第二章
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系：合成和平衡
几何法
解析法
平面力对点的矩
平面力偶理论
§ 2-1 平面汇交力系的合成和平衡 —
几何法
平面汇交力系,各力位于同一平面内，且各力的
作用线汇交于同一点。
研究目的,1、一般力系的基础
2、有一定的实用意义
一、平面汇交 力系的合成：力的多边形法则
A
1F
? 2F
?
3F
?
4F
?
2F
?
3F
?
4F
?
1RF
?
2RF
?
RF
?
1F
?
a
结论,平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力通过汇交点，
其大小可通过力的多边形法则得到，合力为多边形的封
闭边。
A
1F
? 2F
?
3F
?
4F
?
a
2F
?
1F
?
3F
?
4F
?
2F
?
3F
?
4F
?
1RF
?
2RF
?
RF
?
1F
?
a
RF
?
显然合力矢与各个分力的合成次序无关。
结论,平面汇交力系的合成结果是一个通过汇交点的合力，
其大小可用力的多边形法则得到，合力为力多边形
的封闭边。
?
?
?????
n
i
inR FFFFF
1
21
??
?
???
特例,共线力系 力系中各力的作用线均位于同一直线上
力的多边形在同一直线上，
合力的大小等于分力的代数和
?
?
?????
n
i
inR FFFFF
1
21 ?
二、平面汇交力系的平衡条件（几何条件）
∵ 平面汇交力系的合成结果是一个合力
∴ 平面汇交力系平衡的条件为：合力 = 0
即：
0
1
?? ?
?
n
i
iR FF
??
根据汇交力系合成的多边形法则，
平面汇交力系平衡的条件为,力的多边形自行封闭
（ 即：力的多边形的未端和始端正好重合 ）
P
F
B
A
h
R
O
例题 碾子自重 P = 20 kN,半径 R = 0,6 m,障碍物高
h = 0,08 m,碾子中心受一水平力 F。
求,（ 1） F = 5 kN 时，碾子对地面和障碍物的压力
（ 2）欲将碾子拉过障碍物,F 力的最小值
（ 3） F力沿什么方向拉动碾子最省力，此时 F力应为多大？
P
F
B
A
h
R
O
P
F
O
AF
?BF?
α
解：以碾子为研究对象，
碾子受平面汇交力系作用，处于平衡状态
（ 1）由碾子的平衡条件，力的多边形应自行封闭
P?
F?
AF
?
BF
?
866.06.0 08.06.0c o s ????? R hR? 030?? ?
α
kNFFF B 102s i n ??? ?
kNFPF BA 34.11866.01020c o s ?????? ?
R = 0,6 m
h = 0,08 m
P
F
B
A
h
R
O
（ 2）碾子越过障碍物时的临界条件为：
由此时的力的多边形，可得到
P?
α
0?AF
F?
BF
?
kNPF 55.1130t a n20t a n 0 ??? ?
P
F
O
AF
?BF?
α
0?
P
F
B
A
h
R
O
P?
α
F?
BF
?
P
F
O
AF
?BF?
α
0?
（ 3）当 F 力的方向可变化时
由受力多边形可见，当拉力 F 与 垂直时，
拉力 F 最小。 B
F?
kNPF 10s i n20s i nm i n ???? ??
minF
?
几何法解题过程：
选取研究对象；
分析受力，画受力图；
作力多边形或力三角形；
求出未知量。
§ 2-2 解析法
一、力在任意坐标轴上的投影
?c o sFF l ?
力在某轴上的投影等于力的模（力的大小）乘以
该力与投影轴正方向夹角余弦。
lF
代数量
F?α
lF
l
二、解析法
1,力在正交坐标轴系的投影
??
?
s inFc o sFF
c o sFF
y
x
??
?
jF
iF
??
??
yy
xx
F
F
?
?
力的解析表达式：
jiF ????? yxyx FFFF ????
力矢的大小, 22
yx FFF ??
力矢的方向余弦, ? ? ? ?
F
F,c o s
F
F,c o s yx ?? jF iF ????
2,力在正交坐
标轴系的分解
x
y
Fx
Fy
O
A
B
xF
?
yF
? F?
α
β
i?
j?
3,平面汇交力系合成的解析法
O x
y F
1
Fn F
3
F2
i
j
FR
RxF
RyF jiF ??? RyRxR FF ??
?
?
?
?
?????
?????
n
i
iynyyyRy
n
i
ixnxxxRx
FFFFF
FFFFF
1
21
1
21
?
?
合力矢的大小和方向余弦：
? ? ? ? 2222 ?? ???? yixiRyRxR FFFFF
? ? ? ?
R
Ry
R
Rx
F
F,c o s
F
F,c o s ?? jF iF
RR
????
合力投影定理,合力在任一轴上的投影等于各分力
在同一轴上投影的代数和
例：已知,F1=200N,F2=300N,F3=100N,F4=250N,求
图示汇交力系合力的大小和方向 。
解：各分力在轴上投影的代数和为：
?? ixRx FF
合力,N.FFF
RyRxR 31 7 1
22 ???
夹角,? ? o
R
Rx,).a r c c o s (
F
Fa r c c o s,99407 5 4 80i F
R ??????
?? iyRy FF
x
y
O
F1
F2
F3
F4
45o
60o
45o
30o
FR oooo c o sFc o sFc o sFc o sF 45456030 4321 ????
N.
....
3129
70702507070100503008660200
?
????????
oooo c o sFc o sFc o sFc o sF 45453060 4321 ????
N.
....
3112
70702507070100866030050200
?
????????
4,平面汇交力系的平衡方程
平衡的充要条件,02
1
2
1
??
?
??
?
???
?
??
?
?? ??
??
n
i
yi
n
i
ixR FFF
即,
0
0
1
1
?
?
?
?
?
?
n
i
yi
n
i
xi
F
F
平面汇交力系
的平衡方程
此方程组包含两个独立的方程，
只可以求解两个未知量。
注意：
上式可简写为：
0
0
?
?
?
?
y
x
F
F
已知 P = 20 kN,求平衡时杆 AB 和 BC所受的力例题
解：
AB, BC 都是二力杆
取节点 B 为研究对象，
BCF
?
B
1F
?
2F
?
BAF
?
A
B
C
D
P
030
060
画受力图
x
y
建立坐标系 如图
A
B
C
D
P
030
060
0?? xF
0?? yF
03060 0201 ???? c o sFc o sFF BA
由平衡方程：
06030 0201 ??? c o sFc o sFF BC
解得：
kN.P.F BA 32173660 ????
kN.P.F BC 32273 6 61 ??
BCF
?
B
1F
?
2F
?
BAF
?
x
y
030
060
例题,四杆机构 CABD在图示位置平衡，作用有力
F1和 F2,杆重不计。求力 F1和 F2的关系。
A
B
C D
F1 F290o
45o
30o 60o
解,A,B两点的受力图,
A
F1
FAC
FAB
x’
BFBA
F2 FBD
x’’
? ? 045 0 1 ???? oAB'x c o sFFFA
6104621,FFFF BAAB ????
? ? 030 0 2 ???? oBA''x c o sFFFB
§ 2-3 平面力对点之矩的概念及计算
力可以改变刚体的哪种运动状态？
思考：
力矩可以改变刚体的哪种运动状态？
什么是力？什么是力矩？
一, 力对点之矩（力矩）的概念：
? ?zyx F,F,FF?力矢：
矢径：
力 F 对 O点之矩的计算方法,
? ? FhM O ??F?
注意,在平面问题中，力对点之矩为一代数量，以绕矩心逆时针转动为正，反之为负。
? ?z,y,x r?
? ? FrF ??? ???OM
? ? A B CM O ??? 2F? 的面积
O h A
B
Mo(F) F?
r?
O,矩心 h,力臂
力矩的单位,mN ? mkN ?或
力矩的性质：
1、当力沿其作用线移动时，
保持不变。? ?F?OM
2、若使,则：? ? 0F ??
OM
或,F = 0，（ 无力作用）
或,h = 0，（ 力通过矩心）
3、互为平衡的两个力对同一点的矩的和 = 0
O h A
B
Mo(F) F?
r?
O,矩心 h,力臂
二, 平面汇交力系的合力矩定理
?
?
?????
n
i
inR
1
21 FFFFF
??????
nFrFrFrFr 21R
????????? ???????
? ? ? ??
?
?
n
i
ioRo MM
1
FF
??
定理叙述,平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等
于各分力对同一点力矩的代数和
定理证明：
RF
?
r?
1F
? 2F
?
iF
?
nF
?
A
O
若 n 个力汇交于 A点，则其合力为：
用 同时矢积上式两端r?
得到：
? ? ? ??
?
?
n
i
ioRo MM
1
FF ??
? ? 0F
1
??
?
n
i
ioM
?
定理的应用：
应用 1,当合力对某点的矩较难计算时，常可先将该力分解
（通常为正交分解），然后用合力矩定理计算其力矩。
应用 2,当平面汇交力系平衡时，其合力为零，所以 该
汇交力系对任意点 O的力矩等于零
从而，当平面汇交力系平衡时，可采用上面的力矩
方程代替平面汇交力系的投影方程
00
11
?? ??
??
n
i
yi
n
i
xi FF
由于平面汇交力系只有两个独立平衡投影的方程，
所以只有两个独立的平衡力矩的方程。。
注意：
三, 力矩与合力矩的解析表达式
1、力矩的解析表达式
? ? ? ? ? ?xoyoo MMM FFF ??? ??
2、合力矩的解析表达式
? ? ? ??
?
??
n
i
xiiyiiRo FyFxM
1
F
?
xy FyFx ??
力 对坐标原点 O 的矩为：F?
x,y,为力作用点 A 的坐标
,为力在 x,和 y 轴上的投影
yFxF
x
y
Fx
Fy
O
A
B
xF
?
yF
? F?
α
β
i?
j? x
y
例题,图示水平梁 AB受按三角形分布的荷载作用，求合力作用线的位置。
x
P
q
h ldx
'q
A B
解,qldxqPq
l
xq l
2
1
0
'' ??? ?
根据合力矩定理,
?? l x d xqPh 0 '
lh 32?
结论,1、合力的大小等于分布载荷的面积
2、合力的作用线通过分布载荷的几何中心。
§ 2-4 平面力偶理论
一、力偶与力偶矩
1,力偶的定义
力 偶, 大小
相等,方向相反,
不共线的两个力
所组成的力系。
F?
F??A
B
记为：
)F,F( ???
2,力 偶 实 例
F1
F2
3,力偶矩的计算
力偶作用面,二力所在平面
力 偶 臂 d,二力作用线之间的垂直距离
力 偶 矩, ? ? FdMM ???'F,F ??
OF
?
F??
A
B
d
a
b
说明：
力偶对任意点 O的矩 Mo(F,F/)：
? ? ? ? ? ?FFF,F ???? ???? OOO MMM
? ? FdbOaOF
bOaOF
???
????
F '
力偶的作用效应取决于力的大小和
力偶臂的长短，与矩心的位置无关。
力与力偶臂的乘积称为力偶矩，记作 ? ?'F,F ??M,或 M
? ? FdMM ???'F,F ??
OF
?
F??
A
B
d
a
b
C
力偶矩的大小还可表示为：
? ? AB CM ??? 2F,F '??
为以一力为底边，
另一力的起点为顶点的三角形。
ABC?
平面力偶对刚体的转动效应取决于：
力偶矩的大小
力偶在作用平面内的转向
FdM ??
注意,力偶矩是一个代数量，正负号表示力
偶的转向，通常以 逆时针转向为正,
反之为负。单位为 N?m。
力偶和力一样都是最基本的力学量
二、同平面内力偶的等效定理
在同平面内的两个力偶，如果力偶矩
相等 （大小相等、转向相同）,则两力偶
彼此等效。
同平面内力偶的等效定理的证明：
设两力偶 (F,F/)和 (F0,F0/),力偶矩相等，要求证明它们等效
? ? ? ?00 F,FF,F ??? ???? MM已知：
210 FFF
??? ??将 分解，
0F
?
? ? ? ?'22'00 F,FF,F MM ??
? ? AC BM OO ??? 2F,F '
? ? A D BM ??? 2F,F '22
210 FFF ?????
???将 分解，
0F?
?
去除 和, 和 构成一个新的力偶
1F
?
1F?
?
2F
?
2F?
?1F
'1F
2F
'2F
0F
'0F
F
'F
d
C
D
将力 和 移到 A,B 点
0F
?
0F
?
0F
'0F
A B
0F
'0F
1F
'1F
2F
'2F
F
'F
d
0F
'0F
A B
C
D
? ? ? ?2200 F,FF,F ??? ????? MM
? ?F,F ???M由于力偶 和 有相同的力臂 d 和相同的力偶矩? ?22 F,F ???M
? ? ? ?22 F,FF,F ???? ???? MM
∴ 必有
FF,FF ???? ???? 22
可见力偶 和 等效? ?F,F ?? ? ? ?
22 F,F
?? ?
由于 和 等效? ?
00 F,F
?? ? ? ?
22 F,F
?? ?
证得 和 等效。? ?
00 F,F
?? ? ? ?F,F ?? ?
? 推论 1,只要保持力偶矩大小不变，力
偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用
效果不变。
F F ′ F F ′
? 平面 力偶等效定理的推论
? 推论 2,保持力偶矩大小不变，分别
改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。
F F ′ F / 2 F′/ 2
? 平面 力偶等效定理的推论
? 平 面 力 偶 的 特 点
特点一,力偶无合力，即主矢 FR=0；
特点二,力偶只能用力偶来平衡；
特点三,力偶对刚体的转动效应，只
与力偶矩的大小和正负有关。
结论：
力偶矩是力偶作用的唯一量度。
力偶的表示方法：
= =M M
F
'F
d
三、平面力偶系的合成和平衡条件
==
'2F
'1F
d1
d2
1F
2F
A Bd
3F
'3F4F
'F4 F
A
B
'F
? ?dFFFdM 43 ???
1,平面力偶系的合成
d
MF,
d
MF 2
4
1
3 ??
dFdF 43 ??
21 MM ??
2,平面力偶系的平衡条件
0
1
??
?
n
i
iM
充要条件：
即：所有各力偶矩的代数和等于零。
结论,在同平面内的任意个力偶可
合成一个合力偶，合力偶矩
等于各个力偶矩的代数和。
?
?
?
n
i
iMM
1
根据力偶理论，一个力偶与一个力是不可能
平衡的，
图示圆盘 O 为何能在力偶 M 和
力 P 的作用下保持平衡？
平衡条件是什么？
圆盘的半径为 r 。
M
O
r
P
M
P
O
OyF
?
图示圆盘 O 为何能在力偶 M 和
力 P 的作用下保持平衡？
圆盘的中心 O 处作用有一个
垂直方向约束力，该力与力 P 组成
一个力偶,该力偶与力偶 M 保持
平衡。
PrM ?
PF Oy ?
圆盘的平衡条件为：
M
O
r
P
例题：已知 mkNM ?? 2
1
m.OAr 50??
030??
求：系统平衡时的
2M
以及铰链 O, B 处的
约束力
1M
2M
A
B
r
? O
1M
2M
A
B
r? O
2M
A
B
AF?
?
BF
?
A ?
1M
OAF? OF
?
r
1、对圆轮 O
? ? 0M
2、对于杆 AB
2M)s inr(F A ?? ?
解得：
mkNMs i nMM ???? 84 1212 ?
kNs inr MFFF ABO 81 ???? ?
1M)s inr(F A ??
? ? 0M
例题,求图示刚架支座 A,B的约束反力。
A B
C M
a a
a
解,AC为二力杆，受力如图。 因为力偶只能用力偶来平衡，所以 BC杆受力图如下,
a
MFMaFM
BB 2020 ????????
( )
a
MF
A 2?
( )
B
C M
FB
'CF
FA
FC
C
A
对 BC杆
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系：合成和平衡
几何法
解析法
平面力对点的矩
平面力偶理论
§ 2-1 平面汇交力系的合成和平衡 —
几何法
平面汇交力系,各力位于同一平面内，且各力的
作用线汇交于同一点。
研究目的,1、一般力系的基础
2、有一定的实用意义
一、平面汇交 力系的合成：力的多边形法则
A
1F
? 2F
?
3F
?
4F
?
2F
?
3F
?
4F
?
1RF
?
2RF
?
RF
?
1F
?
a
结论,平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力通过汇交点，
其大小可通过力的多边形法则得到，合力为多边形的封
闭边。
A
1F
? 2F
?
3F
?
4F
?
a
2F
?
1F
?
3F
?
4F
?
2F
?
3F
?
4F
?
1RF
?
2RF
?
RF
?
1F
?
a
RF
?
显然合力矢与各个分力的合成次序无关。
结论,平面汇交力系的合成结果是一个通过汇交点的合力，
其大小可用力的多边形法则得到，合力为力多边形
的封闭边。
?
?
?????
n
i
inR FFFFF
1
21
??
?
???
特例,共线力系 力系中各力的作用线均位于同一直线上
力的多边形在同一直线上，
合力的大小等于分力的代数和
?
?
?????
n
i
inR FFFFF
1
21 ?
二、平面汇交力系的平衡条件（几何条件）
∵ 平面汇交力系的合成结果是一个合力
∴ 平面汇交力系平衡的条件为：合力 = 0
即：
0
1
?? ?
?
n
i
iR FF
??
根据汇交力系合成的多边形法则，
平面汇交力系平衡的条件为,力的多边形自行封闭
（ 即：力的多边形的未端和始端正好重合 ）
P
F
B
A
h
R
O
例题 碾子自重 P = 20 kN,半径 R = 0,6 m,障碍物高
h = 0,08 m,碾子中心受一水平力 F。
求,（ 1） F = 5 kN 时，碾子对地面和障碍物的压力
（ 2）欲将碾子拉过障碍物,F 力的最小值
（ 3） F力沿什么方向拉动碾子最省力，此时 F力应为多大？
P
F
B
A
h
R
O
P
F
O
AF
?BF?
α
解：以碾子为研究对象，
碾子受平面汇交力系作用，处于平衡状态
（ 1）由碾子的平衡条件，力的多边形应自行封闭
P?
F?
AF
?
BF
?
866.06.0 08.06.0c o s ????? R hR? 030?? ?
α
kNFFF B 102s i n ??? ?
kNFPF BA 34.11866.01020c o s ?????? ?
R = 0,6 m
h = 0,08 m
P
F
B
A
h
R
O
（ 2）碾子越过障碍物时的临界条件为：
由此时的力的多边形，可得到
P?
α
0?AF
F?
BF
?
kNPF 55.1130t a n20t a n 0 ??? ?
P
F
O
AF
?BF?
α
0?
P
F
B
A
h
R
O
P?
α
F?
BF
?
P
F
O
AF
?BF?
α
0?
（ 3）当 F 力的方向可变化时
由受力多边形可见，当拉力 F 与 垂直时，
拉力 F 最小。 B
F?
kNPF 10s i n20s i nm i n ???? ??
minF
?
几何法解题过程：
选取研究对象；
分析受力，画受力图；
作力多边形或力三角形；
求出未知量。
§ 2-2 解析法
一、力在任意坐标轴上的投影
?c o sFF l ?
力在某轴上的投影等于力的模（力的大小）乘以
该力与投影轴正方向夹角余弦。
lF
代数量
F?α
lF
l
二、解析法
1,力在正交坐标轴系的投影
??
?
s inFc o sFF
c o sFF
y
x
??
?
jF
iF
??
??
yy
xx
F
F
?
?
力的解析表达式：
jiF ????? yxyx FFFF ????
力矢的大小, 22
yx FFF ??
力矢的方向余弦, ? ? ? ?
F
F,c o s
F
F,c o s yx ?? jF iF ????
2,力在正交坐
标轴系的分解
x
y
Fx
Fy
O
A
B
xF
?
yF
? F?
α
β
i?
j?
3,平面汇交力系合成的解析法
O x
y F
1
Fn F
3
F2
i
j
FR
RxF
RyF jiF ??? RyRxR FF ??
?
?
?
?
?????
?????
n
i
iynyyyRy
n
i
ixnxxxRx
FFFFF
FFFFF
1
21
1
21
?
?
合力矢的大小和方向余弦：
? ? ? ? 2222 ?? ???? yixiRyRxR FFFFF
? ? ? ?
R
Ry
R
Rx
F
F,c o s
F
F,c o s ?? jF iF
RR
????
合力投影定理,合力在任一轴上的投影等于各分力
在同一轴上投影的代数和
例：已知,F1=200N,F2=300N,F3=100N,F4=250N,求
图示汇交力系合力的大小和方向 。
解：各分力在轴上投影的代数和为：
?? ixRx FF
合力,N.FFF
RyRxR 31 7 1
22 ???
夹角,? ? o
R
Rx,).a r c c o s (
F
Fa r c c o s,99407 5 4 80i F
R ??????
?? iyRy FF
x
y
O
F1
F2
F3
F4
45o
60o
45o
30o
FR oooo c o sFc o sFc o sFc o sF 45456030 4321 ????
N.
....
3129
70702507070100503008660200
?
????????
oooo c o sFc o sFc o sFc o sF 45453060 4321 ????
N.
....
3112
70702507070100866030050200
?
????????
4,平面汇交力系的平衡方程
平衡的充要条件,02
1
2
1
??
?
??
?
???
?
??
?
?? ??
??
n
i
yi
n
i
ixR FFF
即,
0
0
1
1
?
?
?
?
?
?
n
i
yi
n
i
xi
F
F
平面汇交力系
的平衡方程
此方程组包含两个独立的方程，
只可以求解两个未知量。
注意：
上式可简写为：
0
0
?
?
?
?
y
x
F
F
已知 P = 20 kN,求平衡时杆 AB 和 BC所受的力例题
解：
AB, BC 都是二力杆
取节点 B 为研究对象，
BCF
?
B
1F
?
2F
?
BAF
?
A
B
C
D
P
030
060
画受力图
x
y
建立坐标系 如图
A
B
C
D
P
030
060
0?? xF
0?? yF
03060 0201 ???? c o sFc o sFF BA
由平衡方程：
06030 0201 ??? c o sFc o sFF BC
解得：
kN.P.F BA 32173660 ????
kN.P.F BC 32273 6 61 ??
BCF
?
B
1F
?
2F
?
BAF
?
x
y
030
060
例题,四杆机构 CABD在图示位置平衡，作用有力
F1和 F2,杆重不计。求力 F1和 F2的关系。
A
B
C D
F1 F290o
45o
30o 60o
解,A,B两点的受力图,
A
F1
FAC
FAB
x’
BFBA
F2 FBD
x’’
? ? 045 0 1 ???? oAB'x c o sFFFA
6104621,FFFF BAAB ????
? ? 030 0 2 ???? oBA''x c o sFFFB
§ 2-3 平面力对点之矩的概念及计算
力可以改变刚体的哪种运动状态？
思考：
力矩可以改变刚体的哪种运动状态？
什么是力？什么是力矩？
一, 力对点之矩（力矩）的概念：
? ?zyx F,F,FF?力矢：
矢径：
力 F 对 O点之矩的计算方法,
? ? FhM O ??F?
注意,在平面问题中，力对点之矩为一代数量，以绕矩心逆时针转动为正，反之为负。
? ?z,y,x r?
? ? FrF ??? ???OM
? ? A B CM O ??? 2F? 的面积
O h A
B
Mo(F) F?
r?
O,矩心 h,力臂
力矩的单位,mN ? mkN ?或
力矩的性质：
1、当力沿其作用线移动时，
保持不变。? ?F?OM
2、若使,则：? ? 0F ??
OM
或,F = 0，（ 无力作用）
或,h = 0，（ 力通过矩心）
3、互为平衡的两个力对同一点的矩的和 = 0
O h A
B
Mo(F) F?
r?
O,矩心 h,力臂
二, 平面汇交力系的合力矩定理
?
?
?????
n
i
inR
1
21 FFFFF
??????
nFrFrFrFr 21R
????????? ???????
? ? ? ??
?
?
n
i
ioRo MM
1
FF
??
定理叙述,平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等
于各分力对同一点力矩的代数和
定理证明：
RF
?
r?
1F
? 2F
?
iF
?
nF
?
A
O
若 n 个力汇交于 A点，则其合力为：
用 同时矢积上式两端r?
得到：
? ? ? ??
?
?
n
i
ioRo MM
1
FF ??
? ? 0F
1
??
?
n
i
ioM
?
定理的应用：
应用 1,当合力对某点的矩较难计算时，常可先将该力分解
（通常为正交分解），然后用合力矩定理计算其力矩。
应用 2,当平面汇交力系平衡时，其合力为零，所以 该
汇交力系对任意点 O的力矩等于零
从而，当平面汇交力系平衡时，可采用上面的力矩
方程代替平面汇交力系的投影方程
00
11
?? ??
??
n
i
yi
n
i
xi FF
由于平面汇交力系只有两个独立平衡投影的方程，
所以只有两个独立的平衡力矩的方程。。
注意：
三, 力矩与合力矩的解析表达式
1、力矩的解析表达式
? ? ? ? ? ?xoyoo MMM FFF ??? ??
2、合力矩的解析表达式
? ? ? ??
?
??
n
i
xiiyiiRo FyFxM
1
F
?
xy FyFx ??
力 对坐标原点 O 的矩为：F?
x,y,为力作用点 A 的坐标
,为力在 x,和 y 轴上的投影
yFxF
x
y
Fx
Fy
O
A
B
xF
?
yF
? F?
α
β
i?
j? x
y
例题,图示水平梁 AB受按三角形分布的荷载作用，求合力作用线的位置。
x
P
q
h ldx
'q
A B
解,qldxqPq
l
xq l
2
1
0
'' ??? ?
根据合力矩定理,
?? l x d xqPh 0 '
lh 32?
结论,1、合力的大小等于分布载荷的面积
2、合力的作用线通过分布载荷的几何中心。
§ 2-4 平面力偶理论
一、力偶与力偶矩
1,力偶的定义
力 偶, 大小
相等,方向相反,
不共线的两个力
所组成的力系。
F?
F??A
B
记为：
)F,F( ???
2,力 偶 实 例
F1
F2
3,力偶矩的计算
力偶作用面,二力所在平面
力 偶 臂 d,二力作用线之间的垂直距离
力 偶 矩, ? ? FdMM ???'F,F ??
OF
?
F??
A
B
d
a
b
说明：
力偶对任意点 O的矩 Mo(F,F/)：
? ? ? ? ? ?FFF,F ???? ???? OOO MMM
? ? FdbOaOF
bOaOF
???
????
F '
力偶的作用效应取决于力的大小和
力偶臂的长短，与矩心的位置无关。
力与力偶臂的乘积称为力偶矩，记作 ? ?'F,F ??M,或 M
? ? FdMM ???'F,F ??
OF
?
F??
A
B
d
a
b
C
力偶矩的大小还可表示为：
? ? AB CM ??? 2F,F '??
为以一力为底边，
另一力的起点为顶点的三角形。
ABC?
平面力偶对刚体的转动效应取决于：
力偶矩的大小
力偶在作用平面内的转向
FdM ??
注意,力偶矩是一个代数量，正负号表示力
偶的转向，通常以 逆时针转向为正,
反之为负。单位为 N?m。
力偶和力一样都是最基本的力学量
二、同平面内力偶的等效定理
在同平面内的两个力偶，如果力偶矩
相等 （大小相等、转向相同）,则两力偶
彼此等效。
同平面内力偶的等效定理的证明：
设两力偶 (F,F/)和 (F0,F0/),力偶矩相等，要求证明它们等效
? ? ? ?00 F,FF,F ??? ???? MM已知：
210 FFF
??? ??将 分解，
0F
?
? ? ? ?'22'00 F,FF,F MM ??
? ? AC BM OO ??? 2F,F '
? ? A D BM ??? 2F,F '22
210 FFF ?????
???将 分解，
0F?
?
去除 和, 和 构成一个新的力偶
1F
?
1F?
?
2F
?
2F?
?1F
'1F
2F
'2F
0F
'0F
F
'F
d
C
D
将力 和 移到 A,B 点
0F
?
0F
?
0F
'0F
A B
0F
'0F
1F
'1F
2F
'2F
F
'F
d
0F
'0F
A B
C
D
? ? ? ?2200 F,FF,F ??? ????? MM
? ?F,F ???M由于力偶 和 有相同的力臂 d 和相同的力偶矩? ?22 F,F ???M
? ? ? ?22 F,FF,F ???? ???? MM
∴ 必有
FF,FF ???? ???? 22
可见力偶 和 等效? ?F,F ?? ? ? ?
22 F,F
?? ?
由于 和 等效? ?
00 F,F
?? ? ? ?
22 F,F
?? ?
证得 和 等效。? ?
00 F,F
?? ? ? ?F,F ?? ?
? 推论 1,只要保持力偶矩大小不变，力
偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用
效果不变。
F F ′ F F ′
? 平面 力偶等效定理的推论
? 推论 2,保持力偶矩大小不变，分别
改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。
F F ′ F / 2 F′/ 2
? 平面 力偶等效定理的推论
? 平 面 力 偶 的 特 点
特点一,力偶无合力，即主矢 FR=0；
特点二,力偶只能用力偶来平衡；
特点三,力偶对刚体的转动效应，只
与力偶矩的大小和正负有关。
结论：
力偶矩是力偶作用的唯一量度。
力偶的表示方法：
= =M M
F
'F
d
三、平面力偶系的合成和平衡条件
==
'2F
'1F
d1
d2
1F
2F
A Bd
3F
'3F4F
'F4 F
A
B
'F
? ?dFFFdM 43 ???
1,平面力偶系的合成
d
MF,
d
MF 2
4
1
3 ??
dFdF 43 ??
21 MM ??
2,平面力偶系的平衡条件
0
1
??
?
n
i
iM
充要条件：
即：所有各力偶矩的代数和等于零。
结论,在同平面内的任意个力偶可
合成一个合力偶，合力偶矩
等于各个力偶矩的代数和。
?
?
?
n
i
iMM
1
根据力偶理论，一个力偶与一个力是不可能
平衡的，
图示圆盘 O 为何能在力偶 M 和
力 P 的作用下保持平衡？
平衡条件是什么？
圆盘的半径为 r 。
M
O
r
P
M
P
O
OyF
?
图示圆盘 O 为何能在力偶 M 和
力 P 的作用下保持平衡？
圆盘的中心 O 处作用有一个
垂直方向约束力，该力与力 P 组成
一个力偶,该力偶与力偶 M 保持
平衡。
PrM ?
PF Oy ?
圆盘的平衡条件为：
M
O
r
P
例题：已知 mkNM ?? 2
1
m.OAr 50??
030??
求：系统平衡时的
2M
以及铰链 O, B 处的
约束力
1M
2M
A
B
r
? O
1M
2M
A
B
r? O
2M
A
B
AF?
?
BF
?
A ?
1M
OAF? OF
?
r
1、对圆轮 O
? ? 0M
2、对于杆 AB
2M)s inr(F A ?? ?
解得：
mkNMs i nMM ???? 84 1212 ?
kNs inr MFFF ABO 81 ???? ?
1M)s inr(F A ??
? ? 0M
例题,求图示刚架支座 A,B的约束反力。
A B
C M
a a
a
解,AC为二力杆，受力如图。 因为力偶只能用力偶来平衡，所以 BC杆受力图如下,
a
MFMaFM
BB 2020 ????????
( )
a
MF
A 2?
( )
B
C M
FB
'CF
FA
FC
C
A
对 BC杆
