X
傅里叶三角级数证法 2
0 0 0
11
( ) c o s s i nnn
nn
x t a a n t b n t




0 0 0
0 0 0
2 2 2
0 0 0 0
2 2 2
01
T T T
T T Tx t d t a d t a d t a T
利用正余弦函数的正交性
1) 展开式在一个周期 内积分，得：00,
22
TT


0
0
2
0
0 2
1 T
Ta x t d tT
— 信号的均值，直流分量
X
余弦分量的幅度傅里叶三角级数证法 2
dttntnat d tntx
T
T n
T
T
2
2
000
2
2
0
0
0
0
c o sc o sc o s
2) 展开式两边同乘以,积分，得 余弦分量,tn
0cos?
0
2
2
0
2
1
2
2c o s10
0
Tadttna n
T
T n?


3,2,1c o s2 02
20
0
0

nt d tntx
T
a
T
Tn?
0 0 0
1
c o s sinnn
n
x t a a n t b n t

X
傅里叶三角级数证法 2
dttntnbt d tntx
T
T n
T
T
2
2
000
2
2
0
0
0
0
s ins ins in
3) 展开式两边同乘以,积分，得 正弦分量,tn
0sin?
正弦分量的幅度
02
1 Tb
n?
3,2,1s i n2 02
20
0
0

nt d tntx
T
b
T
Tn?
0 0 0
1
c o s sinnn
n
x t a a n t b n t

X
傅里叶三角级数证法 2



0
0
0
0
0
0
2
0
0 2
2
0
0 2
2
0
0 2
1
2
c os
2
si n 1,2,3
T
T
T
Tn
T
Tn
a x t dt
T
a x t n t dt
T
b x t n t dt n
T

所以有：
是 的偶函数，当 x(t)是奇函数时
na 0?n 0?na
是 的奇函数，当 x(t)是偶函数时
0?n 0?nbnb
注
X相频特性 (奇函数 )
傅里叶三角级数证法 2
00
1
( ) c o snn
n
x t A A n t

将展开式中同频率分量和并，可得傅氏级数 余弦形式,
00Aa?式中,直流分量
22 1,2,3
n n nA a b nn次谐波分量的幅值
a r c ta n nn
n
b
a?



n次谐波分量的相位幅频特性 (偶函数 )
0 0 0
1
c o s sinnn
n
x t a a n t b n t