第五章 线性系统的频域分析法
?5-1.引言
?5-2.频率特性
?5-3.典型环节与开环系统频率特性
?5-4.频率特性稳定判据
?5-5.稳定裕度
5-1.引言
? 1、应用 Nyquist判据，可以根据开环频率特性研究闭
环系统的稳定性，不必皆闭环特征方程；
? 2、研究频率特性（尤其二阶系统），把系统参数和
结构变化与过渡过程性能指标结合起来；
? 3、频率特性有明确的物理意义，可以用实验测定；
? 4、频率响应分析法不仅适用于线性系统，还可以用
于一些非线性系统；
? 5、在设计中可以明确地抑制高频噪声。
频率响应法是工程中常用于分析和设计自动控制系统
的一种方法，它有如下特点：
5-2.频率特性
一、基本概念
R
rece C
rc
c ee
dt
deT ?? 其中 T=RC
1
1
)(
)(
?? TssE
sE
r
c故有：
若 tAe r ?s in? 则
22 ?
?
?? s
AE
r
22
11
12222
22221
11
1)(
??
?
?
? ? ?? ?
?
???
????????
??
s
s
sT
TA
s
A
TssE
T
A
T
TA
T
c
)s i n (
11
c o s
1
s i n
11
)(
2222
222222
Ta r c t gt
T
A
e
T
TA
t
T
TA
t
T
A
e
T
TA
te
T
t
T
t
c
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
瞬态分量 稳态分量
)s i n (1lim 22 Ta r c t gtTAe ct ??? ?????
RC网络的幅频特性
221
1
T??
RC网络的相频特性 Ta rc tg??
均为 ?的函数。
RC网络的幅频特性和相频特性数据表
-90-78.7-76-71.5-63.5-45-26.60
00.200.240.320.450.710.891
?0?
221
1
T??
Ta rc tg??
T2
1
T
1
T
2
T
3
T
5
T
4
幅频特性与相频特性图
0
T1 T2 T3 T4 T
5
1
0
T1 T2 T3 T4 T
5
-90
设
????? ?? 4422)( ??? mmm bbba
????? ?? 4422)( ??? nnn aaac
????? ??? 55331)( ???? mmm bbbb
????? ??? 55331)( ???? nnn aaad
也可以写作,)()()( ??? jGjejGjG ??
其中,)()( )()()( 22 22 ?? ??? dc bajG ???
)()()()(
)()()()()(
????
?????
dbca
dacba r c t gjG
?
???
nn
nn
mm
mm
ajajaja
bjbjbjbjG
????
?????
?
?
?
?
)()()(
)()()()(
1
1
10
1
1
10
???
????
?
?
)()(
)()()(
??
???
jdc
jbajG
?
?? 则其中：若将其表达为
可以推出,是 ?的奇函数。)( ?jG )( ?jG?是 ?的偶函数，
)(?a 和 )(?c 是 ?的偶函数,)(?a 和 )(?d 是 ?的奇函数。
? 谐波作用于线性定常稳定系统，其输出的稳态值仍
然是与输入同频率的谐波函数，但是输出的幅值与
相位有变化。
其幅值变化因子为,)( ?jG,相移为,)( ?jG?
可以证明：
?? jssGjG ?? )()(
因此，描述系统特性的方法有如下三种：
微分方程，传递函数，频率特性
其关系如 p173图 5-4
二、频率特性的几何表示法
1、幅频特性与相频特性
幅频特性是输出谐波的幅值与输入谐波幅值之
比随谐波频率 ?变化的情况 ；
相频特性是输出谐波对于输入的相位滞后。
2、幅相频率特性曲线
幅相频率特性曲线简称幅相图或极坐标图。
幅相频率特性曲线的特点是把 ?看成参变量，将频
率特性的幅频特性和相频特性同时表现在复平面上。
以复平面实轴正方向为相角的零度线，逆时针方向
定义角度的正方向；
以复平面原点为幅频特性的参考点，对每一频率 ?值，
由相频特性 )( ?jG确定其方向，以幅频特性)( ?jG?
为离原点的距离，从而确定了复平面上的一点；随 ?变
化，就组成了一条轨迹 ━━ 幅频特性曲线（幅相图）。
对于前面讨论过的 RC网络如下图：
221
1)(
TjG ?? ?? Ta r c t gjG ?? ?? )(
由于
1
1)(
?? TssG
根据 )( ?jG?)( ?jG 和
奇偶特性，可以画出
0???? ? 一段幅相图。
???
0??
0
Re
Im
3、对数频率特性曲线（ Bode图）
对数频率特性曲线横坐标表示频率 ?，按对数分度
单位是［弧度／秒］；
对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函
数值，均匀分度，单位是分贝，记作 dB。
对数幅频特性函数的定义,)(lg20)( ?? jGL ?
对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，
均匀分度，单位是度。
采用对数坐标图的优点是：
1、可以将幅值的乘除化为图中的加减；
2、可以用简便的方法绘制近似对数幅频曲线；
3、将试验数据画成对数幅频曲线可获得系统表达式。
4、对数幅相曲线（ Nichols图）
对数幅相曲线的横、纵坐标都是均匀分度，横坐标
表示频率特性的相角，纵座标表示频率特性的幅值的
分贝数，如上述 RC网络的对数幅相曲线如 p175图。
5-3.典型环节与开环系统频率特性
一、典型环节
如图，开环传递函数为,)(sG )(sc)(sR ?
)(sH
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsbsHsG
????
?????
?
?
?
?
1
1
10
1
1
10)()(
?
?
事实上，可以将 G(s)H(s)分解为一些因子的乘积。
1、比例环节
K )(ty)(tx
)()( tKxty ?
比例环节的频率特性是 KjG ?)( ?
频率特性的幅相曲线（极坐标）
图上是实轴上 K这一点。 K0
比例环节的对数幅频特性
和相频特性分别为：
KL lg20)( ??
0)( ???和
Klg20
0.1 1 10 100
0
0.1 1 10 1002、积分环节
1
s
)(tx )(ty
211)(
?
???
je
jjG
???)(1)( tx
pty ?
，
ssG
1)( ?,
显然，幅频特性与 ω成反比, 相频特性恒为 -900
090)(lg20)( ???? ????,L
对数幅频特性是直线，斜率为 -20。
20lg )( ????ddL
该线横坐标 lg ω每增加单位
长度, L(ω)就减少 20dB，记作
-20dB/dec（ -20dB /十倍频程 ），
该线 与零分贝交点为 ω=1。
对数相频曲线是 -900的水平线。
1 101.0 ?
)(dB
?j
1
100
0
j
??
积分环节的幅相特性为：
积分环节的对数幅频特性
和相频特性如下：
1 101.0 ?100
o90?
)(??
3、微分环节
s)(tx )(ty
2)(
???? jejjG ??
)()( tpxty ?,
ssG ?)(,
微分环节的幅相特性为：
0
j
??
对数幅频特性和相频特性为：
090)(lg20)( ?? ????,L
对数幅频特性是直线，斜率为 20。
20lg )( ???ddL
对数幅频特性与相频特性如右图：
1 101.0 ?
)(dB
?j
1.0
090
1 10 ?
4、惯性环节
1
1
?Ts
)(tx )(ty )()()1( txtypT ??
其微分方程的解为, )0(1)( ??? ? tety T t
当 x(t) = 1(t)，由于其阶跃响应不是立即达到，响应具
有惯性，因而惯性环节由此得名。
惯性环节的特性取决于时间常数Ｔ。
T
j
TjG
1
1
)(
?
?
?
?
1
1)(
?? TssG,
幅相曲线如右：
???
1
?
0
j
0??
惯性环节的对数幅频特性和相频特性：
2
2 )(1lg20))(1
1l g (20)( T
TL ??? ?????
Ta r c t g ??? ??)(
TjjG ?? ?? 1
1)(
若取Ｔ＝１，可得右图：
1 101.0 ?
)(dB
100
045?
1.0 1
090?
?10 100
0451)1( ???? a r c t g
T?
当
T
1?? 时，
)( 3)21lg (20)1( dBTL ???
在工程上，往往采用如下的简便作图法：
221lg20)( TL ?? ???将 分两段来近似：
(1) 当 ω＜ 1/T时,近似地 不计及 ω２ T2 这一项,
01lg20)( ????L
T
1???显然，当 时，这种近似较为准确。
(2)当 ω>1/T时,近似地 则不计 及 1 这项,
)lg20lg20(lg20)( TTL ????? ???
d e cdB /20?此时，该近似直线的斜率为,
于零分贝线交于
T
1?? 1?T?（即 处）。
T
1???显然，当 时，这种近似较为准确。
用上述近似法称渐进线作伯德图法，显然,在
ω=1/T处，误差 最 大 。
?
)(dB
T1
-3dB
decdB /0
d e cdB /20?
而近似则将其视为 0．故在交接频率处，用渐进线
作图将带来 -3dB的误差。
)(311lg20)( dBL ??????此时，精确值为：
5、一阶微分环节
1?Ts)(tx )(ty )()1()( txTpty ??
)1()( TjTjG ?? ??1)( ?? TssG,
其幅相曲线为：
0
j
??
T1
其 Bode图为（设 T=1)：
1 101.0 ?
)(dB
100
045
1.0 1
090
?10 100
6、振荡环节
2
2
2
2
2
2
41
1
)(
nn
jG
?
??
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
10 0
1)(2
1
)( 2 ???
????
?
?
??
?
?
? ??
?
?
?
，,n
nn
ss
sG
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
时当
时当
1
1
2
1
1
2
)(
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
ar c t g
ar c t g
jG
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
显然 00)0( ??, 0180)( ???? 可作出如 p179图 5-12：
0
0?????
当 22021 2 ???? ???? 且nr
)( ?jG 取最大值。
称 )( rr jGM ?? 为谐振峰。
其 Bode图的近
似表达如右：
1 101.0 ?
)(dB
100
090?
1.0 1
0180?
?10 100
d e cdB /40?
7、时滞环节
)(1)()( TtTtxty ???
TjTs ejGesG ?? ?? ?? )()(,
)(3.57)()(1)( 度弧度,TTjGjG ???? ??????
)()( sResC Ts??
j?
0
1?
j
1
dB0 ?
)(dB
?
二、开环幅相曲线的绘制
)1)(1()( 21 ??? sTsT
KsG
例：绘制系统开环频率幅相曲线，其中：
00 1 8 00)(0)0( ?????? jGKjG,
解：
)1)(1(
)(
21
21 sTsTTT
KjG
??
??
零型系统
若包含 n个
惯性环节
时，0??当
0900)( ????? njG
00)0( ?? KjG
时，???当
例：
)1)(1)(1()( 321 ???? sTsTsTs
KsG
试分析开环幅相曲线特点并求曲线与负实轴交点。
解：
)1)(1)(1(
)(
321
321 sTsTsTsTTT
KjG
???
??
00 3600)(90)0( ????????? jGjG,
? ? ? ? 02
3
22
2
22
1
2
321
2
321
)1)(1)(1(
)()0(Re
?
?
???
?????
?????
??
TTT
TTTTTTKjG
? ? ? ? )1)(1)(1( )(1)(Im 2
3
22
2
22
1
2
133221
2
TTT
TTTTTTKjjG
????
??
???
?????
0
j
Re
求负实轴交点可以用试探法，
一般也可令 G(jω )虚部为 0，
解得 ω，再求实部。
? ?
133221
1
0)(Im
TTTTTT
jG
x
??
?
?
?
?
再代入实部：
? ?
)1)(1)(1(
)()(
2
3
22
2
22
1
2
321
2
321
TTT
TTTTTTKjG
xxx
x
x ???
??
???
????
5-4 Nyquist 稳定判据
? 1、应用开环频率特性判断闭环稳定性．其中
开环频率 特性可部分实验求取；
? 2、便于研究系统参数和结构的改变对稳定性
的影响；
? 3、可以研究包含延时环节的稳定性；
? 4、可以推广到非线性研究。
Nyquist判据的特点：
Nyquist判据 ——根据开环频率特性判断闭
环系统稳定性。
一、辅助函数 F(s)
? 1、其零点和极点分别是闭环和开环的特征根；
? 2、其零极点个数相同；
? 3,F(s) 和 G(s)H(s) 只差常数１。
? )(sG
)(sH
)(sR )(sE )(sC
)()()()(
)()()(
2121
21
sMsMsNsN
sNsMs
???
设：
)(
)()(
)(
)()(
2
2
1
1
sN
sMsH
sN
sMsG ??,
则：
)()(
)()()()(
21
21
sNsN
sMsMsHsG ?
定义一个辅助函数：
)(
)(
)()(1
)()(
)()()()()(
1
1
21
2121
j
n
j
i
n
i
ps
zs
sHsG
SNsN
sMsMsNsNsF
??
??
?????
?
?
定义一个辅助函数：
辅助函数 F(s) 有如下特点：
F(s) 函数的特点：
??0?????
)( ?jG
)(sF
0 1
二、映射定理
? 在 s 平面上任选一复数 s，通过复变函数 F(s) 的映
射关系在 F(s) 平面上可以找到 s 相应的象。
? 若在 F(s) 的零－极点分布图上，选择 A点，使 s 从 A
点开始移动，绕 F(s) 的零点 Zi顺时针依曲线 ?s（ ? s
不通过任何零极点）转一周回到 A,相应地,F(s)也
可从 B 点出发回到 B,也 画 出一条封闭曲线 ? F。
0
j
A
s
? s
0
j
B
? F
F
若 s 依 ?s变化时,F(s) 相角的变化为 )(sF??
)()()(
)()()()(
21
21
n
n
pspsps
zszszssF
?????????????
??????????????
???
????则有：
0
j
A
s
? s
0
j
B
? F
F
izs ???
从图中可以看出，除
??? 2)( ??????? izssF
之外，其它各项均为零。
δ∠ F(s)= -2π 表示 ? s 的象 ?F 从 B 点开始再回到 B
点绕着原点顺时针转了一圈 。
幅角定理,
若封闭曲线 ? s 内有 z 个 F(s)零点,p 个 F(s)极点，
则 s 依 ? s 顺时针转一圈时，在 F(s) 平面上,F(s) 曲线
绕原点反时针转的圈数 R 为 p 与 z 之差，即 R= p - z
同理，若 ?s 绕 F(s)的极点顺时针转一圈时，在 F(s)上
?s的象 ?F绕原点反时针转一圈 。
由此，可得映射的幅角定理：
0
j
A
s
? s
0
j
B
? F
F
三,Nyquist判据
? 若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是开环幅相
曲线不包围（ -1,j0）点；
? 若系统开环不稳定（在 s 右半平面有 p 个开环极点），
则系统闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线反时针方
向包围（ -1,j0）点 p/2 次。
Nyquist 判据可分为两种情况：
证明：将 ?s 取为虚轴和右
半平面半径 ρ为无穷的圆,
幅角原理的 p 和 z 则表示
了位于右半 s 平面的 开环
极点和零点的个数 。
0
j
?s
ρ
BACK
故 s 沿 ?s 顺时针环绕一圈时, 在 F(s) 平
面上 ?F 绕原点反时针圈数为 R = p – z
0
j
?s
ρ若系统稳定，则 F(s) =1+ G(s)H(s)
在 s 平面的右半部（即 ? s所围区域
内）没有零点 。 即环绕 F(s)原点数
为 R= p-z|z=0= p
为进一步简化，我们不作 F(s) 曲
线，仅画 G(s)H(s) 曲线，由前所
述,F(s) 与 G(s)H(s) 仅差单位 1，
G(s)H(s) 曲线是将 F(s) 平移（左
移）一个单位而得，从 G(s)H(s)
图上看,F(s) 原点相当于 G(s)H(s)
图上的（ -1,j0）点。
0
j
1
因此，在 G(s)H(s) 图上，若希望系统稳定,G(s)H(s)
的曲线环绕（ -1,j0）点次数为 R = p –0，这里 p 为
开环系统在右 s 平面的极点数。
由于我们做幅相图时,jω 取
ω=0 到 ω?∞,因而仅是 ?s 的
部分 路径 （ 对于 ρ?∞的半圆
倒无妨, 反正它退化在
G(s)H(s) 平面上的原点邻域,
与 （ -1,j0） 点并无关系 ） 因
此, 我们得出 第二点 结论 。
定理证毕 。
0
j
?s
ρ
????
????
试分析系统稳定性。
例：系统的开环传递函数为：
)1)(1()()( 21 ??? sTsT
KsHsG
解, 该系统开环幅相图如 右,由
图中 G(s)H(s) 的 G(jω)H(jω) 曲
线不包围 （ -1,j0） 点可知,
该系统稳定 。
0
j
-1
事实上，本题中，只要 K,T1,T2 均大于零，
G(jω)H(jω) 的幅角只会在 0 ~ -1800内变化，不会与负
实轴相交，因而不会包围（ -1,j0）点，因此只要
K,T1,T2均为正数，系统总是稳定的。
如前所述，当系统的开环传递函数包含积分环节时，
设：
)()()(
1)()(
1
1
1
10
11
u
uuv
w
ww
v asass
bsbsbsHsG
ssHsG ??????
????????
?
?
当 ? = 0 时,090)0()0(1 ????? jHjGv,
01 8 0)0()0(2 ????? jHjGv,
????
090)0()0( ????? vjHjG即对 ν 型系统，有：
0
j
?s
ρ1a
bc
为避免 ?s经过 G(s)H(s) 的 极点, 可
采用一无限小的圆弧来绕过这些位
于虚轴上的开环极点, 从而 可以 应
用 Nyquist 判据 。
绕过原点处的极点会产生何种影响呢?
S 平面上原点映射到 G(s)H(s) 平面
上的无穷远处, 而 s 从 ? s 上的 a点
移至 c 点时,0
j
?s
ρ1a
bc
?
? ??
jv
vvj e
K
e
KsHsG ???
1
1
1
1
)()()(其中：
u
w
uu
uu
ww
ww
ss a
b
asasas
bsbsbsbsHsGK ?
???????
?????????
?
?
?
?
?? 111
1
1
10
01101
lim)()(lim
2
?? ??01 ??,在 a 点,故 090)()( vsHsG ???
090)()( vsHsG ????在 c 点
2
?? ?,故
在 b 点 0??,故 00)()( ???sHsG
可见,ρ1小圆弧在 G(s)H(s) 上的映射是半径无穷大的
v/2 的圆, 其方向为顺时针 。
再考虑到 G(jω)H(jω) 幅相曲线从 ω=0 至
ω?∞,ρ1 圆弧仅考虑 bc,故在应用
Nyquist 判据时, 遇到开环传递函数有原
点处极点 （ 即有积分环节 ） 的情况, 应 对
G(jω)H(jω) 从频率 0+ 对应的点开始, 反
时针方向补画 v/4 个无穷大半径的圆 。
0
j
?s
?1a
bc
)1()( 2 Tss
KsG
??
例：某单位反馈系统
试用 Nyquist 判据判断其稳定性。
解：系统的开环幅相图如右，由于有
二阶积分环节，补画半圆。可见，幅
相曲线包围（ -1,j0）点一次，而开
环系统稳定，故闭环系统不稳定。
0
j
0+
ω ω= ∞
-1
例：试判断下列系统 K=2 时闭环是否稳定，并确定
临界放大系数。
)12)(1()()( ??? sss
KsHsG
)21(3
2
)12)(1(
2)()(
22 ???????? ??????? jjjjjHjG
解：
作 K=2 时的幅相图可见系统不稳定，
0
j
-1
ω2
1???
令上式虚部等于零，得
021 2 ?? ?,即
将
2
1?? 代入 G(j?)H(j?) 得：
3
2)
2
1()
2
1( KjHjG ??1
3
2 ??? K，令
2
3?
临界K
可得
四、系统稳定裕量
? 工程上要求系统稳定，即要求最小相位系统的幅相
图曲线不包括（ -1,j0）点，若能保证不但不包括
（ -1,j0）点，而且离（ -1,j0）点有一定距离，则
系统在受到环境温度、元件参数变化所影响后，幅
相曲线也不会包围（ -1,j0）点，则称系统有一定
的稳定裕量。
? 稳定裕量分 相角余量 和 幅值余量 。
相角余量 是指在幅值等于 1的频率
上，使系统达到稳定边界所富余
的相角迟后量,γ = 1800 + φ(ωc)
ωc—— G(jω)H(jω) 曲线与单位圆
交点处的频率 （ 穿越频率 ）
0
j
-1 γ
?c
幅值余量 指 G(jω)H(jω) 相角等于 –1800时 （ G(jω)H(jω)
与负实轴交点处 ）,幅值 ?G(jωg)H(jωg) ?的倒数 。
0
j
-1 ?
1/h?
g
)()(
1
gg jHjG
h ???
相角余量
表示使系统到达稳定边界所允许增加
的开环传递函数的相位滞后。
幅值余量
表示使系统到达稳定边界所允许增大
的开环传递函数的放大倍数。
如右图可见：
五,Nyquist判据在对数频率特性中的应用
? 在 G(jω)H(jω) 平面上的单位圆反映到对数坐标图上是
0dB 线 。 在 G(jω)H(jω) 平面上负实轴反映到坐标图上
是 –1800线 。
? 因此, G(jω)H(jω) 线不包围 （ -1,j0） 点转换到对数
坐标上是, 在 L(ω) > 0dB 的频段内, 相频特性曲线不
穿越 –1800线 。
? 因此,Nyquist 判据用在对数频率特性上表达为：
? 一个反馈控制系统，其闭环特征正实部根的个数 z,
可以根据开环传递函数右半 s 平面极点个数和开环对
数幅频特性为正值的所有频段内，对数相频曲线与
-1800线的正负穿越之差 N=N+-N- 确定，即 z = p-2N，
系统稳定的充要条件是 N= p/2。
? 何为 N+,N-？请看下例：
由幅相图上看，幅相曲线包围（ -1,j0） 点的圈数为 0，
此结论也可以根据 ω 增加时的幅相曲线穿越负实轴来
确定, 将由下往上穿越为负穿越 （ 如 C 点 ）,而将由
上往下为正穿越 （ 如 B 点 ）,A点不必考虑, 仅考虑
负实轴上 （ -∞, -1） 部分 （即 0dB 以上部分）。
0
j
-1- +
C B A
090?
?
)(dB
0
0180? - +
?
)(??
C B
A
C B
A
0
j
-1- +
C B A
090?
?
)(dB
0
0180? - +
?
)(??
C B
A
C B
A
把 ω增加时,相角 φ (ω)减少的称负穿越，把 ω 增加时,
相角 φ (ω)增加的称正穿越。
同样地，当 G(s)H(s)包含积分环节时，在对数相频曲线上
ω为 0+ 的地方, 应补画一条从相角 0 度到 G(j0+)H(j0+)的
虚线, 将虚线的穿越也算入穿越 的 统计内 。
例：系统的开环传递函数为
)1()()( 2 ?? Tss
KsHsG
试用对数频率判据判断闭环系统的稳定性。
0180?
?
)(dB
0
0270?
1/T
)(??
?
解：系统伯德图如右，
由于 p=0,故
z = 0 - 2(-1) =2
所以 系统不稳定, 且可以
进一步指明, 系统闭环特
征方程右半 s 平面根的个数
z = 2
G(s)H(s)有两个积分环节，
相频特性从 -1800开始，但
需从 00 线补画一虚线在 ω
= 0+ 处, 故 N=N+- N-= -1
六、对数幅相特性和系统品质的关系
通常把对数幅、相特性分为低频区、中频区和高频区
?
)(?L
?1 ?2 ?c
?3 ?4
低频区 高频区中频区
0
)(dB
1、低频区
? 系统低频区的特性决定系统的静态性能的好坏；
? 低频特性渐进线决定系统的稳态误差；
? 低频特性渐进线是 0dB/dec 的系统是 0型系统；
? 低频特性渐进线是 -20vdB/dec 的系统是 v 型系统；
?
)(?L
?1 ?2 ?c
?3 ?4
低频区 高频区中频区
0
)(dB
? 1型系统低频渐进线的斜率是 -20dB/dec，作低频渐
进线的延长线与 0dB 线相交，交点的频率数值就
是系统的稳态速度误差系数，如下图：
确定 K 值有两种方法，均基于积分环节的如下公式：
??
KjG ?)( ?? lg20lg20)( ?? KL，
)1(lg20 LK ?1、取 ?＝ 1时的纵坐标分贝值 20)1(10 LK ?，得
2、设低频渐进线（或其延长线）于 0dB 交于 ?k，由
0lg20lg20)( ??? kk KL ?? kK ??，得
?dB0 ?=1
?k20lgK?
?
?
dB0 20lgK
?=1?k
K >1 K <1
同理，对 2型系统，有 20 )1(10 LK ?
0lg202lg20 ??? kK ?2kK ??，得
因此,0 型系统的 Kp可以通过低频特性渐进线之高度
来确定； 1 型系统 的 Kv= ωk ； 2型 系统的 Ka= ωk2 。
例：根据 Bode图确定传递函数，并求穿越频率 ?c：
解：该开环传递函
数的形式为：
)1(
)1(
)()(
2
2
1
?
?
?
?
?
s
s
s
K
sHsG
?
)(?L
10
20
?1
0
)(dB
-20
?2
?c
)1(
)1(
)()(
2
2
1
?
?
?
?
?
s
s
s
K
sHsG
显然这是 2型系统,K=102；
?
)(?L
10
20
?1
0
)(dB
-20
?2
?c
由图中可得,)(20)lg (20
1
dBK ?? 即 10 10 1
1
＝,?? ??K
而依 -20dB/dec线段,?2 距 ?1为 100倍（ 2?dec），
101 0 0 2＝??
)10 0 3 1 6.0(
)13 1 6.0(1 0 0)()(
2 ?
??
s
ssHsG所以：
由 )(2010lg40
1
dB?? 和 )(20lg20
1
dBc ??? 可知：
lg2010lg40
11
，??? c?,＝ 10
1
2
1?
c??
?
?
???
?
，＝ c?? 1210 1010 ＝c??
2、中频区
? 中频区对系统的瞬态响应品质影响最大；
? 中频区一段是指穿越频率 ωc 附近的频段 。 习惯上把
零分贝线上 +30dB至零分贝线下 -15dB称 为 中频区 ；
? ω c 反映系统的快速性, ωc 附近的幅频特性的斜率决
定系统的相对稳定性, 斜率越大, 超调量越小 ；
? 最小相位系统的对数幅频特性与相频特性有对应关系,
对数幅频特性斜率越大, 其相角迟后越小, 相位裕度
也越大, 超调量就较小 ；
? 通常在 ωc 附近的斜率应取 -20dB/dec,这个要求往往
通过设计系统时加以适当的校正环节来达到 ；
? ω2 与 ω3 离 ωc 越远, 系统的超调量越小 。
3、高频区
? 高频区对应于系统的小时间常数，系统存在一个或数
个小时间常数的惯性环节，它们将使高频区幅频特性
出现转折，使系统的相角余量变小。但若离 ωc很远,
它对相角余量的影响不大, 因而对系统的品质影响不
大, 可以忽略 。
? 由上述分析可知，为使系统满足一定的稳态和动态指
标，对开环对数幅频特性的形状有如下要求：
? 低频率要有一定的宽度和斜率，中频率要
有足够的宽度，斜率取 -20dB/dec为宜，
高频率采用迅速衰减的特性以抑制不必要
的高频噪声。
工程上采用的典型开环对数幅频特性如上图，其中
?
)(?L
?1 ?2 ?c
?3 ?4
低频区 高频区中频区
0
)(dB
34343
21221
????????
????????
dccdc
ba
aab
ccc
c
cc
????
????
，，，
，，，
。，，,1222 ???? dcba通常取
对于该种典型系统，有如下经验公式：
c
st ?
1)8~6(?粗略估计时，取
16
64
?
??
p
p
M
Mh
1
6416
?
??
h
hM
p
或
ac
a
ch
c
c ??
?
?
式中 Mp 为单位阶跃响应的峰值（ Mp =1+?%）
为中频段之宽度。
精确估算时，取
)25.6
160
(
)(
10045.3
8
1
2
2
???
?
?
?
?
?
?
????
a
b
dc
M
ac dba
t
p
c
s
?
5-5 闭环频率特性
? 开环频率特性与闭环频率特性之间有一定的联系，因
而可以通过开环频率特性求取系统的闭环频率特性。
)()(
)()(1
)()( ???
??
?? jeM
jHjG
jGj ?
???
由
)()(1
)()(
sHsG
sGs
??? 得：
若单位负反馈 ? )(sG)(sR )(sE )(sC
)()(
)(1
)()( ???
?
?? jeM
jG
jGj ?
???
一、等 M圆和等 N圆
? 当 M取定值时，上式所描绘的轨迹上的 M都相
等，称等 M轨迹。
? 若 M=1有 x = -1/2
该式表明，在开环极坐标图上，过（ -1/2,j0）
点且平行于 y 轴的垂线上任意点，相应闭环频
率特性的幅值为 1。
? 若 M ?1，则上式可化为：
则有
22
22
)1(1 yx
yx
jyx
jyxM
??
??
??
??jyxjG ??)( ?设
0)1(2)1( 222222 ?????? yMMxMMx化简，得
2
2
22
2
2
)1()1( MMyMMx ?????
? 当 M >1时，随 M增大，等 M 圆越来越小，最后收
敛于（ -1,j0）点，这些圆心在（ -1,j0）点左边，
圆在 M = 1 直线左边。
? 当 M<1时，随 M 减小，等 M 圆收敛于原点，圆心
在原点右边，圆在 M=1直线右边。
该式表明，等 M圆的轨迹是圆心在 ），（ 0
1 2 jM
M
?
21 M
M
?
半径为 的圆。
)1()()( 11 xytgxytg ??? ????
?tgN ?令 t g A t g Bt g Bt g ABAtg ? ??? 1)(，则由 22 yxx yN ???得
22 )
2
1(
4
1)
2
1()
2
1(
NNyx ?????
即
)2121( Nj，?
可见,N 等于定值的轨迹为圆，
圆心为 2
2
1
4
1 ）（
N?
，半径为
? 这些圆称为等 N 圆。等 N 圆实际上是等相角正切的
圆，当相角增加 ± 1800 时, 其正切值相同, 因而在
同一圆上 。
? 利用标有等 M 圆和等 N 圆的坐标纸, 将极坐标开环
幅相曲线画上, 即可求得相应频率的 M,α值 。
? 对应于与幅相相切的且有最小半径的圆的 M值, 为谐
振峰值 Mr。
用等 M圆,等 N圆求系统的闭环频率特性，必须画出系统
的开环幅相图。利用 Nichols 图则可根据开环对数坐标
图求得闭环频率特性。
二、尼柯尔斯（ N.B.Nichols）图
尼柯尔斯图可由等 M 圆和等导 N 圆转换而得。
三、带宽
? 当闭环幅频特性下降到零频时
的闭环幅频特性以下 3分贝时，
对应的频率 ωb 称为带宽频率 。
? 0≤ω≤ωb称为系统的带宽 。
?
?
)(dB
3
ωbωr
Mr
1 )( )()( ???? ?? vpss zsKsG
j
v
i,对于 I 型或 I 型以上的系统有：
??
?
???
???
)()(
)()(
ij
v
i
zsKpss
zsKs
??
?
???
???
)()()(
)()(
ij
v
i
zjKpjj
zjKj
???
??
此时：
一阶和二阶系统带宽与瞬态响应有着明确对应的关系：
1)0()0()0( )0()0( ???? ??? ?? ?
ij
v
i
zjKpjj
zjKj
0)0(lg20 ?? j故
1
1)(
??? Tss
如一阶系统,21 ???Tj解,
Tb
1??可得
TtTt rs 2.23 ??,而由时域分析：
。，
b
r
b
s tt ??
2.23 ??故有：
欠阻尼二阶系统：
22
2
2)( nn
n
sss ???
?
????
22
2
2)( nn
n
sss ???
?
????
2
2
22
2
2
4)1(
1)(
nn
M
?
??
?
?
?
??
?
24)1( 2
2
22
2
2
???
nn ?
??
?
?令
? ? 21222 1)21()21( ????? ???? nb得
21
5.3
??
??
?? ?
???
n
r
n
s tt,
由时域分析中：
可知,ts 与 tr 均与 ?n 成反比关系，
也即与 ?b成反比关系。
?5-1.引言
?5-2.频率特性
?5-3.典型环节与开环系统频率特性
?5-4.频率特性稳定判据
?5-5.稳定裕度
5-1.引言
? 1、应用 Nyquist判据，可以根据开环频率特性研究闭
环系统的稳定性，不必皆闭环特征方程；
? 2、研究频率特性（尤其二阶系统），把系统参数和
结构变化与过渡过程性能指标结合起来；
? 3、频率特性有明确的物理意义，可以用实验测定；
? 4、频率响应分析法不仅适用于线性系统，还可以用
于一些非线性系统；
? 5、在设计中可以明确地抑制高频噪声。
频率响应法是工程中常用于分析和设计自动控制系统
的一种方法，它有如下特点：
5-2.频率特性
一、基本概念
R
rece C
rc
c ee
dt
deT ?? 其中 T=RC
1
1
)(
)(
?? TssE
sE
r
c故有：
若 tAe r ?s in? 则
22 ?
?
?? s
AE
r
22
11
12222
22221
11
1)(
??
?
?
? ? ?? ?
?
???
????????
??
s
s
sT
TA
s
A
TssE
T
A
T
TA
T
c
)s i n (
11
c o s
1
s i n
11
)(
2222
222222
Ta r c t gt
T
A
e
T
TA
t
T
TA
t
T
A
e
T
TA
te
T
t
T
t
c
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
瞬态分量 稳态分量
)s i n (1lim 22 Ta r c t gtTAe ct ??? ?????
RC网络的幅频特性
221
1
T??
RC网络的相频特性 Ta rc tg??
均为 ?的函数。
RC网络的幅频特性和相频特性数据表
-90-78.7-76-71.5-63.5-45-26.60
00.200.240.320.450.710.891
?0?
221
1
T??
Ta rc tg??
T2
1
T
1
T
2
T
3
T
5
T
4
幅频特性与相频特性图
0
T1 T2 T3 T4 T
5
1
0
T1 T2 T3 T4 T
5
-90
设
????? ?? 4422)( ??? mmm bbba
????? ?? 4422)( ??? nnn aaac
????? ??? 55331)( ???? mmm bbbb
????? ??? 55331)( ???? nnn aaad
也可以写作,)()()( ??? jGjejGjG ??
其中,)()( )()()( 22 22 ?? ??? dc bajG ???
)()()()(
)()()()()(
????
?????
dbca
dacba r c t gjG
?
???
nn
nn
mm
mm
ajajaja
bjbjbjbjG
????
?????
?
?
?
?
)()()(
)()()()(
1
1
10
1
1
10
???
????
?
?
)()(
)()()(
??
???
jdc
jbajG
?
?? 则其中：若将其表达为
可以推出,是 ?的奇函数。)( ?jG )( ?jG?是 ?的偶函数，
)(?a 和 )(?c 是 ?的偶函数,)(?a 和 )(?d 是 ?的奇函数。
? 谐波作用于线性定常稳定系统，其输出的稳态值仍
然是与输入同频率的谐波函数，但是输出的幅值与
相位有变化。
其幅值变化因子为,)( ?jG,相移为,)( ?jG?
可以证明：
?? jssGjG ?? )()(
因此，描述系统特性的方法有如下三种：
微分方程，传递函数，频率特性
其关系如 p173图 5-4
二、频率特性的几何表示法
1、幅频特性与相频特性
幅频特性是输出谐波的幅值与输入谐波幅值之
比随谐波频率 ?变化的情况 ；
相频特性是输出谐波对于输入的相位滞后。
2、幅相频率特性曲线
幅相频率特性曲线简称幅相图或极坐标图。
幅相频率特性曲线的特点是把 ?看成参变量，将频
率特性的幅频特性和相频特性同时表现在复平面上。
以复平面实轴正方向为相角的零度线，逆时针方向
定义角度的正方向；
以复平面原点为幅频特性的参考点，对每一频率 ?值，
由相频特性 )( ?jG确定其方向，以幅频特性)( ?jG?
为离原点的距离，从而确定了复平面上的一点；随 ?变
化，就组成了一条轨迹 ━━ 幅频特性曲线（幅相图）。
对于前面讨论过的 RC网络如下图：
221
1)(
TjG ?? ?? Ta r c t gjG ?? ?? )(
由于
1
1)(
?? TssG
根据 )( ?jG?)( ?jG 和
奇偶特性，可以画出
0???? ? 一段幅相图。
???
0??
0
Re
Im
3、对数频率特性曲线（ Bode图）
对数频率特性曲线横坐标表示频率 ?，按对数分度
单位是［弧度／秒］；
对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函
数值，均匀分度，单位是分贝，记作 dB。
对数幅频特性函数的定义,)(lg20)( ?? jGL ?
对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，
均匀分度，单位是度。
采用对数坐标图的优点是：
1、可以将幅值的乘除化为图中的加减；
2、可以用简便的方法绘制近似对数幅频曲线；
3、将试验数据画成对数幅频曲线可获得系统表达式。
4、对数幅相曲线（ Nichols图）
对数幅相曲线的横、纵坐标都是均匀分度，横坐标
表示频率特性的相角，纵座标表示频率特性的幅值的
分贝数，如上述 RC网络的对数幅相曲线如 p175图。
5-3.典型环节与开环系统频率特性
一、典型环节
如图，开环传递函数为,)(sG )(sc)(sR ?
)(sH
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsbsHsG
????
?????
?
?
?
?
1
1
10
1
1
10)()(
?
?
事实上，可以将 G(s)H(s)分解为一些因子的乘积。
1、比例环节
K )(ty)(tx
)()( tKxty ?
比例环节的频率特性是 KjG ?)( ?
频率特性的幅相曲线（极坐标）
图上是实轴上 K这一点。 K0
比例环节的对数幅频特性
和相频特性分别为：
KL lg20)( ??
0)( ???和
Klg20
0.1 1 10 100
0
0.1 1 10 1002、积分环节
1
s
)(tx )(ty
211)(
?
???
je
jjG
???)(1)( tx
pty ?
，
ssG
1)( ?,
显然，幅频特性与 ω成反比, 相频特性恒为 -900
090)(lg20)( ???? ????,L
对数幅频特性是直线，斜率为 -20。
20lg )( ????ddL
该线横坐标 lg ω每增加单位
长度, L(ω)就减少 20dB，记作
-20dB/dec（ -20dB /十倍频程 ），
该线 与零分贝交点为 ω=1。
对数相频曲线是 -900的水平线。
1 101.0 ?
)(dB
?j
1
100
0
j
??
积分环节的幅相特性为：
积分环节的对数幅频特性
和相频特性如下：
1 101.0 ?100
o90?
)(??
3、微分环节
s)(tx )(ty
2)(
???? jejjG ??
)()( tpxty ?,
ssG ?)(,
微分环节的幅相特性为：
0
j
??
对数幅频特性和相频特性为：
090)(lg20)( ?? ????,L
对数幅频特性是直线，斜率为 20。
20lg )( ???ddL
对数幅频特性与相频特性如右图：
1 101.0 ?
)(dB
?j
1.0
090
1 10 ?
4、惯性环节
1
1
?Ts
)(tx )(ty )()()1( txtypT ??
其微分方程的解为, )0(1)( ??? ? tety T t
当 x(t) = 1(t)，由于其阶跃响应不是立即达到，响应具
有惯性，因而惯性环节由此得名。
惯性环节的特性取决于时间常数Ｔ。
T
j
TjG
1
1
)(
?
?
?
?
1
1)(
?? TssG,
幅相曲线如右：
???
1
?
0
j
0??
惯性环节的对数幅频特性和相频特性：
2
2 )(1lg20))(1
1l g (20)( T
TL ??? ?????
Ta r c t g ??? ??)(
TjjG ?? ?? 1
1)(
若取Ｔ＝１，可得右图：
1 101.0 ?
)(dB
100
045?
1.0 1
090?
?10 100
0451)1( ???? a r c t g
T?
当
T
1?? 时，
)( 3)21lg (20)1( dBTL ???
在工程上，往往采用如下的简便作图法：
221lg20)( TL ?? ???将 分两段来近似：
(1) 当 ω＜ 1/T时,近似地 不计及 ω２ T2 这一项,
01lg20)( ????L
T
1???显然，当 时，这种近似较为准确。
(2)当 ω>1/T时,近似地 则不计 及 1 这项,
)lg20lg20(lg20)( TTL ????? ???
d e cdB /20?此时，该近似直线的斜率为,
于零分贝线交于
T
1?? 1?T?（即 处）。
T
1???显然，当 时，这种近似较为准确。
用上述近似法称渐进线作伯德图法，显然,在
ω=1/T处，误差 最 大 。
?
)(dB
T1
-3dB
decdB /0
d e cdB /20?
而近似则将其视为 0．故在交接频率处，用渐进线
作图将带来 -3dB的误差。
)(311lg20)( dBL ??????此时，精确值为：
5、一阶微分环节
1?Ts)(tx )(ty )()1()( txTpty ??
)1()( TjTjG ?? ??1)( ?? TssG,
其幅相曲线为：
0
j
??
T1
其 Bode图为（设 T=1)：
1 101.0 ?
)(dB
100
045
1.0 1
090
?10 100
6、振荡环节
2
2
2
2
2
2
41
1
)(
nn
jG
?
??
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
10 0
1)(2
1
)( 2 ???
????
?
?
??
?
?
? ??
?
?
?
，,n
nn
ss
sG
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
时当
时当
1
1
2
1
1
2
)(
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
ar c t g
ar c t g
jG
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
显然 00)0( ??, 0180)( ???? 可作出如 p179图 5-12：
0
0?????
当 22021 2 ???? ???? 且nr
)( ?jG 取最大值。
称 )( rr jGM ?? 为谐振峰。
其 Bode图的近
似表达如右：
1 101.0 ?
)(dB
100
090?
1.0 1
0180?
?10 100
d e cdB /40?
7、时滞环节
)(1)()( TtTtxty ???
TjTs ejGesG ?? ?? ?? )()(,
)(3.57)()(1)( 度弧度,TTjGjG ???? ??????
)()( sResC Ts??
j?
0
1?
j
1
dB0 ?
)(dB
?
二、开环幅相曲线的绘制
)1)(1()( 21 ??? sTsT
KsG
例：绘制系统开环频率幅相曲线，其中：
00 1 8 00)(0)0( ?????? jGKjG,
解：
)1)(1(
)(
21
21 sTsTTT
KjG
??
??
零型系统
若包含 n个
惯性环节
时，0??当
0900)( ????? njG
00)0( ?? KjG
时，???当
例：
)1)(1)(1()( 321 ???? sTsTsTs
KsG
试分析开环幅相曲线特点并求曲线与负实轴交点。
解：
)1)(1)(1(
)(
321
321 sTsTsTsTTT
KjG
???
??
00 3600)(90)0( ????????? jGjG,
? ? ? ? 02
3
22
2
22
1
2
321
2
321
)1)(1)(1(
)()0(Re
?
?
???
?????
?????
??
TTT
TTTTTTKjG
? ? ? ? )1)(1)(1( )(1)(Im 2
3
22
2
22
1
2
133221
2
TTT
TTTTTTKjjG
????
??
???
?????
0
j
Re
求负实轴交点可以用试探法，
一般也可令 G(jω )虚部为 0，
解得 ω，再求实部。
? ?
133221
1
0)(Im
TTTTTT
jG
x
??
?
?
?
?
再代入实部：
? ?
)1)(1)(1(
)()(
2
3
22
2
22
1
2
321
2
321
TTT
TTTTTTKjG
xxx
x
x ???
??
???
????
5-4 Nyquist 稳定判据
? 1、应用开环频率特性判断闭环稳定性．其中
开环频率 特性可部分实验求取；
? 2、便于研究系统参数和结构的改变对稳定性
的影响；
? 3、可以研究包含延时环节的稳定性；
? 4、可以推广到非线性研究。
Nyquist判据的特点：
Nyquist判据 ——根据开环频率特性判断闭
环系统稳定性。
一、辅助函数 F(s)
? 1、其零点和极点分别是闭环和开环的特征根；
? 2、其零极点个数相同；
? 3,F(s) 和 G(s)H(s) 只差常数１。
? )(sG
)(sH
)(sR )(sE )(sC
)()()()(
)()()(
2121
21
sMsMsNsN
sNsMs
???
设：
)(
)()(
)(
)()(
2
2
1
1
sN
sMsH
sN
sMsG ??,
则：
)()(
)()()()(
21
21
sNsN
sMsMsHsG ?
定义一个辅助函数：
)(
)(
)()(1
)()(
)()()()()(
1
1
21
2121
j
n
j
i
n
i
ps
zs
sHsG
SNsN
sMsMsNsNsF
??
??
?????
?
?
定义一个辅助函数：
辅助函数 F(s) 有如下特点：
F(s) 函数的特点：
??0?????
)( ?jG
)(sF
0 1
二、映射定理
? 在 s 平面上任选一复数 s，通过复变函数 F(s) 的映
射关系在 F(s) 平面上可以找到 s 相应的象。
? 若在 F(s) 的零－极点分布图上，选择 A点，使 s 从 A
点开始移动，绕 F(s) 的零点 Zi顺时针依曲线 ?s（ ? s
不通过任何零极点）转一周回到 A,相应地,F(s)也
可从 B 点出发回到 B,也 画 出一条封闭曲线 ? F。
0
j
A
s
? s
0
j
B
? F
F
若 s 依 ?s变化时,F(s) 相角的变化为 )(sF??
)()()(
)()()()(
21
21
n
n
pspsps
zszszssF
?????????????
??????????????
???
????则有：
0
j
A
s
? s
0
j
B
? F
F
izs ???
从图中可以看出，除
??? 2)( ??????? izssF
之外，其它各项均为零。
δ∠ F(s)= -2π 表示 ? s 的象 ?F 从 B 点开始再回到 B
点绕着原点顺时针转了一圈 。
幅角定理,
若封闭曲线 ? s 内有 z 个 F(s)零点,p 个 F(s)极点，
则 s 依 ? s 顺时针转一圈时，在 F(s) 平面上,F(s) 曲线
绕原点反时针转的圈数 R 为 p 与 z 之差，即 R= p - z
同理，若 ?s 绕 F(s)的极点顺时针转一圈时，在 F(s)上
?s的象 ?F绕原点反时针转一圈 。
由此，可得映射的幅角定理：
0
j
A
s
? s
0
j
B
? F
F
三,Nyquist判据
? 若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是开环幅相
曲线不包围（ -1,j0）点；
? 若系统开环不稳定（在 s 右半平面有 p 个开环极点），
则系统闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线反时针方
向包围（ -1,j0）点 p/2 次。
Nyquist 判据可分为两种情况：
证明：将 ?s 取为虚轴和右
半平面半径 ρ为无穷的圆,
幅角原理的 p 和 z 则表示
了位于右半 s 平面的 开环
极点和零点的个数 。
0
j
?s
ρ
BACK
故 s 沿 ?s 顺时针环绕一圈时, 在 F(s) 平
面上 ?F 绕原点反时针圈数为 R = p – z
0
j
?s
ρ若系统稳定，则 F(s) =1+ G(s)H(s)
在 s 平面的右半部（即 ? s所围区域
内）没有零点 。 即环绕 F(s)原点数
为 R= p-z|z=0= p
为进一步简化，我们不作 F(s) 曲
线，仅画 G(s)H(s) 曲线，由前所
述,F(s) 与 G(s)H(s) 仅差单位 1，
G(s)H(s) 曲线是将 F(s) 平移（左
移）一个单位而得，从 G(s)H(s)
图上看,F(s) 原点相当于 G(s)H(s)
图上的（ -1,j0）点。
0
j
1
因此，在 G(s)H(s) 图上，若希望系统稳定,G(s)H(s)
的曲线环绕（ -1,j0）点次数为 R = p –0，这里 p 为
开环系统在右 s 平面的极点数。
由于我们做幅相图时,jω 取
ω=0 到 ω?∞,因而仅是 ?s 的
部分 路径 （ 对于 ρ?∞的半圆
倒无妨, 反正它退化在
G(s)H(s) 平面上的原点邻域,
与 （ -1,j0） 点并无关系 ） 因
此, 我们得出 第二点 结论 。
定理证毕 。
0
j
?s
ρ
????
????
试分析系统稳定性。
例：系统的开环传递函数为：
)1)(1()()( 21 ??? sTsT
KsHsG
解, 该系统开环幅相图如 右,由
图中 G(s)H(s) 的 G(jω)H(jω) 曲
线不包围 （ -1,j0） 点可知,
该系统稳定 。
0
j
-1
事实上，本题中，只要 K,T1,T2 均大于零，
G(jω)H(jω) 的幅角只会在 0 ~ -1800内变化，不会与负
实轴相交，因而不会包围（ -1,j0）点，因此只要
K,T1,T2均为正数，系统总是稳定的。
如前所述，当系统的开环传递函数包含积分环节时，
设：
)()()(
1)()(
1
1
1
10
11
u
uuv
w
ww
v asass
bsbsbsHsG
ssHsG ??????
????????
?
?
当 ? = 0 时,090)0()0(1 ????? jHjGv,
01 8 0)0()0(2 ????? jHjGv,
????
090)0()0( ????? vjHjG即对 ν 型系统，有：
0
j
?s
ρ1a
bc
为避免 ?s经过 G(s)H(s) 的 极点, 可
采用一无限小的圆弧来绕过这些位
于虚轴上的开环极点, 从而 可以 应
用 Nyquist 判据 。
绕过原点处的极点会产生何种影响呢?
S 平面上原点映射到 G(s)H(s) 平面
上的无穷远处, 而 s 从 ? s 上的 a点
移至 c 点时,0
j
?s
ρ1a
bc
?
? ??
jv
vvj e
K
e
KsHsG ???
1
1
1
1
)()()(其中：
u
w
uu
uu
ww
ww
ss a
b
asasas
bsbsbsbsHsGK ?
???????
?????????
?
?
?
?
?? 111
1
1
10
01101
lim)()(lim
2
?? ??01 ??,在 a 点,故 090)()( vsHsG ???
090)()( vsHsG ????在 c 点
2
?? ?,故
在 b 点 0??,故 00)()( ???sHsG
可见,ρ1小圆弧在 G(s)H(s) 上的映射是半径无穷大的
v/2 的圆, 其方向为顺时针 。
再考虑到 G(jω)H(jω) 幅相曲线从 ω=0 至
ω?∞,ρ1 圆弧仅考虑 bc,故在应用
Nyquist 判据时, 遇到开环传递函数有原
点处极点 （ 即有积分环节 ） 的情况, 应 对
G(jω)H(jω) 从频率 0+ 对应的点开始, 反
时针方向补画 v/4 个无穷大半径的圆 。
0
j
?s
?1a
bc
)1()( 2 Tss
KsG
??
例：某单位反馈系统
试用 Nyquist 判据判断其稳定性。
解：系统的开环幅相图如右，由于有
二阶积分环节，补画半圆。可见，幅
相曲线包围（ -1,j0）点一次，而开
环系统稳定，故闭环系统不稳定。
0
j
0+
ω ω= ∞
-1
例：试判断下列系统 K=2 时闭环是否稳定，并确定
临界放大系数。
)12)(1()()( ??? sss
KsHsG
)21(3
2
)12)(1(
2)()(
22 ???????? ??????? jjjjjHjG
解：
作 K=2 时的幅相图可见系统不稳定，
0
j
-1
ω2
1???
令上式虚部等于零，得
021 2 ?? ?,即
将
2
1?? 代入 G(j?)H(j?) 得：
3
2)
2
1()
2
1( KjHjG ??1
3
2 ??? K，令
2
3?
临界K
可得
四、系统稳定裕量
? 工程上要求系统稳定，即要求最小相位系统的幅相
图曲线不包括（ -1,j0）点，若能保证不但不包括
（ -1,j0）点，而且离（ -1,j0）点有一定距离，则
系统在受到环境温度、元件参数变化所影响后，幅
相曲线也不会包围（ -1,j0）点，则称系统有一定
的稳定裕量。
? 稳定裕量分 相角余量 和 幅值余量 。
相角余量 是指在幅值等于 1的频率
上，使系统达到稳定边界所富余
的相角迟后量,γ = 1800 + φ(ωc)
ωc—— G(jω)H(jω) 曲线与单位圆
交点处的频率 （ 穿越频率 ）
0
j
-1 γ
?c
幅值余量 指 G(jω)H(jω) 相角等于 –1800时 （ G(jω)H(jω)
与负实轴交点处 ）,幅值 ?G(jωg)H(jωg) ?的倒数 。
0
j
-1 ?
1/h?
g
)()(
1
gg jHjG
h ???
相角余量
表示使系统到达稳定边界所允许增加
的开环传递函数的相位滞后。
幅值余量
表示使系统到达稳定边界所允许增大
的开环传递函数的放大倍数。
如右图可见：
五,Nyquist判据在对数频率特性中的应用
? 在 G(jω)H(jω) 平面上的单位圆反映到对数坐标图上是
0dB 线 。 在 G(jω)H(jω) 平面上负实轴反映到坐标图上
是 –1800线 。
? 因此, G(jω)H(jω) 线不包围 （ -1,j0） 点转换到对数
坐标上是, 在 L(ω) > 0dB 的频段内, 相频特性曲线不
穿越 –1800线 。
? 因此,Nyquist 判据用在对数频率特性上表达为：
? 一个反馈控制系统，其闭环特征正实部根的个数 z,
可以根据开环传递函数右半 s 平面极点个数和开环对
数幅频特性为正值的所有频段内，对数相频曲线与
-1800线的正负穿越之差 N=N+-N- 确定，即 z = p-2N，
系统稳定的充要条件是 N= p/2。
? 何为 N+,N-？请看下例：
由幅相图上看，幅相曲线包围（ -1,j0） 点的圈数为 0，
此结论也可以根据 ω 增加时的幅相曲线穿越负实轴来
确定, 将由下往上穿越为负穿越 （ 如 C 点 ）,而将由
上往下为正穿越 （ 如 B 点 ）,A点不必考虑, 仅考虑
负实轴上 （ -∞, -1） 部分 （即 0dB 以上部分）。
0
j
-1- +
C B A
090?
?
)(dB
0
0180? - +
?
)(??
C B
A
C B
A
0
j
-1- +
C B A
090?
?
)(dB
0
0180? - +
?
)(??
C B
A
C B
A
把 ω增加时,相角 φ (ω)减少的称负穿越，把 ω 增加时,
相角 φ (ω)增加的称正穿越。
同样地，当 G(s)H(s)包含积分环节时，在对数相频曲线上
ω为 0+ 的地方, 应补画一条从相角 0 度到 G(j0+)H(j0+)的
虚线, 将虚线的穿越也算入穿越 的 统计内 。
例：系统的开环传递函数为
)1()()( 2 ?? Tss
KsHsG
试用对数频率判据判断闭环系统的稳定性。
0180?
?
)(dB
0
0270?
1/T
)(??
?
解：系统伯德图如右，
由于 p=0,故
z = 0 - 2(-1) =2
所以 系统不稳定, 且可以
进一步指明, 系统闭环特
征方程右半 s 平面根的个数
z = 2
G(s)H(s)有两个积分环节，
相频特性从 -1800开始，但
需从 00 线补画一虚线在 ω
= 0+ 处, 故 N=N+- N-= -1
六、对数幅相特性和系统品质的关系
通常把对数幅、相特性分为低频区、中频区和高频区
?
)(?L
?1 ?2 ?c
?3 ?4
低频区 高频区中频区
0
)(dB
1、低频区
? 系统低频区的特性决定系统的静态性能的好坏；
? 低频特性渐进线决定系统的稳态误差；
? 低频特性渐进线是 0dB/dec 的系统是 0型系统；
? 低频特性渐进线是 -20vdB/dec 的系统是 v 型系统；
?
)(?L
?1 ?2 ?c
?3 ?4
低频区 高频区中频区
0
)(dB
? 1型系统低频渐进线的斜率是 -20dB/dec，作低频渐
进线的延长线与 0dB 线相交，交点的频率数值就
是系统的稳态速度误差系数，如下图：
确定 K 值有两种方法，均基于积分环节的如下公式：
??
KjG ?)( ?? lg20lg20)( ?? KL，
)1(lg20 LK ?1、取 ?＝ 1时的纵坐标分贝值 20)1(10 LK ?，得
2、设低频渐进线（或其延长线）于 0dB 交于 ?k，由
0lg20lg20)( ??? kk KL ?? kK ??，得
?dB0 ?=1
?k20lgK?
?
?
dB0 20lgK
?=1?k
K >1 K <1
同理，对 2型系统，有 20 )1(10 LK ?
0lg202lg20 ??? kK ?2kK ??，得
因此,0 型系统的 Kp可以通过低频特性渐进线之高度
来确定； 1 型系统 的 Kv= ωk ； 2型 系统的 Ka= ωk2 。
例：根据 Bode图确定传递函数，并求穿越频率 ?c：
解：该开环传递函
数的形式为：
)1(
)1(
)()(
2
2
1
?
?
?
?
?
s
s
s
K
sHsG
?
)(?L
10
20
?1
0
)(dB
-20
?2
?c
)1(
)1(
)()(
2
2
1
?
?
?
?
?
s
s
s
K
sHsG
显然这是 2型系统,K=102；
?
)(?L
10
20
?1
0
)(dB
-20
?2
?c
由图中可得,)(20)lg (20
1
dBK ?? 即 10 10 1
1
＝,?? ??K
而依 -20dB/dec线段,?2 距 ?1为 100倍（ 2?dec），
101 0 0 2＝??
)10 0 3 1 6.0(
)13 1 6.0(1 0 0)()(
2 ?
??
s
ssHsG所以：
由 )(2010lg40
1
dB?? 和 )(20lg20
1
dBc ??? 可知：
lg2010lg40
11
，??? c?,＝ 10
1
2
1?
c??
?
?
???
?
，＝ c?? 1210 1010 ＝c??
2、中频区
? 中频区对系统的瞬态响应品质影响最大；
? 中频区一段是指穿越频率 ωc 附近的频段 。 习惯上把
零分贝线上 +30dB至零分贝线下 -15dB称 为 中频区 ；
? ω c 反映系统的快速性, ωc 附近的幅频特性的斜率决
定系统的相对稳定性, 斜率越大, 超调量越小 ；
? 最小相位系统的对数幅频特性与相频特性有对应关系,
对数幅频特性斜率越大, 其相角迟后越小, 相位裕度
也越大, 超调量就较小 ；
? 通常在 ωc 附近的斜率应取 -20dB/dec,这个要求往往
通过设计系统时加以适当的校正环节来达到 ；
? ω2 与 ω3 离 ωc 越远, 系统的超调量越小 。
3、高频区
? 高频区对应于系统的小时间常数，系统存在一个或数
个小时间常数的惯性环节，它们将使高频区幅频特性
出现转折，使系统的相角余量变小。但若离 ωc很远,
它对相角余量的影响不大, 因而对系统的品质影响不
大, 可以忽略 。
? 由上述分析可知，为使系统满足一定的稳态和动态指
标，对开环对数幅频特性的形状有如下要求：
? 低频率要有一定的宽度和斜率，中频率要
有足够的宽度，斜率取 -20dB/dec为宜，
高频率采用迅速衰减的特性以抑制不必要
的高频噪声。
工程上采用的典型开环对数幅频特性如上图，其中
?
)(?L
?1 ?2 ?c
?3 ?4
低频区 高频区中频区
0
)(dB
34343
21221
????????
????????
dccdc
ba
aab
ccc
c
cc
????
????
，，，
，，，
。，，,1222 ???? dcba通常取
对于该种典型系统，有如下经验公式：
c
st ?
1)8~6(?粗略估计时，取
16
64
?
??
p
p
M
Mh
1
6416
?
??
h
hM
p
或
ac
a
ch
c
c ??
?
?
式中 Mp 为单位阶跃响应的峰值（ Mp =1+?%）
为中频段之宽度。
精确估算时，取
)25.6
160
(
)(
10045.3
8
1
2
2
???
?
?
?
?
?
?
????
a
b
dc
M
ac dba
t
p
c
s
?
5-5 闭环频率特性
? 开环频率特性与闭环频率特性之间有一定的联系，因
而可以通过开环频率特性求取系统的闭环频率特性。
)()(
)()(1
)()( ???
??
?? jeM
jHjG
jGj ?
???
由
)()(1
)()(
sHsG
sGs
??? 得：
若单位负反馈 ? )(sG)(sR )(sE )(sC
)()(
)(1
)()( ???
?
?? jeM
jG
jGj ?
???
一、等 M圆和等 N圆
? 当 M取定值时，上式所描绘的轨迹上的 M都相
等，称等 M轨迹。
? 若 M=1有 x = -1/2
该式表明，在开环极坐标图上，过（ -1/2,j0）
点且平行于 y 轴的垂线上任意点，相应闭环频
率特性的幅值为 1。
? 若 M ?1，则上式可化为：
则有
22
22
)1(1 yx
yx
jyx
jyxM
??
??
??
??jyxjG ??)( ?设
0)1(2)1( 222222 ?????? yMMxMMx化简，得
2
2
22
2
2
)1()1( MMyMMx ?????
? 当 M >1时，随 M增大，等 M 圆越来越小，最后收
敛于（ -1,j0）点，这些圆心在（ -1,j0）点左边，
圆在 M = 1 直线左边。
? 当 M<1时，随 M 减小，等 M 圆收敛于原点，圆心
在原点右边，圆在 M=1直线右边。
该式表明，等 M圆的轨迹是圆心在 ），（ 0
1 2 jM
M
?
21 M
M
?
半径为 的圆。
)1()()( 11 xytgxytg ??? ????
?tgN ?令 t g A t g Bt g Bt g ABAtg ? ??? 1)(，则由 22 yxx yN ???得
22 )
2
1(
4
1)
2
1()
2
1(
NNyx ?????
即
)2121( Nj，?
可见,N 等于定值的轨迹为圆，
圆心为 2
2
1
4
1 ）（
N?
，半径为
? 这些圆称为等 N 圆。等 N 圆实际上是等相角正切的
圆，当相角增加 ± 1800 时, 其正切值相同, 因而在
同一圆上 。
? 利用标有等 M 圆和等 N 圆的坐标纸, 将极坐标开环
幅相曲线画上, 即可求得相应频率的 M,α值 。
? 对应于与幅相相切的且有最小半径的圆的 M值, 为谐
振峰值 Mr。
用等 M圆,等 N圆求系统的闭环频率特性，必须画出系统
的开环幅相图。利用 Nichols 图则可根据开环对数坐标
图求得闭环频率特性。
二、尼柯尔斯（ N.B.Nichols）图
尼柯尔斯图可由等 M 圆和等导 N 圆转换而得。
三、带宽
? 当闭环幅频特性下降到零频时
的闭环幅频特性以下 3分贝时，
对应的频率 ωb 称为带宽频率 。
? 0≤ω≤ωb称为系统的带宽 。
?
?
)(dB
3
ωbωr
Mr
1 )( )()( ???? ?? vpss zsKsG
j
v
i,对于 I 型或 I 型以上的系统有：
??
?
???
???
)()(
)()(
ij
v
i
zsKpss
zsKs
??
?
???
???
)()()(
)()(
ij
v
i
zjKpjj
zjKj
???
??
此时：
一阶和二阶系统带宽与瞬态响应有着明确对应的关系：
1)0()0()0( )0()0( ???? ??? ?? ?
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zjKpjj
zjKj
0)0(lg20 ?? j故
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如一阶系统,21 ???Tj解,
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1??可得
TtTt rs 2.23 ??,而由时域分析：
。，
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r
b
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2.23 ??故有：
欠阻尼二阶系统：
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21
5.3
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n
r
n
s tt,
由时域分析中：
可知,ts 与 tr 均与 ?n 成反比关系，
也即与 ?b成反比关系。
