多余约束去掉，可变为相应的静定结构，则去掉多余约束的个数 n 即为原结构的超静定次数。
结构去掉多余约束的方式有以下几种：
1.去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束(图7-2)。
2.去掉一个固定铰支座或撤去一个单铰，等于去掉两个约束。
3.将刚性连接改为单铰，相当于去掉一个约束(图7-3)。
4.去掉一个固定端或切断一个粱式杆，等于去掉三个约束(图7-4)。
图7-2
图7-3
图7-4
对于一个超静定结构，去掉多余约束的方式可能有几种，但必须注意：
去掉多余约束后，一般应是几何不变的、静定的结构；。
图7-2a、图7-3a、图7-4a结构的超静定次数分别为1、1、3。
§7-2 力法的基本概念
一,教学目的正确理解力法的基本原理和思路、力法方程的物理含义，掌握力法的基本解题过程，能够利用力法求解简单的超静定结构。
二,主要内容
1,基本思路(1)?
2,基本思路(2)
3,基本思路(3)
4,基本思路(4)
2,超静定结构的计算(1)
2,超静定结构的计算(2)
三,学习指导本节内容是通过简单的实例揭示力法的基本原理，对于今后的学习力法是一个基础，学习的关键是对力法原理的理解和应用，一定要正确理解力法方程的物理意义，才能最终达到融会贯通的目的。
四,参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P318～P323
7.2.1 基本思路(1)
力法是计算超静定结构的最基本方法。
力法的基本思路是把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。
下面结合实例说明力法的基本思路和原理图7-5a为一次超静定结构，如果撤去 B 处的支座链杆并用未知力 X1 代替变成了图7-5b所示的静定结构，这样就得到了含有多余未知力的静定结构，此结构称为力法的基本体系（基本体系并不唯一）。相应的把原超静定结构中多余约束和荷载都去掉后得到的静定结构称为力法的基本结构图7-5c。
图7-5
这样通过把多余约束去掉用多余未知力来代替，将超静定结构变为静定结构，解题的关键就是多余未知力的求解问题，这也是力法的第一个特点：
把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键，把多余未知力当作关键地位的未知力----力法的基本未知量下面将讨论如何建立力法方程来求解基本未知量继续
7.2.2 基本思路(2)
为了求解多余的未知力，显然静力平衡方程式不能够求解，必须建立新的方程。
图7-5
下面将通过对原结构和基本体系进行受力和变形对比，从而建立力法方程。
从受力上看，当基本未知量 X1 为任意有限值时,基本体系和原结构都满足的平衡方程。
从变形上看，原结构由于支座 B 的支承，因此，不会发生竖向位移。而基本体系 B 处的竖向位移与基本未知量 X1 有关，只有当基本未知量 X1 为某一值时，基本体系 B 处的竖向位移Δ1 恰好等于零，即不发生竖向位移，这时基本体系的变形也与原结构的变形相同。于是，可以根据Δ1 =0的条件来确定基本未知量 X1 的大小，所求的 X1 就是原结构多余约束的反力 。
归纳起来力法的基本思路就是：
第一步：去掉原结构的多余约束，代之以多余未知力，得到静定的基本体系。
第二步：基本体系和原结构的变形相同，特别是基本体系上与多余未知力相应的位移与原超静定结构上多余约束处的位移条件一致，这是确定多余未知力大小的依据。一般情况下，当原结构上在多余约束处没有支座位移时，则基本体系应满足的变形条件是：与多余未知力相应的位移为零。
下面按照以上思路具体求解图7-5a所示的超静定结构。
7.2.3 基本思路(3)
图7-6
根据以上分析图7-5b所示的基本体系应满足的变形条件是：沿多余未知力 X1 方向的位移Δ1 为零，即
Δ1 =0
利用叠加原理计算基本体系的位移Δ1 并用基本未知量表示。
图7-6a 为基本体系在荷载和多余未知力 X1 共同作用，图 (b)、(c) 则分别是两者单独作用的状态，图 (d)、(e)、(f) 则是相应的变形图。
利用叠加原理，上述变形条件可表述为：
Δ1 = Δ1P + Δ11=0
这里Δ1 是基本体系上多余未知力 X1 方向的位移(图7-6d)，Δ1P 是基本结构在实际荷载作用下沿多余未知力 X1 方向的位移(图7-6e),Δ11 是基本结构在多余未知力 X1 单独作用下沿多余未知力 X1 方向的位移(图7-6f)，位移与多余未知力方向一致时为正。
由于位移Δ11与多余未知力 X1 成正比,可以写成
Δ11=δ11X1
δ11表示单位未知力X1 =1的作用，使基本结构在多余未知力 X1 方向产生的位移，于是变形条件可写成
δ11X1 + Δ1P =0
这个方程叫作力法典型方程，它体现了是基本体系恢复到原超静定结构的转化条件。式中的系数由单位荷载法进行计算。
下面将具体进行计算
7.2.4 基本思路(4)
图7-6
根据分析确定了力法典型方程：δ11X1 + Δ1P =0
为了计算δ11,Δ1P,做基本结构在荷载作用下的荷载弯矩MP (图7-7b)和单位未知力X1 =1的作用下的单位弯矩图M1 (图7-7c)。
图7-7
应用图乘法得到
代入力法方程
多余未知力求出后,利用平衡条件求原结构的内力计算结果如图7-7a，弯矩图也可以应用叠加公式计算:
力法的基本思路：将超静定结构的计算转化为静定结构的计算，首先选择基本结构和基本体系，然后利用基本体系与原结构之间在多余约束方向的位移一致性和变形叠加列出力法典型方程，最后求出多余未知力和原结构的内力。
下面讨论一般情况下的力法典型方程
7.2.5 多次超静定结构的计算(1)
图7-8为一个二次超静定结构，如图选择基本体系和基本结构。
图7-8
利用原结构与基本体系的在结点 C 沿 X1 和 X2 方向的位移相同的条件
这里Δ1 和Δ2 分别是基本体系沿X1 和 X2 方向的位移。
图7-9
下面应用叠加原理把变形条件展开,分别计算荷载、X1=1 和 X2=1 单独作用时在X1 和 X2 方向的位移,如图7-9。
位移的表示采用双下标，第一个下标表示位移的位置和方向，第二个下标表示产生的原因。
于是可得：
变形条件即为
这也是两次超静定结构的力法基本方程。
多余未知力求出后，利用叠加原理可绘制弯矩图，具体计算为
下面讨论 n 次超静定的情形。
7.2.6 多次超静定结构的计算(2)
若结构为 n 次超静定，则与 n 个多余约束相对应，基本体系上就有 n 个多余的未知力X1、X2、X3,....,Xn，则力法典型方程为
根据位移互等定理：δij=δji
δij表示单位力Xj =1在基本结构沿Xi 方向产生的位移，ΔiP 表示在基本结构实际荷载沿Xi 方向产生的位移。δij又称为柔度系数。
将方程的柔度系数写成矩阵形式：
这个矩阵称为柔度矩阵，其中，主对角线上的系数为主系数，主系数都为正值，根据位移互等定理，柔度矩阵为一对角矩阵。
解力法方程求出多余的未知力，然后应用叠加法计算超静定的内力。
§7-3 超静定刚架和排架
一,教学目的通过实例分析,掌握力法的基本方法,能够应用力法求解超静定刚架和排架。
二,主要内容
1,力法的基本解题步骤
2,应用力法求解刚架三,学习指导本节内容是通过实例进一步揭示力法的基本原理，主要是通过例题的分析，掌握力法的应用,主要应掌握一次和二次超静定结构。
四,参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P325～P331
7.3.1 力法的基本解题思路根据力法的基本原理和思路，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：
1,选择基本体系确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并用相应的约束反力来代替。
2,建立力法方程利用基本体系与原结构在相应约束处的变形条件，建力力法典型方程。
3,计算系数和自由项
4,求多余的未知力
5,作内力图按静定结构，用平衡条件或叠加原理计算结构特殊截面的内力，然后画出内力图。
下面一刚架为例进行说明
7.3.2 应用力法求解刚架图7-10a 为一超静定刚架，试作出结构的内力图，EI 为常数。
原结构
基本体系
MP图
M1图
弯矩图
弯矩图
图7-10
1,选择基本体系（图7-10b）
2,建立力法方程基本体系应满足B 点无水平位移的变形条件。力法方程为
δ11X1 + Δ1P =0
3,计算系数和自由项分别画出实际荷载及单位未知力X1 =1的作用的弯矩图（图7-10c、d），利用图乘法计算系数。
4,求多余的未知力
5,作内力图（图7-10e）
讨论：图7-10f 是当粱和柱的抗弯刚度发生变化时，超静定的弯矩图，为什么两个弯矩图不相同？
§7-4 超静定桁架和组合结构
超静定桁架和组合结构的计算与刚架和粱结构的方法相同，所不同的是，桁架是链杆体系，计算力法方程的系数和自由项时，只考虑轴力的影响。组合结构中既有链杆也由粱式杆，计算系数时，链杆只考虑轴力的影响，而粱式杆则只考虑弯矩的影响。
图7-11a为一次超静定的组合结构，AD 粱式杆 EI =10000kNm2,所有的链杆 EA =100000kN，求所示荷载作用下的内力。
图7-11a
图7-11b
图7-11c
图7-11d
图7-11e
1,选择基本体系切断多余链杆 CD,在切口处用未知力X1 代替（图7-11b）
2,建立力法方程
δ11X1 + Δ1P =0
3,计算系数和自由项分别画出荷载和单位未知力的内力图（图7-11c、d、e）
4,求多余的未知力
x1=-5.55
5,作内力图按静定结构，用平衡条件或叠加原理计算结构特殊截面的内力，然后画出内力图(图7-11f、g）。
图7-11f
图7-11g
§7-5 对称结构的计算一,教学目的正确理解对称结构的概念，能够应用对称结构的特点求解对称荷载和反对称荷载作用的各种刚架。
二,主要内容
1,对称结构的概念
2,对称结构对称荷载的作用
3,对称结构反对称荷载的作用
4,一般情形三,学习指导对称结构是结构力学中的一种重要的结构形式，利用结构的对称性可以使问题简化，减少计算量。
四,参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P336～P342
7.5.1 对称结构的概念在工程中有很多对称结构，结构力学中应满足以下两方面条件：
1,结构的几何形状、支承情况关于某条直线对称(此条直线称为对称轴)；
2,杆件截面和材料性质,即刚度,也关于此条直线对称。
对称荷载：沿对称轴对折，两部分上的荷载重合(图7-12a)。
反对称荷载：沿对称轴对折，两部分上的荷载作用点重合，方向相反(图7-12b)。
对称结构对称荷载
对称结构反对称荷载
图7-12
根据力法原理,计算超静定结构的关键是选择基本体系，对于对称结构应选择对称的基本体系，并取对称力或反对称力作为多余未知力。
下面按对称结构对称荷载和对称结构反对称荷载进行讨论。
7.5.2 对称结构对称荷载的计算
原结构
基本体系
图7-13
图7-13a 所示一对称结构对称荷载，选择图7-13b 所示的基本体系（为什么）。
变形条件为：
力法方程为:
单位未知力为1时的弯矩图为图7-13c、图7-13d、图7-13e，图7-13f为荷载弯矩图，其中M1图为反对称，M2图、M3图、荷载弯矩图为对称。于是有
Δ1p=0
方程可简化为
可用下图代替基本体系
图7-14
7.5.3 对称结构反对称荷载的计算
图7-15a为一对称结构反对称荷载，选择图7-15b 所示的基本体系。
图7-15
应用对称荷载的结论，
Δ3p=Δ2p=0
可以得到： X1=0,X2=0
图7-15d为单位未知力的弯矩图，图7-15c为荷载弯矩图，其中M1图、荷载弯矩图为反对称。于是方程可简化为
δ11X1 + Δ1P =0
下面将进行总结
7.5.4 一般情况
小结,
利用对称性可以进行计算的简化，主要是：
选择对称的基本结构，选用对称力或反对称力作为基本未知量。
在对称荷载作用下，只考虑对称未知力。
在反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力。
一般情况：
对于非对称荷载可分解为对称和反对称荷载进行计算。
解题的方法同前面描述完全相同，例题的分析将省略。
另外还可以采用半结构法进行计算，此部分将在以后进行分析。
§7-6 支座移动和温度改变时的计算
一,教学目的理解支座移动和温度变化时超静定结构计算的特点，能够计算温度变化和支座移动时超静定结构的内力。
二,主要内容
1,支座移动时的计算
2,温度变化时的计算三,学习指导超静定结构的一个重要特点是：当支座移动和温度变化时，虽然没有荷载的作用,但是也能产生内力，这种内力称为自内力。
用力法计算自内力时，计算步骤与荷载作用的情形基本相同，这里讨论和学习其不同之处，主要有：力法方程的自由项是由支座移动或温度变化产生的；力法方程中等号右侧可能不为零，应等于原结构上多余未知力的相应的位移。
支座移动和温度变化时超静定结构计算的关键是正确理解力法方程的物理意义，合理的选择基本体系，同时注意自由项的计算。
四,参考资料
《结构力学教程(Ⅰ)》P364～P371
7.6.1 支座移动时的计算
原结构
基本体系
图7-16
如图7-16a 所示的等截面粱，右端支座下沉为 a，试分析自内力。
选择如图7-16b为基本体系，
原结构在多余未知力方向的实际位移为
Δ1 =-a
列力法方程：
δ11X1 =-a
计算系数可应用图7-16c
代入力法方程并计算多余未知力
可得如图7-16d 所示的弯矩图。
讨论：如果选择简支粱为基本体系力法方程将如何建立。
下面讨论温度变化的情形
7.6.2 温度变化时的计算图7-17a 为一次超静定结构，跨度4m,截面尺寸、温度变化如图，试计算自内力。
?
原结构
基本体系
图7-17
选择如图7-17b 所示基本体系，
列力法方程：
计算系数可应用图7-17c
代入方程并计算多余未知力
可得如图7-17d 所示的弯矩图。
§7-7 用求解器进行力法计算
利用求解器可以求解一般平面超静定结构的位移和内力。
在利用求解器求解超静定结构的内力和位移时，只要输入一超静定结构，同时由于超静定结构的内力与刚度有关，故应输入各个杆件的材料性质(EI,EA)，然后可直接应用求解器中的命令进行计算。
当然利用求解器也可以练习力法，具体做法是：
1.输入一超静定结构（手工输入）。
2.根据情况选择一基本体系，基本体系可以是静定结构，也可以是超静定结构（手工输入基本体系）。
3.列力法方程（手工列方程）。
4.利用求解器计算位移的功能，计算各项系数（求解器自动计算）。
5.求出多余未知力（收手工计算）。
思考：为什么基本体系可以选择超静定结构？
§7-8 小结力法是以多余约束力作为基本未知量解超静定结构的方法，主要应掌握力法的基本原理，了解力法的基本未知量、力法的基本体系和力法方程这三个环节，力法是利用以学过的静定结构的内力计算和位移计算来解决新的超静定结构的内力、位移计算问题。
力法的典型方程是以基本体系与原结构在多余约束处位移的关系建立的。
力法解题的基本步骤是：
1.选取基本体系，确定超静定次数，去掉多余的约束用未知力代替，所得的在荷载和多余未知力共同作用下的静定结构。基本体系一定是几何不变体。
2.建立力法典型方程，利用基本体系在解除约束处的位移与原结构一致的条件建立力法方程
3.计算系数和自由项，利用计算位移的方法计算各项系数。
4.求多余的未知力。
5.利用静力方法或叠加法画内力图。
为了计算简化，要善于利用对称性，选取适当的基本体系。
§7-9 思考与讨论
1.什么是力法的基本体系和基本结构以及基本未知量？如何选取基本体系？
2.力法方程的物理意义是什么？方程中的系数和自由项的物理意义是什么？
3.没有荷载就没有内力，这个结论在什么情况下成立？在什么情况下不成立？
4.简述用力法解超静定结构的步骤。
5.为什么力法方程中的主系数都为正数？
6.为什么静定结构的内力与结构的刚度无关，而超静定结构的内力与刚度有关？
7.力法典型方程的右端是否一定为零？
8.如何利用对称性使问题的计算得以简化？
9.计算超静定结构时，考虑支座移动的影响与考虑荷载作用的影响，两者有何异同？
10.当支座移动时，如何选择基本体系使力法方程得以简化？
