第第
3章章
控制系统的时域分析控制系统的时域分析
1、系统的时域响应与系统的零、极点有什么关系？零、极点抵消会产生什么后果？
2、评价控制系统的优劣有哪些性能指标？这些指标如何定义？
3、如何对系统进行稳定性分析、稳态分析和动态品质分析？
本章要解决的问题：
§
§
3.1 线性定常系统的时域响应线性定常系统的时域响应
1)-(3 )(
)()()(
)(
)()()(
1
1
1
10
1
1
1
10
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt
trd
b
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
++++=
++++
"
"
对于一个单输入单输出 n阶线性定常系统，
可用一个 n阶线性常系数微分方程来描述。
1
1
()
() ()
()
() ()
()
m
j
j
n
i
i
Ksz
Cs Ms
s
R sN
sp
=
=
Φ= = =
∏
∏
n阶线性定常系统传递函数的零、极点形式为：
§ 3.1.1 传递函数的零、极点与系统的时域响应系统输出的拉氏变换为：
1
1
()
()
() () ()
()
()
m
j
j
n
i
i
Ksz
Ms
Cs Rs Rs
Ns
sp
=
=
==
∏
∏
当输入信号为单位冲激函数时,R(s)=1，对
上式求拉氏反变换，得系统输出的时域响应，即
冲激响应为：
1
11 1
1
()
()
() [ ()]
()
()
m
j
j
n
i
i
Ksz
M s
Ct L Cs L L
Ns
sp
=
=
== =
∏
∏
由拉氏反变换的部分分式法可知，系统输出的时域响应与传递函数的零、极点有关。
lim( ) ( )
i
ii
sp
A spCs
→
=?
1
1
1
1
()
() ()
()(
()
)
q
i
i
i
i
q
i
A
s
Ms
Cs
sN
p
Cs
ps
=
=
=
=+
∑
∏
1,当系统有q个互不相等的闭环实数极点 P
i
时时域响应包含q个指数运动模态。
1
1
() ()
i
q
pt
i
i
gt ge tA
=
=+
∑
1
2
()
ii
jj
r
i
i
ii ii
Cs
ee
K
sjsj
θθ
αβ αβ
=
+
+
+
=
∑
2,如果
含有r对共轭复极点
，
则
1
()Cs
lim ( ) ( )
i
ii
j
ii
sj
K esj Cs
θ
αβ
αβ
→+
=
11
1
1
2
1
() ()
()
()
[( )( )] ( )
r
kk kk
k
Ms Ms
Cs
Ns
sjsjNsαβ αβ
=
==
+
∏
1,2
j
kk
p α β= ±
时域响应包含r个调幅余弦运动模态。
2
1 1
2cos()() ()
i i
r
t
q
pt
iii
i
i
i
gt e gtAtKe
α
βθ
==
+=+ +
∑∑
3,如果
含有
重极点s
1
，则
2
()Cs
22
23
213
1
1
1
1
() ()
() ()
() ( ) () ()
v
i
vi
i
v
Ms Ms
Cs Cs
Ns s s N ss
B
s
+?
=
== +
∑
1
1
11
1
1
lim [( ) ( )]
(1)!
i
v
i
i
ss
d
B ssCs
ids
→
=?
v
时域响应包含
个幂函数与指数函数乘积
形式的运动模态：
11
() 2 cos( )
ii
q
r
pt t
ii
gt Ae K e t
α
β θ
==
= ++
∑∑
1
1
1
3
()
()!
v
stvi
i
i
B
t ge
i
t
v
=
+
+
∑
3
()Cs
3
()gt
剩余部分
包含其它的重极点，因此，
包含其它重极点对应的响应。
v
通过时域响应的分解可知，传递函数的极点
决定了系统所固有的运动模态,称为系统的固有
运动模态。而传递函数的零点则影响到各模态在
运动中所占的比重（即影响到各固有运动模态的
系数）。因此，系统的动态特性是由系统传递函
数的极点和零点共同决定的。
极点的分布及系统固有运动模态的形状如下图所示。
σ
j
闭环极点 的共轭极点
———
——
总结出如下规律：
a、极点的左右分布——决定响应的收敛性
b、极点的虚实分布 ——决定响应的振荡性
c、极点的远近分布——决定响应的快速性
a、靠近零点的极点——对应运动模态的幅度很小。称为零、极点的抵消作用。
例如，对于单极点，对应运动模态的系数为：
零、极点的抵消作用：
lim( ) ( )
→
=?
i
ii
sp
A spCs
如果传递函数中有一个接近于极点 p
i
的零点，
即，则
ii
z p≈
i
i
(s z ) '( )
C(s)
(s p ) '( )
M s
Ns
=
由于
，因此，
很小，即该极点对
应的运动模态幅度很小。
'( )
lim( ) ( ) ( ) lim
'( )
ii
iii
sp sp
M s
AspCsp-z
Ns
→→
=? =
ii
z p≈
i
A
靠得很近的一对零、极点称为一对偶极子。
结论,对于在右半平面和虚轴上没有极点
的高阶线性定常系统，靠近虚轴又远离零点的
极点对应的固有运动模态衰减最慢，系统的动
态性能主要由这些极点决定，这些极点称为系
统的主导极点。
§ 3.1.2 线性常系数微分方程的解
1）齐次解和特解
y
1
(t)——对应齐次微分方程的通解（齐次解）
y
2
(t)——非齐次微分方程的一个特解齐次解是齐次微分方程的通解。对于线性
定常系统而言，它是系统的自由响应。
N
i
n
t
12 i p
i1
y(t) y (t) y (t) C e y (t)
λ
=
=+= +
∑
强迫响应自由响应齐次解是系统固有运动模态的线性组合，
而系统的固有运动模态由系统的特征根决定，
因此，齐次解的形式只与系统本身的特性有
关，与输入信号和初始状态无关，称之为系统
的固有响应。但齐次解中各固有运动模态的系
数则由初始条件和输入信号共同决定。
当系统的特征根都位于左半 S 平面时，各
固有运动模态都将随着时间的推移而衰减到
零，齐次解也就衰减到零。这种情况下，齐次
解表现为系统响应的暂态分量。
自动控制系统中描述暂态响应的性能指
标为：快速性和平稳性。
特解的形式与激励信号的形式有关，称
为系统的强迫相应。当系统的特征根都位于
左半 S 平面时，随着时间的推移，齐次解衰
减为零，因此，特解是系统在时间
t→∞ 时
的输出，即系统响应的稳态分量；
自动控制系统的稳态性能指标为,稳
态误差。
2）零状态响应和零输入响应零状态响应是系统的初始状态为零时，系
统对输入信号的响应。
完全响应 = 零状态响应 + 零输入响应零状态响应表示为：
i
n
t
ffp
i1
y(t) Ce +y(t)
λ
=
=
∑
p
y (t)
是强迫响应，
由输入信号决定。
fi
C
零输入响应是系统的输入为零时，系统的
初始状态所引起的响应。
零输入响应表示为：
i
n
t
xx
i1
y(t) Ce
λ
=
=
∑
由初始状态决定。
xi
C
两种分解方法的关系是：
N
i
n
t
ip
i1
y(t) C e y (t)
λ
=
=+
∑
强迫响应自由响应
ii
nn
tt
xi fi p
i1 i1
Ce Ce +y(t)
λλ
==
=+
∑∑
零输入响应 零状态响应
iii
nn n
ttt
ixif
i1 i1 i1
Ce C e C e
λ λλ
== =
=+
∑∑∑
其中：
在系统传递函数没有零、极点抵消 的情况
下，传递函数的极点就是系统的全部特征根，
传递函数的极点决定了系统的固有运动模态，
零输入响应、零状态响应和自由响应中含有同
样的、并且是系统的全部固有运动模态，只是
模态的系数不同而已。
结论：
当系统传递函数出现零、极点对消时,传
递函数的极点没有包含系统的全部特征根,于
是，要么系统的自由响应中不包含系统的全部
固有运动模态（有些模态不可观），要么系统
的零状态响应中不包含系统的全部固有运动模
态（有些模态不可控），要么有些模态既不可
观、又不可控，这是自动控制系统设计时应该
关注的一个问题。
§3.1.3 零、极点对消问题问题：
如果系统传递函数具有相同的零点和极
点，出现了零、极点对消，将会出现什么情
况？传递函数的每一个极点对应着系统的一
种固有的运动模态，抵消极点是否意味着相
应的运动模态不存在了呢？
一、输入解耦
[例 3.1.1]：系统有两个环节组成，如图所示。
系统总的传递函数为：
s+1 1 1
G(s)=
s+2 s 1 s 2
×=
+ +
可见，系统的零状态响应中将不含指数模态
。那么，系统的完全响应中是否也不含该模态呢？
t
Ae
1
2
s
s
+
+
1
1s +
()ut
()xt
()yt
解：取
，第一个环节的微分方程为：
uat=
2
dx du
xuaat
dt dt
+ = +=+
方程的解为：
2
0
111
()
424
t
x xae ata
=? + +
设初始状态为（ x
0
,y
0
），求系统的完全响应。
第二个环节的微分方程为：
2
0
111
()
424
t
dy
yx x ae at a
dt
+==? + +
方程的解为：
22
00 0
111
()e e
424
tt t
ey x x a at a
=+? + +?
零输入响应零状态响应可见，系统的完全响应中含有指数模态
，它是系统的零输入响应，与输入信号
无关，因此，改变输入信号对此模态没有影
响，此模态称为该系统的不可控模态。
t
Ae
2
00 0
111
()e( )e
424
tt
yyx x a at a
=+ +?
产生不可控模态的原因是第一个环节出现了
z=-1的零点，它抵消了第二个环节 p=-1的极点，
使模态
不受输入信号的制约，因此，这个零点称为输入解耦零点。
t
Ae
二、输出解耦
[例 3.1.2]：将例 3.1.1中系统的两个环节换一
下位置，如图所示。
系统总的传递函数为：
1 s+1 1
G(s)=
s1s+2 s2
×=
+ +
系统的零状态响应中仍不含指数模态
。
t
Ae
1
2
s
s
+
+
1
1s +
()ut
()x t
()y t
解：取
，第一个环节的微分方程为：
uat=
dx
xuat
dt
+ ==
方程的解为：
0
()
t
exxa ata
= ++?
设初始状态为（ x
0
,y
0
），求系统的完全响应。
第二个环节的微分方程为：
2
dy dx
yxat
dt dt
+ =+=
方程的解为：
N
22
0
111
ee
424
tt
y a at a
=++?
零输入响应零状态响应可见，系统的完全响应中不含有指数模态
，即此模态在系统的输出端观察不到，但却在中间变量 (状态） x(t) 中存在，此模态称为该系统的不可观模态。
t
Ae
2
0
111
=( + )e
424
t
yy aat-a
+
产生不可观模态的原因是第二个环节出现了
z=-1的零点，它抵消了第一个环节 p=-1的极点，
使模态
不在输出信号中出现，因此，这个零点称为输出解耦零点。
t
Ae
三、输入、输出解耦
[例 3.1.3]：将例 3.1.1的系统中再增加一个环
节，如图所示。
系统总的传递函数为：
系统的零状态响应中仍不含指数模态
。
t
Ae
s+1 1 s+1 s+1
G(s)=
s+2 s 1 s+3 (s 2)(s+3)
××=
++
()z t
1
2
s
s
+
+
1
1s +
()ut
()xt ()yt
1
3
s
s
+
+
解：取
，前两个环节的输出已求出为：
uat=
设初始状态为 (x
0
,y
0
,z
0
)，求系统的完全响应。
第三个环节的微分方程为：
2
0
111
3()
424
t
dz dy
zyxae ata
dt dt
+=+=? + +
方程的解为：
2
00 0
111
() ( )e ( )e
424
tt
yt y x -x a at- a
=+? +
32 3 2
000 0
2111
()
94636
tt t t
z yxe xe ae ae at a
=+? + +? + +
零输入响应零状态响应可见，系统的中间变量（状态） y(t) 中含有指数模态
，它是不可控模态。完全响应中不含有指数模态
，它又是不可观模态，
因此，对于该系统来说，指数模态
是不可控不可观模态。
t
Ae
t
Ae
t
Ae
32
000 0
2111
() ( )e ( )e
94636
tt
z tzyx a x a at+a
=+?+ +? +
思考题：
经典控制理论不研究零输入响应，为什
么？能不能研究零输入响应？
§
§
3.2 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标系统的稳态性能用稳态误差 e
ss
来衡量，其
定义为：当时间
t 趋于无穷时，系统输出响应
的期望值与实际值之差，即
§ 3.2.1 稳态性能指标
e(t)=被控量的希望值—被控量的实际值这种定义在教科书上普遍叫做在输出端定义的稳态误差。
另一种定义，教科书上普遍称之为在输入端定义的稳态误差，实际上就是稳态偏差，即
() ()
ss
er b= ∞? ∞
两种定义在数值上是不一样的，并且量纲通常也是不一样的。
对于图示的反馈控制系统，如果 H(s)=1，
则系统的输入就是被控量的希望值，此时，稳态误差等于当时间 t 趋于无穷时的系统偏差。
() () () () ()ercrb∞ =∞?∞=∞?∞
如果
，结构图可等效变换为：
() 1Hs≠
此时，稳态误差仍可用系统的偏差来表示：
'() '() ()erc∞ =∞?∞
但被控量的希望值是
而不是'( )r ∞
()r ∞
()R s
()Cs
()Gs()H s
1()H s
()Es
'( )Es'( )Rs
11 ()
'( ) lim ( ) lim ( )
() () ()
s0 s0
r
rsRs sR
Hs H0 H0
→→
∞
∞= = =
一、单位阶跃响应当输入为单位阶跃信号时，系统的输出就
是单位阶跃响应。
单位阶跃函数的拉氏变换为 1/s，因此，系
统的单位阶跃响应为：
1
1
() [ () ]ht L Gs
s
= ×
§
§
3.2.2
动态性能指标二、单位阶跃响应与单位冲激响应的关系单位冲激函数是单位阶跃函数的导数，即
[]
() ()
d
tut
dt
δ =
0
() ()
t
ut tdtδ=
∫
系统单位冲激响应的拉氏变换就是系统的
传递函数，即
1
() [ ()]g tLGs
=
因此，系统的单位阶跃响应是该系统单位
冲激响应的积分，或系统的单位冲激响应是该
系统单位阶跃响应的导数。即
[])()( th
dt
d
tg =
∫
=
t
dttgth
0
)()(
11
00
1
() [() ] [()] ()
tt
ht L Gs L Gsdt gtdt
s
=×= =
∫∫
由拉氏变换的时域积分定理，
1,上升时间 t
r
,阶跃响应曲线从t=0 开始
第一次上升到稳态值所需要的时间。
动态性能指标
2,峰值时间t
p
：
阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值
所需要的时间.
3,最大超调量M
p
：
阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值之差与稳
态值之比，即
%100
)(
)()(
×
∞
∞?
=
c
ctc
M
p
p
4.
调整时间 t
s
：
阶跃响应曲线进入允许的误差带 (一般取稳
态值的± 5%或± 2%的区域作为误差带 )并不再
超出该误差带的最小时间，称为调整时间 (或过
渡过程时间 )。
5,振荡次数：
在调整时间 t
s
内响应曲线振荡的次数。
§
§
3.3 自动控制系统的稳定性自动控制系统的稳定性分析分析
§ 3.3.1 稳定性的概念若控制系统在足够小的初始偏差（可能
是由扰动引起的）的作用下，其过渡过程随
时间的推移，逐渐衰减并趋于零，即系统具
有恢复原平衡状态的能力，则称这个系统稳
定，否则，称这个系统不稳定。
§
§
3.3.2
线性定常系统稳定的充分必要条件
n阶线性定常系统的闭环传递函数为：
1
01 1
1
01 1
()
()
()
mm
mm
nn
nn
Cs bs bs b s b
Gs
R sasas asa
+ ++ +
==
+ ++ +
"
"
2、在系统传递函数没有零、极点对消的情况
下，极点就是系统的全部特征根，因此，系统
稳定的充分必要条件是,系统的特征根，即系
统传递函数的极点，均在左半 S平面。
1、稳定性是系统自身的属性，只与系统自
身的结构参数有关，与初始条件和外作用无
关。
结论：
4、稳定性只与闭环系统的极点有关，而与零点无关。
3、在系统传递函数存在零、极点对消的情况
下，传递函数的极点没有包含系统的全部特征
根，系统出现不可控或不可观的运动模态，此
时，传递函数的极点不能说明系统的稳定性。
由根和系数的关系可得，系统稳定的必
要条件是：特征方程的所有系数
均大于零，且不缺相。
§
§
3.3.3
3.3.3 劳斯判据设 n阶系统的特征方程为：
1
01 1
()
nn
nn
Ds as as a s a
= + ++ +
01 2
()()()0
n
as p s p s p= =
012
,,,
n
aaa a
s
n
a
0
a
2
a
4
a
6
……
s
n-1
a
1
a
3
a
5
a
7
……
s
n-2
b
1
b
2
b
3
b
4
……
………
s
2
f
1
f
2
s
1
g
1
s
0
h
1
将特征方程的系数排成下面的行和列，即
为劳斯阵列 (劳斯表 )
其中
劳斯判据,
1、控制系统稳定的充要条件是，劳斯表中第一
列所有元素均大于零。
2、特征方程中具有正实部特征根的个数等于劳
斯表中第一列元素符号改变的次数。
"
"
,,,
,,,
1
41
71
3
1
31
51
2
1
21
31
1
1
71
60
3
1
51
40
2
1
31
20
1
b
bb
aa
c
b
bb
aa
c
b
bb
aa
c
a
aa
aa
b
a
aa
aa
b
a
aa
aa
b
=
=
=
=
=
=
[例3.3.1],
已知系统特征方程方程无缺项，且系数大于零。列劳斯表：
43 2
5141280ss s s+ +++=
4
s1148
3
s512
2
58
s8
5
1
496
58
s
0
8s
[例 3.3.2],
已知三阶系统特征方程为劳斯阵列为：
0
32
2
1
3
0
=+++ asasasa
0
0
0
0
3
0
1
3021
1
31
2
20
3
as
a
aaaa
s
aas
aas
得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大
于零，且 a
1
a
2
>a
0
a
3。
[例 3.3.3]：系统特征方程为各项系数均大于零。列劳斯表如下：
5432
63 480s ssss+++++=
5
4
3
3
2
1
1
134
618
17 16
66
17 16
79
8
17
3576
79
8
s
s
s
s
s
s
s
有两种特殊情况需要特殊处理：
＊ 1,劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该
行其它元素不全为零。
例3.3.4 系统特征方程劳斯表
432
7730s ss s+ +++=
4
3
2
1
0
113
77
3
21
7
3
s
s
s
s
s
ε
ε
当
时，
为负，因此，劳斯表中第一列元素的符号改变了两次。
0ε →
21
7
ε
＊ 2,劳斯表中某一行的元素全为零。
这种情况表示在 s平面内存在一些大小相
等符号相反的实根或共轭虚根，系统是不稳定
的。
[例 3.3.5],
系统特征方程列劳斯表
32
58400s ss+++=
3
22
1
1
0
18
540 ()5 40
00
10 0 '( ) 10
40
s
sPs
s
sPss
s
= +
=
即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳
定，从工程角度来看，临界稳定属于不稳定系
统。
劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统
没有右半平面的根，但由P (s)=0，即,
2
5400s + =
1,2
j 8s =±
求得,
[例3.3.6]：系统的特征方程为,
084632
2345
=+++ sssss
8
3.33
83
128)(0128
862)(862
431
0
1
2
33
244
5
+=
′
+=?
s
s
s
sssPs
sssPs
s
列劳斯表：
0862
24
=?+ ss
2 1
4,32,1
jss ±=±=
劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统
不稳定，且有一个右半平面的根，由P (s)=0得：
系统有一对共轭虚根，还有一个右半平面的
实根。
本例看出，由辅助方程解出两对大小相等、
符号相反的根。
§
§
3.3.5
用劳斯判据确定系统参数
[例3.3.7],系统结构图如图所示，试确定系
统稳定时 K的取值范围。
解,系统的闭环传递函数
32
()
() 3 2
Cs K
R ss s sK
=
+ ++
列劳斯表按劳斯判据，要使系统稳定，应有 K>0，且
6-K>0，故 K的取值范围为 0<K<6。
其特征方程式为：
32
() 3 2 0Ds s s s K= +++=
3
2
1
0
12
3
6
0
3
s
sK
K
s
sK
[例3.3.8],系统结构图如图所示，判断系统的稳
定性，如果不稳定，采取什么办法可使系统
稳定？并确定参数变化范围。
解,系统的闭环传递函数
32
() 4
() 4
Cs K
R sTss K
=
++
特征方程为,
32
() 4 0Ds Ts s K= ++ =
特征方程缺项，不论
和
取何值，系统总是不稳定的，称为结构不稳定系统。
K T
变结构后系统的闭环传递函数为,
2
() 4 ( 1)
() ( 1) 4 ( 1)
Cs K s
Rs s Ts K s
τ +
=
+ +τ+
特征方程为：
32
() 4 4 0Ds Ts s K s Kτ= ++ + =
列劳斯阵列：
3
2
1
0
4
14
44
4
sT K
sK
sK KT
sK
τ
τ?
系统稳定的充分必要条件为：
且可知，对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适当选配参数就可使系统稳定。
0,0TK>> T>τ
§
§
3.3.6
相对稳定性和稳定裕量用系统最靠近虚轴的极点离虚轴的距离来
描述系统的相对稳定性。这个距离称之为稳定
裕量。
[例3.3.9]：系统特征方程式为：
判断系统是否具有不小于 1的稳定裕量。
解,列劳斯表：
32
8240sss+ ++=
3
2
1
0
12
84
3
2
4
s
s
s
s
令 s=s
1
-1代入 D(s)得 s
1
的特征方程式
32
11 1
() 5 11 9 0Ds s s s= +?+=
新特征方程系数不全为正，即有特征根位于的直线右边，系统的稳定裕量不到 1。
1s =?
由劳斯判据知，所有特征根均在 s的左半平面。
课堂提问：
问题 1：零、极点抵消后的传递函数能否反映系统的动态特性？
问题2,系统的稳定性与系统的零点有无关系？
问题 3：线性定常系统的时域响应与系统的零
点有无关系？如果有关系，零点如何影响系统
的时域响应？
问题4,什么是系统的不可控模态和不可观模
态？它们是怎么产生的？
思考题：
劳斯判据能否判断延迟系统的稳定性？
§ 3.4.1 稳态误差的计算考虑两种输入信号作用下系统产生的稳态误差，一个是控制输入，另一个是干扰输入。
§
§
3.4 自动控制系统的稳态误差自动控制系统的稳态误差若按被控量的希望值与实际值之差来定义
稳态误差，则系统等效为：
()Cs
'( )Rs ()H s
'( )E s
2
()Gs
1
()Gs
()Ns
+
其中：
() () ()R' s R s H s=
'( ) '( ) ( )
r
Es Rs Cs=?
12
'( ) ( ) ( ) ( ) '( )
r
Rt GsG sHsE s=?
1,控制信号
单独作用下,误差为：
12
1
'( ) '( )
1()()()
r
E sR
GsGsHs
=
+
'( )rt
00
12
1
' lim '( ) lim '( )
1()()()
sr r
ss
esEss Rs
GsGsHs
→→
==
+
稳态误差 e’
sr
为：
称为系统对输入信号的误差传递函数。
12
'( ) 1
'()
'() 1 () () ()
r
er
Es
s
R sGsGsHs
Φ= =
+
由拉普拉斯变换的终值定理计算稳态误差，
2,扰动信号单独作用下，误差为：
'( ) ( )
n
Es Cs=?
2
12
()
()
1()()()
Gs
Ns
GsGsHs
=
+
2
12
'( ) ()
'()
() 1 () () ()
n
en
Es Gs
s
Ns G sG sHs
Φ= =
+
称为系统对扰动的误差传递函数。
2
00
12
()
' lim '( ) lim ( )
1()()()
sn n
ss
Gs
esEss Ns
GsGsHs
→→
==
+
稳态误差
为：
由拉普拉斯变换的终值定理计算稳态误差，
'
sn
e
1)()()(lim
21
0
>>
→
sHsGsG
s
0
1
1
'lim ()
() ()
sn
s
es Ns
GsHs
→
≈
若
，则上式可近似为控制系统在给定信号
和扰动信号 n(t)同
时作用下的稳态误差 e’
ss
为：
00
' ' ' lim '( ) lim '( )
ss sr sn r n
ss
eee sEs sEs
→→
=+= +
'( )rt
由此可知，干扰信号作用下产生的稳态误差
除了与干扰信号的形式有关外，还与干扰作用点之前 (干扰点与偏差点之间 ) 的传递函数及反馈通道的传递函数有关，但与干扰作用点之后的传递函数关系不大。
'
sn
e
用同样的方法计算稳态偏差，可得出结论：
00
12
1
lim ( ) lim ( )
1()()()
sr r
ss
esEss Rs
GsGsHs
→→
==
+
2
00
12
() ()
lim ( ) lim ( )
1()()()
sn n
ss
GsHs
esEss Ns
GsGsHs
→→
==
+
比较两种结果可得：（ 3.47）（ 3.50）
'/(0)
sr sr
eeH=
'/(0)
sn sn
eeH=
主反馈通道的传递函数 H(s)通常是个常数
K
f
，在这种情况下，稳态误差和稳态偏差只是
K
f
倍的关系，即
'/
srsrf
eeK= '/
snsnf
eeK=
记住这种关系，就不妨先计算稳态偏差，
计算结果除以反馈系数 K
f
即可。
需要注意的一个结论是：
1)()()(lim
21
0
>>
→
sHsGsG
s
当 时，系统对干扰
0
1
1
lim ( )
()
sn
s
esNs
Gs
→
≈
的稳态偏差等于：
干扰信号作用下产生的稳态偏差
除了与干扰信号的形式有关外，还与干扰作用点之前的传递函数有关，但与反馈通道的传递函数关系不大。
sn
e
例 3.4.1：系统结构图如图所示，当输入信号为：
时，求系统的稳态误差 e’
sr
和稳态偏差 e
sr
。
K
G(s)=
s(s+2)
H(s)=5
r(t) 5 1(t)= ×
G(s) K
(s)
1 G(s)H(s) s(s 2) 5K
Φ= =
+++
2
() 0Ds s 2s 5K= ++ =
解,先判别系统的稳定性。
系统的闭环传递函数为：
系统的特征方程为：
系统稳定的条件为,K0>
+
=×
++
s(s 2) 5
s(s 2) 5K 5s
取 K=1，由终值定理求得稳态误差：
→
= =
rr
0
' lim '( ) 0
s
s
esEs
r
1
E'() R'(s)
1()()
s
GsHs
=
+
系统对输入信号的误差函数为：
一、稳态误差取 K=1，由终值定理求得稳态偏差：
→
= =
rr
0
lim ( ) 0
s
s
esEs
r
1
E() R(s)
1()()
s
GsHs
=
+
系统对输入信号的偏差函数为：
二、稳态偏差
+
=×
++
s(s 2) 5
s(s 2) 5K s
系统对
的响应曲线如下：r(t) 5 1(t)= ×
step1b
可以看出，系统的稳态值是 1，而不是 5，即
系统对控制量的希望值
的跟踪
误差为零，而对输入信号
的稳态偏
差
也是零，因此，在稳态偏
差是零的情况下，稳态误差等于稳态偏差，满足
的关系。
1
r'( ) r( ) 1
5
∞ =∞=
r(t) 5 1(t)= ×
e( ) 5 5 c( ) 0∞ =?×∞=
'/
srsrf
eeK=
例 3.4.2：上例中
，
K
G(s)=
(s+2)(s+1)
H(s)=5
求系统的稳态误差和稳态偏差。
解：系统的闭环传递函数为：
G(s) K
(s)
1 G(s)H(s) (s+2)(s 1) 5K
Φ= =
+++
2
() 0Ds s 3s 2 5K= +++ =
系统的特征方程为：
系统稳定的条件为：
K25>?
+
=×
++
(s+2)(s 1) 5
(s+2)(s 1) 5K 5s
取 K=1，由终值定理求得稳态误差：
→
= ==
rr
0
'lim'()270.286
s
s
esEs
r
1
E'() R'(s)
1()()
s
GsHs
=
+
系统对输入信号的误差函数为：
一、稳态误差取 K=1，由终值定理求得稳态偏差：
→
= ==
rr
0
lim ( ) 10 7 1.43
s
s
esEs
r
1
E() R(s)
1()()
s
GsHs
=
+
系统对输入信号的偏差函数为：
二、稳态偏差
+
=×
++
(s+2)(s 1) 5
(s+2)(s 1) 5K s
系统对
的响应曲线如下：r(t) 5 1(t)= ×
step1b
可以看出，系统的稳态值是 0.714，即系统
对被控量的希望值
的误差为
0.286，而对输入信号
的稳态偏差
，因此，在稳态偏差不等
于零的情况下，它就不等于稳态误差。
但
，等于稳态误差，满足下
列关系：
1
r'( ) r( ) 1
5
∞ =∞=
r(t) 5 1(t)= ×
e( ) 5 5 c( ) 1.43∞=?× ∞=
( ) / 5 0.286e ∞=
'/
srsrf
eeK=
例 3.4.3：系统结构图如图所示，当输入
，
时，求系统的稳态误差 e’
ss
。
1
K
G(s)=
s(s+1)
2
1
G(s)=
(4s+1)
f
H(s)=K =5
() 5rt=t
() () nt tε=
12
12
() ()
()
1()()()
GsGs
s
GsGsHs
Φ=
+
32
() 4 5 0Ds s s s 5K= +++=
(1)(41)5
K
s ss K
=
+++
解,先判别系统的稳定性。
系统的闭环传递函数为：
系统的特征方程为：
列劳斯表：
3
2
1
0
41
55
520
0
5
5
s
sK
K
s
sK
由劳斯判据知，系统稳定的条件为：
1
0
4
K< <
++
=?
+++
32 2
(1)(41) 5
45 5
ss s
sssKs
由终值定理求得稳态偏差：
→
==
rr
0
1
lim ( )
s
s
esEs
K
r
12
1
E() R(s)
1()()()
=
+
s
GsGsHs
系统对输入信号的偏差函数为：
系统对干扰信号的偏差函数为：
=
+
2
n
12
() ()
E() N(s)
1()()()
GsHs
s
GsGsHs
+
=?
+ ++
32
5( 1) 1
45 5
ss
sssKs
由终值定理求得稳态偏差：
→
= =
nn
0
lim ( ) 0
s
s
esEs
系统总的稳态偏差：
1
ss sr sn
e=e+e=
K
稳态误差为：
1
'/
5
ss ss f
eeK=
K
=
取 K=0.2，作出系统对输入信号 r(t)=5t的响应曲线如图所示，可以看出，系统输出的跟踪
对象是 r(t)/5=t,而不是 r(t)=5t,就是说，被控
量的希望值是 r(t)/5=t,稳态误差为 1。
结论：
1）当反馈系数不等于 1时，系统输出量跟踪的不是输入信号 r(t)，而是它缩小 K
f
倍的信号
r(t)/K
f
，就是说,r(t)/K
f
才是被控量的希望值。
2）稳态误差与系统输入信号有关，同时，也与系统的结构及参数有关。
3.4.2 相对稳态误差在输入端定义的稳态误差（稳态偏差）的相对值：
()- ()
()-()
% 100% 100%
() ()
f
r
rKc
rb
e
rr
∞?∞
∞∞
=×= ×
在输出端定义的稳态误差的相对值：
()- ()
'( ) - ( )
% 100% 100%
'( ) ( )
f
c
rKc
rc
e
rr
∞?∞
∞∞
=×= ×
() ()/
f
r' t r t K=其中，
定义：相对稳态误差为
()-() '()-()
( %) 100% 100%
() '()
rb r c
e
rr
∞∞ ∞∞
=×=×
()- ()
100%
()
f
rKc
r
∞?∞
=×
∞
例 3.4.4 直流电机转速控制系统的结构图如图所示。
电动机的传递函数为,
0
2
10
0.001 0.1 1
G
ss
=
+ +
采用比例校正，放大器增益为：
() =50
cc
Gs K=
求系统的稳态误差。
解：系统对输入信号的偏差传递函数为：
00
11
()
1()()()1 ()
E
ccf
s
GsGsHs KGsK
==
++
Φ
输入电压
3.6V
r
u =
时，对应的电机转速为,
360（转 /分钟），因此，反馈环节的传递函数为,
3.6
() 0.01
360
f
Hs=K ==
根据拉氏变换的终值定理，系统的稳态偏差为：
0
0
13.6
lim
1()
r
s
cf
es
K GsK s
→
=×
+
2
2
0
3.6(0.001 0.1 1)
lim 0.6
0.001 0.1 6
s
ss
ss
→
++
==
++
（伏）
相对稳态误差：
0.6
( %) 100% 100% 16.67%
3.6
r
r
e
e
u( )
=×=×=
∞
稳态误差：
( ) 16.67% 360 60
c
e=e% c× ∞= × =
（转 /分钟）
注意，这里稳态误差与稳态偏差具有不同的量纲。
仿真结果表明，输出稳态值为 300（转 /分钟），
希望值为 360（转 /分钟），误差 60（转 /分钟），
与计算结果一致。
一、系统的类型系统的开环传递函数可表示成时间常数形式：
系统常按开环传递函数中所含有的积分环
节的个数来分类。把
v=0,1,2，… 的系统，
分别称为 0型，Ⅰ型，Ⅱ型，…系统。
( )( ) ( )
()()()
12
12
11 1
() ()
11 1
m
n
ss s
GsHs K
sTs Ts Ts
υ
υ
ττ τ
±+±+ ±+
=
± +±+ ± +
"
"
§ 3.4.3 静态误差系数二、
静态误差系数由 3.4.1节的计算方法可知，系统对输入的稳态偏差为：
00
1
lim ( ) lim ( )
1()()
→→
==
+
sr r
ss
esEss Rs
GsHs
当系统的输入为单位阶跃信号 r(t)=1(t)时，
p
s
s
ss
KsHsGssHsG
se
+
=
+
=?
+
=
→
→
1
1
)()(lim1
11
)()(1
1
lim
0
0
0
lim ( ) ( )
p
s
KGsHs
→
=
对于 0型系统
K
sTsTsT
sssK
K
n
m
s
p
=
+++
+++
=
→
)1()1)(1(
)1()1)(1(
lim
21
21
0
" "
" " τττ
1
()Rs
s
=
静态位置误差系数 Kp
其中，
，定义为系统的静态
位置误差系数。
对于Ⅰ型或高于Ⅰ型的系统
KK
e
p
ss
+
=
+
=
1
1
1
1
∞=
+++
+++
=
→
)1()1)(1(
)1()1)(1(
lim
21
21
0
sTsTsTs
sssK
K
n
m
s
p
" "
" "
ν
τττ
0
=
ss
e
当系统的输入为单位斜坡信号时 r(t)=t 时，
其中
，定义为系统的
静态速度误差系数。
2
1
)(
s
sR =
2
0
0
11 1 1
lim
1 () () lim () ()
ss
s
s
es
GsHs s sGsHs K
ν
→
→
=?==
+
0
lim ( ) ( )
s
K sG s H s
ν
→
=
静态速度误差系数 Kv
对于 0型系统对于Ⅰ型系统
∞==
=
+++
+++
=
→
ν
ν
τττ
K
e
sTsTsT
sssK
sK
ss
n
m
s
1
0
)1()1)(1(
)1()1)(1(
lim
21
21
0
" "
" "
ν
ν
τττ
K
e
K
sTsTsTs
sssK
sK
ss
n
m
s
1
)1()1)(1(
)1()1)(1(
lim
21
21
0
=
=
+++
+++
=
→
" "
" "
对于Ⅱ型或Ⅱ型以上系统
0
)1()1)(1(
)1()1)(1(
lim
21
21
0
=
∞=
+++
+++
=
→
ss
n
m
s
e
sTsTsTs
sssK
sK
" "
" "
ν
ν
τττ
静态加速度误差系数K
a
当系统输入为单位加速度信号时，
，系统稳态误差为其中
，定义为系统的静态加速度误差系数。
3
1
()Rs
s
=
a
s
s
s
ss
KsHsGsssHsG
s
sR
sHsG
se
1
)()(lim
11
)()(1
1
lim
)(
)()(1
1
lim
2
0
3
0
0
==?
+
=
+
=
→
→
→
2
0
lim ( ) ( )
a
s
KsGsHs
→
=
2
1
(),
2
rt t=
计算可得：
对于 0型系统,K
a
=0,e
ss
=∞；
对于Ⅰ型系统,K
a
=0,e
ss
=∞；
对于Ⅱ型系统,K
a
=K，;
对于Ⅲ型或Ⅲ型以上系统,K
a
=∞，e
ss
=0 。
1
ss
eK=
例3.4.5,系统结构如图所示，求当输入信号
r(t)=10+2t+t
2
时，系统的稳态误差 e
ss
。
解：首先判别系统的稳定性。由开环传递
函数知，闭环特征方程为
32
() 0.2 1 0Ds s s s= +++=
对于
1
() 10 ()rt t=?ε
p
K =∞
1
2
0
1
sr
p
e=
K
=
+
各系数大于零，并且
，系统稳定。
第二步，求稳态误差 e
ss
。
根据线性系统叠加原理，
，ttr 2)(
1
=
∞=
v
K
0
2
r2
==
v
s
K
e
对于
12 03
aa aa>
故系统的稳态误差：
，
2
2
)( ttr =
2
2
r3
==
a
s
K
e
对于
22
2
00
1
lim ( ) ( ) lim 1
(0.2 1)
a
ss
s
KsGsHss
ss
→→
+
= ==
+
123
2
sr sr sr
e e e++=
例 3.4.6：单位反馈系统的开环传递函数为：
20(s 1)(0.2s 1)(0.5s 1)
() ()
s(0.1s 1)(0.05s 1)(0.01s 1)
GsHs
+++
=
+ ++
该系统可以无差地跟踪什么信号？可以有
差地跟踪什么信号？跟踪误差是多少？
值得注意的是：
1、用静态误差系数计算稳态误差,只能计算
系统对输入信号的稳态误差，不能计算系统对
干扰的稳态误差，即静态误差系数反应无扰动
情况下系统对被控量希望值的跟踪能力。
2、用静态误差系数计算得到的稳态误差，实际
上是系统的稳态偏差，单位反馈时才等于稳态
误差。
3.4.4 动态误差系数对于任意输入信号作用下系统产生的稳态
误差计算，静态误差系数就失去作用。并且，
当稳态误差不为常数，而是时间的函数时，它
是什么变化规律？稳态误差怎么计算？用动态
误差系数的方法解决了这个问题。
1,任意输入信号作用下稳态误差函数的定义系统稳态误差（在输入端定义）的拉氏变换可表示为：
1
() () () ()
1()()
E
Es s Rs Rs
GsHs
Φ=×=
+
求拉氏反变换，可得到稳态误差的时域零状态响应，它由自由响应和强迫响应两部分组成，
即
（ 3.72）
1
() ()
i
n
t
ip
i
et Ce e t
λ
=
=+
∑
系统的 稳态误差函数描述的是，当系统的
暂态过程结束后，系统的误差随时间的变化规
律。
2,动态误差系数的定义
(1) (2) 2 ( )
11
( ) (0) (0) (0) (0)
2!
ii
EEE E E
ssss
i
ΦΦΦ Φ Φ= + + ++ +
2
01 2
i
i
CCsCs Cs= ++ +++
根据终值定理，稳态误差在
时计算，因
此，可将误差传递函数
在
附近展开成泰
勒级数：
0s →
()
E
sΦ 0s →
()
(0) 0,1,2,
!
i
iE
1
Ci
i
Φ= =
代入（ 3.72）式，得：
（ 3.74）
( )
2
01 2
() ()
i
i
Es C Cs Cs Cs Rs= + + ++ +
求拉氏反变换得：
(1) (2) ( )
01
() () () () ()
i
i
et Crt Cr t Cr t Cr t= + + ++ +
()
()
i
i
i0
Cr t
∞
=
=
∑
由（ 3.74）式定义的常数称为动态误差系数，
它是误差传递函数
在
附近展开泰勒级数的系数。
()
E
sΦ
0s =
（ 3.76）
例 3.4.7 设单位反馈二阶系统的开环传递函数为：
9
()
(3)
Gs
ss
=
+
求系统的动态误差系数。
解：系统的误差传递函数为：
13
()
1() 39
2
E
2
s s
s
Gs s s
Φ
+
==
+ ++
下图是误差传递函数的泰勒级数逼近结果
（取前 5项）。
动态误差系数为：
01 23 4
111
0,,0,,
3278
CCCC C= === =
泰勒级数展开式近似为：
34
11 1
()
327 81
E
ss s s=? +Φ
3,静态误差系数与动态误差系数的关系设系统的开环传递函数为：
2
12
2-
12 -
(1 )
() ()
(1 )
m
m
vnv
nv
Kbsbs bs
GsHs
s as as a s
++ ++
=
++ ++
则系统的误差传递函数为：
2
12
22
12 12
(1 )
(1 s ) (1 )
vn-v
n-v
vn-v m
n-v m
s+as+as as
=
s +a a s a s K +b s+b s b s
++
+ ++ + ++
1
()
1()()
E
s
GsHs
=
+
Φ
用长除法，可得到关于
的升幂级数：
s
2
01 2
(
E
s)=C C s +C s+ +Φ
系数
就是系统的动态误差系数，因此，这是求动态误差系数的另一种方法。
(0,1,2)
i
Ci=
下面用长除法求出 0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统的动态误差系数：
0型系统：
1
1
0
C
K
=
+
11
1
2
(-)
(1 )
abK
C
K
=
+
2
22 111 111
2
23 3
( ) () ()
(1 ) (1 ) (1 )
K a b Kaba Kbba
C
KK K
=+ +
++ +
对于单位阶跃输入信号，
时，
，
，由（ 3.76）式可知，系统的稳态误差函数为：
0t >
() 1rt =
()
( ) 0( 1,2,)
i
rt i= =
0
1
() ()
1
et Crt
K
==
+
K
其中，
就是系统的静态位置误差系数
。
p
K
对于单位速度输入信号，
，
(),rt t=
(1)
() 1rt=
()
() 0( 2,3,)
i
rt i= =，系统的稳态误差函数为：
11
01
2
1()
() ()
1(1)
Ka b
et Crt C t
KK
=+=+
++
显然，随着时间
，稳态误差为
。t →∞ ∞
同理可得，对于加速度信号输入，稳态误差也是无穷大，这与静态误差系数的分析结论相同。
Ⅰ型系统：
0
0C =
1
1
C
K
=
11
2
2
-1ab
C
KK
=?
对于单位阶跃输入信号，系统的稳态误差为：
0
() () 0et Crt= =
对于单位速度输入信号，系统的稳态误差为：
01
1
() ()et Crt C
K
= +=
K
其中，
就是系统的静态速度误差系数
。
v
K
对于单位加速度输入信号，系统的稳态误差为：
(1) (2)
01 2
1
() () () ()et Crt Cr t Cr t t C
K
=+ + =+
显然，随着时间
，稳态误差为
。t →∞ ∞
这与静态误差系数的分析结论相同。
Ⅱ型系统：
0
0C =
1
0C =
2
1
C
K
=
K
其中，
就是系统的静态加速度误差系数
。
a
K
同理可知，系统对阶跃信号、速度信号的
稳态误差为 0，对单位加速度信号的稳态误差
为
，这与静态误差系数的分析结论相同。1 K
例 3.4.8 单位反馈系统的闭环传递函数为：
24000
()
24000
K
s
sK s
==
++
Φ
当输入信号为：
时，求系统的稳态误差函数。
() sinrt A t= ω
解：先求动态误差系数，误差传递函数为：
() 1- ()
24000
E
s
ss
s
ΦΦ==
+
误差传递函数在
附近的泰勒级数逼近
（取前 4项），如图所示，
0s =
可得：
系统的稳态误差函数：
(1) (2) (3)
23
11 1
() () () ()et r t r t r t
KK K
≈+ +
由于输入信号的各阶导数都是随时间呈正
弦规律变化的信号，因此，稳态误差也是随时
间呈正弦规律变化的信号，但由于
很大，稳
态误差信号的幅度很小。
K
23
01 2 3
0,1/,1/,1/ ( 24000)CCKCKCKK== = = =
由终值定理可知，反馈系统在单位阶跃
信号作用下的稳态输出为：
s0
(s) 1 (0)
() lims
1(s)(s)s1(0)(0)
GG
y
GH GH
→
∞= × =
++
当参数变化引起
和
增加
和
时，
变化为：
(0)G (0)H
()y ∞
(0)GΔ
H(0)Δ
G(0) (0)
y*( ) y( ) ( )
1 [ (0) G(0)][ (0) H(0)]
G
y
GH
+Δ
∞= ∞+Δ∞≈
++Δ +Δ
§ 3.4.5 系统参数变化引起的稳态误差变化量
为,
()yΔ∞
2
2
(0) (0) (0)
() y*() ()
[1 (0) (0)]
GG H
yy
GH
Δ? Δ
Δ∞= ∞? ∞≈
+
开环传递系数一般较大，即
(0) (0) 1>>GH
() 1 (0) (0)
( ) (0) (0) (0) (0)
Δ∞ Δ Δ
≈?
∞
yGH
yGHGH
则由此可见：
1、反馈通道参数变化将引起输出同样大小
的变化（相对值）。
2、前向通道参数的变化对系统的影响被缩
小了
倍，这是负反馈系统的一个优
点。
因此，为使系统有较高的精度，测量元件
和反馈环节必须有较高的精度和稳定性。
(0) (0)GH
3.4.6 改善系统稳态精度的途径从上面稳态误差分析可知，采用以下途
径可改善系统的稳态精度：
＊ 1,提高系统的型号或增大系统的开环增益，
可以保证系统对给定信号的跟踪能力。
＊
2,增大偏差信号与扰动作用点之间通道的开
环增益，可以降低扰动信号引起的稳态误差。
＊
3,测量元件和反馈环节必须有较高的精度和
稳定性。
稳态误差计算小结：
问题1,两种稳态误差的定义有无区别？
如果有区别，区别在哪里？
课堂提问：
问题 2：闭环控制系统中，哪一部分的
精度和参数稳定性最重要？
3.5
控制系统的动态品质控制系统的动态品质
3.5.1 典型一阶系统的时域分析典型一阶系统是指不包含零点的一阶系
统，其传递函数为：
1
1
)(
)(
+
=
TssR
sC
其中 T 称为一阶系统的时间常数。
可知，典型一阶系统是惯性环节，它与系统
的一个实数闭环极点相联系。
()Rs
()Cs
1
Ts
典型一阶系统的闭环方框图如图，它是一
个Ⅰ型系统。
一、单位阶跃响应当 r(t)=1(t)时,R(s)=1/s，对于典型一阶系统，
11
11
() [ ( )] 1
1s
t
T
ht L Cs L e
Ts
== ×=
+
二、性能指标：
1,超调量 M
p
,典型一阶系统的单位阶跃响应为
指数规律
，故系统无振荡、无超调，
M
p
=0。
2.调整时间 t
s
：经过时间 3T～4 T，响应曲线已达
稳态值的 95%～ 98%，因此，调整时间为：
t
s
=(3～ 4)T。
3,稳态误差 e
ss
：由于典型一阶系统是Ⅰ型系统，
它对于单位阶跃输入的稳态误差为零。
22
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sC
ωζω
ω
++
=
3.5.2 典型二阶系统的时域分析典型二阶系统是指不包含零点的二阶系统，
其结构图如图所示。
其闭环传递函数为：
其中 ζ ——系统的阻尼比
ω
n
——系统的无阻尼自由振荡角频
1
n
T
=ω
02)(
22
=++=
nn
sssD ωζω
1,
2
21
`
±?= ζωζω
nn
s
特征根为：
系统的特征方程为：
12
1
)(
)(
22
++
=
TssTsR
sC
ζ
或
1）当 ζ >1时，系统有两个不相等的负实根，
称为过阻尼状态。
两个不相等的负实根为
2
1,2
1
nn
s ζω ω ζ=? ±?
+
=
tsts
eeth
21
1
1
1
1
12
1
1)(
222
ζζζζζ
1、单位阶跃响应单位阶跃响应为：
系统无振荡，无超调。
由于单位阶跃响应的第二项衰减较快，系
统的过渡过程时间可近似为：
1
1
)4~3(
s
t
s
=
2）当0< ζ <1时，系统有一对实部为负的共轭复
根，称为欠阻尼状态。
在欠阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一
对共轭复极点，即其中
称为阻尼振荡角频率。
`
2
12
,1
nn nd
s jjζωω ζ ζωω=? ±? =? ±
2
1 ζωω?=
nd
二阶系统共轭复数特征根与系统参数的关系如图
2
1
tg
ζ
β
ζ
=
cosβζ=
cos
nn
ω β ζω=
（实部）
sin
nd
ω βω=
（虚部）
特征根的实部和虚部满足如下三角关系：
单位阶跃响应：
也可写成式中
+?=
tteth
dd
t
n
ω
ζ
ζ
ω
ζω
sin
1
cos1)(
2
2
1
1 sin( ) 0
1
n
t
d
h(t) e t t
ζω
ωβ
ζ
=? + ≥
ζ
ζ
β
2
1
anarct
=
3） 当阻尼比ζ =1时，系统的特征根为两相等
的负实根，称为临界阻尼状态。
系统的单位阶跃响应为：
系统的超调量 M
p
=0，
调节时间 (对应误差带为 5%)：
)1(1
1)(
te
eteth
n
t
tt
n
n
nn
ω
ω
ω
ωω
+?=
=
4.7
s
n
t
ω
=
4）当阻尼比 ζ =0时，系统特征根为一对纯虚
根，称为无阻尼状态。
系统特征根单位阶跃响应为：
n
js ω±=
21
,
`
)0( cos1)( ≥?= ttth
n
ω
下面是不同
值时的单位阶跃响应曲线。
ζ
典型二阶系统单位阶跃响应曲线族
view1
(1)上升时间 t
r
令h(t
r
)=1得：
其中
(2) 峰值时间 t
p
令得：
2
1
r
d
n
t
π βπβ
ω
ωζ
==
2
arctan( 1 )βζζ=?
2
1
p
d
n
t
π π
ω
ωζ
==
()
0
p
tt
dh t
dt
=
=
2、
时系统的性能指标：
0< <1ζ
%100
1
exp
)(
)()(
2
×
=
∞
∞?
=
ζ
ζπ
h
hth
M
p
p
动态分量的幅值衰减到 0.02或 0.05时的时间
就是调整时间 t
s
。
exp 100%
tg
π
β
=?×
(3) 最大超调量 Mp
(4) 调整时间 t
s
由二阶系统的阶跃响应可知，其动态分量
的包络线有下式表示，
2
1
c(t)
1
ns
t
e
ζω
ζ
=
2
1
c(t) 0.02
1
ns
t
e
ζω
ζ
==
令：
2
1
ln(0.02 1 )
s
n
t ζ
ζω
=得：
2
1
0.05
1
ns
t
e
ζω
ζ
=
或令：
2
1
ln(0.05 1 )
s
n
t ζ
ζω
=
得：
2
11
[3+ ln(1 )]
2
n
ζ
ζω
≈
2
11
[4+ ln(1 )]
2
n
ζ
ζω
≈
当时
s
3
t
n
ζω
≈
s
4
t
n
ζω
≈
或
π
ω
ωπ 2/2
sd
d
s
d
s
tt
T
t
N ===
(5) 振荡次数 N
2
21
2
tanN
ζ
β
πζ π
≈=
0.8ζ <
当时
0.8ζ <
可以看出，二阶系统的性能指标由特征根的实部、虚部和
角所描述。
β
2
31
3
tan
22
N
ζ
β
πζ π
≈=
或
1) 最大超调量与峰值时间随
的变化规律
ζ
3,典型二阶系统性能指标的权衡
2) 调整时间与峰值时间随
的变化规律
ζ
思考题：
峰值时间和调整时间都反映系统的快速性，它们有什么不同？
结论：
1、阻尼比
越大，超调量M
p
越小，响应的平
稳性越好。反之，阻尼比
越小，振荡越强，
平稳性越差。当
时，系统输出成为角频率
为
0ζ＝
ζ
ζ
的等幅振荡。
n
ω
2、过阻尼状态下，
越大,调节时间越长；欠
阻尼状态下，
越小，响应速度越快，但因振荡
剧烈，暂态分量衰减缓慢，所以调整时间
亦
长。
s
t
ζ
ζ
3、当
时，系统的超调量
，
0.707ζ＝
4.32%
p
M=
调整时间
，上升时间
此时，系统的平稳性和快速性得到了很好的
权衡,故称为最佳阻尼比。
n
4.24
s
t = ω
n
4.44
p
t = ω
4、当阻尼比
为常数时，
越大，调整时间
、
上升时间
、和峰值时间
就越短，快速性越好。
ζ
n
ω
s
t
r
t
p
t
5、系统的超调量
和振荡次数 N仅仅由阻尼比决定，它们反映了系统的平稳性。因此，在设计系统时，通常
是由最大超调量指标
决定的，而
由快速性指标
和
决定。
p
M
ζ
ζ
p
M
n
ω
p
t
s
t
6、工程实际中，二阶系统多数设计成的欠阻尼情况，且常取
之间。
01ζ< <
0.4~0.8ζ =
例3.5.1 控制系统如图所示，设 K=10，求系
统的单位阶跃响应 h(t),并计算系统单位阶跃响
应的超调量和峰值时间。
解：与典型二阶系统相比较，有：
3.16 ω ==
n
K rad s
21ζω =
n
1
0.158
2
n
ζ
ω
==
则系统的单位阶跃响应,
2
1
1sin()
1
n
t
d
h(t) e t
ζω
ω β
ζ
=? +
=? +
0.5 0
1
1sin(3.1281)
0.987
t
et
超调量：
2
exp 100% 60.5%
1
p
M
ζπ
ζ
=? × =
2
1 (s)
1
p
n
t
π
ωζ
==
峰值时间：
可见，由于系统的阻尼比太小，系统阶跃
响应的超调量过大。
例3.5.2 在例 3.5.1系统中引入微分反馈后的控
制系统如图所示，要求系统单位阶跃响应的超
调量 M
p
%=16.4%，试确定参数 K
t，
并求出峰值
时间。
解：系统的闭环传递函数为与典型二阶系统相比较，有
2
()
()
() (1 )
t
Cs K
s
R ss sK
==
+ ++
Φ
3.16
n
Kradsω ==
1110
26.32
tt
n
KK K
ζ
ω
++
==
%4.16%100
1
exp
2
=×
=
ζ
ζπ
p
M
5.0=ζ
由：
求得,可得：
t
K0.216=
可见，在系统开环放大系数不变的情况下，
引入速度反馈后，系统阶跃响应超调量减小。
2
1.148 (s)
1
p
n
t
π
ωζ
==
峰值时间：
Δ
3.5.3
高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析
1,高阶系统的二阶近似有些高阶系统的零、极点分布及主导极点
满足了一定的条件，其动态特性近似于一个典
型二阶系统，这些条件是：
由于高阶系统性能指标与系统参数之间没
有明确的关系，没有规律，因此，在时域中分
析和设计高阶系统无章可循。
1）没有右半平面的极点。
2）左半平面存在一对共轭复数主导极点
d
(,j)σ ω?±
，并且其它极点和零点都在这对共轭复数极点左侧负实轴上。
3）负实轴上的零、极点与复数主导极点的
水平距离大于
的 5倍，或者零、极点
靠得比较近，作用相互抵消。
d
max[,]σ ω
通过高阶系统二阶近似条件的推导，得出如
下结论：
2）在共轭复数极点左侧负实轴上增加极点，
使系统的峰值时间增大，超调量减小，并且极
点距离共轭复数极点越近，影响越严重。
1）在共轭复数极点左侧负实轴上增加零点，
使系统的峰值时间减小，超调量增加，并且零点
距离共轭复数极点越近，影响越严重。
3）如果附加一对零、极点，它们的作用相
互抵消，靠得越近，它们对系统的影响越小。
由于附加零、极点距离共轭复数极点越近影响
越大，因此，一对零、极点共同作用时，离共
轭复数极点近的影响较大。
4）附加极点对应的指数运动模态
也影响系统的动态指标。
e
bt
A
5）附加零、极点不影响系统的调整时间。
Δ
例 3.5.3 系统的闭环传递函数为：
10
()
(0.5-j1)( 0.5 j1)
s
ss
Φ =
+++
讨论增加闭环零、极点对系统动态指标的影响。
解：系统的单位阶跃响应如图所示。
% 20.8%σ =
3.09s
p
t =
如果附加一个零点
，系统的单位阶跃响应如图所示。
1z =?
%40.4%σ =
1.99s
p
t =
显然，该零点使系统的超调量增大，峰值时
间减小，严重影响了原二阶系统的动态指标。
如果附加零点
，可得系统指标：
z5=?
% 21.3%σ =
2.87
p
ts=
接近原二阶系统的指标。
如果附加一个极点
，可得系统指标：1p =?
% 9.33%=σ
4.38s
p
t =
该极点使系统的超调量减小，峰值时间增大，
对原系统影响严重 。
Δ
例 3.5.4：系统的开环传递函数为：
K
G(s)=
(0.116s+1) (s^2 + 1.365s + 1.544)
2,高阶开环系统的小时间常数讨论忽略小时间常数对系统的影响。
K
G(s)=
(s^2 + 1.365s + 1.544)
解：忽略小时间常数 T
0
=0.116后：
取 K=1,K=8,K=14，比较忽略小惯性环
节前、后系统的单位阶跃响应。
K=1
K=8
K=14
Δ
MATLAB中求取冲激响应的函数为：
impulse( )，其调用格式为
［ y,x,t］ =impulse(num，den,t)
或
impulse(num，den,t)
式中t 为仿真时间； y为输出响应； x为状
态响应。
§
§
3.6 用用
MATLAB进行瞬态响应分析进行瞬态响应分析
§ 3.7.1 绘制时域响应曲线一、单位冲激响应例 3-24 试求下列系统的单位冲激响应
MATLAB命令为：
>> t=[0：0.1：40]；
>>num=[1]；
>>den=[1，0.3，1]；
>>impulse(num，den，t)；
>>grid；
其响应结果如图所示。
13.0
1
)(
)(
)(
2
++
==
ss
sG
sR
sC
impulse2
例 3-25 系统传递函数为
MATLAB命令为：
>>t=[0：0.1,10] ；
>> num=[1]； den=[1，1,1] ；
>>[y，x,t]=impulse(num，den,t)
>>plot(t，y) ；grid
>>xlabel(‘t’)；
ylable(‘y’)；
其响应结果如图所示。
2
1
( )
1
Gs
ss
=
++
impulse3
在 MATLAB中可用step( ) 函数实现，其
调用格式为
[y,x,t]=step(num,den,t)
或
step(num,den)
用
step(num,den)可直接打出曲线。
用
[y,x,t]=step(num,den,t)时，要用
Plot()函数才能打出曲线。
二、单位阶跃响应例 3-26 求系统传递函数为
>>num=[1]； den=[1，0.5,1] ；
>>t=[0：0.1,10] ；
>>[y，x,t]=step(num，den,t)；
>>plot(t，y) ；grid ；
>>xlabel(‘Time [sec] t’)；
>>ylabel(‘y’)
响应曲线如图所示
15.0
1
)(
2
++
=
ss
sG
step6
2
1()1 1
() () ()'
Gs
Cs Gs Gs
sss s
=×=×=×
三、单位斜坡响应
()Gs()Gs
()'Gs
在 MATLABA中没有斜坡响应命令，因
此，需要利用阶跃响应命令来求斜坡响应。根
据单位斜坡信号是单位阶跃信号的积分，当求
传递函数为
的斜坡响应时，可先用
除以 s 得
，再利用阶跃响应命令即可求得
斜坡响应，即例 3-27 已知闭环系统传递函数对单位斜坡输入
则
13.0
1
)(
)(
)(
2
++
==
ss
sG
sR
sC
2
1
(),()rt tRs
s
==
222
11 1 1
()
0.3 1 ( 0.3 1)
=?=?
++ ++?
Cs
sssssss
1
()'Gs
s
=?
MATLAB命令：
>> num=[1]；
>>den=[1，0.3,1,0] ；
>>t=[0：0.1,10] ；
>>c=step(num,den,t)；
>>plot(t，c) ；
>>grid；
>>xlabel('t sec')；
>>ylabel('Input and Output')
其响应结果如图所示。
ramp6
用线性仿真函数 lsim来实现，其调用格式为
［ y,x］ =lsim(num，den,u,t)
式中；y(t)为系统输出响应； x(t)
为系统状态响应； u为系统输入信号； t 为
仿真时间。
den
num
sG =)(
四、任意函数作用下系统的响应例 3-28 已知闭环系统传递函数对正弦输入
求输出响应。
13.0
1
)(
)(
)(
2
++
==
ss
sG
sR
sC
() sin()=rt t
MATLAB命令：
num=[1];
den=[1,0.3,1,0];
y=tf(num,den);
t=[0:0.1:20];
u=sin(t);
c=lsim(y,u,t);
plot(t,c);
grid;
xlabel('t sec');
ylabel('Input and Output')
其响应结果如图所示。
lsim1
§ 3.7.2 求传递函数的零、极点一、多项式求根例如：多项式
p(s)=s
3
+3s
2
+5
2
+4
roots(p)
MATLAB命令：
p=[1,3,5,4];
roots(p)
ans =
-0.7733 + 1.4677i
-0.7733 - 1.4677i
-1.4534
运行结果：
二、绘制传递函数的零、极点图
pzmap()
例如：传递函数为：
32
432
21
()
23 4
ss s
Gs
ssss
++
=
+ +++
绘制传递函数的零、极点图。
MATLAB命令如下：
运行结果：
num=[1,-1,2,1];
den=[1,2,3,1,4];
G=tf(num,den);
pzmap(G);
pzmap2
§ 3.7.3 用LTI Viewer获得时域响应曲线
LTI Viewer是MATLAB控制工具箱中的一个图形工具，利用它可获得系统的阶跃响应、脉冲响应、Bode图、Nyquist图等，并可获得系统的性能指标。
例：当
取
时，绘制典型二阶系
统阶跃响应曲线族。
ζ
0.1,0.2,0.9
解：MATLAB 命令如下：
wn=1;
for i=1:10;
kecy(i)=0.1*i;
ss(i)=tf(wn*wn,[1 2*kecy(i)*wn wn*wn]);
end;
s1=ss(1);
s2=ss(2);
s3=ss(3);
s4=ss(4);
s5=ss(5);
s6=ss(6);
s7=ss(7);
s8=ss(8);
s9=ss(9);
s10=ss(10);
LTIview;
LTI Viewer运行结果如图所示。
view1
§ 3.7.4 用Simulink进行时域响应分析
Simulink允许输入系统的方框图，不
必求出系统传递函数，修改环节参数非常方
便 。
例：用 Simulink观察系统校正的效果。
lag-lead1
课堂提问：
问题 1：闭环零、极点分布满足什么条件时，
高阶系统可以用主导极点法进行近似分析？
问题2,什么情况下可以忽略开环小惯性环
节？
§
§
3.8 小小
结结
1、线性定常系统微分方程的解。
2、系统的性能指标。
3、系统稳定性的判断。
4、系统的稳态误差。
5、系统的类型及静态误差系数。
6、动态误差系数。
7、典型二阶系统
8,高阶系统。
3章章
控制系统的时域分析控制系统的时域分析
1、系统的时域响应与系统的零、极点有什么关系？零、极点抵消会产生什么后果？
2、评价控制系统的优劣有哪些性能指标？这些指标如何定义？
3、如何对系统进行稳定性分析、稳态分析和动态品质分析？
本章要解决的问题：
§
§
3.1 线性定常系统的时域响应线性定常系统的时域响应
1)-(3 )(
)()()(
)(
)()()(
1
1
1
10
1
1
1
10
trb
dt
tdr
b
dt
trd
b
dt
trd
b
tca
dt
tdc
a
dt
tcd
a
dt
tcd
a
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
++++=
++++
"
"
对于一个单输入单输出 n阶线性定常系统，
可用一个 n阶线性常系数微分方程来描述。
1
1
()
() ()
()
() ()
()
m
j
j
n
i
i
Ksz
Cs Ms
s
R sN
sp
=
=
Φ= = =
∏
∏
n阶线性定常系统传递函数的零、极点形式为：
§ 3.1.1 传递函数的零、极点与系统的时域响应系统输出的拉氏变换为：
1
1
()
()
() () ()
()
()
m
j
j
n
i
i
Ksz
Ms
Cs Rs Rs
Ns
sp
=
=
==
∏
∏
当输入信号为单位冲激函数时,R(s)=1，对
上式求拉氏反变换，得系统输出的时域响应，即
冲激响应为：
1
11 1
1
()
()
() [ ()]
()
()
m
j
j
n
i
i
Ksz
M s
Ct L Cs L L
Ns
sp
=
=
== =
∏
∏
由拉氏反变换的部分分式法可知，系统输出的时域响应与传递函数的零、极点有关。
lim( ) ( )
i
ii
sp
A spCs
→
=?
1
1
1
1
()
() ()
()(
()
)
q
i
i
i
i
q
i
A
s
Ms
Cs
sN
p
Cs
ps
=
=
=
=+
∑
∏
1,当系统有q个互不相等的闭环实数极点 P
i
时时域响应包含q个指数运动模态。
1
1
() ()
i
q
pt
i
i
gt ge tA
=
=+
∑
1
2
()
ii
jj
r
i
i
ii ii
Cs
ee
K
sjsj
θθ
αβ αβ
=
+
+
+
=
∑
2,如果
含有r对共轭复极点
，
则
1
()Cs
lim ( ) ( )
i
ii
j
ii
sj
K esj Cs
θ
αβ
αβ
→+
=
11
1
1
2
1
() ()
()
()
[( )( )] ( )
r
kk kk
k
Ms Ms
Cs
Ns
sjsjNsαβ αβ
=
==
+
∏
1,2
j
kk
p α β= ±
时域响应包含r个调幅余弦运动模态。
2
1 1
2cos()() ()
i i
r
t
q
pt
iii
i
i
i
gt e gtAtKe
α
βθ
==
+=+ +
∑∑
3,如果
含有
重极点s
1
，则
2
()Cs
22
23
213
1
1
1
1
() ()
() ()
() ( ) () ()
v
i
vi
i
v
Ms Ms
Cs Cs
Ns s s N ss
B
s
+?
=
== +
∑
1
1
11
1
1
lim [( ) ( )]
(1)!
i
v
i
i
ss
d
B ssCs
ids
→
=?
v
时域响应包含
个幂函数与指数函数乘积
形式的运动模态：
11
() 2 cos( )
ii
q
r
pt t
ii
gt Ae K e t
α
β θ
==
= ++
∑∑
1
1
1
3
()
()!
v
stvi
i
i
B
t ge
i
t
v
=
+
+
∑
3
()Cs
3
()gt
剩余部分
包含其它的重极点，因此，
包含其它重极点对应的响应。
v
通过时域响应的分解可知，传递函数的极点
决定了系统所固有的运动模态,称为系统的固有
运动模态。而传递函数的零点则影响到各模态在
运动中所占的比重（即影响到各固有运动模态的
系数）。因此，系统的动态特性是由系统传递函
数的极点和零点共同决定的。
极点的分布及系统固有运动模态的形状如下图所示。
σ
j
闭环极点 的共轭极点
———
——
总结出如下规律：
a、极点的左右分布——决定响应的收敛性
b、极点的虚实分布 ——决定响应的振荡性
c、极点的远近分布——决定响应的快速性
a、靠近零点的极点——对应运动模态的幅度很小。称为零、极点的抵消作用。
例如，对于单极点，对应运动模态的系数为：
零、极点的抵消作用：
lim( ) ( )
→
=?
i
ii
sp
A spCs
如果传递函数中有一个接近于极点 p
i
的零点，
即，则
ii
z p≈
i
i
(s z ) '( )
C(s)
(s p ) '( )
M s
Ns
=
由于
，因此，
很小，即该极点对
应的运动模态幅度很小。
'( )
lim( ) ( ) ( ) lim
'( )
ii
iii
sp sp
M s
AspCsp-z
Ns
→→
=? =
ii
z p≈
i
A
靠得很近的一对零、极点称为一对偶极子。
结论,对于在右半平面和虚轴上没有极点
的高阶线性定常系统，靠近虚轴又远离零点的
极点对应的固有运动模态衰减最慢，系统的动
态性能主要由这些极点决定，这些极点称为系
统的主导极点。
§ 3.1.2 线性常系数微分方程的解
1）齐次解和特解
y
1
(t)——对应齐次微分方程的通解（齐次解）
y
2
(t)——非齐次微分方程的一个特解齐次解是齐次微分方程的通解。对于线性
定常系统而言，它是系统的自由响应。
N
i
n
t
12 i p
i1
y(t) y (t) y (t) C e y (t)
λ
=
=+= +
∑
强迫响应自由响应齐次解是系统固有运动模态的线性组合，
而系统的固有运动模态由系统的特征根决定，
因此，齐次解的形式只与系统本身的特性有
关，与输入信号和初始状态无关，称之为系统
的固有响应。但齐次解中各固有运动模态的系
数则由初始条件和输入信号共同决定。
当系统的特征根都位于左半 S 平面时，各
固有运动模态都将随着时间的推移而衰减到
零，齐次解也就衰减到零。这种情况下，齐次
解表现为系统响应的暂态分量。
自动控制系统中描述暂态响应的性能指
标为：快速性和平稳性。
特解的形式与激励信号的形式有关，称
为系统的强迫相应。当系统的特征根都位于
左半 S 平面时，随着时间的推移，齐次解衰
减为零，因此，特解是系统在时间
t→∞ 时
的输出，即系统响应的稳态分量；
自动控制系统的稳态性能指标为,稳
态误差。
2）零状态响应和零输入响应零状态响应是系统的初始状态为零时，系
统对输入信号的响应。
完全响应 = 零状态响应 + 零输入响应零状态响应表示为：
i
n
t
ffp
i1
y(t) Ce +y(t)
λ
=
=
∑
p
y (t)
是强迫响应，
由输入信号决定。
fi
C
零输入响应是系统的输入为零时，系统的
初始状态所引起的响应。
零输入响应表示为：
i
n
t
xx
i1
y(t) Ce
λ
=
=
∑
由初始状态决定。
xi
C
两种分解方法的关系是：
N
i
n
t
ip
i1
y(t) C e y (t)
λ
=
=+
∑
强迫响应自由响应
ii
nn
tt
xi fi p
i1 i1
Ce Ce +y(t)
λλ
==
=+
∑∑
零输入响应 零状态响应
iii
nn n
ttt
ixif
i1 i1 i1
Ce C e C e
λ λλ
== =
=+
∑∑∑
其中：
在系统传递函数没有零、极点抵消 的情况
下，传递函数的极点就是系统的全部特征根，
传递函数的极点决定了系统的固有运动模态，
零输入响应、零状态响应和自由响应中含有同
样的、并且是系统的全部固有运动模态，只是
模态的系数不同而已。
结论：
当系统传递函数出现零、极点对消时,传
递函数的极点没有包含系统的全部特征根,于
是，要么系统的自由响应中不包含系统的全部
固有运动模态（有些模态不可观），要么系统
的零状态响应中不包含系统的全部固有运动模
态（有些模态不可控），要么有些模态既不可
观、又不可控，这是自动控制系统设计时应该
关注的一个问题。
§3.1.3 零、极点对消问题问题：
如果系统传递函数具有相同的零点和极
点，出现了零、极点对消，将会出现什么情
况？传递函数的每一个极点对应着系统的一
种固有的运动模态，抵消极点是否意味着相
应的运动模态不存在了呢？
一、输入解耦
[例 3.1.1]：系统有两个环节组成，如图所示。
系统总的传递函数为：
s+1 1 1
G(s)=
s+2 s 1 s 2
×=
+ +
可见，系统的零状态响应中将不含指数模态
。那么，系统的完全响应中是否也不含该模态呢？
t
Ae
1
2
s
s
+
+
1
1s +
()ut
()xt
()yt
解：取
，第一个环节的微分方程为：
uat=
2
dx du
xuaat
dt dt
+ = +=+
方程的解为：
2
0
111
()
424
t
x xae ata
=? + +
设初始状态为（ x
0
,y
0
），求系统的完全响应。
第二个环节的微分方程为：
2
0
111
()
424
t
dy
yx x ae at a
dt
+==? + +
方程的解为：
22
00 0
111
()e e
424
tt t
ey x x a at a
=+? + +?
零输入响应零状态响应可见，系统的完全响应中含有指数模态
，它是系统的零输入响应，与输入信号
无关，因此，改变输入信号对此模态没有影
响，此模态称为该系统的不可控模态。
t
Ae
2
00 0
111
()e( )e
424
tt
yyx x a at a
=+ +?
产生不可控模态的原因是第一个环节出现了
z=-1的零点，它抵消了第二个环节 p=-1的极点，
使模态
不受输入信号的制约，因此，这个零点称为输入解耦零点。
t
Ae
二、输出解耦
[例 3.1.2]：将例 3.1.1中系统的两个环节换一
下位置，如图所示。
系统总的传递函数为：
1 s+1 1
G(s)=
s1s+2 s2
×=
+ +
系统的零状态响应中仍不含指数模态
。
t
Ae
1
2
s
s
+
+
1
1s +
()ut
()x t
()y t
解：取
，第一个环节的微分方程为：
uat=
dx
xuat
dt
+ ==
方程的解为：
0
()
t
exxa ata
= ++?
设初始状态为（ x
0
,y
0
），求系统的完全响应。
第二个环节的微分方程为：
2
dy dx
yxat
dt dt
+ =+=
方程的解为：
N
22
0
111
ee
424
tt
y a at a
=++?
零输入响应零状态响应可见，系统的完全响应中不含有指数模态
，即此模态在系统的输出端观察不到，但却在中间变量 (状态） x(t) 中存在，此模态称为该系统的不可观模态。
t
Ae
2
0
111
=( + )e
424
t
yy aat-a
+
产生不可观模态的原因是第二个环节出现了
z=-1的零点，它抵消了第一个环节 p=-1的极点，
使模态
不在输出信号中出现，因此，这个零点称为输出解耦零点。
t
Ae
三、输入、输出解耦
[例 3.1.3]：将例 3.1.1的系统中再增加一个环
节，如图所示。
系统总的传递函数为：
系统的零状态响应中仍不含指数模态
。
t
Ae
s+1 1 s+1 s+1
G(s)=
s+2 s 1 s+3 (s 2)(s+3)
××=
++
()z t
1
2
s
s
+
+
1
1s +
()ut
()xt ()yt
1
3
s
s
+
+
解：取
，前两个环节的输出已求出为：
uat=
设初始状态为 (x
0
,y
0
,z
0
)，求系统的完全响应。
第三个环节的微分方程为：
2
0
111
3()
424
t
dz dy
zyxae ata
dt dt
+=+=? + +
方程的解为：
2
00 0
111
() ( )e ( )e
424
tt
yt y x -x a at- a
=+? +
32 3 2
000 0
2111
()
94636
tt t t
z yxe xe ae ae at a
=+? + +? + +
零输入响应零状态响应可见，系统的中间变量（状态） y(t) 中含有指数模态
，它是不可控模态。完全响应中不含有指数模态
，它又是不可观模态，
因此，对于该系统来说，指数模态
是不可控不可观模态。
t
Ae
t
Ae
t
Ae
32
000 0
2111
() ( )e ( )e
94636
tt
z tzyx a x a at+a
=+?+ +? +
思考题：
经典控制理论不研究零输入响应，为什
么？能不能研究零输入响应？
§
§
3.2 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标系统的稳态性能用稳态误差 e
ss
来衡量，其
定义为：当时间
t 趋于无穷时，系统输出响应
的期望值与实际值之差，即
§ 3.2.1 稳态性能指标
e(t)=被控量的希望值—被控量的实际值这种定义在教科书上普遍叫做在输出端定义的稳态误差。
另一种定义，教科书上普遍称之为在输入端定义的稳态误差，实际上就是稳态偏差，即
() ()
ss
er b= ∞? ∞
两种定义在数值上是不一样的，并且量纲通常也是不一样的。
对于图示的反馈控制系统，如果 H(s)=1，
则系统的输入就是被控量的希望值，此时，稳态误差等于当时间 t 趋于无穷时的系统偏差。
() () () () ()ercrb∞ =∞?∞=∞?∞
如果
，结构图可等效变换为：
() 1Hs≠
此时，稳态误差仍可用系统的偏差来表示：
'() '() ()erc∞ =∞?∞
但被控量的希望值是
而不是'( )r ∞
()r ∞
()R s
()Cs
()Gs()H s
1()H s
()Es
'( )Es'( )Rs
11 ()
'( ) lim ( ) lim ( )
() () ()
s0 s0
r
rsRs sR
Hs H0 H0
→→
∞
∞= = =
一、单位阶跃响应当输入为单位阶跃信号时，系统的输出就
是单位阶跃响应。
单位阶跃函数的拉氏变换为 1/s，因此，系
统的单位阶跃响应为：
1
1
() [ () ]ht L Gs
s
= ×
§
§
3.2.2
动态性能指标二、单位阶跃响应与单位冲激响应的关系单位冲激函数是单位阶跃函数的导数，即
[]
() ()
d
tut
dt
δ =
0
() ()
t
ut tdtδ=
∫
系统单位冲激响应的拉氏变换就是系统的
传递函数，即
1
() [ ()]g tLGs
=
因此，系统的单位阶跃响应是该系统单位
冲激响应的积分，或系统的单位冲激响应是该
系统单位阶跃响应的导数。即
[])()( th
dt
d
tg =
∫
=
t
dttgth
0
)()(
11
00
1
() [() ] [()] ()
tt
ht L Gs L Gsdt gtdt
s
=×= =
∫∫
由拉氏变换的时域积分定理，
1,上升时间 t
r
,阶跃响应曲线从t=0 开始
第一次上升到稳态值所需要的时间。
动态性能指标
2,峰值时间t
p
：
阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值
所需要的时间.
3,最大超调量M
p
：
阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值之差与稳
态值之比，即
%100
)(
)()(
×
∞
∞?
=
c
ctc
M
p
p
4.
调整时间 t
s
：
阶跃响应曲线进入允许的误差带 (一般取稳
态值的± 5%或± 2%的区域作为误差带 )并不再
超出该误差带的最小时间，称为调整时间 (或过
渡过程时间 )。
5,振荡次数：
在调整时间 t
s
内响应曲线振荡的次数。
§
§
3.3 自动控制系统的稳定性自动控制系统的稳定性分析分析
§ 3.3.1 稳定性的概念若控制系统在足够小的初始偏差（可能
是由扰动引起的）的作用下，其过渡过程随
时间的推移，逐渐衰减并趋于零，即系统具
有恢复原平衡状态的能力，则称这个系统稳
定，否则，称这个系统不稳定。
§
§
3.3.2
线性定常系统稳定的充分必要条件
n阶线性定常系统的闭环传递函数为：
1
01 1
1
01 1
()
()
()
mm
mm
nn
nn
Cs bs bs b s b
Gs
R sasas asa
+ ++ +
==
+ ++ +
"
"
2、在系统传递函数没有零、极点对消的情况
下，极点就是系统的全部特征根，因此，系统
稳定的充分必要条件是,系统的特征根，即系
统传递函数的极点，均在左半 S平面。
1、稳定性是系统自身的属性，只与系统自
身的结构参数有关，与初始条件和外作用无
关。
结论：
4、稳定性只与闭环系统的极点有关，而与零点无关。
3、在系统传递函数存在零、极点对消的情况
下，传递函数的极点没有包含系统的全部特征
根，系统出现不可控或不可观的运动模态，此
时，传递函数的极点不能说明系统的稳定性。
由根和系数的关系可得，系统稳定的必
要条件是：特征方程的所有系数
均大于零，且不缺相。
§
§
3.3.3
3.3.3 劳斯判据设 n阶系统的特征方程为：
1
01 1
()
nn
nn
Ds as as a s a
= + ++ +
01 2
()()()0
n
as p s p s p= =
012
,,,
n
aaa a
s
n
a
0
a
2
a
4
a
6
……
s
n-1
a
1
a
3
a
5
a
7
……
s
n-2
b
1
b
2
b
3
b
4
……
………
s
2
f
1
f
2
s
1
g
1
s
0
h
1
将特征方程的系数排成下面的行和列，即
为劳斯阵列 (劳斯表 )
其中
劳斯判据,
1、控制系统稳定的充要条件是，劳斯表中第一
列所有元素均大于零。
2、特征方程中具有正实部特征根的个数等于劳
斯表中第一列元素符号改变的次数。
"
"
,,,
,,,
1
41
71
3
1
31
51
2
1
21
31
1
1
71
60
3
1
51
40
2
1
31
20
1
b
bb
aa
c
b
bb
aa
c
b
bb
aa
c
a
aa
aa
b
a
aa
aa
b
a
aa
aa
b
=
=
=
=
=
=
[例3.3.1],
已知系统特征方程方程无缺项，且系数大于零。列劳斯表：
43 2
5141280ss s s+ +++=
4
s1148
3
s512
2
58
s8
5
1
496
58
s
0
8s
[例 3.3.2],
已知三阶系统特征方程为劳斯阵列为：
0
32
2
1
3
0
=+++ asasasa
0
0
0
0
3
0
1
3021
1
31
2
20
3
as
a
aaaa
s
aas
aas
得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大
于零，且 a
1
a
2
>a
0
a
3。
[例 3.3.3]：系统特征方程为各项系数均大于零。列劳斯表如下：
5432
63 480s ssss+++++=
5
4
3
3
2
1
1
134
618
17 16
66
17 16
79
8
17
3576
79
8
s
s
s
s
s
s
s
有两种特殊情况需要特殊处理：
＊ 1,劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该
行其它元素不全为零。
例3.3.4 系统特征方程劳斯表
432
7730s ss s+ +++=
4
3
2
1
0
113
77
3
21
7
3
s
s
s
s
s
ε
ε
当
时，
为负，因此，劳斯表中第一列元素的符号改变了两次。
0ε →
21
7
ε
＊ 2,劳斯表中某一行的元素全为零。
这种情况表示在 s平面内存在一些大小相
等符号相反的实根或共轭虚根，系统是不稳定
的。
[例 3.3.5],
系统特征方程列劳斯表
32
58400s ss+++=
3
22
1
1
0
18
540 ()5 40
00
10 0 '( ) 10
40
s
sPs
s
sPss
s
= +
=
即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳
定，从工程角度来看，临界稳定属于不稳定系
统。
劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统
没有右半平面的根，但由P (s)=0，即,
2
5400s + =
1,2
j 8s =±
求得,
[例3.3.6]：系统的特征方程为,
084632
2345
=+++ sssss
8
3.33
83
128)(0128
862)(862
431
0
1
2
33
244
5
+=
′
+=?
s
s
s
sssPs
sssPs
s
列劳斯表：
0862
24
=?+ ss
2 1
4,32,1
jss ±=±=
劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统
不稳定，且有一个右半平面的根，由P (s)=0得：
系统有一对共轭虚根，还有一个右半平面的
实根。
本例看出，由辅助方程解出两对大小相等、
符号相反的根。
§
§
3.3.5
用劳斯判据确定系统参数
[例3.3.7],系统结构图如图所示，试确定系
统稳定时 K的取值范围。
解,系统的闭环传递函数
32
()
() 3 2
Cs K
R ss s sK
=
+ ++
列劳斯表按劳斯判据，要使系统稳定，应有 K>0，且
6-K>0，故 K的取值范围为 0<K<6。
其特征方程式为：
32
() 3 2 0Ds s s s K= +++=
3
2
1
0
12
3
6
0
3
s
sK
K
s
sK
[例3.3.8],系统结构图如图所示，判断系统的稳
定性，如果不稳定，采取什么办法可使系统
稳定？并确定参数变化范围。
解,系统的闭环传递函数
32
() 4
() 4
Cs K
R sTss K
=
++
特征方程为,
32
() 4 0Ds Ts s K= ++ =
特征方程缺项，不论
和
取何值，系统总是不稳定的，称为结构不稳定系统。
K T
变结构后系统的闭环传递函数为,
2
() 4 ( 1)
() ( 1) 4 ( 1)
Cs K s
Rs s Ts K s
τ +
=
+ +τ+
特征方程为：
32
() 4 4 0Ds Ts s K s Kτ= ++ + =
列劳斯阵列：
3
2
1
0
4
14
44
4
sT K
sK
sK KT
sK
τ
τ?
系统稳定的充分必要条件为：
且可知，对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适当选配参数就可使系统稳定。
0,0TK>> T>τ
§
§
3.3.6
相对稳定性和稳定裕量用系统最靠近虚轴的极点离虚轴的距离来
描述系统的相对稳定性。这个距离称之为稳定
裕量。
[例3.3.9]：系统特征方程式为：
判断系统是否具有不小于 1的稳定裕量。
解,列劳斯表：
32
8240sss+ ++=
3
2
1
0
12
84
3
2
4
s
s
s
s
令 s=s
1
-1代入 D(s)得 s
1
的特征方程式
32
11 1
() 5 11 9 0Ds s s s= +?+=
新特征方程系数不全为正，即有特征根位于的直线右边，系统的稳定裕量不到 1。
1s =?
由劳斯判据知，所有特征根均在 s的左半平面。
课堂提问：
问题 1：零、极点抵消后的传递函数能否反映系统的动态特性？
问题2,系统的稳定性与系统的零点有无关系？
问题 3：线性定常系统的时域响应与系统的零
点有无关系？如果有关系，零点如何影响系统
的时域响应？
问题4,什么是系统的不可控模态和不可观模
态？它们是怎么产生的？
思考题：
劳斯判据能否判断延迟系统的稳定性？
§ 3.4.1 稳态误差的计算考虑两种输入信号作用下系统产生的稳态误差，一个是控制输入，另一个是干扰输入。
§
§
3.4 自动控制系统的稳态误差自动控制系统的稳态误差若按被控量的希望值与实际值之差来定义
稳态误差，则系统等效为：
()Cs
'( )Rs ()H s
'( )E s
2
()Gs
1
()Gs
()Ns
+
其中：
() () ()R' s R s H s=
'( ) '( ) ( )
r
Es Rs Cs=?
12
'( ) ( ) ( ) ( ) '( )
r
Rt GsG sHsE s=?
1,控制信号
单独作用下,误差为：
12
1
'( ) '( )
1()()()
r
E sR
GsGsHs
=
+
'( )rt
00
12
1
' lim '( ) lim '( )
1()()()
sr r
ss
esEss Rs
GsGsHs
→→
==
+
稳态误差 e’
sr
为：
称为系统对输入信号的误差传递函数。
12
'( ) 1
'()
'() 1 () () ()
r
er
Es
s
R sGsGsHs
Φ= =
+
由拉普拉斯变换的终值定理计算稳态误差，
2,扰动信号单独作用下，误差为：
'( ) ( )
n
Es Cs=?
2
12
()
()
1()()()
Gs
Ns
GsGsHs
=
+
2
12
'( ) ()
'()
() 1 () () ()
n
en
Es Gs
s
Ns G sG sHs
Φ= =
+
称为系统对扰动的误差传递函数。
2
00
12
()
' lim '( ) lim ( )
1()()()
sn n
ss
Gs
esEss Ns
GsGsHs
→→
==
+
稳态误差
为：
由拉普拉斯变换的终值定理计算稳态误差，
'
sn
e
1)()()(lim
21
0
>>
→
sHsGsG
s
0
1
1
'lim ()
() ()
sn
s
es Ns
GsHs
→
≈
若
，则上式可近似为控制系统在给定信号
和扰动信号 n(t)同
时作用下的稳态误差 e’
ss
为：
00
' ' ' lim '( ) lim '( )
ss sr sn r n
ss
eee sEs sEs
→→
=+= +
'( )rt
由此可知，干扰信号作用下产生的稳态误差
除了与干扰信号的形式有关外，还与干扰作用点之前 (干扰点与偏差点之间 ) 的传递函数及反馈通道的传递函数有关，但与干扰作用点之后的传递函数关系不大。
'
sn
e
用同样的方法计算稳态偏差，可得出结论：
00
12
1
lim ( ) lim ( )
1()()()
sr r
ss
esEss Rs
GsGsHs
→→
==
+
2
00
12
() ()
lim ( ) lim ( )
1()()()
sn n
ss
GsHs
esEss Ns
GsGsHs
→→
==
+
比较两种结果可得：（ 3.47）（ 3.50）
'/(0)
sr sr
eeH=
'/(0)
sn sn
eeH=
主反馈通道的传递函数 H(s)通常是个常数
K
f
，在这种情况下，稳态误差和稳态偏差只是
K
f
倍的关系，即
'/
srsrf
eeK= '/
snsnf
eeK=
记住这种关系，就不妨先计算稳态偏差，
计算结果除以反馈系数 K
f
即可。
需要注意的一个结论是：
1)()()(lim
21
0
>>
→
sHsGsG
s
当 时，系统对干扰
0
1
1
lim ( )
()
sn
s
esNs
Gs
→
≈
的稳态偏差等于：
干扰信号作用下产生的稳态偏差
除了与干扰信号的形式有关外，还与干扰作用点之前的传递函数有关，但与反馈通道的传递函数关系不大。
sn
e
例 3.4.1：系统结构图如图所示，当输入信号为：
时，求系统的稳态误差 e’
sr
和稳态偏差 e
sr
。
K
G(s)=
s(s+2)
H(s)=5
r(t) 5 1(t)= ×
G(s) K
(s)
1 G(s)H(s) s(s 2) 5K
Φ= =
+++
2
() 0Ds s 2s 5K= ++ =
解,先判别系统的稳定性。
系统的闭环传递函数为：
系统的特征方程为：
系统稳定的条件为,K0>
+
=×
++
s(s 2) 5
s(s 2) 5K 5s
取 K=1，由终值定理求得稳态误差：
→
= =
rr
0
' lim '( ) 0
s
s
esEs
r
1
E'() R'(s)
1()()
s
GsHs
=
+
系统对输入信号的误差函数为：
一、稳态误差取 K=1，由终值定理求得稳态偏差：
→
= =
rr
0
lim ( ) 0
s
s
esEs
r
1
E() R(s)
1()()
s
GsHs
=
+
系统对输入信号的偏差函数为：
二、稳态偏差
+
=×
++
s(s 2) 5
s(s 2) 5K s
系统对
的响应曲线如下：r(t) 5 1(t)= ×
step1b
可以看出，系统的稳态值是 1，而不是 5，即
系统对控制量的希望值
的跟踪
误差为零，而对输入信号
的稳态偏
差
也是零，因此，在稳态偏
差是零的情况下，稳态误差等于稳态偏差，满足
的关系。
1
r'( ) r( ) 1
5
∞ =∞=
r(t) 5 1(t)= ×
e( ) 5 5 c( ) 0∞ =?×∞=
'/
srsrf
eeK=
例 3.4.2：上例中
，
K
G(s)=
(s+2)(s+1)
H(s)=5
求系统的稳态误差和稳态偏差。
解：系统的闭环传递函数为：
G(s) K
(s)
1 G(s)H(s) (s+2)(s 1) 5K
Φ= =
+++
2
() 0Ds s 3s 2 5K= +++ =
系统的特征方程为：
系统稳定的条件为：
K25>?
+
=×
++
(s+2)(s 1) 5
(s+2)(s 1) 5K 5s
取 K=1，由终值定理求得稳态误差：
→
= ==
rr
0
'lim'()270.286
s
s
esEs
r
1
E'() R'(s)
1()()
s
GsHs
=
+
系统对输入信号的误差函数为：
一、稳态误差取 K=1，由终值定理求得稳态偏差：
→
= ==
rr
0
lim ( ) 10 7 1.43
s
s
esEs
r
1
E() R(s)
1()()
s
GsHs
=
+
系统对输入信号的偏差函数为：
二、稳态偏差
+
=×
++
(s+2)(s 1) 5
(s+2)(s 1) 5K s
系统对
的响应曲线如下：r(t) 5 1(t)= ×
step1b
可以看出，系统的稳态值是 0.714，即系统
对被控量的希望值
的误差为
0.286，而对输入信号
的稳态偏差
，因此，在稳态偏差不等
于零的情况下，它就不等于稳态误差。
但
，等于稳态误差，满足下
列关系：
1
r'( ) r( ) 1
5
∞ =∞=
r(t) 5 1(t)= ×
e( ) 5 5 c( ) 1.43∞=?× ∞=
( ) / 5 0.286e ∞=
'/
srsrf
eeK=
例 3.4.3：系统结构图如图所示，当输入
，
时，求系统的稳态误差 e’
ss
。
1
K
G(s)=
s(s+1)
2
1
G(s)=
(4s+1)
f
H(s)=K =5
() 5rt=t
() () nt tε=
12
12
() ()
()
1()()()
GsGs
s
GsGsHs
Φ=
+
32
() 4 5 0Ds s s s 5K= +++=
(1)(41)5
K
s ss K
=
+++
解,先判别系统的稳定性。
系统的闭环传递函数为：
系统的特征方程为：
列劳斯表：
3
2
1
0
41
55
520
0
5
5
s
sK
K
s
sK
由劳斯判据知，系统稳定的条件为：
1
0
4
K< <
++
=?
+++
32 2
(1)(41) 5
45 5
ss s
sssKs
由终值定理求得稳态偏差：
→
==
rr
0
1
lim ( )
s
s
esEs
K
r
12
1
E() R(s)
1()()()
=
+
s
GsGsHs
系统对输入信号的偏差函数为：
系统对干扰信号的偏差函数为：
=
+
2
n
12
() ()
E() N(s)
1()()()
GsHs
s
GsGsHs
+
=?
+ ++
32
5( 1) 1
45 5
ss
sssKs
由终值定理求得稳态偏差：
→
= =
nn
0
lim ( ) 0
s
s
esEs
系统总的稳态偏差：
1
ss sr sn
e=e+e=
K
稳态误差为：
1
'/
5
ss ss f
eeK=
K
=
取 K=0.2，作出系统对输入信号 r(t)=5t的响应曲线如图所示，可以看出，系统输出的跟踪
对象是 r(t)/5=t,而不是 r(t)=5t,就是说，被控
量的希望值是 r(t)/5=t,稳态误差为 1。
结论：
1）当反馈系数不等于 1时，系统输出量跟踪的不是输入信号 r(t)，而是它缩小 K
f
倍的信号
r(t)/K
f
，就是说,r(t)/K
f
才是被控量的希望值。
2）稳态误差与系统输入信号有关，同时，也与系统的结构及参数有关。
3.4.2 相对稳态误差在输入端定义的稳态误差（稳态偏差）的相对值：
()- ()
()-()
% 100% 100%
() ()
f
r
rKc
rb
e
rr
∞?∞
∞∞
=×= ×
在输出端定义的稳态误差的相对值：
()- ()
'( ) - ( )
% 100% 100%
'( ) ( )
f
c
rKc
rc
e
rr
∞?∞
∞∞
=×= ×
() ()/
f
r' t r t K=其中，
定义：相对稳态误差为
()-() '()-()
( %) 100% 100%
() '()
rb r c
e
rr
∞∞ ∞∞
=×=×
()- ()
100%
()
f
rKc
r
∞?∞
=×
∞
例 3.4.4 直流电机转速控制系统的结构图如图所示。
电动机的传递函数为,
0
2
10
0.001 0.1 1
G
ss
=
+ +
采用比例校正，放大器增益为：
() =50
cc
Gs K=
求系统的稳态误差。
解：系统对输入信号的偏差传递函数为：
00
11
()
1()()()1 ()
E
ccf
s
GsGsHs KGsK
==
++
Φ
输入电压
3.6V
r
u =
时，对应的电机转速为,
360（转 /分钟），因此，反馈环节的传递函数为,
3.6
() 0.01
360
f
Hs=K ==
根据拉氏变换的终值定理，系统的稳态偏差为：
0
0
13.6
lim
1()
r
s
cf
es
K GsK s
→
=×
+
2
2
0
3.6(0.001 0.1 1)
lim 0.6
0.001 0.1 6
s
ss
ss
→
++
==
++
（伏）
相对稳态误差：
0.6
( %) 100% 100% 16.67%
3.6
r
r
e
e
u( )
=×=×=
∞
稳态误差：
( ) 16.67% 360 60
c
e=e% c× ∞= × =
（转 /分钟）
注意，这里稳态误差与稳态偏差具有不同的量纲。
仿真结果表明，输出稳态值为 300（转 /分钟），
希望值为 360（转 /分钟），误差 60（转 /分钟），
与计算结果一致。
一、系统的类型系统的开环传递函数可表示成时间常数形式：
系统常按开环传递函数中所含有的积分环
节的个数来分类。把
v=0,1,2，… 的系统，
分别称为 0型，Ⅰ型，Ⅱ型，…系统。
( )( ) ( )
()()()
12
12
11 1
() ()
11 1
m
n
ss s
GsHs K
sTs Ts Ts
υ
υ
ττ τ
±+±+ ±+
=
± +±+ ± +
"
"
§ 3.4.3 静态误差系数二、
静态误差系数由 3.4.1节的计算方法可知，系统对输入的稳态偏差为：
00
1
lim ( ) lim ( )
1()()
→→
==
+
sr r
ss
esEss Rs
GsHs
当系统的输入为单位阶跃信号 r(t)=1(t)时，
p
s
s
ss
KsHsGssHsG
se
+
=
+
=?
+
=
→
→
1
1
)()(lim1
11
)()(1
1
lim
0
0
0
lim ( ) ( )
p
s
KGsHs
→
=
对于 0型系统
K
sTsTsT
sssK
K
n
m
s
p
=
+++
+++
=
→
)1()1)(1(
)1()1)(1(
lim
21
21
0
" "
" " τττ
1
()Rs
s
=
静态位置误差系数 Kp
其中，
，定义为系统的静态
位置误差系数。
对于Ⅰ型或高于Ⅰ型的系统
KK
e
p
ss
+
=
+
=
1
1
1
1
∞=
+++
+++
=
→
)1()1)(1(
)1()1)(1(
lim
21
21
0
sTsTsTs
sssK
K
n
m
s
p
" "
" "
ν
τττ
0
=
ss
e
当系统的输入为单位斜坡信号时 r(t)=t 时，
其中
，定义为系统的
静态速度误差系数。
2
1
)(
s
sR =
2
0
0
11 1 1
lim
1 () () lim () ()
ss
s
s
es
GsHs s sGsHs K
ν
→
→
=?==
+
0
lim ( ) ( )
s
K sG s H s
ν
→
=
静态速度误差系数 Kv
对于 0型系统对于Ⅰ型系统
∞==
=
+++
+++
=
→
ν
ν
τττ
K
e
sTsTsT
sssK
sK
ss
n
m
s
1
0
)1()1)(1(
)1()1)(1(
lim
21
21
0
" "
" "
ν
ν
τττ
K
e
K
sTsTsTs
sssK
sK
ss
n
m
s
1
)1()1)(1(
)1()1)(1(
lim
21
21
0
=
=
+++
+++
=
→
" "
" "
对于Ⅱ型或Ⅱ型以上系统
0
)1()1)(1(
)1()1)(1(
lim
21
21
0
=
∞=
+++
+++
=
→
ss
n
m
s
e
sTsTsTs
sssK
sK
" "
" "
ν
ν
τττ
静态加速度误差系数K
a
当系统输入为单位加速度信号时，
，系统稳态误差为其中
，定义为系统的静态加速度误差系数。
3
1
()Rs
s
=
a
s
s
s
ss
KsHsGsssHsG
s
sR
sHsG
se
1
)()(lim
11
)()(1
1
lim
)(
)()(1
1
lim
2
0
3
0
0
==?
+
=
+
=
→
→
→
2
0
lim ( ) ( )
a
s
KsGsHs
→
=
2
1
(),
2
rt t=
计算可得：
对于 0型系统,K
a
=0,e
ss
=∞；
对于Ⅰ型系统,K
a
=0,e
ss
=∞；
对于Ⅱ型系统,K
a
=K，;
对于Ⅲ型或Ⅲ型以上系统,K
a
=∞，e
ss
=0 。
1
ss
eK=
例3.4.5,系统结构如图所示，求当输入信号
r(t)=10+2t+t
2
时，系统的稳态误差 e
ss
。
解：首先判别系统的稳定性。由开环传递
函数知，闭环特征方程为
32
() 0.2 1 0Ds s s s= +++=
对于
1
() 10 ()rt t=?ε
p
K =∞
1
2
0
1
sr
p
e=
K
=
+
各系数大于零，并且
，系统稳定。
第二步，求稳态误差 e
ss
。
根据线性系统叠加原理，
，ttr 2)(
1
=
∞=
v
K
0
2
r2
==
v
s
K
e
对于
12 03
aa aa>
故系统的稳态误差：
，
2
2
)( ttr =
2
2
r3
==
a
s
K
e
对于
22
2
00
1
lim ( ) ( ) lim 1
(0.2 1)
a
ss
s
KsGsHss
ss
→→
+
= ==
+
123
2
sr sr sr
e e e++=
例 3.4.6：单位反馈系统的开环传递函数为：
20(s 1)(0.2s 1)(0.5s 1)
() ()
s(0.1s 1)(0.05s 1)(0.01s 1)
GsHs
+++
=
+ ++
该系统可以无差地跟踪什么信号？可以有
差地跟踪什么信号？跟踪误差是多少？
值得注意的是：
1、用静态误差系数计算稳态误差,只能计算
系统对输入信号的稳态误差，不能计算系统对
干扰的稳态误差，即静态误差系数反应无扰动
情况下系统对被控量希望值的跟踪能力。
2、用静态误差系数计算得到的稳态误差，实际
上是系统的稳态偏差，单位反馈时才等于稳态
误差。
3.4.4 动态误差系数对于任意输入信号作用下系统产生的稳态
误差计算，静态误差系数就失去作用。并且，
当稳态误差不为常数，而是时间的函数时，它
是什么变化规律？稳态误差怎么计算？用动态
误差系数的方法解决了这个问题。
1,任意输入信号作用下稳态误差函数的定义系统稳态误差（在输入端定义）的拉氏变换可表示为：
1
() () () ()
1()()
E
Es s Rs Rs
GsHs
Φ=×=
+
求拉氏反变换，可得到稳态误差的时域零状态响应，它由自由响应和强迫响应两部分组成，
即
（ 3.72）
1
() ()
i
n
t
ip
i
et Ce e t
λ
=
=+
∑
系统的 稳态误差函数描述的是，当系统的
暂态过程结束后，系统的误差随时间的变化规
律。
2,动态误差系数的定义
(1) (2) 2 ( )
11
( ) (0) (0) (0) (0)
2!
ii
EEE E E
ssss
i
ΦΦΦ Φ Φ= + + ++ +
2
01 2
i
i
CCsCs Cs= ++ +++
根据终值定理，稳态误差在
时计算，因
此，可将误差传递函数
在
附近展开成泰
勒级数：
0s →
()
E
sΦ 0s →
()
(0) 0,1,2,
!
i
iE
1
Ci
i
Φ= =
代入（ 3.72）式，得：
（ 3.74）
( )
2
01 2
() ()
i
i
Es C Cs Cs Cs Rs= + + ++ +
求拉氏反变换得：
(1) (2) ( )
01
() () () () ()
i
i
et Crt Cr t Cr t Cr t= + + ++ +
()
()
i
i
i0
Cr t
∞
=
=
∑
由（ 3.74）式定义的常数称为动态误差系数，
它是误差传递函数
在
附近展开泰勒级数的系数。
()
E
sΦ
0s =
（ 3.76）
例 3.4.7 设单位反馈二阶系统的开环传递函数为：
9
()
(3)
Gs
ss
=
+
求系统的动态误差系数。
解：系统的误差传递函数为：
13
()
1() 39
2
E
2
s s
s
Gs s s
Φ
+
==
+ ++
下图是误差传递函数的泰勒级数逼近结果
（取前 5项）。
动态误差系数为：
01 23 4
111
0,,0,,
3278
CCCC C= === =
泰勒级数展开式近似为：
34
11 1
()
327 81
E
ss s s=? +Φ
3,静态误差系数与动态误差系数的关系设系统的开环传递函数为：
2
12
2-
12 -
(1 )
() ()
(1 )
m
m
vnv
nv
Kbsbs bs
GsHs
s as as a s
++ ++
=
++ ++
则系统的误差传递函数为：
2
12
22
12 12
(1 )
(1 s ) (1 )
vn-v
n-v
vn-v m
n-v m
s+as+as as
=
s +a a s a s K +b s+b s b s
++
+ ++ + ++
1
()
1()()
E
s
GsHs
=
+
Φ
用长除法，可得到关于
的升幂级数：
s
2
01 2
(
E
s)=C C s +C s+ +Φ
系数
就是系统的动态误差系数，因此，这是求动态误差系数的另一种方法。
(0,1,2)
i
Ci=
下面用长除法求出 0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统的动态误差系数：
0型系统：
1
1
0
C
K
=
+
11
1
2
(-)
(1 )
abK
C
K
=
+
2
22 111 111
2
23 3
( ) () ()
(1 ) (1 ) (1 )
K a b Kaba Kbba
C
KK K
=+ +
++ +
对于单位阶跃输入信号，
时，
，
，由（ 3.76）式可知，系统的稳态误差函数为：
0t >
() 1rt =
()
( ) 0( 1,2,)
i
rt i= =
0
1
() ()
1
et Crt
K
==
+
K
其中，
就是系统的静态位置误差系数
。
p
K
对于单位速度输入信号，
，
(),rt t=
(1)
() 1rt=
()
() 0( 2,3,)
i
rt i= =，系统的稳态误差函数为：
11
01
2
1()
() ()
1(1)
Ka b
et Crt C t
KK
=+=+
++
显然，随着时间
，稳态误差为
。t →∞ ∞
同理可得，对于加速度信号输入，稳态误差也是无穷大，这与静态误差系数的分析结论相同。
Ⅰ型系统：
0
0C =
1
1
C
K
=
11
2
2
-1ab
C
KK
=?
对于单位阶跃输入信号，系统的稳态误差为：
0
() () 0et Crt= =
对于单位速度输入信号，系统的稳态误差为：
01
1
() ()et Crt C
K
= +=
K
其中，
就是系统的静态速度误差系数
。
v
K
对于单位加速度输入信号，系统的稳态误差为：
(1) (2)
01 2
1
() () () ()et Crt Cr t Cr t t C
K
=+ + =+
显然，随着时间
，稳态误差为
。t →∞ ∞
这与静态误差系数的分析结论相同。
Ⅱ型系统：
0
0C =
1
0C =
2
1
C
K
=
K
其中，
就是系统的静态加速度误差系数
。
a
K
同理可知，系统对阶跃信号、速度信号的
稳态误差为 0，对单位加速度信号的稳态误差
为
，这与静态误差系数的分析结论相同。1 K
例 3.4.8 单位反馈系统的闭环传递函数为：
24000
()
24000
K
s
sK s
==
++
Φ
当输入信号为：
时，求系统的稳态误差函数。
() sinrt A t= ω
解：先求动态误差系数，误差传递函数为：
() 1- ()
24000
E
s
ss
s
ΦΦ==
+
误差传递函数在
附近的泰勒级数逼近
（取前 4项），如图所示，
0s =
可得：
系统的稳态误差函数：
(1) (2) (3)
23
11 1
() () () ()et r t r t r t
KK K
≈+ +
由于输入信号的各阶导数都是随时间呈正
弦规律变化的信号，因此，稳态误差也是随时
间呈正弦规律变化的信号，但由于
很大，稳
态误差信号的幅度很小。
K
23
01 2 3
0,1/,1/,1/ ( 24000)CCKCKCKK== = = =
由终值定理可知，反馈系统在单位阶跃
信号作用下的稳态输出为：
s0
(s) 1 (0)
() lims
1(s)(s)s1(0)(0)
GG
y
GH GH
→
∞= × =
++
当参数变化引起
和
增加
和
时，
变化为：
(0)G (0)H
()y ∞
(0)GΔ
H(0)Δ
G(0) (0)
y*( ) y( ) ( )
1 [ (0) G(0)][ (0) H(0)]
G
y
GH
+Δ
∞= ∞+Δ∞≈
++Δ +Δ
§ 3.4.5 系统参数变化引起的稳态误差变化量
为,
()yΔ∞
2
2
(0) (0) (0)
() y*() ()
[1 (0) (0)]
GG H
yy
GH
Δ? Δ
Δ∞= ∞? ∞≈
+
开环传递系数一般较大，即
(0) (0) 1>>GH
() 1 (0) (0)
( ) (0) (0) (0) (0)
Δ∞ Δ Δ
≈?
∞
yGH
yGHGH
则由此可见：
1、反馈通道参数变化将引起输出同样大小
的变化（相对值）。
2、前向通道参数的变化对系统的影响被缩
小了
倍，这是负反馈系统的一个优
点。
因此，为使系统有较高的精度，测量元件
和反馈环节必须有较高的精度和稳定性。
(0) (0)GH
3.4.6 改善系统稳态精度的途径从上面稳态误差分析可知，采用以下途
径可改善系统的稳态精度：
＊ 1,提高系统的型号或增大系统的开环增益，
可以保证系统对给定信号的跟踪能力。
＊
2,增大偏差信号与扰动作用点之间通道的开
环增益，可以降低扰动信号引起的稳态误差。
＊
3,测量元件和反馈环节必须有较高的精度和
稳定性。
稳态误差计算小结：
问题1,两种稳态误差的定义有无区别？
如果有区别，区别在哪里？
课堂提问：
问题 2：闭环控制系统中，哪一部分的
精度和参数稳定性最重要？
3.5
控制系统的动态品质控制系统的动态品质
3.5.1 典型一阶系统的时域分析典型一阶系统是指不包含零点的一阶系
统，其传递函数为：
1
1
)(
)(
+
=
TssR
sC
其中 T 称为一阶系统的时间常数。
可知，典型一阶系统是惯性环节，它与系统
的一个实数闭环极点相联系。
()Rs
()Cs
1
Ts
典型一阶系统的闭环方框图如图，它是一
个Ⅰ型系统。
一、单位阶跃响应当 r(t)=1(t)时,R(s)=1/s，对于典型一阶系统，
11
11
() [ ( )] 1
1s
t
T
ht L Cs L e
Ts
== ×=
+
二、性能指标：
1,超调量 M
p
,典型一阶系统的单位阶跃响应为
指数规律
，故系统无振荡、无超调，
M
p
=0。
2.调整时间 t
s
：经过时间 3T～4 T，响应曲线已达
稳态值的 95%～ 98%，因此，调整时间为：
t
s
=(3～ 4)T。
3,稳态误差 e
ss
：由于典型一阶系统是Ⅰ型系统，
它对于单位阶跃输入的稳态误差为零。
22
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sC
ωζω
ω
++
=
3.5.2 典型二阶系统的时域分析典型二阶系统是指不包含零点的二阶系统，
其结构图如图所示。
其闭环传递函数为：
其中 ζ ——系统的阻尼比
ω
n
——系统的无阻尼自由振荡角频
1
n
T
=ω
02)(
22
=++=
nn
sssD ωζω
1,
2
21
`
±?= ζωζω
nn
s
特征根为：
系统的特征方程为：
12
1
)(
)(
22
++
=
TssTsR
sC
ζ
或
1）当 ζ >1时，系统有两个不相等的负实根，
称为过阻尼状态。
两个不相等的负实根为
2
1,2
1
nn
s ζω ω ζ=? ±?
+
=
tsts
eeth
21
1
1
1
1
12
1
1)(
222
ζζζζζ
1、单位阶跃响应单位阶跃响应为：
系统无振荡，无超调。
由于单位阶跃响应的第二项衰减较快，系
统的过渡过程时间可近似为：
1
1
)4~3(
s
t
s
=
2）当0< ζ <1时，系统有一对实部为负的共轭复
根，称为欠阻尼状态。
在欠阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一
对共轭复极点，即其中
称为阻尼振荡角频率。
`
2
12
,1
nn nd
s jjζωω ζ ζωω=? ±? =? ±
2
1 ζωω?=
nd
二阶系统共轭复数特征根与系统参数的关系如图
2
1
tg
ζ
β
ζ
=
cosβζ=
cos
nn
ω β ζω=
（实部）
sin
nd
ω βω=
（虚部）
特征根的实部和虚部满足如下三角关系：
单位阶跃响应：
也可写成式中
+?=
tteth
dd
t
n
ω
ζ
ζ
ω
ζω
sin
1
cos1)(
2
2
1
1 sin( ) 0
1
n
t
d
h(t) e t t
ζω
ωβ
ζ
=? + ≥
ζ
ζ
β
2
1
anarct
=
3） 当阻尼比ζ =1时，系统的特征根为两相等
的负实根，称为临界阻尼状态。
系统的单位阶跃响应为：
系统的超调量 M
p
=0，
调节时间 (对应误差带为 5%)：
)1(1
1)(
te
eteth
n
t
tt
n
n
nn
ω
ω
ω
ωω
+?=
=
4.7
s
n
t
ω
=
4）当阻尼比 ζ =0时，系统特征根为一对纯虚
根，称为无阻尼状态。
系统特征根单位阶跃响应为：
n
js ω±=
21
,
`
)0( cos1)( ≥?= ttth
n
ω
下面是不同
值时的单位阶跃响应曲线。
ζ
典型二阶系统单位阶跃响应曲线族
view1
(1)上升时间 t
r
令h(t
r
)=1得：
其中
(2) 峰值时间 t
p
令得：
2
1
r
d
n
t
π βπβ
ω
ωζ
==
2
arctan( 1 )βζζ=?
2
1
p
d
n
t
π π
ω
ωζ
==
()
0
p
tt
dh t
dt
=
=
2、
时系统的性能指标：
0< <1ζ
%100
1
exp
)(
)()(
2
×
=
∞
∞?
=
ζ
ζπ
h
hth
M
p
p
动态分量的幅值衰减到 0.02或 0.05时的时间
就是调整时间 t
s
。
exp 100%
tg
π
β
=?×
(3) 最大超调量 Mp
(4) 调整时间 t
s
由二阶系统的阶跃响应可知，其动态分量
的包络线有下式表示，
2
1
c(t)
1
ns
t
e
ζω
ζ
=
2
1
c(t) 0.02
1
ns
t
e
ζω
ζ
==
令：
2
1
ln(0.02 1 )
s
n
t ζ
ζω
=得：
2
1
0.05
1
ns
t
e
ζω
ζ
=
或令：
2
1
ln(0.05 1 )
s
n
t ζ
ζω
=
得：
2
11
[3+ ln(1 )]
2
n
ζ
ζω
≈
2
11
[4+ ln(1 )]
2
n
ζ
ζω
≈
当时
s
3
t
n
ζω
≈
s
4
t
n
ζω
≈
或
π
ω
ωπ 2/2
sd
d
s
d
s
tt
T
t
N ===
(5) 振荡次数 N
2
21
2
tanN
ζ
β
πζ π
≈=
0.8ζ <
当时
0.8ζ <
可以看出，二阶系统的性能指标由特征根的实部、虚部和
角所描述。
β
2
31
3
tan
22
N
ζ
β
πζ π
≈=
或
1) 最大超调量与峰值时间随
的变化规律
ζ
3,典型二阶系统性能指标的权衡
2) 调整时间与峰值时间随
的变化规律
ζ
思考题：
峰值时间和调整时间都反映系统的快速性，它们有什么不同？
结论：
1、阻尼比
越大，超调量M
p
越小，响应的平
稳性越好。反之，阻尼比
越小，振荡越强，
平稳性越差。当
时，系统输出成为角频率
为
0ζ＝
ζ
ζ
的等幅振荡。
n
ω
2、过阻尼状态下，
越大,调节时间越长；欠
阻尼状态下，
越小，响应速度越快，但因振荡
剧烈，暂态分量衰减缓慢，所以调整时间
亦
长。
s
t
ζ
ζ
3、当
时，系统的超调量
，
0.707ζ＝
4.32%
p
M=
调整时间
，上升时间
此时，系统的平稳性和快速性得到了很好的
权衡,故称为最佳阻尼比。
n
4.24
s
t = ω
n
4.44
p
t = ω
4、当阻尼比
为常数时，
越大，调整时间
、
上升时间
、和峰值时间
就越短，快速性越好。
ζ
n
ω
s
t
r
t
p
t
5、系统的超调量
和振荡次数 N仅仅由阻尼比决定，它们反映了系统的平稳性。因此，在设计系统时，通常
是由最大超调量指标
决定的，而
由快速性指标
和
决定。
p
M
ζ
ζ
p
M
n
ω
p
t
s
t
6、工程实际中，二阶系统多数设计成的欠阻尼情况，且常取
之间。
01ζ< <
0.4~0.8ζ =
例3.5.1 控制系统如图所示，设 K=10，求系
统的单位阶跃响应 h(t),并计算系统单位阶跃响
应的超调量和峰值时间。
解：与典型二阶系统相比较，有：
3.16 ω ==
n
K rad s
21ζω =
n
1
0.158
2
n
ζ
ω
==
则系统的单位阶跃响应,
2
1
1sin()
1
n
t
d
h(t) e t
ζω
ω β
ζ
=? +
=? +
0.5 0
1
1sin(3.1281)
0.987
t
et
超调量：
2
exp 100% 60.5%
1
p
M
ζπ
ζ
=? × =
2
1 (s)
1
p
n
t
π
ωζ
==
峰值时间：
可见，由于系统的阻尼比太小，系统阶跃
响应的超调量过大。
例3.5.2 在例 3.5.1系统中引入微分反馈后的控
制系统如图所示，要求系统单位阶跃响应的超
调量 M
p
%=16.4%，试确定参数 K
t，
并求出峰值
时间。
解：系统的闭环传递函数为与典型二阶系统相比较，有
2
()
()
() (1 )
t
Cs K
s
R ss sK
==
+ ++
Φ
3.16
n
Kradsω ==
1110
26.32
tt
n
KK K
ζ
ω
++
==
%4.16%100
1
exp
2
=×
=
ζ
ζπ
p
M
5.0=ζ
由：
求得,可得：
t
K0.216=
可见，在系统开环放大系数不变的情况下，
引入速度反馈后，系统阶跃响应超调量减小。
2
1.148 (s)
1
p
n
t
π
ωζ
==
峰值时间：
Δ
3.5.3
高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析
1,高阶系统的二阶近似有些高阶系统的零、极点分布及主导极点
满足了一定的条件，其动态特性近似于一个典
型二阶系统，这些条件是：
由于高阶系统性能指标与系统参数之间没
有明确的关系，没有规律，因此，在时域中分
析和设计高阶系统无章可循。
1）没有右半平面的极点。
2）左半平面存在一对共轭复数主导极点
d
(,j)σ ω?±
，并且其它极点和零点都在这对共轭复数极点左侧负实轴上。
3）负实轴上的零、极点与复数主导极点的
水平距离大于
的 5倍，或者零、极点
靠得比较近，作用相互抵消。
d
max[,]σ ω
通过高阶系统二阶近似条件的推导，得出如
下结论：
2）在共轭复数极点左侧负实轴上增加极点，
使系统的峰值时间增大，超调量减小，并且极
点距离共轭复数极点越近，影响越严重。
1）在共轭复数极点左侧负实轴上增加零点，
使系统的峰值时间减小，超调量增加，并且零点
距离共轭复数极点越近，影响越严重。
3）如果附加一对零、极点，它们的作用相
互抵消，靠得越近，它们对系统的影响越小。
由于附加零、极点距离共轭复数极点越近影响
越大，因此，一对零、极点共同作用时，离共
轭复数极点近的影响较大。
4）附加极点对应的指数运动模态
也影响系统的动态指标。
e
bt
A
5）附加零、极点不影响系统的调整时间。
Δ
例 3.5.3 系统的闭环传递函数为：
10
()
(0.5-j1)( 0.5 j1)
s
ss
Φ =
+++
讨论增加闭环零、极点对系统动态指标的影响。
解：系统的单位阶跃响应如图所示。
% 20.8%σ =
3.09s
p
t =
如果附加一个零点
，系统的单位阶跃响应如图所示。
1z =?
%40.4%σ =
1.99s
p
t =
显然，该零点使系统的超调量增大，峰值时
间减小，严重影响了原二阶系统的动态指标。
如果附加零点
，可得系统指标：
z5=?
% 21.3%σ =
2.87
p
ts=
接近原二阶系统的指标。
如果附加一个极点
，可得系统指标：1p =?
% 9.33%=σ
4.38s
p
t =
该极点使系统的超调量减小，峰值时间增大，
对原系统影响严重 。
Δ
例 3.5.4：系统的开环传递函数为：
K
G(s)=
(0.116s+1) (s^2 + 1.365s + 1.544)
2,高阶开环系统的小时间常数讨论忽略小时间常数对系统的影响。
K
G(s)=
(s^2 + 1.365s + 1.544)
解：忽略小时间常数 T
0
=0.116后：
取 K=1,K=8,K=14，比较忽略小惯性环
节前、后系统的单位阶跃响应。
K=1
K=8
K=14
Δ
MATLAB中求取冲激响应的函数为：
impulse( )，其调用格式为
［ y,x,t］ =impulse(num，den,t)
或
impulse(num，den,t)
式中t 为仿真时间； y为输出响应； x为状
态响应。
§
§
3.6 用用
MATLAB进行瞬态响应分析进行瞬态响应分析
§ 3.7.1 绘制时域响应曲线一、单位冲激响应例 3-24 试求下列系统的单位冲激响应
MATLAB命令为：
>> t=[0：0.1：40]；
>>num=[1]；
>>den=[1，0.3，1]；
>>impulse(num，den，t)；
>>grid；
其响应结果如图所示。
13.0
1
)(
)(
)(
2
++
==
ss
sG
sR
sC
impulse2
例 3-25 系统传递函数为
MATLAB命令为：
>>t=[0：0.1,10] ；
>> num=[1]； den=[1，1,1] ；
>>[y，x,t]=impulse(num，den,t)
>>plot(t，y) ；grid
>>xlabel(‘t’)；
ylable(‘y’)；
其响应结果如图所示。
2
1
( )
1
Gs
ss
=
++
impulse3
在 MATLAB中可用step( ) 函数实现，其
调用格式为
[y,x,t]=step(num,den,t)
或
step(num,den)
用
step(num,den)可直接打出曲线。
用
[y,x,t]=step(num,den,t)时，要用
Plot()函数才能打出曲线。
二、单位阶跃响应例 3-26 求系统传递函数为
>>num=[1]； den=[1，0.5,1] ；
>>t=[0：0.1,10] ；
>>[y，x,t]=step(num，den,t)；
>>plot(t，y) ；grid ；
>>xlabel(‘Time [sec] t’)；
>>ylabel(‘y’)
响应曲线如图所示
15.0
1
)(
2
++
=
ss
sG
step6
2
1()1 1
() () ()'
Gs
Cs Gs Gs
sss s
=×=×=×
三、单位斜坡响应
()Gs()Gs
()'Gs
在 MATLABA中没有斜坡响应命令，因
此，需要利用阶跃响应命令来求斜坡响应。根
据单位斜坡信号是单位阶跃信号的积分，当求
传递函数为
的斜坡响应时，可先用
除以 s 得
，再利用阶跃响应命令即可求得
斜坡响应，即例 3-27 已知闭环系统传递函数对单位斜坡输入
则
13.0
1
)(
)(
)(
2
++
==
ss
sG
sR
sC
2
1
(),()rt tRs
s
==
222
11 1 1
()
0.3 1 ( 0.3 1)
=?=?
++ ++?
Cs
sssssss
1
()'Gs
s
=?
MATLAB命令：
>> num=[1]；
>>den=[1，0.3,1,0] ；
>>t=[0：0.1,10] ；
>>c=step(num,den,t)；
>>plot(t，c) ；
>>grid；
>>xlabel('t sec')；
>>ylabel('Input and Output')
其响应结果如图所示。
ramp6
用线性仿真函数 lsim来实现，其调用格式为
［ y,x］ =lsim(num，den,u,t)
式中；y(t)为系统输出响应； x(t)
为系统状态响应； u为系统输入信号； t 为
仿真时间。
den
num
sG =)(
四、任意函数作用下系统的响应例 3-28 已知闭环系统传递函数对正弦输入
求输出响应。
13.0
1
)(
)(
)(
2
++
==
ss
sG
sR
sC
() sin()=rt t
MATLAB命令：
num=[1];
den=[1,0.3,1,0];
y=tf(num,den);
t=[0:0.1:20];
u=sin(t);
c=lsim(y,u,t);
plot(t,c);
grid;
xlabel('t sec');
ylabel('Input and Output')
其响应结果如图所示。
lsim1
§ 3.7.2 求传递函数的零、极点一、多项式求根例如：多项式
p(s)=s
3
+3s
2
+5
2
+4
roots(p)
MATLAB命令：
p=[1,3,5,4];
roots(p)
ans =
-0.7733 + 1.4677i
-0.7733 - 1.4677i
-1.4534
运行结果：
二、绘制传递函数的零、极点图
pzmap()
例如：传递函数为：
32
432
21
()
23 4
ss s
Gs
ssss
++
=
+ +++
绘制传递函数的零、极点图。
MATLAB命令如下：
运行结果：
num=[1,-1,2,1];
den=[1,2,3,1,4];
G=tf(num,den);
pzmap(G);
pzmap2
§ 3.7.3 用LTI Viewer获得时域响应曲线
LTI Viewer是MATLAB控制工具箱中的一个图形工具，利用它可获得系统的阶跃响应、脉冲响应、Bode图、Nyquist图等，并可获得系统的性能指标。
例：当
取
时，绘制典型二阶系
统阶跃响应曲线族。
ζ
0.1,0.2,0.9
解：MATLAB 命令如下：
wn=1;
for i=1:10;
kecy(i)=0.1*i;
ss(i)=tf(wn*wn,[1 2*kecy(i)*wn wn*wn]);
end;
s1=ss(1);
s2=ss(2);
s3=ss(3);
s4=ss(4);
s5=ss(5);
s6=ss(6);
s7=ss(7);
s8=ss(8);
s9=ss(9);
s10=ss(10);
LTIview;
LTI Viewer运行结果如图所示。
view1
§ 3.7.4 用Simulink进行时域响应分析
Simulink允许输入系统的方框图，不
必求出系统传递函数，修改环节参数非常方
便 。
例：用 Simulink观察系统校正的效果。
lag-lead1
课堂提问：
问题 1：闭环零、极点分布满足什么条件时，
高阶系统可以用主导极点法进行近似分析？
问题2,什么情况下可以忽略开环小惯性环
节？
§
§
3.8 小小
结结
1、线性定常系统微分方程的解。
2、系统的性能指标。
3、系统稳定性的判断。
4、系统的稳态误差。
5、系统的类型及静态误差系数。
6、动态误差系数。
7、典型二阶系统
8,高阶系统。
