§6-4 水泥混凝土路面的温度应力分析 混凝土路面受周围温度变化的影响，它的线长量与体积量都会发生变化。混凝土作为一种温度线弹性体，它的变形与发生变形前后的温差成正比，其相对线应变为：  （6-98） 式中温度变形系数α的取值，如前所述，在实际计算中，通常可用α=0.00001；而T为变形前后的温度差。混凝土体积的变形为三向线应变之的，  （6-99） 混凝土路面内温度变形是否引起温度应力，主要取决于温度变形是否受到约束，假如温度变形能自由地开展，不受约束，则并无温度应力产生，若是变形受到约束，则温度应力随之而产生。 一．温度均匀分布时的变形与应力 3． 由于基础与路面板之间的摩擦阻力引起的应力与变形 混凝土路面因温度变化产生的温度变形受到约束阻力而产生温度应力。其中路面板与基础之间存在摩擦阻力是一种主要的约束。这种阻力，不同于一般所认为的面板底部与基础表面之间的滑动摩擦。由于现场浇筑的混凝土的水泥浆渗入基础，与基础表层材料粘结成整体，当面板出现滑动趋势时，阻力来自基础材料内部的水平抗剪力。因此，这种摩擦阻力在数量上远远超过一般的摩擦阻力。 当路面板的温度改变时，体积也随之变化，路面与基层之间的摩擦力对变形起抑制作用，从而引起路面板内部的温度应力。图6-18表示一长度为L的混凝土路面板在温度发生变化时，所产生的位移δ，作用于板底的摩擦应力τ，以及混凝土板体内部应力σ沿板长L的分布。  图6-18 由图6-18可以看出，位移δ的分布，在板的两端最大，因为端部不受任何约束，从端部向板长的中心O点发展，由于累计的摩擦阻力逐渐加大，约束逐渐增大，则位移量逐渐减小，至L以后，则完全没有位移发生。摩擦阻力的分布与位移的趋势有关，据调查，当位移的趋势至少为1.5mm时摩擦应力才能产生，因此由面板端部至L的范围以内，τ是均匀分布的。  （6-117） 式中：τ——路面板与基础之间的摩擦应力； ρ——混凝土的密度(单位重)； h——路面板的厚度； f——摩擦阻力系数，取值为1.0～2.0，平均取1.5。 根据路面板的位移趋势与承受摩擦阻力的情况，可以将长度为L的路面板分为滑动区(AB、CD)和固定区(BC)。在固定区内面板无位移发生，因而也不产生摩擦阻力。在滑动区，面板产生不同程度的位移，同时存在摩擦阻力。 路面板内应力σ的分布，对于两个不同的区段，可分别计算。在固定区BC以内，面板无位移发生，形似完全固端约束，其温度应力为：  （6-118） 式中：Tn——温差，通常可取施工温度与最高(或最低)温度之差。 在滑动区AB、CD以内，板体应力可按下式计算：  （6-119） 式中：x——计算位置至端部的距离。 若将L1代入式(6-119)，即可得到滑动区内最大的应力(B点、C点)即  （6-120） 由于B点C点的应力与固定区应力是相等的，将式(6-120)代入式(6-118)，可以得出滑动区的长度L1。  （6-121） 由式(6-121)可以明显看出，滑动区的范围L1与路面板的长度L无关，并不同人们认为的板越长，滑动的范围越大。滑动区范围的影响因素，除了混凝土本身的物理特性(α，E，ρ)之外，主要决定于Tn与f，所以只要选择适当的施工季节，采用摩擦阻力较大的基层，便可以对滑动区的范围进行控制。 对于端部A点及D点的位移量δA、δD也可以进行如下估算，将完全处于自由无约束状态的路面板，因温度产生的位移，减去约束力所抵消的那部分位移，便可得出δA及δD，  （6-122） 由式(6-122)可以看出，路面板两端的最大位移量除了决定于混凝土材料的物理特性之外，主要决定于温差Tn与摩擦系数f。若能对施工温度及最大温差严格控制，并且通过选择基层材料，以增大f值，同样可以控制端部的位移量。位移量同路面的总长度无关。这一结论对于设计长胀缝或无胀缝混凝土路面有现实意义。由式(6-122)还可以看出，为了控制位移，应该选取f值较大的基层材料。早期的混凝土路面结构，采用很厚的砂垫层，结果由于f值很小而产生过大的推移，因此，大部分国家已不再使用。 三．考虑地基支承作用时，水泥混凝土路面的温度应力 温度沿着混凝土路面板的厚度方向分布不均匀时，板体就有可能产生不均匀的变形而引起翘曲。假如翘曲受到阻止，就产生翘曲应力。如对于对称形抛物线分布与对称形圆曲线分布，由于板体本身变形的自我约束，因而即使没有外界约束，也不会产生翘曲，此时，假如没有外荷载作用，则不会产生竖向位移，因而在这种情况下，地基支承对温度应力无关。此外，假如边界受到严格的嵌制作用，则板体也无产生翘曲的可能，则地基支承也不会产生作用。只有当板体内部的自我约束及边界条件不能完全阻止路面板的翘曲，面板有可能产生向上或向下的竖向位移时，地基支承将通过它的与位移方向相反的反作用力，部分地限止了板体的位移，致使板内的温度应力更加复杂化。威斯特卡德研究了温克勒地基上路面板的温度翘曲应力。他假设温度沿路面板的厚度方向呈线性分布，板与地基始终保持接触，无空隙，从而推演了路面板由于地基约束而产生的翘曲应力。 1． 威斯特卡德-布拉德伯利法计算温度应力 根据弹性薄板基本假定得出的形变方程，再加上温度变形的影响，可由式(6-3)写成为：    （6-136） 由式(6-136)，可解出各项应力，    （6-137） 截面上的弯矩为：    （6-138） 当路面板完全受约束不产生翘曲变形，则位移w为零。则  （6-139） 而弯拉应力为：  （6-140） 这种情况也相当于无限大板温度呈线性分布时，由于翘曲受阻，中心位置的翘曲应力。如前所述，式(6-140)计算所得的应力与地基支承无关，因为面板无竖向位移。但是，对于有限大的路面板，四周并不是完全固定的边界条件，则地基支承将影响路面板的翘曲应力。 （1）半无限大板边缘附近各点的应力与挠度计算 对于一个安置在温克勒地基上的半无限大薄板，沿x的正负方向以及y的正方向，均可伸展到无限远处。假如，在x及x处截取决两个平行于y轴的微分条的曲率变化是相同的，因此z方向的沉降w仅是y的函数，与x值无关。用数学方程可以表示为：  （6-141）  图6-19 将此式代入式(6-138)中My式，即可得出：  （6-142） 根据温克勒地基假定，有:  （6-143） 将式(6-143)代入式(6-142)，即可得出：  （6-144） 或写成为： （6-145） 式中： 方程(6-145)为一个常系数性线齐次常微分方程，它的解为：  （6-146） 式中：四个积分常数A1、A2、A3、A4可以根据下列四个边界条件确定： 1) y→∞时，有w→0，即； 2) y→∞时，有→0，即； 3) 板边缘处y=0，有My=0，即 4) 板边缘处y=0，剪力为零，即 将四个积分常数回代入方程(2-145)，则可以得出挠度方程得到面板顶面y方向的最大应力为：  （6-147） 式中：即是无限大板中心处的翘曲应力。 面板顶面x方向的最大应力为：  （6-148） 应力计算式(6-147)与式(6-148)，可以用于计算任意y坐标值位置的σx、σy值。当y=0时，σy=0，而  （6-149） 这就是在自由边界中点，沿x轴的翘曲不可能产生，因而地基支承对翘曲应力无影响。 （2）有一定宽度的无限长板内应力与挠度计算 实际的混凝土路面板具有有限的边长，为了进一步探讨路面板的应力，提出了对具有一定宽度的无限长板条进行分析。  图6-20 取x轴正负廓向均为无限延伸，而板条宽度为B，X轴位于板中心y=0处，则板条二边缘的方程为： y=(B/2 （6-150） 同以上的分析一样，竖向位移w与x的变化无关，为y的单一函数。即 ， （6-151） 以上式(6-150)、式(6-151)也适用于以上的情况，只是A1、A2、A3、A4这四个积分常数应根据新的边界条件来确定。即当y=±B/2，在面板两侧边缘处，弯短和剪力均为零， 1)； 2) ； 3) ; 4)  面板顶面的最大应力为： （6-152） 式中： 同时，可以推演出σx的计算式，即: （6-153） 3、有限尺寸矩形板路面应力与挠度计算 运用以下两式可以计算有限尺寸板在任意位置处的翘曲应力。由于公式较繁，不便于直接进行计算，可写成以下简化的形式。   （6-154） 式中： （6-155）  （6-156） 在实际应用时，主要验算是最大翘曲应力，通常最大翘曲应力产生在板的中心位置，或者产生在一条边棱的中间位置。即 1) x=0， y=0 2) x=0， y=B/2 3) x=A/2， y=0 由式(6-119)可见，当x=0，则  图6-21 （6-157） 当y=0：  （6-158） 式中： 四．温度应力计算程序（ＣＴ０５．ｆｏｒ） 1、程序说明 设板中心坐标为（x0，y0），则距中心S距离处因板的翘曲而产生的竖向位移 因， 而w1较小，可得下式：  （6-159） 板在翘曲过程中，板的翘曲弧长应等于温度变形，即：  （6-160） 而，则：  （6-161） 板受地基反力及自重的约束实际产生的变形为w，故因地基约束而产生的位移量为w-w1，则：  （6-162） 其中：为板自由翘曲时产生的位移； 为板产生的实际位移。 则：  （6-163） 2、程序输入 C C INPUT INITIAL DATA OPEN(15,FILE='CT05D',STATUS='OLD') OPEN(16,FILE='CT05O') READ(15,*) NS,E1,RM1,H READ(15,*) TT,ARF,XZ,YZ——温度变化、线胀系数、（中心点坐标） READ(15,*) NX1,NY1,NSX,NSY READ(15,*) (X(I),I=1,NX1) READ(15,*) (Y(I),I=1,NY1) IF(NS.EQ.1) GO TO 5 READ(15,*) EK GO TO 6 5 READ(15,*) ES,RMS RN=(1.-RMS**2)/(ES*3.141592) 6 IF(NSX.EQ.0) GO TO 7 READ(15,*) (NSXP(I),I=1,NSX) 7 IF(NSY.EQ.0) GO TO 110 READ(15,*) (NSYP(I),I=1,NSY) 　 3、输入文件 0,300000.,0.15,20. -14.,1e-5,0.,0. 11,7,11,7 0.,28.28,56.55,84.83,113.11,169.66,226.21,339.32,452.43 565.54,678.65 0.,28.28,56.55,84.83,113.11,141.39,169.67 5. 1,8,15,22,29,36,43,50,57,64,71 1,2,3,4,5,6,7 4．输出文件 STRESSES AND DEFLECTIONS IN CONCRETE PAVEMENT : REACTION MODULUS OF SUBGRADE EK= 5.00 MODULUS OF CONCRETE E1= 300000.00 POISOMS RATIO OF CONC RETE M1= .15 DEPTH OF CONCRETE PAVEMENT H= 20.00 TEMPERATURE DIFFERENCE TT= -14.00 CONSTANTS OF TEMPERATURE ARF= .0000100 MIDDLE OF PLATE XZ= .00 MIDDLE OF PLATE YZ= .00 I STX STY TXY SMX SMY TNA 50 2.395 1.328 .000 2.395 1.328 .000