第四讲　　水泥混凝土路面应力（一）  图6-1 路面板与地基脱开 一．早期荷载应力计算（C.Older 1920年） 　　　　１．计算公式 　　　　假定地基脱空，板是悬臂变截面梁，由此推导出计算公式。  二．地基假定 　　　　１．温克勒地基 　　　　２．弹性半空间地基 三．Ｗｅｓｔｅｒｇａａｒｄ计算公式 　　　 １．基本假定 　　　　形变分量(z极其微小，可以不计，(z＝０ 　　　　(ｚｘ＝(ｚｙ＝０ 　　　　ｕｚ＝０＝０；ｖｚ＝０＝０ 2．理论分析 　　　从板上割取长和宽各为ｄｘ和ｄｙ高为Ｈ得单元，根据单元的平衡条件（(Ｚ＝０；(Ｍｘ＝０；(Ｍｙ＝０），可导出当板表面作用竖向荷载ｐ，地基对板的作用反力ｑ，板中面的挠曲微分方程为： 　　　　Ｄ(2(2w＋ｑ＝ｐ 　　　由温克勒地基假定，ｑ（ｘ，ｙ）＝ｋw（ｘ，ｙ）得： 　　　　Ｄ(2(2w＋ｋw＝ｐ 　　　ＷＥＳＴＥＲＧＡＡＲＤ经过假定，提出了应力分析的理论公式。 　　3．荷载位置 　　4．应力计算 　　　　【１】荷载作用于板中（荷位１） 　　　　板底最大应力  　　　　【２】荷载作用于板边（荷位２）  　　　　【３】荷载作用于板角（荷位３）  5．半径Ｒ的修正  图6-4 半径修正 　　在弹性薄板假定中，忽略了竖向应力(ｚ的影响，并假定任何垂直于中面的直线在弯曲以后仍然为直线。如果作用在面板上的力不出现集中现象，荷载半径Ｒ与厚度ｈ相差并不大，则以上的假定是符合实际的．假如出现集中现象，Ｒ同ｈ相比，小于某一限度，则以上的假定不再符合实际。应按照厚板理论进行计算。由此采用当量半径ｂ取代实际半径Ｒ。ｂ和Ｒ的关系按下式确定∶  （6-18） 　　6．阿灵顿试验路 １９３０年美国在阿灵顿（Ａｒｌｉｎｇｔｏｎ）进行了混凝土路面足尺试验，通过试验，对应力计算公式进行了修正。 　　【１】荷载作用于板中（荷位１） 认为实测应力小于计算值，Ｋｅｌｌｙ和Ｂｒａｄｂｕｒｙ提出了应力修正公式。 当Ｌ＝１．７５，(＝０．１５时，Ｋｅｌｌｙ板底最大应力修正公式：  （6-19） 当L=5，(＝０．１５时，Ｂｒａｄｂｕｒｙ板底最大应力修正公式。  （6-20） 　由计算结果可知，修正结果比没有修正的结果小9－28％ 【２】荷载作用于板边（荷位２） 在没有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力与理论计算结果很一致；假如ａ值较大，则实测应力大于理论计算结果；假如ａ较小，则实测应力小于理论计算结果，但差异很小。在白天有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力略大于理论计算结果；在夜晚有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力明显大于理论计算结果。 Ｋｅｌｌｙ提出了修正。当Ｌ＝５时  （6-21） 　　由计算结果可知，凯利结果比没有修正的结果大６－１７％ 　　　　【３】荷载作用于板角（荷位３） 　　Ｂｒａｄｂｕｒｙ提出的修正公式相当于将地基的反应模量减少为原有的四分之一。  （6-22） Ｋｅｌｌｙ通过观测，在白天有翘曲的情况下，对于常用的轮印，板与地基保持接触，实测应力与理论计算结果一致；在夜晚有向上翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力明显大于理论计算结果，且大于Ｂｒａｄｂｕｒｙ公式的计算结果，Ｋｅｌｌｙ提出了修正公式。  （6-23） 四．弹性半空间地基刚性路面应力分析 　　１．基本假定 　　　　形变分量(z极其微小，可以不计，(z＝０ 　　　　(ｚｘ＝(ｚｙ＝０ 　　　　ｕｚ＝０＝０；ｖｚ＝０＝０ 　　２．弹性曲面微分方程 　　　　Ｄ(2(2Ｗ＋ｑ＝ｐ 　　　　 　 ３．公式推导 　　　利用亨格尔变换方法，可以推导理论解。 　　　亨格尔变换∶        　４．贝塞尔函数的计算　 　　　　计算方法同前　　　　　　 ５．弹性半空间地基板路面计算程序（ＣＰ０３） 　　　　　（１）程序 　　　　　（２）数据文件 cp03dat 1,4,4,350000.,500.,0.15,0.35,15. 0.,0.,20.,20. 0.,40.,0.,40. -20.,-20.,20.,20. -40.,40.,-40.,40. 5000.,5000.,5000.,5000. 15.,15.,15.,15. 48. 　　　　（３）计算结果cp03out 五．多层地基板及有限尺寸板 　　　　１．多层地基板 　　　　了解层状地基与板的分析方法 　　　　２．有限尺寸板 　　　　刚性指数 　　　　　　　 　　　　　　　　Ｓ＜０．５　绝对刚性板 　　　　０．５＜Ｓ＜１０　有限刚性板 　　　　　　　　Ｓ＞１０　绝对柔性板 六．混凝土路面荷载应力的有限元分析概述 　　１．弹性力学问题的解法 　　　　理论法 　　　　有限差分法 　　　　有限元法 　　　　变分法 　　２．有限元法的发展 　　　　张佑启和监克维奇１９６５年首先分析弹性地基板 　　　　Ｈｕｄｓｏｎ，Ｗ．Ｒ　ａｎｄ　Ｍａｔｌｏｃｋ，Ｈ　分析了刚性路面出现翘曲的情况 　　　　Ｈｕａｎｇ，Ｙ．Ｈ　分析了刚性路面的温度应力和接缝混凝土路面 　　　　姚祖康、邓学钧和王秉纲等都分析了刚性路面的应力　　　　　　　 　　1．基本理论 　　利用弹性曲面微分方程，可以得出板中弯矩与挠度的关系为：   　式中： 由此可知，只要知道板的位移表达式，可以得出板中的弯矩。 　　2．矩形薄板单元的位移模式 由于道路与机场的水泥混凝土路面板采用矩形分块，因此在有限元分析中，采用矩形单元较为合适。此外，采用矩形单元可以较好地反映弹性薄板位移分布的非线性性质。一块连续的薄板被离散化，分割为若干个单元之后，单元各结点相互连接。由于相邻单元之间有法向力和力矩传递，所以结点必然要满足刚性连接的要求。即对于几个单元共有的结点，它的广义位移，对于每个单元都是相等的，所承受的广义结点力也相等。单元的编号顺序与结点的编号顺序是任意的，但是必须保证计算分析时，计算机程序结构紧凑，总刚度矩阵带宽较窄，少占机器内存。 由于薄板的位移、形变、应力、内力等都可以单一地用挠度w来表示，因此，薄板单元中的位移模式问题，就是挠度w取什么样的函数(坐标x和y的函数)的问题。如取弹性地基板的单元为矩形薄板单元，一个矩形薄板单元在四个角点上各有三个自由度，故挠度w的表达式含有12个参数，现取如下的位移模式： 　　　Ｗ＝ａ１＋ａ２ｘ＋ａ３ｙ＋ａ４ｘ２＋ａ５ｘｙ＋ａ６ｙ２＋ａ７ｘ３＋ａ８ｘ２ｙ＋ａ９ｘｙ２＋ａ１０ｙ３＋ａ１１ｘ３ｙ＋ａ１２ｘｙ３  图6-8 单元结点力与结点位移 矩形薄板单元节点位移的正向及其相应的节点力，转角的正向以右手螺旋规则决定。由几何关系有及，因此在节点i，它的位移可以表示为  （6-42） 　　　　如果已知各结点的位移，则可以解出１２系数与结点位移的关系式，回代后得： 　　　　　　 （6-43） 将式（6-43）代入式（6-40）得：  （6-44） 将式（6-44）代入式（6-39）得：  （6-45） 3．单元刚度矩阵（虚功原理） 根据虚位移原理，如果在一组外荷载作用下，弹性体是处于平衡状态的，当其受到一附加微小的与约束条件相适应的虚位移(即经过虚位移后，结构仍为一连续体)，同时力系在虚位移过程中始终保持平衡，则外荷载在虚位移上的虚功，就等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功。  （6-46） 将虚位移原理应用于矩形薄板单元，其虚功方程为：  （6-47）   （6-48）  （6-49） 式（6-49）为单元刚度矩阵 　　4．地基刚度矩阵 矩形薄板刚度矩求得后，还要和矩形薄板地基刚度矩阵相加，才能得到弹性地基矩形薄板刚度矩阵。刚性路面的力学分析通常采用温克勒地基和弹性半空间地基两种模式，下面分别推导这两种地基模式的地基刚度矩阵。 （1）温克勒地基  图6-9 地基反力与相应的虚位移 设单元ijlk角点发生虚位移，则：  (6-50) 此时，节点力｛Ｆ｝e在虚位移上的虚功为（｛δ*｝）T｛Ｆ｝e，板中某微分面积dxdy的内力在虚应变上的虚功为（｛χ｝*）T｛Ｍ｝edxdy，板底某微分面积上的地基反力在虚位移上的虚功为 w*pdxdy=kw*wdxdy （6-51） 以上各式中，p为单位面积上的地基反力，k为地基反应模量，其余符号同前。因此，虚功方程为：  （6-52） 因：  代入可得：  （6-53） 也可简写为：  （6-54）  对温克勒地基的处理，还可以采用一种简化的方法，即在薄板划分成单元之后，把每个结点范围内的地基当作为弹性支柱，并且以结点处的挠度作为弹性支柱的压缩量。  图6-9 单元的结点沉降与结点反力 地基反力来自于假定的弹性支柱，其反力施加于四个结点：  （6-55） 在求解方程时，将地基反力作为一种结点力，施加于单元结点，可得到：  （6-56） 将式(6-55)代入，整理后可得：  （6-57） 将式中等号右边第二项也写成线点位移与刚度矩阵的形式： 　 由此可见，在形成包括薄板与地基在内的总刚度矩阵时，只需在薄板刚度矩阵的主对角元与竖向位移w相关的元素项加上k0ab/4即可。这种处理方法比较简单，对于边界不受约束的弹性地基板，在挠度比较均匀的情况下，不致产生过大的误差，但是对于地基支承不均匀，特别是边界受约束的弹性地基板，则误差较大。 （2）弹性半空间地基 将弹性半空间地基上薄板的假定用于刚性路面应力的有限元分析，其地基刚度矩阵的建立，可以采用布辛尼斯克公式。假定在结点i四周的地基反力是均匀分布的，由该反力荷载引起的任意点的挠度可写为：  （6-58）   （6-59） 式中：  （6-60） 式中：  由于弹性半空间体表面各结点处的力对各点的垂直位移都有影响，可以运用矩阵运算，即：   （6-61） 则：  （6-62）   （6-63） 此时，地基刚度矩阵的形式为：  （6-64） 5．荷载矩阵 矩形薄板单元上，与各个节点位移相应的节点荷载，可用列阵表示为：  （6-65） 如一矩形单元在z方向作用有分布荷载q(x,y)，则传给各节点的荷载为  （6-66） 下面来推导荷载向节点移置的表达式(6-59)。设有法向集中荷载P作用在矩形单元i、j、l、k上的任意点(x,y)。假想该单元发生虚位移，其中(x,y)点相应的虚位移为： ｛f｝e=｛w｝e 而节点的相应虚位移为｛δ｝e。按照静力等效的原则，即节点荷载与原荷载在上述虚位移上的虚功相等，可得：  （6-67） 式中：P为点(x,y)处的集中荷载。 因｛f*｝=［Ｎ］｛δ*｝e代入得：  （6-68） 根据矩阵乘积的逆序法则，上式可化为：  （6-69） 由于矩阵（｛δ*｝e)T是任意的，等式两边与它相乘的矩阵应当相等，于是得：  （6-70） 当单元体上沿法向作用分布荷载q(x,y)(单元面积荷载)时，  （6-71） 式(6-71)与式(6-65)在形式上是一致的。 七．有限元程序分析（ＣＰ０５） 八．接缝地基板 上述有限元分析方法适用于具有自由板边边界的单个板块，实际上水泥混凝土路板，无论是机场跑道，还是道路路面，边缘都有一定程度的约束，因而具有一定的传递荷载的能力。根据路面板各种接缝的实际工作情况，可以分三种情况对它们的力学特性进行分析。 1．采用传力杆的接缝 当采用传力杆传递剪力时，沿接缝处，中心板的挠度与边板的挠度是不同的，挠度之差Wd是由于传力杆的剪切变形ΔS和传力杆下混凝土的变形ΔC引起，如图3-10所示。  传力杆接缝处的挠度之差示意图 中心板与边板的挠度差 Wd＝ΔS+2ΔC 式中： ΔC---混凝土板在传力杆的压迫下产生的变形，m； ΔS----传力杆本身产生的剪切变形，m。 计算传力杆下混凝土的变形，可以假定传力杆为一根梁，而混凝土为一弹性地基，得中心板与边板之间的挠度差为  式中：P--被传递的荷载，MN； E--传力杆钢材的弹性模量，MPa； I--传力杆的惯性矩，m４； β--为插入混凝土内传力杆的相对刚度，1／m； d--接缝宽度，m。 A----传力杆的截面积，m2； G-----传力杆的剪切模量，MPa。 b-----传力杆直径，m； K----混凝土的反应模量，MPa／m； 传力杆本身的剪切变形ΔS可近似地按材料力学的剪切变形计算公式计算 由于P是从受荷板由传力杆传递给未受荷板的剪力，Wd为两板之间挠度差，定义传力杆系数Cw为  对给定的传力杆和混凝土面板，Cw为一常数。 2．企口缝或依靠骨料锁结传递荷载 企口缝传递荷载或依靠骨料锁结传递荷载都是以界面混凝土直接接触来完成的，因此，影响因素甚多，目前一般采用两种形式表示。 （1）弹簧常数分配法 由沿接缝处单位长度上的剪力P与接缝两侧差的挠度差Wd之比表示  式中：Cs-----弹性常数。 （2）剪切传递效率法 假定沿缝两侧的每一对结点之间的挠度比值为一常数，即：  式中：W2----未受荷板边挠度; W1----受荷板边挠度。 接缝处荷载传递与位移传递的关系确定之后，即可以用于接缝混凝土路面的应力分析计算。 3．接缝混凝土路面的应力分析 3．1 直接法计算接缝混凝土路面应力的基本原理 根据有限元理论，对图两板系统，结点力与结点位移之间的平衡方程为： ［Ｋ］｛δ｝＝｛Ｆ｝  图 分析模型 由于接缝边界条件的处理仅与挠度项有关，故下式只列出了与挠度有关的项  式中：q1、q2为接缝处传递的剪力，与挠度差Wd及传力杆系数Cw(或弹簧系数Cs)有关：   将q1、q2代入平衡方程式，并将此剪力项叠加到总刚度矩阵中，则平衡方程可转化为  由上式可知，对接缝混凝土路面板，只要在总刚度矩阵中对有关项的刚度系数进行一定的处理，就可生成接缝混凝土路面板的总刚度矩阵。 生成板的总刚度矩阵后，另外一个问题是地基刚度矩阵的叠加。对温克勒地基模型，仍按前述方法，以单元为单位叠加到总刚度矩阵中去。对弹性半空间地基板，则要进行适当的处理。 在形成板的刚度矩阵时，将接缝看成缝宽为零的虚设单元，也就是将两块板分开计算，然后将传力杆系数叠加到适当的位置，在划分地基单元时，如果单元划分采用与板单元一相同的方法，则在接缝两侧的地基就要被分割开来。考虑到地基单元各结点是相互关联的，按上述方法建立的地基柔度矩阵中与接缝相应结点相关联的元素无疑会发生错误。为避免这种错误，在地基处理时，先将接缝不予考虑，即认为结点3、4与结点5、6为同一点，在这种情况下可求得地基刚度矩阵［Ks］。但为了使地基单元划分与板单元划分一致，并可叠加到总刚度矩阵中去，必须将地基刚度矩阵沿接缝处分割开来，使得［Ks］扩展与板的刚度矩阵一致的［Ks′］。这就要求对与接缝有关结点的地基刚度矩阵的元素作一定修改，修改的准则是使修改前后地基对板的影响等效。图中左边数字是节点号，下三角中的数字表示对原地基刚度矩阵的修改系数。 4．直接法计算接缝混凝土路面应力分析程序块(jcpnl.for) 程序生成总刚度矩阵的方法和原先一致，只是在输入数据时只要将接缝看成是宽度为零的虚设单元，当生成板的总刚度矩阵后，利用以下修正方法。 九、压缩系数法进行接缝有限元分析 如图五块板体系。假定四块边板不受荷载作用，荷载通过接缝处的某种剪力传递形式，由中心板传至边板。假定每块板的尺寸相同，并且划分为相同的矩形单元。为了叙述方便，每块板分为4个单元、9个结点。 采用位移法，每块板的平衡条件可以表达如下： 〔K〕｛δ｝＝｛P｝ 式中：(Ｋ〕----板和地基的综合刚度矩阵； ｛δ｝----位移向量； ｛P｝----力向量。  对所示的板体，〔K〕是一个27×27的对称矩阵。 为了分析中心板，必须得知边板跨越接缝传来的力。可知沿着每一条缝的力可以用沿着该接缝的位移来表达。求式的逆得到 ｛δ｝＝［Ｆ］｛P｝ 式中：［F］＝［Ｋ］-1为板和地基的综合柔度矩阵，由所示的板体可得  以中心板与左侧边板之间的接缝为例，假如除了跨越接缝传来的剪力P1、P2、P3之外，没有任何其它外加荷载施加于左侧边板，则所有的力向量元素除P1、P2、P3之外全部为零。则公式(3-80)压缩为一个3×3的矩阵：  式也可写成通式［Ｆ’］｛P’｝＝｛W’｝ 求式的逆得边板传给中心板的垂直力向量为 ｛Ｐ’｝＝［Ｋ’］｛W’｝ 下面分两种情况叙述压缩法计算路面应力的有限元法。 (一) 企口缝或骨料锁结 当使用企口缝或骨料锁结传递剪力时，剪力传递效率可以按下式确定： ｛W’｝＝e｛W｝ 将式代入可得 ｛P’｝＝e［K’］｛W｝ 在已知接缝传递的剪力之后，中心板的平衡条件可以表达如下： ［K］｛δ｝＝｛P｝-e［K’］｛W｝ 或 ［Kc］｛δ｝＝｛P｝ 式中：［Ｋc］为组合矩阵，其值只要在［Ｋ］矩阵中将接缝结点i的垂直力与同一接缝上节点j的垂直位移相关联的元素加上ekij修正项就可得到。 (二) 传力杆 由式可知，传力杆系数 ｛Wd｝＝｛W｝－｛W’｝ 则： ｛W’｝＝｛W｝－｛Wd｝ 假定C＝1／Cw，则有 ｛Ｗd｝＝C｛Ｐ’｝ 将式合并得  经整理后可得  上式可简写成 ｛Ｐ’｝＝［Ｋ’］｛W｝ 则中心板的平衡方程为 ［Ｋ］｛δ｝＝｛P｝-［Ｋ’］｛W｝ 可简写成 ［Ｋc］｛δ｝＝｛P｝ 综合刚度矩阵［Ｋc］的生成与式相类似，只是压缩柔度矩阵有所不同。 十．多层地基板的有限元分析原理 目前，国内外都在混凝土路面板下修筑一定厚度的基层，特别是高等级混凝土路面，通常都采用强度、刚度较高，稳定性较好的多层基层结构，从而保证基层具有足够的扩散荷载的能力，防止土基部分的不均匀沉陷和塑性变形累积。而目前采用的水泥混凝土路面有限元分析方法一般采用温克勒地基板或弹性半空间地基板。在此首先介绍多层地基混凝土路面板的有限元分析方法。 从以上弹性半空间地基板的荷载应力分析中可知，地基类型的差异，实际上就表现在柔度系数的计算方法上。对弹性半空间地基板，结点对自身的影响系数fni，采用均布荷载下的弹性半空间理论公式，而对其它点的影响系数fii则采用布辛尼斯克公式。当采用多层体系基层时，必须采用其它的计算方法获得柔度系数值。当柔度系数求得后，可采用弹性半空间地基板类似的方法求地基刚度矩阵及总刚度矩阵的叠加。 对多层地基结构，问题的关键是层状地基顶面的作用力与其位移的关系不是布辛尼斯克公式所表示的那样简单，而必须采用波米斯特弹性层状体系理论。由于弹性地基各结点的相互影响，层状体系的求解又比较费时，如果在形成多层地基的柔度矩阵时，对其中每一元素都要用一次多层体系求解方法是不现实的，且在实际应用中也是不必要的。这里采用一种新的方法，即将层状体系理论和回归分析相结合的方法。 类似于弹性半空间地基板的有限元分析，而板对层状地基的作用等效转化为n个以结点为中心的圆形均布垂直荷载，圆形荷载的半径由该结点四周单元的尺寸决定。当多层地基结构确定后，各结点地基顶面的弯沉与单元的大小及对应的距离有关。因此这里采用的方法分二步： 第一步：对每一种单元类别，用层状体系计算对自身的柔度系数fii。在单元刚度形成过程中只要判断该单元属哪一种类别，就可采用对应的柔度系数fii值。 第二步：荷载作用点对其它点的影响在弹性半空间地基板有限元分析过程中采用布辛尼斯克公式。而层状体系理论采用另外一种：计算表示，对某一种固定荷载面积的多层地基结构，沿径向各点的挠度仅与距离r有关。在弹性半空间体分析中采用集中荷载，这里假定荷载为一半径很小的圆形均布荷载，其荷载总值为1，即πr2q＝1，然后选定一组径向距离，计算各点的挠度W(ri)。当获得各点的挠度之后，再用回归分析法建立挠度与径间距离之间的函数关系W(r)。回归结果表示，回归结果计算值与实际计算值W(ri)在荷载中心处误差较大，而在荷载中心以外影响很小，但由于荷载中心处的挠度值直接采用层状体系计算公式，因此回归结果完全可用于fni的计算。回归分析过程，回归的相关系数均大于0.998，这表示回归精度相当高。 解决了柔度系数的求解难题后，只要利用前述弹性半空间地基板类似的计算方法便可得荷载应力值。 利用接缝混凝土路面板的有限元分析理论，就可方便地进行多层地基接缝混凝土路面的有限元分析。 十一．夹层结构的有限元分析原理 由于在经济发达的沿海地区和一些内陆地区普遍存在着软弱地基，在软土地基上修筑高等级公路，工后的沉降(包括均匀沉降和差异沉降)是不可避免的。为了减少工后沉降对路面结构的破坏，必须研究适合软土地基区的路面结构类型。理论与实践表明，采用夹层结构是一种比较经济合理的处理方法。 所谓夹层结构就是在基层顶面修筑一定厚度的水泥混凝土路面板，然后再修筑一层稳定类材料的基层，再上顶面修筑水泥混凝土路面板。由于各层模量不是由下至上逐步增加，而是采用低----高----低----高这种组合。 夹层结构最先在欧洲出现。波兰学者Erik Vos提出了软土地基上刚性路面力学计算模型，瑞士学者Willy Wilk在第二届混凝土路面结构设计会议上提出了夹层结构的初步设计方法和一些经验数据，并且在第十六届世界道路会议上将夹层结构作为软土地基混凝土路面的结构形式。 国内也开展了这方面的研究，东南大学在连云港修筑了夹层结构混凝土路面试验路。 (一) 夹层结构的力学模型 目前对夹层结构的荷载应力分析基本采用如下两种力学模型。第一是考虑夹层可传递水平力，即夹层结构的横向联系用一根水平弹簧来模拟；第二是不考虑夹层材料的横向联系，而直接用角点处的垂直弹簧来表征。 对夹层结构，假定上层板的位移为｛δ上｝ ，下面板的位移为｛δ下｝，则夹层材料的压缩量为｛δ上｝-｛δ下｝。 对上层板，其单元的平衡方程为 ｛F外｝e-k上ab［Ｋ］’(｛δ上｝-｛δ下｝)e= ［Ｋ上］｛δ上｝e 对下层板，单元的平衡方程为 k上ab［Ｋ］‘(｛δ上｝-｛δ下｝)e-k下ab［Ｋ］’｛δ下｝e=［Ｋ下］｛δ下｝e 将式｛δ下｝e分离并代入得 ｛F外｝e=(［Ｋ上］+k上ab［Ｋ］′-k下ab［Ｋ］′(［K下］+k下ab［Ｋ］′+k下ab［Ｋ］′)-1k下ab［Ｋ］′｛δ上｝e 上式可简化表达为 ｛F外｝e＝［Ｋe］｛δ上｝e 式中： ［Ｋe］=［Ｋ上］+k上ab［Ｋ］′-k上ab［Ｋ］′(［K上］+k上ab［Ｋ］′+k下ab［Ｋ］′)-1k上ab［Ｋ］′ 可以看出，其形式同有限元分析形式完全相同，只是单元刚度矩阵需进行一些处理。那么根据便可方便地给出有限元分析的计算机程序。 如果要求下板的应力，利用可得下板结点力，然后利用有限元重新计算。