第三章 平面任意力系
平面任意力系向作用面内一点简化
平面任意力系的简化结果分析
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程
桁架简介
§ 3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
一, 力线的平移定理
r
在 O点作用什么力系才能使二者等效 ?
F
r
怎样才能将力 F从 A点平行移动到 O点？
? 力向一点平
移
加减平衡力系 (F,-F),二者等效。
F
r
F
F－ F
力线平移定理, 可以将作用于刚体上 A点上的
力 F 平行移动到任一点 O,但必须附加一个力偶,
附加力偶的力偶矩等于原力 F 对 O 点之矩。
M
? 力线平移的逆过程
一个力偶矩和一个作用于同一平面的
力 F，可以进一步简化为一个力 。
F
F－ F
M
F
r
F
Md O?图中：
二, 平面任意力系向作用面内一点简化
F1
F2
F3
O
y
xO
F1/ M1 F2
/M2
F3/
M3
= xO
FR/Mo
y
=
? ? ? ? ? ?332211 F F F ??? ooo MMMMMM ???
平面任意力系
平面汇交力系
平面力偶系
?
?
? n
i
i
'
R
1
FF ??
? ??
?
?
n
i
ioo MM
1
F
平面任意力系向 O点简化结果：
即简化结果为一个主矢和一个主矩。
合力 — 该力系的 主矢,
通过 O点 。R
F??
合力偶 — 该力系对于 O
点的 主矩 。
OMxO
Mo
y
RF?
?
三, 主矢和主矩
主矢的解析表达式：
?? ???? jFiF yx'Ry'Rx'R ????? FFF ? ? ? ?
? ? ? ?
'
R
y'
R'
R
x'
R
yx
'
R
F
F
,c os
F
F
,c os
FFF
??
??
??
??
jFiF
22
????
主矩的解析表达式：
? ? ? ???
??
???
n
i
xiiyii
n
i
ioo FyFxMM
11
F
?
xO
Mo
y
RF?
?
例：固定端约束 (平面荷载作用的情形 )
固定端约束的约束反力,
平面分布约束力
简化结果：
FA x,FA y,MA
AxF
?
AyF
?
AM
固定端约束的约束反力,
AAyAx M,F,F
??
三种常见的 支座 约束
NF
NF
?
1、滚动铰支座 NF
AyF
?
AxF
? A
2、固定铰支座
3、固定端
§ 3-2 平面任意力系的简化结果分析
1,— 合力偶 0 0F ?? o'R M,?
2,— 合力 0 0F ?? o'R M,?
3,— 可进一步简化为 20 0F ?? o'R M,?
4,— 平衡 0 0F ?? o'R M,?
力系向某一点 (O )简化的几种结果
1,— 合力偶 0,0' ??
oR M F
作用于简化中心 O 的汇交力系平衡；
附加的力偶系不平衡，合力偶矩为：
? ??
?
?
n
i
ioo MM
1
F
?
注意, 此时主矩与简化中心的选择无关。
2,— 合力 0,0' ??
oR M F
附加的力偶系平衡；
向 O点简化的汇交力系合力为 。'RF
注意, 此时合力 的作用线恰好通过选定'RF
的简化中心 O。
3,— 可进一步简化为 20,0' ??
oR M F
(2,— 合力 ) 0,0' ??
oR M F
O 'O
'RF
oM
O 'O
'RF
d
''RF
RF
= O
'O
d
RF
=
合力矩定理：
平面任意力系的 合力 FR 对作用面内任一点的
矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
? ? ? ??? iORO MM FF ??
O 'O
d
RF
=
? ? F?? iOO MM ?
? ? ? ????? ioORRO MMdFM FF ??
F1
F2
F3
O
O 'O
'RF
oM=
例题：
已知：
P1=450kN,P2=200kN,
F1=300kN,F2=70kN。
5.7m
3m
9m
3m
1.5m
3.9m
O
AB
C
F1 F2
θ
x
y
P1
P2
求,1、力系的合力 FR,
2、合力与基线 OA的交
点到 O点的距离，以及合
力作用线方程。
解,（ 1） 先将力系向 O点简化，
求得主矢 FR/和 主矩 Mo
o
CB
ABA C B 7.16a r c t a n ?????
kN.s i nFPPFF
kN.c o sFFFF
y
'
Ry
x
'
Rx
1670
9232
221
21
???????
????
?
?
?
?5.7m
3m
9m
3m
1.5m
3.9m
O
AB
C
F1 F2
θ
x
y
P1
P2
P1=450kN,P2=200kN,
F1=300kN,F2=70kN。
主矢 FR/的大小,? ? ? ? kN.FFF
yx'R 47 0 9
22 ??? ??
主矢 FR/的方向余弦,? ? 32830i F,
F
F,c o s
'
R
x'
R ??
?
(故主矢与 x轴的夹角为 -70.84o。 )
力系对点 O的主矩为：
? ? mkNPPFMM oo ???????? ? 2 3 5 59.35.13 211F
O A
C
70.84o
oM
'RF
'RxF
'RyF
O A
C
70.84o
RF
RxF
RyF
x
(2) 合力 FR的大小和方向与主矢 FR/相同。 x
值可根据合力矩定理求得：
? ? ? ? ? ? ? ? xFMMMMM RyRyoRyoRxoRoo ?????? FFFF
mFMx Ryo 514.3??
kN.FF
kN.FF
y
'
Ry
x
'
Rx
1670
9232
???
??
?
?
? ? mkNMM oo ???? ? 2355F
(3) 设 (x,y)为合力作用线上一点，将合力作
用于此点，则合力对原点的矩：
? ? ?? ????? xyRxRyRoo FyFxyFxFMM F
? ? ? ?9.2 3 21.6 7 02 3 5 5 yx ????
02 3 5 59.2 3 21.6 7 0 ??? yx
O
C
RF
RxF
RyF
x
(x,y)
70.84o
kN.FF
kN.FF
y
'
Ry
x
'
Rx
1670
9232
???
??
?
?
? ? mkNMM oo ???? ? 2355F
§ 3-3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、平衡条件,力系的主矢和对任一点的主矩都
等于零。
二、平衡方程,
（两投影一力矩）
? ? 0F
0
0
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
io
n
i
yi
n
i
xi
M
F
F
主矢 ? ?? 0iR FF ??
主矩 ? ? 0?? ? iO FMM ?
0
0
0
?
?
?
?
?
?
O
y
x
M
F
F简写为：
三、平衡方程的另外两种形式：
? ?
? ?
0
0F
0F
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
x
n
i
iB
n
i
iA
F
M
M
?
?
形式一：
（一投影二力矩）
? ?
? ?
? ? 0
0
0
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
iC
n
i
iB
n
i
iA
M
M
M
F
F
F
形式二：
（三力矩）
形式一注意,x 轴不得垂直于 A,B两点连线。
形式二注意,A,B,C三点不得共线。
例,简支梁受力如图，已知 F＝ 300N,q=100N/m,
求 A,B处的约束反力。
F q
A B
C D
2m 2m 4m
解：简支梁受力如图所示：
BFAyF
AxF
00 ???? Axx FF
0?? AM
02648 ??????? FqF B
NF B 375?
NF Ay 325?
0?? yF
? ?104 ????? qFFF BAy
代入（ 1）式
例,简支梁受力如图，已知 F＝ 300N,q=100N/m,
求 A,B处的约束反力。
F q
A B
C D
2m 2m 4m
解：简支梁受力如图所示：
BFAyF
AxF
00 ???? Axx FF
0?? AM
0?? BM
02648 ??????? FqF B
NF B 375?
08246 ??????? AyFqF
NF Ay 325?
A
B
q
3m
1m
M
1m
D
F?
α
P
已知,P = 100 kN, F = 400 kN, M = 20 kN·m, q = 20 kN /m
求,支座 A的约束力
A
B
3m
1m
M
1m
D
F?
α
PqF
?
1m
解,kNlqF
ACq 302
1 ????分布力的合力
作用位置如图
A
B
3m
1m
M
1m
D
F?
α
PqF
?
1m
AxF
?
AyF
?
AM
P = 100 kN, F = 400 kN, M = 20 kN·m, q = 20 kN /m
kNF q 30?? 对 ABD杆列平衡方程
? ? 0xF 060 0 ??? s i nFFF qAx
? ? 0yF 060 0 ??? c o sFPF Ay
? ? 0AM
01603601 00 ???????? c o sFs i nFFMM qA
解得：
mkNM
kNF
kN.F
A
Ay
Ax
???
?
?
118 8
300
4316
例,悬臂梁承受荷载如图，已知 q0＝ 2kN/m,
M=2kN/m,求支座 A处的约束反力。
A
B C
q0
3m
1m
M
解：悬臂梁受力如图所示：
AxF
AyF
AM
03210 0 ??????? Axx FqF
kNF Ax 3 ?
kNFF Ayy 00 ????
023210 0 ????????? AA MqMM
)(mkNM A 逆??? 4
§ 3-4 平面平行力系的合成和平衡
O x
y
F1
F2
F3 F4
0?? X
形式一：
? ? 0
0
?
?
?
?
iO
y
FM
F
?
形式二,? ?
? ? 0
0
?
?
?
?
iB
iA
FM
FM
?
?
形式二注意,A,B连线不得与各力平行。
平面平行力系的平衡方程：
§ 3-5 物体系统的平衡，静定和静不定问题
一,物体系统的平衡
求解物系平衡问题的基础：
物系平衡时，组成该物系的每一个物体，以
及每一个子系统都将处于平衡状态。
求解物系平衡问题时要注意的问题：
1、研究对象的选取、受力图
2、外力和内力
3,研究对象的受力图上只画外力不画内力
整体平衡，局部必然平衡
二、静定和静不定
静定问题,系统中的未知力的数目 等于 独立平衡方
程数,所有的未知力都 能 由静平衡方程求出。
静不定问题,系统中的未知力的数目 多于 独立平衡
方程数,由静平衡方程 不能 求出所有的未知力。
物系中的未知力的数目 = 独立平衡方程数
物系中的未知力的数目 ﹥ 独立平衡方程数
物系中的未知力的数目 ﹤ 独立平衡方程数
静定问题
静不定问题
可动机构
小 结；
求解物系平衡问题时如何选取研究对象？
方法 1,首先考虑取系统整体为研究对象，然
后再选取单个物体或子系统。
方法 2,首先考虑取某个特殊的单个物体或子
系统为研究对象，然后再选取其他物体、子系
统或系统整体。
选取原则,避免计算非待求的中间变量
尽量避免求解联立方程组
例 1,已知 F＝ 500N,q=250N/m,M=500N.m,求
A,B,E处的约束反力。
解,(1)取 CE杆为研究对象，受力如图 (b):
qF M
1 1 2 2 2
A
B C D
E
(a)
M
D
EC
q
EyFCyF
CxF
(b)
对 CE杆 0??
CM 0124 ????? qMF Ey
NF Ey 250?
qF M
1 1 2 2 2
A
B C D
E
EyF
ByF
AyF
AxF
(2)取整体为研究对象，受力如图
NF Ey 250?
00 ???? Axx FF
0214480 ???????????? ByEyA FFqMFM
NF By 1500 ?
040 ????????? EyByAyy FFFqFF
NF Ay 2 5 0 ??
F＝ 500N,q=250N/m,
M=500N.m
§ 3-6 桁架的静力分析
一、桁架的定义；
二、工程中的桁架结构
三、桁架的基本假定；理想桁架
四、桁架类型；
五、桁架静力分析方法。
本节的研究内容
工程中由杆件通过焊接、铆接
或螺栓连接而成的结构，称为
,桁架”。
一、桁架的定义
桁 架 的 定 义 工程中由杆件通过焊接、铆接或螺栓连接而成的结构，称为
,桁架”。
桁 架中节点的连接情况（铆接、焊接、螺接）
二、工程中的桁架结构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
外白渡桥横跨在苏州河上，位于外滩北侧，建于
1907年，是一座雄伟的铁桥。这座古老的铁桥包
含了浓浓的旧上海风韵。
上海外白渡桥
上海外白渡桥 全景
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
埃菲尔铁塔塔身总重量 7000吨。从塔座到塔顶共有 1711级阶
梯。每逢晴空万里，这里可以看到远达 70公里之内的景色。
巴
黎
埃
菲
尔
铁
塔
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
桁架静力分析
设
计
要
求
? 符合要求的杆件；
涉及类型、尺寸和材料，
但首先是静力学分析
? 良好的连接件。
理想桁架的基本假定：
三、桁架的基本假定 — 理想桁架
理想桁架的特点：
1,所有杆件只在端部连接
2、铰链都是光滑的、无摩擦，
3、外力仅作用在节点上，
4、杆件的自重不计
组成桁架的杆件只承受拉力或压
力，都是 二力杆
节点 杆件
简化计算模型
简化计算模型
杆件节点节点
杆件
节点 杆件 节点 杆件
力学中的桁架模型
与实际结构的差异
平面桁架
四,桁架的分类 — 平面桁架和空间桁架
?平面结构，
载荷作用在结构
平面内；
? 对称结构，
载荷作用在对称
面内。
桁架分类
空间桁架
? 结构是空间的，
载荷是任意的；
? 结构是空间的，
载荷是任意的；
? 节点力的作用线沿杆的轴
线，指向可以假设；
? 以节点为平衡对象 ；
五,静力分析的基本方法
1,节 点 法
节点法
例题：分析图示桁架的受力情况
节点法
FC y
FC x
FD y
FC x = 0,FC y = - 800 N,FD y = 2600 N 。
首先确定约束力
FA D
FD B FD C
FC y
FC BF BC
FB A
FA B
FC xF
C DF B D
FD y
FD A 指向节者点为压力；
背向节者点为拉力。
FC y
FC x
FD y
以节点为平衡对象，
画出受力图：
FC x = 0,FC y = - 800 N,
FD y = 2600 N 。
建立平衡方程，求解
全部未知力：
FAB ＝ 1600 N (拉 ),
FAD＝ -1385.6 N (压 ),
FBC＝ 1385.6 N (拉 ),
FBD＝ -1800 N (压 ),
FCD＝ -1600 N (压 ).
FA D
FD B FD C
FC y
FC BF BC
FB A
FA B
FC xF
C DF B D
FD y
FD A
FC x = 0,
FC y = - 800 N,
FD y = 2600 N 。
? 考察任意一部分局部桁架的平衡，
直接求得杆件的内力，进而求得节点
受力。
? 用假想截面将桁架 截 开成两部分；
2,截面法
例题,用 截面法 分析图示桁架的受力情况
A
FAx
FAy FE
0 60
FE=700N.
?MA= 0,
A
FAx
FAy FE
首先确定约束力
?Fx= 0,
FAx= 0
?ME= 0,
FAy= 500N;
用假想截面将桁架截开
考察局部桁架的平衡
FAB
FAC
FAB= - 577 N,
FAC = 289 N,
用另一截面将桁架截开
FAC
FBC
FBD
C
NF
mNmF
M
AC
AC
B
6.2 8 8
015 0 03
0
?
????
??
? ?
N
F
Y
BC
5.115
2
3
400500
0
?
?
?
??
NF
FFF
X
BD
BCBDAC
4.346
0
2
1
0
??
????
??
六、零力杆及其判别方法
零力杆, 内力等于零的杆件
判别方法, 节点上有三个杆件，其中两杆位
于同一直线上，则当该节点上无外力作用时，
第三根杆件必为 零力杆。
A
F1
F3
F2
对于图示 A节点，显
然 F3 = 0，
∴ 3 杆为 零力杆
平面任意力系向作用面内一点简化
平面任意力系的简化结果分析
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程
桁架简介
§ 3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
一, 力线的平移定理
r
在 O点作用什么力系才能使二者等效 ?
F
r
怎样才能将力 F从 A点平行移动到 O点？
? 力向一点平
移
加减平衡力系 (F,-F),二者等效。
F
r
F
F－ F
力线平移定理, 可以将作用于刚体上 A点上的
力 F 平行移动到任一点 O,但必须附加一个力偶,
附加力偶的力偶矩等于原力 F 对 O 点之矩。
M
? 力线平移的逆过程
一个力偶矩和一个作用于同一平面的
力 F，可以进一步简化为一个力 。
F
F－ F
M
F
r
F
Md O?图中：
二, 平面任意力系向作用面内一点简化
F1
F2
F3
O
y
xO
F1/ M1 F2
/M2
F3/
M3
= xO
FR/Mo
y
=
? ? ? ? ? ?332211 F F F ??? ooo MMMMMM ???
平面任意力系
平面汇交力系
平面力偶系
?
?
? n
i
i
'
R
1
FF ??
? ??
?
?
n
i
ioo MM
1
F
平面任意力系向 O点简化结果：
即简化结果为一个主矢和一个主矩。
合力 — 该力系的 主矢,
通过 O点 。R
F??
合力偶 — 该力系对于 O
点的 主矩 。
OMxO
Mo
y
RF?
?
三, 主矢和主矩
主矢的解析表达式：
?? ???? jFiF yx'Ry'Rx'R ????? FFF ? ? ? ?
? ? ? ?
'
R
y'
R'
R
x'
R
yx
'
R
F
F
,c os
F
F
,c os
FFF
??
??
??
??
jFiF
22
????
主矩的解析表达式：
? ? ? ???
??
???
n
i
xiiyii
n
i
ioo FyFxMM
11
F
?
xO
Mo
y
RF?
?
例：固定端约束 (平面荷载作用的情形 )
固定端约束的约束反力,
平面分布约束力
简化结果：
FA x,FA y,MA
AxF
?
AyF
?
AM
固定端约束的约束反力,
AAyAx M,F,F
??
三种常见的 支座 约束
NF
NF
?
1、滚动铰支座 NF
AyF
?
AxF
? A
2、固定铰支座
3、固定端
§ 3-2 平面任意力系的简化结果分析
1,— 合力偶 0 0F ?? o'R M,?
2,— 合力 0 0F ?? o'R M,?
3,— 可进一步简化为 20 0F ?? o'R M,?
4,— 平衡 0 0F ?? o'R M,?
力系向某一点 (O )简化的几种结果
1,— 合力偶 0,0' ??
oR M F
作用于简化中心 O 的汇交力系平衡；
附加的力偶系不平衡，合力偶矩为：
? ??
?
?
n
i
ioo MM
1
F
?
注意, 此时主矩与简化中心的选择无关。
2,— 合力 0,0' ??
oR M F
附加的力偶系平衡；
向 O点简化的汇交力系合力为 。'RF
注意, 此时合力 的作用线恰好通过选定'RF
的简化中心 O。
3,— 可进一步简化为 20,0' ??
oR M F
(2,— 合力 ) 0,0' ??
oR M F
O 'O
'RF
oM
O 'O
'RF
d
''RF
RF
= O
'O
d
RF
=
合力矩定理：
平面任意力系的 合力 FR 对作用面内任一点的
矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
? ? ? ??? iORO MM FF ??
O 'O
d
RF
=
? ? F?? iOO MM ?
? ? ? ????? ioORRO MMdFM FF ??
F1
F2
F3
O
O 'O
'RF
oM=
例题：
已知：
P1=450kN,P2=200kN,
F1=300kN,F2=70kN。
5.7m
3m
9m
3m
1.5m
3.9m
O
AB
C
F1 F2
θ
x
y
P1
P2
求,1、力系的合力 FR,
2、合力与基线 OA的交
点到 O点的距离，以及合
力作用线方程。
解,（ 1） 先将力系向 O点简化，
求得主矢 FR/和 主矩 Mo
o
CB
ABA C B 7.16a r c t a n ?????
kN.s i nFPPFF
kN.c o sFFFF
y
'
Ry
x
'
Rx
1670
9232
221
21
???????
????
?
?
?
?5.7m
3m
9m
3m
1.5m
3.9m
O
AB
C
F1 F2
θ
x
y
P1
P2
P1=450kN,P2=200kN,
F1=300kN,F2=70kN。
主矢 FR/的大小,? ? ? ? kN.FFF
yx'R 47 0 9
22 ??? ??
主矢 FR/的方向余弦,? ? 32830i F,
F
F,c o s
'
R
x'
R ??
?
(故主矢与 x轴的夹角为 -70.84o。 )
力系对点 O的主矩为：
? ? mkNPPFMM oo ???????? ? 2 3 5 59.35.13 211F
O A
C
70.84o
oM
'RF
'RxF
'RyF
O A
C
70.84o
RF
RxF
RyF
x
(2) 合力 FR的大小和方向与主矢 FR/相同。 x
值可根据合力矩定理求得：
? ? ? ? ? ? ? ? xFMMMMM RyRyoRyoRxoRoo ?????? FFFF
mFMx Ryo 514.3??
kN.FF
kN.FF
y
'
Ry
x
'
Rx
1670
9232
???
??
?
?
? ? mkNMM oo ???? ? 2355F
(3) 设 (x,y)为合力作用线上一点，将合力作
用于此点，则合力对原点的矩：
? ? ?? ????? xyRxRyRoo FyFxyFxFMM F
? ? ? ?9.2 3 21.6 7 02 3 5 5 yx ????
02 3 5 59.2 3 21.6 7 0 ??? yx
O
C
RF
RxF
RyF
x
(x,y)
70.84o
kN.FF
kN.FF
y
'
Ry
x
'
Rx
1670
9232
???
??
?
?
? ? mkNMM oo ???? ? 2355F
§ 3-3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、平衡条件,力系的主矢和对任一点的主矩都
等于零。
二、平衡方程,
（两投影一力矩）
? ? 0F
0
0
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
io
n
i
yi
n
i
xi
M
F
F
主矢 ? ?? 0iR FF ??
主矩 ? ? 0?? ? iO FMM ?
0
0
0
?
?
?
?
?
?
O
y
x
M
F
F简写为：
三、平衡方程的另外两种形式：
? ?
? ?
0
0F
0F
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
x
n
i
iB
n
i
iA
F
M
M
?
?
形式一：
（一投影二力矩）
? ?
? ?
? ? 0
0
0
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
iC
n
i
iB
n
i
iA
M
M
M
F
F
F
形式二：
（三力矩）
形式一注意,x 轴不得垂直于 A,B两点连线。
形式二注意,A,B,C三点不得共线。
例,简支梁受力如图，已知 F＝ 300N,q=100N/m,
求 A,B处的约束反力。
F q
A B
C D
2m 2m 4m
解：简支梁受力如图所示：
BFAyF
AxF
00 ???? Axx FF
0?? AM
02648 ??????? FqF B
NF B 375?
NF Ay 325?
0?? yF
? ?104 ????? qFFF BAy
代入（ 1）式
例,简支梁受力如图，已知 F＝ 300N,q=100N/m,
求 A,B处的约束反力。
F q
A B
C D
2m 2m 4m
解：简支梁受力如图所示：
BFAyF
AxF
00 ???? Axx FF
0?? AM
0?? BM
02648 ??????? FqF B
NF B 375?
08246 ??????? AyFqF
NF Ay 325?
A
B
q
3m
1m
M
1m
D
F?
α
P
已知,P = 100 kN, F = 400 kN, M = 20 kN·m, q = 20 kN /m
求,支座 A的约束力
A
B
3m
1m
M
1m
D
F?
α
PqF
?
1m
解,kNlqF
ACq 302
1 ????分布力的合力
作用位置如图
A
B
3m
1m
M
1m
D
F?
α
PqF
?
1m
AxF
?
AyF
?
AM
P = 100 kN, F = 400 kN, M = 20 kN·m, q = 20 kN /m
kNF q 30?? 对 ABD杆列平衡方程
? ? 0xF 060 0 ??? s i nFFF qAx
? ? 0yF 060 0 ??? c o sFPF Ay
? ? 0AM
01603601 00 ???????? c o sFs i nFFMM qA
解得：
mkNM
kNF
kN.F
A
Ay
Ax
???
?
?
118 8
300
4316
例,悬臂梁承受荷载如图，已知 q0＝ 2kN/m,
M=2kN/m,求支座 A处的约束反力。
A
B C
q0
3m
1m
M
解：悬臂梁受力如图所示：
AxF
AyF
AM
03210 0 ??????? Axx FqF
kNF Ax 3 ?
kNFF Ayy 00 ????
023210 0 ????????? AA MqMM
)(mkNM A 逆??? 4
§ 3-4 平面平行力系的合成和平衡
O x
y
F1
F2
F3 F4
0?? X
形式一：
? ? 0
0
?
?
?
?
iO
y
FM
F
?
形式二,? ?
? ? 0
0
?
?
?
?
iB
iA
FM
FM
?
?
形式二注意,A,B连线不得与各力平行。
平面平行力系的平衡方程：
§ 3-5 物体系统的平衡，静定和静不定问题
一,物体系统的平衡
求解物系平衡问题的基础：
物系平衡时，组成该物系的每一个物体，以
及每一个子系统都将处于平衡状态。
求解物系平衡问题时要注意的问题：
1、研究对象的选取、受力图
2、外力和内力
3,研究对象的受力图上只画外力不画内力
整体平衡，局部必然平衡
二、静定和静不定
静定问题,系统中的未知力的数目 等于 独立平衡方
程数,所有的未知力都 能 由静平衡方程求出。
静不定问题,系统中的未知力的数目 多于 独立平衡
方程数,由静平衡方程 不能 求出所有的未知力。
物系中的未知力的数目 = 独立平衡方程数
物系中的未知力的数目 ﹥ 独立平衡方程数
物系中的未知力的数目 ﹤ 独立平衡方程数
静定问题
静不定问题
可动机构
小 结；
求解物系平衡问题时如何选取研究对象？
方法 1,首先考虑取系统整体为研究对象，然
后再选取单个物体或子系统。
方法 2,首先考虑取某个特殊的单个物体或子
系统为研究对象，然后再选取其他物体、子系
统或系统整体。
选取原则,避免计算非待求的中间变量
尽量避免求解联立方程组
例 1,已知 F＝ 500N,q=250N/m,M=500N.m,求
A,B,E处的约束反力。
解,(1)取 CE杆为研究对象，受力如图 (b):
qF M
1 1 2 2 2
A
B C D
E
(a)
M
D
EC
q
EyFCyF
CxF
(b)
对 CE杆 0??
CM 0124 ????? qMF Ey
NF Ey 250?
qF M
1 1 2 2 2
A
B C D
E
EyF
ByF
AyF
AxF
(2)取整体为研究对象，受力如图
NF Ey 250?
00 ???? Axx FF
0214480 ???????????? ByEyA FFqMFM
NF By 1500 ?
040 ????????? EyByAyy FFFqFF
NF Ay 2 5 0 ??
F＝ 500N,q=250N/m,
M=500N.m
§ 3-6 桁架的静力分析
一、桁架的定义；
二、工程中的桁架结构
三、桁架的基本假定；理想桁架
四、桁架类型；
五、桁架静力分析方法。
本节的研究内容
工程中由杆件通过焊接、铆接
或螺栓连接而成的结构，称为
,桁架”。
一、桁架的定义
桁 架 的 定 义 工程中由杆件通过焊接、铆接或螺栓连接而成的结构，称为
,桁架”。
桁 架中节点的连接情况（铆接、焊接、螺接）
二、工程中的桁架结构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
外白渡桥横跨在苏州河上，位于外滩北侧，建于
1907年，是一座雄伟的铁桥。这座古老的铁桥包
含了浓浓的旧上海风韵。
上海外白渡桥
上海外白渡桥 全景
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
埃菲尔铁塔塔身总重量 7000吨。从塔座到塔顶共有 1711级阶
梯。每逢晴空万里，这里可以看到远达 70公里之内的景色。
巴
黎
埃
菲
尔
铁
塔
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
工
程
中
的
桁
架
结
构
桁架静力分析
设
计
要
求
? 符合要求的杆件；
涉及类型、尺寸和材料，
但首先是静力学分析
? 良好的连接件。
理想桁架的基本假定：
三、桁架的基本假定 — 理想桁架
理想桁架的特点：
1,所有杆件只在端部连接
2、铰链都是光滑的、无摩擦，
3、外力仅作用在节点上，
4、杆件的自重不计
组成桁架的杆件只承受拉力或压
力，都是 二力杆
节点 杆件
简化计算模型
简化计算模型
杆件节点节点
杆件
节点 杆件 节点 杆件
力学中的桁架模型
与实际结构的差异
平面桁架
四,桁架的分类 — 平面桁架和空间桁架
?平面结构，
载荷作用在结构
平面内；
? 对称结构，
载荷作用在对称
面内。
桁架分类
空间桁架
? 结构是空间的，
载荷是任意的；
? 结构是空间的，
载荷是任意的；
? 节点力的作用线沿杆的轴
线，指向可以假设；
? 以节点为平衡对象 ；
五,静力分析的基本方法
1,节 点 法
节点法
例题：分析图示桁架的受力情况
节点法
FC y
FC x
FD y
FC x = 0,FC y = - 800 N,FD y = 2600 N 。
首先确定约束力
FA D
FD B FD C
FC y
FC BF BC
FB A
FA B
FC xF
C DF B D
FD y
FD A 指向节者点为压力；
背向节者点为拉力。
FC y
FC x
FD y
以节点为平衡对象，
画出受力图：
FC x = 0,FC y = - 800 N,
FD y = 2600 N 。
建立平衡方程，求解
全部未知力：
FAB ＝ 1600 N (拉 ),
FAD＝ -1385.6 N (压 ),
FBC＝ 1385.6 N (拉 ),
FBD＝ -1800 N (压 ),
FCD＝ -1600 N (压 ).
FA D
FD B FD C
FC y
FC BF BC
FB A
FA B
FC xF
C DF B D
FD y
FD A
FC x = 0,
FC y = - 800 N,
FD y = 2600 N 。
? 考察任意一部分局部桁架的平衡，
直接求得杆件的内力，进而求得节点
受力。
? 用假想截面将桁架 截 开成两部分；
2,截面法
例题,用 截面法 分析图示桁架的受力情况
A
FAx
FAy FE
0 60
FE=700N.
?MA= 0,
A
FAx
FAy FE
首先确定约束力
?Fx= 0,
FAx= 0
?ME= 0,
FAy= 500N;
用假想截面将桁架截开
考察局部桁架的平衡
FAB
FAC
FAB= - 577 N,
FAC = 289 N,
用另一截面将桁架截开
FAC
FBC
FBD
C
NF
mNmF
M
AC
AC
B
6.2 8 8
015 0 03
0
?
????
??
? ?
N
F
Y
BC
5.115
2
3
400500
0
?
?
?
??
NF
FFF
X
BD
BCBDAC
4.346
0
2
1
0
??
????
??
六、零力杆及其判别方法
零力杆, 内力等于零的杆件
判别方法, 节点上有三个杆件，其中两杆位
于同一直线上，则当该节点上无外力作用时，
第三根杆件必为 零力杆。
A
F1
F3
F2
对于图示 A节点，显
然 F3 = 0，
∴ 3 杆为 零力杆
