第二章 控制系统的数学模型
? 2-1.控制系统的时域数学模型
? 2-2.控制系统的复域数学模型
? 2-3.控制系统的结构图与信号流图
2-1.控制系统时域数学模型
? 2-1-1.线性元件的微分方程
? 2-1-2.控制系统微分方程的建立
? 2-1-3.线性系统的特性
? 2-1-4.线性定常微分方程的建立
? 2-1-5.非线性微分方程的线性化
? 2-1-6.运动的模态
2-1-1.线性元件的微分方程
例 1.p20 如左图
解：
L R
)(0 tu)(tui )(ti
例 2.p21
SM 负载
?
? ?
?
? ?
aL aR
fi
au a
Eai m
?
mm fJ,
)()()(
)(
)()(:
),(
)(
)(
)(
)(),(
tMtMtf
dt
td
J
CtiCtM
CtCE
EtiR
dt
tdi
Ltu
ttu
cmmm
m
m
mamm
emea
aaa
a
aa
ma
???
?
?
???
??
?
?
?
?
转矩平衡：
是转矩系数电磁转矩
是反电动势系数。
电枢回路：
输出输入
转动力矩解：电
)()(
)/(
)/(
)(
)62()()()(
)(
)52()(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
),(,),(
2
1
1
2
2
tutC
JR
CCfRRK
CCfRCK
CCfRJRT
tMKtuKt
dt
td
T
L
tMR
dt
tdM
LtuC
tCCfR
dt
td
JRfL
dt
td
JL
tMEti
ame
ma
emmaa
emmam
emmamam
caam
m
m
a
ca
c
aam
memma
m
mama
m
ma
maa
?
??
??
??
????
????
????
?
?
?
?
??
测速电机：
，进一步简化为都做得很小，也可忽略，若
机电常数其中：
：较小，忽略，可简化为
可得：及上式中，消去
，输出
解：
移这一基本概念。是相对于平衡位置的位引出
如何处理，所重力讨论：质量块
)(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)()(
)()()(
)(
2
2
2
1
212
2
tx
mgm
tFtKx
dt
tdx
f
dt
txd
m
td
tdx
ftF
tKxtF
tFtFtF
dt
txd
m
????
?
?
???
)(tF )(txP22例 3：输入例,输入
2-1-2.控制系统微分方程的建立
1.各环节，元件分别罗列
2.组合、消去中间变量
3.信号传输的单向性、负载效应
作业：仔细阅读教材 p23-p25之例 。
注意点,
2-1-3.线性系统的特性
线性系统的齐次性和叠加性：
u yH(u) y=H(u)
H(ku)=kH(u) 则称系统
具有齐次性。
齐次性：若系统满足
叠加性：若系统满足 H(u1+u2)=H(u1)+H(u2)
则称系统具有叠加性。
同时满足齐次性和叠加性的系统称线性系统。
系统满足齐次性而不满足叠加性的例子：
设有一单变量系统对所有的 t
其输入输出关系为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
0)1(0
0)1(
)1(
)(
)(
2
tu
tu
tu
tu
ty
当
当
但并不满足叠加性。
容易证明该系统满足齐次性，
如设,u1=1(t),u2=1(t+1)
则,y1=y ( u1 ) =1(t-1),y2= y (u2) =1(t)
显然,y3 不等于 y1+ y2,证毕。
而,y3= y ( u1 +u2) =4x1(t)- 3x1(t-1),
但叠加性几乎可以隐含齐次性，（在工程中，
若系统具有连续特性，则意味作叠加性就隐含
作齐次性）。
2-1-4.线性定常微分方程的建立
拉氏变换法
例 4 ( p25 例 2-6)，方程为：
)()()()( 0020
2
tutudt tduRCdt tudLC i???
已知
)0( 0)0( v1)(1.0)0(
1.0)(111 00
?????
????? ?
tuttuAi
vtuRFCHL
ii
t
，当，
，，，
)()]([ sFtfL ?
解：由拉氏变换的微分定理：
若 则有：
)0(')0()()]([
)0()()]('[
2 fsfsFstfL
fssFtfL
?????
??
故有：,1)(12.01.0)(11)( 220 ssuss ssusssu ii ??? ?????
又有：
?? dttiCtu )(1)(0 )(
1)(0 ti
Cdt
tdu ?即：
)()(1.0)(1.0111.0)( 0002 susussussus i????????
对方程两边取拉氏变换，将参数代入，可得：
)30866.0s i n (2.0
)120866.0s i n (15.11
]
1
2.01.0
)1(
1
[)]([)(
05.0
05.0
22
1
0
1
0
??
???
??
?
?
??
??
?
?
??
te
te
ss
s
sss
LsuLsu
t
t
若输入,则 )()(u i tt ??
)30866.0s i n (2.0866.0s i n15.1
]
1
2.01.0
)1(
1
[)(
05.05.0
22
1
0
???
??
?
?
??
?
??
?
tete
ss
s
sss
Ltu
tt
零状态响应 ——取决于输入；
零输入响应 ——取决于初始条件；
再由拉氏变换的初值定理,)()( limlim
0
ssFtf
tt ???
?
和拉氏变换的终值定理,)()( limlim
0
ssFtf
st ???
?
可得,vssuuu
st
1.0)()0()0( 00
00 limlim
???
???
vssutuu
st
1)()()( 0
00 limlim
????
????
由此拉氏变换解微分方程的步骤,
?（ 1） 对微分方程取拉氏变换；
?（ 2） 解以 S为变量的代数方程，
求输出量的拉氏变换；
?（ 3） 求输出量的拉氏变换表达式
反变换。
2-1-5.非线性微分方程的线性化
? 实际的元件严格上均为非线性的，但是，
在工作点附近，小范围内大都可以近似的
用线性关系来表示 ——线性化。
? 如图：
0x
0)( xdx
df
0
0y
)( xfy ?A
，取平衡状态 A为工作点，)( 00 xfy ?
xKyK
dx
xdf
xx
dx
xdf
xfxfyy
xxx
x
x
????
?????
???
?
?
)(
)(
)(
)()(
0
0000
0
0
0
，则有令
很小时，略去高次项：当
??????????
?
???????
??
2
00000
00
)()(
!2
1
)()()(
)(
,
)(
00
xxxfxxxfxf
xfy
Ta y l o ryx
xfyyyyxxx
xx
展开式）连续可微，则有（
在，设时，当
将坐标原点移至 (x0,y0)，则有 y=Kx；
同理对于两个自变量 x1,x2的非线性函数，
可在工作点附近作类似的展开，得：
2211 xKxKy ??
20102010,
2
2,
1
1 xxxx x
fK
x
fK
?
??
?
?? ；其中
要点：
? 平衡点附近线性化 ——抓住主要矛盾；
? 小偏差 ——适用范围。
2-1-6.运动的模态
? 若 n 阶微分方程的特征根是 n??? ?21,
ttt neee ??? ?21,
，且无
重根，则把函数 称为微分方程的
模态，振型；
? 每一种模态代表着一种类型的运动，齐次微分
方程的通解是它们的线性组合：
tntt neCeCeCty ??? ???? ?21 210 )(
其中,iC是由初始条件决定的常数。
? 齐次方程去拉氏变换后，变为代数方程，该
方程也称其为特征方程。（零初始条件）
? n 次代数方程有 n个根，实系数代数方程的根
是实数或成对的共轭复数。
? 特征方程的根称微分方程的特征根。
? 若有重根 ?ttt iii ettee ??? 2,,
i?
则模态有
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
??
tjtetjte
j
ee
t
j
ee
t
tjtj
tjtjtjtj
????
??
??
????
s i nc oss i nc os
2
c os
2
s i n
，
，
? 若有共轭复根 ??? j??,则模态为：
tje )( ?? ? tje )( ?? ?和 用欧拉公式：
可化为实函数模态 tete tt ?? ?? c o ssi n 与back
2-2.控制系统的复数域模型
? 2-2-1.传递函数的定义和性质
? 2-2-2.传递函数的零点和极点
? 2-2-3.传递函数的零点和极点对输出的
影响
? 2-2-4.典型元部件的传递函数
2-2-1.传递函数的定义和性质
1.定义：
? 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条
件下，系统输出量的拉氏变换与输入的拉氏
变换之比。记为,G (s)
)()()()(
)()()()(
11
1
10
11
1
10
trbtr
dt
d
btr
dt
d
btr
dt
d
b
tcatc
dt
d
atc
dt
d
atc
dt
d
a
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
?????
????
??
?
??
?
?
?
? 若系统的微分方程描述为：
在零初始条件下取 Laplace 变换：
)()(
)()(
1
1
10
1
1
10
sRbsbsbsb
sCasasasa
mm
mm
nn
nn
?????
????
?
?
?
?
?
?
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sCsG
????
??????
?
?
?
?
1
1
10
1
1
10
)(
)()(
?
?所以：
)()()()( 0020
2
tutudt tudRCdt tudLC i???例如：
1
1
)(
)()(
2
0
???? R C sLC ssU
sUsG
i
则有：
2,传递函数的性质
1） 是复变量 S的有理真分式。 ? ?nm ?)(sG
)(sG2）
它反映输入量与输出量的关系。
仅取决于线性系统本身的结构与参数
，
3）传递函数可由微分方程用 S算子取代
反之，也可由传递函数求得微分方程。
dt
d
微分
算子经整理而得。
4）传递函数是系统单位脉冲响应的 Laplace变换。
t r a n s f o r mL a p l a c e
r(t) c(t)System
R(s) C(s)G(S)
)(tg 为系统单位脉冲作用下的系统输出：定义
时，系统的输出 c(t)称为)()( ttr ??当 )(tg
)]([)]()([)]([)()( 111 sGLsRsGLsCLtgtc ??? ????
此时,1)]([)]([ ?? tLtrL ?所以：
)()()()( sGsRsGsC ??
拉氏变换的一个重要性质：
)()()( )()( )(
)()()()()(
)()]([)()]([
2121
0
212
0
1
2211
tftftftftftf
dftftfftf
sFtfLsFtfL
t
t
??
????
??
??
的卷积，记为：，为
，若
?????
)()()]()([)]([)( 2121 sFsFtftfLtfLsF ????
卷积的拉氏变换等于卷积两函数拉氏变换的乘积。
由时不变性和线性，输入 可分解为下图：)(tr
? ?
)(tr
tt?0
可分解为各个窄脉冲之和。若分别作用于
系统，每个窄脉冲的响应为：
)(tr
)(])([ tntgttnr ????? ttnr ??? )( 为窄脉冲强度。，
??????? tntn,,0令 则有：
)()()( 0 ??? dtgrtc t ?? ? )()()( sRsGsC ?因而：
利用卷积定理，将积分运算化为乘法运算。
。和求
已知例
)( )(/)(
)()()(
)(
,92 21
tsUs
tMKtuKt
dt
td
T
mam
cam
m
m
?
?
?
?
????
1)(
)()(0)( 1
1 ??
???
sT
K
sU
ssGtM
ma
m
c 得：解：令
1
)( 0)()(/)( 2
?
????
sT
KsGtusMs
m
acm 得，令求
? ?
)()(
)()()]()([
)](
1
)(
1
[)]([)(
21
2
1
1
1
2111
tt
sMsGLsUsGL
sM
sT
K
sU
sT
K
LsLt
ca
c
m
a
m
mm
??
?
??
??
?
?
?
????
??
??
2-2-2.传递函数的零点和极点
??
??
?
?
)12()1)(1(
)12()1)(1(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)())((
)())((
)(
22
21
22
21
*
1
1*
210
210
????
????
?
?
?
?
???
???
?
?
?
jijn
iiim
j
i
n
j
m
i
n
m
TsTsTsTa
sssb
sG
sG
sGK
sGp
sGz
ps
zs
K
pspspsa
zszszsb
sG
?
?????
表为：若将
的根轨迹增益。称
的极点称
的零点称
称时间常数。
的开环增益。称则
,
)(
)(
)(
1
1*
ji
n
j
m
i
m
m
T
sG
p
z
K
a
b
K
?
?
?
?
?
??
2-2-3.传递函数的极点和零点对输出的影响
? 传递函数的极点 ——系统微分方程的特征根
决定了系统的模态。
)2)(1(
25.1)(
2 ??
??
ss
ssG
)2)(1(
24)(
1 ??
??
ss
ssG
? 从下例可见：
? 传递函数的零点、极点和增益共同确定每一
项（指数项、指数振荡项、常数项）的系数
大小。
其极点都是 -1,-2而零点不同：
的零点是 -0.5,的零点是 -1.33
在单位阶跃输入下：
其输出模态完全相同，但其响应形状是不同的
p34图 2-9。
)(1 sG )(2 sG
tt
ee
ss
s
LtC
21
1
321]
)2)(1(
24
[)(
???
???
??
?
?
tt ee
ss
sLtC 21
2 5.05.01])2)(1(
25.1[)( ??? ???
??
??
2-2-4.典型元部件的传递函数
? 电位器：
若有负载影响，则分析较为复杂。
? 测速发电机：
1)(
)()( K
s
sUsG ?
???
sK
s
sU
sG
K
s
sU
sG
t
t
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
)(
)(
)(
或
? 电枢控制直流伺服电动机：
? 两相伺服电机：
1)(
)(
)(
)1()(
)(
)(
1)(
)(
)(
2
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sT
K
sM
s
sG
sTs
K
sU
s
sG
sT
K
sU
s
sG
mc
m
ma
m
ma
m；
1
1
)(
)(
)(
)1()(
)(
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
sTsU
s
sG
sTs
K
sU
s
sG
ma
m
m
m
a
m
? 无源网络：利用电路中的复阻抗
? 单容水槽：
? 电加热炉：
? 有纯延时的单容水槽：
? 双容水槽：
1)(
)()(
???
??
Ts
K
sU
sHsG
1)(
)()(
???
??
Ts
K
sU
sTsG
se
Ts
K
sU
sHsG
1)(
)()( ??
???
??
1)()(
)()(
21
2
21
2
???
?
?
??
sTTsTT
K
sU
sHsG
2-3.控制系统的结构图与信号流图
? 2-3-1.系统结构图的组成与绘制
? 2-3-2.结构图的等效变换与简化
? 2-3-3.信号流图的组成及性质
? 2-3-4.信号流图的绘制
? 2-3-5.Mason公式
? 2-3-6.闭环系统的传递函数
back
2-3-1.系统结构图的组成与绘制
定义：控制系统的结构图和信号流图都是
描述系统各元件之间信号传递关系的数学
图形。
信号线
?比较点
引出点
)(sG)(tr )(sR )(sC )(tc方框
结构图的四种基本单元：
例 2-12.绘制结构图
1i 1R )(
0 tu)(tui 2R
2i ci
back
1R1
1
R CS 2R)(sUi
)(0 sU
)(1 sI )(2 sI )(sI )(0 sU
-
因而可以画出如下的结构图：
)()()( 011 sURsIsU i ??
)()()( 21 sIsIsI ??
20 )()( RsIsU ?
112 )(
1)( RsI
CssI ?
1
01 )()()( RsUsUsI i ??即
2-3-2.结构图的等效变换与简化
1.串联
)()( 21 sGsG)(1 sG )(2 sG)(sR )(sU )(sC )(sR )(sC
)()( 21 sGsG ?)(sR )(sC)(1 sG
)(2 sG
)(sR )(sC?
2.并联
3.反馈
)()()()()()(
)]()()()[()(
sRsGsCsHsGsC
sCsHsRsGsC
??
???
即
讨论负反馈，有,)()()( sGsEsC ?
)()()( sGsHsB ? )()()( sBsRsE ??,
)()()(1 )()(/)( ssHsG sGsRsC ????? —闭环传递函数
)(sG —前向传递函数，若 H(S)=1，称系统为单位反馈。
)(sG
)(sH
)(sR )(sC? )()(1 )( sHsG sG?)(sR )(sC
)(sB
)(sE
4.比较点与引出点的移动
总原则：保持等效性，注意以下要点：
比较点与引出点不宜交换；
“－”号可依沿信号线越过方框，但不可
越过比较点和引出点；
讨论 p49 表 2－ 1。
例：求下列系统的传递函数 )(/)( sRsC
3G
3H
R
1H
1G 2G
2H
C?
?
解：先处理反馈回路中的小闭环
).1
32
2
1 HH
H
?
1H
3G C
1G 2GR ?
32
21
1 HH
HG
?
3GR
1H
1G 2G
C?).2
)()()()()()()()()()()(1
)]()(1)][()()[(
)(
)(
22132121232
32312
sHsGsGsHsHsHsGsHsGsHsH
sHsHsGsGsG
sR
sC
????
???
R
31 GG? 2G
C?
32
21
1 1 HHHGH ??
).3
例 2-14先看教材 p50 解法，若无特殊要求可做如
下变换：
1G
1
1
G
2G 3G 4G
2H
1H
2
1
G 3H
4
1
G
1
1
G
R C?
4321 GGGG
41
2
21
3
1 GG
H
GG
HH ??R C?
23234314321
4321
1)(
)()(
HGGHGGHGGGG
GGGG
sR
sCs
???????
同理：将引出点全移至 G3 与 G4,相加点移
至点 G2 G3 之间也较简便。
p51例 2-15较好地解决了相加点与引出点交错
的问题，关键是朝环外方向移动。
注意图中的不规范表达方式：
1、相加点出来的两个结果；
2,H(s)环节是反馈（两个分别的反馈）公用。
back
讨论 p52 例 2-16，请课后仔细阅读。
)(sR
)(1 sG ? )(3 sG
)(2 sG
?
)(4 sG
)(sH )(5 sG
)(sC
2-3-3.信号流图的组成及性质
信号流图是由 S.J.Mason 提出的表示线性
系统变量的因果关系的图示法，一般可视
为结构的一种简化，但它不象结构图可表
达非线性关系那样随便。
例如：下图表示了一组代数线性关系,
12a
32a
23a
43a
24a
34a
44a
25a
45a
1y
2y
2y
3y 4y 5
y
4452255
4443342244
4432233
3321122
yayay
yayayay
yayay
yayay
??
???
??
??
○ 节点，表示变量
信号流图的基本元素,
支路，表示因果关系
??? 1122 yay 2
12
1
1 y
ay ?，但它并不包含信息：
注意支路的单向性：若 12a1y 2y 表示：
12a
32a
23a
43a
24
34a
44a
25a
45a
1y
2y
2y
3y 4y 5
y
几个定义：
4.前向通路：始于源节点终于阱节点的经过
每一节点不超过一次的支路集合。
(y1到 y5有三条前向通路, )
1.源节点 (输入节点 )：只有输出支路 (如 y1)；
2.阱节点 (输出节点 ),只有输入支路 (如 y5)；
3.混合节点：非源非阱节点 ( 如 y2,y3,y4)
混合节点也可以作为阱节点加以讨论 (如 y2 )
12a
32a
23a
43a
24a
34a
44a
25a
45a
1y
2y
2y
3y 4y 5
y
5.回路：起始于同一节点经每一其它节点不超
过一次的支路集合。
44432231 aLaaL ??,
y1到 y5三条前向通路：
b ck
6.不接触回路：互相无公共节点的回路。如：
25123 aap ?453423121 aaaap ?, 4524122 aaap ?,
12a
32a
23a
43a
24a
34a
44a
25a
45a
1y
2y
2y
3y 4y 5
y
2-3-4.系统信号流图的绘制
2.由结构图绘制
要注意信号流图表示的节点变量与结构图中比
较点结果的关系。
1.由微分方程绘制
t r a n s f o r mL a p l a c e微分方程 信号流图
2-3-5.Mason公式
一些简单的
信号流图代
数关系：
1.总和：
1y
2y
3y 4y
5y
6y
7y
ab
c de
f
53217 eycybyayy ????
1y
2y 3ya b 1y ab 3y
2.串联：
3.并联：
4.反馈：
)(sG )(sR )()(1
)( sGsH sG?
)(sC)(sH?)(sR
)(sE )(sC
)(sR )(1
)( sbsa?
)(sC)(sb?)(sR
)(sC)(sa
1y
2ya
1y
cba ??bc
2y 2y
5.等效变换：
1y
ab
3y1y
a
2y
b
c
3y cd
bdac
2y消去d
k
n
k
kpP ??? ?
? 1
1
6,Mason公式：
其中,P —总增益； n—前向通路数；
kp —第 k 条前向通路增益；
? —信号流图的特征式；
? ?? ?????? ?fedcba LLLLLL1
k?
—第 k 条前向通路的特征余子式，是特征式中
与第 k 条通路不接触的部分。
例 1,3G
3H
R
1H
1G 2G
2H
C?
?
?
解：
3H?
R
1?
3G C
1G
2G
1H?
2H
前向通路两条,322211 GGpGGp ??,
回路三条：
3232212121 HHLHGGLHGL ??????,，
k
n
k
kpP ??? ?
? 1
1
不接触回路：
32123113 HHHGLLL ??
3H?
R
1?
3G C
1G
2G
1H?
2H
k
n
k
kpP ??? ?
? 1
1
321232321121 HHHGHHHGGHG ??????? 3221 1 HH?????
32123232112
322321
1
)1)((
)(
)(
HHHGHHHGGHG
HHGGGG
sR
sC
????
????
)(
)(
sR
sE
例 2.对于 p60 例 2-20，求
R CG
1 G2 G3
G4
H2H
1
－ － －
E
11 ?p解：前向通路一条：
G4
回路五条：
1211 HGGL ?? 2322 HGGL ??，
244 HGL ??3213 GGGL ??,, 415 GGL ??
无互不接触回
路，故有：
k
n
k
kpP ??? ?
? 1
1
41243212321211 GGHGGGGHGGHGG ???????
R CG
1 G2 G3
G4
H2H
1
－ － －
E
R CG1 G2 G3
-H2-H
1
-1
E
242321 1 HGHGG ????
?
??? 1
)(
)(
sR
sE)(sE
若图中改为：
便是另一种情况，后面的变量对 E不影响，此时,1
)(
)( ?
sR
sE
back
2-3-6.闭环系统的传递函数
表明闭环
)()(1
)()(
sHsG
sGs
???
)(s? )(sG )()(1 sHsG?
)()(1 ?? jHjG? ?
1.闭环对总增益的作用：
非闭环 除以
从频率的观点来看,的函数，是
另一些频段闭环可以增大增益。
因此，在有些频段内，闭环可以减少增益、在
1)()( ??sHsG2.特别的，若
所以要注意：反馈是一把双刃剑。
，则系统不稳定，
若在环外再加一外环，可使 1)()( ??sHsG
使系统稳定：
条件变化
R
HGF
C? ?
)()()()(1
)(
)(
)(
sFsGsHsG
sG
sR
sC
???
3.闭环对 的敏感度作用：)(sG
优良系统应对元气件参数受环境温度、湿度、及老化
影响的敏感度小。
假定原 )(sG 有变化，
的敏感度定义为：
系统闭环增益 )(sG)(s? 对
???
???
?
????? G
GGGS G /
/
式中,?? 表示 G 变化引起闭环增益的变化,???
GG?
和
分别表示这种变化的相对量（百分比）。
???
???? G
GS G GH
GH
G
G
GH ?
?
?
?
?
?
1
1
1
)1(
1
2
显然 1?G
GS
，在系统稳定的条件下，增加 GH?1,
可使 ?GS 减至很小。
4,闭环可减少小时间常数，使系统响应加快。
1?Ts
K
?1?TsK
1*
*
?sT
KKKK ?? 1*
K
TT
?? 1*
其中：
1
1
1
1
1
1
1)(
?
?
??
??
?
?
?
???
s
k
T
k
K
KTs
K
Ts
K
Ts
K
s
5,闭环可抑制干扰 R
1G 2G
H
C? )(sN
)()(1)()()( 1)()(1)(
1
sRsHsNsHsGsRsHsC ???
)(1)(1)(
21
2
21
21 sN
HGG
GsR
HGG
GGsC
????
若满足 1|)()(| 1|)()()(| 121 ???? sHsGsHsGsG,则有：
? 2-1.控制系统的时域数学模型
? 2-2.控制系统的复域数学模型
? 2-3.控制系统的结构图与信号流图
2-1.控制系统时域数学模型
? 2-1-1.线性元件的微分方程
? 2-1-2.控制系统微分方程的建立
? 2-1-3.线性系统的特性
? 2-1-4.线性定常微分方程的建立
? 2-1-5.非线性微分方程的线性化
? 2-1-6.运动的模态
2-1-1.线性元件的微分方程
例 1.p20 如左图
解：
L R
)(0 tu)(tui )(ti
例 2.p21
SM 负载
?
? ?
?
? ?
aL aR
fi
au a
Eai m
?
mm fJ,
)()()(
)(
)()(:
),(
)(
)(
)(
)(),(
tMtMtf
dt
td
J
CtiCtM
CtCE
EtiR
dt
tdi
Ltu
ttu
cmmm
m
m
mamm
emea
aaa
a
aa
ma
???
?
?
???
??
?
?
?
?
转矩平衡：
是转矩系数电磁转矩
是反电动势系数。
电枢回路：
输出输入
转动力矩解：电
)()(
)/(
)/(
)(
)62()()()(
)(
)52()(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
),(,),(
2
1
1
2
2
tutC
JR
CCfRRK
CCfRCK
CCfRJRT
tMKtuKt
dt
td
T
L
tMR
dt
tdM
LtuC
tCCfR
dt
td
JRfL
dt
td
JL
tMEti
ame
ma
emmaa
emmam
emmamam
caam
m
m
a
ca
c
aam
memma
m
mama
m
ma
maa
?
??
??
??
????
????
????
?
?
?
?
??
测速电机：
，进一步简化为都做得很小，也可忽略，若
机电常数其中：
：较小，忽略，可简化为
可得：及上式中，消去
，输出
解：
移这一基本概念。是相对于平衡位置的位引出
如何处理，所重力讨论：质量块
)(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)()(
)()()(
)(
2
2
2
1
212
2
tx
mgm
tFtKx
dt
tdx
f
dt
txd
m
td
tdx
ftF
tKxtF
tFtFtF
dt
txd
m
????
?
?
???
)(tF )(txP22例 3：输入例,输入
2-1-2.控制系统微分方程的建立
1.各环节，元件分别罗列
2.组合、消去中间变量
3.信号传输的单向性、负载效应
作业：仔细阅读教材 p23-p25之例 。
注意点,
2-1-3.线性系统的特性
线性系统的齐次性和叠加性：
u yH(u) y=H(u)
H(ku)=kH(u) 则称系统
具有齐次性。
齐次性：若系统满足
叠加性：若系统满足 H(u1+u2)=H(u1)+H(u2)
则称系统具有叠加性。
同时满足齐次性和叠加性的系统称线性系统。
系统满足齐次性而不满足叠加性的例子：
设有一单变量系统对所有的 t
其输入输出关系为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
0)1(0
0)1(
)1(
)(
)(
2
tu
tu
tu
tu
ty
当
当
但并不满足叠加性。
容易证明该系统满足齐次性，
如设,u1=1(t),u2=1(t+1)
则,y1=y ( u1 ) =1(t-1),y2= y (u2) =1(t)
显然,y3 不等于 y1+ y2,证毕。
而,y3= y ( u1 +u2) =4x1(t)- 3x1(t-1),
但叠加性几乎可以隐含齐次性，（在工程中，
若系统具有连续特性，则意味作叠加性就隐含
作齐次性）。
2-1-4.线性定常微分方程的建立
拉氏变换法
例 4 ( p25 例 2-6)，方程为：
)()()()( 0020
2
tutudt tduRCdt tudLC i???
已知
)0( 0)0( v1)(1.0)0(
1.0)(111 00
?????
????? ?
tuttuAi
vtuRFCHL
ii
t
，当，
，，，
)()]([ sFtfL ?
解：由拉氏变换的微分定理：
若 则有：
)0(')0()()]([
)0()()]('[
2 fsfsFstfL
fssFtfL
?????
??
故有：,1)(12.01.0)(11)( 220 ssuss ssusssu ii ??? ?????
又有：
?? dttiCtu )(1)(0 )(
1)(0 ti
Cdt
tdu ?即：
)()(1.0)(1.0111.0)( 0002 susussussus i????????
对方程两边取拉氏变换，将参数代入，可得：
)30866.0s i n (2.0
)120866.0s i n (15.11
]
1
2.01.0
)1(
1
[)]([)(
05.0
05.0
22
1
0
1
0
??
???
??
?
?
??
??
?
?
??
te
te
ss
s
sss
LsuLsu
t
t
若输入,则 )()(u i tt ??
)30866.0s i n (2.0866.0s i n15.1
]
1
2.01.0
)1(
1
[)(
05.05.0
22
1
0
???
??
?
?
??
?
??
?
tete
ss
s
sss
Ltu
tt
零状态响应 ——取决于输入；
零输入响应 ——取决于初始条件；
再由拉氏变换的初值定理,)()( limlim
0
ssFtf
tt ???
?
和拉氏变换的终值定理,)()( limlim
0
ssFtf
st ???
?
可得,vssuuu
st
1.0)()0()0( 00
00 limlim
???
???
vssutuu
st
1)()()( 0
00 limlim
????
????
由此拉氏变换解微分方程的步骤,
?（ 1） 对微分方程取拉氏变换；
?（ 2） 解以 S为变量的代数方程，
求输出量的拉氏变换；
?（ 3） 求输出量的拉氏变换表达式
反变换。
2-1-5.非线性微分方程的线性化
? 实际的元件严格上均为非线性的，但是，
在工作点附近，小范围内大都可以近似的
用线性关系来表示 ——线性化。
? 如图：
0x
0)( xdx
df
0
0y
)( xfy ?A
，取平衡状态 A为工作点，)( 00 xfy ?
xKyK
dx
xdf
xx
dx
xdf
xfxfyy
xxx
x
x
????
?????
???
?
?
)(
)(
)(
)()(
0
0000
0
0
0
，则有令
很小时，略去高次项：当
??????????
?
???????
??
2
00000
00
)()(
!2
1
)()()(
)(
,
)(
00
xxxfxxxfxf
xfy
Ta y l o ryx
xfyyyyxxx
xx
展开式）连续可微，则有（
在，设时，当
将坐标原点移至 (x0,y0)，则有 y=Kx；
同理对于两个自变量 x1,x2的非线性函数，
可在工作点附近作类似的展开，得：
2211 xKxKy ??
20102010,
2
2,
1
1 xxxx x
fK
x
fK
?
??
?
?? ；其中
要点：
? 平衡点附近线性化 ——抓住主要矛盾；
? 小偏差 ——适用范围。
2-1-6.运动的模态
? 若 n 阶微分方程的特征根是 n??? ?21,
ttt neee ??? ?21,
，且无
重根，则把函数 称为微分方程的
模态，振型；
? 每一种模态代表着一种类型的运动，齐次微分
方程的通解是它们的线性组合：
tntt neCeCeCty ??? ???? ?21 210 )(
其中,iC是由初始条件决定的常数。
? 齐次方程去拉氏变换后，变为代数方程，该
方程也称其为特征方程。（零初始条件）
? n 次代数方程有 n个根，实系数代数方程的根
是实数或成对的共轭复数。
? 特征方程的根称微分方程的特征根。
? 若有重根 ?ttt iii ettee ??? 2,,
i?
则模态有
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
??
tjtetjte
j
ee
t
j
ee
t
tjtj
tjtjtjtj
????
??
??
????
s i nc oss i nc os
2
c os
2
s i n
，
，
? 若有共轭复根 ??? j??,则模态为：
tje )( ?? ? tje )( ?? ?和 用欧拉公式：
可化为实函数模态 tete tt ?? ?? c o ssi n 与back
2-2.控制系统的复数域模型
? 2-2-1.传递函数的定义和性质
? 2-2-2.传递函数的零点和极点
? 2-2-3.传递函数的零点和极点对输出的
影响
? 2-2-4.典型元部件的传递函数
2-2-1.传递函数的定义和性质
1.定义：
? 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条
件下，系统输出量的拉氏变换与输入的拉氏
变换之比。记为,G (s)
)()()()(
)()()()(
11
1
10
11
1
10
trbtr
dt
d
btr
dt
d
btr
dt
d
b
tcatc
dt
d
atc
dt
d
atc
dt
d
a
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
?????
????
??
?
??
?
?
?
? 若系统的微分方程描述为：
在零初始条件下取 Laplace 变换：
)()(
)()(
1
1
10
1
1
10
sRbsbsbsb
sCasasasa
mm
mm
nn
nn
?????
????
?
?
?
?
?
?
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sCsG
????
??????
?
?
?
?
1
1
10
1
1
10
)(
)()(
?
?所以：
)()()()( 0020
2
tutudt tudRCdt tudLC i???例如：
1
1
)(
)()(
2
0
???? R C sLC ssU
sUsG
i
则有：
2,传递函数的性质
1） 是复变量 S的有理真分式。 ? ?nm ?)(sG
)(sG2）
它反映输入量与输出量的关系。
仅取决于线性系统本身的结构与参数
，
3）传递函数可由微分方程用 S算子取代
反之，也可由传递函数求得微分方程。
dt
d
微分
算子经整理而得。
4）传递函数是系统单位脉冲响应的 Laplace变换。
t r a n s f o r mL a p l a c e
r(t) c(t)System
R(s) C(s)G(S)
)(tg 为系统单位脉冲作用下的系统输出：定义
时，系统的输出 c(t)称为)()( ttr ??当 )(tg
)]([)]()([)]([)()( 111 sGLsRsGLsCLtgtc ??? ????
此时,1)]([)]([ ?? tLtrL ?所以：
)()()()( sGsRsGsC ??
拉氏变换的一个重要性质：
)()()( )()( )(
)()()()()(
)()]([)()]([
2121
0
212
0
1
2211
tftftftftftf
dftftfftf
sFtfLsFtfL
t
t
??
????
??
??
的卷积，记为：，为
，若
?????
)()()]()([)]([)( 2121 sFsFtftfLtfLsF ????
卷积的拉氏变换等于卷积两函数拉氏变换的乘积。
由时不变性和线性，输入 可分解为下图：)(tr
? ?
)(tr
tt?0
可分解为各个窄脉冲之和。若分别作用于
系统，每个窄脉冲的响应为：
)(tr
)(])([ tntgttnr ????? ttnr ??? )( 为窄脉冲强度。，
??????? tntn,,0令 则有：
)()()( 0 ??? dtgrtc t ?? ? )()()( sRsGsC ?因而：
利用卷积定理，将积分运算化为乘法运算。
。和求
已知例
)( )(/)(
)()()(
)(
,92 21
tsUs
tMKtuKt
dt
td
T
mam
cam
m
m
?
?
?
?
????
1)(
)()(0)( 1
1 ??
???
sT
K
sU
ssGtM
ma
m
c 得：解：令
1
)( 0)()(/)( 2
?
????
sT
KsGtusMs
m
acm 得，令求
? ?
)()(
)()()]()([
)](
1
)(
1
[)]([)(
21
2
1
1
1
2111
tt
sMsGLsUsGL
sM
sT
K
sU
sT
K
LsLt
ca
c
m
a
m
mm
??
?
??
??
?
?
?
????
??
??
2-2-2.传递函数的零点和极点
??
??
?
?
)12()1)(1(
)12()1)(1(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)())((
)())((
)(
22
21
22
21
*
1
1*
210
210
????
????
?
?
?
?
???
???
?
?
?
jijn
iiim
j
i
n
j
m
i
n
m
TsTsTsTa
sssb
sG
sG
sGK
sGp
sGz
ps
zs
K
pspspsa
zszszsb
sG
?
?????
表为：若将
的根轨迹增益。称
的极点称
的零点称
称时间常数。
的开环增益。称则
,
)(
)(
)(
1
1*
ji
n
j
m
i
m
m
T
sG
p
z
K
a
b
K
?
?
?
?
?
??
2-2-3.传递函数的极点和零点对输出的影响
? 传递函数的极点 ——系统微分方程的特征根
决定了系统的模态。
)2)(1(
25.1)(
2 ??
??
ss
ssG
)2)(1(
24)(
1 ??
??
ss
ssG
? 从下例可见：
? 传递函数的零点、极点和增益共同确定每一
项（指数项、指数振荡项、常数项）的系数
大小。
其极点都是 -1,-2而零点不同：
的零点是 -0.5,的零点是 -1.33
在单位阶跃输入下：
其输出模态完全相同，但其响应形状是不同的
p34图 2-9。
)(1 sG )(2 sG
tt
ee
ss
s
LtC
21
1
321]
)2)(1(
24
[)(
???
???
??
?
?
tt ee
ss
sLtC 21
2 5.05.01])2)(1(
25.1[)( ??? ???
??
??
2-2-4.典型元部件的传递函数
? 电位器：
若有负载影响，则分析较为复杂。
? 测速发电机：
1)(
)()( K
s
sUsG ?
???
sK
s
sU
sG
K
s
sU
sG
t
t
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
)(
)(
)(
或
? 电枢控制直流伺服电动机：
? 两相伺服电机：
1)(
)(
)(
)1()(
)(
)(
1)(
)(
)(
2
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sT
K
sM
s
sG
sTs
K
sU
s
sG
sT
K
sU
s
sG
mc
m
ma
m
ma
m；
1
1
)(
)(
)(
)1()(
)(
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
sTsU
s
sG
sTs
K
sU
s
sG
ma
m
m
m
a
m
? 无源网络：利用电路中的复阻抗
? 单容水槽：
? 电加热炉：
? 有纯延时的单容水槽：
? 双容水槽：
1)(
)()(
???
??
Ts
K
sU
sHsG
1)(
)()(
???
??
Ts
K
sU
sTsG
se
Ts
K
sU
sHsG
1)(
)()( ??
???
??
1)()(
)()(
21
2
21
2
???
?
?
??
sTTsTT
K
sU
sHsG
2-3.控制系统的结构图与信号流图
? 2-3-1.系统结构图的组成与绘制
? 2-3-2.结构图的等效变换与简化
? 2-3-3.信号流图的组成及性质
? 2-3-4.信号流图的绘制
? 2-3-5.Mason公式
? 2-3-6.闭环系统的传递函数
back
2-3-1.系统结构图的组成与绘制
定义：控制系统的结构图和信号流图都是
描述系统各元件之间信号传递关系的数学
图形。
信号线
?比较点
引出点
)(sG)(tr )(sR )(sC )(tc方框
结构图的四种基本单元：
例 2-12.绘制结构图
1i 1R )(
0 tu)(tui 2R
2i ci
back
1R1
1
R CS 2R)(sUi
)(0 sU
)(1 sI )(2 sI )(sI )(0 sU
-
因而可以画出如下的结构图：
)()()( 011 sURsIsU i ??
)()()( 21 sIsIsI ??
20 )()( RsIsU ?
112 )(
1)( RsI
CssI ?
1
01 )()()( RsUsUsI i ??即
2-3-2.结构图的等效变换与简化
1.串联
)()( 21 sGsG)(1 sG )(2 sG)(sR )(sU )(sC )(sR )(sC
)()( 21 sGsG ?)(sR )(sC)(1 sG
)(2 sG
)(sR )(sC?
2.并联
3.反馈
)()()()()()(
)]()()()[()(
sRsGsCsHsGsC
sCsHsRsGsC
??
???
即
讨论负反馈，有,)()()( sGsEsC ?
)()()( sGsHsB ? )()()( sBsRsE ??,
)()()(1 )()(/)( ssHsG sGsRsC ????? —闭环传递函数
)(sG —前向传递函数，若 H(S)=1，称系统为单位反馈。
)(sG
)(sH
)(sR )(sC? )()(1 )( sHsG sG?)(sR )(sC
)(sB
)(sE
4.比较点与引出点的移动
总原则：保持等效性，注意以下要点：
比较点与引出点不宜交换；
“－”号可依沿信号线越过方框，但不可
越过比较点和引出点；
讨论 p49 表 2－ 1。
例：求下列系统的传递函数 )(/)( sRsC
3G
3H
R
1H
1G 2G
2H
C?
?
解：先处理反馈回路中的小闭环
).1
32
2
1 HH
H
?
1H
3G C
1G 2GR ?
32
21
1 HH
HG
?
3GR
1H
1G 2G
C?).2
)()()()()()()()()()()(1
)]()(1)][()()[(
)(
)(
22132121232
32312
sHsGsGsHsHsHsGsHsGsHsH
sHsHsGsGsG
sR
sC
????
???
R
31 GG? 2G
C?
32
21
1 1 HHHGH ??
).3
例 2-14先看教材 p50 解法，若无特殊要求可做如
下变换：
1G
1
1
G
2G 3G 4G
2H
1H
2
1
G 3H
4
1
G
1
1
G
R C?
4321 GGGG
41
2
21
3
1 GG
H
GG
HH ??R C?
23234314321
4321
1)(
)()(
HGGHGGHGGGG
GGGG
sR
sCs
???????
同理：将引出点全移至 G3 与 G4,相加点移
至点 G2 G3 之间也较简便。
p51例 2-15较好地解决了相加点与引出点交错
的问题，关键是朝环外方向移动。
注意图中的不规范表达方式：
1、相加点出来的两个结果；
2,H(s)环节是反馈（两个分别的反馈）公用。
back
讨论 p52 例 2-16，请课后仔细阅读。
)(sR
)(1 sG ? )(3 sG
)(2 sG
?
)(4 sG
)(sH )(5 sG
)(sC
2-3-3.信号流图的组成及性质
信号流图是由 S.J.Mason 提出的表示线性
系统变量的因果关系的图示法，一般可视
为结构的一种简化，但它不象结构图可表
达非线性关系那样随便。
例如：下图表示了一组代数线性关系,
12a
32a
23a
43a
24a
34a
44a
25a
45a
1y
2y
2y
3y 4y 5
y
4452255
4443342244
4432233
3321122
yayay
yayayay
yayay
yayay
??
???
??
??
○ 节点，表示变量
信号流图的基本元素,
支路，表示因果关系
??? 1122 yay 2
12
1
1 y
ay ?，但它并不包含信息：
注意支路的单向性：若 12a1y 2y 表示：
12a
32a
23a
43a
24
34a
44a
25a
45a
1y
2y
2y
3y 4y 5
y
几个定义：
4.前向通路：始于源节点终于阱节点的经过
每一节点不超过一次的支路集合。
(y1到 y5有三条前向通路, )
1.源节点 (输入节点 )：只有输出支路 (如 y1)；
2.阱节点 (输出节点 ),只有输入支路 (如 y5)；
3.混合节点：非源非阱节点 ( 如 y2,y3,y4)
混合节点也可以作为阱节点加以讨论 (如 y2 )
12a
32a
23a
43a
24a
34a
44a
25a
45a
1y
2y
2y
3y 4y 5
y
5.回路：起始于同一节点经每一其它节点不超
过一次的支路集合。
44432231 aLaaL ??,
y1到 y5三条前向通路：
b ck
6.不接触回路：互相无公共节点的回路。如：
25123 aap ?453423121 aaaap ?, 4524122 aaap ?,
12a
32a
23a
43a
24a
34a
44a
25a
45a
1y
2y
2y
3y 4y 5
y
2-3-4.系统信号流图的绘制
2.由结构图绘制
要注意信号流图表示的节点变量与结构图中比
较点结果的关系。
1.由微分方程绘制
t r a n s f o r mL a p l a c e微分方程 信号流图
2-3-5.Mason公式
一些简单的
信号流图代
数关系：
1.总和：
1y
2y
3y 4y
5y
6y
7y
ab
c de
f
53217 eycybyayy ????
1y
2y 3ya b 1y ab 3y
2.串联：
3.并联：
4.反馈：
)(sG )(sR )()(1
)( sGsH sG?
)(sC)(sH?)(sR
)(sE )(sC
)(sR )(1
)( sbsa?
)(sC)(sb?)(sR
)(sC)(sa
1y
2ya
1y
cba ??bc
2y 2y
5.等效变换：
1y
ab
3y1y
a
2y
b
c
3y cd
bdac
2y消去d
k
n
k
kpP ??? ?
? 1
1
6,Mason公式：
其中,P —总增益； n—前向通路数；
kp —第 k 条前向通路增益；
? —信号流图的特征式；
? ?? ?????? ?fedcba LLLLLL1
k?
—第 k 条前向通路的特征余子式，是特征式中
与第 k 条通路不接触的部分。
例 1,3G
3H
R
1H
1G 2G
2H
C?
?
?
解：
3H?
R
1?
3G C
1G
2G
1H?
2H
前向通路两条,322211 GGpGGp ??,
回路三条：
3232212121 HHLHGGLHGL ??????,，
k
n
k
kpP ??? ?
? 1
1
不接触回路：
32123113 HHHGLLL ??
3H?
R
1?
3G C
1G
2G
1H?
2H
k
n
k
kpP ??? ?
? 1
1
321232321121 HHHGHHHGGHG ??????? 3221 1 HH?????
32123232112
322321
1
)1)((
)(
)(
HHHGHHHGGHG
HHGGGG
sR
sC
????
????
)(
)(
sR
sE
例 2.对于 p60 例 2-20，求
R CG
1 G2 G3
G4
H2H
1
－ － －
E
11 ?p解：前向通路一条：
G4
回路五条：
1211 HGGL ?? 2322 HGGL ??，
244 HGL ??3213 GGGL ??,, 415 GGL ??
无互不接触回
路，故有：
k
n
k
kpP ??? ?
? 1
1
41243212321211 GGHGGGGHGGHGG ???????
R CG
1 G2 G3
G4
H2H
1
－ － －
E
R CG1 G2 G3
-H2-H
1
-1
E
242321 1 HGHGG ????
?
??? 1
)(
)(
sR
sE)(sE
若图中改为：
便是另一种情况，后面的变量对 E不影响，此时,1
)(
)( ?
sR
sE
back
2-3-6.闭环系统的传递函数
表明闭环
)()(1
)()(
sHsG
sGs
???
)(s? )(sG )()(1 sHsG?
)()(1 ?? jHjG? ?
1.闭环对总增益的作用：
非闭环 除以
从频率的观点来看,的函数，是
另一些频段闭环可以增大增益。
因此，在有些频段内，闭环可以减少增益、在
1)()( ??sHsG2.特别的，若
所以要注意：反馈是一把双刃剑。
，则系统不稳定，
若在环外再加一外环，可使 1)()( ??sHsG
使系统稳定：
条件变化
R
HGF
C? ?
)()()()(1
)(
)(
)(
sFsGsHsG
sG
sR
sC
???
3.闭环对 的敏感度作用：)(sG
优良系统应对元气件参数受环境温度、湿度、及老化
影响的敏感度小。
假定原 )(sG 有变化，
的敏感度定义为：
系统闭环增益 )(sG)(s? 对
???
???
?
????? G
GGGS G /
/
式中,?? 表示 G 变化引起闭环增益的变化,???
GG?
和
分别表示这种变化的相对量（百分比）。
???
???? G
GS G GH
GH
G
G
GH ?
?
?
?
?
?
1
1
1
)1(
1
2
显然 1?G
GS
，在系统稳定的条件下，增加 GH?1,
可使 ?GS 减至很小。
4,闭环可减少小时间常数，使系统响应加快。
1?Ts
K
?1?TsK
1*
*
?sT
KKKK ?? 1*
K
TT
?? 1*
其中：
1
1
1
1
1
1
1)(
?
?
??
??
?
?
?
???
s
k
T
k
K
KTs
K
Ts
K
Ts
K
s
5,闭环可抑制干扰 R
1G 2G
H
C? )(sN
)()(1)()()( 1)()(1)(
1
sRsHsNsHsGsRsHsC ???
)(1)(1)(
21
2
21
21 sN
HGG
GsR
HGG
GGsC
????
若满足 1|)()(| 1|)()()(| 121 ???? sHsGsHsGsG,则有：
