第五章 空间力系
空间力系,力的作用线不位于同一平面内。
空间力系包括,空间汇交力系
空间力偶系
空间任意力系
已知力 F 与三个坐
标轴的夹角，则该力
在三个轴上的投影为
?
?
?
c osFF
c osFF
c osFF
z
y
x
?
?
?
一、空间力沿直角坐标轴的投影和分解
1,直接投影法
§ 5-1 空间汇交力系
α
β
γ
x
y
z
F?
xF
yF
zF
2、二次投影法
已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
?
?
c o s
s in
FF
FF
z
xy
?
?
若再知道 Fxy 与 x轴的夹角 φ,
?
?
s inFF
c o sFF
xyy
xyx
?
?
最后得：
?
??
??
c os
s i ns i n
c oss i n
FF
FF
FF
z
y
x
?
?
?
第一次投影：
第二次投影
x
y
z
γ F
?
φ
xyF
FZ
Fx
Fy
4 m
2,5m
3m
x
y
z
F1
F2
F3
060
例题 已知,F1 =500N,F2=1000N,F3=1500N，
求：各力在坐标轴上的投影
解,F1, F2 可用直接投影法
?
?
?
c osFF
c osFF
c osFF
z
y
x
?
?
?
NFF
F
F
z
y
x
500
0
0
11
1
1
????
?
?
0
50060
866
2
3
100060
2
0
22
0
22
?
??
???????
z
y
x
F
Nc osFF
Ns i nFF
φ
γ
对 F3 应采用直接投影法
?
??
??
c os
s ins in
c oss in
FF
FF
FF
z
y
x
?
?
?
4 4 7 20
8 9 4 40
5234
34
222
22
.c o s
.
.AB
BCs in
?
?
??
???
?
?
4 m
2,5m
3m
x
y
z
F1
F2
F3
060
A
C
D
B
60
34
3
80
34
4
22
22
.
BC
BDc os
.
BC
CDs in
?
?
??
?
?
??
?
?
N..c o ss i nFF x 805608 9 4 401 5 0 0 ????? ??
N..s i ns i nFF y 1 0 7 3808 9 4 401 5 0 0 ???????? ??
N.c o sFF z 6 7 14 4 7 201 5 0 0 ???? ?
二、空间汇交力系的合成和平衡
? 1、合成
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力
作用点（线）通过汇交点。
?
?
?????
n
i
inR FFFFF
1
21
??????
空间合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于
力系中各分力在同一轴上投影的代数和。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
izRz
n
i
iyRy
n
i
ixRx
FF
FF
FF
1
1
1
根据空间合力投影定理，合力的大小和方向可
按照以下公式进行计算。
? ? ? ? ? ? 222 RzRyRxR FFFF ???
R
Rz
R
R
Ry
R
R
Rx
R
F
F
)k,F(C O S
F
F
)j,F(C O S
F
F
)i,F(C O S
?
?
?
??
??
??
合力的大小：
合力的方向：
kFjFiFF RzRyRxR ???? ???
? ? ? ? ? ? 222 ??? ??? ziyixi FFF
2,空间汇交力系的平衡
? 空间汇交力系平衡的充要条件为：合力 = 0。
0
1
?? ?
?
n
i
iR FF
??
由于
空间汇交力系的平衡条件：
?
?
?
?
?
?
0
0
0
z
y
x
F
F
F
? ? ? ? ? ? 222 ??? ??? ziyixiR FFFF
x
y
z
A
B
C
D
E
α
α
P
例题,已知：
求：起重杆 AB及绳子的拉力
kNPEDEBCE 10,30,0 ???? ?
x
y
z
A
BC
D
E
α
α
AF
1F
2F
P
解：取 起重杆 AB为研究对象
建坐标系如图，
列平衡方程：
? ? 0xF
? ? 0yF
030
30453045
0
00
2
00
1
???
?
Pc o sF
s inc o sFs inc o sF
A
x
y
z
A
BC
D
E
α
α
AF
1F
2F
P
解得：
kNFF
kNFF
A 66.86
54.3
22
10
1
21
??
???
04545 0201 ?? s inFs inF
03045
304530
00
2
00
1
0
??
?
c o sc o sF
c o sc o sFs inF A
? ? 0zF
x
y
z
A
BC
D
E
α
α
AF
1F
2F
P
空间汇交力系在任一平面上的投
影 → 平面汇交力系
空间汇交 力系平衡，
投影得到的平面汇交
力系也必然平衡。
A y
z
B
E
α P
AF
? ?2122 FF ?
03045
304530
0
00
2
00
1
0
??
?
??
c o sc o sF
c o sc o sFs inF
,F
A
y
030
30453045
0
0
00
2
00
1
???
?
??
Pc o sF
s inc o sFs inc o sF
,F
A
z
§ 5-2 空间力对点的矩和力对轴的矩
? ?FM O ??
r
x
y
z
F
O
A
B
空间力对点的矩取决于：
? ?FM O ??
这三个因素可以用一个矢量来
表示，记为：
（ 1）力矩的大小
一、空间力对点的矩
（ 2）力矩作用面的方位
（ 3）力矩在作用面内的转向
空间力对点的矩的计算
（ 1）力矩的大小为：
? ? O ABhFFM O ???? 2??
（ 2）力矩矢通过 O点
由矢量分析理论可知：
? ? FrFM O ???? ?? x
y
z
F
r
? ?FM O ??
O
A
B
h
（ 3）力矩矢的方向：垂直于 OAB
平面，指向由右手螺旋法则决定
之。
?力 矩 矢 量 的 方 向
按右手定则
r
OM
? F
?
FrM O ??? ??
? 力对点之矩的矢量运算
=
F
Fx
Fy
Fz
r
由高等数学知：
? ? ? ? ? ? kyFxFjxFzFizFyF xyzxyz ??? ??????
? ? FrFM O ???? ??
zyx FFF
zyx
kji
???
二、力对轴之矩
1、定义,
力使物体绕某一轴
转动效应的量度,称
为力对该轴之矩,
2、力对轴之矩实例
Fz
Fx
Fy
F
方法一,
3,力对轴之矩的计算
力 F对 z轴的矩等于该力在
通过 O点垂直于 z轴的平面
上的分量 对于 O点的矩 。
xy F
? ? ? ?xyOz FMFM ??
Mz (F) = Fxyd
=? 2(?OAB)
将力向垂直于该轴的平面投影,
力对轴的矩 等于力的投影 与投影
至轴的垂直距离的乘积,
方法二,
力对轴之矩的计算
将力向三个坐标轴方
向分解,分别求三个分力对
轴之矩，然后将三个分力
对轴之矩的代数值相加。
? ? ? ? ? ?
? ?zz
yzxzz
FM
FMFMFM
?
???
?
??
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
2、力与轴线平行
Fz
Fx
Fy
F
力对轴之矩代数量的正负号
（按照 右手螺旋法则决定之）
三、力对轴之矩与力对 点之 矩的关系
结论,
力对点之矩的矢
量在某一轴上的投影,
等于该力对该轴之矩 。
?γ
C
即：
? ? ? ?? ?ZOz FMFM ??? ?
? ? ? ? ?c o sFMFM Oz ??? ?
? ?FMO ??
γ ? ?FMz ?
所以，可得
? ? ? ? O ABFMFM xyOz ??? 2?
? ? ? ? ?c o sFMFM Oz ??? ?
? ? O ACFM O ?? 2??
?c o sO ACO AB ???
由右图可见：
结论的说明：
γ
?γ
C
? ?FMO ??
γ ? ?FMz ?
四、力对直角坐标轴之矩的解析表达式
前已述及：
由此可得,? ?
? ?
? ?
xyz
zxy
yzx
yFxFFM
xFzFFM
zFyFFM
??
??
??
?
?
?
=FrM
O
??? ??
ZYX
zyx
kji
???
? ? ? ?
? ? kyFxF
jxFzFizFyF
xy
zxyz
?
??
??
????
Fx
Fy
Fz
x
y
z
A
B
C D E
θ
F
FzFy
例题 已知,AB = BC = l,CD = a,力 F 位于垂直于 y
轴的平面内，偏离铅垂线的角度为 θ
求：力 F对 x,y,z 轴的矩
方法一,将力向三个坐标轴方
向分解后，直接计算
? ? ? ?
? ?alc o sF
CDABFFM zx
???
???
?
?
?
?
cosFF
sinFF
z
x
?
?? ?
lc o sF
BCFFM zy
???
????
? ? ? ?
? ?als inF
CDABFFM xz
???
???
?
?
x
y
z
A
B
C D E
θ
F
FzFy
方法二,利用公式 计算? ?
? ?
? ? xyz
zxy
yzx
yFxFFM
xFzFFM
zFyFFM
??
??
??
?
?
?
本问题中
?
?
cosFF
F
sinFF
z
y
x
??
?
?
0
0?
??
??
z
aly
lx
? ? ? ?alc o sFzFyFFM yzx ????? ??
? ? lc o sFxFzFFM zxy ??????
? ? ? ?als inFyFxFFM xyz ????? ??
§ 5-3 空间力偶
有关平面力偶的回顾
?力 偶, 大小相等,方向相反,不共线的
两个力所组成的力系,
F1
F2
? 力偶作用面,
二力所在平面。
? 力偶的作用面与力偶 臂
F1
F2
dFM ??
? 力偶臂 d:二力作
用线之间的垂直距离
? 力偶矩的大小
特点二, 力偶仅对刚体产生转动效应，
并只与力偶矩的大小和转向有关,
? 力 偶 的 特 点
特点一, 力偶无合力,即主矢 FR=0.
力 偶 实 例
? 力 偶 实 例
F1
F2
一、力偶矩矢量，空间力偶等效条件
Mx
My
Mz
平面力偶的决定因素：
大小、转向
空间力偶的决定因素：
大小、转向、力偶矩作用
面的方位
平面力偶,代数量，
空间力偶的等效条件：
两个力偶矩矢的大小相
等、方向平行、指向相同。
空间力偶,矢量，力偶矩矢
力偶系,由两个或两个以上力偶组成的
特殊力系
y
1、空间力偶系的合成
空间力偶系的合成结果
仍然是一个力偶，其力
偶矩矢量等于原力偶系
中所有力偶矩矢量之和
。即
M
二、空间力偶系合成和平衡
?
?
?
n
i
iMM
1
??
上式的解析表达式为
合力偶矢在
x,y,z轴上的
投影等于各分
力偶矢在相应
轴上投影的代
数和。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
izz
n
i
iyy
n
i
ixx
MM
MM
MM
1
1
1
kMjMiMM zyx ???? ???
计算出合力偶矩矢在 x,y,z轴上的投
影后，即可按照下述公式算得合力偶矩矢
的大小和方向。
? ?
? ?
? ?
M
M
kM
M
M
JM
M
M
iM
MMMM
z
y
x
n
i
iz
n
i
iy
n
i
ix
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ???
???
??
??
??
,c os
,c os
,c os
2
1
2
1
2
1
2、空间力偶系的平衡
由于空间力偶系的合成结果是一个合力偶矩，
空间力偶系平衡充要条件为：合力偶矩等于零
0
1
?? ?
?
n
i
iMM
?
上式的投影方程为：
0,0,0
111
??? ???
???
n
i
iz
n
i
iy
n
i
ix MMM
空间力偶系有三个独立的平衡方程，
可以求解三个未知量。
§ 5-4 空间任意力系向一点的简化，
主矢和主矩
一、力线平移定理
作用于刚体上的任一个力可以
平移到刚体上任一点 O，但除该力
外，还需加上一个附加力偶，其力
偶矩矢等于该力对于 O点的力矩矢。
? 力向一点平移
力向一点平移的结果, 一个力和
一个力偶,力偶的力偶矩等于原来
力对平移点之矩,
F
F
－ F M
OM
?
? 力向一点平移实例
F
F
-F
F
? 力向一点平移实例
F
F
－ F
F
M
F
Mx
My
二、空间任意力系向一点的简化
图示力系向 O点简化 力 F1平移到 O点
F1
F2
F3
Fn
O
F1
M 1
O
? 将每个力向简化中心平移
F1
F2
F3
Fn
F1
F2F
n
M1
M2M
n
O
F1
F2F
n
M1
M2M
n
将所有的力都平移到 O点后，得到一个
空间汇交力系和一个空间力偶系。
空间汇交力系的合成结
果为一个合力 — 主矢
?
?
?
n
i
iR FF
1
??
空间力偶系的合成结果
为一个合力偶 — 主矩
?
?
?
n
i
iO MM
1
?? FR
MO
主矢 作用于简化中心 O，与简
化中 心的选择无关
主矩 与简化中心的选择有关
? 空间任意力系简化的结果
空间任意力系
空间汇交力系 空间力偶系
合力 （主矢）
?? iR FF ??
合力 偶（主矩）
? ??? iOO FMM ???
三、主矢和主矩的计算
主矢 — 通过投影法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
ziRz
n
i
yiRy
n
i
xiRx
FF
FF
FF
1
1
1
先计算得到主矢在
各轴上的投影
根据它们，可得到
主矢的大小和方向
? ? ? ? ? ? 222 RxRxRxR FFFF ???? ?
? ?
? ?
F
F
kF
F
F
jF
F
F
iF
Rz
Rz
Ry
Ry
Rx
Rx
?
?
?
??
??
??
,c os
,c os
,c os
主矩, 利用力矩合成
定理，先计算出主矩在
各个坐标轴上的投影
（主矩在某一坐标轴上的投
影各分量在同一坐标轴上投
影的代数和）
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
izOz
n
i
iyOy
n
i
ixOx
FMM
FMM
FMM
1
1
1
?
?
?
? ? ? ? ? ? 222 OzOyOyO MMMM ???? ?
? ?
? ?
M
M
kM
M
M
jM
M
M
iM
Oz
O
Oy
O
Ox
O
?
?
?
??
??
??
,c o s
,c o s
,c o s
根据它们，可得到
主矩的大小和方向
情况 1,FR≠ 0,MO = 0 ? 合力
情况 2,FR = 0,MO ≠ 0 ? 合力偶
§ 5-5 空间任意力系向某一点 (O )简
化结果的分析
空间任意力系向某一点 (O )简化
结果有如下 四种 情况：
情况 4,FR = MO = 0 ? 零力系 (平衡力系 )
情况 3,FR ≠ 0,MO ≠ 0(最普遍情况, 下面 还
将进一步讨论 )
空间任意力系一般情况 （ FR≠ 0,MO≠ 0 ）
的进一步讨论，
1,F R垂直于 MO
2,F R平行于 MO
3,F R既不平行也不垂直 MO
该情况又可进一步区分为下述三种情况：
三种结果可进一步讨论如下
MO
FR
最
后
结
果 F
R
d=M/FR
1,F R垂直于 MO
可最终简化为通过
点 O’的合力
O’
2,F R平行 于 MO
x
y
z M
Ox F
R
d=M/FR
无法进一步简化，
力 螺 旋
工程实例
x
y
z
MOx
MOy
FR
x
y
z M
Ox F
R
d=M/FR
最
后
结
果
FR
MO
x
y
z
情况 3,F R既不平行也不垂直 MO
力 螺 旋
O’
§ 5-6 空间任意力系的平衡条件
空间任意力系的平衡条件为,主矢和主矩都等于零。
上述公式的投影方程为：
空间任意力系有六个独立的平衡方程，
可以解得六个未知量。
0
0
?
?
O
R
M
F
?
?
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
0
0
0
iz
iy
ix
FM
FM
FM
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
z
y
x
F
F
F
空间平行力系的平衡条件：
x
y
z
显然,
?
?
?
?
?
?
0
0
0
Z
y
x
M
F
F
可以自动满足，独立
平衡方程为：
?
?
?
?
?
?
0
0
0
y
x
z
M
M
F
活 页 铰
滑动轴承
止推轴承
夹持铰支座
三维固定端
§ 5-7 几种常见的 空间约束
球 铰
球 铰
FRy
FRx
FRz
球
股骨
盆骨
球窝
盆骨与股骨之间的球铰连接
? 活页铰
? 滑动轴承
? 止推轴承
? 夹持铰支座
? 三维固定端
小车重 P = 8 kN,载荷 P 1 = 10 kN，
求：地面对车轮的反力
例题：
m60.
m60.
m20.
m2
m21.
m20.
BF
?
AF
?
DF
?1P?
P?
A
B
D
x
y
z
O
E
C
m60.
m60.
m20.
m2
m21.
m20.
BF
?
AF
?
DF?1P
?
P?
A
B
D
x
y
z
O
E
C
取 Oxyz 坐标系如图，
01 ?????? DBA FFFPP
? ? 0zF
? ?? ? 0FM x ? 022.12.0 1 ???? DFPP
? ?? ? 0FM y ? 02.16.06.08.0 1 ???? BD FFPP
解得：
kNF D 8.5?
kNF B 7 7 7.7?
kNF A 4 2 3.4?
A
B
CD
E F
GH
a
b
bP
F
例题：
图示长方形板用六根直杆固定于水平位置。板的重量
为 P，受水平力 F = 2P，
求：各杆的内力
A
B
CD
E F
GH
F3
F2 F1
F6
F5
F4
a
b
bP
F
解：各支杆均为二力杆，设各杆均受拉，得结
构的受力图如下。
A
B
CD
E F
GH
F3
F2 F1
F6F
5
F4
a
b
bPF
? ? 0ABM
202 66
PFaPaF ??????
00 5 ???? FM AE
00 4 ???? FM AC
? ? 0EFM
02 16 ???? FPF注意到
? ? 0FGM
? ? 0BCM
02 2216 ?
?
??? b
ba
aFaFaP
02 2 ??? bFFbbP
0452 032 ??? bc o sFbFbP
P.F 512 ??
PF 223 ???
例题：求轴承 C,D处的约束反力
05 4 0 0 ???? BCNDCF Dy
? ?,0CZM
? ?,0CYM
05400 ???? DCFAC DZ NF DZ 6520?
NF Dy 1800?
? ?,F y 0 NF Cy 3 6 0 0?
? ?,F z 0 NF CZ 1 1 2 0?
5400N
x
y
z
DzF
DyF
CzF CyF
? 同时承受弯矩、扭矩、剪力
和轴力作用的圆轴
§ 5-8 重心
一、重心的概念及计算公式
重心,物体重力的合力
的作用点
物体重力：空间平行力系
物体重力：
O
C
P
Pi
Mi △ Vi
x
y
z
xc
yc
zc
yi
zi
xi
物体总重量 P 为
图示物体，△ Vi 体积
的重力为 Pi
?? iPP
O
C
P
Pi
Mi △ Vi
x
y
z
xc
yc
zc
yi
zi
xi
物体重心的坐标为
P
zP
z
P
yP
y
P
xP
x
ii
c
ii
c
ii
c
?
?
?
?
?
?
对于均质物体
V
zV
z
V
yV
y
V
xV
x
ii
c
ii
c
ii
c
?
?
?
?
?
?
对于连续物体
V
z d V
z
V
y dV
y
V
x dV
x
c
c
c
?
?
?
?
?
?
二、工程中常用的确定重心的方法
1、简单几何形状的物体
查重心表、或直接计算
2、复杂几何形状的物体
组合法
3、实验法
空间力系,力的作用线不位于同一平面内。
空间力系包括,空间汇交力系
空间力偶系
空间任意力系
已知力 F 与三个坐
标轴的夹角，则该力
在三个轴上的投影为
?
?
?
c osFF
c osFF
c osFF
z
y
x
?
?
?
一、空间力沿直角坐标轴的投影和分解
1,直接投影法
§ 5-1 空间汇交力系
α
β
γ
x
y
z
F?
xF
yF
zF
2、二次投影法
已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
?
?
c o s
s in
FF
FF
z
xy
?
?
若再知道 Fxy 与 x轴的夹角 φ,
?
?
s inFF
c o sFF
xyy
xyx
?
?
最后得：
?
??
??
c os
s i ns i n
c oss i n
FF
FF
FF
z
y
x
?
?
?
第一次投影：
第二次投影
x
y
z
γ F
?
φ
xyF
FZ
Fx
Fy
4 m
2,5m
3m
x
y
z
F1
F2
F3
060
例题 已知,F1 =500N,F2=1000N,F3=1500N，
求：各力在坐标轴上的投影
解,F1, F2 可用直接投影法
?
?
?
c osFF
c osFF
c osFF
z
y
x
?
?
?
NFF
F
F
z
y
x
500
0
0
11
1
1
????
?
?
0
50060
866
2
3
100060
2
0
22
0
22
?
??
???????
z
y
x
F
Nc osFF
Ns i nFF
φ
γ
对 F3 应采用直接投影法
?
??
??
c os
s ins in
c oss in
FF
FF
FF
z
y
x
?
?
?
4 4 7 20
8 9 4 40
5234
34
222
22
.c o s
.
.AB
BCs in
?
?
??
???
?
?
4 m
2,5m
3m
x
y
z
F1
F2
F3
060
A
C
D
B
60
34
3
80
34
4
22
22
.
BC
BDc os
.
BC
CDs in
?
?
??
?
?
??
?
?
N..c o ss i nFF x 805608 9 4 401 5 0 0 ????? ??
N..s i ns i nFF y 1 0 7 3808 9 4 401 5 0 0 ???????? ??
N.c o sFF z 6 7 14 4 7 201 5 0 0 ???? ?
二、空间汇交力系的合成和平衡
? 1、合成
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力
作用点（线）通过汇交点。
?
?
?????
n
i
inR FFFFF
1
21
??????
空间合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于
力系中各分力在同一轴上投影的代数和。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
izRz
n
i
iyRy
n
i
ixRx
FF
FF
FF
1
1
1
根据空间合力投影定理，合力的大小和方向可
按照以下公式进行计算。
? ? ? ? ? ? 222 RzRyRxR FFFF ???
R
Rz
R
R
Ry
R
R
Rx
R
F
F
)k,F(C O S
F
F
)j,F(C O S
F
F
)i,F(C O S
?
?
?
??
??
??
合力的大小：
合力的方向：
kFjFiFF RzRyRxR ???? ???
? ? ? ? ? ? 222 ??? ??? ziyixi FFF
2,空间汇交力系的平衡
? 空间汇交力系平衡的充要条件为：合力 = 0。
0
1
?? ?
?
n
i
iR FF
??
由于
空间汇交力系的平衡条件：
?
?
?
?
?
?
0
0
0
z
y
x
F
F
F
? ? ? ? ? ? 222 ??? ??? ziyixiR FFFF
x
y
z
A
B
C
D
E
α
α
P
例题,已知：
求：起重杆 AB及绳子的拉力
kNPEDEBCE 10,30,0 ???? ?
x
y
z
A
BC
D
E
α
α
AF
1F
2F
P
解：取 起重杆 AB为研究对象
建坐标系如图，
列平衡方程：
? ? 0xF
? ? 0yF
030
30453045
0
00
2
00
1
???
?
Pc o sF
s inc o sFs inc o sF
A
x
y
z
A
BC
D
E
α
α
AF
1F
2F
P
解得：
kNFF
kNFF
A 66.86
54.3
22
10
1
21
??
???
04545 0201 ?? s inFs inF
03045
304530
00
2
00
1
0
??
?
c o sc o sF
c o sc o sFs inF A
? ? 0zF
x
y
z
A
BC
D
E
α
α
AF
1F
2F
P
空间汇交力系在任一平面上的投
影 → 平面汇交力系
空间汇交 力系平衡，
投影得到的平面汇交
力系也必然平衡。
A y
z
B
E
α P
AF
? ?2122 FF ?
03045
304530
0
00
2
00
1
0
??
?
??
c o sc o sF
c o sc o sFs inF
,F
A
y
030
30453045
0
0
00
2
00
1
???
?
??
Pc o sF
s inc o sFs inc o sF
,F
A
z
§ 5-2 空间力对点的矩和力对轴的矩
? ?FM O ??
r
x
y
z
F
O
A
B
空间力对点的矩取决于：
? ?FM O ??
这三个因素可以用一个矢量来
表示，记为：
（ 1）力矩的大小
一、空间力对点的矩
（ 2）力矩作用面的方位
（ 3）力矩在作用面内的转向
空间力对点的矩的计算
（ 1）力矩的大小为：
? ? O ABhFFM O ???? 2??
（ 2）力矩矢通过 O点
由矢量分析理论可知：
? ? FrFM O ???? ?? x
y
z
F
r
? ?FM O ??
O
A
B
h
（ 3）力矩矢的方向：垂直于 OAB
平面，指向由右手螺旋法则决定
之。
?力 矩 矢 量 的 方 向
按右手定则
r
OM
? F
?
FrM O ??? ??
? 力对点之矩的矢量运算
=
F
Fx
Fy
Fz
r
由高等数学知：
? ? ? ? ? ? kyFxFjxFzFizFyF xyzxyz ??? ??????
? ? FrFM O ???? ??
zyx FFF
zyx
kji
???
二、力对轴之矩
1、定义,
力使物体绕某一轴
转动效应的量度,称
为力对该轴之矩,
2、力对轴之矩实例
Fz
Fx
Fy
F
方法一,
3,力对轴之矩的计算
力 F对 z轴的矩等于该力在
通过 O点垂直于 z轴的平面
上的分量 对于 O点的矩 。
xy F
? ? ? ?xyOz FMFM ??
Mz (F) = Fxyd
=? 2(?OAB)
将力向垂直于该轴的平面投影,
力对轴的矩 等于力的投影 与投影
至轴的垂直距离的乘积,
方法二,
力对轴之矩的计算
将力向三个坐标轴方
向分解,分别求三个分力对
轴之矩，然后将三个分力
对轴之矩的代数值相加。
? ? ? ? ? ?
? ?zz
yzxzz
FM
FMFMFM
?
???
?
??
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
2、力与轴线平行
Fz
Fx
Fy
F
力对轴之矩代数量的正负号
（按照 右手螺旋法则决定之）
三、力对轴之矩与力对 点之 矩的关系
结论,
力对点之矩的矢
量在某一轴上的投影,
等于该力对该轴之矩 。
?γ
C
即：
? ? ? ?? ?ZOz FMFM ??? ?
? ? ? ? ?c o sFMFM Oz ??? ?
? ?FMO ??
γ ? ?FMz ?
所以，可得
? ? ? ? O ABFMFM xyOz ??? 2?
? ? ? ? ?c o sFMFM Oz ??? ?
? ? O ACFM O ?? 2??
?c o sO ACO AB ???
由右图可见：
结论的说明：
γ
?γ
C
? ?FMO ??
γ ? ?FMz ?
四、力对直角坐标轴之矩的解析表达式
前已述及：
由此可得,? ?
? ?
? ?
xyz
zxy
yzx
yFxFFM
xFzFFM
zFyFFM
??
??
??
?
?
?
=FrM
O
??? ??
ZYX
zyx
kji
???
? ? ? ?
? ? kyFxF
jxFzFizFyF
xy
zxyz
?
??
??
????
Fx
Fy
Fz
x
y
z
A
B
C D E
θ
F
FzFy
例题 已知,AB = BC = l,CD = a,力 F 位于垂直于 y
轴的平面内，偏离铅垂线的角度为 θ
求：力 F对 x,y,z 轴的矩
方法一,将力向三个坐标轴方
向分解后，直接计算
? ? ? ?
? ?alc o sF
CDABFFM zx
???
???
?
?
?
?
cosFF
sinFF
z
x
?
?? ?
lc o sF
BCFFM zy
???
????
? ? ? ?
? ?als inF
CDABFFM xz
???
???
?
?
x
y
z
A
B
C D E
θ
F
FzFy
方法二,利用公式 计算? ?
? ?
? ? xyz
zxy
yzx
yFxFFM
xFzFFM
zFyFFM
??
??
??
?
?
?
本问题中
?
?
cosFF
F
sinFF
z
y
x
??
?
?
0
0?
??
??
z
aly
lx
? ? ? ?alc o sFzFyFFM yzx ????? ??
? ? lc o sFxFzFFM zxy ??????
? ? ? ?als inFyFxFFM xyz ????? ??
§ 5-3 空间力偶
有关平面力偶的回顾
?力 偶, 大小相等,方向相反,不共线的
两个力所组成的力系,
F1
F2
? 力偶作用面,
二力所在平面。
? 力偶的作用面与力偶 臂
F1
F2
dFM ??
? 力偶臂 d:二力作
用线之间的垂直距离
? 力偶矩的大小
特点二, 力偶仅对刚体产生转动效应，
并只与力偶矩的大小和转向有关,
? 力 偶 的 特 点
特点一, 力偶无合力,即主矢 FR=0.
力 偶 实 例
? 力 偶 实 例
F1
F2
一、力偶矩矢量，空间力偶等效条件
Mx
My
Mz
平面力偶的决定因素：
大小、转向
空间力偶的决定因素：
大小、转向、力偶矩作用
面的方位
平面力偶,代数量，
空间力偶的等效条件：
两个力偶矩矢的大小相
等、方向平行、指向相同。
空间力偶,矢量，力偶矩矢
力偶系,由两个或两个以上力偶组成的
特殊力系
y
1、空间力偶系的合成
空间力偶系的合成结果
仍然是一个力偶，其力
偶矩矢量等于原力偶系
中所有力偶矩矢量之和
。即
M
二、空间力偶系合成和平衡
?
?
?
n
i
iMM
1
??
上式的解析表达式为
合力偶矢在
x,y,z轴上的
投影等于各分
力偶矢在相应
轴上投影的代
数和。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
izz
n
i
iyy
n
i
ixx
MM
MM
MM
1
1
1
kMjMiMM zyx ???? ???
计算出合力偶矩矢在 x,y,z轴上的投
影后，即可按照下述公式算得合力偶矩矢
的大小和方向。
? ?
? ?
? ?
M
M
kM
M
M
JM
M
M
iM
MMMM
z
y
x
n
i
iz
n
i
iy
n
i
ix
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ???
???
??
??
??
,c os
,c os
,c os
2
1
2
1
2
1
2、空间力偶系的平衡
由于空间力偶系的合成结果是一个合力偶矩，
空间力偶系平衡充要条件为：合力偶矩等于零
0
1
?? ?
?
n
i
iMM
?
上式的投影方程为：
0,0,0
111
??? ???
???
n
i
iz
n
i
iy
n
i
ix MMM
空间力偶系有三个独立的平衡方程，
可以求解三个未知量。
§ 5-4 空间任意力系向一点的简化，
主矢和主矩
一、力线平移定理
作用于刚体上的任一个力可以
平移到刚体上任一点 O，但除该力
外，还需加上一个附加力偶，其力
偶矩矢等于该力对于 O点的力矩矢。
? 力向一点平移
力向一点平移的结果, 一个力和
一个力偶,力偶的力偶矩等于原来
力对平移点之矩,
F
F
－ F M
OM
?
? 力向一点平移实例
F
F
-F
F
? 力向一点平移实例
F
F
－ F
F
M
F
Mx
My
二、空间任意力系向一点的简化
图示力系向 O点简化 力 F1平移到 O点
F1
F2
F3
Fn
O
F1
M 1
O
? 将每个力向简化中心平移
F1
F2
F3
Fn
F1
F2F
n
M1
M2M
n
O
F1
F2F
n
M1
M2M
n
将所有的力都平移到 O点后，得到一个
空间汇交力系和一个空间力偶系。
空间汇交力系的合成结
果为一个合力 — 主矢
?
?
?
n
i
iR FF
1
??
空间力偶系的合成结果
为一个合力偶 — 主矩
?
?
?
n
i
iO MM
1
?? FR
MO
主矢 作用于简化中心 O，与简
化中 心的选择无关
主矩 与简化中心的选择有关
? 空间任意力系简化的结果
空间任意力系
空间汇交力系 空间力偶系
合力 （主矢）
?? iR FF ??
合力 偶（主矩）
? ??? iOO FMM ???
三、主矢和主矩的计算
主矢 — 通过投影法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
ziRz
n
i
yiRy
n
i
xiRx
FF
FF
FF
1
1
1
先计算得到主矢在
各轴上的投影
根据它们，可得到
主矢的大小和方向
? ? ? ? ? ? 222 RxRxRxR FFFF ???? ?
? ?
? ?
F
F
kF
F
F
jF
F
F
iF
Rz
Rz
Ry
Ry
Rx
Rx
?
?
?
??
??
??
,c os
,c os
,c os
主矩, 利用力矩合成
定理，先计算出主矩在
各个坐标轴上的投影
（主矩在某一坐标轴上的投
影各分量在同一坐标轴上投
影的代数和）
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
izOz
n
i
iyOy
n
i
ixOx
FMM
FMM
FMM
1
1
1
?
?
?
? ? ? ? ? ? 222 OzOyOyO MMMM ???? ?
? ?
? ?
M
M
kM
M
M
jM
M
M
iM
Oz
O
Oy
O
Ox
O
?
?
?
??
??
??
,c o s
,c o s
,c o s
根据它们，可得到
主矩的大小和方向
情况 1,FR≠ 0,MO = 0 ? 合力
情况 2,FR = 0,MO ≠ 0 ? 合力偶
§ 5-5 空间任意力系向某一点 (O )简
化结果的分析
空间任意力系向某一点 (O )简化
结果有如下 四种 情况：
情况 4,FR = MO = 0 ? 零力系 (平衡力系 )
情况 3,FR ≠ 0,MO ≠ 0(最普遍情况, 下面 还
将进一步讨论 )
空间任意力系一般情况 （ FR≠ 0,MO≠ 0 ）
的进一步讨论，
1,F R垂直于 MO
2,F R平行于 MO
3,F R既不平行也不垂直 MO
该情况又可进一步区分为下述三种情况：
三种结果可进一步讨论如下
MO
FR
最
后
结
果 F
R
d=M/FR
1,F R垂直于 MO
可最终简化为通过
点 O’的合力
O’
2,F R平行 于 MO
x
y
z M
Ox F
R
d=M/FR
无法进一步简化，
力 螺 旋
工程实例
x
y
z
MOx
MOy
FR
x
y
z M
Ox F
R
d=M/FR
最
后
结
果
FR
MO
x
y
z
情况 3,F R既不平行也不垂直 MO
力 螺 旋
O’
§ 5-6 空间任意力系的平衡条件
空间任意力系的平衡条件为,主矢和主矩都等于零。
上述公式的投影方程为：
空间任意力系有六个独立的平衡方程，
可以解得六个未知量。
0
0
?
?
O
R
M
F
?
?
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
0
0
0
iz
iy
ix
FM
FM
FM
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
z
y
x
F
F
F
空间平行力系的平衡条件：
x
y
z
显然,
?
?
?
?
?
?
0
0
0
Z
y
x
M
F
F
可以自动满足，独立
平衡方程为：
?
?
?
?
?
?
0
0
0
y
x
z
M
M
F
活 页 铰
滑动轴承
止推轴承
夹持铰支座
三维固定端
§ 5-7 几种常见的 空间约束
球 铰
球 铰
FRy
FRx
FRz
球
股骨
盆骨
球窝
盆骨与股骨之间的球铰连接
? 活页铰
? 滑动轴承
? 止推轴承
? 夹持铰支座
? 三维固定端
小车重 P = 8 kN,载荷 P 1 = 10 kN，
求：地面对车轮的反力
例题：
m60.
m60.
m20.
m2
m21.
m20.
BF
?
AF
?
DF
?1P?
P?
A
B
D
x
y
z
O
E
C
m60.
m60.
m20.
m2
m21.
m20.
BF
?
AF
?
DF?1P
?
P?
A
B
D
x
y
z
O
E
C
取 Oxyz 坐标系如图，
01 ?????? DBA FFFPP
? ? 0zF
? ?? ? 0FM x ? 022.12.0 1 ???? DFPP
? ?? ? 0FM y ? 02.16.06.08.0 1 ???? BD FFPP
解得：
kNF D 8.5?
kNF B 7 7 7.7?
kNF A 4 2 3.4?
A
B
CD
E F
GH
a
b
bP
F
例题：
图示长方形板用六根直杆固定于水平位置。板的重量
为 P，受水平力 F = 2P，
求：各杆的内力
A
B
CD
E F
GH
F3
F2 F1
F6
F5
F4
a
b
bP
F
解：各支杆均为二力杆，设各杆均受拉，得结
构的受力图如下。
A
B
CD
E F
GH
F3
F2 F1
F6F
5
F4
a
b
bPF
? ? 0ABM
202 66
PFaPaF ??????
00 5 ???? FM AE
00 4 ???? FM AC
? ? 0EFM
02 16 ???? FPF注意到
? ? 0FGM
? ? 0BCM
02 2216 ?
?
??? b
ba
aFaFaP
02 2 ??? bFFbbP
0452 032 ??? bc o sFbFbP
P.F 512 ??
PF 223 ???
例题：求轴承 C,D处的约束反力
05 4 0 0 ???? BCNDCF Dy
? ?,0CZM
? ?,0CYM
05400 ???? DCFAC DZ NF DZ 6520?
NF Dy 1800?
? ?,F y 0 NF Cy 3 6 0 0?
? ?,F z 0 NF CZ 1 1 2 0?
5400N
x
y
z
DzF
DyF
CzF CyF
? 同时承受弯矩、扭矩、剪力
和轴力作用的圆轴
§ 5-8 重心
一、重心的概念及计算公式
重心,物体重力的合力
的作用点
物体重力：空间平行力系
物体重力：
O
C
P
Pi
Mi △ Vi
x
y
z
xc
yc
zc
yi
zi
xi
物体总重量 P 为
图示物体，△ Vi 体积
的重力为 Pi
?? iPP
O
C
P
Pi
Mi △ Vi
x
y
z
xc
yc
zc
yi
zi
xi
物体重心的坐标为
P
zP
z
P
yP
y
P
xP
x
ii
c
ii
c
ii
c
?
?
?
?
?
?
对于均质物体
V
zV
z
V
yV
y
V
xV
x
ii
c
ii
c
ii
c
?
?
?
?
?
?
对于连续物体
V
z d V
z
V
y dV
y
V
x dV
x
c
c
c
?
?
?
?
?
?
二、工程中常用的确定重心的方法
1、简单几何形状的物体
查重心表、或直接计算
2、复杂几何形状的物体
组合法
3、实验法
