第四章第四章
控制系统的根轨迹控制系统的根轨迹本章要解决的问题：
1,什么是典型根轨迹？典型根轨迹有什么规律？如何绘制？
2、什么是特殊根轨迹？特殊根轨迹如何绘制？
3、如何用根轨迹分析系统的稳定性？
4、如何用根轨迹进行动态品质分析？
§
§
4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变
化时，闭环特征根在复平面上的运动轨迹。
§
§
4.1.1
什么是根轨迹例4.1.1 负反馈控制系统如图所示，设其
开环传递函数为：
() ()
(1)(2)
K
GsHs
ss s
=
+ +
当 K从零到无穷大连续变化时，观察闭环系统的特征根的变化轨迹。
023
23
=+++ Ksss
解：系统的闭环特征方程为：
当 K从零到无穷大连续变化时，闭环特征
根在复平面上的变化轨迹如下图所示，这就是
系统以 K 为参变量的根轨迹。
（2）根轨迹与虚轴的交点为临界稳定点，该处的
值称为临界增益。
K
(1) 系统有三条根轨迹，当
取某一定值时，
每条根轨迹上对应一个点，根平面上这三个点
就是系统的三个闭环极点。
K
从根轨迹图可以看出：
（3）根轨迹离开实轴的点称为分离点，它对应于二阶系统
的两个重极点。
1ζ =
可以看出，根轨迹图上清楚地反映了如下重要信息：
1）临界稳定时的开环增益。
2）闭环特征根进入复平面时的临界增益。
3）选定开环增益后，系统闭环特征根在根平
面上的分布。
4）参数变化时，系统闭环特征根在根平面上
的变化趋势。
考察图4-1所示的系统，其闭环传递函数为:
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sY
+
=
0)()(1 =+ sHsG
闭环特征方程为：
根轨迹上的任何一点都应满足：
§
§
4.1.2
根轨迹满足的基本条件
1)()(?=sHsG
上式可分解为幅值条件,
1)()( =sHsG
",2,1,0180)12()()(
0
=+±=∠ kksHsG
和相角条件：
这里讨论的是以开环增益
为参变量的根
轨迹，它是最基本、最常用的根轨迹，我们称
之为‘典型根轨迹’。
K
设系统开环传递函数可以表示为：
0,
))....()((
))....()((
)()(
21
21
>
= K
pspsps
zszszsK
sHsG
n
m
则幅值条件具体化为：
1
1
1
1
()
()
()
()
n
n
i
i
i
i
m
m
l
l
l
l
sp
s p
K
s z
sz
=
=
=
=
==
∏
∏
∏
∏
相角条件具体化为：
0
11
( ) ( ) (2 1)180 1,2
mn
li
li
sz sp k k
==
∠ ∠? =± + =
∑∑
根据幅值条件和相角条件，可以判断动点
s是不是根轨迹上的点。
根轨迹的基本规律是根据根轨迹满足的基
本条件导出的一些重要规律，它们也就成为绘
制根轨迹的基本规则。
§
§
4.2 根轨迹的基本规律根轨迹的基本规律
1）起点和终点根轨迹起始于开环极点或无穷远处(n<m)，
终止于开环零点或无穷远处(n>m)。
§
§
4.2.1
根轨迹的基本规律根轨迹的基本规律
1
1
()
()
n
i
i
m
j
j
sp
K
sz
=
=
=
∏
∏
此规律可由幅值条件得到证明。
2）根轨迹的支数和对称性根轨迹有max( n,m)支，并且对称于实轴。
3）实轴上的根轨迹实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为
若干段，对于其中任一段，如果其右边实轴上
的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定
是根轨迹的一部分。
这个规则用相角条件可以证明。
基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，
分离点的座标 λ,是下列代数方程的解：
∑∑
==
=
m
l
l
n
i
i
zp
11
11
λλ
必须说明的是，方程只是必要条件而非充
分条件。
4）根轨迹的分离点如果实轴上的两个相邻的开环极点或两个相邻的开环零点之间存在根轨迹，它一定有分离点。
一个特例，对于有两个开环极点p
1
、p
2
，而
无零点的系统，求分离点的代数方程为：
12
11
0
ppλλ
+ =
解得：
12
2
p p
λ
+
=
即分离点位于两个开环极点的坐标中点。典型二阶系统有一个开环极点位于原点，因此，
分离点位于
处。
λ =
2
2p
5）渐近线根轨迹趋向无穷远时，逐渐靠近一条直线，
该直线称为这条根轨迹的渐近线。根据无穷远处
s→∞的特点可以证明：当 n≠ m时，根轨迹存在
|n－ m|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：
所有渐近线交与实轴上的一点，其坐标为：
0
(2 1)180
,0,12,,||1φ
+
==?
"
k
k
knm
nm
11
σ
==
=
∑ ∑
nm
il
il
p z
nm
可以推知，| n－ m|支渐近线平分圆周角，
即它们在根平面上均匀分布。
另外，由于根轨迹对称于实轴，因此，它们的渐近线也对称于实轴。
由于渐近线平分圆周角，又对称于实轴，
因此，知道了根轨迹有几条渐近线，只需求出它们交于实轴上一点的坐标，就知道了它们在根平面上的分布。
将 s=jω
0
代入闭环特征方程，令特征方程
的实部和虚部分别等于零，可以解出 ω
0
和
K
0
。用劳斯（Roth）判据也可以求得 K
0
。
6）根轨迹与虚轴的交点
7）根轨迹的出射角和入射角根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴
的夹角称为出射角,根轨迹进入某个开环零点
的切线与实轴的夹角称为 入射角，用相角条件
不难证明，根轨迹从开环极点 p
i
出发的出射角
为：
根轨迹进入某个开环零点Z
l
的入射角为：
11
()( )
mn
pi i j i j
jj
ji
p zppθπ
==
≠
=? + ∠ ∠?
∑∑
注意，由第三条规律已经可以绘出实轴
上的根轨迹，因此，实轴上的出射角和入射
角是不用求的，上面求的是复数极点和复数
零点的出射角和入射角。
11
() ( )
mn
zl l j l j
jj
jl
z zzpθπ
==
≠
=? ∠ ∠?
∑∑
解：
1、系统有三个开环极点，无零点，根据
规则1）和2），根轨迹将有3支，分别开始于
这三个开环极点，趋向无穷远。
§
§
4.2.2
4.2.2
根轨迹绘图示例根轨迹绘图示例例4.2.1：设系统开环传递函数如下，按基
本规则绘制根轨迹图
。
() ()
(2)(5)
K
GsHs
ss s
=
+ +
根据规则3），实轴上的[-2,0]段是根轨
迹的一部分，实轴上的[-∞,-5]段也是根轨迹的
一部分。
2、实轴上的根轨迹根据规则4），根轨迹在实轴上的[-2，0]
段一定有一个分离点。
3、实轴上的分离点整理得：
解得 λ =-0.88,λ =-3.79,显然只有- 0.88在根
轨迹上，所以分离点为- 0.88。
11 1
0
25
+ +=
++λλ λ
2
314100+ +=λ λ
根据规则6），根轨迹有3根渐近线，它
们与实轴的夹角是：
4、渐近线
0
2
0
1
0
0
0
300,180,60
2,1,0,
3
180)12(
===
=
+
=
φφφ
φ k
k
k
所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：
025
2.33
3
==?σ
根据规则6）可以确定根轨迹与虚轴的交点。
5、与虚轴的交点列出劳斯表：
先用劳斯判据。系统的特征方程为：
32
710 0ss sK+ ++=
3
2
1
0
110
7
10
7
s
sK
K
s
sK
使第一列中
项等于零（临界稳定），可
以求得 K=70。通过求解由
行得出的辅助方程
1
s
2
s
可以求得根轨迹与虚轴的交点为
,
虚轴上交点处的频率为
。
10js ±=
10±=ω
2
70sK+ =
另外一种确定根轨迹与虚轴交点的方法是
令特征方程中的 s=jω
0
得：
令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得到 ω =0,K=0和
。因此，
70,10 =±= Kω
根轨迹在
处与虚轴相交，并且在交点处
K=70。
10=±ω
32 2 3
00 0 0 00
(j ) 7(j ) j10 ( 7 ) j(10 ) 0KK+ ++=?+?=ωωω ω ωω
由于三个开环极点都在实轴上，出射角不
用计算。
6、出射角
1、系统有两个开环极点：
一个开环零点：
。
(2)
() ()
(1)
+
=
+
Ks
GsHs
ss
例4.2.2：系统开环传递函数如下，按基本
规则绘制根轨迹图
。
10,2 1,pp= =?
1
z2=?
根据规则1）和2），根轨迹将有2支，分
别开始于这两个开环极点，其中一支终于零点，
根据规则3），实轴上的[-1,0]段是根
轨迹的一部分，实轴上的[-∞,-2]段也是根轨
迹的一部分。
2、实轴上的根轨迹根据规则4）根轨迹在实轴上的[-1，0]段
一定有一个分离点，在实轴上的[-∞,-2]段也
有一个分离点。
3、实轴上的分离点另一支趋向无穷远。
11 1
12λ λλ
+=
+ +
2
420λλ+ +=整理得：
解得 λ =-3.41,λ =-0.586,两个分离点分别
位于[-∞,-2]段和[-1，0]段。
根据规则5），根轨迹有一条渐近线，这
条渐近线就是负实轴。
4、渐近线由前四步已经知道，根轨迹不会穿过虚
轴跑到右半平面，因此，不需要求根轨迹与
虚轴的交点。
5、与虚轴的交点
6、出射角由于开环零、极点都在实轴上，出射角不用求。
用MATLAB绘出的根轨迹如图所示。
root1
根据基本规律绘制根轨迹有时会出现错误，
下面举一个例子：
考虑两个相似的系统：
11
2
(3)
() ()
(1)( 31)
+
=
+++
Ks
GsHs
ss s s
22
2
(3)
() ()
(1)( 2.51)
+
=
+++
Ks
GsHs
ss s s
(b)
(a)
用MATLAB绘出的根轨迹如图所示。
(a) (b)
再看一个例子。
系统的开环传递函数为：
2
1
() ()
(1)( 1.11)
GsHs
ss s
=
++
§
§
4.3 特殊根轨迹特殊根轨迹问题：
这些根轨迹不同于典型根轨迹，称之为特殊根轨迹。
1、如果以其它参数为参变量，如何绘
制根轨迹？
2、对于正反馈系统，根轨迹有何不同？
（ 1）以比例-微分环节的时间常数为参量例4.3.1,系统如图所示，为了确定零点，绘
出以时间常数T为参量的根轨迹
。
()Rs ()Cs
10
(10 1)ss+
1Ts+
§
§
4.3.1
4.3.1 以时间常数为参量的根轨迹图解：系统的开环传递函数为：
+
=
+
( )
( )
( )
10Ts 1
Gs
s10s 1
系统的闭环传递函数为：
+
Φ=
++ +
( )
( )
( )
10Ts 1
s
s10s 1 10 10Ts
分子分母同除以
s(10s+1)+10 就得到：
[ ]
[]
+++
Φ=
( )/ ( )
( )
( )
10Ts 1 s10s 1 10
s
1 10Ts/ s10s 1 10
()Rs ()Cs
10( 1)
(10 1) 10
Ts
ss
+
+ +
1
Ts
Ts+
等效系统：
开环传递函数为：
==
+ +++
( ) ( )
( ) (,)
10Ts Ts
Gs Hs
s10s 1 10 ss 0 1 1
等效系统的开环传的函数有两个极点和一
个零点,z
1
=0,p
1,2
=-0.1± j0.995 。
（ 2）以惯性环节的时间常数为参量
()Rs
1
1Ts+
5
(1)ss+
()Cs
例4.3.2：系统如图所示，为了确定惯性环
节的时间常数，绘出以时间常数T为参量的根轨
迹。
解：系统的开环传递函数为：
=
+ +
Gs
sTs s
5
( )
( 1)( 1)
系统的闭环传递函数为：
Φ=
+ ++
s
sTs s
5
( )
( 1)( 1) 5
=
+ +++
Ts s ss
2
5
( 1) ( 1) 5
分子分母同除以
s(s+1)+5,得：
[ ]
[]
++
Φ=
++
( )
( )
( )
2
5/ ss 1 5
s
1+Ts (s+1)/ ss 1 5
等效系统：
()Cs
5
(1)5ss+ +
2
(1)
5
Ts s+
()Rs
开环传递函数为：
=
+ +
( ) ( )
( )
2
Ts (s+1)
Gs Hs
ss 1 5
注意：等效系统的开环传递函数分母的阶
数小于分子的阶数，即n<m，有m-n=1条根轨迹
起始于无穷远处
。在这种情况下，MATLAB不能
运行。
临界增益为4，即
，则时间常数
的临界值为1/4=0.25。
1/ =4T T
可用劳斯判据验证此结论。
系统的特征方程为：
+ +++）
3 2
F s =Ts T 1s s 5( ( )
劳斯表：
T1
T+1 5
1-4T
5
T+1
0<T<0.25时系统稳定，与上面分析一致。
如果负反馈系统开环传递函数的分子、分
母中 s 最高次幂不同号，或者，正反馈系统开
环传递函数的分子、分母中 s 最高次幂同号，
则，闭环传递函数变成：
()
)( )
1()()
Gs
s
GsHs
Φ=
这时特征方程变成：
§
§
4.3.2
4.3.2 零度根轨迹
12
12
( )( )....( )
1()()1 0
( )( )....( )
m
n
Ks z s z s z
GsHs
spsp sp
=? =
由于相角条件的变为k360
0
，故称之为零度
根轨迹。这一改变导致基本规则的3)、5)和7)
必须修改为如下的3 ’)、5 ’)和7 ’)：
"2,1,0,360)()(
0
11
=±=?∠∠
∑∑
==
kkpszs
i
n
i
l
m
l
对应的相角条件变成：
3’) 对于实轴上的某一段，如果其右边实轴
上的开环零、极点总数是偶数，那么该段就
一定是根轨迹的一部分。
7’) 根轨迹的出射角和入射角公式中的180
0
均改为360
0
。
例4.3.3：负反馈系统的开环传递函数为：
)3)(2(
)1(
)()(
++
=
sss
sK
sHsG
用Matlab 绘出根轨迹如图，它印证了上述三
点改动。
5’) 渐近线与实轴的夹角为
1||,,2,1,0,
360
0
=
= mnk
mn
k
k
"φ
§
§
4.4 根轨迹与系统稳定性根轨迹与系统稳定性
1）根轨迹全部位于虚轴的左边，就意味着不
管取何值，闭环系统都是稳定的,称为 结构
稳定系统。
2）根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，
就意味着不管取何值，闭环系统都不可能稳
定，称为结构不稳定系统。
3）如果系统没有一支根轨迹全部位于右半平面，那么，根轨迹只要有一支穿越虚轴，就说明闭环系统的稳定是有条件的，称为条件稳定系统。知道了根轨迹与虚轴交点处的
值，就可以确定稳定条件，进而确定合适的
值。
K
K
4.4.1 增加开环零、极点对系统稳定性的影响
1,实轴上增加零、极点对根轨迹的影响例4.4.1
系统的开环传递函数为：
2
() ()
(2)
K
GsHs
ss
=
+
根轨迹如图所示，讨论增加零、极点的影响。
解：系统有两支根轨迹完全位于右半平面，是
结构不稳定系统。现增加一个位于负实轴上的
零点
，开环传递函数变为：
1z =?
2
(1)
() ()
(2)
Ks
GsHs
ss
+
=
+
根轨迹如下图所示。三支根轨迹都位于左
半平面，成为结构稳定系统。
可见，增加位于负实轴上的零点，使根轨
迹向左偏转，增加了系统的稳定度。
同理可推知，在负实轴上增加一个开环极
点，将使根轨迹向右偏转，不利于系统的稳定。
将图4-18所示的系统再增加一个
的极点，传递函数变为：
8p=?
2
(1)
() ()
(2)(8)
Ks
GsHs
ss s
+
=
+ +
系统的根轨迹如下图所示。
增加零、极点是系统校正常用的方法，但
要注意：
（1) 不要企图增加位于右半平面的开环零点或
极点，因为开环零点和极点是根轨迹的终点和
起点，它们将根轨迹引向右半平面，使系统稳
定性变差。
（2) 左侧负实轴上新增加的零点和极点，距原
点近的影响较大。
例4.4.2 系统的开环传递函数为：
()
(1)
K
Gs
ss
=
+
讨论忽略小惯性环节的影响。
2,小惯性环节对根轨迹的影响解：这是一个稳定的二阶系统，如果系统建模时
忽略了一个小惯性环节
，则系统实际
的传递函数应该是：
1
0.01 1s+
'( )
( 1)(0.01 1)
K
Gs
ss s
=
+ +
两个系统的根轨迹如下图所示。
可见，由于小惯性环节的存在，实际系统
与建模系统的根轨迹很不一样。
这个现象提示我们：
1)在系统建模时，不要轻易忽略那些看上去无
关紧要的小惯性环节。
2) 有时系统的参数不可能全部考虑到，这就要
求系统设计时一定要留足够的稳定裕量。
3,偶极子效应例4.4.3：系统的开环传递函数为：
() ()
s( 2)
K
GsHs
s
=
+
解：下面分别是原系统的根轨迹、增加一个极
点p=-5后的根轨迹和再增加一个零点z=-5.2后
的根轨迹。
讨论偶极子效应。
思考题：
开环偶极子效应与闭环偶极子效应有什么
不同？
§
§
4.4.2
4.4.2 开环零、极点抵消对系统响应的影响
()
()
()
M s
Gs
Ns
=
设系统前向通道的传递函数为：
反馈通道的传递函数为
，假如
有
一个极点
，这时
并不是系统的闭环极点。
如果系统设计时在前向通道增加了一个开环零
点来抵消这个开环极点，
()Hs
1
p
()Gs
1
p
1
11
()()
()
()()
s pMs
G' s
s pNs
=
系统的闭环传递函数为：
1
11
()()
()
()[()()()]
spMs
's
spNs MsHs
=
+
Φ
显然，
变成了系统的一个闭环极点，同时还增加了一个与之相同的闭环零点，开环零、极点对消变成了闭环零、极点对消。
如果系统设计时在反馈通道增加了一个开环
零点来抵消这个开环极点，即
1
p
1
() ( ) ()H's s pHs=?
系统的闭环传递函数为：
11
()
'( )
()[()()()]
Ms
s
spNs MsHs
=
+
Φ
同样变成了系统的一个闭环极点，但没有与之
相同的闭环零点。
由此可以得出结论：
开环系统零、极点抵消将使被抵消的开环极
点变成闭环极点，同时，前向通道的开环零、极
点抵消产生同样的闭环零、极点抵消。
1
p
解：系统的根轨迹如图。左半平面的极点
p
1
=-1使根轨迹向右偏转。
2
() ()
(1)( 1)
K
GsHs
sss
=
+ ++
例4.4.4,一个三阶系统的开环传递函数为：
讨论开环零、极点抵消对系统的影响。
校正装置增加一个零点，抵消极点p=-1的
影响，开环传递函数变为：
2
(1)
() ()
(1)( 1)
Ks
GsHs
sss
+
=
+ ++
不完全抵消问题
2
() ()
(0.5)( 22)
K
GsHs
sss
=
++
例4.4.5：一个三阶系统的传递函数为：
讨论开环零、极点抵消对系统的影响。
解：系统的根轨迹如图。
右半平面的零、极点抵消
2
(0.5)
() ()
(0.5)( 22)
Ks
GsHs
sss
=
++
如果用一个零点 z
1
=0.5去低消系统的不稳定
极点 p
1
=0.5，这时，系统的开环传递函数变成：
根轨迹如图所示。
图4-29
图4-30
取
1.1K =
不完全抵消问题用根轨迹分析系统的动态性能，体现在两
个方面：
4.5 根轨迹与系统的动态特性
（1）根据开环增益或系统动态指标的要求，在
根轨迹上确定闭环主导极点，并确定主导极点
对应的典型二阶系统的动态性能指标。
（2）在根轨迹上找到其它非主导极点，并考虑
闭环零点，来判断主导极点是否满足二阶近似
条件。
zpmap
§
§
4.5.1
等阻尼线和等角频率线
4.5.2 利用根轨迹估计系统的动态特性利用根轨迹估计系统的动态特性例4.5.1
单位反馈系统的开环传递函数为：
(5)
()
(2)(6)
Ks
Gs
ss s
+
=
+ +
K
(2) 选择
的一对共轭复数极点，它们对
应的典型二阶系统的动态指标能否近似原系统
的动态指标？
0.62ζ =
（1）
取多大时，系统的阻尼比大于0.62？
例4.5.2
单位反馈系统的开环传递函数为：
(5)
()
(4.8)
Ks
Gs
ss
+
=
选择
的一对共轭复数极点，它们对
应的典型二阶系统的动态指标能否近似原系统
的动态指标？
0.58ζ =
解：
用MATLAB画出根轨迹如图所示。
例4.5.3：
系统方框图如图所示：
系统方框图如图所示：
1、确定参数
、确定参数
K，
，
使主导极点的使主导极点的
。
。
0.4ζ =
2、改变
、改变
K值，能否使值，能否使
？
？
0.5ζ ≥
()Cs
20
(4)(1)ss+ +
K
()R s
1
s
20
() ()
( 1)( 4) 20
GsHs
ss s Ks
=
+++
解：系统开环传递函数为：
解：系统开环传递函数为：
由于开环传递函数不是典型根轨迹要求的由于开环传递函数不是典型根轨迹要求的形式，需要将它变形。
形式，需要将它变形。
闭环传递函数为：
闭环传递函数为：
20
()
( 1)( 4) 20 20
s
ss s Ks
Φ=
+ ++ +
分子分母同除以分子分母同除以
得：
得：( 1)( 4) 20ss s+ ++
20 [ ( 1)( 4) 20]
()
120 [( 1)( 4)20]
ss s
s
Ks s s s
+ ++
Φ=
++++
等效系统开环传递函数为：
等效系统开环传递函数为：
''
20
() ()
( 1)( 4) 20
Ks
Gs Hs
ss s
=
+ ++
a b
（1）由根轨迹可判断改变某系统参数能否得到
满足要求的闭环主导极点以及参数变化时闭环主
导极点的变化趋势。
（2）由根轨迹与满足要求的等阻尼线的交点可
确定系统的闭环主导极点。
根轨迹在系统动态分析和设计时的作用：
（3）MATLAB绘图给出了所选主导极点对应典型
二阶系统的动态指标，如果其它闭环零极点满
足二阶近似的条件，这些指标可用来近似估计
高阶系统的指标。
（4）由MATLAB绘制的根轨迹图很容易得到非主
导极点的位置，根据它们与主导极点的距离以
及闭环零点的位置来判断二阶近似指标的准确
性。
（5）如果改变系统参数不能得到希望的闭环
极点，可给系统增加零、极点（改变系统的结
构），来改变根轨迹的走向，从而得到希望的
闭环极点，这将在第六章讲述。
§
§
4.6 用用
MATLAB绘制根轨迹图绘制根轨迹图用Matlab绘制根轨迹图十分准确、快捷，
并提供了许多有用的功能。
一、绘制根轨迹图
rlocus(num,den)
Num和den分别是系统开环传递函数的分子多项式和分母多项式向量。
注：该函数不适用于有延时的连续系统。
2
2
( 2 4)
( ) ( )
( 4)( 1.4 1)
K s s
Gs H s
s s s s
++
=
+ ++
num=[1,2,4];
den=conv([1,0],conv([1,4],[1,1.4,1]))
rlocus(num,den)
MATLAB命令：
根轨迹如图例4.6.1
系统开环传递函数为：
Root3a
用光标单击根轨迹上的某一点会出一个文
字框，标出该点的座标,K值、对应系统的阻
尼系数、超调量、无阻尼自由振荡频率等，如
上图。
二、读取极点对应的系统参数三、获取系统全部极点信息
[K,POLES]= rlocfind
该命令产生一个大十字光标，用此光标在根轨迹上单击一个极点，该极点对应的增益值被存入参数K，与此K值对应的所有闭环极点被存入向量
POLES，同时，在根轨迹上显示所有闭环极点。如果使用命令rlocfind,则只在根轨迹上显示所有闭环极点，而不存储(如图所示）。
四、获取等阻尼线和等角频率线（栅格）
grid
执行此命令，根轨迹图上出现栅格，即等阻尼线和等角频率线。
1）什么是根轨迹？
小小
结结
2）如何绘制典型根轨迹概略图？
3）如何绘制特殊根轨迹概略图？
4）如何利用根轨迹判断系统的稳定性？
5）如何利用根轨迹分析系统的动态特性？
一、掌握根轨迹满足的基本条件以及根轨
迹的基本规律，学会绘制根轨迹概略图。
二、掌握绘制特殊根轨迹概略图的方法。
三、掌握用根轨迹图分析系统性能（稳定
性、动态性能）的方法。
四、掌握增加零、极点对系统根轨迹的影
响规律。
本章掌握要点五、通过根轨迹分析，深入理解开环零极
点抵消对系统的影响以及开环偶极子的作用原
理。
课堂提问问题3：什么是结构稳定系统、结构不稳定系统
和条件稳定系统？
问题4：利用根轨迹估计系统的动态特性时有一
个因素不能忘记，它是什么？
控制系统的根轨迹控制系统的根轨迹本章要解决的问题：
1,什么是典型根轨迹？典型根轨迹有什么规律？如何绘制？
2、什么是特殊根轨迹？特殊根轨迹如何绘制？
3、如何用根轨迹分析系统的稳定性？
4、如何用根轨迹进行动态品质分析？
§
§
4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变
化时，闭环特征根在复平面上的运动轨迹。
§
§
4.1.1
什么是根轨迹例4.1.1 负反馈控制系统如图所示，设其
开环传递函数为：
() ()
(1)(2)
K
GsHs
ss s
=
+ +
当 K从零到无穷大连续变化时，观察闭环系统的特征根的变化轨迹。
023
23
=+++ Ksss
解：系统的闭环特征方程为：
当 K从零到无穷大连续变化时，闭环特征
根在复平面上的变化轨迹如下图所示，这就是
系统以 K 为参变量的根轨迹。
（2）根轨迹与虚轴的交点为临界稳定点，该处的
值称为临界增益。
K
(1) 系统有三条根轨迹，当
取某一定值时，
每条根轨迹上对应一个点，根平面上这三个点
就是系统的三个闭环极点。
K
从根轨迹图可以看出：
（3）根轨迹离开实轴的点称为分离点，它对应于二阶系统
的两个重极点。
1ζ =
可以看出，根轨迹图上清楚地反映了如下重要信息：
1）临界稳定时的开环增益。
2）闭环特征根进入复平面时的临界增益。
3）选定开环增益后，系统闭环特征根在根平
面上的分布。
4）参数变化时，系统闭环特征根在根平面上
的变化趋势。
考察图4-1所示的系统，其闭环传递函数为:
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sY
+
=
0)()(1 =+ sHsG
闭环特征方程为：
根轨迹上的任何一点都应满足：
§
§
4.1.2
根轨迹满足的基本条件
1)()(?=sHsG
上式可分解为幅值条件,
1)()( =sHsG
",2,1,0180)12()()(
0
=+±=∠ kksHsG
和相角条件：
这里讨论的是以开环增益
为参变量的根
轨迹，它是最基本、最常用的根轨迹，我们称
之为‘典型根轨迹’。
K
设系统开环传递函数可以表示为：
0,
))....()((
))....()((
)()(
21
21
>
= K
pspsps
zszszsK
sHsG
n
m
则幅值条件具体化为：
1
1
1
1
()
()
()
()
n
n
i
i
i
i
m
m
l
l
l
l
sp
s p
K
s z
sz
=
=
=
=
==
∏
∏
∏
∏
相角条件具体化为：
0
11
( ) ( ) (2 1)180 1,2
mn
li
li
sz sp k k
==
∠ ∠? =± + =
∑∑
根据幅值条件和相角条件，可以判断动点
s是不是根轨迹上的点。
根轨迹的基本规律是根据根轨迹满足的基
本条件导出的一些重要规律，它们也就成为绘
制根轨迹的基本规则。
§
§
4.2 根轨迹的基本规律根轨迹的基本规律
1）起点和终点根轨迹起始于开环极点或无穷远处(n<m)，
终止于开环零点或无穷远处(n>m)。
§
§
4.2.1
根轨迹的基本规律根轨迹的基本规律
1
1
()
()
n
i
i
m
j
j
sp
K
sz
=
=
=
∏
∏
此规律可由幅值条件得到证明。
2）根轨迹的支数和对称性根轨迹有max( n,m)支，并且对称于实轴。
3）实轴上的根轨迹实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为
若干段，对于其中任一段，如果其右边实轴上
的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定
是根轨迹的一部分。
这个规则用相角条件可以证明。
基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，
分离点的座标 λ,是下列代数方程的解：
∑∑
==
=
m
l
l
n
i
i
zp
11
11
λλ
必须说明的是，方程只是必要条件而非充
分条件。
4）根轨迹的分离点如果实轴上的两个相邻的开环极点或两个相邻的开环零点之间存在根轨迹，它一定有分离点。
一个特例，对于有两个开环极点p
1
、p
2
，而
无零点的系统，求分离点的代数方程为：
12
11
0
ppλλ
+ =
解得：
12
2
p p
λ
+
=
即分离点位于两个开环极点的坐标中点。典型二阶系统有一个开环极点位于原点，因此，
分离点位于
处。
λ =
2
2p
5）渐近线根轨迹趋向无穷远时，逐渐靠近一条直线，
该直线称为这条根轨迹的渐近线。根据无穷远处
s→∞的特点可以证明：当 n≠ m时，根轨迹存在
|n－ m|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：
所有渐近线交与实轴上的一点，其坐标为：
0
(2 1)180
,0,12,,||1φ
+
==?
"
k
k
knm
nm
11
σ
==
=
∑ ∑
nm
il
il
p z
nm
可以推知，| n－ m|支渐近线平分圆周角，
即它们在根平面上均匀分布。
另外，由于根轨迹对称于实轴，因此，它们的渐近线也对称于实轴。
由于渐近线平分圆周角，又对称于实轴，
因此，知道了根轨迹有几条渐近线，只需求出它们交于实轴上一点的坐标，就知道了它们在根平面上的分布。
将 s=jω
0
代入闭环特征方程，令特征方程
的实部和虚部分别等于零，可以解出 ω
0
和
K
0
。用劳斯（Roth）判据也可以求得 K
0
。
6）根轨迹与虚轴的交点
7）根轨迹的出射角和入射角根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴
的夹角称为出射角,根轨迹进入某个开环零点
的切线与实轴的夹角称为 入射角，用相角条件
不难证明，根轨迹从开环极点 p
i
出发的出射角
为：
根轨迹进入某个开环零点Z
l
的入射角为：
11
()( )
mn
pi i j i j
jj
ji
p zppθπ
==
≠
=? + ∠ ∠?
∑∑
注意，由第三条规律已经可以绘出实轴
上的根轨迹，因此，实轴上的出射角和入射
角是不用求的，上面求的是复数极点和复数
零点的出射角和入射角。
11
() ( )
mn
zl l j l j
jj
jl
z zzpθπ
==
≠
=? ∠ ∠?
∑∑
解：
1、系统有三个开环极点，无零点，根据
规则1）和2），根轨迹将有3支，分别开始于
这三个开环极点，趋向无穷远。
§
§
4.2.2
4.2.2
根轨迹绘图示例根轨迹绘图示例例4.2.1：设系统开环传递函数如下，按基
本规则绘制根轨迹图
。
() ()
(2)(5)
K
GsHs
ss s
=
+ +
根据规则3），实轴上的[-2,0]段是根轨
迹的一部分，实轴上的[-∞,-5]段也是根轨迹的
一部分。
2、实轴上的根轨迹根据规则4），根轨迹在实轴上的[-2，0]
段一定有一个分离点。
3、实轴上的分离点整理得：
解得 λ =-0.88,λ =-3.79,显然只有- 0.88在根
轨迹上，所以分离点为- 0.88。
11 1
0
25
+ +=
++λλ λ
2
314100+ +=λ λ
根据规则6），根轨迹有3根渐近线，它
们与实轴的夹角是：
4、渐近线
0
2
0
1
0
0
0
300,180,60
2,1,0,
3
180)12(
===
=
+
=
φφφ
φ k
k
k
所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：
025
2.33
3
==?σ
根据规则6）可以确定根轨迹与虚轴的交点。
5、与虚轴的交点列出劳斯表：
先用劳斯判据。系统的特征方程为：
32
710 0ss sK+ ++=
3
2
1
0
110
7
10
7
s
sK
K
s
sK
使第一列中
项等于零（临界稳定），可
以求得 K=70。通过求解由
行得出的辅助方程
1
s
2
s
可以求得根轨迹与虚轴的交点为
,
虚轴上交点处的频率为
。
10js ±=
10±=ω
2
70sK+ =
另外一种确定根轨迹与虚轴交点的方法是
令特征方程中的 s=jω
0
得：
令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得到 ω =0,K=0和
。因此，
70,10 =±= Kω
根轨迹在
处与虚轴相交，并且在交点处
K=70。
10=±ω
32 2 3
00 0 0 00
(j ) 7(j ) j10 ( 7 ) j(10 ) 0KK+ ++=?+?=ωωω ω ωω
由于三个开环极点都在实轴上，出射角不
用计算。
6、出射角
1、系统有两个开环极点：
一个开环零点：
。
(2)
() ()
(1)
+
=
+
Ks
GsHs
ss
例4.2.2：系统开环传递函数如下，按基本
规则绘制根轨迹图
。
10,2 1,pp= =?
1
z2=?
根据规则1）和2），根轨迹将有2支，分
别开始于这两个开环极点，其中一支终于零点，
根据规则3），实轴上的[-1,0]段是根
轨迹的一部分，实轴上的[-∞,-2]段也是根轨
迹的一部分。
2、实轴上的根轨迹根据规则4）根轨迹在实轴上的[-1，0]段
一定有一个分离点，在实轴上的[-∞,-2]段也
有一个分离点。
3、实轴上的分离点另一支趋向无穷远。
11 1
12λ λλ
+=
+ +
2
420λλ+ +=整理得：
解得 λ =-3.41,λ =-0.586,两个分离点分别
位于[-∞,-2]段和[-1，0]段。
根据规则5），根轨迹有一条渐近线，这
条渐近线就是负实轴。
4、渐近线由前四步已经知道，根轨迹不会穿过虚
轴跑到右半平面，因此，不需要求根轨迹与
虚轴的交点。
5、与虚轴的交点
6、出射角由于开环零、极点都在实轴上，出射角不用求。
用MATLAB绘出的根轨迹如图所示。
root1
根据基本规律绘制根轨迹有时会出现错误，
下面举一个例子：
考虑两个相似的系统：
11
2
(3)
() ()
(1)( 31)
+
=
+++
Ks
GsHs
ss s s
22
2
(3)
() ()
(1)( 2.51)
+
=
+++
Ks
GsHs
ss s s
(b)
(a)
用MATLAB绘出的根轨迹如图所示。
(a) (b)
再看一个例子。
系统的开环传递函数为：
2
1
() ()
(1)( 1.11)
GsHs
ss s
=
++
§
§
4.3 特殊根轨迹特殊根轨迹问题：
这些根轨迹不同于典型根轨迹，称之为特殊根轨迹。
1、如果以其它参数为参变量，如何绘
制根轨迹？
2、对于正反馈系统，根轨迹有何不同？
（ 1）以比例-微分环节的时间常数为参量例4.3.1,系统如图所示，为了确定零点，绘
出以时间常数T为参量的根轨迹
。
()Rs ()Cs
10
(10 1)ss+
1Ts+
§
§
4.3.1
4.3.1 以时间常数为参量的根轨迹图解：系统的开环传递函数为：
+
=
+
( )
( )
( )
10Ts 1
Gs
s10s 1
系统的闭环传递函数为：
+
Φ=
++ +
( )
( )
( )
10Ts 1
s
s10s 1 10 10Ts
分子分母同除以
s(10s+1)+10 就得到：
[ ]
[]
+++
Φ=
( )/ ( )
( )
( )
10Ts 1 s10s 1 10
s
1 10Ts/ s10s 1 10
()Rs ()Cs
10( 1)
(10 1) 10
Ts
ss
+
+ +
1
Ts
Ts+
等效系统：
开环传递函数为：
==
+ +++
( ) ( )
( ) (,)
10Ts Ts
Gs Hs
s10s 1 10 ss 0 1 1
等效系统的开环传的函数有两个极点和一
个零点,z
1
=0,p
1,2
=-0.1± j0.995 。
（ 2）以惯性环节的时间常数为参量
()Rs
1
1Ts+
5
(1)ss+
()Cs
例4.3.2：系统如图所示，为了确定惯性环
节的时间常数，绘出以时间常数T为参量的根轨
迹。
解：系统的开环传递函数为：
=
+ +
Gs
sTs s
5
( )
( 1)( 1)
系统的闭环传递函数为：
Φ=
+ ++
s
sTs s
5
( )
( 1)( 1) 5
=
+ +++
Ts s ss
2
5
( 1) ( 1) 5
分子分母同除以
s(s+1)+5,得：
[ ]
[]
++
Φ=
++
( )
( )
( )
2
5/ ss 1 5
s
1+Ts (s+1)/ ss 1 5
等效系统：
()Cs
5
(1)5ss+ +
2
(1)
5
Ts s+
()Rs
开环传递函数为：
=
+ +
( ) ( )
( )
2
Ts (s+1)
Gs Hs
ss 1 5
注意：等效系统的开环传递函数分母的阶
数小于分子的阶数，即n<m，有m-n=1条根轨迹
起始于无穷远处
。在这种情况下，MATLAB不能
运行。
临界增益为4，即
，则时间常数
的临界值为1/4=0.25。
1/ =4T T
可用劳斯判据验证此结论。
系统的特征方程为：
+ +++）
3 2
F s =Ts T 1s s 5( ( )
劳斯表：
T1
T+1 5
1-4T
5
T+1
0<T<0.25时系统稳定，与上面分析一致。
如果负反馈系统开环传递函数的分子、分
母中 s 最高次幂不同号，或者，正反馈系统开
环传递函数的分子、分母中 s 最高次幂同号，
则，闭环传递函数变成：
()
)( )
1()()
Gs
s
GsHs
Φ=
这时特征方程变成：
§
§
4.3.2
4.3.2 零度根轨迹
12
12
( )( )....( )
1()()1 0
( )( )....( )
m
n
Ks z s z s z
GsHs
spsp sp
=? =
由于相角条件的变为k360
0
，故称之为零度
根轨迹。这一改变导致基本规则的3)、5)和7)
必须修改为如下的3 ’)、5 ’)和7 ’)：
"2,1,0,360)()(
0
11
=±=?∠∠
∑∑
==
kkpszs
i
n
i
l
m
l
对应的相角条件变成：
3’) 对于实轴上的某一段，如果其右边实轴
上的开环零、极点总数是偶数，那么该段就
一定是根轨迹的一部分。
7’) 根轨迹的出射角和入射角公式中的180
0
均改为360
0
。
例4.3.3：负反馈系统的开环传递函数为：
)3)(2(
)1(
)()(
++
=
sss
sK
sHsG
用Matlab 绘出根轨迹如图，它印证了上述三
点改动。
5’) 渐近线与实轴的夹角为
1||,,2,1,0,
360
0
=
= mnk
mn
k
k
"φ
§
§
4.4 根轨迹与系统稳定性根轨迹与系统稳定性
1）根轨迹全部位于虚轴的左边，就意味着不
管取何值，闭环系统都是稳定的,称为 结构
稳定系统。
2）根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，
就意味着不管取何值，闭环系统都不可能稳
定，称为结构不稳定系统。
3）如果系统没有一支根轨迹全部位于右半平面，那么，根轨迹只要有一支穿越虚轴，就说明闭环系统的稳定是有条件的，称为条件稳定系统。知道了根轨迹与虚轴交点处的
值，就可以确定稳定条件，进而确定合适的
值。
K
K
4.4.1 增加开环零、极点对系统稳定性的影响
1,实轴上增加零、极点对根轨迹的影响例4.4.1
系统的开环传递函数为：
2
() ()
(2)
K
GsHs
ss
=
+
根轨迹如图所示，讨论增加零、极点的影响。
解：系统有两支根轨迹完全位于右半平面，是
结构不稳定系统。现增加一个位于负实轴上的
零点
，开环传递函数变为：
1z =?
2
(1)
() ()
(2)
Ks
GsHs
ss
+
=
+
根轨迹如下图所示。三支根轨迹都位于左
半平面，成为结构稳定系统。
可见，增加位于负实轴上的零点，使根轨
迹向左偏转，增加了系统的稳定度。
同理可推知，在负实轴上增加一个开环极
点，将使根轨迹向右偏转，不利于系统的稳定。
将图4-18所示的系统再增加一个
的极点，传递函数变为：
8p=?
2
(1)
() ()
(2)(8)
Ks
GsHs
ss s
+
=
+ +
系统的根轨迹如下图所示。
增加零、极点是系统校正常用的方法，但
要注意：
（1) 不要企图增加位于右半平面的开环零点或
极点，因为开环零点和极点是根轨迹的终点和
起点，它们将根轨迹引向右半平面，使系统稳
定性变差。
（2) 左侧负实轴上新增加的零点和极点，距原
点近的影响较大。
例4.4.2 系统的开环传递函数为：
()
(1)
K
Gs
ss
=
+
讨论忽略小惯性环节的影响。
2,小惯性环节对根轨迹的影响解：这是一个稳定的二阶系统，如果系统建模时
忽略了一个小惯性环节
，则系统实际
的传递函数应该是：
1
0.01 1s+
'( )
( 1)(0.01 1)
K
Gs
ss s
=
+ +
两个系统的根轨迹如下图所示。
可见，由于小惯性环节的存在，实际系统
与建模系统的根轨迹很不一样。
这个现象提示我们：
1)在系统建模时，不要轻易忽略那些看上去无
关紧要的小惯性环节。
2) 有时系统的参数不可能全部考虑到，这就要
求系统设计时一定要留足够的稳定裕量。
3,偶极子效应例4.4.3：系统的开环传递函数为：
() ()
s( 2)
K
GsHs
s
=
+
解：下面分别是原系统的根轨迹、增加一个极
点p=-5后的根轨迹和再增加一个零点z=-5.2后
的根轨迹。
讨论偶极子效应。
思考题：
开环偶极子效应与闭环偶极子效应有什么
不同？
§
§
4.4.2
4.4.2 开环零、极点抵消对系统响应的影响
()
()
()
M s
Gs
Ns
=
设系统前向通道的传递函数为：
反馈通道的传递函数为
，假如
有
一个极点
，这时
并不是系统的闭环极点。
如果系统设计时在前向通道增加了一个开环零
点来抵消这个开环极点，
()Hs
1
p
()Gs
1
p
1
11
()()
()
()()
s pMs
G' s
s pNs
=
系统的闭环传递函数为：
1
11
()()
()
()[()()()]
spMs
's
spNs MsHs
=
+
Φ
显然，
变成了系统的一个闭环极点，同时还增加了一个与之相同的闭环零点，开环零、极点对消变成了闭环零、极点对消。
如果系统设计时在反馈通道增加了一个开环
零点来抵消这个开环极点，即
1
p
1
() ( ) ()H's s pHs=?
系统的闭环传递函数为：
11
()
'( )
()[()()()]
Ms
s
spNs MsHs
=
+
Φ
同样变成了系统的一个闭环极点，但没有与之
相同的闭环零点。
由此可以得出结论：
开环系统零、极点抵消将使被抵消的开环极
点变成闭环极点，同时，前向通道的开环零、极
点抵消产生同样的闭环零、极点抵消。
1
p
解：系统的根轨迹如图。左半平面的极点
p
1
=-1使根轨迹向右偏转。
2
() ()
(1)( 1)
K
GsHs
sss
=
+ ++
例4.4.4,一个三阶系统的开环传递函数为：
讨论开环零、极点抵消对系统的影响。
校正装置增加一个零点，抵消极点p=-1的
影响，开环传递函数变为：
2
(1)
() ()
(1)( 1)
Ks
GsHs
sss
+
=
+ ++
不完全抵消问题
2
() ()
(0.5)( 22)
K
GsHs
sss
=
++
例4.4.5：一个三阶系统的传递函数为：
讨论开环零、极点抵消对系统的影响。
解：系统的根轨迹如图。
右半平面的零、极点抵消
2
(0.5)
() ()
(0.5)( 22)
Ks
GsHs
sss
=
++
如果用一个零点 z
1
=0.5去低消系统的不稳定
极点 p
1
=0.5，这时，系统的开环传递函数变成：
根轨迹如图所示。
图4-29
图4-30
取
1.1K =
不完全抵消问题用根轨迹分析系统的动态性能，体现在两
个方面：
4.5 根轨迹与系统的动态特性
（1）根据开环增益或系统动态指标的要求，在
根轨迹上确定闭环主导极点，并确定主导极点
对应的典型二阶系统的动态性能指标。
（2）在根轨迹上找到其它非主导极点，并考虑
闭环零点，来判断主导极点是否满足二阶近似
条件。
zpmap
§
§
4.5.1
等阻尼线和等角频率线
4.5.2 利用根轨迹估计系统的动态特性利用根轨迹估计系统的动态特性例4.5.1
单位反馈系统的开环传递函数为：
(5)
()
(2)(6)
Ks
Gs
ss s
+
=
+ +
K
(2) 选择
的一对共轭复数极点，它们对
应的典型二阶系统的动态指标能否近似原系统
的动态指标？
0.62ζ =
（1）
取多大时，系统的阻尼比大于0.62？
例4.5.2
单位反馈系统的开环传递函数为：
(5)
()
(4.8)
Ks
Gs
ss
+
=
选择
的一对共轭复数极点，它们对
应的典型二阶系统的动态指标能否近似原系统
的动态指标？
0.58ζ =
解：
用MATLAB画出根轨迹如图所示。
例4.5.3：
系统方框图如图所示：
系统方框图如图所示：
1、确定参数
、确定参数
K，
，
使主导极点的使主导极点的
。
。
0.4ζ =
2、改变
、改变
K值，能否使值，能否使
？
？
0.5ζ ≥
()Cs
20
(4)(1)ss+ +
K
()R s
1
s
20
() ()
( 1)( 4) 20
GsHs
ss s Ks
=
+++
解：系统开环传递函数为：
解：系统开环传递函数为：
由于开环传递函数不是典型根轨迹要求的由于开环传递函数不是典型根轨迹要求的形式，需要将它变形。
形式，需要将它变形。
闭环传递函数为：
闭环传递函数为：
20
()
( 1)( 4) 20 20
s
ss s Ks
Φ=
+ ++ +
分子分母同除以分子分母同除以
得：
得：( 1)( 4) 20ss s+ ++
20 [ ( 1)( 4) 20]
()
120 [( 1)( 4)20]
ss s
s
Ks s s s
+ ++
Φ=
++++
等效系统开环传递函数为：
等效系统开环传递函数为：
''
20
() ()
( 1)( 4) 20
Ks
Gs Hs
ss s
=
+ ++
a b
（1）由根轨迹可判断改变某系统参数能否得到
满足要求的闭环主导极点以及参数变化时闭环主
导极点的变化趋势。
（2）由根轨迹与满足要求的等阻尼线的交点可
确定系统的闭环主导极点。
根轨迹在系统动态分析和设计时的作用：
（3）MATLAB绘图给出了所选主导极点对应典型
二阶系统的动态指标，如果其它闭环零极点满
足二阶近似的条件，这些指标可用来近似估计
高阶系统的指标。
（4）由MATLAB绘制的根轨迹图很容易得到非主
导极点的位置，根据它们与主导极点的距离以
及闭环零点的位置来判断二阶近似指标的准确
性。
（5）如果改变系统参数不能得到希望的闭环
极点，可给系统增加零、极点（改变系统的结
构），来改变根轨迹的走向，从而得到希望的
闭环极点，这将在第六章讲述。
§
§
4.6 用用
MATLAB绘制根轨迹图绘制根轨迹图用Matlab绘制根轨迹图十分准确、快捷，
并提供了许多有用的功能。
一、绘制根轨迹图
rlocus(num,den)
Num和den分别是系统开环传递函数的分子多项式和分母多项式向量。
注：该函数不适用于有延时的连续系统。
2
2
( 2 4)
( ) ( )
( 4)( 1.4 1)
K s s
Gs H s
s s s s
++
=
+ ++
num=[1,2,4];
den=conv([1,0],conv([1,4],[1,1.4,1]))
rlocus(num,den)
MATLAB命令：
根轨迹如图例4.6.1
系统开环传递函数为：
Root3a
用光标单击根轨迹上的某一点会出一个文
字框，标出该点的座标,K值、对应系统的阻
尼系数、超调量、无阻尼自由振荡频率等，如
上图。
二、读取极点对应的系统参数三、获取系统全部极点信息
[K,POLES]= rlocfind
该命令产生一个大十字光标，用此光标在根轨迹上单击一个极点，该极点对应的增益值被存入参数K，与此K值对应的所有闭环极点被存入向量
POLES，同时，在根轨迹上显示所有闭环极点。如果使用命令rlocfind,则只在根轨迹上显示所有闭环极点，而不存储(如图所示）。
四、获取等阻尼线和等角频率线（栅格）
grid
执行此命令，根轨迹图上出现栅格，即等阻尼线和等角频率线。
1）什么是根轨迹？
小小
结结
2）如何绘制典型根轨迹概略图？
3）如何绘制特殊根轨迹概略图？
4）如何利用根轨迹判断系统的稳定性？
5）如何利用根轨迹分析系统的动态特性？
一、掌握根轨迹满足的基本条件以及根轨
迹的基本规律，学会绘制根轨迹概略图。
二、掌握绘制特殊根轨迹概略图的方法。
三、掌握用根轨迹图分析系统性能（稳定
性、动态性能）的方法。
四、掌握增加零、极点对系统根轨迹的影
响规律。
本章掌握要点五、通过根轨迹分析，深入理解开环零极
点抵消对系统的影响以及开环偶极子的作用原
理。
课堂提问问题3：什么是结构稳定系统、结构不稳定系统
和条件稳定系统？
问题4：利用根轨迹估计系统的动态特性时有一
个因素不能忘记，它是什么？
