第四章 线性系统的根轨迹法
? 4-1.根轨迹概念
? 4-2.绘制根轨迹的基本方法
? 4- 3.广义根轨迹
4-1.根轨迹的概念
? 4- 1-1 根轨迹法
? 4-1-2 根轨迹与系统性能
? 4-1-3 闭环零极点与开环零极点间的关系
? 4-1-4 根轨迹方程
1948 年 W.R.EVANS 提出了一种确定闭环
系统特征根的图解法 ——— 根轨迹法。
如图,)15.0( ?ss k )(sc)(sR ?
特征方程为,0222 ??? kss
ksks 211 211 21 ????????,其根为：
可以用 k 为参变量，在 s 平面作其根轨迹：
4-1-2.根轨迹与系统性能
? 通过根轨迹图，可以对系统如下性能做研究：
? (1)稳定性
若系统轨迹进入 s右半面，则系统不稳定，根
轨迹与虚轴交点处为临界稳定。
? (2)稳态性能
可以判断系统型次，并推算出开环增益。
? (3)可以通过根轨迹图来确定系统的 振型。
4-1-3.闭环零极点与开环零极点间的关系
如图：
)(sG
)(sc)(sR ?
)(sH
)()(1
)()(
sHsG
sGs
???
设,?
?
?
?
?
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?
???
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j
j
f
i
i
G
G
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zs
K
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1*
22
22
21
21
22
21
)(
)(
)12)(1(
)12)(1(
)(
?
?
?
????
?
GK其中 为前向通路增益；
*GK 为前向通路根轨迹增益。
?
?
2
21
2
21*
TTKK GG
???
?
?
?
?
?
?
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n
j
j
l
i
i
H
ps
zs
KsH
1
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)(
)(
)(
*HK 为反馈通路根轨迹增益；
? ?
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q
j
n
j
jj
l
i
i
f
i
i
psps
zszs
KsHsG
1 1
11*
)()(
)()(
)()(
*** HG KKK ? 为开环根轨迹增益。
则有,? ?
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?? n
j
m
j jj
n
i i
f
i iG
zsKps
zszsK
s
1 1
*
11
*
)()(
)()(
)(
由闭环传递函数
可见：
? 1),( 当 n > m时 )闭环系统根轨迹增益，等于开环
系统前向通路的根轨迹增益（单位反馈系统，闭环
与开环根轨迹增益相同）；
? 2).闭环零点由开环前向通路的零点和反馈通路的
极点组成（单位反馈系统，闭环零点就是开环零
点。）；
? 3).闭环极点与开环极点、开环零点及 K*有关。
? 根轨迹：由开环零、极点来确定闭环极点随 K*变化
在 s平面上画出的轨迹 。
? ?
??
? ?
??
???
??
?? n
j
m
j jj
n
i i
f
i iG
zsKps
zszsK
s
1 1
*
11
*
)()(
)()(
)(
4-1-4 根轨迹方程
系统特征方程,1+ G(s)H(s) =0，即
1
)(
)(
1
1
*
??
? ?
? ?
?
?
n
j
j
m
i
i
ps
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1
||
||
1
1
*
?
?
?
?
?
?
?
n
j
j
m
i
i
ps
zsK
幅值条件：
?，，,210)12()()(
11
???????? ??
??
kkzszs
n
j
j
m
i
i ?相角条件：
1、相角条件：满足该条件的点均为可能的根；
2、幅值条件：满足该条件的点确定 K＊ 值。
3、在满足相角条件下，将根轨迹增益 K＊ 由零增大
直至 ?，便可利用幅值条件画出根轨迹。
4-2.绘制根轨迹的基本法则
? 法则 1,根轨迹起源于开环极点，终于开环零点。
当 K＊ = 0 时，根轨迹方程退化为,0)(
1
???
?
n
j
jps
此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的极点。
由 可得：
1
)(
)(
1
1
*
??
? ?
? ?
?
?
n
j
j
m
i
i
ps
zsK
0)()(
1
*
1
???? ??
??
m
i
i
n
j
j zsKps
当 K＊ ?? 时，根轨迹方程退化为,0)(
1
???
?
m
i i
zs
此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的零点。
同样由 也可得：
1
)(
)(
1
1
*
??
? ?
? ?
?
?
n
j
j
m
i
i
ps
zsK
0)()(1
11*
???? ??
??
m
i
i
n
j
j zspsK
? 法则 2,根轨迹的分支数、对称性和连续性：
根轨迹的分支数与开环有限零点数 m、开环有
限极点数 n 中的大者相等，连续对称于实轴。
当 m<n 时，根轨迹终于开环传递函数的无穷远零点。 1
)(
)(
1
1
*
??
? ?
? ?
?
?
n
j
j
m
i
i
ps
zsK
可得,mns
zs
ps
K
mn
sm
i
i
n
j
j
s
????
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
limlim
1
1*
开环传递函数中，若令 s?? 当 m<n 时,G(s)H(s) =0
称 s?? （ m<n），是 G(s)H(s) 的无限零点 (n-m个 )。
? 法则 3,当 n>m时，根轨迹当 K*??的渐进线可由下
式而定：
）（，,110)12( ?????? mnkmnk ??? ?
mn
zp
n
i
m
j
ji
?
?
?
? ?
? ?1 1
??
? 法则 4.实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极
点数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
? 法则 5.两条或两条以上根轨迹分支在 s平面上相遇又
立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标
d 是下列方程的解,? ?
???? ?
m
i
n
j ji pdzd1 1
11
例 4-1.设系统结构如图，
试绘制其概略根轨迹。 )3)(2(
)1(
??
?
sss
sk)(sR )(sc
?
解：画出 s 面上的开环零点，极点 （ 0,-2,-3） 。
(1).实轴上 [-3,-2],[-1,0] 是根轨迹。
(2).根轨迹有三条分支，分别始于 0,-2,-3；
终於 -1和两个无限零点。
有两条渐近线：
2
3
2
)12( ????
?,??
??
mn
k
2
13
)1()320(1 1 ?
?
?????
?
?
?
? ?
? ?
mn
zp
n
i
m
j
ji
??
(3).实轴上 [-3,-2] 内有一分离点 d,
3
1
2
11
1
1
?????? dddd
所以分离点为,d ? -2.47
该方程可化为 d3＋ 4 d2 +5 d +3=0
其根为,-2.4656,-0.7672 ? j 0.7926
按上述法则画出
如右根轨迹图,-3 -2 -1 0
例 4-2.设单位反馈系统开环传递函数为：
试绘制闭环系统根轨迹。
15.0
)15.0()(
2 ??
??
ss
sKsG
解,)1)(1( )2()(
*
jsjs
sKsG
????
??
在 s 平面上开环极点有两个,-1?j，开环零点 -2。
(1).实轴 ( ?,-2]为根轨迹。
(2),根轨迹有两条分支，始于 -1+j和 -1-j终於 -2和 ?。
(3),在 ( ?,-2]上有一分离点,jdjdd ??????? 111121
414.3??d0242 ??? dd即 解得,586.0??d （舍去），
作出该系统的根轨迹如下图所示：
-2
-1+j
-1-j
-3.414
事实上，该根轨迹图在复平面上圆的一部分：设 ?+j?
是复平面上根轨迹的一点，则根据相角关系得：
011112 1111 ???? ???????? tgtgtgtg ????? ?
? ? 2
2
1
11
1
1
1
1
2
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
取正切：
化简，得,024 22 ???? ???
222 22 ）（）（ ??? ??即,）（）（
所以，根轨迹的一部分是圆心在 （ -2,0）,半径为
的圆。
2
法则 6.根轨迹的起始角与终止角：
?,1,0)()12(
1 1
?????? ? ?
?
?
?
kk
m
j
n
ij
j
pppzp ijijj ????
?,1,0)()12(
1 1
?????? ? ?
?
? ?
kk
m
ij
j
n
j
zpzzz ijiji ????
例 4-3.设系统开环传递函数为：
)5.15.0)(5.15.0)(5.2(
)2)(2)(5.1()( *
jsjsss
jsjssKsG
?????
??????
解：开环零点为 -1.5,-2+j,-2-j
开环极点为 0,-2.5,-0.5+j1.5,-0.5-j1.5
1).实轴上 (-?,-2.5],[-1.50]为根轨迹。
2).根轨迹有 4条分支：
始于 0,-2.5,-0.5+j1.5,-0.5-j1.5；
终于 -1.5,-?,-2+j,-2-j；
3),无分离点；
4),起始角：
终止角,0
4321310 149)()(1802 ???????? ??????? z
03213210 79)()(180
2 ???????? ??????? p
法则 7.根轨迹与虚轴的交点
若根轨迹与虚轴相交，则交点上的 K*值和 ? 可用劳斯
判据确定，也可令闭环特征方程中的 s=j?,然后分别
令其实部和虚部为零而求得。
4-3.广义根轨迹
? 以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参
数根轨迹，以区别与开环增益 K*为可变的常规
根轨迹。
? 绘制参数根轨迹与常规根轨迹方法相同。只要
在绘制参数根轨迹前，引入等效单位反馈系统
系统和等效传递函数概念。
例 4-6,分别有 Ⅰ -比例,Ⅱ -为比例积分,Ⅲ - 测速
反馈控制系统。试分析 Ta对系统性性能的影响，比较
Ⅱ 与 Ⅲ 在 ?=0.5 时的特点
广义跟轨迹应用举例：
5 )15( 1?ss)(sR )(sc?系统 Ⅰ
)15( 1?ss)1(5 sTa?)(sR )(sc?系统 Ⅱ
sTa?1
5 )15( 1?ss)(sR )(sc?系统 Ⅲ
解,2,3系统开环传递函数相同,)15(
)1(5)()(
?
??
ss
sTsHsG a
但其闭环传递函数不同：
)1(5)15(
)1(5)(
2 sTss
sTs
a
a
???
???
)1(5)15(
5)(
3 sTsss
a??
??
作以 Ta为参数的根轨迹,Ⅱ, Ⅲ 系统闭环特征方程为：
055 2 ???? sTss a 012.02 ???? sTss a即：
012.01 2 ???? ss sT a可以写成：
令 为等效开环传递函数，
12.0)()( 211 ??? ss
sTsHsG a
其等效开环零点为 0，等效开环极点为 995.01 j??
对于系统 1,Ta=0，闭环极点就是 995.01 j??
作根轨迹图如 p155，为确定 ?＝ 0.5时的传递函数，作
?＝ 0.5的射线，可得闭环极点为,87.05.0
2,1 js ???
解得 Ta=0.8,因此 19 9 5.019 9 5.01 0 ????? ? jsjs sT a由幅值条件：
)87.05.0()87.05.0(
1)(
2 jsjss ???????
)87.05.0()87.05.0(
)25.1(8.0)(
3 jsjs
ss
?????
???
而系统 Ⅰ 仍为,)995.01.0()995.01.0(
1)(
1 jsjss ???????
可得到 p155－ p156之结果。
零度根轨迹 —— 非最小相位系统
凡在 s右半平面没有开环零极点系统称为：
最小相位系统
? 4-1.根轨迹概念
? 4-2.绘制根轨迹的基本方法
? 4- 3.广义根轨迹
4-1.根轨迹的概念
? 4- 1-1 根轨迹法
? 4-1-2 根轨迹与系统性能
? 4-1-3 闭环零极点与开环零极点间的关系
? 4-1-4 根轨迹方程
1948 年 W.R.EVANS 提出了一种确定闭环
系统特征根的图解法 ——— 根轨迹法。
如图,)15.0( ?ss k )(sc)(sR ?
特征方程为,0222 ??? kss
ksks 211 211 21 ????????,其根为：
可以用 k 为参变量，在 s 平面作其根轨迹：
4-1-2.根轨迹与系统性能
? 通过根轨迹图，可以对系统如下性能做研究：
? (1)稳定性
若系统轨迹进入 s右半面，则系统不稳定，根
轨迹与虚轴交点处为临界稳定。
? (2)稳态性能
可以判断系统型次，并推算出开环增益。
? (3)可以通过根轨迹图来确定系统的 振型。
4-1-3.闭环零极点与开环零极点间的关系
如图：
)(sG
)(sc)(sR ?
)(sH
)()(1
)()(
sHsG
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j
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zs
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22
22
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????
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GK其中 为前向通路增益；
*GK 为前向通路根轨迹增益。
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2
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TTKK GG
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?
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*
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由闭环传递函数
可见：
? 1),( 当 n > m时 )闭环系统根轨迹增益，等于开环
系统前向通路的根轨迹增益（单位反馈系统，闭环
与开环根轨迹增益相同）；
? 2).闭环零点由开环前向通路的零点和反馈通路的
极点组成（单位反馈系统，闭环零点就是开环零
点。）；
? 3).闭环极点与开环极点、开环零点及 K*有关。
? 根轨迹：由开环零、极点来确定闭环极点随 K*变化
在 s平面上画出的轨迹 。
? ?
??
? ?
??
???
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?? n
j
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*
11
*
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4-1-4 根轨迹方程
系统特征方程,1+ G(s)H(s) =0，即
1
)(
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1
1
*
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? ?
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i ?相角条件：
1、相角条件：满足该条件的点均为可能的根；
2、幅值条件：满足该条件的点确定 K＊ 值。
3、在满足相角条件下，将根轨迹增益 K＊ 由零增大
直至 ?，便可利用幅值条件画出根轨迹。
4-2.绘制根轨迹的基本法则
? 法则 1,根轨迹起源于开环极点，终于开环零点。
当 K＊ = 0 时，根轨迹方程退化为,0)(
1
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n
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此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的极点。
由 可得：
1
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此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的零点。
同样由 也可得：
1
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? 法则 2,根轨迹的分支数、对称性和连续性：
根轨迹的分支数与开环有限零点数 m、开环有
限极点数 n 中的大者相等，连续对称于实轴。
当 m<n 时，根轨迹终于开环传递函数的无穷远零点。 1
)(
)(
1
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1
1*
开环传递函数中，若令 s?? 当 m<n 时,G(s)H(s) =0
称 s?? （ m<n），是 G(s)H(s) 的无限零点 (n-m个 )。
? 法则 3,当 n>m时，根轨迹当 K*??的渐进线可由下
式而定：
）（，,110)12( ?????? mnkmnk ??? ?
mn
zp
n
i
m
j
ji
?
?
?
? ?
? ?1 1
??
? 法则 4.实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极
点数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
? 法则 5.两条或两条以上根轨迹分支在 s平面上相遇又
立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标
d 是下列方程的解,? ?
???? ?
m
i
n
j ji pdzd1 1
11
例 4-1.设系统结构如图，
试绘制其概略根轨迹。 )3)(2(
)1(
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?
sss
sk)(sR )(sc
?
解：画出 s 面上的开环零点，极点 （ 0,-2,-3） 。
(1).实轴上 [-3,-2],[-1,0] 是根轨迹。
(2).根轨迹有三条分支，分别始于 0,-2,-3；
终於 -1和两个无限零点。
有两条渐近线：
2
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(3).实轴上 [-3,-2] 内有一分离点 d,
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所以分离点为,d ? -2.47
该方程可化为 d3＋ 4 d2 +5 d +3=0
其根为,-2.4656,-0.7672 ? j 0.7926
按上述法则画出
如右根轨迹图,-3 -2 -1 0
例 4-2.设单位反馈系统开环传递函数为：
试绘制闭环系统根轨迹。
15.0
)15.0()(
2 ??
??
ss
sKsG
解,)1)(1( )2()(
*
jsjs
sKsG
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??
在 s 平面上开环极点有两个,-1?j，开环零点 -2。
(1).实轴 ( ?,-2]为根轨迹。
(2),根轨迹有两条分支，始于 -1+j和 -1-j终於 -2和 ?。
(3),在 ( ?,-2]上有一分离点,jdjdd ??????? 111121
414.3??d0242 ??? dd即 解得,586.0??d （舍去），
作出该系统的根轨迹如下图所示：
-2
-1+j
-1-j
-3.414
事实上，该根轨迹图在复平面上圆的一部分：设 ?+j?
是复平面上根轨迹的一点，则根据相角关系得：
011112 1111 ???? ???????? tgtgtgtg ????? ?
? ? 2
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11
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1
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取正切：
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222 22 ）（）（ ??? ??即,）（）（
所以，根轨迹的一部分是圆心在 （ -2,0）,半径为
的圆。
2
法则 6.根轨迹的起始角与终止角：
?,1,0)()12(
1 1
?????? ? ?
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kk
m
j
n
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j
pppzp ijijj ????
?,1,0)()12(
1 1
?????? ? ?
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kk
m
ij
j
n
j
zpzzz ijiji ????
例 4-3.设系统开环传递函数为：
)5.15.0)(5.15.0)(5.2(
)2)(2)(5.1()( *
jsjsss
jsjssKsG
?????
??????
解：开环零点为 -1.5,-2+j,-2-j
开环极点为 0,-2.5,-0.5+j1.5,-0.5-j1.5
1).实轴上 (-?,-2.5],[-1.50]为根轨迹。
2).根轨迹有 4条分支：
始于 0,-2.5,-0.5+j1.5,-0.5-j1.5；
终于 -1.5,-?,-2+j,-2-j；
3),无分离点；
4),起始角：
终止角,0
4321310 149)()(1802 ???????? ??????? z
03213210 79)()(180
2 ???????? ??????? p
法则 7.根轨迹与虚轴的交点
若根轨迹与虚轴相交，则交点上的 K*值和 ? 可用劳斯
判据确定，也可令闭环特征方程中的 s=j?,然后分别
令其实部和虚部为零而求得。
4-3.广义根轨迹
? 以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参
数根轨迹，以区别与开环增益 K*为可变的常规
根轨迹。
? 绘制参数根轨迹与常规根轨迹方法相同。只要
在绘制参数根轨迹前，引入等效单位反馈系统
系统和等效传递函数概念。
例 4-6,分别有 Ⅰ -比例,Ⅱ -为比例积分,Ⅲ - 测速
反馈控制系统。试分析 Ta对系统性性能的影响，比较
Ⅱ 与 Ⅲ 在 ?=0.5 时的特点
广义跟轨迹应用举例：
5 )15( 1?ss)(sR )(sc?系统 Ⅰ
)15( 1?ss)1(5 sTa?)(sR )(sc?系统 Ⅱ
sTa?1
5 )15( 1?ss)(sR )(sc?系统 Ⅲ
解,2,3系统开环传递函数相同,)15(
)1(5)()(
?
??
ss
sTsHsG a
但其闭环传递函数不同：
)1(5)15(
)1(5)(
2 sTss
sTs
a
a
???
???
)1(5)15(
5)(
3 sTsss
a??
??
作以 Ta为参数的根轨迹,Ⅱ, Ⅲ 系统闭环特征方程为：
055 2 ???? sTss a 012.02 ???? sTss a即：
012.01 2 ???? ss sT a可以写成：
令 为等效开环传递函数，
12.0)()( 211 ??? ss
sTsHsG a
其等效开环零点为 0，等效开环极点为 995.01 j??
对于系统 1,Ta=0，闭环极点就是 995.01 j??
作根轨迹图如 p155，为确定 ?＝ 0.5时的传递函数，作
?＝ 0.5的射线，可得闭环极点为,87.05.0
2,1 js ???
解得 Ta=0.8,因此 19 9 5.019 9 5.01 0 ????? ? jsjs sT a由幅值条件：
)87.05.0()87.05.0(
1)(
2 jsjss ???????
)87.05.0()87.05.0(
)25.1(8.0)(
3 jsjs
ss
?????
???
而系统 Ⅰ 仍为,)995.01.0()995.01.0(
1)(
1 jsjss ???????
可得到 p155－ p156之结果。
零度根轨迹 —— 非最小相位系统
凡在 s右半平面没有开环零极点系统称为：
最小相位系统
