第第
5章章
控制系统的频域分析控制系统的频域分析时域法的优点和缺点优点：
1）直观、容易理解。
2）典型二阶系统的参数与系统性能指标的关系明确。
3）借助于根轨迹分析，可以分析系统某参数变化对系统动态特性的影响 。
缺点：
1）没有描述系统对高频干扰信号的抑制能力。
4）延迟系统不能用劳斯判据判断稳定性，也不能用MATLAB 绘制根轨迹，系统分析很困
难。
2）时域设计方法只适用于串联校正。
3）精确根轨迹的绘制困难
5）稳定裕量不包含系统动态特性的任何信息。
两个闭环极点的稳定裕量一样两个闭环极点对应系统的响应大不一样
6）设计高阶系统没有依据。
本章要学习的内容：
1、什么是系统的开环极坐标图和 Bode图？如何绘制系统的开环极坐标图和 Bode图？
2、什么是最小相位系统？最小相位系统的开环极坐标图和 Bode图有什么特点？
3、如何用 Nyquist判据分析系统的稳定性？
4、频域相对稳定性如何定义？如何计算？
5、频域法如何进行动态品质分析？
§
§
5.1.1
5.1.1 频率特性的定义设线性定常系统输入信号为 r(t)，输出信
号 c(t)，如图所示。
§
§5.1 频率特性若在系统输入端作用一正弦信号，即
r(t)=Rsinω t
22
)(
ω
ω
+
=
s
RsR
)()()( sRsGsC =
22
()
R
Gs
s
ω
ω
=×
+
系统输出的拉氏变换 C(s)为：
设系统没有重极点，则由第三章的讨论，上
式可写成：
式中
为待定系数。
jj
1
()
jj
-
n
i
i
i
Ke Ke
C
Cs
s ssp
θθ
ωω
=
=++
+?+
∑
,,
i
K Cθ
系统的输出响应为：
1
() e 2 cos( )
i
n
pt
i
i
ct C K t
=
=+ +
∑
ω θ
对于稳定系统，当
时，
均随时间的推移而衰减到零，系统响应的稳态
值为,
t →∞
e(1,2 )
i
pt
in
=
() 2 cos( )
ss
ct K tω θ= +
和
由下式求得：
K
θ
j
j
elim(j)()(j)
2j
s
R
KsCsG
θ
ω
ωω
→
=? =×
(j )
2
R
KGω=×
/2+ (j )Gθ πω=? ∠
() (j )sin[ (j )]
ss
ct RG t Gω ωω=+
sin( )Ctω?=+
则即
)( ωjGRC =
)( ω? jG∠=
这表明，稳定的线性定常系统在正弦信号
作用下，系统的稳态输出将是与输入信号同频
率的正弦信号，但其幅值和相位则由于系统的
固有特性而改变。
定义稳态输出信号的幅值与输入信号的幅
值之比为系统的幅频特性，记为 A(ω )，即
)()( ωω jG
R
C
A ==
式中：
，
定义稳态输出信号与输入信号的相位差
为系统的相频特性，记为
，即
() ( )Gj? ωω=∠
幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性，
记为：
显然，频率特性函数是
的复变函数。
ω
()
() ()
j
Gj A e=
ω
ωω
()? ω
式中：
p(ω )—为 G(jω )的实部，称为实频特性；
q(ω )—为 G(jω )的虚部，称为虚频特性。
频率特性函数可表示为：
() ()j ()G j pqω ωω= +
Δ
例5-1：系统频率特性为：
2
()
(1 )(2 )
Gj
j j
ω
ω ω
=
++
求系统的幅频特性和相频特性。当输入
信号分别为
、
和时，求输出信号并观察其
幅值和相位。
() sinrt t= () sin3rt t=
() sin sin3rt t t= +
解：
幅频特性：
22
2
()
(1 )(4 )
A ω
ω ω
=
++
相频特性：
a) 当输入信号为：
时，() sinrt t=
1ω =
1
22
()| 0.632
(1 1)(4 1) 10
A
ω
ω
=
===
++
( ) (arctan arctan 2)? ωω=?+
0
1
( ) | (arctan1 arctan1 2) 71.57
ω
ω
=
=? + =?
b) 当输入信号为：
时，
() sin3rt t=
3ω =
3
2
()| 0.175
(1 9)(4 9)
A
ω
ω
=
==
++
输出信号：
0
( ) 0.632sin( 71.57 )Ctω =?
输出信号：
0
( ) 0.175sin(3 127.8 )Ctω =?
c) 当输入信号为：
时，
() sin sin3rttt= +
00
( ) 0.632sin( 71.57 ) 0.175sin(3 127.8 )Ct tω =?+?
0
3
( ) | (arctan3 arctan3 2) 127.8
ω
ω
=
=? + =?
0
( ) 0.632sin( 71.57 )Ctω =?
0
( ) 0.175sin(3 127.8 )Ctω =?
00
( ) 0.632sin( 71.57 ) 0.175sin(3 127.8 )Ct tω =?+?
可以看出，对于不同频率的正弦信号，系
统的增益和相移都不同，因此，输出信号产生
了严重的失真。
Δ
§
§
5.1.2
5.1.2 频率特性与传递函数的关系由频率特性的推导过程可知，频率特性
G(jω )是传递函数的一个特例，在 S平面上，
传递函数
的自变量 s是个复数，
意味
着把 s的变化范围限制在虚轴上，则
s=j
G(s) | =G(j )
ω
ω
()Gs
s jω=
因此，将传递函数中的复变量 s换成纯虚数
就得到系统的频率特性。
jω
设线性定常系统传递函数为
，当输入信号的拉氏变换为
时，系统输出的拉氏变换
为：
()Gs
()R s
() () ()Cs GsRs=
如果输入信号的傅氏变换存在，则系统输
出信号的傅氏变换为：
() () () ()()
sj
Cj Gs Rj Gj Rj
ω
ω ωωω
=
==
即
()
()
()
Cj
Gj
Rj
ω
ω
ω
=
就是说，当输入信号的傅氏变换存在时，
系统的频率特性就等于输出信号的傅氏变换与输入信号的傅氏变换的比值。
与传递函数一样，频率特性也是系统的一种数学模型，它只与系统自身的特性有关，而与系统的输入信号无关。
1
)(
+
=
Ts
K
sG
2222
111
)(
T
TK
j
T
K
Tj
K
jG
ω
ω
ωω
ω
+
+
=
+
=
或解：令 s=jω 得系统的频率特性
jarctan
2
(j )
1j
1( )
T
KK
Ge
T
T
ω
ω
ω
ω
==
+
+
例5.1.2 已知系统的传递函数，
求系统的频率特性。
2
)(1
)(
T
K
A
ω
ω
+
=
22
1
)(
T
K
p
ω
ω
+
=
22
1
)(q
T
KT
ω
ω
ω
+
=
实频特性:
相频特性:
幅频特性:
幅频特性和相频特性随 ω 变化的曲线如
图所示。
虚频特性:
( ) arctan T? ωω=?
§
§
5.1.3
5.1.3 频率特性曲线的三种表示形式频率特性曲线有三种表示形式，即极坐标
图、对数坐标图，对数幅相图。
1,极坐标图
(幅相频率特性曲线 )
系统的频率特性可表示为：
()
( ) () () ()
j
Gj A e p jq
ω
ω ωωω==+
在由
的实部和虚部组成的
平面上，
用一向量表示某一频率
下的
，向量的
()Gjω
G
i
ω ()
i
Gjω
长度为
，向量的极坐标角为
，
的正方向取为逆时针方向，将极坐标与直角坐标重合，极坐标系如图所示。
)(
i
ω?
()
i
ω
)(
i
A ω
频率特性G( jω )是输入信号频率 ω 的复变函
数，当频率 ω 由0→∞时，
G(jω )变化的曲线，
即向量端点轨迹就称为极坐标图。
当
时，
在实轴上的投影为实频
特性
,在虚轴上的投影为虚频特性
。
i
ωω =
)(
i
p ω
i
G(j )ω
()
i
q ω
显然有
() ()cos()pAω ω?ω=
() ()sin()qAω ω?ω=
22
() () ()Apqω ωω=+
下图是某二阶系统的极坐标图。
()
( ) arctan
()
q
p
ω
ω
ω
=
二阶系统的极坐标图
2,对数坐标图 (对数频率特性曲线 )
也叫 Bode图 。 Bode图由对数幅频特性和对
数相频特性两张图组成。
对数幅频特性 是频率特性幅度的对数值
L(ω )=20lg A(ω )（ dB）与频率 ω 的关系曲线；
对数相频特性是频率特性的相角
(度)与频
率 ω 的关系曲线。
()? ω
对数坐标图
3,对数幅相图 （ Nichols图）
对数幅相图是将对数幅频特性和对数相
频特性两张图，在角频率为参变量的情况下
合成一张图，对数幅相坐标系如图所示。
对数幅相图
§
§
5.2.1
传递函数的典型环节分解
22
11
22
11
(1)( 21)
() ()
(1)( 21)
q
r
u
ijj
ij
s
p
w
v
kll
kl
Ks s s s
GsHs e
sTs TsTs
τ
ττζτ
ζ
==
==
±±+ ±+
=
±+ ± +
∏∏
∏∏
传递函数可表示成时间常数形式,
其中：
、,,
、,,
均大于零。K
i
τ
j
τ
k
T
l
Tτ
ζ
§
§5,2 典型环节的频率特性
2、积分环节：1/s
它与系统位于原点处的极点相对应。
3、微分环节,s
它与系统位于原点处的零点相对应。
4、惯性环节：
它与系统位于实轴上的极点相对应。
1( 1)
k
Ts± +
1、比例环节：
K±
它是系统的开环放大系数。
6、振荡环节：
它与系统的一对共轭极点相对应。
7、二阶微分环节：
它与系统的一对共轭零点相对应。
8、滞后环节它反映系统的时间延迟。
22
1( 2 1)
ll
Ts Tsζ± +
22
21
jj
ssτζτ±+
s
e
τ?
5、比例微分环节：
1
i
sτ± +
它与系统位于实轴上的零点相对应。
比例环节的传递函数,G(s)=
频率特性：
幅频特性：
相频特性：
或
-180
0
对数幅频特性：
()G j Kω =±
KA =)(ω
0)( =ω?
KAL lg20)(lg20)( == ωω
1,比例环节
K±
§
§
5.2.2
典型环节的频率特性
s
sG
1
)( =
2
11
)(
π
ωω
ω
j
e
j
jG
==
ω
ω
1
)( =A
2
)(
π
ω=
ωωω lg20)(lg20)(?== AL
对数幅频特性：
2,积分环节积分环节的传递函数：
频率特性：
幅频特性：
相频特性：
2
)(
π
ωωω
j
ejjG ==
ωω =)(A
2
)(
π
ω? =
ωωω lg20)(lg20)( == AL
频率特性：
幅频特性：
相频特性：
对数幅频特性：
3,微分环节微分环节的传递函数,G(s)=s
惯性环节的传递函数：
1
()
1
Gs
Ts
=
± +
22 22
1
11
T
j
TT
ω
ωω
=
++
22
1
1
)(
T
A
ω
ω
+
=
相频特性,
4,惯性环节
jarctan
2
11
(j ) e
1j
1( )
T
G
T
T
ω
ω
ω
ω
==
±
+
( ) arctan T? ωω=?
频率特性：
幅频特性：
对数相频特性：
22
1
1
)(
T
p
ω
ω
+
=
22
()
1
T
T
ω
θω
ω
=
+
22
1lg20)(lg20)( TAL ωωω +?==
1
()
1
Gs
Ts
=
+
实频特性：
虚频特性：
对数幅频特性：
极点在左半平面时，
，极坐标图如图所示。
( ) arctan T? ωω=?
22
2
11
() ()pqωω
+ =
由于实部和虚部满足因此，当
从
变化时，惯性环节的极坐
标图是一个圆心在1/2处，半径为 1/2的半圆。
ω 0 →∞
1）当
时，对数幅频特性可近似为
T
1
<<ω
01lg20)(
22
≈+?= TL ωω
dB
2）当
时，对数幅频特性可近似为
T
1
>>ω
22
() 20lg1 20lgL TTω ωω=? + ≈?
低频段近似为一条0dB的水平线。
高频段近似为一条斜率为-20dB/dec的直线。
对数幅频特性：
对数相频特性：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
0
0()arctanTω?ω ω==?=
1()arctan45TTω?ωω==?=?
null
0
( ) arctan 90Tω?ω ω=∞ =? =?
的 Bode图如图所示。
1
()
1
Gs
Ts
=
+
惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两
段直线。两直线相交，交点处频率
，
称为转折频率。
两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐
近线。用渐近线代替对数幅频特性曲线，最
大误差发生在转折频率处，即
处。
1 Tω =
1 Tω =
3.01( )dB=?
误差为
11
22
() () () 20lg1 0
TT
LLL T
ωω
ωωω ω
==
Δ=? =? +
渐误差曲线如图所示。
比例微分环节的传递函数：
频率特性：
幅频特性：
() 1Gs j Tω= ±
22
() 1A Tωω=+
相频特性：
实频特性：
虚频特性：
() 1p ω =
() Tθ ωω=±
5,比例微分环节
2 jarctan
(j ) 1 j 1 ( ) eG
ωτ
ωωτ ωτ
±
=± = +
( ) arctan? ωωτ=±
对数幅频特性：
对数相频特性：
零点在左半平面时，
，极坐
标图如图所示。
22
( ) 20lg ( ) 20lg 1L ATωω ω==+
()1Gj jTω ω= +
( ) arctan? τ=±
1）当
时，对数幅频特性可近似为
T
1
<<ω
01lg20)(
22
≈+= TL ωω
dB
2）当
时，对数幅频特性可近似为
T
1
>>ω
22
() 20lg1 20lgL TTω ωω=+≈
低频段近似为一条0dB的水平线。
高频段近似为一条斜率为20dB/dec的直线。
对数幅频特性：
对数相频特性：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
0
0()arctanω?ω ωτ===
0
1()arctan45ωτ?ω ωτ===
0
( ) arctan 90ω?ωωτ=∞ = =
() 1Gs j Tω= +
的 Bode图如图所示。
二阶振荡环节的传递函数：
频率特性：
幅频特性：
相频特性：
22
1
()
21
Gs
Ts Tsζ
=
± +
2
1
()
()2 1
Gj
jT j T
ω
ωζω
=
±+
2222
)2()1(
1
)(
TT
A
ζωω
ω
+?
=
6,振荡环节
22
2
( ) arctan
1
T
T
ζω
ω
ω
=
实频特性：
虚频特性：
对数幅频特性：
对数相频特性：
2222
22
)2()1(
1
)(
TT
T
p
ζωω
ω
ω
+?
=
222 2
2
()
(1 ) (2 )
T
TT
ζ ω
θω
ωζω
=
+
222 2
() 20lg() 20lg(1 ) (2 )LA T Tωω ωζω==+
22
2
( ) arctan
1
T
T
ζω
ω
ω
=
极坐标图如图所示。
22
1
()
21
Gs
Ts Tsζ
=
+ +
极点在左半平面时，
低频段渐近线为一条0dB的水平线。
（2）高频段高频段渐近线为一条斜率为-40dB/dec的直线。
T
1
>>ω
T
1
<<ω
对数幅频特性也可用两条渐近线近似表示：
（1）低频段
222 2
() 20lg (1 ) (2 ) 20 lg 10LTTdBωωζω= + ≈? =
222 2
( ) 20lg (1 ) (2 ) 40lgLTTTω ω ζωω= + ≈?
对数相频特性：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
22
2
0()arctan 0
1
T
T
ζω
ω?ω
ω
==? =
0
22
2
1()arctan 9
1
T
T
T
ζω
ω?ω
ω
==? =?
0
22
2
( ) arctan 180
1
T
T
ζω
ω?ω
ω
=∞ =? =?
的 Bode图如图所示。
22
1
()
21
Gs
Ts Tsζ
=
++
用渐近线代替实际对数幅频特性也会带来
误差，误差的大小与
有关。二阶振荡环节的
误差修正曲线如图所示。
ζ
特例：等幅振荡环节当
时，二阶振荡环节变为等幅振荡环节，表现为虚轴上的两个极点，传递函数为：
0ζ =
22
1
()
1
Gs
Ts
=
+
频率特性：
2
1
()
1( )
Gj
T
ω
ω
=
222
)1(
1
)(
ω
ω
T
A
=幅频特性：
相频特性：
0
1()Tω?ω< =
0
18T>=?
时，
时，
可见，由于等幅振荡环节是二阶振荡环节
在
时的极限，在
时，相频特性产
生-180
0
的突变。
1 Tω =
0ζ →
实频特性：
222
)1(
1
)(
ω
ω
T
P
=
虚频特性：
0)( =ωθ
极坐标图如图。
对数幅频特性：
对数相频特性：
222
() 20lg () 20lg (1 )LA Tωω ω==
0
1()Tω?ω<=
0
1()18T>=?
时，
时，
Bode图如图。
对数幅频特性渐近线与振荡环节相同，但精确曲线不同，在转折频率处幅频特性趋近于
。
∞
二阶微分环节的传递函数：
频率特性：
幅频特性：
相频特性：
222 2
() (1 ) (2 )A ω τω ζωτ=? +
7.二阶微分环节,
22
() 2 1Gs s sτζτ= ±+
2
()( ) 2 1Gj j jωτω ζτω= ±+
22
2
( ) arctan
1
ζωτ
ω
τ ω
=±
22
() 1p ω τω=?
() 2θ ω ζτω=±
222 2
() 20lg() 20lg(1 ) (2 )LAω ωτωζωτ==?+
实频特性：
虚频特性：
对数幅频特性：
对数相频特性：
零点在左半平面时，
2
()( ) 2 1Gj j jωτω ζτω=++
22
2
( ) arctan
1
ζωτ
ω
τ ω
=±
极坐标图：
低频段渐近线为一条0dB的水平线。
（2）高频段高频段渐近线为一条斜率为40dB/dec的直线。
T
1
>>ω
T
1
<<ω
对数幅频特性：
（1）低频段
222 2
( ) 20lg (1 ) (2 ) 20lg 1 0LTTdBωωζω=?+≈=
222 2
( ) 20lg (1 ) (2 ) 40lgL TTTω ω ζωω=?+≈
对数相频特性：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
22
2
0()arctan 0
1
ζωτ
ω?ω
τω
== =
0
22
2
1/ ( ) arctan 90
1
ζωτ
ωτ?ω
τω
== =
0
22
2
( ) arctan 180
1
ζωτ
ω?ω
τω
=∞ = =
延迟环节的传递函数：
式中
——延迟时间频率特性：
幅频特性：
相频特性：
对数幅频特性：
极坐标图为一单位圆，如图所示。
s
esG
τ?
=)(
τ
ωτ
ω
j
ejG
=)(
1)( =ωA
)(3.57)()( Crad
null
ωττωω=?=
dBAL 0)(lg20)( == ωω
8,延迟环节滞后环节的低频部分与惯性环节近似。
Bode图如图所示。
可见，含有滞后环节的系统，高频段产生严
重的相角滞后。
§
§ 5,
3 系统的开环对数频率特性系统的开环对数频率特性
§
§
5.3.1
5.3.1 系统开环对数频率特性的求取开环传递函数可分解成典型环节乘积的
形式，其频率特性可表示成:
)()()()(
21
ωωωω jGjGjGjG
n
=
)()(
2
)(
1
)()()(
21
ω?ω?ω?
ωωω
n
j
n
jj
eAeAeA=
∏
=
∑
=
=
n
i
j
i
n
i
i
eA
1
)(
1
)(
ω?
ω
系统的开环对数幅频特性:
])(lg[20)(lg20)(
1
∏
=
==
n
i
i
AAL ωωω
∑
=
=
n
i
i
A
1
)(lg20 ω
∑
=
=
n
i
i
L
1
)(ω
∑
=
=∠=
n
i
i
jG
1
)()()( ω?ωω?
开环相频特性,
例5.3.1：
系统开环传递函数试绘制开环对数频率特性。
解
系统开环频率特性为系统由4个典型环节串联组成：
10(0.01 1)
()
(0.1 1)
s
Gs
ss
+
=
+
10(1 j0.01 )
(j )
j(1 j0.1)
G
ω
ω
ω ω
+
=
+
对数幅频特性渐近线在
时穿越0dB线，
其斜率为-20dB/dec。
10)(
1
=ωjG
0210lg20)(
1
==ωL
0)(
1
=ω?
ω
ω
j
jG
1
)(
2
=
ωω lg20)(
2
=L
null
90)(
2
=ω?
1=ω
dB
1、比例环节
2、积分环节
ω
ω
1.01
1
)(
3
j
jG
+
=
2
3
)1.0(1lg20)( ωω +?=L
1
3
10rad sω
=?
)(
3
ω?
)
4
,(
3
π
ω?
3
( ) arctan 0.1? ωω=?
3、惯性环节转折频率
，对数幅频特性渐近
线在转折频率前为0dB线，转折频率后为一条斜率
为-20dB/dec的直线。
对称于点
。
4、比例微分环节转折频率
，对数幅频特性渐近
线在
之前为0分贝线，在
之后为一条斜率为
20dB/dec的直线。
5
()1 0.01Gj jω ω=+
2
5
)10.0(1lg20)( ωω +=L
4
ω
4
ω
相频特性
在转折频率处为45°，低频段为
0°，高频段为90°，且曲线对称于点
。
)(
4
ω?
)45,(
4
null
ω
4
( ) arctan 0.01? ωω=
4
1
100rad/s
0.01
ω ==
将开环传递函数写成时间常数形式，即
22
11
22
11
(1)( 21)
() ()
(1)( 21)
q
r
u
ijj
ij
s
p
w
v
kll
kl
Ks s s s
GsHs e
sTs TsTs
τ
ττζτ
ζ
==
==
±±+ ±+
=
±+ ± +
∏∏
∏∏
其幅频特性为：
2222
11
2222
11
()1 (1 )(2 )
() ()
()1 (1 )(2 )
q
r
ijj
ij
p
w
kll
kl
K
GH
TTT
==
==
+?+
=
+?+
∏∏
∏∏
υ
τωτωζτω
ωω
ω ωωζ ω
§
§
5.3.2
5.3.2 开环对数幅频渐近特性
1、低频段：低频段是 ω 低于第一转折频率的
区段，幅频特性的渐近线为：
( ) 20 lg 20 lgLKω υω=?
可见，时间常数和开环增益的符号在幅频特
性中已不再反映，就是说，对称于虚轴的极点或
零点，它们对应的环节的幅频特性是一样的。
() 20lgL Kω =0υ =
0 型系统（
），低频段是一条的直线,K为系统的静态位置误差系数。
当时
1ω =
当时
υ
ω K=
1 型以上系统（
）
1υ ≥
1
( ) 20 lg 20 lg 20 lgLK K
ω
ωυ
=
=?
() 20lg 20lg 0
K
LK
υ
ω=
=?=
可见,a)在
处，幅频特性的幅值为 20lgK
b)幅频特性的穿越频率为因此，低频段是一条穿过点（1,20lgK）和点
（,0），斜率为-20× υ dB/dec的直线。
对于Ⅰ型系统，
,即静态速度
误差系数；对于Ⅱ型系统，
,
即静态加速度误差系数；
1ω =
K
υ
c v
KKω = =
c a
KKω ==
c
K
υ
ω =
K
K
2,中、高频段：
惯性环节、比例微分环节、振荡环节渐近
线的低频段为
的直线，对开环对数幅频
渐近特性没有贡献。从转折频率开始，这些环
节改变了对数幅频渐近特性的斜率，例如，惯
性环节使斜率增加-20db/dec,比例微分环节使
斜率增加20db/dec，以此类推。
() 0L ω =
绘制系统开环对数幅频渐近特性的步骤：
1,将开环传递函数变为时间常数形式。
2,求各环节的转折频率，并标在 Bode图的 ω
轴上。
3,低频段对于0型系统，做一条幅度为的水平线，直到第一转折频率。
对于1型以上系统，过 ω =1,L(ω )=20lgK点
() 20lgL Kω =
（或者过
,L(ω )=0点）作一条斜率为-20× υ dB/dec的直线，直到第一转折频率。
以上直线作为对数幅频特性的低频段。
υ
ω K=
4.
中、高频段
L(ω )的低频段向高频段延伸，每经过一个转折频率，按环节性质改变一次渐近线的斜率。
例 5.3.2,系统的开环传递函数为：
试绘制系统的对数幅频渐近特性。
)12.0)(11.0(
)101.0(10
)(
++
+
=
sss
s
sG
)2.01)(1.01(
)01.01(10
)(
ωωω
ω
ω
jjj
j
jG
++
+
=
解,开环传递函数已经是时间常数形式。
频率特性为：
例 5.3.3 系统开环传递函数为：
2
100( 10)
()
(4 2 1)( 100)
s
Gs
sss
+
=
++ +
试绘制系统的对数幅频渐近特性。
解,将开环传递函数写成时间常数形式。
频率特性为：
2
10( 0.1 1)
(j )
(1 4 2 )( 0.01 1)
j
G
jj
ω
ω
ωω ω
+
=
++
例 5.3.4,系统开环传递函数为：
2
500( 10)
()
( 50)( 100)
s
Gs
ss s
=
++
试绘制系统的对数幅频渐近特性。
频率特性为：
解,将开环传递函数写成时间常数形式。
2
(0.1 1)
(j )
(0.02 1)(0.01 1)
j
G
jj
ω
ω
ωω ω
+
=
++
§
§
5.3.3
5.3.3 最小相位传递函数和最小相位系统一个不包含不稳定极点的传递函数有如下形式：
将其频率特性的分子、分母各环节表示成极坐标形式,
22
11
22
11
(1)( 21)
()
(1)( 2 1)
q
r
ijj
ij
p
w
kll
kl
Ks ss
s
Ts Ts Ts
ττζτ
ζ
==
==
± +±+
Φ=
+++
∏∏
∏∏
() ()
11
() ()
11
() ()
()
() ()
im
kl
q
r
jj
im
p
w
jj
kl
KAe C e
j
Be De
θ ωθω
θω θω
ωω
ω
ωω
±±
==
==
±
Φ=
∏∏
∏∏
[][]
11 11
() () () () ()
qp
rw
imkl
im
a?ωπ θω θω θω θω
== ==
=+ ± +±? +
∑∑ ∑∑
相频特性：
[][]
11 1 1
() () () () ()
pq
wr
kl i m
kl i m
ω θ ω θω θω θ ω
== = =
Δ= +?± +±
∑∑ ∑ ∑
其中，当开环增益前面的符号为正时，
，
否则，
。
当
从
变化时，相角滞后为：
0a =
1a =
ω
0 →∞
对于具有相同幅频特性且没有右半平面极
点的传递函数，零点全部位于左半平面时，传
递函数具有最小的滞后相位，称为最小相位传
递函数，对应的系统称为最小相位系统。
最小相位系统定义如下：
1
1
)(
1
2
sT
sT
sG
a
+
+
=
0
1
1
)(
21
1
2
>>
+
= TT
sT
sT
sG
b
例 5.3.5：设有两个系统 (a)和 (b)，其传递函数零、极点分布如图所示。
(a) (b)
1
1
)(
1
2
Tj
Tj
jG
a
ω
ω
ω
+
+
=
1
1
)(
1
2
Tj
Tj
jG
b
ω
ω
ω
+
=
两系统的频率特性分别为对数频率特性分别为
2
1
2
2
)(1lg20)(1lg20)( TTL
a
ωωω +?+=
2
1
2
2
)(1lg20)(1lg20)( TTL
b
ωωω +?+=
21
( ) arctan arctan
a
TT? ωω ω=?
21
( ) arctan arctan
b
TT? ωωω=
最小相位系统的幅频特性和相频特性之间存在着固定的对应关系，这种对应关系可概括
为：
1）幅频渐近特性上的水平线，对应的相频
特性不变化。
2）幅频渐近特性上斜率为的直线，对应的相频特性产生最大
的滞
后相角。
20dB/decυ? ×
0
90υ×
3）幅频渐近特性上斜率为
的直
线，对应的相频特性产生最大
的超前相
角。
根据这种对应关系，一个分母为 n阶，分子
为 m阶的最小相位传递函数，当
时，对
数幅频特性曲线的斜率等于
,
对应的相频特性将产生
的滞后相角。
20dB/dec×υ
0
90υ×
ω →∞
20 ( - )dB decnm?×
90 ( )nm? ×?
null
例 5.3.6,两系统的 Bode图如图所示，判断系统是
否最小相位系统？
（ 1）
（ 2）
非最小相位系统分析起来要复杂的多。
例如：下面是四个非最小相位系统，它们
具有相同的幅频特性，而相频特性却不一样。
12
12
(1)(1)
()
(1)(1)
a
ss
Gs
Ts Ts
τ τ?+
=
++
12
12
(1)(1)
()
(1)(1)
a
ss
Gs
Ts Ts
τ τ+?
=
++
12
12
(1)(1)
()
(1)(1)
a
ss
Gs
Ts Ts
τ τ+ +
=
+
12
12
(1)(1)
()
(1)(1)
a
ss
Gs
Ts Ts
τ τ+ +
=
+?
§
§
5.3.4
5.3.4 传递函数的频域试验室确定频率响应试验就是给系统施加某一频率的
正弦信号，记录系统的稳态响应（幅值和相
位），然后保持输入信号的幅度不变，改变输
入信号的频率，再记录系统的稳态响应，用此
方法在某一频率范围内进行试验，可得到系统
在该频段的幅频特性和相频特性，绘出对数幅
频特性和对数相频特性（ Bode图）。
求系统的传递函数具体的方法是：
由低频段确定系统的类型和静态误差系
数，由中、高频段的转折频率和渐近线斜率确
定相应典型环节的种类和时间常数，最后确定
开环传递函数。
例 5.3.7：最小相位系统的对数幅频渐近特
性如图所示，求系统的传递函数。
最小相位系统含有振荡环节或二阶微分环节的最小相位系统例 5.3.9：非最小相位系统的对数幅频特性如
图所示，求系统的传递函数。
非最小相位系统例 5.3.10：被测系统的实际传递函数为：
100( 20)
()
( 2)(s 5)( 10)
s
Gs
ss
+
=
+++
Bode图如图所示。
当最小相位系统的几个转折频率距离较近时只考虑对数幅频特性，求出的传递函数可
能是：
2
150
()
(s 5.48s 7.5)
Gs=
++
系统应建模为：
12 3
K( 1)
()
(T )(T s 1)(T 1)
s
Gs
ss
τ +
=
+ ++
稳态误差系数 K可由低频段求出。
20lg K 26dB=
K20=
由幅频特性可知，比例微分环节的转折频率
可取 20，三个惯性环节的转折频率位于
之间，由于渐近线不清晰，可试取 2,6,10，传
120ω< <
20( / 20 1) 120( 20)
()
( / 2 )(s/6 1)( /10 1) ( 2)(s+6)( 10)
ss
Gs
ssss
+ +
==
++ + + +
递函数为：
该传递函数的准确 Bode图如图所示。它与
被测系统的 Bode图已基本吻合。再仔细观察，
相频特性略有些不同，因此，需要修正参数。
将极点 p
2
=6改为 p
2
=5，得到满意的结果。
由此例可知，用频率法进行系统建模，经
常要采用试探法，反复比较，反复调整，才能
最后得到比较准确的模型。
建模过程差之毫厘，失之千里，必须力求
精益求精。
对数幅频渐近特性中，两个转折频率之间
的直线可用下式表示：
2
21 21
1
L( ) L( ) K(lg lg ) K lg
ω
ωω ωω
ω
=?=
式中,K为直线的斜率。
5.3.5 利用对数幅频渐近特性的线性关系计算参数例 5.3.11：最小相位系统的对数幅频特性如图
所示，已知各段直线的斜率、幅值穿越频率和
三个转折频率：
，
，
，
,
求系统的传递函数。
1
0.1ω =
2
1ω =
3
10ω =
c
4ω =
解：由图可知，系统是个一型系统，因此，
传递函数有如下形式：
v
K( 1)
()
s(10 1)(0.1 1)
s
Gs
ss
+
=
+ +
由于低频段的两个关键点（ 1,20lgK
v
）
和（ K
v
,0 ）没有给出，误差系数 K
v
不能直接求出，需要利用对数幅频渐近特性的线性关系
来求。
将
代入，解得,K=40，传递函
数为：
40( 1)
()
s(10 1)(0.1 1)
s
Gs
ss
+
=
+ +
一型系统低频段在
时穿越 0dB线，
因此有：
v
Kω =
1v 12 2c
20(lg lgK )= 40(lg lg ) 20(lg lg )ω ωω ωω
12c
,,ω ωω
关于最小相位系统的判别：
问题的提出从高频段判断，出现错误。
从总的相角滞后判断，出现错误。
一个分母为 n阶，分子为 m阶的最小相位传
递函数，当
时，对数幅频特性曲线的斜
率等于
,对应的相频特性将产
生
的滞后相角。
ω →∞
20 ( )dB decnm?×?
90 ( )nm? ×?
null
应该从系统总的相角滞后来判断最小相位系统。
什么时候可以从高频段来判断？
怎么知道
的符号为正还是为负？
K
§
§
5.4
5.4 系统的开环极坐标图系统的开环极坐标图是当
从 0→∞
变化时，频率特性
向量端点的运
行轨迹 。
ω
(j ) (j )GHω ω
5.4.1 系统开环极坐标概略图的绘制例 5.4.1：
已知系统开环传递函数
)11.0)(1(
10
)()(
++
=
ss
sHsG
绘制系统开环极坐标图。
解,系统开环频率特性
10
()()
(1 )(1 0.1 )
Gj Hj
jj
ωω
ω ω
=
++
2
222 222
10(1 0.1 ) 10 1.1
(1 )(1 0.1 ) (1 )(1 0.1 )
j
ω ωωω
×
=?
++ ++
12
()
222
10
(1 )(1 0.1 )
j
e
θ θ
ωω
+
=
++
j0-10)G(j 0 == ωω
j0--0)G(j =∞= ωω
1、起始点终止点
2、与实轴交点。令虚部等于零得：
12
arctan arctan 0.1==θ ωθ ω
j0-10)G(j 0 == ωω
j0--0)G(j =∞= ωω
此时已经可以绘出概略极坐标图。
3、角度变化范围：
ω
当 从
0 →∞
变化时，
从 0到
12
() ( )? ωθθ=?+
π?
。
作极坐标概略图的基本方法是：
1、确定起始点
和终止点
。
(0) ω = () ω =∞
2、确定极坐标图与负实轴的交点 。
3、确定角度变化范围。
（至关重要）
例5.4.2：
系统开环传递函数
12
() ()
(1)(1)
K
GsHs
sTs Ts
=
+ +
12
()()
(1)(1)
K
Gj Hj
jjT jT
ωω
ωω ω
=
+ +
2
12 12
22 22 22 22
12 12
() (1 )
(1)(1)(1)(1)
KT T K TT
j
TT TT
ω
ωωωωω
+?
=
++ ++
解
系统开环频率特性试绘制系统开环极坐标图。
12
()
2
22 22
12
(1)(1)
j
K
e
TT
π
θ θ
ωω ω
++
=
++
1、起始点
12
0 G(j0) ( )-jKT Tω = =? + ∞
终止点
G(j ) 0-j0ω =∞∞=
2、与实轴交点。令虚部等于零得：
12
11
12
12
1
G(j ) -j0
KTT
TT
TT
ωω==?
+
112 2
arctan arctan==θ ωθ ω
G(j ) 0-j0ω =∞∞=
3、角度变化范围：
ω
当 从
0→∞
12
() ( )
2
π
ωθθ=? + +
变化时，
可绘出概略极坐标图。
的变化范围：
3
22
π
π?→?
例5.4.3：
系统开环传递函数
2
12
() ()
(1)(1)
K
GsHs
sTs Ts
=
+ +
试绘制其系统开环极坐标图。
解
系统开环频率特性
2
12
(j ) (j )
(j 1)(j 1)
K
GH
TT
ωω
ωω ω
=
++
2
12 1 2
22222 2222
12 12
(1 ) ( )
(1)(1)(1)(1)
KTT KTT
j
TT TT
ω
ωω ω ωω ω
+
=+
++ ++
12
()
222 22
12
(1)(1)
j
K
e
TT
π θθ
ωω ω
++
=
++
1、起始点 0 G(j0) jω = =?∞+ ∞
终止点
G(j ) 0 j0ω =∞∞=+
2、与实轴交点。令虚部等于零得：
G(j )0j0ω =∞ ∞ = +
112 2
arctan arctan==θ ωθ ω
3、角度变化范围：
ω
当 从
0 →∞
12
() ( )? ωπθθ=?++
变化时，
可绘出概略极坐标图。
的变化范围,2π π? →?
例5.4.4：
系统开环传递函数
22
()
(1)( 1)
n
K
Gs
ssω
=
+ +
解
系统开环频率特性
22
(j ) (j )
(1 )(1 )
n
K
GH
j
ωω
ω ωω
=
+?
试绘制其系统开环极坐标图。
222 222
(1 )(1 ) (1 )(1 )
nn
KK
j
ω
ω ωω ω ωω
=?
+? +?
()
2
22
(1 )(1 )
j
n
K
e
ω
ωωω
=
+?
时时
1、起始点 0 G(j0) j0Kω = =+
终止点 G(j ) 0 j0ω =∞∞=+
2、与实轴交点。令虚部等于零得：
0 G(j0) j0Kω ==+
( ) arctan= ωω
() ( arctan)=?+? ωπ ω
n
<ω ω
n
>ω ω
G(j )0j0ω =∞∞=+
3、角度变化范围：
可绘出概略极坐标图。
角度变化范围：
，在
3
0
2
π→?
n
ω ω= 时，相角出现-180
0
的突变，渐近线与正实轴的夹角为：
当时，0ω =
ω =∞当时，
0
( ) arctan 0
=
=?=
ω
ωω
3
() ( arctan )
2
=∞
=? + =?
ω
π
ω π ω
n
(j ) (j )| arctan
n
GH
=
=∠ =?
ωω
α ωω ω
5.4.2 最小相位系统频率特性极坐标图的一般规律
1、起始点
0
( 0) ( 0) 90Gj Hj υ∠=?×
起始点的角度为：
22
2
11
22
2
(1 ) j 2 (j 1)
(j ) (j )
(j ) (1 ) j2 (j 1)
pmp
lj
lj
nl nl
qnq
ki
ki
nk nk
K-
GH
-T
υ
υ
ωω
ζωτ
ωω
ωω
ωζω
==
++
=
+ +
∏∏
起始点的幅度为：
最小相位系统的开环频率特性为：（ n>m ）
2、终止点终止点的角度为：
0
()() ( )9Gj Hj n m∠∞ ∞=×
终止点的幅度为：
|( )( )|0Gj Hj∞ ∞=
由于
n>m,当
从
变化时，极坐
标图将以顺时针方向收敛于原点。
3、运动方向
ω
0 →∞
0υ =
|(0)(0)|Gj Hj K=
时
0υ > 时
|(0)(0)|Gj Hj =∞
4、虚轴上的共轭开环极点虚轴上的一对共轭开环极点，将在对应
的频率点产生 180
0
的顺时针相角突变，极坐标
图出现无穷大半径的圆弧。
例5.4.3：
系统开环传递函数
2
12
() ()
(1)(1)
K
GsHs
sTs Ts
=
+ +
解：
π∞∠?
终止点
02π∠?
1、起始点
2、与负实轴交点。
12
( ) arctan arctanTT? ωπ ω ωπ= =?
时，与负实轴无交点。0ω >
3、角度变化范围：
ω
当 从
0 →∞
12
() ( )? ωπθθ=?++
变化时，
可绘出概略极坐标图。
的变化范围,2π π? →?
例5.4.4：
系统开环传递函数
22
()
(1)( 1)
n
K
Gs
ssω
=
+ +
解：
1、起始点终止点
2、与负实轴交点
0
0K∠
0
027∠?
()? ωπ=?
时时
( ) arctan= ωω
() ( arctan)=?+? ωπ ω
n
<ω ω
n
>ω ω
时，与负实轴无交点。0ω >
3、角度变化范围：
3
0
2
π→?
时，相角出现-180
0
的突变，渐近线与正实轴的夹角为：
n
ω ω=
n
(j ) (j )| arctan
n
GH
=
=∠=?
ωω
α ωω ω
0ω?∞< <
1
1
(1)
()()
() ( 1)
m
j
j
n
i
i
Kj
Gj Hj
jjT
υ
υ
ωτ
ωω
ωω
=
=
+
=
+
∏
∏
系统开环频率特性为：
幅频特性为,
2
1
2
1
()1
()
|| ( ) 1
m
j
j
n
i
i
K
Aj
T
υ
υ
ωτ
ω
ωω
=
=
+
=
+
∏
∏
相频特性为,
11
( ) ( ) arc tan arc tan
2
mn
j i
ji
Gj Hj T
υ
π
ω ωωτυω
==
∠=?×
∑∑
的极坐标图
5.4.3
1
1
(1)
()()
()( 1)
m
j
j
n
i
i
Kj
GjHj
jjT
υ
υ
ωτ
ωω
ωω
=
=
+
=
+
∏
∏
幅频特性为：
2
1
2
1
()1
()
|| ( ) 1
m
j
j
n
i
i
K
Aj
T
υ
υ
ωτ
ω
ωω
=
=
+
=
+
∏
∏
相频特性为：
11
( ) ( ) arc tan arc tan
2
mn
j i
ji
G j H j T
υ
π
ω ωωτυω
==
∠ =? + ×+
∑∑
ω ω=?
时，系统开环频率特性为：
()()Aj Ajω ω? =
即
()() ()()G j H j G j H jω ωωω∠ =?∠
因此，
**
()() ()()GjHj GjHjω ωωω=
因此，
的极坐标图与
0ω?∞< < 0 ω< <∞
的极坐标图镜象对称于实轴，根据此原理，可从
的极坐标图得到
的极坐标图。
0 ω<<∞ 0ω?∞< <
例5.4.5：一个延迟系统的开环传递函数为：
试绘制系统的开环极坐标图。
解
系统开环频率特性
10
() e
1
s
Gs
Ts
τ?
=
+
j j( arctan )
2
10 10
(j ) e e
1j
1( )
T
G
T
T
ωτ ωτ ω
ω
ω
ω
+
==
+
+
5.4.4 延迟系统的极坐标图
§
§
5.4.5
开环极坐标图与开环Bode图的对应关系
（ 1）在开环极坐标图上 | |=1的单位
圆 对应于 Bode图上的 0dB线。单位圆 外对应于
0dB线以上的部分，单位圆 内对应于 0dB线以下
的部分。
（ 2）在开环极坐标图上的负实轴对应于 Bode图
上的
线。
()()Gj Hjω ω
180
o
乃奎斯特 (Nyquist)稳定判据，是由 H,Nyquist
于1932年提出的 。
§
§ 5,5 乃奎斯特稳定判据
Nyquist判据利用系统的开环极坐标图或 Bode
图来判断闭环系统的稳定性。
Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数理
论中的映射定理。
设F (s)为 s的单值复变函数,s平面与 F(s)
平面的点映射关系和曲线映射关系如图所示。
§
§
5.5.1
5.5.1 映射定理
Δ
在 s平面上任取一条封闭曲线 C
s
，要求 C
s
曲
线满足下列条件:
(1)曲线 C
s
不通过 F (s)的奇点（即 F (s)的零点
和极点）；
(2)曲线 C
s
包围 F (s)的Z 个零点和P 个极点。
曲线
及其映射
如图所示。
s
C
'
s
C
问题：当封闭曲线
上的动点s
1
沿闭合曲线顺时针运行一圈时，封闭曲线
上对应点
环绕坐标原点几圈？方向如何？
'
s
C
s
C
1
()Fs
Δ
结论：
当 s平面上的试验点 s
1
沿封闭曲线C
s
顺时
针 方向绕行一圈时,F（ s）平面上对应的封闭
曲线 C
s
’
将按 逆时针方向包围坐标原点 N=P-Z
圈。
被封闭曲线 C
s
包围的函数 F (s)的零点数为：
ZPN=?
§
§
5.5.2
5.5.2 Nyquist稳定判据问题,
如何从映射定理导出 Nyquist稳定判据？
1、选择 s的复变函数
。()F s
2,选择 s平面上的闭合曲线
。
s
C
设反馈系统的开环传递函数为：
)(
)(
)()(
sN
sM
sHsG =
N(s)和 M(s)分别为 s的 n阶和 m阶多项式。
闭环传递函数为特征多项式函数
)(
)()(
)()(1)(
sN
sMsN
sHsGsF
+
=+=
选择 s的复变函数 ()F s
()
()
() ()
Gs
s
1GsHs
Φ =
+
Δ
选择 s平面上的闭合曲线
s
C
当 F (s)不包含虚轴上的零、极点时,可选
择 S平面的封闭曲线 Cs如图所示，它是由整个虚
轴和半径为∞的右半圆组成，试验点按顺时针
方向移动一圈，该封闭曲线称为 Nyquist轨迹 。
Δ
Nyquist轨迹在 F(s)平面上的映射也是一条
封闭曲线，称为 Nyquist曲线 。
1,Nyquist轨迹在 F(s)平面上的映射
Δ
()ω =±∞
1） S平面的虚轴映射为曲线：
F(jω )=1+G(jω )H (jω )
2） S平面上半径为∞的右半圆
映射为F 平面上实轴上一点（ 1,j0)。
3） S平面的原点
映射到正实轴上一点
（ 1+K,j0)。
(0)ω =
某系统的 Nyquist曲线。
Δ
Z——位于右半平面 F (s)=1+G (s) H (s)的零点
数，即闭环右极点个数；
根据映射定理可知，当 S平面上的试验点 s
1
沿 Nyquist轨迹 C
s
顺时针方向绕行一圈时,S平
面上的 Nyquist轨迹在F 平面上的映射 F(jω )逆时针包围坐标原点的次数 N为,N=P-Z。 式中，
P——位于右半平面 F(s) =1+ G (s) H (s)的极点
数，它等于开环右极点个数；
N——Nyquist曲线 逆时针包围坐标原点的次数,
因此，只要知道右半平面的开环极点P 和
Nyquist曲线对原点的环绕次数 N，就可以知道
右半平面的闭环极点数，
ZPN=?
Δ
由于开环传递函数
G(s)H(s) = F(s) - 1，因
此,F 平面上的 F(jω )曲线向左平移一个单位就
得到 GH 平面上的 G(jω )H(jω ) 曲线。 F平面
上的原点，映射为 GH平面上为（ -1,j0）点。
F平面上的（ 1,j0）点映射到 GH平面上为原
点。
2,平面上的 Nyquist曲线
() ()GsHs
可以看出 Nyquist曲线与极坐标图的关系。
某系统在 GH平面上的 Nyquist曲线。
Δ
3,Nyquist稳定判据闭环系统稳定的充要条件是，位于右半平面的
的零点数
，根据映射定理,Nyquist曲线
逆时针包围坐标原点的次数
，或
平面上的 Nyquist 曲线
逆时针包围
点的次数
。
() 1 () ()F sGsHs=+
=0Z
(j )F ω
N =P
() ()GsHs
(j ) (j )GHω ω
(1,j0)?
N=P
再看看映射定理的条件
——F (s)不包含虚轴上的零、极点。
由于F (s)的极点就是 G(s)H(s)的极点,F (s)
的零点是使 G(s)H(s)= (- 1,j0) 的 s，因此，映
射定理的条件变为,G(s)H(s)不包含虚轴上的极
点,并且当 ω 从
变化时，曲线不通过（ -1,j0）点。
曲线
通过（ -1,j0）点意味着
虚轴上有闭环极点（ F (s)的零点），系统临界
稳定。
∞→∞
G(j )H(j ) ω ω
G(j )H(j )ω ω
Nyquist稳定判据：
G(j )H(j ) ω ω
∞→∞
如果系统的开环传递函数 G(s)H(s)在 S平面的
原点及虚轴上无极点，并且当 ω 从变
化时，
曲线不通过（ -1,j0）点，当 s
沿 S平面上的 Nyquist轨迹 C
s
顺时针方向绕行一圈
时，如果 GH 平面上的 Nyquist曲线 G(jω )H(jω )
逆时针环绕（ -1,j0）点的次数 N等于系统开环传递函数 G(s)H(s)的右极点个数P,即
N=P，则
闭环系统稳定，否则 (N≠ P) 闭环系统不稳定。
如果闭环系统不稳定，位于右半平面的闭环极
点数为,Z = P – N。
例5.5.1：
已知单位反馈系统，开环极点均在 s平
面的左半平面,Nyquist曲线如图所示，试判断
闭环系统的稳定性。
Δ
例 5.5.2：系统开环传递函数试判断闭环系统的稳定性。
解：
系统开环频率特性为作出 Nyquist曲线如图所示。
1
)(
=
Ts
K
sG
22
)(1)(11
)(
T
TK
j
T
K
Tj
K
jG
ω
ω
ωω
ω
+
+
=
=
Δ
系统的根轨迹
Δ
问题,
当系统开环传递函数 G(s)H(s)包含虚轴上
（包括原点）的极点时，
Nyquist轨迹不满足
映射定理的条件，怎么办？虚轴上的开环极点
对Nyquist曲线有什么影响？
5.5.3 虚轴上开环极点的影响
1,Nyquist轨迹的修改修改后的 Nyquist轨迹如图所示：
Δ
问题,无穷小半径的半圆映射成什么？
设 G(s)H(s)有一个
的极点（ ω
i
=0为
原点）,则 G(s)H(s)存在因子：
i
sjω=
j
j
111
j
ii i
e
sReR
θ
θ
ω
==
Δ
11
1
() () () ()
j
i
GsHs G sH s
s ω
=
11 1
1
(j )(j )(j )(j )(())
i
GH G H
R
ω ωωω?ωθ= ∠?
由于在这个过程中，
变化为无穷小，因此，虚轴上的极点使
产生 180
0
的顺时针相角突变，以及对应的无穷大半径的半圆。
(j ) (j )GHω ω
结论,当动点在修正后的 Nyquist轨迹上以
虚轴上的极点
为圆心，以
为半
径，按逆时针方向从右侧绕过此极点半圈时，
这个无穷小半径的半圆映射为半径为∞，相角
顺时针变化 180
0
的半圆。
ω
j
i
p ω=
(0)ε ε →
对于
的极点，该突变发生在正频率部分，这与等幅振荡环节的-180
0
相角突变相对
应。
i
sjω=
对于
的极点,该突变发生在
从的过程中，在正频率部分( 的过程中）
的相角顺时针突变了90
0
，
这与Ⅰ型系统的极坐标图起始于负虚轴无穷远处相对应。
0s =
ω
000
+
→→
()()G j H jω ω
00
+
→
如果有一个
的
重极点，则当
从变化时,G(s)H(s) 的相角顺时针突变了
，正频率部分的相角顺时针突变了
，这与
型系统极坐标图的起始相角
0s =
υ
0
180υ×
ω
000
+
→→
0
90υ×
υ
0
90υ?×
为
相对应。
某系统在 GH平面上的 Nyquist曲线。
原点处有一个开环极点。
Δ
把 Nyquist曲线的正频率部分包含这些
半
径圆弧，定义为广义开环极坐标图，则，广义开
环极坐标图仍然是 Nyquist曲线的一半。
∞
2,虚轴上有开环极点时的 Nyquist稳定判据：
G(j )H(j ) ω ω
∞→∞
如果 ω 从
变化时，
曲
线不通过（ -1,j0）点，当 s沿 S平面上修改后的
Nyquist轨迹 C
s
顺时针方向绕行一圈时，如果 GH
平面上的 Nyquist曲线 G(jω )H(jω ) 逆时针环绕
（ -1,j0）点的次数N 等于系统开环传递函数
G(s)H(s)的右极点个数P,即 N=P，则闭环系统稳
定，否则 (N≠ P) 闭环系统不稳定
，如果闭环系统不稳定，位于右半平面的闭环极点数为：
Z = P – N。
例 5.5.3：系统开环传递函数为试判断
取何值时闭环系统稳定？
() ()
(0.1 1)(0.02 1)
K
GsHs
ss s
=
+ +
K
解：
系统的频率特性为
(j ) (j )
j(1 j0.1)(1 j0.02)
K
GHωω
ω ωω
=
++
2
22 22
(0.1 0.02) (1 0.002 )
j
(1 0.01 )(1 0.0004 ) (1 0.01 )(1 0.0004 )
KKω
ω ωω ω ω
+?
=?
++ ++
Nyquist曲线与负实轴交点的横坐标为：
60K?
Δ
系统的根轨迹
Δ
例 5.5.4：系统开环传递函数为
Nyquist 曲线如图所示，试判断闭环系统
的稳定性。
2
1
() ()
(1)( 1)
GsHs
ss
=
+ +
Δ
系统的根轨迹
Δ
问题：
用广义开环极坐标图来判断系统的稳定性
时首先要解决什么问题？
§
§
5.5.4
5.5.4 用广义开环极坐标图判断系统稳定性
Δ
此 广义极坐标图的起始点在哪里？
1,广义极坐标图的起始点：
广义极坐标图是由于虚轴上的开环极点而
产生的，当原点处有极点时，由于 Nyquist 曲
线对称于实轴，因此，广义极坐标图的起始点
应在
处,而不是
或
处。前
面讲的普通极坐标图的起始点在
处,这
是广义极坐标图在
从
变化时，原点
处的极点产生相角突变后的点，因此，二者是
有区别的。
0ω =
+
0ω = 0ω
=
+
0ω =
ω
+
00→
例 5.5.5：系统的开环传递函数为绘制系统的广义极坐标图。
解,系统的开环频率特性为：
10( 1)
() ()
(1)
s
GsHs
ss
+
=
10(j 1)
(j ) (j )
j(j 1)
GH
ω
ωω
ωω
+
=
广义极坐标图的起始点为：
Δ
10(0 1)
(0) (0)
0(0 1)
GH π
+
= =∞∠?
1
1
(j z)
(j ) (j )
(j )(j p)
m
j
j
n
i
i
K
GH
υ
υ
ω
ωω
ωω
=
=
±
=
±
∏
∏
系统开环频率特性的一般形式为：
如果开环零、极点都为实数，则广义极坐标图的起始点为：
1
1
(z)
(0) (0)
(0) ( p )
m
j
j
n
i
i
K
GH
υ
υ
=
=
±
=
±
∏
∏
如果系统有复数零、极点，则广义极坐标图
的起始点为：
m-2r r
*
kk
1k1
2q q
*
ll
1l1
(z) z z
(0) (0)
(0) ( p ) p p
j
j
n
i
i
K
GH
υ
υ
==
==
±?
=
× ±?
∏∏
∏∏
由于
，
2
*
kk k
zz z 0?= >
2
*
ll l
p pp 0? =>
因此，可得出如下结论：广义极坐标图的
起始点在实轴上。
Δ
由于广义极坐标图在
从
变化时，
原点处的极点产生
的相角突变，因此，
只要知道了
从
变化的极坐标图（普通极坐标图），又知道系统有几个积分环节，
便可知道广义极坐标图的起始点。
ω
+
00→
ω
+
0 →∞
0
90υ? ×
2,使用广义开环极坐标图的 Nyquist稳定判据：
0 →∞
2Z PN=?
设 ω 从
变化时，系统的广义开环极
坐标图不通过（ -1,j0）点，则，如果系统的广
义开环极坐标图逆时针环绕（ -1,j0）点的次
数 N 等于系统开环传递函数 G(s)H(s) 位于右半 S
平面的极点数 P 的一半，即 N=P/2，则闭环系统
稳定，否则
(N≠ P/2) 闭环系统不稳定。如果闭
环系统不稳定，则系统位于右半平面的闭环极点
数为：
。
例 5.5.6：系统的开环传递函数为：
系统的广义极坐标图如图所示，试判断闭环系
统的稳定性。
2
1
() ()
(1)( 1)
GsHs
ss s
=
+ +
Δ
系统的根轨迹
Δ
2
s1
() ()
s( 2)
GsHs
s
=
+
例 5.5.7：系统的开环传递函数为广义极坐标图如图所示，试判断闭环系统
的稳定性。
Δ
系统的根轨迹
Δ
例 5.5.8：系统开环传递函数为：
试确定使闭环系统稳定时
的取值范围。
解
系统的频率特性为
2
() ()
1
s
e
GsHs
s
τ?
=
+
τ
(arctan)
2
2
()()
1
j
Gj Hj e
τωω
ωω
ω
+
=
+
极坐标图如图所示。
系统没有右半平面的极点，极坐标图不应
该包围（ -1,j0）点。
极坐标图第一次与负实轴相交时，
g
ω ω=
要使极坐标图不包围（ -1,j0）点，必须
2
2
() 1
1
g
g
A ω
ω
= <
+
解出：
，临界稳定时，
3
g
ω > 3
g
ω =
0
gg g
() ( arctan) 18=? + =ω τω ω
arctan
32
333
g
g
π ω
π ππ
τ
ω
===
系统稳定时
，3
g
ω >
2
33
π
τ <
此例说明：延迟环节可能使一个稳定的系
统变得不稳定，而且，延迟时间越长，系统越
不稳定。
§
§
5.5.5
广义开环极坐标图环绕次数计算第一种方法：向量环绕法第二种方法：负实轴穿越法设广义开环极坐标图由上而下穿越（ -1,j0）
点左侧负实轴的次数为
，由下而上穿越
（ -
1,j0）点左侧负实轴的次数为
，则 开环极
坐标图逆时针环绕（ -1,j0）点的次数为：
N
+
N
NN N
+?
=?
例 5.5.9：系统开环传递函数为
2
9( 0.2)( 5)( 10)
() ()
(2)(3)( 25)
sss
GsHs
sss
+ ++
=
+
试判断闭环系统的稳定性。
解
系统的频率特性为
2
9( 0.2)( 5)( 10)
()()
(2)(3)(25)
jjj
Gj Hj
jj
ω ωω
ωω
ωω ω
+ ++
=
极坐标图起始点为：
( 0) ( 0) 0.6Gj Hj =
极坐标图如下。
系统的根轨迹由于广义开环极坐标图的终点在原点（ n>m)，
因此，半次穿越是由于广义开环极坐标图的起始点在（ -1,j0）点左侧的负实轴上造成的。
下面是几个半次穿越的例子。
当系统的广义开环极坐标图起点在（ -1,j0）
点左侧的负实轴上时，穿越次数
或
应取
(n+0.5)，其中 n =0,1,2,… 为整数穿越次数。
N
+
N
半次穿越问题
(2)
() ()
( 1)(0.2 1)(0.02 1)
s
GsHs
ss s
=
+ ++
(0) (0) 2 -GH π= ∠
(2)
() ()
( 1)(0.2 1)(0.02 1)
s
GsHs
ss s
=?
+?+
(0) (0) 2 -GH π= ∠
(2)
() ()
( 1)(0.2 1)(0.02 1)
s
GsHs
ss s
+
=?
+ ++
(0) (0) 2 -GH π= ∠
10( 1)
() ()
(1)
s
GsHs
ss
+
=
(0) (0) -GH π=∞∠
例 5.5.10：系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。
解
系统的频率特性为
2
13( 5)( 10)
() ()
(3)[(1)25]
ss
GsHs
ss
+ +
=
+
2
13( 5)( 10)
()()
(3)[(1)25]
jj
Gj Hj
jj
ω ω
ωω
ωω
++
=
+
极坐标图起始点为：
( 0) ( 0) 8.33Gj Hj =?
极坐标图如下。
系统的根轨迹
5.5.6 抵消不稳定极点对 Nyquist判据的影响
10(s 1)
() ()
(1)(10)
=
+
GsHs
ss s
问题,如果系统开环传递函数出现零点抵
消不稳定极点的情况，会出现什么问题呢？
例 5.5.11：系统开环传递函数为：
判断系统的稳定性。
§
§
5.5.7
5.5.7 Bode图上的Nyquist稳定判据根据开环极坐标图与开环
Bode 图的对应关
系，开环极坐标图上的负实轴对应于 Bode图上
的
线，于是，系统广义开环极坐标
图在（ -1,j0）点左侧负实轴上的穿越就变成了
在系统开环对数幅频特性大于 0dB时，系统开环
相频特性对
线的穿越，向上穿越次
数为
，向下穿越次数为
，开环极坐标图逆
时针环绕（ -1,j0）点的次数为：
。
(2 1) 180
o
k±+×
N
N
+
NN N
+?
=?
(2 1) 180
o
k±+×
注意：在Bode图上，系统广义开环极坐标图中半径为
的圆弧对应于相频特性的突变，这些相角突变产生的穿越视为正常穿越，计入
或中。于是有：
∞
N
+
N
Bode图上的 Nyquist判据：
设在 Bode 图的幅值穿越频率
处，相频特性
（ k=0,1,2、…),如果在系统开环对数幅频特性大于 0dB时，系统开环
相频特性对
线的穿越次数
c
ω
0
( ) (2 1) 180
c
k?ω ≠± + ×
(2 1) 180
o
k±+×
NN N
+?
=?
等于系统开环传递函数 G(s)H(s) 位于右半 S 平面
的极点数 P 的一半，即 N=P/2，则闭环系统稳
定，否则
(N≠ P/2) 闭环系统不稳定
。如果闭环
系统不稳定，则系统位于右半平面的闭环极点数需要注意的是：
1、系统开环相频特性对不同的
线的穿越次数应相加。
2、系统开环相频特性起始于
线，
而起始段对数幅频特性大于 0dB时，对应于开环
极坐标图的起点在（ -1,j0）点左侧的负实轴
上，应计为半次穿越。
(2 1) 180
o
k±+×
(2 1) 180
o
k±+×
为：
。
2Z PN=?
例 5.5.12：例 5.5.10系统的开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。
解：
2
13( 5)( 10)
() ()
(3)[(1)25]
ss
GsHs
ss
+ +
=
+
系统的 Bode 图如下。
bode10
重要概念：
1,Nyquist判据使用系统的开环频率特性
曲线来判断闭环系统的稳定性。
2、当
从
变化时,Nyquist曲
线是一条闭合曲线，当虚轴上（包括原点）有
开环极点时,Nyquist曲线在
处闭合。
3、Nyquist 判据对最小相位系统、非最小
相位系统以及延时系统都适用。
ω
∞→∞
∞
5.6 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性问题,最小相位系统的频域相对稳定性如何
定义？相对稳定性如何计算？
（a）
稳定裕量的极坐标图定义 （b）
稳定裕量的对数频率特性定义
5.6.1
5.6.1
幅值幅值裕量裕量在（ a）图中 G(jω )H(jω )曲线与负实轴交于
G点时,G点的频率 ω
g
称为相角穿越频率，此时
ω
g
处的相角为 -180°。
定义：在相角穿越频率ω
g
处，开环频率特
性幅值 |G(jω
g
)H(jω
g
)|的倒数称为幅值裕量，用
K
g
表示,见上图（ a）。
)()(
1
gg
g
jHjG
K
ωω
=
式中 ω
g
满足
∠ G (jω
g
) H(jω
g
)= - 180°
根据开环Nyquist曲线与开环Bode图的对应关系，幅值裕量在Bode图上的表示为：
g(dB) g g g
K =20lgK = -20lg G(j )H(j ) dBωω
即幅值裕量
表示相角穿越频率
处幅频特性与 0dB线的距离见上图（ b）。
g(dB)
K
g
ω
幅值裕量 K
g
表示系统到达临界状态时，系统
增益所允许增大的倍数。
对于最小相位系统当 K
g
> 1 （
）时，闭环系统稳定 。
当 K
g
< 1（
）时，闭环系统不稳定。
当 K
g
=1 （
）时，系统处于临界状
态。
g(dB)
K0>
g(dB)
K0<
g(dB)
K0=
5.6.2
5.6.2
相角裕量相角裕量定义,G(jω )H(jω )在幅值穿越频率ω
c
处
的相角
与 180
0
之和称为系统的相角裕
量，表示为：
()
180γ?ω=°+
c
( )
ω
c
在（a ）图中 G(jω )H(jω )与单位圆相交于
c点，c 点处的频率为ω
c
称为幅值穿越频率，也
称剪切频率或截止频率，此时
()()1
cc
Gj Hjωω=
在（a ）图中，相角裕量γ 为幅值穿越频率
ω
c
处的相角与 -180°线之间的夹角。
根据开环Nyquist曲线与开环Bode图的对应关系，相角裕量在Bode图上表示为：幅值穿越频率 ω
c
处相频特性与 -180
0
线的距离，见上图
（ b）。
相角裕量γ表示使系统达到临界稳定状态，
尚可增加的滞后相角。
为了得到满意的性能指标，相位裕量应当
在 30
0
和60
0
之间，增益裕量应大于 6分贝。
对于最小相位系统当γ＞ 0时，闭环系统稳定当γ＜ 0时，闭环系统不稳定当γ =0 时，系统处于临界状态。
试分析系统的相对稳定性。
解,系统的开环频率特性为：
10
() ()
(0.2 1)(0.02 1)
GsHs
ss s
=
+ +
10
(j ) (j )
( 0.2 1)( 0.02 1)
GH
jj j
ωω
ωω ω
=
++
22
10
(j ) (j )
(0.41)(0.041)
GHωω
ωω ω
=
+ +
例 5.6.1 系统开环传递函数为相对稳定性的计算
1,相对稳定性的精确计算
0
(j )(j ) 90 arctan(0.2 )-arctan(0.02 )GHω ωωω∠=
a.幅值裕量根据定义，幅值裕量是开环频率特性在相角穿越频率 ω
g
处的幅值 |G(jω
g
)H(jω
g
)|的倒数，因
此，先求 ω
g。
令
0
gg
(j )(j )18GHωω∠=?
0
arctan(0.2 ) arctan(0.02 ) 90+=?
解出：
g
15.8ω =
ω
g
处的幅值：
g
gg
22
10
(j ) (j )
(0.04 1)(0.0004 1)
GH
ω ω
ωω
ωω ω
=
=
++
0.182=
g(dB) g
K =20lgK = -20lg0.182 14.8dB=
1
5.49
0.182
g
K ==
b,相角裕量根据定义，相角裕量是开环频率特性在幅值穿越频率 ω
c
处的相角与 180
0
之和，因此,先求 ω
c。
令
cc
(j )(j )1GHωω=
解得：
c
6.22ω =
ω
c
处的相角：
c
0
c
( ) 90 arctan(0.2 )-arctan(0.02 )
ω ω
ω ω ω
=
=
0
148.3=?
2,幅值穿越频率的近似计算相角裕量：
()
0
180 31.7γ?ω=°+ =
c
系统的开环对数幅频特性低频段为：
1
L ( ) 20lg10 20lgω ω=?
10
() ()
(0.2 1)(0.02 1)
GsHs
ss s
=
+ +
L( ) 20lg10 20lg 20lg0.2ω ωω=
令，得：
c
L( ) 0ω =
c
7ω ≈
考虑到高频段的影响，可取
，接近精确计算值。
c
6.5ω ≈
中、低频段开环对数渐近特性近似为：
也可以从对数幅频渐近特性上来求。
c
20 20(lg5 lg1) 40(lg lg5) 0ω=
解得：
c
=7ω
由于 L(1) 20lg10=20=
c
L( ) 0ω =
则：
可取
c
6.5ω ≈
重要概念：
一、增益裕量和相角裕量是在开环传递函
数为最小相位传递函数时定义的，对于非最小
相位开环传递函数，不能用本节定义的增益裕
量和相角裕量来说明系统的相对稳定性。
例 5.6.2：非最小相位开环传递函数为
( 20)
() ()
(2)(5)(10)
Ks
GsHs
sss
=
+++
K=101时，系统的 Bode图如图所示。
二、对于最小相位系统，如果系统没有谐振
峰（振荡环节
），则仅用相角裕量或幅
值裕量即可判断系统的稳定性。
0.707ζ ≥
如果 系统有谐振峰（振荡环节
），
情况就不这么简单，在谐振峰处幅频特性增大，
而相频特性不随之而变化，可能出现谐振峰穿越
0dB线的情况，先看一个例子。
0.707ζ ≤
2
0.2
() ()
(21)
GsHs
ss sζ
=
+ +
的 Bode图和广义极坐标图如图所示。0.05ζ =
例 5.6.4：系统的开环传递函数为：
bode7
三、对于最小相位系统，如果用稳定裕
量来说明相对稳定性，则必须二者同时考
虑，仅其中之一不足以说明系统的相对稳定
性。
比较下面两个系统的相对稳定性。
再看下面的系统，相角裕量很大，增益裕量
却很小，即很小的增益变化就会使系统不稳定。
5.6.3 对数幅相图上的相对稳定性表示对数幅相图上的相对稳定性表示
5.7 控制系统的闭环频率特性控制系统的闭环频率特性问题：
有没有一种方法将闭环频率特性与开环频
率特性联系起来？
5.7.1
5.7.1
等等
圆圆
)(1
)(
)(
)(
)(
sG
sG
sR
sC
sM
+
==
系统的开环传递函数 G(s)，闭环传递函数为：
闭环频率特性：
)(1
)(
)(
)(
)(
ω
ω
ω
ω
ω
jG
jG
jR
jC
jM
+
==
M
——单位反馈闭环系统的等幅值曲线设开环频率特性 G(jω )为
G(jω ) = p(ω ) + jq(ω )= x + j y
则整理得,(1-M
2
)x
2
+(1-M
2
)y
2
-2M
2
x =M
2
闭环频率特性的幅值为：
()
()
1()
Gj
MMj
Gj
ω
ω
ω
==
+
22
22
()
1()1
(1 )
xjy
xy
Gj
M
Gj x jy
x y
ω
ω
+
+
===
++
++
当当
M=1时，由上式可求得时，由上式可求得
x=-1/2，
，
这是通过点这是通过点
（
（
-1/2，
，
j0）
）
且与虚轴平行的一且与虚轴平行的一条直线。
条直线。
当当
M≠
≠
1时，由上式可化为时，由上式可化为对于给定的对于给定的
M值（等值（等
M值），上式是一个圆方程值），上式是一个圆方程式，圆心在式，圆心在
处，半径处，半径
。所
。所以在以在
G(jω
ω
)平面上，等平面上，等
M轨迹是一簇圆，见下图轨迹是一簇圆，见下图
22
2
2
)
1
( y
M
M
x +
2
2
)
1
(
M
M
=
)0,
1
(
2
2
j
M
M
1
2
M
M
等M圆
5.7.2 等等
圆圆
1+
=
x
y
arctg
x
y
arctg
m
m
tgN?=
()
()
1()1
Gj x jy
Mj
Gj x jy
ω
ω
ω
+
==
++
令：
N
闭环频率特性为：
——单位反馈闭环系统的等相角正切曲线
22
2
1
2
1
+
+
N
yx
)
2
1
,
2
1
(
N
2
)
2
1
(
4
1
N
+
当给定 N值 (等 N值 )时，上式为圆方程，圆
心在
处，半径为
,称为等
N
圆，见下图 。
2
2
1
4
1
+=
N
整理得：
等N圆
（a ）等 M圆 （b ）等 N圆
5.7.3
5.7.3
单位反馈系统闭环频率特性的求取单位反馈系统闭环频率特性的求取
Nyquist 图上的等M 圆
5.7.4
5.7.4 尼柯尔斯图线将等M 圆和等 N圆映射到对数幅相平面上，
得到的图形叫做尼柯尔斯图线。等M 圆映射为M
轨迹，等 N圆映射为 N轨迹。
尼柯尔斯图线与对数幅相图位于同一坐标
系，因此，可以将开环对数幅相图叠加在尼柯尔
斯图线上，来获得闭环系统的幅频特性和相频特
性。开环对数幅相图与M 轨迹和 N轨迹的交点给
出了对应频率的闭环频率特性幅值和相角。
nichols1
由于在对数幅相图上,KG
1
(s)相当于 G
1
(s)曲线
向上平移 20lgK，因此，要确定使闭环谐振峰值为
M
r
的增益值更加容易，只要做出 G
1
(s)= G(s)/K的
对数幅相图，然后向上平移，使曲线与M=M
r
的M
轨迹相切，平移的数值即为 20lgK（可得 K值），
平移后的曲线即为 G(s)的对数幅相图。
图示为 G
1
(s)= G(s)/K的对数幅相图相上平移
4.6dB，与 M=6dB的等M 圆相切，得 K=1.7。
Nichols1
5.8 典型二阶系统的频域动态分析问题：
1、描述系统动态特性的频域指标有哪些？
2、典型二阶系统的频率指标和时域指标之间的关系如何？
3、典型二阶系统的频域性能指标与系统参数的关系如何？
描述系统动态特性的频域指标分为开环频
域指标和闭环频域指标。
开环频域指标：
相角裕量、幅值裕量、幅值穿越频率。
闭环频域指标：
谐振频率、谐振峰值、频带宽度。
2
1 ζω
π
ω
π
==
n
d
p
t
2
exp 100%
1
p
M
ζπ
ζ
=? ×
4
s
n
t
ζω
≈
5.8.1 典型二阶系统的开环频域性能指标典型二阶系统的开环频域性能指标典型二阶系统的主要典型二阶系统的主要时域性能指标有三个：
时域性能指标有三个：
峰值时间：
峰值时间：
调节时间：
调节时间：
超调量：
超调量：
1,典型二阶系统的开环频率特性典型二阶系统的开环频率特性典型二阶系统的开环传递函数为：
系统的开环频率特性为：
2
()
(2 )
n
n
Gs
ss
ω
ζω
=
+
2
2
()
(2) (2 1)
nn
nn
Gj
jj jj
ωωζ
ω
ω ω ζω ω ω ζω
==
+ +
系统的开环幅频特性为：
2
2
|()|
(2 )1
n
n
G
ω
ω
ωωζω
=
+
系统的开环对数幅频渐近特性为：
系统的开环相频特性为：
2
n
n
L( ) 20lg 20lg 20lg 1
22
ω ω
ωω
ζζ
= +
开环对数幅频渐近特性低频段与 0dB线的
交点角频率
为：
v
ω
( ) arctan
22
n
=
π ω
ω
ζω
n
v
2
ω
ω
ζ
=
转折频率为：
1n
2ωζω=
当
时，
，
与
重叠。
0.5ζ =
1cvn
ω ωωω= ==
当
时，
，
位于
右边。
0.5ζ <
cv1
ω ωω≠ >
v
ω
1
ω
当
时，
，
位于
左边。
0.5ζ >
cv1
ω ωω= <
v
ω
1
ω
v
ω
1
ω
c
ω
ζ
设
为穿越频率，由于
的不同取值，开
环对数频率特性曲线有三种形式。
下图绘出了
时的两种 Bode图。
0.5ζ ≠
0.5ζ > 0.5ζ <
42
412
cn
ω ωζ ζ=+?
一定时，
与
成正比，即幅值穿越频率
越高，系统响应越快。
c
ω
n
ω
ζ
2,典型二阶系统的开环频域性能指标
1）幅值穿越频率开环对数幅频特性与 0dB线的交点角频
率称为幅值穿越频率。
对于二阶系统，令
，可解出：
c
ω
() 1G ω =
和
随
变化的关系曲线（
）
p
t
c
ω
n
ω
0.5ζ =
2） 相角裕量开环幅频特性等于 1时的相角与 180
0
之和为
系统的相角裕量。
对于二阶系统，将幅值穿越频率
代入开
环相频特性可得：
c
ω
γ
则
cn
c
nc
2
( ) arctan arctan
22
= =? +
π ωζω
ω π
ζωω
n
c
c
2
( ) arctan=+ =
ζω
γπ?ω
ω
即显然，
也只与
有关。
γ
ζ
下图是
和
随
变化的关系曲线。可见，相角裕量
越大超调量越小。
p
M
ζ
γ
γ
42
2
arctan
412
ζ
γ
ζζ
=
+?
和
随
变化的关系曲线
γ
p
M
ζ
在 Bode图上，相角等于 -180
0
时对应的幅度
值为
，幅值裕量定义为：20lg ( )
g
A ω
20lg ( )
gg
KAω=?
∞
结论,1、幅值穿越频率
反应系统响应速度，
越大，系统响应越快。
2、相角裕量
反应系统超调量，
越大，系统超调量越小。
c
ω
c
ω
γ γ
3）幅值裕量二阶系统的幅值裕量为
。
1,典型二阶系统的闭环频率特性
5.8.2 典型二阶系统的闭环频域性能指标典型二阶系统的闭环频域性能指标典型二阶系统的闭环传递函数为
2
22
()
2
n
nn
Gs
ss
ω
ζωω
=
++
系统的闭环频率特性为
2
22
()
()2
n
nn
Gj
j
ω
ω
ω ω ζωω
=
+
系统的闭环幅频特性为
222
2
2
)2()(
)(
ωζωωω
ω
ω
nn
n
M
+?
=
系统的闭环相频特性为闭环幅频特性曲线如下图所示
22
2
( ) arctan
n
n
ζωω
ω
ω ω
=?
2,典型二阶系统的闭环频域性能指标
1） 谐振频率 r
ω
系统发生谐振时，幅频特性达到最大值。
令
解得：
()
0
dM
d
ω
ω
=
2
12
rn
ω ωζ=?
只有当
时，
才为实数，
1/ 2 0.707ζ <=
r
ω
这说明，当
时，系统不会发生谐振。0.707ζ >
一定时，
与
成正比，即谐振频率越
高，系统响应越快。
ζ
r
ω
n
ω
2）谐振峰值系统发生谐振时幅频特性的峰值，即时幅频特性的值，就是谐振峰值。
将
代入
，可得：
r
M
r
ω ω=
()Mω
2
1
21
r
M
ζ ζ
=
显然，谐振峰值
也只与
有关，因此，
它也与系统的超调量相关联。
r
M
ζ
r
ω ω=
和
随
变化的曲线。
r
M
p
M ζ
3）频带宽度当闭环幅频特性的幅值降为
时幅值的
时，对应的频率
称为频带宽度。
令
，可解得：
b
ω
224
12 24 4
bn
ω ω ζζζ=?+?+
1
()
2
Mω =
一定时，
与
成正比，即频带宽度越
宽，系统响应越快。
b
ω
n
ω
ζ
b
ω
0=ω
21
结论,1、谐振峰值
反应系统超调量，
越
大，系统超调量越大。
2、频带宽度
反应系统响应速度，
越大，系统响应越快。
r
M
r
M
b
ω
b
ω
典型二阶系统的频域指标与系统参数的关系
42
412
cn
ω ω ζζ=+?
42
2
412
arctg
ζ
γ
ζζ
=
+?
2
12
rn
ω ωζ=?
2
1
21
r
M
ζζ
=
224
12 24 4
bn
ω ω ζζζ=?+?+
b
ω
n
ω
ζ
r
ω
c
ω
可以看出，当
时，
。
0.4ζ <
cr
ω ω≈
一定时，
、
、和
随
变化的曲线如图。
5.9
高阶系统的频域分析问题：
1、高阶最小相位系统的开环频域指标与系统时域响应之间存在什么样的关系？
5.9.1 高阶最小相位系统的开环频域指标与系统时域响应的关系低频段：
低频段指
的渐近线在第一个
转折频率以前的频段，这一段特性完全由积分
环节的个数和开环放大倍数决定。
() 20lg (j)LG=ω ω
低频段对数幅频特性低频段的斜率对应着系统积分环节的数
目。开环放大倍数 K 对应着稳态误差系数，
因此，对数幅频特性的低频段与系统的稳态指标相联系。它给出了系统的类型及静态误
差系数。
ωυω lg20lg20)(?= KL
d
高阶最小相位系统的相角裕量越大，系
统的平稳性越好，截止频率越高，系统响应
越快。
中频段：
中频段是指开环对数幅频特性曲线在开环截
止频率
附近的区段。
c
ω
1、相角裕量与系统动态特性的关系：
值得注意的是，相角裕量是高阶系统各环
节共同作用的结果，而不只是主导共轭复数极
点对应典型二阶系统的频域参数，因此，相角
裕量比用主导极点近似法更能反映高阶最小相
位系统的动态性能。
例 5.9.1 系统的开环传递函数为：
1.5
() ()
(0.5 1)(0.4 1)
GsHs
ss s
=
+ +
讨论相角裕量与时域响应的关系。
解：系统的根轨迹如图所示。
时，闭环极点如图所示
1.5K =
单位反馈闭环系统的单位阶跃响应如图所示，
超调量为：
。
21.2%
开环系统的 Bode图如图所示，相角裕量为：
0
47.4
如果用主导极点对应的典型二阶系统来近
似这个三阶系统，由根轨迹给出的参数：
n
0.283,1.42ζ ω= =
可知对应典型二阶系统的开环传递函数为：
2
() ()
(0.8)
GsHs
ss
=
+
系统的 Bode图如图 5-108所示。
0
31.5
相角裕量为：
单位反馈闭环系统的单位阶跃响应如图所示，
超调量为,39.6%
这个例子说明，由于第三个闭环极点的影
响，用主导极点对应的典型二阶系统近似原三
阶系统出现了较大的偏差，而系统的相角裕量
很好的反映了实际系统的平稳性（相角裕量越
大，系统的超调量越小）。因此，相角裕量比
主导极点近似法更能反映高阶最小相位系统的
动态性能。
2、开环截止频率与系统动态特性的关系：
由傅立叶变换的尺度变换性质可知，
() (j )f tF?ω
若则有
1
() (j )fat F
aa
ω
可推知，闭环系统的带宽展宽多少倍，输
出时间响应将加快多少倍。
将高阶最小相位系统的 Nyquist曲线叠加在等
圆上，如图所示。M
结论：开环幅值穿越频率
越大，闭环带宽就越
宽，系统响应越快。
c
ω
在 Bode图上，相角裕量在幅值穿越频率都在中频段定义，因此,Bode图的中频段与高阶系统的动态性能相联系。
高频段：
高频段指开环对数幅频特性在中频段以后
的频段。
开环对数幅频特性的高频段直接反映了闭
环系统对高频干扰信号的抑制能力。
5.9.2 高阶系统对数幅频渐近特性中频段的形状与系统的相角裕量反映中频段形状的三个参数为：开环截止
频率,中频段的斜率、中频段的宽度。
为了使系统有足够的稳定裕度，中频段斜
率应为 -20dB/dec，且中频段要有足够的宽度；
如果中频段斜率为 -40dB/dec，则系统可能
稳定，也可能不稳定，即使稳定，相角裕量也
比较小。
如果中频段斜率为 –60dB/dec，或者更陡，
则系统一定不稳定。
中频段斜率为 -20dB/dec时：
1
() 0 arctan
ω
ω
ω
=?
00
1
180 ( ) 180 arctan
c
c
ω
γ?ω
ω
=+ =?
0型系统：
相频特性相角裕量
0
90γ >,系统稳定。
1 c
ω ω<
Ⅰ型系统：
相频特性
0
1
( ) 90 arctan
ω
ω
ω
=
00
1
180 ( ) 90 arctan
c
c
ω
γ?ω
ω
=+ =?
00
45 90γ<<
Ⅱ型系统：
相频特性相角裕量
0
12
( ) 180 arctan arctan
ω ω
ω
ω ω
=? +?
0
12
180 ( ) arctan arctan
cc
c
ω ω
γ?ω
ω ω
=+ =?
相角裕量
，系统稳定。
1 c
ω ω>
12c
ω ωω<<
0γ >
中频段越宽（即
越大），相角裕量越大。
2
1
ω
ω
Ⅲ型系统：
相频特性相角裕量
0
1
2
12
2/
( ) 270 arctan arctan
1(/ )
ζω ω ω
ω
ω ωω
=? +?
0
180 ( )
c
γ?ω=+
0
c1
2
c1 2
2/
90 arctan arctan
1( / )
c
ζωω ω
ω
=? +?
只要幅值穿越频率
距
足够远，
距足够远，相角裕量仍会大于零，系统可以稳
定。
c
ω
1
ω
2
ω
c
ω
12c
ω ωω<<
0
c1
2
c1 2
2/
90 ( arctan ) arctan
(/)1
c
ζωω ω
π
ω
=? +
中频段斜率为 -40dB/dec时：
相频特性：
相角裕量：
，，系统稳定，但，放大倍数越
大，则穿越频率
越大，相角裕量
越小。
0γ >
0型系统：
c
ω
γ
1 c
ω ω<
1
2
1
2
() 0 arctan
1( )
ζωω
ω
ω ω
=?
1
2
1
2
180 ( ) 180 arctan
1( )
c
c
c
ζωω
γ?ω
ω ω
=+ =?
nullnull
1
2
1
2
arctan
()1
c
c
ζωω
ωω
=
相频特性：
相角裕量：
，，系统稳定，但，放大倍数越
大，幅值穿越频率
越大，相角裕量
越小。
0γ >
Ⅰ型系统：
c
ω
γ
1 c
ω ω<
由此可知，对于 0型或 1型系统，如果中频
段斜率设计为 -40dB/dec，则幅值穿越频率必须靠近转折频率
。
c
ω
1
ω
1
( ) 90 arctan
ω
ω
ω
=
null
1
180 ( ) 90 arctan
c
c
ω
γ?ω
ω
=+ =?
nullnull
相角裕量：
,系统不稳定。
0γ <
1 c
ω ω>
Ⅱ型系统：
相频特性：
因此，中频段斜率为 -40dB/dec时,Ⅱ型以上系统不能稳定。
1
() 180 arctan
ω
ω
ω
=
null
1
180 ( ) arctan
c
c
ω
γ?ω
ω
=+ =?
null
可见，当系统的开环对数幅频特性以 -40dB/dec
穿越 0db线时，即使系统稳定，稳定裕量也不大。
中频段斜率为 -60dB/dec时：
中频段斜率为 -60dB/dec时，不考虑转折频
率高于幅值穿越频率
的环节,传递函数的分母
比分子高三阶，最小相位系统在
处的相位滞后
大于 180
0
，系统不稳定。
c
ω
c
ω
结论：
（ 1）为了使系统满足一定的稳态指标，低频
段要有一定的高度和斜率。
（ 2）为了使系统具有较好的动态指标，中频段的斜率最好为
，且具有足够的宽度，同时，幅值穿越频率要满足系统快速性的要求。
-20dB/dec
（ 3）为了使系统具有一定的抗干扰能力，高
频段采用迅速衰减的特性，以抑制高频干扰。
一、
一、
Bode图采用自动频率范围，调用格式,
bode(num,dne)
G(s)=num/den,自动选择频率范围时ω从ω =0.1
到ω =10000rad/sec 。
若人为选择频率范围,可应用 logspace函数调用格式：ω =logspace(a,b,n)
5.10 MATLAB频域特性分析它表示在
之间取 n个频率点。10 10
ab
→
bode(num,dne,ω )
num=200*[0.5,1];
f1=[1,0];f2=[0.1,1];f3=[0.01,1];
den=conv(f1,conv(f2,f3));
bode(num,den);
例：系统的开环传递函数为：
200(0.5s 1)
G(s)H(s)
s(0.1s 1)(0.01s+1)
+
=
+
绘制系统的 Bode图。
解,1）采用自动频率范围
2）采用人为选择频率范围
num=200*[0.5,1];
f1=[1,0];f2=[0.1,1];f3=[0.01,1];
den=conv(f1,conv(f2,f3));
w=logspace(0,3,200);
bode(num,den,w);
Bode图如下。
二、
Nyquist图调用格式,
ω =logspace(a,b,n)
nyquist(num,den,ω )
式中G(s)=num/den ；ω为 logspace函数提供的
频率范围。
若不指定频率范围，则为
nyquist(num,den)
Nyquist图的栅格为等M 圆。
例：作上例的 Nyquist曲线
num=200*[0.5,1];
f1=[1,0];f2=[0.1,1];f3=[0.01,1];
den=conv(f1,conv(f2,f3));
nyquist(num,den); %不指定频率范围解：
或
nyquist(num,den,w); %指定频率范围
w=logspace(2,6,200);
三、
Nichols图例：作上例的 nichols图。
调用格式,
ω =logspace(a,b,n)
nichols(num,den,ω )
式中G(s)=num/den ；ω为用户提供的频率范
围。
若用户不指定频率ω范围，则为
nyquist(num,den)
nichols图的栅格为 nichols图线。
系统的 Bode图和 Nyquist图如下。
用鼠标右键点击画面，出现一个对话框，
选择 characteristics，再选择 stability，画面上
出现了图示的性能指标，包含系统的穿越频率和
，稳定裕量
和
，并指出了系统的
稳定性。
四、求稳定裕量
g
ω
c
ω
g
K
γ
小小
结结
1）系统的频率特性的三种图形表示。
2）什么是最小相位系统？最小相位系统有什么特点？
3） Nyquist稳定判据利用开环频率特性曲线判
断闭环系统的稳定性。
4）反映系统相对稳定性的两个频域参数是什么？
5）开环频率特性 Bode图的三个频段分别反映
了高阶最小相位系统的什么特性？
频域分析的优缺点：
优点：
一、频域中的稳定裕量不但说明稳定性，还
包含系统动态特性的信息。具体地说，相角裕
量与系统的超调量相联系。
二、频域分析考虑了系统对高频干扰信号
的抑制能力。
三、频域法适应于各种校正方法（见第六
章）。
四、手工绘制极坐标概略图和对数幅频渐
近特性图非常方便，又很有用，可直接用于
系统分析。
五、奈奎斯特判据可以直接判断延迟系统的稳定性，并可以确定临界延时参数。
六、高阶系统的开环频域指标（相角裕量和
幅值穿越频率）反映了系统的动态性能（超调
量和响应速度），它们作为系统设计的依据，
使我们可以方便的设计出动态性能满意的高阶
系统。
七、许多系统或元件的频率特性可用实验方
法确定，为系统建模提供了一种方法。
缺点：
一、不直观，频域指标与时域指标的关系是
间接的。
二、高阶系统的,三频段,分析法及稳定裕量
的概念对非最小相位系统不适用。
1、掌握开环系统对数幅频渐近特性和极坐
标概略图的绘制方法。
2、掌握用 Nyquist判据判断系统稳定性的方
法。
3、掌握相对稳定性的概念以及幅值裕量和
相角裕量的计算方法。
4、掌握高阶最小相位系统的对数幅频特性
“三频段,分析法。
本章掌握要点
5章章
控制系统的频域分析控制系统的频域分析时域法的优点和缺点优点：
1）直观、容易理解。
2）典型二阶系统的参数与系统性能指标的关系明确。
3）借助于根轨迹分析，可以分析系统某参数变化对系统动态特性的影响 。
缺点：
1）没有描述系统对高频干扰信号的抑制能力。
4）延迟系统不能用劳斯判据判断稳定性，也不能用MATLAB 绘制根轨迹，系统分析很困
难。
2）时域设计方法只适用于串联校正。
3）精确根轨迹的绘制困难
5）稳定裕量不包含系统动态特性的任何信息。
两个闭环极点的稳定裕量一样两个闭环极点对应系统的响应大不一样
6）设计高阶系统没有依据。
本章要学习的内容：
1、什么是系统的开环极坐标图和 Bode图？如何绘制系统的开环极坐标图和 Bode图？
2、什么是最小相位系统？最小相位系统的开环极坐标图和 Bode图有什么特点？
3、如何用 Nyquist判据分析系统的稳定性？
4、频域相对稳定性如何定义？如何计算？
5、频域法如何进行动态品质分析？
§
§
5.1.1
5.1.1 频率特性的定义设线性定常系统输入信号为 r(t)，输出信
号 c(t)，如图所示。
§
§5.1 频率特性若在系统输入端作用一正弦信号，即
r(t)=Rsinω t
22
)(
ω
ω
+
=
s
RsR
)()()( sRsGsC =
22
()
R
Gs
s
ω
ω
=×
+
系统输出的拉氏变换 C(s)为：
设系统没有重极点，则由第三章的讨论，上
式可写成：
式中
为待定系数。
jj
1
()
jj
-
n
i
i
i
Ke Ke
C
Cs
s ssp
θθ
ωω
=
=++
+?+
∑
,,
i
K Cθ
系统的输出响应为：
1
() e 2 cos( )
i
n
pt
i
i
ct C K t
=
=+ +
∑
ω θ
对于稳定系统，当
时，
均随时间的推移而衰减到零，系统响应的稳态
值为,
t →∞
e(1,2 )
i
pt
in
=
() 2 cos( )
ss
ct K tω θ= +
和
由下式求得：
K
θ
j
j
elim(j)()(j)
2j
s
R
KsCsG
θ
ω
ωω
→
=? =×
(j )
2
R
KGω=×
/2+ (j )Gθ πω=? ∠
() (j )sin[ (j )]
ss
ct RG t Gω ωω=+
sin( )Ctω?=+
则即
)( ωjGRC =
)( ω? jG∠=
这表明，稳定的线性定常系统在正弦信号
作用下，系统的稳态输出将是与输入信号同频
率的正弦信号，但其幅值和相位则由于系统的
固有特性而改变。
定义稳态输出信号的幅值与输入信号的幅
值之比为系统的幅频特性，记为 A(ω )，即
)()( ωω jG
R
C
A ==
式中：
，
定义稳态输出信号与输入信号的相位差
为系统的相频特性，记为
，即
() ( )Gj? ωω=∠
幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性，
记为：
显然，频率特性函数是
的复变函数。
ω
()
() ()
j
Gj A e=
ω
ωω
()? ω
式中：
p(ω )—为 G(jω )的实部，称为实频特性；
q(ω )—为 G(jω )的虚部，称为虚频特性。
频率特性函数可表示为：
() ()j ()G j pqω ωω= +
Δ
例5-1：系统频率特性为：
2
()
(1 )(2 )
Gj
j j
ω
ω ω
=
++
求系统的幅频特性和相频特性。当输入
信号分别为
、
和时，求输出信号并观察其
幅值和相位。
() sinrt t= () sin3rt t=
() sin sin3rt t t= +
解：
幅频特性：
22
2
()
(1 )(4 )
A ω
ω ω
=
++
相频特性：
a) 当输入信号为：
时，() sinrt t=
1ω =
1
22
()| 0.632
(1 1)(4 1) 10
A
ω
ω
=
===
++
( ) (arctan arctan 2)? ωω=?+
0
1
( ) | (arctan1 arctan1 2) 71.57
ω
ω
=
=? + =?
b) 当输入信号为：
时，
() sin3rt t=
3ω =
3
2
()| 0.175
(1 9)(4 9)
A
ω
ω
=
==
++
输出信号：
0
( ) 0.632sin( 71.57 )Ctω =?
输出信号：
0
( ) 0.175sin(3 127.8 )Ctω =?
c) 当输入信号为：
时，
() sin sin3rttt= +
00
( ) 0.632sin( 71.57 ) 0.175sin(3 127.8 )Ct tω =?+?
0
3
( ) | (arctan3 arctan3 2) 127.8
ω
ω
=
=? + =?
0
( ) 0.632sin( 71.57 )Ctω =?
0
( ) 0.175sin(3 127.8 )Ctω =?
00
( ) 0.632sin( 71.57 ) 0.175sin(3 127.8 )Ct tω =?+?
可以看出，对于不同频率的正弦信号，系
统的增益和相移都不同，因此，输出信号产生
了严重的失真。
Δ
§
§
5.1.2
5.1.2 频率特性与传递函数的关系由频率特性的推导过程可知，频率特性
G(jω )是传递函数的一个特例，在 S平面上，
传递函数
的自变量 s是个复数，
意味
着把 s的变化范围限制在虚轴上，则
s=j
G(s) | =G(j )
ω
ω
()Gs
s jω=
因此，将传递函数中的复变量 s换成纯虚数
就得到系统的频率特性。
jω
设线性定常系统传递函数为
，当输入信号的拉氏变换为
时，系统输出的拉氏变换
为：
()Gs
()R s
() () ()Cs GsRs=
如果输入信号的傅氏变换存在，则系统输
出信号的傅氏变换为：
() () () ()()
sj
Cj Gs Rj Gj Rj
ω
ω ωωω
=
==
即
()
()
()
Cj
Gj
Rj
ω
ω
ω
=
就是说，当输入信号的傅氏变换存在时，
系统的频率特性就等于输出信号的傅氏变换与输入信号的傅氏变换的比值。
与传递函数一样，频率特性也是系统的一种数学模型，它只与系统自身的特性有关，而与系统的输入信号无关。
1
)(
+
=
Ts
K
sG
2222
111
)(
T
TK
j
T
K
Tj
K
jG
ω
ω
ωω
ω
+
+
=
+
=
或解：令 s=jω 得系统的频率特性
jarctan
2
(j )
1j
1( )
T
KK
Ge
T
T
ω
ω
ω
ω
==
+
+
例5.1.2 已知系统的传递函数，
求系统的频率特性。
2
)(1
)(
T
K
A
ω
ω
+
=
22
1
)(
T
K
p
ω
ω
+
=
22
1
)(q
T
KT
ω
ω
ω
+
=
实频特性:
相频特性:
幅频特性:
幅频特性和相频特性随 ω 变化的曲线如
图所示。
虚频特性:
( ) arctan T? ωω=?
§
§
5.1.3
5.1.3 频率特性曲线的三种表示形式频率特性曲线有三种表示形式，即极坐标
图、对数坐标图，对数幅相图。
1,极坐标图
(幅相频率特性曲线 )
系统的频率特性可表示为：
()
( ) () () ()
j
Gj A e p jq
ω
ω ωωω==+
在由
的实部和虚部组成的
平面上，
用一向量表示某一频率
下的
，向量的
()Gjω
G
i
ω ()
i
Gjω
长度为
，向量的极坐标角为
，
的正方向取为逆时针方向，将极坐标与直角坐标重合，极坐标系如图所示。
)(
i
ω?
()
i
ω
)(
i
A ω
频率特性G( jω )是输入信号频率 ω 的复变函
数，当频率 ω 由0→∞时，
G(jω )变化的曲线，
即向量端点轨迹就称为极坐标图。
当
时，
在实轴上的投影为实频
特性
,在虚轴上的投影为虚频特性
。
i
ωω =
)(
i
p ω
i
G(j )ω
()
i
q ω
显然有
() ()cos()pAω ω?ω=
() ()sin()qAω ω?ω=
22
() () ()Apqω ωω=+
下图是某二阶系统的极坐标图。
()
( ) arctan
()
q
p
ω
ω
ω
=
二阶系统的极坐标图
2,对数坐标图 (对数频率特性曲线 )
也叫 Bode图 。 Bode图由对数幅频特性和对
数相频特性两张图组成。
对数幅频特性 是频率特性幅度的对数值
L(ω )=20lg A(ω )（ dB）与频率 ω 的关系曲线；
对数相频特性是频率特性的相角
(度)与频
率 ω 的关系曲线。
()? ω
对数坐标图
3,对数幅相图 （ Nichols图）
对数幅相图是将对数幅频特性和对数相
频特性两张图，在角频率为参变量的情况下
合成一张图，对数幅相坐标系如图所示。
对数幅相图
§
§
5.2.1
传递函数的典型环节分解
22
11
22
11
(1)( 21)
() ()
(1)( 21)
q
r
u
ijj
ij
s
p
w
v
kll
kl
Ks s s s
GsHs e
sTs TsTs
τ
ττζτ
ζ
==
==
±±+ ±+
=
±+ ± +
∏∏
∏∏
传递函数可表示成时间常数形式,
其中：
、,,
、,,
均大于零。K
i
τ
j
τ
k
T
l
Tτ
ζ
§
§5,2 典型环节的频率特性
2、积分环节：1/s
它与系统位于原点处的极点相对应。
3、微分环节,s
它与系统位于原点处的零点相对应。
4、惯性环节：
它与系统位于实轴上的极点相对应。
1( 1)
k
Ts± +
1、比例环节：
K±
它是系统的开环放大系数。
6、振荡环节：
它与系统的一对共轭极点相对应。
7、二阶微分环节：
它与系统的一对共轭零点相对应。
8、滞后环节它反映系统的时间延迟。
22
1( 2 1)
ll
Ts Tsζ± +
22
21
jj
ssτζτ±+
s
e
τ?
5、比例微分环节：
1
i
sτ± +
它与系统位于实轴上的零点相对应。
比例环节的传递函数,G(s)=
频率特性：
幅频特性：
相频特性：
或
-180
0
对数幅频特性：
()G j Kω =±
KA =)(ω
0)( =ω?
KAL lg20)(lg20)( == ωω
1,比例环节
K±
§
§
5.2.2
典型环节的频率特性
s
sG
1
)( =
2
11
)(
π
ωω
ω
j
e
j
jG
==
ω
ω
1
)( =A
2
)(
π
ω=
ωωω lg20)(lg20)(?== AL
对数幅频特性：
2,积分环节积分环节的传递函数：
频率特性：
幅频特性：
相频特性：
2
)(
π
ωωω
j
ejjG ==
ωω =)(A
2
)(
π
ω? =
ωωω lg20)(lg20)( == AL
频率特性：
幅频特性：
相频特性：
对数幅频特性：
3,微分环节微分环节的传递函数,G(s)=s
惯性环节的传递函数：
1
()
1
Gs
Ts
=
± +
22 22
1
11
T
j
TT
ω
ωω
=
++
22
1
1
)(
T
A
ω
ω
+
=
相频特性,
4,惯性环节
jarctan
2
11
(j ) e
1j
1( )
T
G
T
T
ω
ω
ω
ω
==
±
+
( ) arctan T? ωω=?
频率特性：
幅频特性：
对数相频特性：
22
1
1
)(
T
p
ω
ω
+
=
22
()
1
T
T
ω
θω
ω
=
+
22
1lg20)(lg20)( TAL ωωω +?==
1
()
1
Gs
Ts
=
+
实频特性：
虚频特性：
对数幅频特性：
极点在左半平面时，
，极坐标图如图所示。
( ) arctan T? ωω=?
22
2
11
() ()pqωω
+ =
由于实部和虚部满足因此，当
从
变化时，惯性环节的极坐
标图是一个圆心在1/2处，半径为 1/2的半圆。
ω 0 →∞
1）当
时，对数幅频特性可近似为
T
1
<<ω
01lg20)(
22
≈+?= TL ωω
dB
2）当
时，对数幅频特性可近似为
T
1
>>ω
22
() 20lg1 20lgL TTω ωω=? + ≈?
低频段近似为一条0dB的水平线。
高频段近似为一条斜率为-20dB/dec的直线。
对数幅频特性：
对数相频特性：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
0
0()arctanTω?ω ω==?=
1()arctan45TTω?ωω==?=?
null
0
( ) arctan 90Tω?ω ω=∞ =? =?
的 Bode图如图所示。
1
()
1
Gs
Ts
=
+
惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两
段直线。两直线相交，交点处频率
，
称为转折频率。
两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐
近线。用渐近线代替对数幅频特性曲线，最
大误差发生在转折频率处，即
处。
1 Tω =
1 Tω =
3.01( )dB=?
误差为
11
22
() () () 20lg1 0
TT
LLL T
ωω
ωωω ω
==
Δ=? =? +
渐误差曲线如图所示。
比例微分环节的传递函数：
频率特性：
幅频特性：
() 1Gs j Tω= ±
22
() 1A Tωω=+
相频特性：
实频特性：
虚频特性：
() 1p ω =
() Tθ ωω=±
5,比例微分环节
2 jarctan
(j ) 1 j 1 ( ) eG
ωτ
ωωτ ωτ
±
=± = +
( ) arctan? ωωτ=±
对数幅频特性：
对数相频特性：
零点在左半平面时，
，极坐
标图如图所示。
22
( ) 20lg ( ) 20lg 1L ATωω ω==+
()1Gj jTω ω= +
( ) arctan? τ=±
1）当
时，对数幅频特性可近似为
T
1
<<ω
01lg20)(
22
≈+= TL ωω
dB
2）当
时，对数幅频特性可近似为
T
1
>>ω
22
() 20lg1 20lgL TTω ωω=+≈
低频段近似为一条0dB的水平线。
高频段近似为一条斜率为20dB/dec的直线。
对数幅频特性：
对数相频特性：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
0
0()arctanω?ω ωτ===
0
1()arctan45ωτ?ω ωτ===
0
( ) arctan 90ω?ωωτ=∞ = =
() 1Gs j Tω= +
的 Bode图如图所示。
二阶振荡环节的传递函数：
频率特性：
幅频特性：
相频特性：
22
1
()
21
Gs
Ts Tsζ
=
± +
2
1
()
()2 1
Gj
jT j T
ω
ωζω
=
±+
2222
)2()1(
1
)(
TT
A
ζωω
ω
+?
=
6,振荡环节
22
2
( ) arctan
1
T
T
ζω
ω
ω
=
实频特性：
虚频特性：
对数幅频特性：
对数相频特性：
2222
22
)2()1(
1
)(
TT
T
p
ζωω
ω
ω
+?
=
222 2
2
()
(1 ) (2 )
T
TT
ζ ω
θω
ωζω
=
+
222 2
() 20lg() 20lg(1 ) (2 )LA T Tωω ωζω==+
22
2
( ) arctan
1
T
T
ζω
ω
ω
=
极坐标图如图所示。
22
1
()
21
Gs
Ts Tsζ
=
+ +
极点在左半平面时，
低频段渐近线为一条0dB的水平线。
（2）高频段高频段渐近线为一条斜率为-40dB/dec的直线。
T
1
>>ω
T
1
<<ω
对数幅频特性也可用两条渐近线近似表示：
（1）低频段
222 2
() 20lg (1 ) (2 ) 20 lg 10LTTdBωωζω= + ≈? =
222 2
( ) 20lg (1 ) (2 ) 40lgLTTTω ω ζωω= + ≈?
对数相频特性：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
22
2
0()arctan 0
1
T
T
ζω
ω?ω
ω
==? =
0
22
2
1()arctan 9
1
T
T
T
ζω
ω?ω
ω
==? =?
0
22
2
( ) arctan 180
1
T
T
ζω
ω?ω
ω
=∞ =? =?
的 Bode图如图所示。
22
1
()
21
Gs
Ts Tsζ
=
++
用渐近线代替实际对数幅频特性也会带来
误差，误差的大小与
有关。二阶振荡环节的
误差修正曲线如图所示。
ζ
特例：等幅振荡环节当
时，二阶振荡环节变为等幅振荡环节，表现为虚轴上的两个极点，传递函数为：
0ζ =
22
1
()
1
Gs
Ts
=
+
频率特性：
2
1
()
1( )
Gj
T
ω
ω
=
222
)1(
1
)(
ω
ω
T
A
=幅频特性：
相频特性：
0
1()Tω?ω< =
0
18T>=?
时，
时，
可见，由于等幅振荡环节是二阶振荡环节
在
时的极限，在
时，相频特性产
生-180
0
的突变。
1 Tω =
0ζ →
实频特性：
222
)1(
1
)(
ω
ω
T
P
=
虚频特性：
0)( =ωθ
极坐标图如图。
对数幅频特性：
对数相频特性：
222
() 20lg () 20lg (1 )LA Tωω ω==
0
1()Tω?ω<=
0
1()18T>=?
时，
时，
Bode图如图。
对数幅频特性渐近线与振荡环节相同，但精确曲线不同，在转折频率处幅频特性趋近于
。
∞
二阶微分环节的传递函数：
频率特性：
幅频特性：
相频特性：
222 2
() (1 ) (2 )A ω τω ζωτ=? +
7.二阶微分环节,
22
() 2 1Gs s sτζτ= ±+
2
()( ) 2 1Gj j jωτω ζτω= ±+
22
2
( ) arctan
1
ζωτ
ω
τ ω
=±
22
() 1p ω τω=?
() 2θ ω ζτω=±
222 2
() 20lg() 20lg(1 ) (2 )LAω ωτωζωτ==?+
实频特性：
虚频特性：
对数幅频特性：
对数相频特性：
零点在左半平面时，
2
()( ) 2 1Gj j jωτω ζτω=++
22
2
( ) arctan
1
ζωτ
ω
τ ω
=±
极坐标图：
低频段渐近线为一条0dB的水平线。
（2）高频段高频段渐近线为一条斜率为40dB/dec的直线。
T
1
>>ω
T
1
<<ω
对数幅频特性：
（1）低频段
222 2
( ) 20lg (1 ) (2 ) 20lg 1 0LTTdBωωζω=?+≈=
222 2
( ) 20lg (1 ) (2 ) 40lgL TTTω ω ζωω=?+≈
对数相频特性：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
22
2
0()arctan 0
1
ζωτ
ω?ω
τω
== =
0
22
2
1/ ( ) arctan 90
1
ζωτ
ωτ?ω
τω
== =
0
22
2
( ) arctan 180
1
ζωτ
ω?ω
τω
=∞ = =
延迟环节的传递函数：
式中
——延迟时间频率特性：
幅频特性：
相频特性：
对数幅频特性：
极坐标图为一单位圆，如图所示。
s
esG
τ?
=)(
τ
ωτ
ω
j
ejG
=)(
1)( =ωA
)(3.57)()( Crad
null
ωττωω=?=
dBAL 0)(lg20)( == ωω
8,延迟环节滞后环节的低频部分与惯性环节近似。
Bode图如图所示。
可见，含有滞后环节的系统，高频段产生严
重的相角滞后。
§
§ 5,
3 系统的开环对数频率特性系统的开环对数频率特性
§
§
5.3.1
5.3.1 系统开环对数频率特性的求取开环传递函数可分解成典型环节乘积的
形式，其频率特性可表示成:
)()()()(
21
ωωωω jGjGjGjG
n
=
)()(
2
)(
1
)()()(
21
ω?ω?ω?
ωωω
n
j
n
jj
eAeAeA=
∏
=
∑
=
=
n
i
j
i
n
i
i
eA
1
)(
1
)(
ω?
ω
系统的开环对数幅频特性:
])(lg[20)(lg20)(
1
∏
=
==
n
i
i
AAL ωωω
∑
=
=
n
i
i
A
1
)(lg20 ω
∑
=
=
n
i
i
L
1
)(ω
∑
=
=∠=
n
i
i
jG
1
)()()( ω?ωω?
开环相频特性,
例5.3.1：
系统开环传递函数试绘制开环对数频率特性。
解
系统开环频率特性为系统由4个典型环节串联组成：
10(0.01 1)
()
(0.1 1)
s
Gs
ss
+
=
+
10(1 j0.01 )
(j )
j(1 j0.1)
G
ω
ω
ω ω
+
=
+
对数幅频特性渐近线在
时穿越0dB线，
其斜率为-20dB/dec。
10)(
1
=ωjG
0210lg20)(
1
==ωL
0)(
1
=ω?
ω
ω
j
jG
1
)(
2
=
ωω lg20)(
2
=L
null
90)(
2
=ω?
1=ω
dB
1、比例环节
2、积分环节
ω
ω
1.01
1
)(
3
j
jG
+
=
2
3
)1.0(1lg20)( ωω +?=L
1
3
10rad sω
=?
)(
3
ω?
)
4
,(
3
π
ω?
3
( ) arctan 0.1? ωω=?
3、惯性环节转折频率
，对数幅频特性渐近
线在转折频率前为0dB线，转折频率后为一条斜率
为-20dB/dec的直线。
对称于点
。
4、比例微分环节转折频率
，对数幅频特性渐近
线在
之前为0分贝线，在
之后为一条斜率为
20dB/dec的直线。
5
()1 0.01Gj jω ω=+
2
5
)10.0(1lg20)( ωω +=L
4
ω
4
ω
相频特性
在转折频率处为45°，低频段为
0°，高频段为90°，且曲线对称于点
。
)(
4
ω?
)45,(
4
null
ω
4
( ) arctan 0.01? ωω=
4
1
100rad/s
0.01
ω ==
将开环传递函数写成时间常数形式，即
22
11
22
11
(1)( 21)
() ()
(1)( 21)
q
r
u
ijj
ij
s
p
w
v
kll
kl
Ks s s s
GsHs e
sTs TsTs
τ
ττζτ
ζ
==
==
±±+ ±+
=
±+ ± +
∏∏
∏∏
其幅频特性为：
2222
11
2222
11
()1 (1 )(2 )
() ()
()1 (1 )(2 )
q
r
ijj
ij
p
w
kll
kl
K
GH
TTT
==
==
+?+
=
+?+
∏∏
∏∏
υ
τωτωζτω
ωω
ω ωωζ ω
§
§
5.3.2
5.3.2 开环对数幅频渐近特性
1、低频段：低频段是 ω 低于第一转折频率的
区段，幅频特性的渐近线为：
( ) 20 lg 20 lgLKω υω=?
可见，时间常数和开环增益的符号在幅频特
性中已不再反映，就是说，对称于虚轴的极点或
零点，它们对应的环节的幅频特性是一样的。
() 20lgL Kω =0υ =
0 型系统（
），低频段是一条的直线,K为系统的静态位置误差系数。
当时
1ω =
当时
υ
ω K=
1 型以上系统（
）
1υ ≥
1
( ) 20 lg 20 lg 20 lgLK K
ω
ωυ
=
=?
() 20lg 20lg 0
K
LK
υ
ω=
=?=
可见,a)在
处，幅频特性的幅值为 20lgK
b)幅频特性的穿越频率为因此，低频段是一条穿过点（1,20lgK）和点
（,0），斜率为-20× υ dB/dec的直线。
对于Ⅰ型系统，
,即静态速度
误差系数；对于Ⅱ型系统，
,
即静态加速度误差系数；
1ω =
K
υ
c v
KKω = =
c a
KKω ==
c
K
υ
ω =
K
K
2,中、高频段：
惯性环节、比例微分环节、振荡环节渐近
线的低频段为
的直线，对开环对数幅频
渐近特性没有贡献。从转折频率开始，这些环
节改变了对数幅频渐近特性的斜率，例如，惯
性环节使斜率增加-20db/dec,比例微分环节使
斜率增加20db/dec，以此类推。
() 0L ω =
绘制系统开环对数幅频渐近特性的步骤：
1,将开环传递函数变为时间常数形式。
2,求各环节的转折频率，并标在 Bode图的 ω
轴上。
3,低频段对于0型系统，做一条幅度为的水平线，直到第一转折频率。
对于1型以上系统，过 ω =1,L(ω )=20lgK点
() 20lgL Kω =
（或者过
,L(ω )=0点）作一条斜率为-20× υ dB/dec的直线，直到第一转折频率。
以上直线作为对数幅频特性的低频段。
υ
ω K=
4.
中、高频段
L(ω )的低频段向高频段延伸，每经过一个转折频率，按环节性质改变一次渐近线的斜率。
例 5.3.2,系统的开环传递函数为：
试绘制系统的对数幅频渐近特性。
)12.0)(11.0(
)101.0(10
)(
++
+
=
sss
s
sG
)2.01)(1.01(
)01.01(10
)(
ωωω
ω
ω
jjj
j
jG
++
+
=
解,开环传递函数已经是时间常数形式。
频率特性为：
例 5.3.3 系统开环传递函数为：
2
100( 10)
()
(4 2 1)( 100)
s
Gs
sss
+
=
++ +
试绘制系统的对数幅频渐近特性。
解,将开环传递函数写成时间常数形式。
频率特性为：
2
10( 0.1 1)
(j )
(1 4 2 )( 0.01 1)
j
G
jj
ω
ω
ωω ω
+
=
++
例 5.3.4,系统开环传递函数为：
2
500( 10)
()
( 50)( 100)
s
Gs
ss s
=
++
试绘制系统的对数幅频渐近特性。
频率特性为：
解,将开环传递函数写成时间常数形式。
2
(0.1 1)
(j )
(0.02 1)(0.01 1)
j
G
jj
ω
ω
ωω ω
+
=
++
§
§
5.3.3
5.3.3 最小相位传递函数和最小相位系统一个不包含不稳定极点的传递函数有如下形式：
将其频率特性的分子、分母各环节表示成极坐标形式,
22
11
22
11
(1)( 21)
()
(1)( 2 1)
q
r
ijj
ij
p
w
kll
kl
Ks ss
s
Ts Ts Ts
ττζτ
ζ
==
==
± +±+
Φ=
+++
∏∏
∏∏
() ()
11
() ()
11
() ()
()
() ()
im
kl
q
r
jj
im
p
w
jj
kl
KAe C e
j
Be De
θ ωθω
θω θω
ωω
ω
ωω
±±
==
==
±
Φ=
∏∏
∏∏
[][]
11 11
() () () () ()
qp
rw
imkl
im
a?ωπ θω θω θω θω
== ==
=+ ± +±? +
∑∑ ∑∑
相频特性：
[][]
11 1 1
() () () () ()
pq
wr
kl i m
kl i m
ω θ ω θω θω θ ω
== = =
Δ= +?± +±
∑∑ ∑ ∑
其中，当开环增益前面的符号为正时，
，
否则，
。
当
从
变化时，相角滞后为：
0a =
1a =
ω
0 →∞
对于具有相同幅频特性且没有右半平面极
点的传递函数，零点全部位于左半平面时，传
递函数具有最小的滞后相位，称为最小相位传
递函数，对应的系统称为最小相位系统。
最小相位系统定义如下：
1
1
)(
1
2
sT
sT
sG
a
+
+
=
0
1
1
)(
21
1
2
>>
+
= TT
sT
sT
sG
b
例 5.3.5：设有两个系统 (a)和 (b)，其传递函数零、极点分布如图所示。
(a) (b)
1
1
)(
1
2
Tj
Tj
jG
a
ω
ω
ω
+
+
=
1
1
)(
1
2
Tj
Tj
jG
b
ω
ω
ω
+
=
两系统的频率特性分别为对数频率特性分别为
2
1
2
2
)(1lg20)(1lg20)( TTL
a
ωωω +?+=
2
1
2
2
)(1lg20)(1lg20)( TTL
b
ωωω +?+=
21
( ) arctan arctan
a
TT? ωω ω=?
21
( ) arctan arctan
b
TT? ωωω=
最小相位系统的幅频特性和相频特性之间存在着固定的对应关系，这种对应关系可概括
为：
1）幅频渐近特性上的水平线，对应的相频
特性不变化。
2）幅频渐近特性上斜率为的直线，对应的相频特性产生最大
的滞
后相角。
20dB/decυ? ×
0
90υ×
3）幅频渐近特性上斜率为
的直
线，对应的相频特性产生最大
的超前相
角。
根据这种对应关系，一个分母为 n阶，分子
为 m阶的最小相位传递函数，当
时，对
数幅频特性曲线的斜率等于
,
对应的相频特性将产生
的滞后相角。
20dB/dec×υ
0
90υ×
ω →∞
20 ( - )dB decnm?×
90 ( )nm? ×?
null
例 5.3.6,两系统的 Bode图如图所示，判断系统是
否最小相位系统？
（ 1）
（ 2）
非最小相位系统分析起来要复杂的多。
例如：下面是四个非最小相位系统，它们
具有相同的幅频特性，而相频特性却不一样。
12
12
(1)(1)
()
(1)(1)
a
ss
Gs
Ts Ts
τ τ?+
=
++
12
12
(1)(1)
()
(1)(1)
a
ss
Gs
Ts Ts
τ τ+?
=
++
12
12
(1)(1)
()
(1)(1)
a
ss
Gs
Ts Ts
τ τ+ +
=
+
12
12
(1)(1)
()
(1)(1)
a
ss
Gs
Ts Ts
τ τ+ +
=
+?
§
§
5.3.4
5.3.4 传递函数的频域试验室确定频率响应试验就是给系统施加某一频率的
正弦信号，记录系统的稳态响应（幅值和相
位），然后保持输入信号的幅度不变，改变输
入信号的频率，再记录系统的稳态响应，用此
方法在某一频率范围内进行试验，可得到系统
在该频段的幅频特性和相频特性，绘出对数幅
频特性和对数相频特性（ Bode图）。
求系统的传递函数具体的方法是：
由低频段确定系统的类型和静态误差系
数，由中、高频段的转折频率和渐近线斜率确
定相应典型环节的种类和时间常数，最后确定
开环传递函数。
例 5.3.7：最小相位系统的对数幅频渐近特
性如图所示，求系统的传递函数。
最小相位系统含有振荡环节或二阶微分环节的最小相位系统例 5.3.9：非最小相位系统的对数幅频特性如
图所示，求系统的传递函数。
非最小相位系统例 5.3.10：被测系统的实际传递函数为：
100( 20)
()
( 2)(s 5)( 10)
s
Gs
ss
+
=
+++
Bode图如图所示。
当最小相位系统的几个转折频率距离较近时只考虑对数幅频特性，求出的传递函数可
能是：
2
150
()
(s 5.48s 7.5)
Gs=
++
系统应建模为：
12 3
K( 1)
()
(T )(T s 1)(T 1)
s
Gs
ss
τ +
=
+ ++
稳态误差系数 K可由低频段求出。
20lg K 26dB=
K20=
由幅频特性可知，比例微分环节的转折频率
可取 20，三个惯性环节的转折频率位于
之间，由于渐近线不清晰，可试取 2,6,10，传
120ω< <
20( / 20 1) 120( 20)
()
( / 2 )(s/6 1)( /10 1) ( 2)(s+6)( 10)
ss
Gs
ssss
+ +
==
++ + + +
递函数为：
该传递函数的准确 Bode图如图所示。它与
被测系统的 Bode图已基本吻合。再仔细观察，
相频特性略有些不同，因此，需要修正参数。
将极点 p
2
=6改为 p
2
=5，得到满意的结果。
由此例可知，用频率法进行系统建模，经
常要采用试探法，反复比较，反复调整，才能
最后得到比较准确的模型。
建模过程差之毫厘，失之千里，必须力求
精益求精。
对数幅频渐近特性中，两个转折频率之间
的直线可用下式表示：
2
21 21
1
L( ) L( ) K(lg lg ) K lg
ω
ωω ωω
ω
=?=
式中,K为直线的斜率。
5.3.5 利用对数幅频渐近特性的线性关系计算参数例 5.3.11：最小相位系统的对数幅频特性如图
所示，已知各段直线的斜率、幅值穿越频率和
三个转折频率：
，
，
，
,
求系统的传递函数。
1
0.1ω =
2
1ω =
3
10ω =
c
4ω =
解：由图可知，系统是个一型系统，因此，
传递函数有如下形式：
v
K( 1)
()
s(10 1)(0.1 1)
s
Gs
ss
+
=
+ +
由于低频段的两个关键点（ 1,20lgK
v
）
和（ K
v
,0 ）没有给出，误差系数 K
v
不能直接求出，需要利用对数幅频渐近特性的线性关系
来求。
将
代入，解得,K=40，传递函
数为：
40( 1)
()
s(10 1)(0.1 1)
s
Gs
ss
+
=
+ +
一型系统低频段在
时穿越 0dB线，
因此有：
v
Kω =
1v 12 2c
20(lg lgK )= 40(lg lg ) 20(lg lg )ω ωω ωω
12c
,,ω ωω
关于最小相位系统的判别：
问题的提出从高频段判断，出现错误。
从总的相角滞后判断，出现错误。
一个分母为 n阶，分子为 m阶的最小相位传
递函数，当
时，对数幅频特性曲线的斜
率等于
,对应的相频特性将产
生
的滞后相角。
ω →∞
20 ( )dB decnm?×?
90 ( )nm? ×?
null
应该从系统总的相角滞后来判断最小相位系统。
什么时候可以从高频段来判断？
怎么知道
的符号为正还是为负？
K
§
§
5.4
5.4 系统的开环极坐标图系统的开环极坐标图是当
从 0→∞
变化时，频率特性
向量端点的运
行轨迹 。
ω
(j ) (j )GHω ω
5.4.1 系统开环极坐标概略图的绘制例 5.4.1：
已知系统开环传递函数
)11.0)(1(
10
)()(
++
=
ss
sHsG
绘制系统开环极坐标图。
解,系统开环频率特性
10
()()
(1 )(1 0.1 )
Gj Hj
jj
ωω
ω ω
=
++
2
222 222
10(1 0.1 ) 10 1.1
(1 )(1 0.1 ) (1 )(1 0.1 )
j
ω ωωω
×
=?
++ ++
12
()
222
10
(1 )(1 0.1 )
j
e
θ θ
ωω
+
=
++
j0-10)G(j 0 == ωω
j0--0)G(j =∞= ωω
1、起始点终止点
2、与实轴交点。令虚部等于零得：
12
arctan arctan 0.1==θ ωθ ω
j0-10)G(j 0 == ωω
j0--0)G(j =∞= ωω
此时已经可以绘出概略极坐标图。
3、角度变化范围：
ω
当 从
0 →∞
变化时，
从 0到
12
() ( )? ωθθ=?+
π?
。
作极坐标概略图的基本方法是：
1、确定起始点
和终止点
。
(0) ω = () ω =∞
2、确定极坐标图与负实轴的交点 。
3、确定角度变化范围。
（至关重要）
例5.4.2：
系统开环传递函数
12
() ()
(1)(1)
K
GsHs
sTs Ts
=
+ +
12
()()
(1)(1)
K
Gj Hj
jjT jT
ωω
ωω ω
=
+ +
2
12 12
22 22 22 22
12 12
() (1 )
(1)(1)(1)(1)
KT T K TT
j
TT TT
ω
ωωωωω
+?
=
++ ++
解
系统开环频率特性试绘制系统开环极坐标图。
12
()
2
22 22
12
(1)(1)
j
K
e
TT
π
θ θ
ωω ω
++
=
++
1、起始点
12
0 G(j0) ( )-jKT Tω = =? + ∞
终止点
G(j ) 0-j0ω =∞∞=
2、与实轴交点。令虚部等于零得：
12
11
12
12
1
G(j ) -j0
KTT
TT
TT
ωω==?
+
112 2
arctan arctan==θ ωθ ω
G(j ) 0-j0ω =∞∞=
3、角度变化范围：
ω
当 从
0→∞
12
() ( )
2
π
ωθθ=? + +
变化时，
可绘出概略极坐标图。
的变化范围：
3
22
π
π?→?
例5.4.3：
系统开环传递函数
2
12
() ()
(1)(1)
K
GsHs
sTs Ts
=
+ +
试绘制其系统开环极坐标图。
解
系统开环频率特性
2
12
(j ) (j )
(j 1)(j 1)
K
GH
TT
ωω
ωω ω
=
++
2
12 1 2
22222 2222
12 12
(1 ) ( )
(1)(1)(1)(1)
KTT KTT
j
TT TT
ω
ωω ω ωω ω
+
=+
++ ++
12
()
222 22
12
(1)(1)
j
K
e
TT
π θθ
ωω ω
++
=
++
1、起始点 0 G(j0) jω = =?∞+ ∞
终止点
G(j ) 0 j0ω =∞∞=+
2、与实轴交点。令虚部等于零得：
G(j )0j0ω =∞ ∞ = +
112 2
arctan arctan==θ ωθ ω
3、角度变化范围：
ω
当 从
0 →∞
12
() ( )? ωπθθ=?++
变化时，
可绘出概略极坐标图。
的变化范围,2π π? →?
例5.4.4：
系统开环传递函数
22
()
(1)( 1)
n
K
Gs
ssω
=
+ +
解
系统开环频率特性
22
(j ) (j )
(1 )(1 )
n
K
GH
j
ωω
ω ωω
=
+?
试绘制其系统开环极坐标图。
222 222
(1 )(1 ) (1 )(1 )
nn
KK
j
ω
ω ωω ω ωω
=?
+? +?
()
2
22
(1 )(1 )
j
n
K
e
ω
ωωω
=
+?
时时
1、起始点 0 G(j0) j0Kω = =+
终止点 G(j ) 0 j0ω =∞∞=+
2、与实轴交点。令虚部等于零得：
0 G(j0) j0Kω ==+
( ) arctan= ωω
() ( arctan)=?+? ωπ ω
n
<ω ω
n
>ω ω
G(j )0j0ω =∞∞=+
3、角度变化范围：
可绘出概略极坐标图。
角度变化范围：
，在
3
0
2
π→?
n
ω ω= 时，相角出现-180
0
的突变，渐近线与正实轴的夹角为：
当时，0ω =
ω =∞当时，
0
( ) arctan 0
=
=?=
ω
ωω
3
() ( arctan )
2
=∞
=? + =?
ω
π
ω π ω
n
(j ) (j )| arctan
n
GH
=
=∠ =?
ωω
α ωω ω
5.4.2 最小相位系统频率特性极坐标图的一般规律
1、起始点
0
( 0) ( 0) 90Gj Hj υ∠=?×
起始点的角度为：
22
2
11
22
2
(1 ) j 2 (j 1)
(j ) (j )
(j ) (1 ) j2 (j 1)
pmp
lj
lj
nl nl
qnq
ki
ki
nk nk
K-
GH
-T
υ
υ
ωω
ζωτ
ωω
ωω
ωζω
==
++
=
+ +
∏∏
起始点的幅度为：
最小相位系统的开环频率特性为：（ n>m ）
2、终止点终止点的角度为：
0
()() ( )9Gj Hj n m∠∞ ∞=×
终止点的幅度为：
|( )( )|0Gj Hj∞ ∞=
由于
n>m,当
从
变化时，极坐
标图将以顺时针方向收敛于原点。
3、运动方向
ω
0 →∞
0υ =
|(0)(0)|Gj Hj K=
时
0υ > 时
|(0)(0)|Gj Hj =∞
4、虚轴上的共轭开环极点虚轴上的一对共轭开环极点，将在对应
的频率点产生 180
0
的顺时针相角突变，极坐标
图出现无穷大半径的圆弧。
例5.4.3：
系统开环传递函数
2
12
() ()
(1)(1)
K
GsHs
sTs Ts
=
+ +
解：
π∞∠?
终止点
02π∠?
1、起始点
2、与负实轴交点。
12
( ) arctan arctanTT? ωπ ω ωπ= =?
时，与负实轴无交点。0ω >
3、角度变化范围：
ω
当 从
0 →∞
12
() ( )? ωπθθ=?++
变化时，
可绘出概略极坐标图。
的变化范围,2π π? →?
例5.4.4：
系统开环传递函数
22
()
(1)( 1)
n
K
Gs
ssω
=
+ +
解：
1、起始点终止点
2、与负实轴交点
0
0K∠
0
027∠?
()? ωπ=?
时时
( ) arctan= ωω
() ( arctan)=?+? ωπ ω
n
<ω ω
n
>ω ω
时，与负实轴无交点。0ω >
3、角度变化范围：
3
0
2
π→?
时，相角出现-180
0
的突变，渐近线与正实轴的夹角为：
n
ω ω=
n
(j ) (j )| arctan
n
GH
=
=∠=?
ωω
α ωω ω
0ω?∞< <
1
1
(1)
()()
() ( 1)
m
j
j
n
i
i
Kj
Gj Hj
jjT
υ
υ
ωτ
ωω
ωω
=
=
+
=
+
∏
∏
系统开环频率特性为：
幅频特性为,
2
1
2
1
()1
()
|| ( ) 1
m
j
j
n
i
i
K
Aj
T
υ
υ
ωτ
ω
ωω
=
=
+
=
+
∏
∏
相频特性为,
11
( ) ( ) arc tan arc tan
2
mn
j i
ji
Gj Hj T
υ
π
ω ωωτυω
==
∠=?×
∑∑
的极坐标图
5.4.3
1
1
(1)
()()
()( 1)
m
j
j
n
i
i
Kj
GjHj
jjT
υ
υ
ωτ
ωω
ωω
=
=
+
=
+
∏
∏
幅频特性为：
2
1
2
1
()1
()
|| ( ) 1
m
j
j
n
i
i
K
Aj
T
υ
υ
ωτ
ω
ωω
=
=
+
=
+
∏
∏
相频特性为：
11
( ) ( ) arc tan arc tan
2
mn
j i
ji
G j H j T
υ
π
ω ωωτυω
==
∠ =? + ×+
∑∑
ω ω=?
时，系统开环频率特性为：
()()Aj Ajω ω? =
即
()() ()()G j H j G j H jω ωωω∠ =?∠
因此，
**
()() ()()GjHj GjHjω ωωω=
因此，
的极坐标图与
0ω?∞< < 0 ω< <∞
的极坐标图镜象对称于实轴，根据此原理，可从
的极坐标图得到
的极坐标图。
0 ω<<∞ 0ω?∞< <
例5.4.5：一个延迟系统的开环传递函数为：
试绘制系统的开环极坐标图。
解
系统开环频率特性
10
() e
1
s
Gs
Ts
τ?
=
+
j j( arctan )
2
10 10
(j ) e e
1j
1( )
T
G
T
T
ωτ ωτ ω
ω
ω
ω
+
==
+
+
5.4.4 延迟系统的极坐标图
§
§
5.4.5
开环极坐标图与开环Bode图的对应关系
（ 1）在开环极坐标图上 | |=1的单位
圆 对应于 Bode图上的 0dB线。单位圆 外对应于
0dB线以上的部分，单位圆 内对应于 0dB线以下
的部分。
（ 2）在开环极坐标图上的负实轴对应于 Bode图
上的
线。
()()Gj Hjω ω
180
o
乃奎斯特 (Nyquist)稳定判据，是由 H,Nyquist
于1932年提出的 。
§
§ 5,5 乃奎斯特稳定判据
Nyquist判据利用系统的开环极坐标图或 Bode
图来判断闭环系统的稳定性。
Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数理
论中的映射定理。
设F (s)为 s的单值复变函数,s平面与 F(s)
平面的点映射关系和曲线映射关系如图所示。
§
§
5.5.1
5.5.1 映射定理
Δ
在 s平面上任取一条封闭曲线 C
s
，要求 C
s
曲
线满足下列条件:
(1)曲线 C
s
不通过 F (s)的奇点（即 F (s)的零点
和极点）；
(2)曲线 C
s
包围 F (s)的Z 个零点和P 个极点。
曲线
及其映射
如图所示。
s
C
'
s
C
问题：当封闭曲线
上的动点s
1
沿闭合曲线顺时针运行一圈时，封闭曲线
上对应点
环绕坐标原点几圈？方向如何？
'
s
C
s
C
1
()Fs
Δ
结论：
当 s平面上的试验点 s
1
沿封闭曲线C
s
顺时
针 方向绕行一圈时,F（ s）平面上对应的封闭
曲线 C
s
’
将按 逆时针方向包围坐标原点 N=P-Z
圈。
被封闭曲线 C
s
包围的函数 F (s)的零点数为：
ZPN=?
§
§
5.5.2
5.5.2 Nyquist稳定判据问题,
如何从映射定理导出 Nyquist稳定判据？
1、选择 s的复变函数
。()F s
2,选择 s平面上的闭合曲线
。
s
C
设反馈系统的开环传递函数为：
)(
)(
)()(
sN
sM
sHsG =
N(s)和 M(s)分别为 s的 n阶和 m阶多项式。
闭环传递函数为特征多项式函数
)(
)()(
)()(1)(
sN
sMsN
sHsGsF
+
=+=
选择 s的复变函数 ()F s
()
()
() ()
Gs
s
1GsHs
Φ =
+
Δ
选择 s平面上的闭合曲线
s
C
当 F (s)不包含虚轴上的零、极点时,可选
择 S平面的封闭曲线 Cs如图所示，它是由整个虚
轴和半径为∞的右半圆组成，试验点按顺时针
方向移动一圈，该封闭曲线称为 Nyquist轨迹 。
Δ
Nyquist轨迹在 F(s)平面上的映射也是一条
封闭曲线，称为 Nyquist曲线 。
1,Nyquist轨迹在 F(s)平面上的映射
Δ
()ω =±∞
1） S平面的虚轴映射为曲线：
F(jω )=1+G(jω )H (jω )
2） S平面上半径为∞的右半圆
映射为F 平面上实轴上一点（ 1,j0)。
3） S平面的原点
映射到正实轴上一点
（ 1+K,j0)。
(0)ω =
某系统的 Nyquist曲线。
Δ
Z——位于右半平面 F (s)=1+G (s) H (s)的零点
数，即闭环右极点个数；
根据映射定理可知，当 S平面上的试验点 s
1
沿 Nyquist轨迹 C
s
顺时针方向绕行一圈时,S平
面上的 Nyquist轨迹在F 平面上的映射 F(jω )逆时针包围坐标原点的次数 N为,N=P-Z。 式中，
P——位于右半平面 F(s) =1+ G (s) H (s)的极点
数，它等于开环右极点个数；
N——Nyquist曲线 逆时针包围坐标原点的次数,
因此，只要知道右半平面的开环极点P 和
Nyquist曲线对原点的环绕次数 N，就可以知道
右半平面的闭环极点数，
ZPN=?
Δ
由于开环传递函数
G(s)H(s) = F(s) - 1，因
此,F 平面上的 F(jω )曲线向左平移一个单位就
得到 GH 平面上的 G(jω )H(jω ) 曲线。 F平面
上的原点，映射为 GH平面上为（ -1,j0）点。
F平面上的（ 1,j0）点映射到 GH平面上为原
点。
2,平面上的 Nyquist曲线
() ()GsHs
可以看出 Nyquist曲线与极坐标图的关系。
某系统在 GH平面上的 Nyquist曲线。
Δ
3,Nyquist稳定判据闭环系统稳定的充要条件是，位于右半平面的
的零点数
，根据映射定理,Nyquist曲线
逆时针包围坐标原点的次数
，或
平面上的 Nyquist 曲线
逆时针包围
点的次数
。
() 1 () ()F sGsHs=+
=0Z
(j )F ω
N =P
() ()GsHs
(j ) (j )GHω ω
(1,j0)?
N=P
再看看映射定理的条件
——F (s)不包含虚轴上的零、极点。
由于F (s)的极点就是 G(s)H(s)的极点,F (s)
的零点是使 G(s)H(s)= (- 1,j0) 的 s，因此，映
射定理的条件变为,G(s)H(s)不包含虚轴上的极
点,并且当 ω 从
变化时，曲线不通过（ -1,j0）点。
曲线
通过（ -1,j0）点意味着
虚轴上有闭环极点（ F (s)的零点），系统临界
稳定。
∞→∞
G(j )H(j ) ω ω
G(j )H(j )ω ω
Nyquist稳定判据：
G(j )H(j ) ω ω
∞→∞
如果系统的开环传递函数 G(s)H(s)在 S平面的
原点及虚轴上无极点，并且当 ω 从变
化时，
曲线不通过（ -1,j0）点，当 s
沿 S平面上的 Nyquist轨迹 C
s
顺时针方向绕行一圈
时，如果 GH 平面上的 Nyquist曲线 G(jω )H(jω )
逆时针环绕（ -1,j0）点的次数 N等于系统开环传递函数 G(s)H(s)的右极点个数P,即
N=P，则
闭环系统稳定，否则 (N≠ P) 闭环系统不稳定。
如果闭环系统不稳定，位于右半平面的闭环极
点数为,Z = P – N。
例5.5.1：
已知单位反馈系统，开环极点均在 s平
面的左半平面,Nyquist曲线如图所示，试判断
闭环系统的稳定性。
Δ
例 5.5.2：系统开环传递函数试判断闭环系统的稳定性。
解：
系统开环频率特性为作出 Nyquist曲线如图所示。
1
)(
=
Ts
K
sG
22
)(1)(11
)(
T
TK
j
T
K
Tj
K
jG
ω
ω
ωω
ω
+
+
=
=
Δ
系统的根轨迹
Δ
问题,
当系统开环传递函数 G(s)H(s)包含虚轴上
（包括原点）的极点时，
Nyquist轨迹不满足
映射定理的条件，怎么办？虚轴上的开环极点
对Nyquist曲线有什么影响？
5.5.3 虚轴上开环极点的影响
1,Nyquist轨迹的修改修改后的 Nyquist轨迹如图所示：
Δ
问题,无穷小半径的半圆映射成什么？
设 G(s)H(s)有一个
的极点（ ω
i
=0为
原点）,则 G(s)H(s)存在因子：
i
sjω=
j
j
111
j
ii i
e
sReR
θ
θ
ω
==
Δ
11
1
() () () ()
j
i
GsHs G sH s
s ω
=
11 1
1
(j )(j )(j )(j )(())
i
GH G H
R
ω ωωω?ωθ= ∠?
由于在这个过程中，
变化为无穷小，因此，虚轴上的极点使
产生 180
0
的顺时针相角突变，以及对应的无穷大半径的半圆。
(j ) (j )GHω ω
结论,当动点在修正后的 Nyquist轨迹上以
虚轴上的极点
为圆心，以
为半
径，按逆时针方向从右侧绕过此极点半圈时，
这个无穷小半径的半圆映射为半径为∞，相角
顺时针变化 180
0
的半圆。
ω
j
i
p ω=
(0)ε ε →
对于
的极点，该突变发生在正频率部分，这与等幅振荡环节的-180
0
相角突变相对
应。
i
sjω=
对于
的极点,该突变发生在
从的过程中，在正频率部分( 的过程中）
的相角顺时针突变了90
0
，
这与Ⅰ型系统的极坐标图起始于负虚轴无穷远处相对应。
0s =
ω
000
+
→→
()()G j H jω ω
00
+
→
如果有一个
的
重极点，则当
从变化时,G(s)H(s) 的相角顺时针突变了
，正频率部分的相角顺时针突变了
，这与
型系统极坐标图的起始相角
0s =
υ
0
180υ×
ω
000
+
→→
0
90υ×
υ
0
90υ?×
为
相对应。
某系统在 GH平面上的 Nyquist曲线。
原点处有一个开环极点。
Δ
把 Nyquist曲线的正频率部分包含这些
半
径圆弧，定义为广义开环极坐标图，则，广义开
环极坐标图仍然是 Nyquist曲线的一半。
∞
2,虚轴上有开环极点时的 Nyquist稳定判据：
G(j )H(j ) ω ω
∞→∞
如果 ω 从
变化时，
曲
线不通过（ -1,j0）点，当 s沿 S平面上修改后的
Nyquist轨迹 C
s
顺时针方向绕行一圈时，如果 GH
平面上的 Nyquist曲线 G(jω )H(jω ) 逆时针环绕
（ -1,j0）点的次数N 等于系统开环传递函数
G(s)H(s)的右极点个数P,即 N=P，则闭环系统稳
定，否则 (N≠ P) 闭环系统不稳定
，如果闭环系统不稳定，位于右半平面的闭环极点数为：
Z = P – N。
例 5.5.3：系统开环传递函数为试判断
取何值时闭环系统稳定？
() ()
(0.1 1)(0.02 1)
K
GsHs
ss s
=
+ +
K
解：
系统的频率特性为
(j ) (j )
j(1 j0.1)(1 j0.02)
K
GHωω
ω ωω
=
++
2
22 22
(0.1 0.02) (1 0.002 )
j
(1 0.01 )(1 0.0004 ) (1 0.01 )(1 0.0004 )
KKω
ω ωω ω ω
+?
=?
++ ++
Nyquist曲线与负实轴交点的横坐标为：
60K?
Δ
系统的根轨迹
Δ
例 5.5.4：系统开环传递函数为
Nyquist 曲线如图所示，试判断闭环系统
的稳定性。
2
1
() ()
(1)( 1)
GsHs
ss
=
+ +
Δ
系统的根轨迹
Δ
问题：
用广义开环极坐标图来判断系统的稳定性
时首先要解决什么问题？
§
§
5.5.4
5.5.4 用广义开环极坐标图判断系统稳定性
Δ
此 广义极坐标图的起始点在哪里？
1,广义极坐标图的起始点：
广义极坐标图是由于虚轴上的开环极点而
产生的，当原点处有极点时，由于 Nyquist 曲
线对称于实轴，因此，广义极坐标图的起始点
应在
处,而不是
或
处。前
面讲的普通极坐标图的起始点在
处,这
是广义极坐标图在
从
变化时，原点
处的极点产生相角突变后的点，因此，二者是
有区别的。
0ω =
+
0ω = 0ω
=
+
0ω =
ω
+
00→
例 5.5.5：系统的开环传递函数为绘制系统的广义极坐标图。
解,系统的开环频率特性为：
10( 1)
() ()
(1)
s
GsHs
ss
+
=
10(j 1)
(j ) (j )
j(j 1)
GH
ω
ωω
ωω
+
=
广义极坐标图的起始点为：
Δ
10(0 1)
(0) (0)
0(0 1)
GH π
+
= =∞∠?
1
1
(j z)
(j ) (j )
(j )(j p)
m
j
j
n
i
i
K
GH
υ
υ
ω
ωω
ωω
=
=
±
=
±
∏
∏
系统开环频率特性的一般形式为：
如果开环零、极点都为实数，则广义极坐标图的起始点为：
1
1
(z)
(0) (0)
(0) ( p )
m
j
j
n
i
i
K
GH
υ
υ
=
=
±
=
±
∏
∏
如果系统有复数零、极点，则广义极坐标图
的起始点为：
m-2r r
*
kk
1k1
2q q
*
ll
1l1
(z) z z
(0) (0)
(0) ( p ) p p
j
j
n
i
i
K
GH
υ
υ
==
==
±?
=
× ±?
∏∏
∏∏
由于
，
2
*
kk k
zz z 0?= >
2
*
ll l
p pp 0? =>
因此，可得出如下结论：广义极坐标图的
起始点在实轴上。
Δ
由于广义极坐标图在
从
变化时，
原点处的极点产生
的相角突变，因此，
只要知道了
从
变化的极坐标图（普通极坐标图），又知道系统有几个积分环节，
便可知道广义极坐标图的起始点。
ω
+
00→
ω
+
0 →∞
0
90υ? ×
2,使用广义开环极坐标图的 Nyquist稳定判据：
0 →∞
2Z PN=?
设 ω 从
变化时，系统的广义开环极
坐标图不通过（ -1,j0）点，则，如果系统的广
义开环极坐标图逆时针环绕（ -1,j0）点的次
数 N 等于系统开环传递函数 G(s)H(s) 位于右半 S
平面的极点数 P 的一半，即 N=P/2，则闭环系统
稳定，否则
(N≠ P/2) 闭环系统不稳定。如果闭
环系统不稳定，则系统位于右半平面的闭环极点
数为：
。
例 5.5.6：系统的开环传递函数为：
系统的广义极坐标图如图所示，试判断闭环系
统的稳定性。
2
1
() ()
(1)( 1)
GsHs
ss s
=
+ +
Δ
系统的根轨迹
Δ
2
s1
() ()
s( 2)
GsHs
s
=
+
例 5.5.7：系统的开环传递函数为广义极坐标图如图所示，试判断闭环系统
的稳定性。
Δ
系统的根轨迹
Δ
例 5.5.8：系统开环传递函数为：
试确定使闭环系统稳定时
的取值范围。
解
系统的频率特性为
2
() ()
1
s
e
GsHs
s
τ?
=
+
τ
(arctan)
2
2
()()
1
j
Gj Hj e
τωω
ωω
ω
+
=
+
极坐标图如图所示。
系统没有右半平面的极点，极坐标图不应
该包围（ -1,j0）点。
极坐标图第一次与负实轴相交时，
g
ω ω=
要使极坐标图不包围（ -1,j0）点，必须
2
2
() 1
1
g
g
A ω
ω
= <
+
解出：
，临界稳定时，
3
g
ω > 3
g
ω =
0
gg g
() ( arctan) 18=? + =ω τω ω
arctan
32
333
g
g
π ω
π ππ
τ
ω
===
系统稳定时
，3
g
ω >
2
33
π
τ <
此例说明：延迟环节可能使一个稳定的系
统变得不稳定，而且，延迟时间越长，系统越
不稳定。
§
§
5.5.5
广义开环极坐标图环绕次数计算第一种方法：向量环绕法第二种方法：负实轴穿越法设广义开环极坐标图由上而下穿越（ -1,j0）
点左侧负实轴的次数为
，由下而上穿越
（ -
1,j0）点左侧负实轴的次数为
，则 开环极
坐标图逆时针环绕（ -1,j0）点的次数为：
N
+
N
NN N
+?
=?
例 5.5.9：系统开环传递函数为
2
9( 0.2)( 5)( 10)
() ()
(2)(3)( 25)
sss
GsHs
sss
+ ++
=
+
试判断闭环系统的稳定性。
解
系统的频率特性为
2
9( 0.2)( 5)( 10)
()()
(2)(3)(25)
jjj
Gj Hj
jj
ω ωω
ωω
ωω ω
+ ++
=
极坐标图起始点为：
( 0) ( 0) 0.6Gj Hj =
极坐标图如下。
系统的根轨迹由于广义开环极坐标图的终点在原点（ n>m)，
因此，半次穿越是由于广义开环极坐标图的起始点在（ -1,j0）点左侧的负实轴上造成的。
下面是几个半次穿越的例子。
当系统的广义开环极坐标图起点在（ -1,j0）
点左侧的负实轴上时，穿越次数
或
应取
(n+0.5)，其中 n =0,1,2,… 为整数穿越次数。
N
+
N
半次穿越问题
(2)
() ()
( 1)(0.2 1)(0.02 1)
s
GsHs
ss s
=
+ ++
(0) (0) 2 -GH π= ∠
(2)
() ()
( 1)(0.2 1)(0.02 1)
s
GsHs
ss s
=?
+?+
(0) (0) 2 -GH π= ∠
(2)
() ()
( 1)(0.2 1)(0.02 1)
s
GsHs
ss s
+
=?
+ ++
(0) (0) 2 -GH π= ∠
10( 1)
() ()
(1)
s
GsHs
ss
+
=
(0) (0) -GH π=∞∠
例 5.5.10：系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。
解
系统的频率特性为
2
13( 5)( 10)
() ()
(3)[(1)25]
ss
GsHs
ss
+ +
=
+
2
13( 5)( 10)
()()
(3)[(1)25]
jj
Gj Hj
jj
ω ω
ωω
ωω
++
=
+
极坐标图起始点为：
( 0) ( 0) 8.33Gj Hj =?
极坐标图如下。
系统的根轨迹
5.5.6 抵消不稳定极点对 Nyquist判据的影响
10(s 1)
() ()
(1)(10)
=
+
GsHs
ss s
问题,如果系统开环传递函数出现零点抵
消不稳定极点的情况，会出现什么问题呢？
例 5.5.11：系统开环传递函数为：
判断系统的稳定性。
§
§
5.5.7
5.5.7 Bode图上的Nyquist稳定判据根据开环极坐标图与开环
Bode 图的对应关
系，开环极坐标图上的负实轴对应于 Bode图上
的
线，于是，系统广义开环极坐标
图在（ -1,j0）点左侧负实轴上的穿越就变成了
在系统开环对数幅频特性大于 0dB时，系统开环
相频特性对
线的穿越，向上穿越次
数为
，向下穿越次数为
，开环极坐标图逆
时针环绕（ -1,j0）点的次数为：
。
(2 1) 180
o
k±+×
N
N
+
NN N
+?
=?
(2 1) 180
o
k±+×
注意：在Bode图上，系统广义开环极坐标图中半径为
的圆弧对应于相频特性的突变，这些相角突变产生的穿越视为正常穿越，计入
或中。于是有：
∞
N
+
N
Bode图上的 Nyquist判据：
设在 Bode 图的幅值穿越频率
处，相频特性
（ k=0,1,2、…),如果在系统开环对数幅频特性大于 0dB时，系统开环
相频特性对
线的穿越次数
c
ω
0
( ) (2 1) 180
c
k?ω ≠± + ×
(2 1) 180
o
k±+×
NN N
+?
=?
等于系统开环传递函数 G(s)H(s) 位于右半 S 平面
的极点数 P 的一半，即 N=P/2，则闭环系统稳
定，否则
(N≠ P/2) 闭环系统不稳定
。如果闭环
系统不稳定，则系统位于右半平面的闭环极点数需要注意的是：
1、系统开环相频特性对不同的
线的穿越次数应相加。
2、系统开环相频特性起始于
线，
而起始段对数幅频特性大于 0dB时，对应于开环
极坐标图的起点在（ -1,j0）点左侧的负实轴
上，应计为半次穿越。
(2 1) 180
o
k±+×
(2 1) 180
o
k±+×
为：
。
2Z PN=?
例 5.5.12：例 5.5.10系统的开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。
解：
2
13( 5)( 10)
() ()
(3)[(1)25]
ss
GsHs
ss
+ +
=
+
系统的 Bode 图如下。
bode10
重要概念：
1,Nyquist判据使用系统的开环频率特性
曲线来判断闭环系统的稳定性。
2、当
从
变化时,Nyquist曲
线是一条闭合曲线，当虚轴上（包括原点）有
开环极点时,Nyquist曲线在
处闭合。
3、Nyquist 判据对最小相位系统、非最小
相位系统以及延时系统都适用。
ω
∞→∞
∞
5.6 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性问题,最小相位系统的频域相对稳定性如何
定义？相对稳定性如何计算？
（a）
稳定裕量的极坐标图定义 （b）
稳定裕量的对数频率特性定义
5.6.1
5.6.1
幅值幅值裕量裕量在（ a）图中 G(jω )H(jω )曲线与负实轴交于
G点时,G点的频率 ω
g
称为相角穿越频率，此时
ω
g
处的相角为 -180°。
定义：在相角穿越频率ω
g
处，开环频率特
性幅值 |G(jω
g
)H(jω
g
)|的倒数称为幅值裕量，用
K
g
表示,见上图（ a）。
)()(
1
gg
g
jHjG
K
ωω
=
式中 ω
g
满足
∠ G (jω
g
) H(jω
g
)= - 180°
根据开环Nyquist曲线与开环Bode图的对应关系，幅值裕量在Bode图上的表示为：
g(dB) g g g
K =20lgK = -20lg G(j )H(j ) dBωω
即幅值裕量
表示相角穿越频率
处幅频特性与 0dB线的距离见上图（ b）。
g(dB)
K
g
ω
幅值裕量 K
g
表示系统到达临界状态时，系统
增益所允许增大的倍数。
对于最小相位系统当 K
g
> 1 （
）时，闭环系统稳定 。
当 K
g
< 1（
）时，闭环系统不稳定。
当 K
g
=1 （
）时，系统处于临界状
态。
g(dB)
K0>
g(dB)
K0<
g(dB)
K0=
5.6.2
5.6.2
相角裕量相角裕量定义,G(jω )H(jω )在幅值穿越频率ω
c
处
的相角
与 180
0
之和称为系统的相角裕
量，表示为：
()
180γ?ω=°+
c
( )
ω
c
在（a ）图中 G(jω )H(jω )与单位圆相交于
c点，c 点处的频率为ω
c
称为幅值穿越频率，也
称剪切频率或截止频率，此时
()()1
cc
Gj Hjωω=
在（a ）图中，相角裕量γ 为幅值穿越频率
ω
c
处的相角与 -180°线之间的夹角。
根据开环Nyquist曲线与开环Bode图的对应关系，相角裕量在Bode图上表示为：幅值穿越频率 ω
c
处相频特性与 -180
0
线的距离，见上图
（ b）。
相角裕量γ表示使系统达到临界稳定状态，
尚可增加的滞后相角。
为了得到满意的性能指标，相位裕量应当
在 30
0
和60
0
之间，增益裕量应大于 6分贝。
对于最小相位系统当γ＞ 0时，闭环系统稳定当γ＜ 0时，闭环系统不稳定当γ =0 时，系统处于临界状态。
试分析系统的相对稳定性。
解,系统的开环频率特性为：
10
() ()
(0.2 1)(0.02 1)
GsHs
ss s
=
+ +
10
(j ) (j )
( 0.2 1)( 0.02 1)
GH
jj j
ωω
ωω ω
=
++
22
10
(j ) (j )
(0.41)(0.041)
GHωω
ωω ω
=
+ +
例 5.6.1 系统开环传递函数为相对稳定性的计算
1,相对稳定性的精确计算
0
(j )(j ) 90 arctan(0.2 )-arctan(0.02 )GHω ωωω∠=
a.幅值裕量根据定义，幅值裕量是开环频率特性在相角穿越频率 ω
g
处的幅值 |G(jω
g
)H(jω
g
)|的倒数，因
此，先求 ω
g。
令
0
gg
(j )(j )18GHωω∠=?
0
arctan(0.2 ) arctan(0.02 ) 90+=?
解出：
g
15.8ω =
ω
g
处的幅值：
g
gg
22
10
(j ) (j )
(0.04 1)(0.0004 1)
GH
ω ω
ωω
ωω ω
=
=
++
0.182=
g(dB) g
K =20lgK = -20lg0.182 14.8dB=
1
5.49
0.182
g
K ==
b,相角裕量根据定义，相角裕量是开环频率特性在幅值穿越频率 ω
c
处的相角与 180
0
之和，因此,先求 ω
c。
令
cc
(j )(j )1GHωω=
解得：
c
6.22ω =
ω
c
处的相角：
c
0
c
( ) 90 arctan(0.2 )-arctan(0.02 )
ω ω
ω ω ω
=
=
0
148.3=?
2,幅值穿越频率的近似计算相角裕量：
()
0
180 31.7γ?ω=°+ =
c
系统的开环对数幅频特性低频段为：
1
L ( ) 20lg10 20lgω ω=?
10
() ()
(0.2 1)(0.02 1)
GsHs
ss s
=
+ +
L( ) 20lg10 20lg 20lg0.2ω ωω=
令，得：
c
L( ) 0ω =
c
7ω ≈
考虑到高频段的影响，可取
，接近精确计算值。
c
6.5ω ≈
中、低频段开环对数渐近特性近似为：
也可以从对数幅频渐近特性上来求。
c
20 20(lg5 lg1) 40(lg lg5) 0ω=
解得：
c
=7ω
由于 L(1) 20lg10=20=
c
L( ) 0ω =
则：
可取
c
6.5ω ≈
重要概念：
一、增益裕量和相角裕量是在开环传递函
数为最小相位传递函数时定义的，对于非最小
相位开环传递函数，不能用本节定义的增益裕
量和相角裕量来说明系统的相对稳定性。
例 5.6.2：非最小相位开环传递函数为
( 20)
() ()
(2)(5)(10)
Ks
GsHs
sss
=
+++
K=101时，系统的 Bode图如图所示。
二、对于最小相位系统，如果系统没有谐振
峰（振荡环节
），则仅用相角裕量或幅
值裕量即可判断系统的稳定性。
0.707ζ ≥
如果 系统有谐振峰（振荡环节
），
情况就不这么简单，在谐振峰处幅频特性增大，
而相频特性不随之而变化，可能出现谐振峰穿越
0dB线的情况，先看一个例子。
0.707ζ ≤
2
0.2
() ()
(21)
GsHs
ss sζ
=
+ +
的 Bode图和广义极坐标图如图所示。0.05ζ =
例 5.6.4：系统的开环传递函数为：
bode7
三、对于最小相位系统，如果用稳定裕
量来说明相对稳定性，则必须二者同时考
虑，仅其中之一不足以说明系统的相对稳定
性。
比较下面两个系统的相对稳定性。
再看下面的系统，相角裕量很大，增益裕量
却很小，即很小的增益变化就会使系统不稳定。
5.6.3 对数幅相图上的相对稳定性表示对数幅相图上的相对稳定性表示
5.7 控制系统的闭环频率特性控制系统的闭环频率特性问题：
有没有一种方法将闭环频率特性与开环频
率特性联系起来？
5.7.1
5.7.1
等等
圆圆
)(1
)(
)(
)(
)(
sG
sG
sR
sC
sM
+
==
系统的开环传递函数 G(s)，闭环传递函数为：
闭环频率特性：
)(1
)(
)(
)(
)(
ω
ω
ω
ω
ω
jG
jG
jR
jC
jM
+
==
M
——单位反馈闭环系统的等幅值曲线设开环频率特性 G(jω )为
G(jω ) = p(ω ) + jq(ω )= x + j y
则整理得,(1-M
2
)x
2
+(1-M
2
)y
2
-2M
2
x =M
2
闭环频率特性的幅值为：
()
()
1()
Gj
MMj
Gj
ω
ω
ω
==
+
22
22
()
1()1
(1 )
xjy
xy
Gj
M
Gj x jy
x y
ω
ω
+
+
===
++
++
当当
M=1时，由上式可求得时，由上式可求得
x=-1/2，
，
这是通过点这是通过点
（
（
-1/2，
，
j0）
）
且与虚轴平行的一且与虚轴平行的一条直线。
条直线。
当当
M≠
≠
1时，由上式可化为时，由上式可化为对于给定的对于给定的
M值（等值（等
M值），上式是一个圆方程值），上式是一个圆方程式，圆心在式，圆心在
处，半径处，半径
。所
。所以在以在
G(jω
ω
)平面上，等平面上，等
M轨迹是一簇圆，见下图轨迹是一簇圆，见下图
22
2
2
)
1
( y
M
M
x +
2
2
)
1
(
M
M
=
)0,
1
(
2
2
j
M
M
1
2
M
M
等M圆
5.7.2 等等
圆圆
1+
=
x
y
arctg
x
y
arctg
m
m
tgN?=
()
()
1()1
Gj x jy
Mj
Gj x jy
ω
ω
ω
+
==
++
令：
N
闭环频率特性为：
——单位反馈闭环系统的等相角正切曲线
22
2
1
2
1
+
+
N
yx
)
2
1
,
2
1
(
N
2
)
2
1
(
4
1
N
+
当给定 N值 (等 N值 )时，上式为圆方程，圆
心在
处，半径为
,称为等
N
圆，见下图 。
2
2
1
4
1
+=
N
整理得：
等N圆
（a ）等 M圆 （b ）等 N圆
5.7.3
5.7.3
单位反馈系统闭环频率特性的求取单位反馈系统闭环频率特性的求取
Nyquist 图上的等M 圆
5.7.4
5.7.4 尼柯尔斯图线将等M 圆和等 N圆映射到对数幅相平面上，
得到的图形叫做尼柯尔斯图线。等M 圆映射为M
轨迹，等 N圆映射为 N轨迹。
尼柯尔斯图线与对数幅相图位于同一坐标
系，因此，可以将开环对数幅相图叠加在尼柯尔
斯图线上，来获得闭环系统的幅频特性和相频特
性。开环对数幅相图与M 轨迹和 N轨迹的交点给
出了对应频率的闭环频率特性幅值和相角。
nichols1
由于在对数幅相图上,KG
1
(s)相当于 G
1
(s)曲线
向上平移 20lgK，因此，要确定使闭环谐振峰值为
M
r
的增益值更加容易，只要做出 G
1
(s)= G(s)/K的
对数幅相图，然后向上平移，使曲线与M=M
r
的M
轨迹相切，平移的数值即为 20lgK（可得 K值），
平移后的曲线即为 G(s)的对数幅相图。
图示为 G
1
(s)= G(s)/K的对数幅相图相上平移
4.6dB，与 M=6dB的等M 圆相切，得 K=1.7。
Nichols1
5.8 典型二阶系统的频域动态分析问题：
1、描述系统动态特性的频域指标有哪些？
2、典型二阶系统的频率指标和时域指标之间的关系如何？
3、典型二阶系统的频域性能指标与系统参数的关系如何？
描述系统动态特性的频域指标分为开环频
域指标和闭环频域指标。
开环频域指标：
相角裕量、幅值裕量、幅值穿越频率。
闭环频域指标：
谐振频率、谐振峰值、频带宽度。
2
1 ζω
π
ω
π
==
n
d
p
t
2
exp 100%
1
p
M
ζπ
ζ
=? ×
4
s
n
t
ζω
≈
5.8.1 典型二阶系统的开环频域性能指标典型二阶系统的开环频域性能指标典型二阶系统的主要典型二阶系统的主要时域性能指标有三个：
时域性能指标有三个：
峰值时间：
峰值时间：
调节时间：
调节时间：
超调量：
超调量：
1,典型二阶系统的开环频率特性典型二阶系统的开环频率特性典型二阶系统的开环传递函数为：
系统的开环频率特性为：
2
()
(2 )
n
n
Gs
ss
ω
ζω
=
+
2
2
()
(2) (2 1)
nn
nn
Gj
jj jj
ωωζ
ω
ω ω ζω ω ω ζω
==
+ +
系统的开环幅频特性为：
2
2
|()|
(2 )1
n
n
G
ω
ω
ωωζω
=
+
系统的开环对数幅频渐近特性为：
系统的开环相频特性为：
2
n
n
L( ) 20lg 20lg 20lg 1
22
ω ω
ωω
ζζ
= +
开环对数幅频渐近特性低频段与 0dB线的
交点角频率
为：
v
ω
( ) arctan
22
n
=
π ω
ω
ζω
n
v
2
ω
ω
ζ
=
转折频率为：
1n
2ωζω=
当
时，
，
与
重叠。
0.5ζ =
1cvn
ω ωωω= ==
当
时，
，
位于
右边。
0.5ζ <
cv1
ω ωω≠ >
v
ω
1
ω
当
时，
，
位于
左边。
0.5ζ >
cv1
ω ωω= <
v
ω
1
ω
v
ω
1
ω
c
ω
ζ
设
为穿越频率，由于
的不同取值，开
环对数频率特性曲线有三种形式。
下图绘出了
时的两种 Bode图。
0.5ζ ≠
0.5ζ > 0.5ζ <
42
412
cn
ω ωζ ζ=+?
一定时，
与
成正比，即幅值穿越频率
越高，系统响应越快。
c
ω
n
ω
ζ
2,典型二阶系统的开环频域性能指标
1）幅值穿越频率开环对数幅频特性与 0dB线的交点角频
率称为幅值穿越频率。
对于二阶系统，令
，可解出：
c
ω
() 1G ω =
和
随
变化的关系曲线（
）
p
t
c
ω
n
ω
0.5ζ =
2） 相角裕量开环幅频特性等于 1时的相角与 180
0
之和为
系统的相角裕量。
对于二阶系统，将幅值穿越频率
代入开
环相频特性可得：
c
ω
γ
则
cn
c
nc
2
( ) arctan arctan
22
= =? +
π ωζω
ω π
ζωω
n
c
c
2
( ) arctan=+ =
ζω
γπ?ω
ω
即显然，
也只与
有关。
γ
ζ
下图是
和
随
变化的关系曲线。可见，相角裕量
越大超调量越小。
p
M
ζ
γ
γ
42
2
arctan
412
ζ
γ
ζζ
=
+?
和
随
变化的关系曲线
γ
p
M
ζ
在 Bode图上，相角等于 -180
0
时对应的幅度
值为
，幅值裕量定义为：20lg ( )
g
A ω
20lg ( )
gg
KAω=?
∞
结论,1、幅值穿越频率
反应系统响应速度，
越大，系统响应越快。
2、相角裕量
反应系统超调量，
越大，系统超调量越小。
c
ω
c
ω
γ γ
3）幅值裕量二阶系统的幅值裕量为
。
1,典型二阶系统的闭环频率特性
5.8.2 典型二阶系统的闭环频域性能指标典型二阶系统的闭环频域性能指标典型二阶系统的闭环传递函数为
2
22
()
2
n
nn
Gs
ss
ω
ζωω
=
++
系统的闭环频率特性为
2
22
()
()2
n
nn
Gj
j
ω
ω
ω ω ζωω
=
+
系统的闭环幅频特性为
222
2
2
)2()(
)(
ωζωωω
ω
ω
nn
n
M
+?
=
系统的闭环相频特性为闭环幅频特性曲线如下图所示
22
2
( ) arctan
n
n
ζωω
ω
ω ω
=?
2,典型二阶系统的闭环频域性能指标
1） 谐振频率 r
ω
系统发生谐振时，幅频特性达到最大值。
令
解得：
()
0
dM
d
ω
ω
=
2
12
rn
ω ωζ=?
只有当
时，
才为实数，
1/ 2 0.707ζ <=
r
ω
这说明，当
时，系统不会发生谐振。0.707ζ >
一定时，
与
成正比，即谐振频率越
高，系统响应越快。
ζ
r
ω
n
ω
2）谐振峰值系统发生谐振时幅频特性的峰值，即时幅频特性的值，就是谐振峰值。
将
代入
，可得：
r
M
r
ω ω=
()Mω
2
1
21
r
M
ζ ζ
=
显然，谐振峰值
也只与
有关，因此，
它也与系统的超调量相关联。
r
M
ζ
r
ω ω=
和
随
变化的曲线。
r
M
p
M ζ
3）频带宽度当闭环幅频特性的幅值降为
时幅值的
时，对应的频率
称为频带宽度。
令
，可解得：
b
ω
224
12 24 4
bn
ω ω ζζζ=?+?+
1
()
2
Mω =
一定时，
与
成正比，即频带宽度越
宽，系统响应越快。
b
ω
n
ω
ζ
b
ω
0=ω
21
结论,1、谐振峰值
反应系统超调量，
越
大，系统超调量越大。
2、频带宽度
反应系统响应速度，
越大，系统响应越快。
r
M
r
M
b
ω
b
ω
典型二阶系统的频域指标与系统参数的关系
42
412
cn
ω ω ζζ=+?
42
2
412
arctg
ζ
γ
ζζ
=
+?
2
12
rn
ω ωζ=?
2
1
21
r
M
ζζ
=
224
12 24 4
bn
ω ω ζζζ=?+?+
b
ω
n
ω
ζ
r
ω
c
ω
可以看出，当
时，
。
0.4ζ <
cr
ω ω≈
一定时，
、
、和
随
变化的曲线如图。
5.9
高阶系统的频域分析问题：
1、高阶最小相位系统的开环频域指标与系统时域响应之间存在什么样的关系？
5.9.1 高阶最小相位系统的开环频域指标与系统时域响应的关系低频段：
低频段指
的渐近线在第一个
转折频率以前的频段，这一段特性完全由积分
环节的个数和开环放大倍数决定。
() 20lg (j)LG=ω ω
低频段对数幅频特性低频段的斜率对应着系统积分环节的数
目。开环放大倍数 K 对应着稳态误差系数，
因此，对数幅频特性的低频段与系统的稳态指标相联系。它给出了系统的类型及静态误
差系数。
ωυω lg20lg20)(?= KL
d
高阶最小相位系统的相角裕量越大，系
统的平稳性越好，截止频率越高，系统响应
越快。
中频段：
中频段是指开环对数幅频特性曲线在开环截
止频率
附近的区段。
c
ω
1、相角裕量与系统动态特性的关系：
值得注意的是，相角裕量是高阶系统各环
节共同作用的结果，而不只是主导共轭复数极
点对应典型二阶系统的频域参数，因此，相角
裕量比用主导极点近似法更能反映高阶最小相
位系统的动态性能。
例 5.9.1 系统的开环传递函数为：
1.5
() ()
(0.5 1)(0.4 1)
GsHs
ss s
=
+ +
讨论相角裕量与时域响应的关系。
解：系统的根轨迹如图所示。
时，闭环极点如图所示
1.5K =
单位反馈闭环系统的单位阶跃响应如图所示，
超调量为：
。
21.2%
开环系统的 Bode图如图所示，相角裕量为：
0
47.4
如果用主导极点对应的典型二阶系统来近
似这个三阶系统，由根轨迹给出的参数：
n
0.283,1.42ζ ω= =
可知对应典型二阶系统的开环传递函数为：
2
() ()
(0.8)
GsHs
ss
=
+
系统的 Bode图如图 5-108所示。
0
31.5
相角裕量为：
单位反馈闭环系统的单位阶跃响应如图所示，
超调量为,39.6%
这个例子说明，由于第三个闭环极点的影
响，用主导极点对应的典型二阶系统近似原三
阶系统出现了较大的偏差，而系统的相角裕量
很好的反映了实际系统的平稳性（相角裕量越
大，系统的超调量越小）。因此，相角裕量比
主导极点近似法更能反映高阶最小相位系统的
动态性能。
2、开环截止频率与系统动态特性的关系：
由傅立叶变换的尺度变换性质可知，
() (j )f tF?ω
若则有
1
() (j )fat F
aa
ω
可推知，闭环系统的带宽展宽多少倍，输
出时间响应将加快多少倍。
将高阶最小相位系统的 Nyquist曲线叠加在等
圆上，如图所示。M
结论：开环幅值穿越频率
越大，闭环带宽就越
宽，系统响应越快。
c
ω
在 Bode图上，相角裕量在幅值穿越频率都在中频段定义，因此,Bode图的中频段与高阶系统的动态性能相联系。
高频段：
高频段指开环对数幅频特性在中频段以后
的频段。
开环对数幅频特性的高频段直接反映了闭
环系统对高频干扰信号的抑制能力。
5.9.2 高阶系统对数幅频渐近特性中频段的形状与系统的相角裕量反映中频段形状的三个参数为：开环截止
频率,中频段的斜率、中频段的宽度。
为了使系统有足够的稳定裕度，中频段斜
率应为 -20dB/dec，且中频段要有足够的宽度；
如果中频段斜率为 -40dB/dec，则系统可能
稳定，也可能不稳定，即使稳定，相角裕量也
比较小。
如果中频段斜率为 –60dB/dec，或者更陡，
则系统一定不稳定。
中频段斜率为 -20dB/dec时：
1
() 0 arctan
ω
ω
ω
=?
00
1
180 ( ) 180 arctan
c
c
ω
γ?ω
ω
=+ =?
0型系统：
相频特性相角裕量
0
90γ >,系统稳定。
1 c
ω ω<
Ⅰ型系统：
相频特性
0
1
( ) 90 arctan
ω
ω
ω
=
00
1
180 ( ) 90 arctan
c
c
ω
γ?ω
ω
=+ =?
00
45 90γ<<
Ⅱ型系统：
相频特性相角裕量
0
12
( ) 180 arctan arctan
ω ω
ω
ω ω
=? +?
0
12
180 ( ) arctan arctan
cc
c
ω ω
γ?ω
ω ω
=+ =?
相角裕量
，系统稳定。
1 c
ω ω>
12c
ω ωω<<
0γ >
中频段越宽（即
越大），相角裕量越大。
2
1
ω
ω
Ⅲ型系统：
相频特性相角裕量
0
1
2
12
2/
( ) 270 arctan arctan
1(/ )
ζω ω ω
ω
ω ωω
=? +?
0
180 ( )
c
γ?ω=+
0
c1
2
c1 2
2/
90 arctan arctan
1( / )
c
ζωω ω
ω
=? +?
只要幅值穿越频率
距
足够远，
距足够远，相角裕量仍会大于零，系统可以稳
定。
c
ω
1
ω
2
ω
c
ω
12c
ω ωω<<
0
c1
2
c1 2
2/
90 ( arctan ) arctan
(/)1
c
ζωω ω
π
ω
=? +
中频段斜率为 -40dB/dec时：
相频特性：
相角裕量：
，，系统稳定，但，放大倍数越
大，则穿越频率
越大，相角裕量
越小。
0γ >
0型系统：
c
ω
γ
1 c
ω ω<
1
2
1
2
() 0 arctan
1( )
ζωω
ω
ω ω
=?
1
2
1
2
180 ( ) 180 arctan
1( )
c
c
c
ζωω
γ?ω
ω ω
=+ =?
nullnull
1
2
1
2
arctan
()1
c
c
ζωω
ωω
=
相频特性：
相角裕量：
，，系统稳定，但，放大倍数越
大，幅值穿越频率
越大，相角裕量
越小。
0γ >
Ⅰ型系统：
c
ω
γ
1 c
ω ω<
由此可知，对于 0型或 1型系统，如果中频
段斜率设计为 -40dB/dec，则幅值穿越频率必须靠近转折频率
。
c
ω
1
ω
1
( ) 90 arctan
ω
ω
ω
=
null
1
180 ( ) 90 arctan
c
c
ω
γ?ω
ω
=+ =?
nullnull
相角裕量：
,系统不稳定。
0γ <
1 c
ω ω>
Ⅱ型系统：
相频特性：
因此，中频段斜率为 -40dB/dec时,Ⅱ型以上系统不能稳定。
1
() 180 arctan
ω
ω
ω
=
null
1
180 ( ) arctan
c
c
ω
γ?ω
ω
=+ =?
null
可见，当系统的开环对数幅频特性以 -40dB/dec
穿越 0db线时，即使系统稳定，稳定裕量也不大。
中频段斜率为 -60dB/dec时：
中频段斜率为 -60dB/dec时，不考虑转折频
率高于幅值穿越频率
的环节,传递函数的分母
比分子高三阶，最小相位系统在
处的相位滞后
大于 180
0
，系统不稳定。
c
ω
c
ω
结论：
（ 1）为了使系统满足一定的稳态指标，低频
段要有一定的高度和斜率。
（ 2）为了使系统具有较好的动态指标，中频段的斜率最好为
，且具有足够的宽度，同时，幅值穿越频率要满足系统快速性的要求。
-20dB/dec
（ 3）为了使系统具有一定的抗干扰能力，高
频段采用迅速衰减的特性，以抑制高频干扰。
一、
一、
Bode图采用自动频率范围，调用格式,
bode(num,dne)
G(s)=num/den,自动选择频率范围时ω从ω =0.1
到ω =10000rad/sec 。
若人为选择频率范围,可应用 logspace函数调用格式：ω =logspace(a,b,n)
5.10 MATLAB频域特性分析它表示在
之间取 n个频率点。10 10
ab
→
bode(num,dne,ω )
num=200*[0.5,1];
f1=[1,0];f2=[0.1,1];f3=[0.01,1];
den=conv(f1,conv(f2,f3));
bode(num,den);
例：系统的开环传递函数为：
200(0.5s 1)
G(s)H(s)
s(0.1s 1)(0.01s+1)
+
=
+
绘制系统的 Bode图。
解,1）采用自动频率范围
2）采用人为选择频率范围
num=200*[0.5,1];
f1=[1,0];f2=[0.1,1];f3=[0.01,1];
den=conv(f1,conv(f2,f3));
w=logspace(0,3,200);
bode(num,den,w);
Bode图如下。
二、
Nyquist图调用格式,
ω =logspace(a,b,n)
nyquist(num,den,ω )
式中G(s)=num/den ；ω为 logspace函数提供的
频率范围。
若不指定频率范围，则为
nyquist(num,den)
Nyquist图的栅格为等M 圆。
例：作上例的 Nyquist曲线
num=200*[0.5,1];
f1=[1,0];f2=[0.1,1];f3=[0.01,1];
den=conv(f1,conv(f2,f3));
nyquist(num,den); %不指定频率范围解：
或
nyquist(num,den,w); %指定频率范围
w=logspace(2,6,200);
三、
Nichols图例：作上例的 nichols图。
调用格式,
ω =logspace(a,b,n)
nichols(num,den,ω )
式中G(s)=num/den ；ω为用户提供的频率范
围。
若用户不指定频率ω范围，则为
nyquist(num,den)
nichols图的栅格为 nichols图线。
系统的 Bode图和 Nyquist图如下。
用鼠标右键点击画面，出现一个对话框，
选择 characteristics，再选择 stability，画面上
出现了图示的性能指标，包含系统的穿越频率和
，稳定裕量
和
，并指出了系统的
稳定性。
四、求稳定裕量
g
ω
c
ω
g
K
γ
小小
结结
1）系统的频率特性的三种图形表示。
2）什么是最小相位系统？最小相位系统有什么特点？
3） Nyquist稳定判据利用开环频率特性曲线判
断闭环系统的稳定性。
4）反映系统相对稳定性的两个频域参数是什么？
5）开环频率特性 Bode图的三个频段分别反映
了高阶最小相位系统的什么特性？
频域分析的优缺点：
优点：
一、频域中的稳定裕量不但说明稳定性，还
包含系统动态特性的信息。具体地说，相角裕
量与系统的超调量相联系。
二、频域分析考虑了系统对高频干扰信号
的抑制能力。
三、频域法适应于各种校正方法（见第六
章）。
四、手工绘制极坐标概略图和对数幅频渐
近特性图非常方便，又很有用，可直接用于
系统分析。
五、奈奎斯特判据可以直接判断延迟系统的稳定性，并可以确定临界延时参数。
六、高阶系统的开环频域指标（相角裕量和
幅值穿越频率）反映了系统的动态性能（超调
量和响应速度），它们作为系统设计的依据，
使我们可以方便的设计出动态性能满意的高阶
系统。
七、许多系统或元件的频率特性可用实验方
法确定，为系统建模提供了一种方法。
缺点：
一、不直观，频域指标与时域指标的关系是
间接的。
二、高阶系统的,三频段,分析法及稳定裕量
的概念对非最小相位系统不适用。
1、掌握开环系统对数幅频渐近特性和极坐
标概略图的绘制方法。
2、掌握用 Nyquist判据判断系统稳定性的方
法。
3、掌握相对稳定性的概念以及幅值裕量和
相角裕量的计算方法。
4、掌握高阶最小相位系统的对数幅频特性
“三频段,分析法。
本章掌握要点
