第三章 线性系统的时域分析法
? 3-1 系统时间响应的性能指标
? 3-2 一阶系统时域分析
? 3-3 二阶系统时域分析
? 3-4 高阶系统时域分析
? 3-5 线性系统的稳定性分析
? 3-6 线性系统的稳态误差分析
3-1 系统时间响应的性能指标
? 3-1-1 典型输入信号
? 3-1-2 动态过程与稳态过程
? 3-1-3 动态性能与稳态性能
? 3-1-1 典型输入信号
? 单位阶跃函数 ? 单位斜坡函数
? 单位加速度函数 ? 单位脉冲函数
? 正弦函数
单位阶跃函数
若
??
?
?
??
0
0
1
0)(
tt
tttf
则记为：
)(1)( 0tttf ??
0 t1 2 3 4-1
1
)(1)( 0tttf ??t
0
0 t1 2 3 4-1
1
)(1)( ttf ?
??
?
?
??
01
00)(
t
ttf
单位阶跃函数：
)(1)( ttf ?记为：
back
单位斜坡函数
单位加速度函数
0 t1 2 3-1
1
)(1)( tttf ?
??
?
?
??
0
00)(
tt
ttf
单位斜坡函数：
)(1)( tttf ?记为：
0 t1 2 3-1
1
)(121)( 2 tttf ?
??
?
?
?
?
?
? 0
2
1
00
)( 2 tt
t
tf
单位加速度函数：
)(121)( 2 tttf ?记为：
back
单位脉冲函数
正弦函数
back
0 t1 2-1
)()( ttf ?? 单位脉冲函数：
-2
?
?
?
??
??
0
00)(
t
tt?
1)( ????? dtt?
t
)s in ()( ttf ? 正弦函数：
)s in ()( ?? ?? tAtf
1
0
?2
3-1-2 动态过程与稳态过程
? 动态过程,系统在典型信号作用下，
系统输出量从初始状态到最终状态
的响应过程。又称 过渡过程 或 瞬态
过程 。
? 稳态过程,系统在典型信号作用下，
当时间 t 趋于无穷时，系统输出量
的表现方式。又称 稳态响应 。
3-1-3 动态性能与稳态性能
? 动态性能：在零初始条件下，给系统
一单位阶跃输入，其输出为单位阶跃
响应，记为 h(t)。将 h(t)随时间变化
状况作为指标，一般称为系统的 动态
性能指标 。 详细
? 稳态性能,稳态误差 是系统控制精度
或抗扰动能力的一种度量，是指 t→ ∞
时，输出量与期望输出的偏差。
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.9
1
1.2
1.4h(t)
h(inf)
td
tr ts
t
tp0.5
5％误差带
动态性能指标
? td —延迟时间,h(t)到稳态值一半的时间；
? tr—上升时间,h(t)从 10％ 到 90％ 所用的
时间，有时也取 t=0 到第一次穿越的时间（对
有超调的系统）；
? tp—峰值时间；
? ts—调节时间，进入误差带且不超出误差带的
最短时间；
%? %1 0 0
)(
)()(% ?
?
???
h
hth p?? —超调量：
3-2 一阶系统时域分析
? 3-2-1.一阶系统数学模型
? 3-2-2.单位阶跃响应
? 3-2-3.单位脉冲响应
? 3-2-4.单位斜坡响应
? 3-2-5.单位加速度响应
3-2-1 一阶系统的数学模型
3-2-2 一阶系统的 单位阶跃响应
1
1
)(
)(
?? TssR
sC
T
t
eth ??? 1)(
为稳态分量
为瞬态分量
(1).可用唯一的参数 T 来度量输出：
Ttdt
tdh 1
0
)( ?
? TTtdt
tdh 13 6 8.0)( ?
?
(2).单调上升，具体参数如下：
Tt d 69.0? Tt r 20.2? Tt s 3?
Ts
1)(sR )(sC)(sE
单位阶跃响应曲线：
0 t
0
0.5
1
1.5
初始斜率 =1/T
T 2T 3T 4T
0.632
0.865
c(t)=1-exp(-t/T)
3-2-3.单位脉冲响应
01)( ?? ? teTtc Tt
0 T 2T 3T 4T 5T0
c(t)=[exp(-t/T)]/T
初始斜率
0.369/T
0.135/T 0.05/T
1/T
1/(2T)
0.018/T
3-2-4.单位斜坡响应
)0()( ???? tTeTttc Tt为稳态分量为瞬态分量
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
r(t)=t
c(t)=t-T+T exp(-t/T)
ctt
0.368T
1.135T
2.050T
3-2-5.单位加速度响应
0)1(21)( 22 ????? ? teTTtttc Tt
跟踪误差,0)()()( 22 ?????? ? teTTTttctrte Tt
一阶系统不能跟踪加速度输入，这是因为：
???? )(lim tet
稳态响应,22
2
1 TTtte
ss ???
瞬态响应,Tt
tt eTe ??? 2
表 (3-2) 一阶系统对典型输入信号的输出响应
输入信号 输出响应
)(1 t,Tte ??1 0?t
)(t?,TteT ?1 0?t
0?t
0?t
t,TtTeTt ???
2
2
1 t,)1(
2
1 22 TteTTtt ????
back
3-3 二阶系统的时域分析
? 3-3-1 二阶系统的数学模型
? 3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
? 3-3-3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
? 3-3-4 过阻尼二阶系统的动态过程分析
? 3-3-5 二阶系统的单位斜坡响应
? 3-3-6 二阶系统性能改善
3-3-1 二阶系统的数学模型
其中，
22
2
2)(
)()(
nn
n
ssR
sCs
???
?
?????
)2(
2
n
n
ss ??
?
?
)(sR )(sC)(sE
? —阻尼系数,n? —自然（无阻尼）频率
特征方程,02 22 ??? nns ???
特征根,12
2,1 ???? ???? nns
3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
从特征根 122,1 ???? ???? nns 可知,
当 1??? 时,s12 为原系统的两个正实根； ( a )
01 ??? ? 时,s12为具有正实部的共轭复根； ( b )
0?? 时,s12为一对共轭虚根点； ( c )
10 ??? 时,s12为具有负实部的共轭复根点 ； ( d )
1?? 时,s12为相等的负实根点 ； ( e )
1?? 时,s12为两个不相等的负实根点 ； ( f )
(a)
j
0
(b)
j
0
(c)
j
0
(d)
j
0
(e)
j
0
(f)
j
0
1s 2s
1s
2s
1s
1s
21 ss ? 1s
2s
2s
2s
显然，当 0?? 时，系统的单位阶跃响应是 不 稳定的，
单位阶跃响应分别为：
)1s in (
1
1)( 22 ???
?
??
??
?
??
?
teth n
tn
01 ??? ?
)1(a r g
2
?
?? ?? tg其中，
或者当
)1(12)1(12
1)(
22
)1(
22
)1( 22
???
?
???
??
??????
??????
?????? tt nn ee
th
1???
0?t
当 时：
时：
0?t
下面分别讨论系统稳定（特征根具有负实部）的情况：
? (1) 欠阻尼
21 ?????? ??? ndn,若令：
djs ?? ???2,1则有：
2222 )()(
1)()()(1)(
dn
n
dn
n
ss
s
ssRssCssR ???
??
???
??
?????
??????,?
0)s i n (
1
11)(
2
??
?
??? ? tteth dtn ??
?
??
?? c o sa rg?或：
)1(a r g
2
?
?? ?? tg其中：
d?
n?
n??
?
d??
0
Re
Im
)10( ??? 122,1 ???? ???? nns
)s in ()/()c o s (1)( teteth dtdndt nn ????? ???? ?? ???
? (2) 无阻尼 )0( ?? 0c o s1)( ??? ttth n?
? (3)临界阻尼
)1( ??
0)1(1)( ????? ? tteth ntn ??
nn
n
n
n
ssssssC ??
?
?
?
???????
1
)(
1
)()( 22
2
t
n ntedt
tdh ?? ?? 2)( 始终大于零,h(t) 是单调上升型。当 t > 0 时，
? (4)过阻尼
0
11
1)(
2
1
1
2
21
?
?
?
?
??
??
t
T
T
e
T
T
eth T
t
T
t
)1( ?? )1(
1
)1(
1
2221 ?????? ??????
nn
TT,令
在单位阶跃输入下：
)1)(1(
1)(
21 T
s
T
ss
sC
??
?
T1,T2为二阶过阻尼系统
时间常数,T1 > T2
3-3-3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
? (1) 延迟时间
? (2)上升时间
n
dt ?
?? 22.06.01 ???
n
dt ?
?7.01 ??也可以近似为
0)s i n (
1
11)(
2
??
?
?? ? tteth dtn ??
?
??1)( ?
rth
令,得：
0)s in (
1
1
2 ???
? ??
?
??
rd
t te rn
d
rt ?
?? ??，故有：
在
d
rt ?
?? ?? 中：当 ? 不变（即 ? 不变）时，若 ?
n? ；?rt，则
。?rt当 d? 不变时,?? （即 ?? ），则
? (3) 峰值时间
将 h(t) 求导，令其 (当 t = tp 时 )为零：
0)c o s ()s i n ( ???? ?? ??????? ???? pdtdpdtn tete pnpn
21 ??
?
?
?
?
??
nd
pt
?
??? 21)( ???
pd ttg可得,?
?? 21 ??tg，因为 故有：
?? ktt pd ?,由峰值时间定义可得：
? (4) 超调量
)s i n (
1
11)( 21
2
??
?
?
??
?
?
?? ?
?
eth p
21)s in ( ??? ????其中 211)( ?
??
????? eth
p，
%100% 21 ?? ?? ?
??
? e按定义超调量为：
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
可见超调量与 %100% 21 ?? ?? ???? e
n?
无关,。％,?? ??
％关系曲线?? ?
?
%?
? (5) 调节时间 ts
22 1
)s i n (
1 ?
??
?
????
?
??
?
??
?? t
d
t nn e
te
n
st ??
5.3?
可取近似值：
当 %5?? 时，
n
st ??
2.4?；当 %2?? 时，
观察归一化的单位阶跃响应
的阻尼比与各参数的关系。
3-3-4 过阻尼二阶系统的动态过程分析
? 过阻尼二阶系统响应较为缓慢，但无超调。
近似公式为：
（ 1）延迟时间,
n
dt ?
?? 26.01 ???
（ 2）上升时间,
n
rt ?
?? 25.11 ???
（ 3）调节时间,
) 25.1 4 (3
4
211
21
???
?
?或
系统时，可近似等效为一阶当
TTTt
TT
s
)1(75.4 1 ?? ?Tt s
3-3-5 二阶系统的单位斜坡响应
? (1) 欠阻尼 (2) 临界阻尼 (3) 过阻尼
)2()(
1)()(
222
2
2
nn
n
sssCssRttr ???
?
?????,时，当
)21s i n (
1
12)( 2
2
???
???
? ?? ??
?
??? ? tettc nt
nn
n
(1) 欠阻尼：
)12(
122
2
2
?
??
?
???tg
其中,
122c o s 2 ?? ??
2122s in ??? ??或,
稳态响应
)21s i n (
1
12)( 2
2
???
???
? ?? ??
?
??? ? tettc nt
nn
n
稳态响应：
n
ss tC ?
?2?? 瞬态响应,)s in (1 ??
?
?? ?? ? teC
d
t
d
tt n
)s i n (12)( ???? ? ?? ??? ? tete dt
dn
n斜坡响应误差：
ssette
)2 11(2)( pn t
n
p ete
??
??
? ???
对 e(t) 求导，求出
d
pt ?
?? ?? 误差最大的峰值为：
n
st ??
3?最大偏移量,调节时间
pn t
n
m ee
??
?
?? 1
(2) 临界阻尼
(3) 过 界阻尼
22
2
)()( n
n
sssC ?
?
?? 0)2
11(22)( ????? ? tetttc t
n
nn
n??
??，
%)5( 1.4 ???
n
st ?
,?
?
??
?
? ??? ? t
n
n
nette ??
? )2
11(12)(
n
sse ?
2?,
n
sse ?
?2?
)]1()][1([
)12()(22
1)(
22
2
2 ??????
???
???
??????
???? ?? ?
nn
n
nn
ss
s
ss
sC
0
12
1212
12
12122
)(
)1(
2
22
)1(
2
22
2
2
?
?
???
?
?
???
???
???
???
te
ettc
t
n
t
nn
n
n
???
???
??
???
??
???
?
?
例,p95 例 3-3 如下图系统试求 KA 分别等与 13.5，
An
A
KK 55 25.17 ?? ??,解,)2()5.34( 5)(
2
n
nA
ssss
KsG
??
?
???? 可得
当 KA=13.5 时,2.81.2 ?? n??,
)1(51.0002.051.051.0)(
002.051.051.0)(
08.24.3208.2
4.3208.2
ttt
e
tt
c
eeet
eett
???
??
?????
????
?
?
06.120.233.069.0 sTtsTt rd ????
此时相当于一阶系统，等效时间常数 sT 48.0
08.2
1 ??
r a dsTt e s ss 51.044.13 ??? ?
200 和 500 时的误差
表达式并估算其性能
指标。)5.34(
5
?ss
K A)(sr? )(sc?)(se?
当 KA=200 时,6.3155.0 ?? n??, 欠阻尼
)1134.26s i n (038.0035.0)(
)1134.26s i n (038.0035.0)(
4.17
4.17
?
?
???
????
?
?
tet
tett
t
e
t
c
?
?
从而有 st
nd
p 08.01
c o s
2
1
?
?
???? ?
??
??
?
?? r a de pn t
n
em 0 0 8.0
1 ?? ? ??
??
st
n
s 17.0
3 ??
??
，
r a de s s 0 3 5.0??，
当 KA=1500 时,6.862.0 ?? n??, 欠阻尼
)1579.84s i n (012.0046.0)(
)1579.84s i n (012.0046.0)(
3.17
3.17
?
?
???
????
?
?
tet
tett
t
e
t
c
?
?
r a de s s 0 4 6.0??
st
nd
p 0 2 5.01
c o s
2
1
?
?
???? ?
??
??
?
??从而有, r a de pn t
n
em 0 0 8.0
1 ?? ? ??
??
st
n
s 17.0
3 ??
??
，
K=13.5
K=200
K=1500
例 3-3系统在不同的 KA下的斜坡响应曲线
例 3-3 参数影响斜坡响应的讨论：
? 增大放大器的增益使阻尼比减小，同时使响应加快；
? KA的增大使稳态误差减小，对斜坡响应来说有利；
? 但是，阻尼比过小会使阶跃响应振荡剧烈；
? 斜坡响应的要求与阶跃响应的要求有矛盾；
? 单靠增大放大器增益的方法来设计系统，不能同时
满足斜坡响应和阶跃响应的要求；
? 必须寻求另外的方法来改善系统性能，关键要使两
个重要参数 ?, ?n能分开调节。
An
A
KK 55 25.17 ?? ??,
)2()5.34(
5)( 2
n
nA
ssss
KsG
??
?
????)5.34(
5
?ss
K A)(sr? )(sc?)(se?
3-3-6 二阶系统性能改善
? (1) 比例 —微分控制
1
sTd
)2(
2
n
n
ss ??
?
?
)(sR )(sE )(sC
z
nd
2
??? ??
)12(
)1(
)(
)()(
?
???
n
d
ss
sTK
sE
sCSG
??
称 ??2 nK ? 为开环增益，令
dT
z 1?
则 )
2()( 22
2
nnd
n
ss
zs
zs ???
?
??
???,其中
? (2) 测速反馈控制 )2( 2
n
n
ss ??
?
?
sKt
)(sR )(sE )(sC
]1)2([
1
2)2()(
)()(
2
2
2
??
???????
ntn
nt
n
ntn
n
K
ssKKsssE
sCsG
?????
?
???
?
nt
n
K ??
?
?2
其中：
22
2
222
2
2)2()( nnt
n
nntn
n
sssKss ???
?
????
?
?????????
ntt K ??? 2
1??
3-4 高阶系统的时域分析
? 3-4-1 三阶系统的单位阶跃响应
? 3-4-2 高阶系统的单位阶跃响应
? 3-4-3 闭环主导节点
? 3-4-4 高阶系统的动态性能估算
3-4-1 三阶系统的单位阶跃响应
闭环传递函数的一般形式：
)2)(()(
)()(
22
0
0
2
???
?
?????? ssss
s
sR
scs
n
其中，（ -S0）当输入为单位阶跃函数，且 ? <1，
输出量的拉氏变换为：
220 11
1)(
???????? ???
?
???
????
nnnn js
C
js
B
ss
A
ssC
式中,22
0
2
2 nn
n
sA ???
?
??
??
)]1()2()2[(2
1/)2()2(
22
0
22
22
000
????????
????????
?????
??????
s
jsssB
nnnn
nnnn
)]1()2()2[(2
1/)2()2(
22
0
22
22
000
????????
????????
?????
??????
s
jsssC
nnnn
nnnn
三阶系统在 ? < 1 时的单位阶跃响应
h(t) 由三项组成：
第一项是常数项；
第二项为指数衰减项；
第三项为振荡衰减项；
tse
bbth 01)2(
11)(
2
?
???? ?
tbbbb e n
tn
22
2 1c o s)2([1)2( ????
??
?????
?
0 )]1(s i n
1
)1)2(( 2
2
2
??
?
??? ttbb
n,???
??
三阶系统的单位阶跃响应图
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
?nt
h(t
)
b=1
b=2
b=3
b=4
3-4-2高阶系统的单位阶跃响应
? 单位阶跃下的输出的拉氏变换为：
? )(sG
)(sH
)(sR )(sE )(sC )()(1 )()( sHsG sGs ???
nm
ps
zsK
asasasa
bsbsbsb
sD
sM
s
j
n
j
i
m
i
nn
nn
mm
mm
?
??
??
?
????
????
???
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
10
1
1
10
?
?
其中 zi,pj 分别是闭环系统的零点和极点。
? ?
?
? ?
?
???
?
? q
j
n
R
kkkj
m
i
i
ssss
ZsK
s
sC
1 1
22
1
)2()(
)(
1
)(
???
式中,q + 2r = n，将其展为部分分式：
其中：
? ?
? ? ??
??
???
q
j
r
k kkk
kk
j
j
ss
CsB
ss
A
s
AsC
1 1
22
0
2)( ???
? ?
?
? ?
?
???
?
? q
j
n
R
kkkj
m
i
i
ssss
ZsK
s
sC
1 1
22
1
)2()(
)(
1
)(
???
n
m
s a
bssCA ??
?
)(l i m
0
0,当 H(s)＝ 1 时 10 ?? Aba nn,
qjscssA jsj ?，,21)()(lim 0 ??? ?
Bk,Ck 是与 C(s) 在复极点,21 kkkkk js ???? ????
处留数有关的常系数。
由 H(t) 可见：
? (1) h(t) 由常数项和一些简单函数构成，常数项
与输入有关；简单函数项则是由一阶、二阶欠
阻尼的响应曲线。
? (2) 若系统闭环极点均有负实部，当 t?? 时，
所有含指数项均趋于零，输出为 A0 ；负实极点
和复数极点负实部绝对值越大，衰减越快。
? (3)系统响应类型 取决于极点,响应 形状由闭环
极点与零点共同决定 。
teBeAAth kkt
q
j
r
k
k
ts
j
kkj )1c o s ()( 2
1 1
0 ??
?? ???? ?
? ?
? ?
3-4-3 闭环主导极点
? 距虚轴最近的极点，其它极点距虚轴远
远大于该（对）极点，周围又无零点的
极点称 闭环主导极点 ；
? 闭环主导极点可以是实数极点、复数极
点，或是它们的组合；
? 除闭环主导极点外，所有其它闭环极点
非主导极点 。
3-5 线性系统的稳定性分析
? 3-5-1.稳定性的基本概念
? 3-5-2.线性系统稳定的充要条件
? 3-5-3.劳斯 ——赫尔维茨稳定判据
? 3-5-4,Routh 判据的特殊情况
? 3-5-5,Routh 判据的应用
3-5-1, 稳定性的基本概念
? 平衡态 ?? 系统的 各阶导数为零；
? 稳定性 ?? 系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复
到原平衡态的性能。
? 若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间
的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系
统渐近稳定，简称稳定；
? 若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的推
移而发散，则称系统不稳定。
稳定的
平衡态
不稳定的
平衡态
3-5-2线性系统稳定的充要条件
? 线性系统只有一个平衡态，稳定性是它本身的
属性，与输入信号无关；
? 线性系统稳定可用其脉冲响应趋于无穷等于与
零来表示：
0)(lim ??? tgt
?
?
?
n
i
ts
i
ieAtg
1
)(
? ??
?
n
i i
i ss AsC
1
)(
0lim)(lim
1
?? ?
?????
n
i
ts
itt
ieAtg
在单位脉冲作用下，系统响应 其拉氏变换
为,当 si 均具有负实部时：
? 当所有 si均具有负实部时,0lim)(lim
1
?
?????
??
n
i
s
itt ieAtg
上式是设特征值互不相等，若有重特征，本质也是如
此，这是因为若有重根，则 C(s) 会有如下项：
k
i
ik
ss
A
)( ?
从而 g(t) 中会出现 tskik iet
k
A
!
项，当 si 具有
负实部，该项也是随时间趋于零。因此有如下定理：
线性定常系统稳定定理：
线性定常系统稳定的充要条件是：闭环系统特征
方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环系统
传递函数的所有极点均位于左半 s平面。
3-5-3.劳斯 ——赫尔维茨稳定判据
? 1.Hurwitz 判据：
nnnn asasasasD ????? ?? 1110)( ?设系统特征方程为：
系统稳定必要条件是：
nia i ?，，,2 10 ??
要求系统稳定的充要条件，需要介绍 hurwitz行列式：
nn
n
n
aa
a
aa
aaa
aaa
2
1
31
420
531
000
0000
000
00
00
?
?
??
?
?
??????
?
?
?
Hurwitz判据：
? D(s)的根具有负实部的充要条件是：
? (1) D(s)的各项系数均为正；
? (2)其 hurwitz 行列式的顺序主子式均大于零。
即,0
11 ??? a
0
20
31
2 ??? aa
aa
0
0 31
420
531
3 ???
aa
aaa
aaa
0
000
0000
000
00
00
2
1
31
420
531
???
?
?
nn
n
n
aa
a
aa
aaa
aaa
?
?
??????
?
?
?
··· ···
例：系统特征值方程为,05432)( 234 ?????? sssssD
试判断该系统的稳定性。
解,D(s)各项系数为正，列 hurwitz 行列式：
5310
0420
0531
0042
4
?? 因此,021 ???
022 ???
0123 ????
0604 ????
系统有正实部特征根，不稳定。
2,Routh 判据
? Routh判据：系统稳定的充要条件是 Routh表中的第一
列为正。 Routh表中第一列正负号改变的次数是特征
方程正实部根的数目。
? Routh表：
nn
nn
n
n
n
n
acs
ccs
c
c
caac
c
c
caac
c
c
caac
cs
c
a
aaaa
c
a
aaaa
c
a
aaaa
cs
aaaas
aaaas
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
0
21
1
44
13
431713
34
13
331513
24
13
231313
14
3
43
1
7061
33
1
5041
23
1
3021
13
2
7531
1
6420
?????
?
?
?
?
例：系统特征值方程为：
试 Routh 判据判断该系统的稳定性。
05432)( 234 ?????? sssssD
解：列 Routh 表,
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
Routh表第一列为,1,2,1,-6,5,变号两次，特征
方程有两个正实根，系统不稳定。
1
2
3 5
4
12 4132 ???? 52 0152 ????
61 5241 ?????
5
3-5-4 Routh判据的特殊情况
? 某行第一列为零，其它列不为零 ；
? Routh 表出现全零行 。
3-5-5 Routh判据应用
1.分析参数变化时对稳定性的影响
)2)(1( ?? sss
k)(sR )(sC
?
例、已知系统如下图，试确定临界放大系数。
ksss
ks
????? 23)( 23解：
2.分析 相对稳定，稳定裕度判别：
kssssD ???? 23)( 23
Routh 表：
ks
k
s
ks
s
0
1
2
3
3
6
3
21
? 欲使系统稳定，应使：
??
?
?
?
?
??
0
0
3
6
k
k
60 ?? k因此,6?临界k所以：
例：若要求下图系统中闭环极点均具有位于 s 平面上
s = -1 重线之左。 K 应取何值？
)125.0)(11.0( ?? sss
k)(sR )(sC
?
解：
)4)(10()4)(10(
40)( *
?????? sss
k
sss
ksG kk 40* ?其中：
K 为增益,k* 为根轨迹增益。
*23 4014)( kssssD ???? *23
*
4014)( ksss
ks
?????,
Routh 表：
*0
*
1
*2
3
11
)27(16 5
2711
151
ks
k
s
ks
s
??
?
利用坐标平移，令 S = S1-1代替 D(s)中的 S 得 D(S1),
令第一列为正，得 19227 * ?? k
即当 8.46 7 5.0 ?? k时，可以
保证闭环极点全位于 S = –1
垂线之左。
0271511
)1(40)1(14)1()(
*
1
2
1
3
1
*
1
2
1
3
11
??????
???????
ksss
kssssD对 D(S1) 判稳：
go
? 某行第一列为零，其它列不为零：
用 s+a (a>0)去乘 D(s),如,023)( 3 ???? sssD
Routh表：
20
31
2
3
s
s ?
新的 0673)( 234 ?????? sssssD
新 Routh 表：
6
20
6
3
2
73
631
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
?
?
?
从而可以判出该
Routh表第一列变号
两次，该特征方程
有两个具有正实部
的特征根。 back
用 s + 3 乘以 D(s),不改变其特征根稳定性判别。
? Routh 表出现全零行：
全零行表明特征方程中存在与原点对称的根。
用全零行的上一行（辅助）方程求导，构成新一行取
代全零行。
例，设系统为：
044732
)1)()()(2)(2()(
23456
2
????????
???????
ssssss
ssjsjssssD
431
431
4721
4
5
6
??
??
???
s
s
s解：列 Routh 表：
出现全零行，令
43)( 24 ??? sssF
则 sssF 64)( 3 ??? 从而有：
4
7.16
45.1
64
0
1
2
3
?
?
??
s
s
s
s
Routh 表第一列变号一次，
系统不稳定。
back
3-6.线性系统稳态误差计算
? 3-6-1.误差与稳态误差
? 3-6-2.系统类型
? 3-6-3.单位阶跃作用下的稳态误差与 kp
? 3-6-4.斜坡作用下的稳态误差与 kv
? 3-6-5.加速度作用下的稳态误差与 ka
? 3-6-6.动态误差系统
? 3-6-7.扰动作用下的稳态误差
? 3-6-8.减少或消除稳态误差的措施
3-6-1.误差与稳态误差
? 误差 ——期望输出与实际输出之差。
? 误差信号 —— e ( t )
? 单位反馈时 —— 误差为 e ( t ) = r ( t ) – c ( t )
? 非单位反馈时 ——误差为 e ( t ) = r ( t ) – b ( t )
由于非单位反馈可化为单位反馈，以下讨论提及误差
均指 e ( t ) = r ( t ) – c ( t )。
)(sG)(tr )(te )(tc?
单位反馈
)(sG)(tr )(te )(tc?
)(sG)(tb
非单位反馈
稳态误差
? 误差传递函数 )()(1
1
)(
)()(
sHsGsR
sEs
e ????
)()()( tetete sstt ??系统稳定时,0)(lim ?
?? te ttt
稳态误差是误差的稳态值,)(lim)( tete
tss ???
sse 可能是常数（包括 0），也可能是时间的函数，
如,)s in ( ?? ?t
若 sE(s) 全部极点位于 s 左半平面或原点，则有：
)()(1
)(lim)(lim
00 sHsG
ssRssEe
ssss ??? ??
必须注意，用终值定理求的是 t??的数值，不能求得
ess随时间变化的规律 (如 sin 等 )，因而有一定局限性。
例、设单位反馈系统如图,)(tr )(te )(tc?
Ts
1
2
2
1)( ttr ?,和 )s in ()( ttr ??输入为：
试求稳态误差。
（ 1） 32 1)(21)( ssRttr ??, 则，
T
s
T
s
T
s
T
T
ss
sE 1
)1(
1)( 22
2
2 ?
???
?
?
0)( /22 ???? ? teTTTtte Tt,
Tttt eTte /2)( ?? )()( TtTte ss ??，而 稳态误差,??? ?? )(lim tee sstss
此时,sE(s) 满足求极值条件，也可以用公式：
??????
???? )1(
1lim)(lim)(lim
00 ss
ssEtee
sstss
)1(
1)()(
Ts
sRsE
?
?解,
))(1(
)(
22 ?
?
??
?
sTs
sE
22)(s in)( ?
??
??? ssRttr,则，（ 2）
22222222
2
22
2
11)1(
1
1)( ?
?
???
?
?
?
???????????? sT
T
s
s
T
T
Ts
T
TsE
)s i n (1s i n1c o s1)( 222222 2 ??????? ? ???????? tTTtT TtT Tte ss
tT TtT TeT Tte Tt ???? ?? ? s i n1c o s11)( 2222
2
/
22
2
??????
?
Ta r c t g ?? ?? 2222 1 1c o s 1s in TTT ????? ?????,其中,即：
此时,sE(s) 不满足只在 s 左半平面或原点上有极点，
因而不能利用终值定理来求稳态误差。
3-6-2 系统类型
设系统的开环传递函数为,)1(
)1(
)()(
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
rn
j
j
r
m
i
i
sTs
sk
sHsG
?
k 为开环增益,为时间常数，ji T，?
r 是纯积分环节的次数，称系统的 型次 。
令
)1(
)1(
)()(
1
1
00
?
?
?
?
?
?
?
?
rn
j
j
m
i
i
sT
s
sHsG
?
则 G(s)H(s) 可表达为,)()()()( 00 sHsGsksHsG r?
从而 ks
sRs
sHsG
s
k
ssR
sHsG
ssR
e r
s
r
s
r
ssss ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
1
0
00
00 lim
)]([lim
)()(1
)(
lim
)()(1
)(
lim
此式可以看出，稳态误差与下列因数有关：
? 1、输入信号中（ 1／ S）的阶次；
? 2,系统的型次与 k，系统的型次影响是决定
系统的稳态误差是 0（或者 ?）, k 在某些情
况下有作用。
ks
sRs
e r
s
r
s
ss ??
?
?
?
0
1
0
lim
)]([lim
??
???
?
?
????
?
?
10
0
1lim
lim
0
0
r
r
k
R
ks
Rs
e r
s
r
s
ssRttr )(1)( ?设 则有
s
RsR ?)(,
3-6-3.单位阶跃作用下的稳态误差与 Kp：
3-6-4.斜坡作用下的稳态误差与 Kv：
另外，当
s
RsR ?)( 时，
pss
ss k
R
sHsG
RsSEe
?????
?
? 1)()(lim1
)(lim
0
0
式中,)()(lim
0 sHsGk sp ??
称静态位置误差系数。
?
?
?
??
??
一型及以上系统
零型系统
0
0
r
rkk
p
显然，
Rttr ?)(,则有 2)( sRsR ?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
二型及以上系统
一型系统
零型系统
20
1
0
lim
lim
0
1
0
r
r
k
R
r
ks
Rs
e
r
s
r
s
ss
另外，当
2)( s
RsR ? 时，
vsss
ss k
R
sHssG
R
sHssGs
RsSEe ??
???
??
? )()(lim)]()([lim
)(lim
00
0
式中,)()(lim
0 sHssGk sv ??
称静态速度误差系数。
?
?
?
?
?
??
?
?
?
2
1
00
r
rk
r
k v
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
二型及以上系统
一型系统
零型系统
20
1
0
r
r
k
R
r
e ss对应地：
试分别确定当 kh=1和 kh=0.1时系统在输出
端的稳态误差。
例、设系统如右图，其中：
)(1)( ttR ?
1
10)(
?? ssG
hksH ?)(
，
,输入为
)(sG
)(sH
?)(sR )(sC)(sE
解,)(sG
)(sH
?)(sR )(sC)(sE110)()( ?? s ksHsG h
误差系数
hp kkk 10?? hpss kk
Re
101
1
1 ????，
当 kh=1 时，系统误差信号的分析结果即为系统的输出
误差，此时系统输出的稳态误差为：
11
1
110
1 ?
???sse
5.01.0101 1 ????sse当 kh= 0.1 时，
hk
tr )(此时，系统的期望输出为：
5???
h
ss
ss k
ee因此，折算导系统输出端的稳态误差为：
3-6-5.加速度下的稳态误差与 Ka
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
30
2
10
lim
lim
0
1
0
r
r
k
R
r
ks
Rs
e
r
s
r
s
ss
，2)(
2t
Rtr ? 则有 3)( sRsR ?
当
3)( s
RsR ? 时，
asss
ss k
R
sHsGs
R
sHsGss
RsSEe ??
???
??
? )()(lim)]()([lim
)(lim 2
0
22
0
0
)()(lim 20 sHsGsk sa ??式中,称静态加速度误差系数。
上述讨论结果可得如下表,p124表 3-5
输入信号作用下的稳态误差
系
统
型
别
静态误差系数
阶跃输入 斜坡输入 加速度输入
位置误差 速度误差 加速度误差
0 0 0 0
I K 0 0
II K 0 0
III 0 0 0
akvkpk
?
? ?
?? ?
)(1)( tRtr ?? Rttr ?)(
2)(
2Rttr ?
p
ss K
Re
?? 1 vss K
Re ?
a
ss K
Re ?
K
R
?1 ? ?
?
K
R
K
R
3-6-6.动态误差系数
上面讨论的 Kp,Kv,Ka反映了 t? ?时系统稳态误差的
品质，它们只取三种值,0，常数,?； 对应的稳态误
差也只有三种值,0，常数,?。 不能反映其它输入信
号下的稳态误差，和当 t? ? 随时间的变化的情况。
???? ?????????? 2)0(!21)0()0()()(1 1)( sssHsGs eeee
???? ????????? )()0(!21)()0()()0()()()( 2 sRsssRsRsRssE eeee
)(se?将误差传递函数 在 s=0 的邻域内 Taylor 展开：
即，将 E(S)也 展开成了 s=0 (即 t? ? )的级数：
???? 0 )( )()( i iiss trcte 式中,)0(
!
1 )( i
ei ic ??
???? 0 )( )()( i iiss trcte 式中,)0(
!
1 )( i
ei ic ??
称 ci为误差级数系数，为区别于 Kp,Kv,Ka称 ci为动态
误差系数,ci反映了当 t?? 时稳态误差随时间变化的情
况。求取 ci可以采用上述公式，也可以用长除法。
例、单位反馈系统 1)( ?? s ksG 求其在输入为 1(t),t,2
2
1t
时的稳态误差，当输入为,),(1]2[)( 32210 tetataatr ta?????
其稳态误差又将如何？
解：用静态误差系数分析,)(1)( ttr ? ke ss ?? 1 1时，
当 )(1]
2[)( 3
22
10 tet
ataatr ta ????? ?)(1)( tttr ?? )(1
2
1)( 2 tttr ??,以及
时，均有 ??
sse 。
用动态误差系数分析：
1
1
)(1
1)(
??
??
??? ks
s
sGse
?????????? 232 )1()1(11)( sk ksk kkse用长除法可求得：
所以,???? ?
?
??
???? )()1()()1()(1
1
32 trk
ktr
k
ktr
ke sssss
1)(i 0)( )(1)( )( ??? trttr is，(1),对于 kte ss ?? 1 1)(,；
(2),当 2)(i 0)( 1)( )( ??? trtr iss,?)(1)( tttr ? 时，
2)1(1
1)(
k
kt
kte ss ????, ess 当 t?? 时随时间线性增长。
(3),当 3)(i 0)( 1)( )( )( ???? trtrttr isss,,???)(1
2
1)( 2 tttr ? 时，
32
2
)1()1(2
1
1
1)(
k
kt
k
kt
kte ss ?
??
????
ess 当 t?? 时随时间抛物线增长。
(4),对于
，
，所以：
)(1]2[)( 32210 tetataatr ta ????? ?
22
10 2)( t
ataatr
s ???
23212
22
10 )1()()1()2(1
1)( a
k
ktaa
k
ktataa
kte ss ?
???
??????
taatr s 21)( ???, 2)( atrs ???,
)3( 0)()( ?? itr si
例 3-14.已知单位反馈系统开环传递函数为：
)11.0(
1 0 0)(
?? sssG
ttr 5s in)( ?若输入,试求稳态误差。
解：
1001.0
)11.0(
)(1
1)(
2 ??
??
??? ss
ss
sGse
其动态误差系数为：
?8574
5
3
4
210
1071.2107.8
109.110901.00
??
??
?????
???????
cc
cccc
，
，，，，
)2.245c o s (0 5 4 6 5.0
c o s0498.0s i n0224.0
c o s)(s i n)()(
0
00
0
5
05
3
03010
4
04
2
020
??
???
????????
t
tt
tccctcccte ss
??
??????? ??
代入 ess(t)表达式可得
当 )63.113e x p (0573.0
5)10015.0(
515.0)5(5 0
2
2
jjjje ???? ?????,?
因此，当
)63.1135s in (0573.0)( 0?? tte ss
ttr 5s in)( ? 时，系统的稳态误差为：
事实上，根据频率特性的定义可比较方便的得到结果：
??
??
??
???
j
j
jj
jjj
e ???
???
??
???
)1001.0(
1.0
100)(1.0
)11.0()(
2
2
2
3-6-7.扰动作用下的稳态误差
由于系统是线性的,考察扰动作用可以令输入为 0，
如图：
)(1 sG
)(sH
?)(sR )(sC)(2 sG
)(sN
)(l i m0 ssEe nsn s s ??
同理 也可用动态误差系数法，将误差的拉氏变换为
Taylor 级数来分析。
当 sE(s)在 s右半平面及虚轴上解析时，可以用终值定理
来计算稳态误差：
3-6-8.减少或消除稳态误差的措施
? (1)、增大系统开环增益或扰动作用点之前
的前向通道增益；
? (2)、在系统的前向通道或主反馈通道设置
串联积分环节；
? (3)、采用串联控制内回路扰动；
? (4)、采用复合控制。
? 3-1 系统时间响应的性能指标
? 3-2 一阶系统时域分析
? 3-3 二阶系统时域分析
? 3-4 高阶系统时域分析
? 3-5 线性系统的稳定性分析
? 3-6 线性系统的稳态误差分析
3-1 系统时间响应的性能指标
? 3-1-1 典型输入信号
? 3-1-2 动态过程与稳态过程
? 3-1-3 动态性能与稳态性能
? 3-1-1 典型输入信号
? 单位阶跃函数 ? 单位斜坡函数
? 单位加速度函数 ? 单位脉冲函数
? 正弦函数
单位阶跃函数
若
??
?
?
??
0
0
1
0)(
tt
tttf
则记为：
)(1)( 0tttf ??
0 t1 2 3 4-1
1
)(1)( 0tttf ??t
0
0 t1 2 3 4-1
1
)(1)( ttf ?
??
?
?
??
01
00)(
t
ttf
单位阶跃函数：
)(1)( ttf ?记为：
back
单位斜坡函数
单位加速度函数
0 t1 2 3-1
1
)(1)( tttf ?
??
?
?
??
0
00)(
tt
ttf
单位斜坡函数：
)(1)( tttf ?记为：
0 t1 2 3-1
1
)(121)( 2 tttf ?
??
?
?
?
?
?
? 0
2
1
00
)( 2 tt
t
tf
单位加速度函数：
)(121)( 2 tttf ?记为：
back
单位脉冲函数
正弦函数
back
0 t1 2-1
)()( ttf ?? 单位脉冲函数：
-2
?
?
?
??
??
0
00)(
t
tt?
1)( ????? dtt?
t
)s in ()( ttf ? 正弦函数：
)s in ()( ?? ?? tAtf
1
0
?2
3-1-2 动态过程与稳态过程
? 动态过程,系统在典型信号作用下，
系统输出量从初始状态到最终状态
的响应过程。又称 过渡过程 或 瞬态
过程 。
? 稳态过程,系统在典型信号作用下，
当时间 t 趋于无穷时，系统输出量
的表现方式。又称 稳态响应 。
3-1-3 动态性能与稳态性能
? 动态性能：在零初始条件下，给系统
一单位阶跃输入，其输出为单位阶跃
响应，记为 h(t)。将 h(t)随时间变化
状况作为指标，一般称为系统的 动态
性能指标 。 详细
? 稳态性能,稳态误差 是系统控制精度
或抗扰动能力的一种度量，是指 t→ ∞
时，输出量与期望输出的偏差。
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.9
1
1.2
1.4h(t)
h(inf)
td
tr ts
t
tp0.5
5％误差带
动态性能指标
? td —延迟时间,h(t)到稳态值一半的时间；
? tr—上升时间,h(t)从 10％ 到 90％ 所用的
时间，有时也取 t=0 到第一次穿越的时间（对
有超调的系统）；
? tp—峰值时间；
? ts—调节时间，进入误差带且不超出误差带的
最短时间；
%? %1 0 0
)(
)()(% ?
?
???
h
hth p?? —超调量：
3-2 一阶系统时域分析
? 3-2-1.一阶系统数学模型
? 3-2-2.单位阶跃响应
? 3-2-3.单位脉冲响应
? 3-2-4.单位斜坡响应
? 3-2-5.单位加速度响应
3-2-1 一阶系统的数学模型
3-2-2 一阶系统的 单位阶跃响应
1
1
)(
)(
?? TssR
sC
T
t
eth ??? 1)(
为稳态分量
为瞬态分量
(1).可用唯一的参数 T 来度量输出：
Ttdt
tdh 1
0
)( ?
? TTtdt
tdh 13 6 8.0)( ?
?
(2).单调上升，具体参数如下：
Tt d 69.0? Tt r 20.2? Tt s 3?
Ts
1)(sR )(sC)(sE
单位阶跃响应曲线：
0 t
0
0.5
1
1.5
初始斜率 =1/T
T 2T 3T 4T
0.632
0.865
c(t)=1-exp(-t/T)
3-2-3.单位脉冲响应
01)( ?? ? teTtc Tt
0 T 2T 3T 4T 5T0
c(t)=[exp(-t/T)]/T
初始斜率
0.369/T
0.135/T 0.05/T
1/T
1/(2T)
0.018/T
3-2-4.单位斜坡响应
)0()( ???? tTeTttc Tt为稳态分量为瞬态分量
0 2 4 6 8 10 12 14 16-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
r(t)=t
c(t)=t-T+T exp(-t/T)
ctt
0.368T
1.135T
2.050T
3-2-5.单位加速度响应
0)1(21)( 22 ????? ? teTTtttc Tt
跟踪误差,0)()()( 22 ?????? ? teTTTttctrte Tt
一阶系统不能跟踪加速度输入，这是因为：
???? )(lim tet
稳态响应,22
2
1 TTtte
ss ???
瞬态响应,Tt
tt eTe ??? 2
表 (3-2) 一阶系统对典型输入信号的输出响应
输入信号 输出响应
)(1 t,Tte ??1 0?t
)(t?,TteT ?1 0?t
0?t
0?t
t,TtTeTt ???
2
2
1 t,)1(
2
1 22 TteTTtt ????
back
3-3 二阶系统的时域分析
? 3-3-1 二阶系统的数学模型
? 3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
? 3-3-3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
? 3-3-4 过阻尼二阶系统的动态过程分析
? 3-3-5 二阶系统的单位斜坡响应
? 3-3-6 二阶系统性能改善
3-3-1 二阶系统的数学模型
其中，
22
2
2)(
)()(
nn
n
ssR
sCs
???
?
?????
)2(
2
n
n
ss ??
?
?
)(sR )(sC)(sE
? —阻尼系数,n? —自然（无阻尼）频率
特征方程,02 22 ??? nns ???
特征根,12
2,1 ???? ???? nns
3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
从特征根 122,1 ???? ???? nns 可知,
当 1??? 时,s12 为原系统的两个正实根； ( a )
01 ??? ? 时,s12为具有正实部的共轭复根； ( b )
0?? 时,s12为一对共轭虚根点； ( c )
10 ??? 时,s12为具有负实部的共轭复根点 ； ( d )
1?? 时,s12为相等的负实根点 ； ( e )
1?? 时,s12为两个不相等的负实根点 ； ( f )
(a)
j
0
(b)
j
0
(c)
j
0
(d)
j
0
(e)
j
0
(f)
j
0
1s 2s
1s
2s
1s
1s
21 ss ? 1s
2s
2s
2s
显然，当 0?? 时，系统的单位阶跃响应是 不 稳定的，
单位阶跃响应分别为：
)1s in (
1
1)( 22 ???
?
??
??
?
??
?
teth n
tn
01 ??? ?
)1(a r g
2
?
?? ?? tg其中，
或者当
)1(12)1(12
1)(
22
)1(
22
)1( 22
???
?
???
??
??????
??????
?????? tt nn ee
th
1???
0?t
当 时：
时：
0?t
下面分别讨论系统稳定（特征根具有负实部）的情况：
? (1) 欠阻尼
21 ?????? ??? ndn,若令：
djs ?? ???2,1则有：
2222 )()(
1)()()(1)(
dn
n
dn
n
ss
s
ssRssCssR ???
??
???
??
?????
??????,?
0)s i n (
1
11)(
2
??
?
??? ? tteth dtn ??
?
??
?? c o sa rg?或：
)1(a r g
2
?
?? ?? tg其中：
d?
n?
n??
?
d??
0
Re
Im
)10( ??? 122,1 ???? ???? nns
)s in ()/()c o s (1)( teteth dtdndt nn ????? ???? ?? ???
? (2) 无阻尼 )0( ?? 0c o s1)( ??? ttth n?
? (3)临界阻尼
)1( ??
0)1(1)( ????? ? tteth ntn ??
nn
n
n
n
ssssssC ??
?
?
?
???????
1
)(
1
)()( 22
2
t
n ntedt
tdh ?? ?? 2)( 始终大于零,h(t) 是单调上升型。当 t > 0 时，
? (4)过阻尼
0
11
1)(
2
1
1
2
21
?
?
?
?
??
??
t
T
T
e
T
T
eth T
t
T
t
)1( ?? )1(
1
)1(
1
2221 ?????? ??????
nn
TT,令
在单位阶跃输入下：
)1)(1(
1)(
21 T
s
T
ss
sC
??
?
T1,T2为二阶过阻尼系统
时间常数,T1 > T2
3-3-3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
? (1) 延迟时间
? (2)上升时间
n
dt ?
?? 22.06.01 ???
n
dt ?
?7.01 ??也可以近似为
0)s i n (
1
11)(
2
??
?
?? ? tteth dtn ??
?
??1)( ?
rth
令,得：
0)s in (
1
1
2 ???
? ??
?
??
rd
t te rn
d
rt ?
?? ??，故有：
在
d
rt ?
?? ?? 中：当 ? 不变（即 ? 不变）时，若 ?
n? ；?rt，则
。?rt当 d? 不变时,?? （即 ?? ），则
? (3) 峰值时间
将 h(t) 求导，令其 (当 t = tp 时 )为零：
0)c o s ()s i n ( ???? ?? ??????? ???? pdtdpdtn tete pnpn
21 ??
?
?
?
?
??
nd
pt
?
??? 21)( ???
pd ttg可得,?
?? 21 ??tg，因为 故有：
?? ktt pd ?,由峰值时间定义可得：
? (4) 超调量
)s i n (
1
11)( 21
2
??
?
?
??
?
?
?? ?
?
eth p
21)s in ( ??? ????其中 211)( ?
??
????? eth
p，
%100% 21 ?? ?? ?
??
? e按定义超调量为：
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
可见超调量与 %100% 21 ?? ?? ???? e
n?
无关,。％,?? ??
％关系曲线?? ?
?
%?
? (5) 调节时间 ts
22 1
)s i n (
1 ?
??
?
????
?
??
?
??
?? t
d
t nn e
te
n
st ??
5.3?
可取近似值：
当 %5?? 时，
n
st ??
2.4?；当 %2?? 时，
观察归一化的单位阶跃响应
的阻尼比与各参数的关系。
3-3-4 过阻尼二阶系统的动态过程分析
? 过阻尼二阶系统响应较为缓慢，但无超调。
近似公式为：
（ 1）延迟时间,
n
dt ?
?? 26.01 ???
（ 2）上升时间,
n
rt ?
?? 25.11 ???
（ 3）调节时间,
) 25.1 4 (3
4
211
21
???
?
?或
系统时，可近似等效为一阶当
TTTt
TT
s
)1(75.4 1 ?? ?Tt s
3-3-5 二阶系统的单位斜坡响应
? (1) 欠阻尼 (2) 临界阻尼 (3) 过阻尼
)2()(
1)()(
222
2
2
nn
n
sssCssRttr ???
?
?????,时，当
)21s i n (
1
12)( 2
2
???
???
? ?? ??
?
??? ? tettc nt
nn
n
(1) 欠阻尼：
)12(
122
2
2
?
??
?
???tg
其中,
122c o s 2 ?? ??
2122s in ??? ??或,
稳态响应
)21s i n (
1
12)( 2
2
???
???
? ?? ??
?
??? ? tettc nt
nn
n
稳态响应：
n
ss tC ?
?2?? 瞬态响应,)s in (1 ??
?
?? ?? ? teC
d
t
d
tt n
)s i n (12)( ???? ? ?? ??? ? tete dt
dn
n斜坡响应误差：
ssette
)2 11(2)( pn t
n
p ete
??
??
? ???
对 e(t) 求导，求出
d
pt ?
?? ?? 误差最大的峰值为：
n
st ??
3?最大偏移量,调节时间
pn t
n
m ee
??
?
?? 1
(2) 临界阻尼
(3) 过 界阻尼
22
2
)()( n
n
sssC ?
?
?? 0)2
11(22)( ????? ? tetttc t
n
nn
n??
??，
%)5( 1.4 ???
n
st ?
,?
?
??
?
? ??? ? t
n
n
nette ??
? )2
11(12)(
n
sse ?
2?,
n
sse ?
?2?
)]1()][1([
)12()(22
1)(
22
2
2 ??????
???
???
??????
???? ?? ?
nn
n
nn
ss
s
ss
sC
0
12
1212
12
12122
)(
)1(
2
22
)1(
2
22
2
2
?
?
???
?
?
???
???
???
???
te
ettc
t
n
t
nn
n
n
???
???
??
???
??
???
?
?
例,p95 例 3-3 如下图系统试求 KA 分别等与 13.5，
An
A
KK 55 25.17 ?? ??,解,)2()5.34( 5)(
2
n
nA
ssss
KsG
??
?
???? 可得
当 KA=13.5 时,2.81.2 ?? n??,
)1(51.0002.051.051.0)(
002.051.051.0)(
08.24.3208.2
4.3208.2
ttt
e
tt
c
eeet
eett
???
??
?????
????
?
?
06.120.233.069.0 sTtsTt rd ????
此时相当于一阶系统，等效时间常数 sT 48.0
08.2
1 ??
r a dsTt e s ss 51.044.13 ??? ?
200 和 500 时的误差
表达式并估算其性能
指标。)5.34(
5
?ss
K A)(sr? )(sc?)(se?
当 KA=200 时,6.3155.0 ?? n??, 欠阻尼
)1134.26s i n (038.0035.0)(
)1134.26s i n (038.0035.0)(
4.17
4.17
?
?
???
????
?
?
tet
tett
t
e
t
c
?
?
从而有 st
nd
p 08.01
c o s
2
1
?
?
???? ?
??
??
?
?? r a de pn t
n
em 0 0 8.0
1 ?? ? ??
??
st
n
s 17.0
3 ??
??
，
r a de s s 0 3 5.0??，
当 KA=1500 时,6.862.0 ?? n??, 欠阻尼
)1579.84s i n (012.0046.0)(
)1579.84s i n (012.0046.0)(
3.17
3.17
?
?
???
????
?
?
tet
tett
t
e
t
c
?
?
r a de s s 0 4 6.0??
st
nd
p 0 2 5.01
c o s
2
1
?
?
???? ?
??
??
?
??从而有, r a de pn t
n
em 0 0 8.0
1 ?? ? ??
??
st
n
s 17.0
3 ??
??
，
K=13.5
K=200
K=1500
例 3-3系统在不同的 KA下的斜坡响应曲线
例 3-3 参数影响斜坡响应的讨论：
? 增大放大器的增益使阻尼比减小，同时使响应加快；
? KA的增大使稳态误差减小，对斜坡响应来说有利；
? 但是，阻尼比过小会使阶跃响应振荡剧烈；
? 斜坡响应的要求与阶跃响应的要求有矛盾；
? 单靠增大放大器增益的方法来设计系统，不能同时
满足斜坡响应和阶跃响应的要求；
? 必须寻求另外的方法来改善系统性能，关键要使两
个重要参数 ?, ?n能分开调节。
An
A
KK 55 25.17 ?? ??,
)2()5.34(
5)( 2
n
nA
ssss
KsG
??
?
????)5.34(
5
?ss
K A)(sr? )(sc?)(se?
3-3-6 二阶系统性能改善
? (1) 比例 —微分控制
1
sTd
)2(
2
n
n
ss ??
?
?
)(sR )(sE )(sC
z
nd
2
??? ??
)12(
)1(
)(
)()(
?
???
n
d
ss
sTK
sE
sCSG
??
称 ??2 nK ? 为开环增益，令
dT
z 1?
则 )
2()( 22
2
nnd
n
ss
zs
zs ???
?
??
???,其中
? (2) 测速反馈控制 )2( 2
n
n
ss ??
?
?
sKt
)(sR )(sE )(sC
]1)2([
1
2)2()(
)()(
2
2
2
??
???????
ntn
nt
n
ntn
n
K
ssKKsssE
sCsG
?????
?
???
?
nt
n
K ??
?
?2
其中：
22
2
222
2
2)2()( nnt
n
nntn
n
sssKss ???
?
????
?
?????????
ntt K ??? 2
1??
3-4 高阶系统的时域分析
? 3-4-1 三阶系统的单位阶跃响应
? 3-4-2 高阶系统的单位阶跃响应
? 3-4-3 闭环主导节点
? 3-4-4 高阶系统的动态性能估算
3-4-1 三阶系统的单位阶跃响应
闭环传递函数的一般形式：
)2)(()(
)()(
22
0
0
2
???
?
?????? ssss
s
sR
scs
n
其中，（ -S0）当输入为单位阶跃函数，且 ? <1，
输出量的拉氏变换为：
220 11
1)(
???????? ???
?
???
????
nnnn js
C
js
B
ss
A
ssC
式中,22
0
2
2 nn
n
sA ???
?
??
??
)]1()2()2[(2
1/)2()2(
22
0
22
22
000
????????
????????
?????
??????
s
jsssB
nnnn
nnnn
)]1()2()2[(2
1/)2()2(
22
0
22
22
000
????????
????????
?????
??????
s
jsssC
nnnn
nnnn
三阶系统在 ? < 1 时的单位阶跃响应
h(t) 由三项组成：
第一项是常数项；
第二项为指数衰减项；
第三项为振荡衰减项；
tse
bbth 01)2(
11)(
2
?
???? ?
tbbbb e n
tn
22
2 1c o s)2([1)2( ????
??
?????
?
0 )]1(s i n
1
)1)2(( 2
2
2
??
?
??? ttbb
n,???
??
三阶系统的单位阶跃响应图
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
?nt
h(t
)
b=1
b=2
b=3
b=4
3-4-2高阶系统的单位阶跃响应
? 单位阶跃下的输出的拉氏变换为：
? )(sG
)(sH
)(sR )(sE )(sC )()(1 )()( sHsG sGs ???
nm
ps
zsK
asasasa
bsbsbsb
sD
sM
s
j
n
j
i
m
i
nn
nn
mm
mm
?
??
??
?
????
????
???
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
10
1
1
10
?
?
其中 zi,pj 分别是闭环系统的零点和极点。
? ?
?
? ?
?
???
?
? q
j
n
R
kkkj
m
i
i
ssss
ZsK
s
sC
1 1
22
1
)2()(
)(
1
)(
???
式中,q + 2r = n，将其展为部分分式：
其中：
? ?
? ? ??
??
???
q
j
r
k kkk
kk
j
j
ss
CsB
ss
A
s
AsC
1 1
22
0
2)( ???
? ?
?
? ?
?
???
?
? q
j
n
R
kkkj
m
i
i
ssss
ZsK
s
sC
1 1
22
1
)2()(
)(
1
)(
???
n
m
s a
bssCA ??
?
)(l i m
0
0,当 H(s)＝ 1 时 10 ?? Aba nn,
qjscssA jsj ?，,21)()(lim 0 ??? ?
Bk,Ck 是与 C(s) 在复极点,21 kkkkk js ???? ????
处留数有关的常系数。
由 H(t) 可见：
? (1) h(t) 由常数项和一些简单函数构成，常数项
与输入有关；简单函数项则是由一阶、二阶欠
阻尼的响应曲线。
? (2) 若系统闭环极点均有负实部，当 t?? 时，
所有含指数项均趋于零，输出为 A0 ；负实极点
和复数极点负实部绝对值越大，衰减越快。
? (3)系统响应类型 取决于极点,响应 形状由闭环
极点与零点共同决定 。
teBeAAth kkt
q
j
r
k
k
ts
j
kkj )1c o s ()( 2
1 1
0 ??
?? ???? ?
? ?
? ?
3-4-3 闭环主导极点
? 距虚轴最近的极点，其它极点距虚轴远
远大于该（对）极点，周围又无零点的
极点称 闭环主导极点 ；
? 闭环主导极点可以是实数极点、复数极
点，或是它们的组合；
? 除闭环主导极点外，所有其它闭环极点
非主导极点 。
3-5 线性系统的稳定性分析
? 3-5-1.稳定性的基本概念
? 3-5-2.线性系统稳定的充要条件
? 3-5-3.劳斯 ——赫尔维茨稳定判据
? 3-5-4,Routh 判据的特殊情况
? 3-5-5,Routh 判据的应用
3-5-1, 稳定性的基本概念
? 平衡态 ?? 系统的 各阶导数为零；
? 稳定性 ?? 系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复
到原平衡态的性能。
? 若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间
的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系
统渐近稳定，简称稳定；
? 若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的推
移而发散，则称系统不稳定。
稳定的
平衡态
不稳定的
平衡态
3-5-2线性系统稳定的充要条件
? 线性系统只有一个平衡态，稳定性是它本身的
属性，与输入信号无关；
? 线性系统稳定可用其脉冲响应趋于无穷等于与
零来表示：
0)(lim ??? tgt
?
?
?
n
i
ts
i
ieAtg
1
)(
? ??
?
n
i i
i ss AsC
1
)(
0lim)(lim
1
?? ?
?????
n
i
ts
itt
ieAtg
在单位脉冲作用下，系统响应 其拉氏变换
为,当 si 均具有负实部时：
? 当所有 si均具有负实部时,0lim)(lim
1
?
?????
??
n
i
s
itt ieAtg
上式是设特征值互不相等，若有重特征，本质也是如
此，这是因为若有重根，则 C(s) 会有如下项：
k
i
ik
ss
A
)( ?
从而 g(t) 中会出现 tskik iet
k
A
!
项，当 si 具有
负实部，该项也是随时间趋于零。因此有如下定理：
线性定常系统稳定定理：
线性定常系统稳定的充要条件是：闭环系统特征
方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环系统
传递函数的所有极点均位于左半 s平面。
3-5-3.劳斯 ——赫尔维茨稳定判据
? 1.Hurwitz 判据：
nnnn asasasasD ????? ?? 1110)( ?设系统特征方程为：
系统稳定必要条件是：
nia i ?，，,2 10 ??
要求系统稳定的充要条件，需要介绍 hurwitz行列式：
nn
n
n
aa
a
aa
aaa
aaa
2
1
31
420
531
000
0000
000
00
00
?
?
??
?
?
??????
?
?
?
Hurwitz判据：
? D(s)的根具有负实部的充要条件是：
? (1) D(s)的各项系数均为正；
? (2)其 hurwitz 行列式的顺序主子式均大于零。
即,0
11 ??? a
0
20
31
2 ??? aa
aa
0
0 31
420
531
3 ???
aa
aaa
aaa
0
000
0000
000
00
00
2
1
31
420
531
???
?
?
nn
n
n
aa
a
aa
aaa
aaa
?
?
??????
?
?
?
··· ···
例：系统特征值方程为,05432)( 234 ?????? sssssD
试判断该系统的稳定性。
解,D(s)各项系数为正，列 hurwitz 行列式：
5310
0420
0531
0042
4
?? 因此,021 ???
022 ???
0123 ????
0604 ????
系统有正实部特征根，不稳定。
2,Routh 判据
? Routh判据：系统稳定的充要条件是 Routh表中的第一
列为正。 Routh表中第一列正负号改变的次数是特征
方程正实部根的数目。
? Routh表：
nn
nn
n
n
n
n
acs
ccs
c
c
caac
c
c
caac
c
c
caac
cs
c
a
aaaa
c
a
aaaa
c
a
aaaa
cs
aaaas
aaaas
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
0
21
1
44
13
431713
34
13
331513
24
13
231313
14
3
43
1
7061
33
1
5041
23
1
3021
13
2
7531
1
6420
?????
?
?
?
?
例：系统特征值方程为：
试 Routh 判据判断该系统的稳定性。
05432)( 234 ?????? sssssD
解：列 Routh 表,
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
Routh表第一列为,1,2,1,-6,5,变号两次，特征
方程有两个正实根，系统不稳定。
1
2
3 5
4
12 4132 ???? 52 0152 ????
61 5241 ?????
5
3-5-4 Routh判据的特殊情况
? 某行第一列为零，其它列不为零 ；
? Routh 表出现全零行 。
3-5-5 Routh判据应用
1.分析参数变化时对稳定性的影响
)2)(1( ?? sss
k)(sR )(sC
?
例、已知系统如下图，试确定临界放大系数。
ksss
ks
????? 23)( 23解：
2.分析 相对稳定，稳定裕度判别：
kssssD ???? 23)( 23
Routh 表：
ks
k
s
ks
s
0
1
2
3
3
6
3
21
? 欲使系统稳定，应使：
??
?
?
?
?
??
0
0
3
6
k
k
60 ?? k因此,6?临界k所以：
例：若要求下图系统中闭环极点均具有位于 s 平面上
s = -1 重线之左。 K 应取何值？
)125.0)(11.0( ?? sss
k)(sR )(sC
?
解：
)4)(10()4)(10(
40)( *
?????? sss
k
sss
ksG kk 40* ?其中：
K 为增益,k* 为根轨迹增益。
*23 4014)( kssssD ???? *23
*
4014)( ksss
ks
?????,
Routh 表：
*0
*
1
*2
3
11
)27(16 5
2711
151
ks
k
s
ks
s
??
?
利用坐标平移，令 S = S1-1代替 D(s)中的 S 得 D(S1),
令第一列为正，得 19227 * ?? k
即当 8.46 7 5.0 ?? k时，可以
保证闭环极点全位于 S = –1
垂线之左。
0271511
)1(40)1(14)1()(
*
1
2
1
3
1
*
1
2
1
3
11
??????
???????
ksss
kssssD对 D(S1) 判稳：
go
? 某行第一列为零，其它列不为零：
用 s+a (a>0)去乘 D(s),如,023)( 3 ???? sssD
Routh表：
20
31
2
3
s
s ?
新的 0673)( 234 ?????? sssssD
新 Routh 表：
6
20
6
3
2
73
631
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
?
?
?
从而可以判出该
Routh表第一列变号
两次，该特征方程
有两个具有正实部
的特征根。 back
用 s + 3 乘以 D(s),不改变其特征根稳定性判别。
? Routh 表出现全零行：
全零行表明特征方程中存在与原点对称的根。
用全零行的上一行（辅助）方程求导，构成新一行取
代全零行。
例，设系统为：
044732
)1)()()(2)(2()(
23456
2
????????
???????
ssssss
ssjsjssssD
431
431
4721
4
5
6
??
??
???
s
s
s解：列 Routh 表：
出现全零行，令
43)( 24 ??? sssF
则 sssF 64)( 3 ??? 从而有：
4
7.16
45.1
64
0
1
2
3
?
?
??
s
s
s
s
Routh 表第一列变号一次，
系统不稳定。
back
3-6.线性系统稳态误差计算
? 3-6-1.误差与稳态误差
? 3-6-2.系统类型
? 3-6-3.单位阶跃作用下的稳态误差与 kp
? 3-6-4.斜坡作用下的稳态误差与 kv
? 3-6-5.加速度作用下的稳态误差与 ka
? 3-6-6.动态误差系统
? 3-6-7.扰动作用下的稳态误差
? 3-6-8.减少或消除稳态误差的措施
3-6-1.误差与稳态误差
? 误差 ——期望输出与实际输出之差。
? 误差信号 —— e ( t )
? 单位反馈时 —— 误差为 e ( t ) = r ( t ) – c ( t )
? 非单位反馈时 ——误差为 e ( t ) = r ( t ) – b ( t )
由于非单位反馈可化为单位反馈，以下讨论提及误差
均指 e ( t ) = r ( t ) – c ( t )。
)(sG)(tr )(te )(tc?
单位反馈
)(sG)(tr )(te )(tc?
)(sG)(tb
非单位反馈
稳态误差
? 误差传递函数 )()(1
1
)(
)()(
sHsGsR
sEs
e ????
)()()( tetete sstt ??系统稳定时,0)(lim ?
?? te ttt
稳态误差是误差的稳态值,)(lim)( tete
tss ???
sse 可能是常数（包括 0），也可能是时间的函数，
如,)s in ( ?? ?t
若 sE(s) 全部极点位于 s 左半平面或原点，则有：
)()(1
)(lim)(lim
00 sHsG
ssRssEe
ssss ??? ??
必须注意，用终值定理求的是 t??的数值，不能求得
ess随时间变化的规律 (如 sin 等 )，因而有一定局限性。
例、设单位反馈系统如图,)(tr )(te )(tc?
Ts
1
2
2
1)( ttr ?,和 )s in ()( ttr ??输入为：
试求稳态误差。
（ 1） 32 1)(21)( ssRttr ??, 则，
T
s
T
s
T
s
T
T
ss
sE 1
)1(
1)( 22
2
2 ?
???
?
?
0)( /22 ???? ? teTTTtte Tt,
Tttt eTte /2)( ?? )()( TtTte ss ??，而 稳态误差,??? ?? )(lim tee sstss
此时,sE(s) 满足求极值条件，也可以用公式：
??????
???? )1(
1lim)(lim)(lim
00 ss
ssEtee
sstss
)1(
1)()(
Ts
sRsE
?
?解,
))(1(
)(
22 ?
?
??
?
sTs
sE
22)(s in)( ?
??
??? ssRttr,则，（ 2）
22222222
2
22
2
11)1(
1
1)( ?
?
???
?
?
?
???????????? sT
T
s
s
T
T
Ts
T
TsE
)s i n (1s i n1c o s1)( 222222 2 ??????? ? ???????? tTTtT TtT Tte ss
tT TtT TeT Tte Tt ???? ?? ? s i n1c o s11)( 2222
2
/
22
2
??????
?
Ta r c t g ?? ?? 2222 1 1c o s 1s in TTT ????? ?????,其中,即：
此时,sE(s) 不满足只在 s 左半平面或原点上有极点，
因而不能利用终值定理来求稳态误差。
3-6-2 系统类型
设系统的开环传递函数为,)1(
)1(
)()(
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
rn
j
j
r
m
i
i
sTs
sk
sHsG
?
k 为开环增益,为时间常数，ji T，?
r 是纯积分环节的次数，称系统的 型次 。
令
)1(
)1(
)()(
1
1
00
?
?
?
?
?
?
?
?
rn
j
j
m
i
i
sT
s
sHsG
?
则 G(s)H(s) 可表达为,)()()()( 00 sHsGsksHsG r?
从而 ks
sRs
sHsG
s
k
ssR
sHsG
ssR
e r
s
r
s
r
ssss ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
1
0
00
00 lim
)]([lim
)()(1
)(
lim
)()(1
)(
lim
此式可以看出，稳态误差与下列因数有关：
? 1、输入信号中（ 1／ S）的阶次；
? 2,系统的型次与 k，系统的型次影响是决定
系统的稳态误差是 0（或者 ?）, k 在某些情
况下有作用。
ks
sRs
e r
s
r
s
ss ??
?
?
?
0
1
0
lim
)]([lim
??
???
?
?
????
?
?
10
0
1lim
lim
0
0
r
r
k
R
ks
Rs
e r
s
r
s
ssRttr )(1)( ?设 则有
s
RsR ?)(,
3-6-3.单位阶跃作用下的稳态误差与 Kp：
3-6-4.斜坡作用下的稳态误差与 Kv：
另外，当
s
RsR ?)( 时，
pss
ss k
R
sHsG
RsSEe
?????
?
? 1)()(lim1
)(lim
0
0
式中,)()(lim
0 sHsGk sp ??
称静态位置误差系数。
?
?
?
??
??
一型及以上系统
零型系统
0
0
r
rkk
p
显然，
Rttr ?)(,则有 2)( sRsR ?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
二型及以上系统
一型系统
零型系统
20
1
0
lim
lim
0
1
0
r
r
k
R
r
ks
Rs
e
r
s
r
s
ss
另外，当
2)( s
RsR ? 时，
vsss
ss k
R
sHssG
R
sHssGs
RsSEe ??
???
??
? )()(lim)]()([lim
)(lim
00
0
式中,)()(lim
0 sHssGk sv ??
称静态速度误差系数。
?
?
?
?
?
??
?
?
?
2
1
00
r
rk
r
k v
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
二型及以上系统
一型系统
零型系统
20
1
0
r
r
k
R
r
e ss对应地：
试分别确定当 kh=1和 kh=0.1时系统在输出
端的稳态误差。
例、设系统如右图，其中：
)(1)( ttR ?
1
10)(
?? ssG
hksH ?)(
，
,输入为
)(sG
)(sH
?)(sR )(sC)(sE
解,)(sG
)(sH
?)(sR )(sC)(sE110)()( ?? s ksHsG h
误差系数
hp kkk 10?? hpss kk
Re
101
1
1 ????，
当 kh=1 时，系统误差信号的分析结果即为系统的输出
误差，此时系统输出的稳态误差为：
11
1
110
1 ?
???sse
5.01.0101 1 ????sse当 kh= 0.1 时，
hk
tr )(此时，系统的期望输出为：
5???
h
ss
ss k
ee因此，折算导系统输出端的稳态误差为：
3-6-5.加速度下的稳态误差与 Ka
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
30
2
10
lim
lim
0
1
0
r
r
k
R
r
ks
Rs
e
r
s
r
s
ss
，2)(
2t
Rtr ? 则有 3)( sRsR ?
当
3)( s
RsR ? 时，
asss
ss k
R
sHsGs
R
sHsGss
RsSEe ??
???
??
? )()(lim)]()([lim
)(lim 2
0
22
0
0
)()(lim 20 sHsGsk sa ??式中,称静态加速度误差系数。
上述讨论结果可得如下表,p124表 3-5
输入信号作用下的稳态误差
系
统
型
别
静态误差系数
阶跃输入 斜坡输入 加速度输入
位置误差 速度误差 加速度误差
0 0 0 0
I K 0 0
II K 0 0
III 0 0 0
akvkpk
?
? ?
?? ?
)(1)( tRtr ?? Rttr ?)(
2)(
2Rttr ?
p
ss K
Re
?? 1 vss K
Re ?
a
ss K
Re ?
K
R
?1 ? ?
?
K
R
K
R
3-6-6.动态误差系数
上面讨论的 Kp,Kv,Ka反映了 t? ?时系统稳态误差的
品质，它们只取三种值,0，常数,?； 对应的稳态误
差也只有三种值,0，常数,?。 不能反映其它输入信
号下的稳态误差，和当 t? ? 随时间的变化的情况。
???? ?????????? 2)0(!21)0()0()()(1 1)( sssHsGs eeee
???? ????????? )()0(!21)()0()()0()()()( 2 sRsssRsRsRssE eeee
)(se?将误差传递函数 在 s=0 的邻域内 Taylor 展开：
即，将 E(S)也 展开成了 s=0 (即 t? ? )的级数：
???? 0 )( )()( i iiss trcte 式中,)0(
!
1 )( i
ei ic ??
???? 0 )( )()( i iiss trcte 式中,)0(
!
1 )( i
ei ic ??
称 ci为误差级数系数，为区别于 Kp,Kv,Ka称 ci为动态
误差系数,ci反映了当 t?? 时稳态误差随时间变化的情
况。求取 ci可以采用上述公式，也可以用长除法。
例、单位反馈系统 1)( ?? s ksG 求其在输入为 1(t),t,2
2
1t
时的稳态误差，当输入为,),(1]2[)( 32210 tetataatr ta?????
其稳态误差又将如何？
解：用静态误差系数分析,)(1)( ttr ? ke ss ?? 1 1时，
当 )(1]
2[)( 3
22
10 tet
ataatr ta ????? ?)(1)( tttr ?? )(1
2
1)( 2 tttr ??,以及
时，均有 ??
sse 。
用动态误差系数分析：
1
1
)(1
1)(
??
??
??? ks
s
sGse
?????????? 232 )1()1(11)( sk ksk kkse用长除法可求得：
所以,???? ?
?
??
???? )()1()()1()(1
1
32 trk
ktr
k
ktr
ke sssss
1)(i 0)( )(1)( )( ??? trttr is，(1),对于 kte ss ?? 1 1)(,；
(2),当 2)(i 0)( 1)( )( ??? trtr iss,?)(1)( tttr ? 时，
2)1(1
1)(
k
kt
kte ss ????, ess 当 t?? 时随时间线性增长。
(3),当 3)(i 0)( 1)( )( )( ???? trtrttr isss,,???)(1
2
1)( 2 tttr ? 时，
32
2
)1()1(2
1
1
1)(
k
kt
k
kt
kte ss ?
??
????
ess 当 t?? 时随时间抛物线增长。
(4),对于
，
，所以：
)(1]2[)( 32210 tetataatr ta ????? ?
22
10 2)( t
ataatr
s ???
23212
22
10 )1()()1()2(1
1)( a
k
ktaa
k
ktataa
kte ss ?
???
??????
taatr s 21)( ???, 2)( atrs ???,
)3( 0)()( ?? itr si
例 3-14.已知单位反馈系统开环传递函数为：
)11.0(
1 0 0)(
?? sssG
ttr 5s in)( ?若输入,试求稳态误差。
解：
1001.0
)11.0(
)(1
1)(
2 ??
??
??? ss
ss
sGse
其动态误差系数为：
?8574
5
3
4
210
1071.2107.8
109.110901.00
??
??
?????
???????
cc
cccc
，
，，，，
)2.245c o s (0 5 4 6 5.0
c o s0498.0s i n0224.0
c o s)(s i n)()(
0
00
0
5
05
3
03010
4
04
2
020
??
???
????????
t
tt
tccctcccte ss
??
??????? ??
代入 ess(t)表达式可得
当 )63.113e x p (0573.0
5)10015.0(
515.0)5(5 0
2
2
jjjje ???? ?????,?
因此，当
)63.1135s in (0573.0)( 0?? tte ss
ttr 5s in)( ? 时，系统的稳态误差为：
事实上，根据频率特性的定义可比较方便的得到结果：
??
??
??
???
j
j
jj
jjj
e ???
???
??
???
)1001.0(
1.0
100)(1.0
)11.0()(
2
2
2
3-6-7.扰动作用下的稳态误差
由于系统是线性的,考察扰动作用可以令输入为 0，
如图：
)(1 sG
)(sH
?)(sR )(sC)(2 sG
)(sN
)(l i m0 ssEe nsn s s ??
同理 也可用动态误差系数法，将误差的拉氏变换为
Taylor 级数来分析。
当 sE(s)在 s右半平面及虚轴上解析时，可以用终值定理
来计算稳态误差：
3-6-8.减少或消除稳态误差的措施
? (1)、增大系统开环增益或扰动作用点之前
的前向通道增益；
? (2)、在系统的前向通道或主反馈通道设置
串联积分环节；
? (3)、采用串联控制内回路扰动；
? (4)、采用复合控制。
