系统的数学模型是实际系统的一种数学
抽象，它用数学表达式描述控制系统输入、
输出变量以及内部各变量之间的关系及其运
动规律。
第2章
控制系统的数学模型线性系统数学模型的各参数只与系统的固有特性有关，而与系统的输入和输出无关。
线性系统的数学模型本章要解决的问题：
1、如何建立控制系统的微分方程？
2、如何建立非线性控制系统的小信号模型？
3、传递函数是如何定义的？它有什么性质？
4、什么是控制系统的结构图？如何通过化简结构图获得系统的传递函数？
2.1 线性系统微分方程的建立线性系统微分方程的建立例 2.1.1 试列写图中所示RLC 无源网络的
微分方程。
然后列写原始方程式,
根据基尔霍夫定理，可列出以下关系式：
解：首先确定输入、输出变量：
输入为 u
i
(t)，输出为 u
0
(t)
() 1
() () ()
i
di t
u t L Rit itdt
dt C
=++
∫
1
() ()
o
ut itdt
C
=
∫
消去中间变量
，整理得：
写成标准化形式：
令
，得：
该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。
()it
2
2
() ()
() ()
oo
oi
du t du t
LC RC u t u t
dt dt
++=
12
,
L
TTRC
R
==
2
00
12 2 0
2
() ()
() ()
i
du t du t
TT T u t u t
dt dt
++=
解析法建立系统微分方程的一般步骤：
解析法建立系统微分方程的一般步骤：
（1 ） 确定系统的输入、输出变量 ；
（ 2）根据变量运动规律，并考虑适当简化和线
性化，列写变量运动方程组;
（3 ）
由变量运动方程组消去中间变量，最后得
出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；
（4 ）写成标准化形式。
例 2.1.2 图示为一个弹簧- 质
量 -阻尼器表示的机械位移
系统，它可以等效某些作位
移运动或圆周运动的控制对
象。当外力 F(t)作用于系统
时，系统将产生运动。试列
写外力 F(t)与位移 y(t)之间的
微分方程。
弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力 F
1
(t)和粘
性摩擦阻力F
2
(t)，根据牛顿第二定律有,
2
2
21
)(
)()()(
dt
tyd
mttt =++ FFF
)()(
1
tkyt?=F
dt
tdy
ft
)(
)(
2
=F
其中式中
k —— 弹簧系数
f —— 阻尼系数解,1、输入输出变量：输入为 F(t),输出为y (t)
2、列写变量运动方程组：
3、消去中间变量F
1
(t)和 F
2
(t),整理得：
2
2
1
++=
m d y( t ) f dy( t )
y( t ) ( t )
kdt kdt k
F
4、标准化令：
称为时间常数；
称为阻尼比；
称为放大系数。
kmT /=
)2/( mkf=ζ
kK /1=
)()(
)(
2
)(
2
2
2
tKty
dt
tdy
T
dt
tyd
T F=++ ζ
得：
例 2.1.3 电枢控制的它激直流电动机如图所示，
电枢输入电压 u
a
(t)，电动机输出转角为
。
R
a
,L
a
,i
a
(t)分别为电枢电路的电阻、电感和电
流,i
f
为恒定激磁电流，e
b
为反电势，列写转速
与电枢电压之间的微分方程。
()tθ
解,1、输入输出变量：输入为 u
a
(t),输出为
2、列写变量运动方程组：
电枢回路电压平衡方程为
()
() ()
a
aaaa a
di t
ut Rit L e
dt
=+ +
()
ae
dt
ec
dt
θ
=
c
e
为电动机的反电势系数力矩平衡方程为：
2
2
() ()
DL
dt dt
M JfM
dt dt
θθ
=++
()tω
()tω
()
DMa
M ci t=
式中
为电动机电枢的转动惯量 ;
J
f 为电动机轴上的粘性摩擦系数；
M
L
为负载力矩；
为电动机的力矩系数。
M
c
3、消去中间变量
、
和M
D，
整理得,
()
a
it
a
e
32
() () ()
()( )
aaa aeM
dt dt dt
JL L f JR fR c c
dt dt dt
θ θθ
++ ++
()
L
Ma a L a
dM
cu t RM L
dt
=
dt
td )(θ
ω =
Me
a
f
cc
fR
K = —无量纲放大系数
4、标准化：
电机转速
，则方程变为：
2
2
()( )
( )
aaa aeM
L
Ma a L a
dd
JL L f JR fR c c
dt dt
dM
cu t RM L
dt
ωω
ω++ ++
=
令：
——电机传递系数。
Me
a
M
cc
JR
T =
Me
a
f
cc
fL
T =
1
e
e
K
c
=
——机电时间常数
—— 时间常数
——电磁时间常数
a
e
a
L
T
R
=
a
m
eM
R
K
cc
= ——转矩传递系数则：
实际系统中，由于电动机轴上的粘性摩擦系数
很小，参数
和
相对很小，因此，
方程可近似为,
2
2
()(1) ()( )
L
eM M f f ea m L e
dd dM
TT T T K Ku t K M +T
dt dt dt
ωω
ω++ ++=?
f
f
T
f
K
2
2
() ( )
L
eM M ea m L e
dd dM
TT T K u t K M +T
dt dt dt
ωω
ω++=?
例 2.1.4 如图所示的水加热系统中，设槽内水温
是均匀的（经过搅拌），求水的出口温度
与
单位时间内加热器供给的热量
之间的微分方
程。
()tθ
()Ht
(t)θ
解,1、输入输出变量：输入为 H(t),输出为
。
2、列写变量运动方程组：
设水的比热c,流量 F，槽内水的质量M,进入水槽的水温
为恒值，则 dt时间内进入水槽的热量和离开水槽的热量分别为：
0
θ
10
()dQ H t dt cF dtθ= +
2
()dQ cF t dtθ=
水槽内增加的热量为：
312
dQ dQ dQ cMdθ=?=
0
()
(() ) ()
dt
cM cF t H t
dt
θ
θθ+?=
3、消去中间变量
，
和
,整理得,
2
dQ
3
dQ
1
dQ
4、标准化：
令温差：
10
() ()ttθ θθ=?
1
()() dtdt
dt dt
θθ
=
则：
1
1
()
() ()
dt
cM cF t H t
dt
θ
θ+=
这是以温差为输出变量的微分方程。
一般情况下，描述线性定常系统输入与
输出关系的微分方程为,
)(
)()()(
)(
)()()(
1
1
1
10
1
1
1
10
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt
trd
b
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
++++=
++++
"
"
或
∑∑
=
=
=
m
j
jm
jm
j
n
i
in
in
i
dt
trd
b
dt
tcd
a
00
)()(
非线性函数关系分为两类，一类函数的函
数值及其各阶导数值在输入信号的工作范围内
都是连续的，称之为光滑函数。另一类则不是
如此，称之为不光滑函数。不光滑函数不可能
用线性函数近似代替，即不能进行线性化处
理，只能用非线性系统的研究方法进行研究。
2.2
2.2
非线性系统的小信号线性化非线性系统的小信号线性化模型模型
光滑函数在一个小范围内可以用一个线
性函数近似代替，具体方法是：
将非线性函数在工作点附近展开成泰勒
级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近
似的线性化方程，来替代原来的非线性函
数。
一、光滑非线性函数的线性化处理方法
00
2
2
00 0
2
1
() ( ) ( ) ( )
2!
xx
df d f
yfx fx xx xx
dx dx
==+?+?+ "
当 (x－ x
0
)为微小增量时，可略去二阶以上
各项，写成
0
00 0
() ( ) ( )
x
df
yfx xx yKxx
dx
=+?=+?
其中
为工作点( x
0
,y
0
)处的切线斜
率，即此时以工作点处的切线代替曲线,得到
变量在工作点附近的线性化增量方程：
0
x
df
K
dx
=
00
() y y-y K x x K xΔ= =? = Δ
例 2.2.1：下图为铁芯线圈的磁通 —电流关系曲
线，两端加电压后，写出铁芯线圈的线性化微
分方程。
解：铁芯线圈两端加电压
后，产生电
流
，考虑到导线电阻
，等效电路如下图
所示。
()ut
()it
R
可得电压平衡方程：
()
() ()
dt
Rit ut
dt
Φ
+=
或写成：
() ()
() ()
()
dtdit
Ri t u t
di t dt
Φ
+=
若工作过程中线圈的电流只在工作点附近变化，
00
(,)iΦ
0
i
d
di
Φ
为磁化曲线在工作点
00
(,)iΦ
的斜率，令处
0
()
i
d
L
di
Φ
≈
，则
()
() ()
dit
LRitut
dt
Δ
+Δ =Δ
()
() ()
di t
LRitut
dt
+=
写成变量形式：
求线性化增量方程时应注意：
1、线性化是在工作点附近进行的，因此，线性化增量方程只在工作点附近可近似表示非线性器件的特性。变量的变化范围越小，
近似程度就越高。
2、线性化增量方程可表示成：
00
() yy Kxx? =?
uKv=
进行坐标变换得：
在工作点附近，增量方程变成了变量方程，
但由于方程中的变量是在工作点附近小范
围内变化的，因此，称方程为非线性元件
在工作点附近的小信号线性化模型。
3、由泰勒级数的条件可知，不是所有的非线性器件都可以用泰勒级数方法进行线性化。
例 2.2.2 包含非线性元件的一阶微分方程为,
()df x
+kx u
dt
=
其中
是
的光滑非线性函数，对方程进
()f x
x
行线性化处理。
二、非线性微分方程的线性化处理方法例 2.2.3 磁场控制直流电动机原理图如图所
示，电枢电压
为常数，输出为角速度
,控
制输入为激磁线圈电压
，求角速度
对激磁
线圈电压
的线性化微分方程。
a
U ω
f
u
ω
f
u
解：根据物理定律列出原始方程式：
1、激磁回路电压平衡方程：
f ff
d
R iu
dt
Ψ
+ =
在工作点附近，可写出线性化增量方程为：
f
ffff
di
LRiu
dt
Δ
+ Δ=Δ
2、电枢回路电压平衡方程：
aa
aaaaaaae a
di di
LRieLRikU
dt dt
ω++= ++Φ=
（2.16 ）
在工作点附近，可写出增量方程为：
00
()0
a
aaae
di
LRik
dt
++ + =
Δ
ΔΔΦωΦΔω
3、转矩平衡方程：
D ma L
d
M ki J M
dt
ω
Φ==+
设
为常量，在工作点附近，可写出增量方程为：
()
m0a a0
d
ki iJ
dt
ω
ΦΦ
Δ
Δ+Δ =
（2.19 ）
（2.22 ）
（2.21 ）
L
M
将
在工作点附近线性化，得：
Φ
0f
i fff
d
i=c i
di
Φ
ΦΔ= Δ Δ
代入（ 2.19）和（ 2.22）式，得线性化增量方程：
00
()0
a
aaaef
di
LRikci
dt
++ + =
Δ
ΔΔωΦΔω
00
()
maffa
d
kici J
dt
+=
Δω
ΦΔ Δ
（2.24 ）
（2.25 ）
用变量代替增量，写出三个平衡方程
（ 2.16）、（ 2.24）和（ 2.25）的变量形式：
f
ffff
di
L Ri u
dt
+=
00
()0
a
aaaef
di
LRikci
dt
ωΦω++ + =
00
()
maffa
d
kici J
dt
ω
Φ +=
（2.26 ）
（2.27 ）
（2.28 ）
联立方程（ 2.26）、（ 2.27）和（ 2.28），
消去中间变量
、
得到输入为
输出为的线性化方程：
f
i
a
i
f
u
ω
其中：
00
2
afa f
MMfM
fe f
Rci c
KKK
Rk R
ω
Φ Φ
==?
f
aa
Mfa
2
me 0 f a
L
JR L
TTT
kk R RΦ
===
32
()( )
Maf M a f M f
ddd
TTT T T T T T
dt dt dt
ωωω
ω++ ++ +
f
M aMff
du
KT K u
dt
=+
非线性微分方程的线性化步骤：
1）按照物理定律列出原始方程式，并确定工
作点处各变量的数值。
2）将非线性函数在工作点处线性化（非线性
函数必须为光滑函数），求出其线性化增量表
达式。
3）将原始方程写成增量方程，将非线性函数
的线性化增量表达式代入，并整理。
4）将增量方程写成变量方程，即为线性化微
分方程，按照线性方程的方法进行处理。
注意：与线性系统的微分方程不同，非线性
系统的线性化微分方程中，变量均为小偏差增
量，即非线性系统的线性化模型是工作点附近
的小信号模型，它用来研究系统在工作点附近
的动态性能，偏离工作点，模型误差就会较
大，甚至不能使用。
例 2.2.4 下图是一个磁场控制的直流电动机转速
自镇定系统，电枢电压
为常数，输出为角速
度
,控制输入为激磁线圈电压
，设定的电
机转速由参考输入电压
给定，并保持不变，
电机的实际转速由测速发电机变换为电压
。
a
U
ω
f
u
r
U
T
u
三、反馈控制系统线性化微分方程的建立建立输入为负载转矩，输出为电机转速的系统
增量微分方程。
解,1）确定稳定状态稳态时，系统平衡，各信号稳态值为：
000000 0
,,,,,,
TffaL
ueuiiMω
2）求小信号微分方程
（ 1）电动机由例 2.2.3可知，磁场控制的直流电动机的运
动方程由（ 2.26）、（ 2.27）、（ 2.28）组成，
f
ffff
di
L Ri u
dt
+=
00
()0
a
aaaef
di
LRikci
dt
ωΦω++ + =
00
()
maffa
d
kici J
dt
ω
Φ +=
（2.26 ）
（2.27 ）
（2.28 ）
由于负载转矩发生了变化，成为变量，由
（ 2.21）可知，转矩小信号方程（ 2.28）应变为：
()
m0a ffa0 L
d
kici J M
dt
ω
Φ +=+
（2.30 ）
(2.21)
Dma L
d
MkiJ M
dt
ω
Φ
==+
联立方程（ 2.26）、（ 2.27）和（ 2.30），
消去中间变量
、
，得：
f
i
a
i
() ( )
32
Maf M a f M f
ddd
TTT T T+T T+T
dt dt dt
ωωω
ω+ ++
()
2
f
ML L
M aMff a f a f L
2
du
TdM dM
KT +K u TT +T+T +M
dt J dt dt
=?
（ 2）误差放大器误差放大器被认为是线性放大，增量方程
和小信号方程为：
fa
u=K eΔΔ
f a
u=Ke
（ 3）测速发电机测速发电机被认为是线性变换，增量方程
和小信号方程为：
TT
u=K ωΔ Δ
TT
u=Kω
（ 4）比较器由于
不变，比较器的增量方程和小信号方程为：
r
U
T
euΔ=?Δ
T
eu=?
3）联立方程，消去中间变量
、
、
。
得到输入为负载转矩，输出为电机转速的
系统小信号微分方程：
f
u
e
T
u
32
()( )(1)
Maf M a f M f T a Ma
dd d
TTT T T T T T KKKT K
dt dt dt
ωω ω
ω++ +++ ++
2
2
()
ML L
af a f L
TdM dM
TT T T M
Jdt dt
=? + + +
()
mf a T
KKKK=
问题 2,非线性系统的小信号线性化模型与线性系统的数学模型有无区别，区别在哪？
课堂提问：
问题 3,是不是所有的非线性系统都可以
线性化？
问题 1,线性系统的数学模型与系统的输
入输出有没有关系？
2.3 传递函数传递函数在零初始条件下，线性定常系统输出量
的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换
之比，定义为线性定常系统的传递函数。
记为：
)(
)(
)(
sR
sC
sG =
传递函数是自动控制原理中使用最多的
系统数学模型形式，它的 定义如下：
已知线性定常系统的微分方程为
)(
)()()(
)(
)()()(
1
1
1
10
1
1
1
10
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt
trd
b
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
++++=
++++
"
"
式中c (t)为输出量，r (t)为输入量 。
设 c(t)和 r(t)及其各阶导数初始值均为零，
对上式取拉氏变换，得,
§ 2.3.1 传递函数的表示形式则系统的传递函数为
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sC
sG
++++
++++
==
1
1
10
1
1
10
)(
)(
)(
"
"
)(
)(
)(
)(
)(
sN
sM
sR
sC
sG ==或写为这是传递函数的多项式表示形式。
)()(
)()(
1
1
10
1
1
10
sRbsbsbsb
sCasasasa
mm
mm
nn
nn
++++=
++++
"
"
求出多项式的根，则传递函数还可表示成,
12
12
()()( )
()
()()()
m
g
n
s zsz sz
Gs K
s psp sp
=
"
"
式中 p
1
,p
2
……p
n
为分母多项式的根，称为
传递函数的极点,z
1
,z
2
,… z
n
为分子多项
式的根，称为传递函数的零点，上式称为传
递函数的零、极点表示形式。
将零极点形式变形，传递函数可表示成另
一种形式：
其中：
上式称为传递函数的时间常数表示形式。
( )( ) ( )
()()()
12
12
11 1
11 1
m
n
ss s
G( s ) K
sTs Ts Ts
υ
υ
ττ τ
±+±+ ±+
=
± +±+ ± +
"
"
12
12
11 1
|| || | |
m
m
z zz
ττ τ= = =
12
12
11 1
|| || ||
n
n
TT T
p pp
==?=
问题：在将微分方程模型转化成传递函数
模型时，如果传递函数的分子和分母上出现同
样的因子，能否将它们消去（称为零、极点抵
消）？
看一个例子：
2
s1 s1
Y(s) U(s) U(s)
(s 1)(3s+1) 3s 4s 1
+ +
==
++
对应的微分方程为：
2
2
dy dy du
34y u
dt dt dt
+ += +
传递函数为：
2
s1
G(s)
3s 4s 1
+
=
+ +
两个传递函数描述的系统显然是不同的。
如果将传递函数的分子和分母上出现的相同因子(s+1) 消去，则
1
Y(s) U(s)
3s+1
=
对应的微分方程为：
dy
3yu
dt
+=
传递函数为：
1
G(s)
3s+1
=
例 2.3.1 例 2.1.3中导出电枢控制它激直流电动机的微分方程为：
求角速度
对电枢电压
的传递函数
和角速度
对负载
的传递函数。
ω ()
a
ut
ω
L
M
2
2
() ( )
L
eM M ea m L e
dd dM
TT T K u t K M +T
dt dt dt
ωω
ω++=?
1
2
()
()
() 1
e
aeMM
Ks
Gs
Us TTs Ts
Ω
==
+ +
根据叠加原理，令
和
单独作用，可得：
()
a
Us ()
L
M s
2
2
() (1
()
() 1
me
LeMM
s K+Ts)
Gs
M sTTsTs
Ω?
==
+ +
解：根据传递函数的定义，在零初始条件
下，对微分方程取拉普拉斯变换，得：
2
() () () () (1 ) ()
eM M e a m e L
TT s s T s s s KU s K Ts M sΩΩΩ++=?+
利用传递函数求系统的输出响应，得到的
是不是系统的完全响应？
思考题：
§ 2.3.2 传递函数与冲激响应
() () ()Cs GsRs=
系统的冲激响应g(t)是输入为单位冲激函数
时，系统的零状态响应。
()tδ
系统输出的拉普拉斯变换为：
当
时，
，于是() ()rt tδ=
() 1Rs=
() ()Cs Gs=
可知，系统的冲激响应g(t)与系统传递函数
G(s)是一个拉普拉斯变换对 。
取反变换，得到冲激响应g(t)为：
11
( ) [ ( )] [ ( )]gt L Cs L Gs
==
§ 2.3.3 传递函数的性质
1,传递函数只适用于线性定常系统 。
2.传递函数表达了系统内在的固有特性，
只与系统的结构、参数有关，而与输入、
输出量无关。
3,传递函数包含着联系输入量与输出量所必
须的单位。
4,传递函数不能表明系统的物理特性和物理
结构。
5,传递函数只用于单输入和单输出 (SISO)系
统 。
6,在没有零、极点对消的情况下,传递函数
的分母多项式就是系统的 特征多项式：
nn
nn
asasasasD ++++=
1
1
10
)( "
D(s)=0称为特征方程。
7,实际系统传递函数的分母多项式的阶次总是
大于或等于分子多项式的阶次,即 n≥ m，
§ 2.3.4 典型环节的传递函数传递函数在复频域描述单输入单输出系
统输出与输入之间的函数关系。最基本的函
数关系有比例、惯性、积分、微分、比例微
分、二阶微分、振荡、延迟。把输出与输入
之间具有这些基本函数关系的环节叫做典型
环节，它们反映的基本函数关系用传递函数
的形式表示。复杂的线性控制系统都是由这
些典型环节组成的 。
1,比例环节比例环节的输出量与输入量成正比，它
反映的基本函数关系为：
K
sR
sC
sG ==
)(
)(
)(
式中 K为常数，称为比例环节的放大系数
或增益。
() ()ct Krt=
输入输出的时域关系为,
2,惯性环节其时域输入输出关系由一个 一阶微分方
程来描述：
)()(
)(
tKrtc
dt
tdc
T =+
惯性环节反映的基本函数关系为：
1)(
)(
)(
+
==
Ts
K
sR
sC
sG
式中
T—— 惯性环节的时间常数
K—— 惯性环节的增益或放大系数当输入为单位阶跃函数时，其响应为（单位
阶跃响应）：
[] )1(
1
1
)()(
1
11
T
eK
sTs
K
LsCLtc
=
+
==
单位阶跃响应曲线：
3,积分环节环节的输出量是输入量的积分，即
dttr
T
tc
t
i
∫
=
0
)(
1
)(
积分环节反映的基本函数关系为：
sTsR
sC
sG
i
1
)(
)(
)( ==
式中 T
i
为积分时间常数。
积分环节的单位阶跃响应为：
t
T
tC
i
1
)( =
4,微分环节理想微分环节的特征是：输出量正比于输
入量的微分，其动态方程为：
dt
tdr
Ttc
d
)(
)( =
它反映的基本函数关系为：
sT
sR
sC
sG
d
==
)(
)(
)(
式中 T
d
称微分时间常数微分环节的单位阶跃响应曲线：
)()( tTtc
d
δ=
5,比例微分环节比例微分环节反映的基本函数关系为：
()
() ( 1)
()
d
Cs
Gs KTs
Rs
= =+
当时：
1K =
()
() 1
()
d
Cs
Gs Ts
Rs
= =+
环节输出量由输入量的微分函数与输入量
的比例函数叠加而成，
()
() ()
d
dr t
ct K T rt
dt
=+
6,二阶微分环节二阶微分环节反映的基本函数关系为：
22
()
() s 2 1
()
Cs
Gs s
Rs
τζτ= =+ +
与比例微分环节比较，它的输出量多了
一项输入量的二阶微分项。
2
2
2
() ()
() 2 ()
drt drt
ct rt
dt dt
τζτ=++
7,振荡环节振荡环节反映的基本函数关系为：
2
n
22 2 2
nn
() 1
()
() 2 1 2
Cs
Gs
Rs Ts Ts s s
ω
ζζωω
== =
+++ +
环节的时域输入输出关系由一个二阶微分方程来描述：
2
2
2
() ()
2()()
dct dct
TTctrt
dt dt
ζ++=
为无阻尼自然振荡角频率，
1
n
T
ω =
为阻尼比。
ζ
时，振荡环节的单位阶跃响应呈现振荡特性。
01ζ<<
8,延迟环节延迟环节在输入信号加入后，输出信号要
延迟一段时间 τ 后才重现输入信号，其动态方
程为：
)()( τ?= trtc
延迟环节反映的基本函数关系是一个超越函数
s
e
sR
sC
sG
τ?
==
)(
)(
)(
延迟环节的单位阶跃响应。
§
§
2.4 系统结构图系统结构图把变量运动方程组反映的系统各变量的关
系用图形表示，这种图形就叫做 系统结构图。
将结构图化简，相当于联立方程组，消去中间
变量的过程，最后可得到系统输入和输出之间
的传递函数。
构成结构图的符号
§ 2.4.1 系统结构图的构建例 2.4.1 下图为一无源RC 网络。选取变量如图
所示，构建系统的结构图。
解：根据电路定律，写出零初始状态下各
变量的复频域运动方程组：
10
1
1
() ()
()
Us Us
Is
R
=
02
2
2
() ()
()
Us Us
Is
R
=
312
() () ()I sIsIs=?
03
1
1
() ()Us Is
Cs
=
22
2
1
() ()Us Is
Cs
=
方程组确定的变量关系用图形表示如下：
把相同的变量连接起来，得到系统结构图如下 。
例 2.4.2 例 2.1.3求出了电枢电压控制直流他励电
动机的变量运动方程组为（忽略摩擦系数）,
()
() () ()
a
aa a a
di t
ut L Rit et
dt
=++
() ()
ae
et c tω=
()
DMa
ci t=M
DL
d
J
dt
ω
=+M M
构建电动机的结构图。
解：在零初始条件下，对等式两边取拉氏变
换,得：
() ( ) () ()
() ()
() ()
() () ()
aaaaa
ae
DMa
DL
Us R LsIs Es
scs
sc s
sJss s
=+ +
=
=
=Ω+
E?
MI
MM
将输入变量写到方程右边，得到中间变量和输出变量的表达式：
() [ () ()]( )
() ()
() ()
() [ () ()]( )
aaaaa
ae
DMa
DL
I sUsEsRLs
scs
sc s
sssJs
=? +
=
=
Ω=?
E?
MI
MM
将同一变量用信号线连接起来，并将输入
U
a
(s)放在左端，输出 Ω (s)放在图形右端，得系
统方框图如图所示。
例 2.4.3 下图是一个角度随动系统，做出系统的方框图。
自动控制系统的结构图解：先建立系统各个部分的结构图 。
（一）电动机（8、12）
例 2.4.2求出了电枢电压控制直流他励电动机的结构图如下（忽略粘性摩擦系数）：
（二）发电机（5、6、7）
发电机的输出电压正比于它的励磁电流，
即
，因此，发电机的结构图如下：() ()
agf
Us kIs=
（三）放大器（4）
发电机激磁回路的电压方程为：
g
k( )
f
I s
()
a
Us
f
f ff f e p
di
uRiL ku
dt
=+ =
可得：
() ()
e
fp
ff
k
I sUs
RLs
=
+
因此，放大器的结构图如下：
（四）电位器组（1、2）
电位器组产生差值电压u
p
，它正比于给
定角度
和目标角度
的差值，即
()
pp
ukψ?=?
ψ?
e
f f
k
RLs+
( )
p
Us ( )
f
Is
() [ () ()]
pp
Us k s s= Ψ?Φ
电位器组的结构图如下：
（五）传动机构（9、10、11）
传动机构将电动机的角速度
变为目标角
度
，它们的关系是：
ω
t
d
k
dt
ω= () ()
t
k
ss
s
Φ=Ω
p
k
( )
p
Us
()sΨ
()sΦ
将上述各个部分的结构图连接起来，得到系统的结构图如下（
代表电动机的结构图）：
()
D
Gs
t
k
s
()sΩ ()sΦ
()sΨ
( )
f
Is
p
k
()
p
Us
e
f f
k
RLs+
g
k
()sΩ
( )
a
Us
()
D
Gs
()sΦ
()sΦ
t
k
s
传动机构的结构图如下：
§2.4.2 方框图的变换和简化方框图的变换和化简应按等效原则进
行。所谓等效，即对方框图的任一部分进行
变换时，变换前、后输入输出总的数学关系
式应保持不变 。
方框图化简有两种类型：
1.串联:
n个环节串联后总的传递函数,
一、环节的合并
12
11
() () () ()
()
() () () ()
n
Cs X s X s Cs
Gs
Rs Rs X s X s
==? "
12
() () ()
n
GsGs Gs= "
例 2.4.4 求图示网络的传递函数，并讨论该网络能否按串联环节计算。
解：用电路分析的方法可解出网络的传递函数为：
3
123 1213
()
()
RLs
Gs
RRRLsRRRR
=
++ + +
该电路如果看成下图所示的两个环节串联，
3
12
23 1213
() () ()
()
RLs
Gs G sG s
R RLs RR RR
==
+++
1
1
sL
G
R sL
=
+
3
2
3
=
+
2
R
G
RR
则
2.并联:
)()()(
)()()(
)()()(
22
11
sRsGsC
sRsGsC
sRsGsC
nn
=
=
=
#
)()()()(
21
sCsCsCsC
n
+++= "
总的传递函数为
)()()(
)(
)()()(
)(
)(
)(
21
21
sGsGsG
sR
sCsCsC
sR
sC
sG
n
n
+++=
+++
==
"
"
3.反馈：
通常把由信号输入点到信号输出点的通
道称为前向通道；把输出信号反馈到输入点
的通道称为反馈通道。
对于负反馈连接，给定信号 r(t)和反馈
信号 b(t)之差，称为偏差信号e (t),即
() () ()et rt bt=?
() () ()E sRsBs=?
将反馈信号 B(s)与偏差信号 E(s)之比，定
义为开环传递函数，即
)()(
)(
)(
sHsG
sE
sB
=
开环传递函数=
输出信号C (s)与偏差信号E (s)之比，称为
前向通道传递函数，即前向通道传递函数=
)(
)(
)(
sG
sE
sC
=
而系统输出信号 C(s)与输入信号 R(s)之比称
为 闭环传递函数，记为 Φ (s)。
)()()()()()(
)()()(
sCsHsRsBsRsE
sEsGsC
=?=
=
得闭环传递函数为,
)()(1
)(
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
s
+
==Φ
对于正反馈连接，则闭环传递函数为
)()(1
)(
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
s
==Φ
即环节反馈连接后，闭环传递函数为：
闭环传递函数=
1±
前向通道传递函数开环传递函数解：根据叠加原理，由方框图可得：
ω
()
a
ut
ω L
M
例 2.4.5 例 2.4.2求出的电枢电压控制直流他励电动机的结构图如下，求角速度
对电枢电压的传递函数和角速度
对负载
的传递
函数。
Me
a
M
cc
JR
T =
1
e
e
K
c
=
a
e
a
L
T
R
=
令：
得：
1
2
()
()
() 1
e
aeMM
Ks
Gs
Us TTs Ts
Ω
==
+ +
2
()
M
aaeM
c
JL s JR s c c
=
++
1
[1 ( )] [1 ( )]()
()
() 1 [1( )] [1( )]
aa M
aaae
RLsc Jss
Gs
Us R Ls cc Js
+ ××Ω
==
++××
求角速度
对负载
的传递函数时，令
，系统结构图如下图所示。
ω
L
M
0
a
U =
2
2
() () (1 )
()
() () 1
me
LLeMM
ssKTs
Gs
M s M s TTs Ts
ΩΩ?+
==? =
++
可求出角速度
对负载
的传递函数为：
ω
L
M
与例 2.3.1的结果相同。
1,引出点前移
() () ()Cs GsRs=
保持
关系不变。
2,引出点后移保持
不变。()R s
二、比较点和引出点的移动
3,比较点前移保持
关系不变。
12
() () () ()Cs R sGs R s= +
4,比较点后移保持
关系不变。
12
() [ () ()] ()Cs R s R s Gs= +
5,比较点交换保持
关系不变。
123
() () () ()Cs R s R s R s= ++
6,引出点互换
2
()Gs
1
()Gs
2
()Gs
1
()Gs
保持引出点信号不变。
注意：比较点和引出点移动的基本原则
是，环路内部的比较点向环路比较点移动，
然后互换比较点；环路内部的引出点向环路
引出点移动，然后互换引出点。
例 2.4.6 化简下图所示系统方框图，并求系统
的传递函数。
解：第一步，将引出点 a向左移动，靠近
引出点 b，然后 a,b互换，原图化简为：
423
() () () ()
a
Gs Gs GsGs= +图中：
第二步，将比较点c 向左移动，靠近比较点
d，然后c,d互换，上图化简为,
1
12 1
()
()
1()()()
b
Gs
Gs
GsGsHs
=
+
图中：
第三步，两个反馈通道合并，上图可化简为：
()R s
()Cs
()
b
Gs
()
a
Gs
21
1()/()HsGs+
第四步，写出系统的传递函数：
14 23
12 1 4 23 2 1 4 23
()
(
1()()
GG GG
Gs)=
GG H G GG H G G GG
+
+++ ++
§
§
2.5 MATLAB中数学模型的表示中数学模型的表示
§
2.5.1 传递函数的多项式表示
1,多项式的向量表示
MATLAB中多项式用行向量表示，行向量
元素依次为降幂排列的多项式各项的系数。
例：多项式
，表示为,
>>P=［1,3,0,2,5］
注意：尽管s
2
项系数为 0，但输入 P(s)时不
可缺省 0。
43
() 3 2 5P ss s s= +++
MATLAB中多项式乘法处理函数调用格式
为,C=conv(A,B)
2.多项式乘法例：给定两个多项式A(s)=s+3 和 B(s)=10s
2
+20s+3,
求 C(s)=A(s)B(s)，则应先构造多项式A(s)和 B(s),
然后再调用conv( ) 函数来求C(s)。
>>A =［ 1,3］ ; B =［ 10,20,3］；
>>C = conv(A,B)
conv( )函数的调用允许多级嵌套,
例,G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)
可由下列的语句来表示：
>>G=4*conv(［ 1,2］,conv(［ 1,3］,［ 1,4］ ))
C = conv(［ 1,3］,［ 10,20,3］ )
或直接写成：
MATLAB中用行向量num表示分子多项式，
用行向量den表示分母多项式，num和den唯一的决
定了传递函数，MATLAB 函数中可以直接调用。
3.传递函数的多项式表示例：
>>num=conv(［1,1 ］,conv( ［1,2,6 ］,［1,2,6 ］));
>>den=conv(［1,0,0 ］,conv( ［1,3 ］,［1,2,3,4 ］));
)432)(3(
)62)(1(
)(
232
22
++++
+++
=
sssss
sss
sG
表示：
sys=tf(num,den)
4,建立连续系统的多项式传递函数
bode(num,den)表示函数bode中调用 num和 den 。
num=[3,2,8];
den=[1,3,8,4,2];
G=tf(num,den)
Transfer function:
3 s^2 + 2 s + 8
-----------------------------
s^4 + 3 s^3 + 8 s^2 + 4 s + 2
运行结果：
例：
MATLAB中用行向量Z表示传递函数的零
点，用行向量P表示传递函数的极点，用标量K表
示传递函数的增益，Z、P和K唯一的决定了传递
函数。
§
2.5.2 传递函数的零、极点表示
1,传递函数的零、极点表示例：
z=-1;
p=[0,-10,-100];
k=10;
表示：
10 (s+1)
G(s)=
s (s+10) (s+100)
sys=zpk(z,p,k)
2,建立连续系统的零、极点传递函数例：
z=[-1,-2];
p=[0,-5,-10];
k=10;
Gz=zpk(z,p,k)
运行结果：
10 (s+1) (s+2)
--------------
s (s+5) (s+10)
Zero/pole/gain:
§
2.5.3 连续系统的模型转换传递函数可以是多项式形式，也可以是零
极点形式,二者之间可以相互转换。
1.多项式形式转换为零、极点形式例：
32
432
12 24 12 20
()
24622
sss
Gs
ssss
+++
=
+ +++
num=[12,24,12,20];
den=[2,4,6,2,2];
G=tf(num,den)；
GG=zpk(G)
程序：
运行结果：
6 (s+1.929) (s^2 + 0.07058s + 0.8638)
-------------------------------------------------
(s^2 + 0.08663s + 0.413) (s^2 + 1.913s + 2.421)
Zero/pole/gain:
2,零、极点形式转换为多项式形式例：
10( 1)( 2)
()
(5)(10)
ss
Gs
ss s
+ +
=
++
运行结果：
z=[-1,-2];
p=[0,-5,-10];
k=10;
Gz=zpk(z,p,k);
GG=tf(Gz)
程序：
10 s^2 + 30 s + 20
-------------------
s^3 + 15 s^2 + 50 s
Transfer function:
§
2.5.4 方框图简化
MATLAB提供了方框图串联、并联和反馈
连接的计算函数，有助于方框图的化简。
一、串联
［ num,den］ =series(num1,den1,num2,den2)
其中：
1
1
)(
1
den
num
sG =
2
2
)(
2
den
num
sG =
12
() ()
num
GsGs
den
=
［num,den ］=parallel(num1,den1,num2,den2)
其中：
2
2
)(
2
den
num
sG =
1
1
)(
1
den
num
sG =
den
num
sGsG =+ )()(
21
二、并联其中：
三、反馈
［ num,den］=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)
deng
numg
sG =)(
denh
numh
sH =)(
den
num
sHsG
sG
=
± )()(1
)(
sign为反馈极性,若为正反馈其为 1,若为
负反馈其为－ 1或缺省。
小小
结结
1,什么是系统的数学模型？
2,如何用解析法建立实际系统的微分方程。
3,如何对非线性系统进行小信号线性化分析？
4,传递函数如何定义？它有几种表示形式？
5,什么是典型环节？
6,什么是系统的方框图？方框图有什么用处？
最后指出，线性时不变系统还有另一种数学模型-----状态空间模型。由于经典控制理论不使用这种模型，这里不作介绍。
一、用解析法建立实际系统的数学模型，
（微分方程、传递函数、方框图）。
二、非线性系统的线性化。
三、传递函数的定义、性质、表示形式及求
法。
四、方框图的构建、化简，并求闭环系统的
传递函数。
本章掌握要点课堂作业：（习题 2.2）
+
系统方框图如下：
已知电动机的传递函数：
1
2
()
()
() 1
e
aeMM
sK
Gs
Us TTs Ts
Ω
==
++
1
aa
eM e
aeMe
LRJ
TT K
R cc c
== =
其中：
系统的闭环传递函数为：
1
2
1
() ()
(s)
() 1 () 1
e
r f eM M e f
sKGs K
Us KKGs TTs Ts KKK
Ω
Φ == =
+++
抽象，它用数学表达式描述控制系统输入、
输出变量以及内部各变量之间的关系及其运
动规律。
第2章
控制系统的数学模型线性系统数学模型的各参数只与系统的固有特性有关，而与系统的输入和输出无关。
线性系统的数学模型本章要解决的问题：
1、如何建立控制系统的微分方程？
2、如何建立非线性控制系统的小信号模型？
3、传递函数是如何定义的？它有什么性质？
4、什么是控制系统的结构图？如何通过化简结构图获得系统的传递函数？
2.1 线性系统微分方程的建立线性系统微分方程的建立例 2.1.1 试列写图中所示RLC 无源网络的
微分方程。
然后列写原始方程式,
根据基尔霍夫定理，可列出以下关系式：
解：首先确定输入、输出变量：
输入为 u
i
(t)，输出为 u
0
(t)
() 1
() () ()
i
di t
u t L Rit itdt
dt C
=++
∫
1
() ()
o
ut itdt
C
=
∫
消去中间变量
，整理得：
写成标准化形式：
令
，得：
该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。
()it
2
2
() ()
() ()
oo
oi
du t du t
LC RC u t u t
dt dt
++=
12
,
L
TTRC
R
==
2
00
12 2 0
2
() ()
() ()
i
du t du t
TT T u t u t
dt dt
++=
解析法建立系统微分方程的一般步骤：
解析法建立系统微分方程的一般步骤：
（1 ） 确定系统的输入、输出变量 ；
（ 2）根据变量运动规律，并考虑适当简化和线
性化，列写变量运动方程组;
（3 ）
由变量运动方程组消去中间变量，最后得
出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；
（4 ）写成标准化形式。
例 2.1.2 图示为一个弹簧- 质
量 -阻尼器表示的机械位移
系统，它可以等效某些作位
移运动或圆周运动的控制对
象。当外力 F(t)作用于系统
时，系统将产生运动。试列
写外力 F(t)与位移 y(t)之间的
微分方程。
弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力 F
1
(t)和粘
性摩擦阻力F
2
(t)，根据牛顿第二定律有,
2
2
21
)(
)()()(
dt
tyd
mttt =++ FFF
)()(
1
tkyt?=F
dt
tdy
ft
)(
)(
2
=F
其中式中
k —— 弹簧系数
f —— 阻尼系数解,1、输入输出变量：输入为 F(t),输出为y (t)
2、列写变量运动方程组：
3、消去中间变量F
1
(t)和 F
2
(t),整理得：
2
2
1
++=
m d y( t ) f dy( t )
y( t ) ( t )
kdt kdt k
F
4、标准化令：
称为时间常数；
称为阻尼比；
称为放大系数。
kmT /=
)2/( mkf=ζ
kK /1=
)()(
)(
2
)(
2
2
2
tKty
dt
tdy
T
dt
tyd
T F=++ ζ
得：
例 2.1.3 电枢控制的它激直流电动机如图所示，
电枢输入电压 u
a
(t)，电动机输出转角为
。
R
a
,L
a
,i
a
(t)分别为电枢电路的电阻、电感和电
流,i
f
为恒定激磁电流，e
b
为反电势，列写转速
与电枢电压之间的微分方程。
()tθ
解,1、输入输出变量：输入为 u
a
(t),输出为
2、列写变量运动方程组：
电枢回路电压平衡方程为
()
() ()
a
aaaa a
di t
ut Rit L e
dt
=+ +
()
ae
dt
ec
dt
θ
=
c
e
为电动机的反电势系数力矩平衡方程为：
2
2
() ()
DL
dt dt
M JfM
dt dt
θθ
=++
()tω
()tω
()
DMa
M ci t=
式中
为电动机电枢的转动惯量 ;
J
f 为电动机轴上的粘性摩擦系数；
M
L
为负载力矩；
为电动机的力矩系数。
M
c
3、消去中间变量
、
和M
D，
整理得,
()
a
it
a
e
32
() () ()
()( )
aaa aeM
dt dt dt
JL L f JR fR c c
dt dt dt
θ θθ
++ ++
()
L
Ma a L a
dM
cu t RM L
dt
=
dt
td )(θ
ω =
Me
a
f
cc
fR
K = —无量纲放大系数
4、标准化：
电机转速
，则方程变为：
2
2
()( )
( )
aaa aeM
L
Ma a L a
dd
JL L f JR fR c c
dt dt
dM
cu t RM L
dt
ωω
ω++ ++
=
令：
——电机传递系数。
Me
a
M
cc
JR
T =
Me
a
f
cc
fL
T =
1
e
e
K
c
=
——机电时间常数
—— 时间常数
——电磁时间常数
a
e
a
L
T
R
=
a
m
eM
R
K
cc
= ——转矩传递系数则：
实际系统中，由于电动机轴上的粘性摩擦系数
很小，参数
和
相对很小，因此，
方程可近似为,
2
2
()(1) ()( )
L
eM M f f ea m L e
dd dM
TT T T K Ku t K M +T
dt dt dt
ωω
ω++ ++=?
f
f
T
f
K
2
2
() ( )
L
eM M ea m L e
dd dM
TT T K u t K M +T
dt dt dt
ωω
ω++=?
例 2.1.4 如图所示的水加热系统中，设槽内水温
是均匀的（经过搅拌），求水的出口温度
与
单位时间内加热器供给的热量
之间的微分方
程。
()tθ
()Ht
(t)θ
解,1、输入输出变量：输入为 H(t),输出为
。
2、列写变量运动方程组：
设水的比热c,流量 F，槽内水的质量M,进入水槽的水温
为恒值，则 dt时间内进入水槽的热量和离开水槽的热量分别为：
0
θ
10
()dQ H t dt cF dtθ= +
2
()dQ cF t dtθ=
水槽内增加的热量为：
312
dQ dQ dQ cMdθ=?=
0
()
(() ) ()
dt
cM cF t H t
dt
θ
θθ+?=
3、消去中间变量
，
和
,整理得,
2
dQ
3
dQ
1
dQ
4、标准化：
令温差：
10
() ()ttθ θθ=?
1
()() dtdt
dt dt
θθ
=
则：
1
1
()
() ()
dt
cM cF t H t
dt
θ
θ+=
这是以温差为输出变量的微分方程。
一般情况下，描述线性定常系统输入与
输出关系的微分方程为,
)(
)()()(
)(
)()()(
1
1
1
10
1
1
1
10
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt
trd
b
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
++++=
++++
"
"
或
∑∑
=
=
=
m
j
jm
jm
j
n
i
in
in
i
dt
trd
b
dt
tcd
a
00
)()(
非线性函数关系分为两类，一类函数的函
数值及其各阶导数值在输入信号的工作范围内
都是连续的，称之为光滑函数。另一类则不是
如此，称之为不光滑函数。不光滑函数不可能
用线性函数近似代替，即不能进行线性化处
理，只能用非线性系统的研究方法进行研究。
2.2
2.2
非线性系统的小信号线性化非线性系统的小信号线性化模型模型
光滑函数在一个小范围内可以用一个线
性函数近似代替，具体方法是：
将非线性函数在工作点附近展开成泰勒
级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近
似的线性化方程，来替代原来的非线性函
数。
一、光滑非线性函数的线性化处理方法
00
2
2
00 0
2
1
() ( ) ( ) ( )
2!
xx
df d f
yfx fx xx xx
dx dx
==+?+?+ "
当 (x－ x
0
)为微小增量时，可略去二阶以上
各项，写成
0
00 0
() ( ) ( )
x
df
yfx xx yKxx
dx
=+?=+?
其中
为工作点( x
0
,y
0
)处的切线斜
率，即此时以工作点处的切线代替曲线,得到
变量在工作点附近的线性化增量方程：
0
x
df
K
dx
=
00
() y y-y K x x K xΔ= =? = Δ
例 2.2.1：下图为铁芯线圈的磁通 —电流关系曲
线，两端加电压后，写出铁芯线圈的线性化微
分方程。
解：铁芯线圈两端加电压
后，产生电
流
，考虑到导线电阻
，等效电路如下图
所示。
()ut
()it
R
可得电压平衡方程：
()
() ()
dt
Rit ut
dt
Φ
+=
或写成：
() ()
() ()
()
dtdit
Ri t u t
di t dt
Φ
+=
若工作过程中线圈的电流只在工作点附近变化，
00
(,)iΦ
0
i
d
di
Φ
为磁化曲线在工作点
00
(,)iΦ
的斜率，令处
0
()
i
d
L
di
Φ
≈
，则
()
() ()
dit
LRitut
dt
Δ
+Δ =Δ
()
() ()
di t
LRitut
dt
+=
写成变量形式：
求线性化增量方程时应注意：
1、线性化是在工作点附近进行的，因此，线性化增量方程只在工作点附近可近似表示非线性器件的特性。变量的变化范围越小，
近似程度就越高。
2、线性化增量方程可表示成：
00
() yy Kxx? =?
uKv=
进行坐标变换得：
在工作点附近，增量方程变成了变量方程，
但由于方程中的变量是在工作点附近小范
围内变化的，因此，称方程为非线性元件
在工作点附近的小信号线性化模型。
3、由泰勒级数的条件可知，不是所有的非线性器件都可以用泰勒级数方法进行线性化。
例 2.2.2 包含非线性元件的一阶微分方程为,
()df x
+kx u
dt
=
其中
是
的光滑非线性函数，对方程进
()f x
x
行线性化处理。
二、非线性微分方程的线性化处理方法例 2.2.3 磁场控制直流电动机原理图如图所
示，电枢电压
为常数，输出为角速度
,控
制输入为激磁线圈电压
，求角速度
对激磁
线圈电压
的线性化微分方程。
a
U ω
f
u
ω
f
u
解：根据物理定律列出原始方程式：
1、激磁回路电压平衡方程：
f ff
d
R iu
dt
Ψ
+ =
在工作点附近，可写出线性化增量方程为：
f
ffff
di
LRiu
dt
Δ
+ Δ=Δ
2、电枢回路电压平衡方程：
aa
aaaaaaae a
di di
LRieLRikU
dt dt
ω++= ++Φ=
（2.16 ）
在工作点附近，可写出增量方程为：
00
()0
a
aaae
di
LRik
dt
++ + =
Δ
ΔΔΦωΦΔω
3、转矩平衡方程：
D ma L
d
M ki J M
dt
ω
Φ==+
设
为常量，在工作点附近，可写出增量方程为：
()
m0a a0
d
ki iJ
dt
ω
ΦΦ
Δ
Δ+Δ =
（2.19 ）
（2.22 ）
（2.21 ）
L
M
将
在工作点附近线性化，得：
Φ
0f
i fff
d
i=c i
di
Φ
ΦΔ= Δ Δ
代入（ 2.19）和（ 2.22）式，得线性化增量方程：
00
()0
a
aaaef
di
LRikci
dt
++ + =
Δ
ΔΔωΦΔω
00
()
maffa
d
kici J
dt
+=
Δω
ΦΔ Δ
（2.24 ）
（2.25 ）
用变量代替增量，写出三个平衡方程
（ 2.16）、（ 2.24）和（ 2.25）的变量形式：
f
ffff
di
L Ri u
dt
+=
00
()0
a
aaaef
di
LRikci
dt
ωΦω++ + =
00
()
maffa
d
kici J
dt
ω
Φ +=
（2.26 ）
（2.27 ）
（2.28 ）
联立方程（ 2.26）、（ 2.27）和（ 2.28），
消去中间变量
、
得到输入为
输出为的线性化方程：
f
i
a
i
f
u
ω
其中：
00
2
afa f
MMfM
fe f
Rci c
KKK
Rk R
ω
Φ Φ
==?
f
aa
Mfa
2
me 0 f a
L
JR L
TTT
kk R RΦ
===
32
()( )
Maf M a f M f
ddd
TTT T T T T T
dt dt dt
ωωω
ω++ ++ +
f
M aMff
du
KT K u
dt
=+
非线性微分方程的线性化步骤：
1）按照物理定律列出原始方程式，并确定工
作点处各变量的数值。
2）将非线性函数在工作点处线性化（非线性
函数必须为光滑函数），求出其线性化增量表
达式。
3）将原始方程写成增量方程，将非线性函数
的线性化增量表达式代入，并整理。
4）将增量方程写成变量方程，即为线性化微
分方程，按照线性方程的方法进行处理。
注意：与线性系统的微分方程不同，非线性
系统的线性化微分方程中，变量均为小偏差增
量，即非线性系统的线性化模型是工作点附近
的小信号模型，它用来研究系统在工作点附近
的动态性能，偏离工作点，模型误差就会较
大，甚至不能使用。
例 2.2.4 下图是一个磁场控制的直流电动机转速
自镇定系统，电枢电压
为常数，输出为角速
度
,控制输入为激磁线圈电压
，设定的电
机转速由参考输入电压
给定，并保持不变，
电机的实际转速由测速发电机变换为电压
。
a
U
ω
f
u
r
U
T
u
三、反馈控制系统线性化微分方程的建立建立输入为负载转矩，输出为电机转速的系统
增量微分方程。
解,1）确定稳定状态稳态时，系统平衡，各信号稳态值为：
000000 0
,,,,,,
TffaL
ueuiiMω
2）求小信号微分方程
（ 1）电动机由例 2.2.3可知，磁场控制的直流电动机的运
动方程由（ 2.26）、（ 2.27）、（ 2.28）组成，
f
ffff
di
L Ri u
dt
+=
00
()0
a
aaaef
di
LRikci
dt
ωΦω++ + =
00
()
maffa
d
kici J
dt
ω
Φ +=
（2.26 ）
（2.27 ）
（2.28 ）
由于负载转矩发生了变化，成为变量，由
（ 2.21）可知，转矩小信号方程（ 2.28）应变为：
()
m0a ffa0 L
d
kici J M
dt
ω
Φ +=+
（2.30 ）
(2.21)
Dma L
d
MkiJ M
dt
ω
Φ
==+
联立方程（ 2.26）、（ 2.27）和（ 2.30），
消去中间变量
、
，得：
f
i
a
i
() ( )
32
Maf M a f M f
ddd
TTT T T+T T+T
dt dt dt
ωωω
ω+ ++
()
2
f
ML L
M aMff a f a f L
2
du
TdM dM
KT +K u TT +T+T +M
dt J dt dt
=?
（ 2）误差放大器误差放大器被认为是线性放大，增量方程
和小信号方程为：
fa
u=K eΔΔ
f a
u=Ke
（ 3）测速发电机测速发电机被认为是线性变换，增量方程
和小信号方程为：
TT
u=K ωΔ Δ
TT
u=Kω
（ 4）比较器由于
不变，比较器的增量方程和小信号方程为：
r
U
T
euΔ=?Δ
T
eu=?
3）联立方程，消去中间变量
、
、
。
得到输入为负载转矩，输出为电机转速的
系统小信号微分方程：
f
u
e
T
u
32
()( )(1)
Maf M a f M f T a Ma
dd d
TTT T T T T T KKKT K
dt dt dt
ωω ω
ω++ +++ ++
2
2
()
ML L
af a f L
TdM dM
TT T T M
Jdt dt
=? + + +
()
mf a T
KKKK=
问题 2,非线性系统的小信号线性化模型与线性系统的数学模型有无区别，区别在哪？
课堂提问：
问题 3,是不是所有的非线性系统都可以
线性化？
问题 1,线性系统的数学模型与系统的输
入输出有没有关系？
2.3 传递函数传递函数在零初始条件下，线性定常系统输出量
的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换
之比，定义为线性定常系统的传递函数。
记为：
)(
)(
)(
sR
sC
sG =
传递函数是自动控制原理中使用最多的
系统数学模型形式，它的 定义如下：
已知线性定常系统的微分方程为
)(
)()()(
)(
)()()(
1
1
1
10
1
1
1
10
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt
trd
b
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
++++=
++++
"
"
式中c (t)为输出量，r (t)为输入量 。
设 c(t)和 r(t)及其各阶导数初始值均为零，
对上式取拉氏变换，得,
§ 2.3.1 传递函数的表示形式则系统的传递函数为
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sC
sG
++++
++++
==
1
1
10
1
1
10
)(
)(
)(
"
"
)(
)(
)(
)(
)(
sN
sM
sR
sC
sG ==或写为这是传递函数的多项式表示形式。
)()(
)()(
1
1
10
1
1
10
sRbsbsbsb
sCasasasa
mm
mm
nn
nn
++++=
++++
"
"
求出多项式的根，则传递函数还可表示成,
12
12
()()( )
()
()()()
m
g
n
s zsz sz
Gs K
s psp sp
=
"
"
式中 p
1
,p
2
……p
n
为分母多项式的根，称为
传递函数的极点,z
1
,z
2
,… z
n
为分子多项
式的根，称为传递函数的零点，上式称为传
递函数的零、极点表示形式。
将零极点形式变形，传递函数可表示成另
一种形式：
其中：
上式称为传递函数的时间常数表示形式。
( )( ) ( )
()()()
12
12
11 1
11 1
m
n
ss s
G( s ) K
sTs Ts Ts
υ
υ
ττ τ
±+±+ ±+
=
± +±+ ± +
"
"
12
12
11 1
|| || | |
m
m
z zz
ττ τ= = =
12
12
11 1
|| || ||
n
n
TT T
p pp
==?=
问题：在将微分方程模型转化成传递函数
模型时，如果传递函数的分子和分母上出现同
样的因子，能否将它们消去（称为零、极点抵
消）？
看一个例子：
2
s1 s1
Y(s) U(s) U(s)
(s 1)(3s+1) 3s 4s 1
+ +
==
++
对应的微分方程为：
2
2
dy dy du
34y u
dt dt dt
+ += +
传递函数为：
2
s1
G(s)
3s 4s 1
+
=
+ +
两个传递函数描述的系统显然是不同的。
如果将传递函数的分子和分母上出现的相同因子(s+1) 消去，则
1
Y(s) U(s)
3s+1
=
对应的微分方程为：
dy
3yu
dt
+=
传递函数为：
1
G(s)
3s+1
=
例 2.3.1 例 2.1.3中导出电枢控制它激直流电动机的微分方程为：
求角速度
对电枢电压
的传递函数
和角速度
对负载
的传递函数。
ω ()
a
ut
ω
L
M
2
2
() ( )
L
eM M ea m L e
dd dM
TT T K u t K M +T
dt dt dt
ωω
ω++=?
1
2
()
()
() 1
e
aeMM
Ks
Gs
Us TTs Ts
Ω
==
+ +
根据叠加原理，令
和
单独作用，可得：
()
a
Us ()
L
M s
2
2
() (1
()
() 1
me
LeMM
s K+Ts)
Gs
M sTTsTs
Ω?
==
+ +
解：根据传递函数的定义，在零初始条件
下，对微分方程取拉普拉斯变换，得：
2
() () () () (1 ) ()
eM M e a m e L
TT s s T s s s KU s K Ts M sΩΩΩ++=?+
利用传递函数求系统的输出响应，得到的
是不是系统的完全响应？
思考题：
§ 2.3.2 传递函数与冲激响应
() () ()Cs GsRs=
系统的冲激响应g(t)是输入为单位冲激函数
时，系统的零状态响应。
()tδ
系统输出的拉普拉斯变换为：
当
时，
，于是() ()rt tδ=
() 1Rs=
() ()Cs Gs=
可知，系统的冲激响应g(t)与系统传递函数
G(s)是一个拉普拉斯变换对 。
取反变换，得到冲激响应g(t)为：
11
( ) [ ( )] [ ( )]gt L Cs L Gs
==
§ 2.3.3 传递函数的性质
1,传递函数只适用于线性定常系统 。
2.传递函数表达了系统内在的固有特性，
只与系统的结构、参数有关，而与输入、
输出量无关。
3,传递函数包含着联系输入量与输出量所必
须的单位。
4,传递函数不能表明系统的物理特性和物理
结构。
5,传递函数只用于单输入和单输出 (SISO)系
统 。
6,在没有零、极点对消的情况下,传递函数
的分母多项式就是系统的 特征多项式：
nn
nn
asasasasD ++++=
1
1
10
)( "
D(s)=0称为特征方程。
7,实际系统传递函数的分母多项式的阶次总是
大于或等于分子多项式的阶次,即 n≥ m，
§ 2.3.4 典型环节的传递函数传递函数在复频域描述单输入单输出系
统输出与输入之间的函数关系。最基本的函
数关系有比例、惯性、积分、微分、比例微
分、二阶微分、振荡、延迟。把输出与输入
之间具有这些基本函数关系的环节叫做典型
环节，它们反映的基本函数关系用传递函数
的形式表示。复杂的线性控制系统都是由这
些典型环节组成的 。
1,比例环节比例环节的输出量与输入量成正比，它
反映的基本函数关系为：
K
sR
sC
sG ==
)(
)(
)(
式中 K为常数，称为比例环节的放大系数
或增益。
() ()ct Krt=
输入输出的时域关系为,
2,惯性环节其时域输入输出关系由一个 一阶微分方
程来描述：
)()(
)(
tKrtc
dt
tdc
T =+
惯性环节反映的基本函数关系为：
1)(
)(
)(
+
==
Ts
K
sR
sC
sG
式中
T—— 惯性环节的时间常数
K—— 惯性环节的增益或放大系数当输入为单位阶跃函数时，其响应为（单位
阶跃响应）：
[] )1(
1
1
)()(
1
11
T
eK
sTs
K
LsCLtc
=
+
==
单位阶跃响应曲线：
3,积分环节环节的输出量是输入量的积分，即
dttr
T
tc
t
i
∫
=
0
)(
1
)(
积分环节反映的基本函数关系为：
sTsR
sC
sG
i
1
)(
)(
)( ==
式中 T
i
为积分时间常数。
积分环节的单位阶跃响应为：
t
T
tC
i
1
)( =
4,微分环节理想微分环节的特征是：输出量正比于输
入量的微分，其动态方程为：
dt
tdr
Ttc
d
)(
)( =
它反映的基本函数关系为：
sT
sR
sC
sG
d
==
)(
)(
)(
式中 T
d
称微分时间常数微分环节的单位阶跃响应曲线：
)()( tTtc
d
δ=
5,比例微分环节比例微分环节反映的基本函数关系为：
()
() ( 1)
()
d
Cs
Gs KTs
Rs
= =+
当时：
1K =
()
() 1
()
d
Cs
Gs Ts
Rs
= =+
环节输出量由输入量的微分函数与输入量
的比例函数叠加而成，
()
() ()
d
dr t
ct K T rt
dt
=+
6,二阶微分环节二阶微分环节反映的基本函数关系为：
22
()
() s 2 1
()
Cs
Gs s
Rs
τζτ= =+ +
与比例微分环节比较，它的输出量多了
一项输入量的二阶微分项。
2
2
2
() ()
() 2 ()
drt drt
ct rt
dt dt
τζτ=++
7,振荡环节振荡环节反映的基本函数关系为：
2
n
22 2 2
nn
() 1
()
() 2 1 2
Cs
Gs
Rs Ts Ts s s
ω
ζζωω
== =
+++ +
环节的时域输入输出关系由一个二阶微分方程来描述：
2
2
2
() ()
2()()
dct dct
TTctrt
dt dt
ζ++=
为无阻尼自然振荡角频率，
1
n
T
ω =
为阻尼比。
ζ
时，振荡环节的单位阶跃响应呈现振荡特性。
01ζ<<
8,延迟环节延迟环节在输入信号加入后，输出信号要
延迟一段时间 τ 后才重现输入信号，其动态方
程为：
)()( τ?= trtc
延迟环节反映的基本函数关系是一个超越函数
s
e
sR
sC
sG
τ?
==
)(
)(
)(
延迟环节的单位阶跃响应。
§
§
2.4 系统结构图系统结构图把变量运动方程组反映的系统各变量的关
系用图形表示，这种图形就叫做 系统结构图。
将结构图化简，相当于联立方程组，消去中间
变量的过程，最后可得到系统输入和输出之间
的传递函数。
构成结构图的符号
§ 2.4.1 系统结构图的构建例 2.4.1 下图为一无源RC 网络。选取变量如图
所示，构建系统的结构图。
解：根据电路定律，写出零初始状态下各
变量的复频域运动方程组：
10
1
1
() ()
()
Us Us
Is
R
=
02
2
2
() ()
()
Us Us
Is
R
=
312
() () ()I sIsIs=?
03
1
1
() ()Us Is
Cs
=
22
2
1
() ()Us Is
Cs
=
方程组确定的变量关系用图形表示如下：
把相同的变量连接起来，得到系统结构图如下 。
例 2.4.2 例 2.1.3求出了电枢电压控制直流他励电
动机的变量运动方程组为（忽略摩擦系数）,
()
() () ()
a
aa a a
di t
ut L Rit et
dt
=++
() ()
ae
et c tω=
()
DMa
ci t=M
DL
d
J
dt
ω
=+M M
构建电动机的结构图。
解：在零初始条件下，对等式两边取拉氏变
换,得：
() ( ) () ()
() ()
() ()
() () ()
aaaaa
ae
DMa
DL
Us R LsIs Es
scs
sc s
sJss s
=+ +
=
=
=Ω+
E?
MI
MM
将输入变量写到方程右边，得到中间变量和输出变量的表达式：
() [ () ()]( )
() ()
() ()
() [ () ()]( )
aaaaa
ae
DMa
DL
I sUsEsRLs
scs
sc s
sssJs
=? +
=
=
Ω=?
E?
MI
MM
将同一变量用信号线连接起来，并将输入
U
a
(s)放在左端，输出 Ω (s)放在图形右端，得系
统方框图如图所示。
例 2.4.3 下图是一个角度随动系统，做出系统的方框图。
自动控制系统的结构图解：先建立系统各个部分的结构图 。
（一）电动机（8、12）
例 2.4.2求出了电枢电压控制直流他励电动机的结构图如下（忽略粘性摩擦系数）：
（二）发电机（5、6、7）
发电机的输出电压正比于它的励磁电流，
即
，因此，发电机的结构图如下：() ()
agf
Us kIs=
（三）放大器（4）
发电机激磁回路的电压方程为：
g
k( )
f
I s
()
a
Us
f
f ff f e p
di
uRiL ku
dt
=+ =
可得：
() ()
e
fp
ff
k
I sUs
RLs
=
+
因此，放大器的结构图如下：
（四）电位器组（1、2）
电位器组产生差值电压u
p
，它正比于给
定角度
和目标角度
的差值，即
()
pp
ukψ?=?
ψ?
e
f f
k
RLs+
( )
p
Us ( )
f
Is
() [ () ()]
pp
Us k s s= Ψ?Φ
电位器组的结构图如下：
（五）传动机构（9、10、11）
传动机构将电动机的角速度
变为目标角
度
，它们的关系是：
ω
t
d
k
dt
ω= () ()
t
k
ss
s
Φ=Ω
p
k
( )
p
Us
()sΨ
()sΦ
将上述各个部分的结构图连接起来，得到系统的结构图如下（
代表电动机的结构图）：
()
D
Gs
t
k
s
()sΩ ()sΦ
()sΨ
( )
f
Is
p
k
()
p
Us
e
f f
k
RLs+
g
k
()sΩ
( )
a
Us
()
D
Gs
()sΦ
()sΦ
t
k
s
传动机构的结构图如下：
§2.4.2 方框图的变换和简化方框图的变换和化简应按等效原则进
行。所谓等效，即对方框图的任一部分进行
变换时，变换前、后输入输出总的数学关系
式应保持不变 。
方框图化简有两种类型：
1.串联:
n个环节串联后总的传递函数,
一、环节的合并
12
11
() () () ()
()
() () () ()
n
Cs X s X s Cs
Gs
Rs Rs X s X s
==? "
12
() () ()
n
GsGs Gs= "
例 2.4.4 求图示网络的传递函数，并讨论该网络能否按串联环节计算。
解：用电路分析的方法可解出网络的传递函数为：
3
123 1213
()
()
RLs
Gs
RRRLsRRRR
=
++ + +
该电路如果看成下图所示的两个环节串联，
3
12
23 1213
() () ()
()
RLs
Gs G sG s
R RLs RR RR
==
+++
1
1
sL
G
R sL
=
+
3
2
3
=
+
2
R
G
RR
则
2.并联:
)()()(
)()()(
)()()(
22
11
sRsGsC
sRsGsC
sRsGsC
nn
=
=
=
#
)()()()(
21
sCsCsCsC
n
+++= "
总的传递函数为
)()()(
)(
)()()(
)(
)(
)(
21
21
sGsGsG
sR
sCsCsC
sR
sC
sG
n
n
+++=
+++
==
"
"
3.反馈：
通常把由信号输入点到信号输出点的通
道称为前向通道；把输出信号反馈到输入点
的通道称为反馈通道。
对于负反馈连接，给定信号 r(t)和反馈
信号 b(t)之差，称为偏差信号e (t),即
() () ()et rt bt=?
() () ()E sRsBs=?
将反馈信号 B(s)与偏差信号 E(s)之比，定
义为开环传递函数，即
)()(
)(
)(
sHsG
sE
sB
=
开环传递函数=
输出信号C (s)与偏差信号E (s)之比，称为
前向通道传递函数，即前向通道传递函数=
)(
)(
)(
sG
sE
sC
=
而系统输出信号 C(s)与输入信号 R(s)之比称
为 闭环传递函数，记为 Φ (s)。
)()()()()()(
)()()(
sCsHsRsBsRsE
sEsGsC
=?=
=
得闭环传递函数为,
)()(1
)(
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
s
+
==Φ
对于正反馈连接，则闭环传递函数为
)()(1
)(
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
s
==Φ
即环节反馈连接后，闭环传递函数为：
闭环传递函数=
1±
前向通道传递函数开环传递函数解：根据叠加原理，由方框图可得：
ω
()
a
ut
ω L
M
例 2.4.5 例 2.4.2求出的电枢电压控制直流他励电动机的结构图如下，求角速度
对电枢电压的传递函数和角速度
对负载
的传递
函数。
Me
a
M
cc
JR
T =
1
e
e
K
c
=
a
e
a
L
T
R
=
令：
得：
1
2
()
()
() 1
e
aeMM
Ks
Gs
Us TTs Ts
Ω
==
+ +
2
()
M
aaeM
c
JL s JR s c c
=
++
1
[1 ( )] [1 ( )]()
()
() 1 [1( )] [1( )]
aa M
aaae
RLsc Jss
Gs
Us R Ls cc Js
+ ××Ω
==
++××
求角速度
对负载
的传递函数时，令
，系统结构图如下图所示。
ω
L
M
0
a
U =
2
2
() () (1 )
()
() () 1
me
LLeMM
ssKTs
Gs
M s M s TTs Ts
ΩΩ?+
==? =
++
可求出角速度
对负载
的传递函数为：
ω
L
M
与例 2.3.1的结果相同。
1,引出点前移
() () ()Cs GsRs=
保持
关系不变。
2,引出点后移保持
不变。()R s
二、比较点和引出点的移动
3,比较点前移保持
关系不变。
12
() () () ()Cs R sGs R s= +
4,比较点后移保持
关系不变。
12
() [ () ()] ()Cs R s R s Gs= +
5,比较点交换保持
关系不变。
123
() () () ()Cs R s R s R s= ++
6,引出点互换
2
()Gs
1
()Gs
2
()Gs
1
()Gs
保持引出点信号不变。
注意：比较点和引出点移动的基本原则
是，环路内部的比较点向环路比较点移动，
然后互换比较点；环路内部的引出点向环路
引出点移动，然后互换引出点。
例 2.4.6 化简下图所示系统方框图，并求系统
的传递函数。
解：第一步，将引出点 a向左移动，靠近
引出点 b，然后 a,b互换，原图化简为：
423
() () () ()
a
Gs Gs GsGs= +图中：
第二步，将比较点c 向左移动，靠近比较点
d，然后c,d互换，上图化简为,
1
12 1
()
()
1()()()
b
Gs
Gs
GsGsHs
=
+
图中：
第三步，两个反馈通道合并，上图可化简为：
()R s
()Cs
()
b
Gs
()
a
Gs
21
1()/()HsGs+
第四步，写出系统的传递函数：
14 23
12 1 4 23 2 1 4 23
()
(
1()()
GG GG
Gs)=
GG H G GG H G G GG
+
+++ ++
§
§
2.5 MATLAB中数学模型的表示中数学模型的表示
§
2.5.1 传递函数的多项式表示
1,多项式的向量表示
MATLAB中多项式用行向量表示，行向量
元素依次为降幂排列的多项式各项的系数。
例：多项式
，表示为,
>>P=［1,3,0,2,5］
注意：尽管s
2
项系数为 0，但输入 P(s)时不
可缺省 0。
43
() 3 2 5P ss s s= +++
MATLAB中多项式乘法处理函数调用格式
为,C=conv(A,B)
2.多项式乘法例：给定两个多项式A(s)=s+3 和 B(s)=10s
2
+20s+3,
求 C(s)=A(s)B(s)，则应先构造多项式A(s)和 B(s),
然后再调用conv( ) 函数来求C(s)。
>>A =［ 1,3］ ; B =［ 10,20,3］；
>>C = conv(A,B)
conv( )函数的调用允许多级嵌套,
例,G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)
可由下列的语句来表示：
>>G=4*conv(［ 1,2］,conv(［ 1,3］,［ 1,4］ ))
C = conv(［ 1,3］,［ 10,20,3］ )
或直接写成：
MATLAB中用行向量num表示分子多项式，
用行向量den表示分母多项式，num和den唯一的决
定了传递函数，MATLAB 函数中可以直接调用。
3.传递函数的多项式表示例：
>>num=conv(［1,1 ］,conv( ［1,2,6 ］,［1,2,6 ］));
>>den=conv(［1,0,0 ］,conv( ［1,3 ］,［1,2,3,4 ］));
)432)(3(
)62)(1(
)(
232
22
++++
+++
=
sssss
sss
sG
表示：
sys=tf(num,den)
4,建立连续系统的多项式传递函数
bode(num,den)表示函数bode中调用 num和 den 。
num=[3,2,8];
den=[1,3,8,4,2];
G=tf(num,den)
Transfer function:
3 s^2 + 2 s + 8
-----------------------------
s^4 + 3 s^3 + 8 s^2 + 4 s + 2
运行结果：
例：
MATLAB中用行向量Z表示传递函数的零
点，用行向量P表示传递函数的极点，用标量K表
示传递函数的增益，Z、P和K唯一的决定了传递
函数。
§
2.5.2 传递函数的零、极点表示
1,传递函数的零、极点表示例：
z=-1;
p=[0,-10,-100];
k=10;
表示：
10 (s+1)
G(s)=
s (s+10) (s+100)
sys=zpk(z,p,k)
2,建立连续系统的零、极点传递函数例：
z=[-1,-2];
p=[0,-5,-10];
k=10;
Gz=zpk(z,p,k)
运行结果：
10 (s+1) (s+2)
--------------
s (s+5) (s+10)
Zero/pole/gain:
§
2.5.3 连续系统的模型转换传递函数可以是多项式形式，也可以是零
极点形式,二者之间可以相互转换。
1.多项式形式转换为零、极点形式例：
32
432
12 24 12 20
()
24622
sss
Gs
ssss
+++
=
+ +++
num=[12,24,12,20];
den=[2,4,6,2,2];
G=tf(num,den)；
GG=zpk(G)
程序：
运行结果：
6 (s+1.929) (s^2 + 0.07058s + 0.8638)
-------------------------------------------------
(s^2 + 0.08663s + 0.413) (s^2 + 1.913s + 2.421)
Zero/pole/gain:
2,零、极点形式转换为多项式形式例：
10( 1)( 2)
()
(5)(10)
ss
Gs
ss s
+ +
=
++
运行结果：
z=[-1,-2];
p=[0,-5,-10];
k=10;
Gz=zpk(z,p,k);
GG=tf(Gz)
程序：
10 s^2 + 30 s + 20
-------------------
s^3 + 15 s^2 + 50 s
Transfer function:
§
2.5.4 方框图简化
MATLAB提供了方框图串联、并联和反馈
连接的计算函数，有助于方框图的化简。
一、串联
［ num,den］ =series(num1,den1,num2,den2)
其中：
1
1
)(
1
den
num
sG =
2
2
)(
2
den
num
sG =
12
() ()
num
GsGs
den
=
［num,den ］=parallel(num1,den1,num2,den2)
其中：
2
2
)(
2
den
num
sG =
1
1
)(
1
den
num
sG =
den
num
sGsG =+ )()(
21
二、并联其中：
三、反馈
［ num,den］=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)
deng
numg
sG =)(
denh
numh
sH =)(
den
num
sHsG
sG
=
± )()(1
)(
sign为反馈极性,若为正反馈其为 1,若为
负反馈其为－ 1或缺省。
小小
结结
1,什么是系统的数学模型？
2,如何用解析法建立实际系统的微分方程。
3,如何对非线性系统进行小信号线性化分析？
4,传递函数如何定义？它有几种表示形式？
5,什么是典型环节？
6,什么是系统的方框图？方框图有什么用处？
最后指出，线性时不变系统还有另一种数学模型-----状态空间模型。由于经典控制理论不使用这种模型，这里不作介绍。
一、用解析法建立实际系统的数学模型，
（微分方程、传递函数、方框图）。
二、非线性系统的线性化。
三、传递函数的定义、性质、表示形式及求
法。
四、方框图的构建、化简，并求闭环系统的
传递函数。
本章掌握要点课堂作业：（习题 2.2）
+
系统方框图如下：
已知电动机的传递函数：
1
2
()
()
() 1
e
aeMM
sK
Gs
Us TTs Ts
Ω
==
++
1
aa
eM e
aeMe
LRJ
TT K
R cc c
== =
其中：
系统的闭环传递函数为：
1
2
1
() ()
(s)
() 1 () 1
e
r f eM M e f
sKGs K
Us KKGs TTs Ts KKK
Ω
Φ == =
+++
