第 8章 电路的暂态分析
8.2 一阶电路的暂态分析
8.1 换路定律 8.4 二阶电路的零输入响应
8.3 一阶电路的阶跃响应本章教学目的及要求了解“暂态”与“稳态”之间的区别与联系；熟悉“换路”这一名词的含义；牢固掌握换路定律；理解暂态分析中的“零输入响应”、“零状态响应”“全响应”及“阶跃响应”等概念；
充分理解一阶电路中暂态过程的规律；
熟练掌握一阶电路暂态分析的三要素法；
了解二阶电路自由振荡的过程。
8.1 换路定律学习目标,了解暂态分析中的一些基本概念；理解
,换路,的含义；熟悉换路定律的内容及理解其内涵，初步掌握其应用。
8.1.1 基本概念
1.状态变量,代表物体所处状态的可变化量称为状态变量。如电感元件的 iL及电容元件的 uC。
2.换路,引起电路工作状态变化的各种因素。如：电路接通、断开或结构和参数发生变化等。
3.暂态,动态元件 L的磁场能量 WL=1/2LI2和 C的电场能量 WC=1/2CUC2，在电路发生换路时必定产生变化，由于这种变化持续的时间非常短暂，通常称为“暂态”。
4.零输入响应,电路发生换路前，动态元件中已储有原始能量。换路时，外部输入激励为零，仅在动态元件原始能量作用下引起的电路响应。
5.零状态响应,动态元件的原始储能为零，仅在外部输入激励的作用下引起的电路响应。
6.全响应,电路中既有外部激励，动态元件的原始储能也不为零，这种情况下换路引起的电路响应。
8.1.2 换路定律由于能量不能发生跃变，与能量有关的 iL和 uC，
在电路发生换路后的一瞬间，其数值必定等于换路前一瞬间的原有值不变。
换路定律用公式可表示为：
)0()0(
)0()0(
CC
LL
uu
ii
换路发生在 t=0时刻,(0-)为换路前一瞬间，该时刻电路 还未换路 ； (0+)为换路后一瞬间，此时刻电路 已经换路 。
暂态过程产生的原因电阻元件是耗能元件，其电压、电流在任一瞬间均遵循欧姆定律的即时对应关系。因此，电阻元件上不存在暂态过程。
(t = 0)
US_
＋
S
R
I
I
t 0
电阻电路电感元件是储能元件，其电压、电流在任一瞬间均遵循微分 (或积分 )的动态关系。它储存的磁能
(t = 0)
US_
＋
S
L
iL
iL
t 0
RUS
R
2
L0L 2
1 LidtuiW t
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。
R-L电路电容元件也是储能元件，其电压、电流在任一瞬间也遵循微分 (或积分 )的动态关系。它储存的电能
2
C0C 2
1 CudtuiW t
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路也存在过渡过程。
(t = 0)
US_
＋
S
C
iC
uC
t 0
R
uC_＋
US
R-C电路
1.
2,根据换路后的等效电路，应用电路基本定律确定其它电量的初始值。
初始值 （起始值）,电路中 u,i 在 t=0+ 时的大小。
电路初始值的确定根据换路前一瞬间的电路，应用电路基本定律确定 iL(0+）和 uC(0+）。
已知 iL(0? ) = 0,uC(0?) = 0，试求 S 闭合瞬间，
电路中所标示的各电压、电流的初始值。
(t = 0)
_
＋
S
0.1H
u2
u1
20Ω
10Ω
1μF
20V
iC
_
＋
_＋
i
iL
uL_
＋
uC_＋ 根据换路定律可得：
可得 t = 0+时等效电路如下
iL(0+) = iL(0–) = 0,相当于 开路
uC(0+) = uC(0–) = 0,相当于 短路
_
＋
S
0.1H
u2
u1
20Ω
10Ω
1μF
20V
iC
_
＋
_＋
i
uL_
＋
其他各量的初始值为：
V20)0()0( 1L uu
0)0(2u
A 21020)0()0(C ii
根据换路前电路求 uC(0+）
换路前电路已达稳态,t=0时 S打开，求 iC(0+) 。
R1
＋40k10k
S
iC
uC－
i
＋
－
10V R2
V84010 4010)0()0()0( R2CC uuu
画出 t=0+等效电路图如下
R1
40k10k
S
ic(0+）
＋
－
10V R2
＋
－
8V
根据 t=0+等效电路可求得 iC(0+）为
mA2.010 810)0()0(
1
CS
C?
R
uUi
根据换路前电路求 iL(0+）
换路前电路已达稳态,t=0时 S闭合，求 uL(0+) 。
A241 10)0()0(
21
S
LL RR
Uii
画出 t=0+等效电路图如下根据 t=0+等效电路可求得 uL(0+）为
V842)0()0( 2LL Riu
R1
＋
1Ω
S
iL
uL
－
＋
－
10V
R2
4Ω R1
＋1Ω
S uL－
＋
－
10V
R2
4Ω
iL(0+）
uL(0+)为负值，说明它的真实方向与图上标示的参考方向相反，即 与 iL(0+)非关联，实际向外供出能量 。
1,由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)；
求初始值的一般步骤
2,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)；
3,画出 t=0+的等效电路图：
uC(0+)=0时相当短路； uC(0+)≠0时相当 电压源；
iL(0+)=0时相当开路； iL(0+)≠0时相当 电流源；电压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、电感电流的参考方向应保持相同。
4,由 t=0+的等效电路图进而求出其它响应的 0+值。
8.2 一阶电路的暂态分析学习目标,理解一阶电路暂态分析中响应的规律；深刻理解时间常数 τ 的概念及物理意义；牢固掌握一阶电路的三要素法。
8.2.1 一阶电路的零输入响应
1,RC电路的零输入响应只含有一个因变量的一阶微分方程描述的电路，
称为 一阶电路 。
R
＋
1 S
iC (0+)
uC(0+）
－
t=0＋
－
US C
2
左图所示电路在换路前已达稳态。 t=0时开关由位置 1迅速投向位置 2，之后由 uC (0+)
经 R引起的电路响应称为 RC电路的零输入响应 。
R
＋
1 S
iC (0+)
uC(0+）
－
t=0＋
－
US C
2
根据 RC零输入响应电路可列写出电路方程为：
0 CC udtduRC
这是一个一阶的常系数齐次微分方程，对其求解可得：
RC
tt
eUeutu SCC )0()(?
式中的 τ=RC称为一阶电路的 时间常数 。如果让电路中的 US不变而取几组不同数值的 R和 C，观察电路响应的变化可发现,RC值越小，放电过程进行得越快； RC值越大，放电过程进行得越慢，这说明 RC
放电的快慢程度取决于时间常数 τ — R和 C的乘积。
式中 R用 Ω,C用 F时，时间常数 τ的单位是秒 [s]。
如果我们让上式中的时间 t 分别取 1τ,2τ 直至 5τ,
可得到如下表所示的电容电压在各个时刻的数值：
RC
tt
eUeutu SCC )0()(?
1τ 2τ 3τ 4τ 5τ
e-1
0.368US
e-2
0.135US
e-3
0.050US
e-4
0.018US
e-5
0.007US
由表可知，经历一个 τ的时间，电容电压衰减到初始值的 36.8%；经因两个 τ 的时间，电容电压衰减到初始值的 13.5%； 经历 3~5τ 时间后，电容电压的数值已经微不足道，虽然理论上暂态过程时间为无穷，
但在 工程上一般认为 3~5τ 暂态过程基本结束 。
RC过渡过程中响应的规律可以用曲线来描述,
t
iCuC
iC
uC
US
iC(0+)
0 τ
0.368US
RC过渡过程响应的波形图告诉我们：它们都是按指数规律变化，其中电压在横轴上方，电流在横轴下方，说明二者方向上非关联，电容放电电流为：
RC
tRC
t
e
R
u
dt
eU
C
dt
du
Ci
)0(CSC
C
1,RL电路的零输入响应 左图所示电路在换路前已达稳态。 t=0时开关闭合，之后电流源不起作用，暂态过程在
R和 L构成的回路中进行，仅由
iL (0+) =I0在电路中引起的响应称为 RL电路的零输入响应 。
R
＋
SIS uL－t=0
＋ －uR
L
I0
根据 RL零输入响应电路可列写出电路方程为：
0 dtdiLRi
若以 iL为待求响应，可得上式的解为：
tLRt eieIti )0()(
L0L?
式中
tLRt eieIti )0()(
L0L?
称为 RL一阶电路的 时间常数,其大小
R
L
同样反映了 RL一阶电路暂态过程进行的快慢程度。
tLReRI
dt
diLtu
0
L
L )(
电感元件两端的电压：
电路中 响应的波形图如左下图所示：
t
iLuL
uL
iL
I0R
iL(0+)
0 τ
0.368I0
0.632I0R 显然 RL一阶电路的零输入响应规律也是 指数规律 。
1.一阶电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减到零的，这实际上反映了在没有电源作用下，储能元件的原始能量逐渐被电阻消耗掉的物理过程；
一阶电路的零输入响应分析归纳
2.零输入响应取决于电路的原始能量和电路的特性，
对于一阶电路来说，电路的特性是通过时间常数 τ
来体现的；
3.原始能量增大 A倍，则零输入响应将相应增大 A倍，
这种原始能量与零输入响应的线性关系称为零输入线性。
8.2.2 一阶电路的零状态响应
1,RC电路的零状态响应
RC电路的零状态响应和零输入响应一样，都是按指数规律变化，显然这个暂态过程是电容元件的充电过程：充电电流 iC按指数规律衰减；电容电压 uC按指数规律增加，用曲线可描述为：
图示电路在换路前电容元件的原始能量为零,t=0时开关 S闭合之后电容上电压、电流的变化称为 RC电路的零状态响应 。
R
＋
S
iC
uC
－
t=0＋
－
US C
t
iCuC
iC
uC
US
iC(0+)
0
0.632US
τ
显然在 RC充电电路中，
电容元件上的电压与电流 方向关联,元件向电路 吸取电能建立电场 。
RC零状态响应 电路中的计算公式
R
＋
S
iC
uC
－
t≥0＋
－
US C
由 RC零状态响应电路图可得过渡过程结束时电容的极间电压 (即 换路后的新稳态值 )
SC )( Uu
则电容电压的零状态响应为：
)1()1)(()( SCC RC
tt
eUeutu
电容支路电流的零状态响应：
dt
eud
C
dt
du
Cti
RC
t
)]1)(([
)( CCC
2,RL电路的零状态响应图示电路在换路前电感元件上的原始能量为零,t=0时开关 S闭合。
之后电感上电压、电流的变化称为
RL电路的零状态响应 。
R
＋
S
iL
uL
－
t=0＋
－
US L
＋ uR －
RL电路的零状态响应也是按指数规律变化。其中元件两端的电压 uL按指数规律衰减 (即只存在过渡过程中 )；电感电流 iL按指数规律上升；电阻电压 UR=iR按指数规律增长，用曲线可描述为：
显然，在 RL零状态响应电路中，电感元件是 建立磁场 的过程，因此其电压、电流 方向关联 。 t
iCuC
iL
uL
US
US/R
0
0.368US
τ
uR
0,632US/R
RL零状态响应 电路中的计算公式
RL零状态响应电路换路结束时电感电流的 新稳态值：
R
Ui S
L )(
因此电感电流的零状态响应为：
)1()1)(()( SLL?
t
L
Rt
e
R
Ueiti
电感元件自感电压的零状态响应：
dt
eid
L
dt
di
Ltu
L
Rt
)]1)(([
)( LLL
S
t≥0
R
＋
iL
uL
－
＋
－
US L
＋ uR －
1.一阶电路的零状态响应也是随时间按指数规律变化的。其中电容电流和电感电压均随时间按指数规律衰减，因为它们只存在于过渡过程中；而电容电压和电感电流则按指数规律增长，这实质上反映了动态元件建立磁场或电场时吸收电能的物理过程；
一阶电路的零状态响应分析归纳
2.零状态响应取决于电路的独立源和电路本身特性，
也是通过时间常数 τ来体现其特性的。 RL一阶电路的时间常数 τ=L/R；
3.在零状态响应公式中的 (∞)符号，代表换路后的新稳态值，根据电路的不同情况一般稳态值也各不相同。
8.2.3 一阶电路的全响应电路中既有外输入激励 (即有独立源的作用 )，动态元件上又存在原始能量 (换路前 uC和 iL不为零 )，当电路发生换路时,在外激励和原始能量的共同作用下所引起的电路响应称为全响应 。
上述两电路为 RC和 RL典型的一阶全响应电路。
R1
＋
S
iC
uC－
（ t=0）＋
－
US C R2
R2
＋
S
iL
uL
－
(t=0)
＋
－
US L
R1
RC和 RL全响应电路的解可表示为：
全响应 = 零输入响应 ＋ 零状态响应图示电路在换路前已达稳态，且 UC(0-)=12V，试求 t ≥ 0时的 uC(t）和 iC(t)。
＋
S
iC
uC－
（ t=0）＋
－
2KΩ1mF
1KΩ
9V
根据换路定律可得
V12)0()0( CC uu
电路的时间常数 τ
s32101032)//( 3-321 CRR?零输入响应 uC(t)',
V12)0()'( 5.1CC t
t
eeutu
以电容电压为例，让其零输入响应用 uC(t)'表示；
uC(t)"表示零状态响应，则有：
')'()'()( CCC tututu
V66')'()'()( 5.1CCC tetututu
全响应 uC(t)：
mA9)66(101)()( 51
5.1
3
C
t.-
t
C e
dt
ed
dt
tduCti
电容电流的全响应 iC(t)：
电容电压的稳态值：
V621 29)(Cu
零状态响应 uC(t)"：
V)1(6')'( 5.1C tetu
由全响应结果可以看出，前面的常数 6为稳态分量，
后一项按指数规律变化的为暂态分量，因此,
全响应 =稳态分量 +暂态分量为什么 iC只有暂态分量而没有稳态分量？
如用 f (t) 表示电路的响应,f (0+)表示响应的初始值,f (∞) 表示响应的稳定值,τ 表示电路的时间常数，则电路的全响应可表示为：
8.2.4 一阶电路暂态分析的三要素法上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、
电流响应的三要素公式。
0)()0()()( teffftf
t
式中初始值 f (0+)、稳态值 f (∞) 和时间常数 τ称为一阶电路的三要素，按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。
由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。
显然，应用三要素法求解一阶电路的响应时，只要求出其初始值、稳态值及时间常数 τ,代入三要素法公式中即可。
已知图中 U1 = 3 V,U2 = 6 V,R1= 1 k?,R2 = 2 k?,C =
3?F,t < 0 时电路已处于稳态。用三要素法求 t ≥ 0 时的
uC(t)，并 画出变化曲线 。
R1
＋
S
iC
uC－
（ t=0）＋
－
U1 C R2＋
－
U2
先确定初始值 uC(0+)：
V2)0()0(
V2
21
23
)0(
21
12
CC
C
uu
RR
UR
u?
再确定稳态值 uC(?)：
V421 26)(
21
22?
RR
URu
C
最后确定时间常数 τ,
ms21021 21103 36
21
21
RR
RRC?
将初始值、稳态值及时间常数代入三要素公式可得
V2-4]42[4)]()0([)()( 500500 tt
t
CCCC eeeuuutu
电容电压的变化曲线为：
uC/V
uC(t)
0
0.632uC(t)
τ
2V
4V
2τ 3τ 4τ 5τ
应用三要素法求解响应的步骤：
1,确定初始值 f (0+)
初始值 f(0+)是指任一响应在换路后瞬间 t=0+ 时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法完全一样。
先作 t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或
iL(0-),这个状态即为 t＜ 0阶段的稳定状态，因此，
此时电路中电容 C视为开路，电感 L用短路线代替。
再作 t=0+等效电路。这是利用换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若 uC(0+)=U0,iL(0+)=I0，
在此电路中 C用电压源 U0代替,L用电流源 I0代替 ;
若 uC(0+) =0 或 iL(0+)=0，则 C用短路线代替,L视为开路。作 t=0+ 等效电路后，即可按一般电阻性电路来求解其它响应的初始值。
2,确定稳态值 f (∞)
作 t=∞的等效电路，暂态过程结束后，电路进入新的稳态，用此时的电路确定响应的稳态值 f(∞) 。
在此电路中，电容 C视为开路，电感 L视为短路，
可按一般电阻性电路来求各响应的稳态值。
3,确定时间常数 τ
RC电路中,τ=RC； RL电路中,τ=L/R；其中 R等于,将电路中所有独立源置零后，从 C或 L两端看进去的等效电阻,(即戴维南等效电源中的 R0)。
参看课本 P121页例题 8.5 。
8.3 一阶电路的阶跃响应学习目标：
8.3.1 单位阶跃函数
ε(t)的波形如右图示，它在 (0-,0+)
时域内发生了单位阶跃。
单位阶跃函数用 ε(t)表示,其定义如下：
理解单位阶跃函数的概念及物理意义，
明确单位阶跃响应的实质，了解单位阶跃响应在电路分析中的作用 。
ε(t) =
0 t≤ 0-
1 t≥ 0+
ε(t)
0
1
t
注意,ε(t) 在 t=0处不连续，函数值由 0跃变到 1。
单位阶跃既可以表示电压，也可以表示电流，通常在电路中用来表示开关在 t=0时的动作。
单位阶跃 ε(t)实质上反映了电路在 t=0时刻 把一个零状态电路与一个 1V或 1A的独立源相接通的 开关动作 。
＋
－
US
S
（ t=0） 零状态电路
＋
－
ε(t)
零状态电路
IS S
（ t=0）
零状态电路
ε(t) 零状态电路
ε(t-t0)的波形如右图示：
如果阶跃发生在 t=t0时刻,则可认为是 ε(t)在时间上延迟了 t0后得到的结果,此时的阶跃称为 延时单位阶跃,记作：
ε(t-t0) =
0 t < t0
ε(t-t0)
0
1
t
注意,ε(t-t0) 在 t0处不连续，函数值由 0跃变到 1。
1 t > t0
t0
下图所示矩形脉冲波 f(t)，根据阶跃函数的原理，可以将其看作是由一个 ε(t)与一个 ε(t-t0)的合成波：
f(t)'
0
1
tt
1 t2
f(t)
0
1
tt
0
ε(t)
0
1
t
－ ε(t-t0)
0
－ 1
tt0
即,f(t)=ε(t) － ε(t-t0)
ε(t-t1)
0
1
tt
1
－ ε(t-t2)
0
－ 1
tt2
即,f(t)'=ε(t-t1) － ε(t-t2)
8.3.2 单位阶跃响应已知电路中 u=5·1(t-2)V,uC(0+)=10V,求电路的阶跃响应 i。
当激励为单位阶跃函数 ε(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用 S(t)表示。
＋
－
u
R=2Ω
C=1F uC(0+)_＋
i
零状态响应分两部分,先求 uC(0+)单独作用下的初始值：
A)(15)(1210)'0( tti
A)2(15.22 )2(15')'0( tti
再求 u单独作用下的初始值：
sRC 212
时间常数 τ,
A)2(15.2)(15')'()'()( )2(5.05.0 tetetititi tt
应用叠加定理求得响应：
思考 练习
1.单位阶跃函数是如何定义的？其实质是什么？它在电路分析中有什么作用？
2.说说 (-t),(t+2)和 (t-2)各对应时间轴上的哪一点？ 。
3.试用阶跃函数分别表示下图所示的电流和电压。
i/A
0
2
t/s2 3
1
1 4
u/V
0
2
t/s2 3
1
1 4
V)4()3()1()()(
A)4()3()1(2)(
tttttu
tttti
8.4 二阶电路的零输入响应学习目标：
前面讨论的一阶电路中只含有一个动态元件,
而含有两个储能元件的电路,往往需用二阶线性常微分方程来描述,因此称为二阶电路 。
了解二阶电路的概念，熟悉二阶零输入响应的三种情况 。
R
＋
S
uC－（ t=0） ＋ －uR
C
＋i0
uL
－
LU0
图示 RLC串联的零输入响应电路,已知 uC(0+)=uC(0-)=U0，
电流 i(0+)=i(0-)=I0,电路在 t=0时开关闭合,其过渡过程可描述为
0CC2 C
2
udtduRC
dt
udLC
显然此式是一个以 uC为变量的二阶线性齐次微分方程式，其特征方程为,LCS2+RCS+1=0
特征方程 LCS2+RCS+1=0中的
2
0
21
22
LCL
R
L
RS
LCL
R 1
2 0,其中：
，）、，（即当电路中出现,00 2 CLR
时，）及，（即）、（即 02 2 0 RCLRCLR
电路的响应各不相同。
1.当
C
LR 2? 时，电路出现“过阻尼”情况，响应的波形为：
uc
ic
tm
2tm t
U0
0 u
L
在“过阻尼”状态下，电容电压单调衰减最终趋于零，始终处于放电状态，放电电流由零增大；对应 tm
时刻达到最大，之后衰减到零。显然，这种情况下
uC和 i是非振荡的，没有正、负交替状况 。电路中的原始能量全部消耗在电阻上。
2.当
C
LR 2? 时，电路出现“欠阻尼”情况，响应的波形为：
2tm
在,欠阻尼,状态下，电容电压和电路中的充、
放电电流均为减幅振荡。显然，这种情况下电场和磁场交替建立和释放，能量随着在电阻上的消耗越来越少直至消耗完毕 。
t
U0
0
uc
ic
tm
3.当
C
LR 2? 时，电路中的电压和电流仍是非振荡的但此状态下电路响应 临近 振荡，因此称为“临界阻尼”
状态。
4.当 0?R 时，电路出现“等幅振荡”情况。因为此时电路中没有消耗的因素，能量在 L和 C之间进行完全补偿交换，即在电场和交换的过程中能量始终不变，因此，这种情况属于一种理想状况。
思考 回答
1.二阶电路的零输入响应有几种情况？各种情况下响应的条件是什么？
8.2 一阶电路的暂态分析
8.1 换路定律 8.4 二阶电路的零输入响应
8.3 一阶电路的阶跃响应本章教学目的及要求了解“暂态”与“稳态”之间的区别与联系；熟悉“换路”这一名词的含义；牢固掌握换路定律；理解暂态分析中的“零输入响应”、“零状态响应”“全响应”及“阶跃响应”等概念；
充分理解一阶电路中暂态过程的规律；
熟练掌握一阶电路暂态分析的三要素法；
了解二阶电路自由振荡的过程。
8.1 换路定律学习目标,了解暂态分析中的一些基本概念；理解
,换路,的含义；熟悉换路定律的内容及理解其内涵，初步掌握其应用。
8.1.1 基本概念
1.状态变量,代表物体所处状态的可变化量称为状态变量。如电感元件的 iL及电容元件的 uC。
2.换路,引起电路工作状态变化的各种因素。如：电路接通、断开或结构和参数发生变化等。
3.暂态,动态元件 L的磁场能量 WL=1/2LI2和 C的电场能量 WC=1/2CUC2，在电路发生换路时必定产生变化，由于这种变化持续的时间非常短暂，通常称为“暂态”。
4.零输入响应,电路发生换路前，动态元件中已储有原始能量。换路时，外部输入激励为零，仅在动态元件原始能量作用下引起的电路响应。
5.零状态响应,动态元件的原始储能为零，仅在外部输入激励的作用下引起的电路响应。
6.全响应,电路中既有外部激励，动态元件的原始储能也不为零，这种情况下换路引起的电路响应。
8.1.2 换路定律由于能量不能发生跃变，与能量有关的 iL和 uC，
在电路发生换路后的一瞬间，其数值必定等于换路前一瞬间的原有值不变。
换路定律用公式可表示为：
)0()0(
)0()0(
CC
LL
uu
ii
换路发生在 t=0时刻,(0-)为换路前一瞬间，该时刻电路 还未换路 ； (0+)为换路后一瞬间，此时刻电路 已经换路 。
暂态过程产生的原因电阻元件是耗能元件，其电压、电流在任一瞬间均遵循欧姆定律的即时对应关系。因此，电阻元件上不存在暂态过程。
(t = 0)
US_
＋
S
R
I
I
t 0
电阻电路电感元件是储能元件，其电压、电流在任一瞬间均遵循微分 (或积分 )的动态关系。它储存的磁能
(t = 0)
US_
＋
S
L
iL
iL
t 0
RUS
R
2
L0L 2
1 LidtuiW t
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。
R-L电路电容元件也是储能元件，其电压、电流在任一瞬间也遵循微分 (或积分 )的动态关系。它储存的电能
2
C0C 2
1 CudtuiW t
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路也存在过渡过程。
(t = 0)
US_
＋
S
C
iC
uC
t 0
R
uC_＋
US
R-C电路
1.
2,根据换路后的等效电路，应用电路基本定律确定其它电量的初始值。
初始值 （起始值）,电路中 u,i 在 t=0+ 时的大小。
电路初始值的确定根据换路前一瞬间的电路，应用电路基本定律确定 iL(0+）和 uC(0+）。
已知 iL(0? ) = 0,uC(0?) = 0，试求 S 闭合瞬间，
电路中所标示的各电压、电流的初始值。
(t = 0)
_
＋
S
0.1H
u2
u1
20Ω
10Ω
1μF
20V
iC
_
＋
_＋
i
iL
uL_
＋
uC_＋ 根据换路定律可得：
可得 t = 0+时等效电路如下
iL(0+) = iL(0–) = 0,相当于 开路
uC(0+) = uC(0–) = 0,相当于 短路
_
＋
S
0.1H
u2
u1
20Ω
10Ω
1μF
20V
iC
_
＋
_＋
i
uL_
＋
其他各量的初始值为：
V20)0()0( 1L uu
0)0(2u
A 21020)0()0(C ii
根据换路前电路求 uC(0+）
换路前电路已达稳态,t=0时 S打开，求 iC(0+) 。
R1
＋40k10k
S
iC
uC－
i
＋
－
10V R2
V84010 4010)0()0()0( R2CC uuu
画出 t=0+等效电路图如下
R1
40k10k
S
ic(0+）
＋
－
10V R2
＋
－
8V
根据 t=0+等效电路可求得 iC(0+）为
mA2.010 810)0()0(
1
CS
C?
R
uUi
根据换路前电路求 iL(0+）
换路前电路已达稳态,t=0时 S闭合，求 uL(0+) 。
A241 10)0()0(
21
S
LL RR
Uii
画出 t=0+等效电路图如下根据 t=0+等效电路可求得 uL(0+）为
V842)0()0( 2LL Riu
R1
＋
1Ω
S
iL
uL
－
＋
－
10V
R2
4Ω R1
＋1Ω
S uL－
＋
－
10V
R2
4Ω
iL(0+）
uL(0+)为负值，说明它的真实方向与图上标示的参考方向相反，即 与 iL(0+)非关联，实际向外供出能量 。
1,由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)；
求初始值的一般步骤
2,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)；
3,画出 t=0+的等效电路图：
uC(0+)=0时相当短路； uC(0+)≠0时相当 电压源；
iL(0+)=0时相当开路； iL(0+)≠0时相当 电流源；电压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、电感电流的参考方向应保持相同。
4,由 t=0+的等效电路图进而求出其它响应的 0+值。
8.2 一阶电路的暂态分析学习目标,理解一阶电路暂态分析中响应的规律；深刻理解时间常数 τ 的概念及物理意义；牢固掌握一阶电路的三要素法。
8.2.1 一阶电路的零输入响应
1,RC电路的零输入响应只含有一个因变量的一阶微分方程描述的电路，
称为 一阶电路 。
R
＋
1 S
iC (0+)
uC(0+）
－
t=0＋
－
US C
2
左图所示电路在换路前已达稳态。 t=0时开关由位置 1迅速投向位置 2，之后由 uC (0+)
经 R引起的电路响应称为 RC电路的零输入响应 。
R
＋
1 S
iC (0+)
uC(0+）
－
t=0＋
－
US C
2
根据 RC零输入响应电路可列写出电路方程为：
0 CC udtduRC
这是一个一阶的常系数齐次微分方程，对其求解可得：
RC
tt
eUeutu SCC )0()(?
式中的 τ=RC称为一阶电路的 时间常数 。如果让电路中的 US不变而取几组不同数值的 R和 C，观察电路响应的变化可发现,RC值越小，放电过程进行得越快； RC值越大，放电过程进行得越慢，这说明 RC
放电的快慢程度取决于时间常数 τ — R和 C的乘积。
式中 R用 Ω,C用 F时，时间常数 τ的单位是秒 [s]。
如果我们让上式中的时间 t 分别取 1τ,2τ 直至 5τ,
可得到如下表所示的电容电压在各个时刻的数值：
RC
tt
eUeutu SCC )0()(?
1τ 2τ 3τ 4τ 5τ
e-1
0.368US
e-2
0.135US
e-3
0.050US
e-4
0.018US
e-5
0.007US
由表可知，经历一个 τ的时间，电容电压衰减到初始值的 36.8%；经因两个 τ 的时间，电容电压衰减到初始值的 13.5%； 经历 3~5τ 时间后，电容电压的数值已经微不足道，虽然理论上暂态过程时间为无穷，
但在 工程上一般认为 3~5τ 暂态过程基本结束 。
RC过渡过程中响应的规律可以用曲线来描述,
t
iCuC
iC
uC
US
iC(0+)
0 τ
0.368US
RC过渡过程响应的波形图告诉我们：它们都是按指数规律变化，其中电压在横轴上方，电流在横轴下方，说明二者方向上非关联，电容放电电流为：
RC
tRC
t
e
R
u
dt
eU
C
dt
du
Ci
)0(CSC
C
1,RL电路的零输入响应 左图所示电路在换路前已达稳态。 t=0时开关闭合，之后电流源不起作用，暂态过程在
R和 L构成的回路中进行，仅由
iL (0+) =I0在电路中引起的响应称为 RL电路的零输入响应 。
R
＋
SIS uL－t=0
＋ －uR
L
I0
根据 RL零输入响应电路可列写出电路方程为：
0 dtdiLRi
若以 iL为待求响应，可得上式的解为：
tLRt eieIti )0()(
L0L?
式中
tLRt eieIti )0()(
L0L?
称为 RL一阶电路的 时间常数,其大小
R
L
同样反映了 RL一阶电路暂态过程进行的快慢程度。
tLReRI
dt
diLtu
0
L
L )(
电感元件两端的电压：
电路中 响应的波形图如左下图所示：
t
iLuL
uL
iL
I0R
iL(0+)
0 τ
0.368I0
0.632I0R 显然 RL一阶电路的零输入响应规律也是 指数规律 。
1.一阶电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减到零的，这实际上反映了在没有电源作用下，储能元件的原始能量逐渐被电阻消耗掉的物理过程；
一阶电路的零输入响应分析归纳
2.零输入响应取决于电路的原始能量和电路的特性，
对于一阶电路来说，电路的特性是通过时间常数 τ
来体现的；
3.原始能量增大 A倍，则零输入响应将相应增大 A倍，
这种原始能量与零输入响应的线性关系称为零输入线性。
8.2.2 一阶电路的零状态响应
1,RC电路的零状态响应
RC电路的零状态响应和零输入响应一样，都是按指数规律变化，显然这个暂态过程是电容元件的充电过程：充电电流 iC按指数规律衰减；电容电压 uC按指数规律增加，用曲线可描述为：
图示电路在换路前电容元件的原始能量为零,t=0时开关 S闭合之后电容上电压、电流的变化称为 RC电路的零状态响应 。
R
＋
S
iC
uC
－
t=0＋
－
US C
t
iCuC
iC
uC
US
iC(0+)
0
0.632US
τ
显然在 RC充电电路中，
电容元件上的电压与电流 方向关联,元件向电路 吸取电能建立电场 。
RC零状态响应 电路中的计算公式
R
＋
S
iC
uC
－
t≥0＋
－
US C
由 RC零状态响应电路图可得过渡过程结束时电容的极间电压 (即 换路后的新稳态值 )
SC )( Uu
则电容电压的零状态响应为：
)1()1)(()( SCC RC
tt
eUeutu
电容支路电流的零状态响应：
dt
eud
C
dt
du
Cti
RC
t
)]1)(([
)( CCC
2,RL电路的零状态响应图示电路在换路前电感元件上的原始能量为零,t=0时开关 S闭合。
之后电感上电压、电流的变化称为
RL电路的零状态响应 。
R
＋
S
iL
uL
－
t=0＋
－
US L
＋ uR －
RL电路的零状态响应也是按指数规律变化。其中元件两端的电压 uL按指数规律衰减 (即只存在过渡过程中 )；电感电流 iL按指数规律上升；电阻电压 UR=iR按指数规律增长，用曲线可描述为：
显然，在 RL零状态响应电路中，电感元件是 建立磁场 的过程，因此其电压、电流 方向关联 。 t
iCuC
iL
uL
US
US/R
0
0.368US
τ
uR
0,632US/R
RL零状态响应 电路中的计算公式
RL零状态响应电路换路结束时电感电流的 新稳态值：
R
Ui S
L )(
因此电感电流的零状态响应为：
)1()1)(()( SLL?
t
L
Rt
e
R
Ueiti
电感元件自感电压的零状态响应：
dt
eid
L
dt
di
Ltu
L
Rt
)]1)(([
)( LLL
S
t≥0
R
＋
iL
uL
－
＋
－
US L
＋ uR －
1.一阶电路的零状态响应也是随时间按指数规律变化的。其中电容电流和电感电压均随时间按指数规律衰减，因为它们只存在于过渡过程中；而电容电压和电感电流则按指数规律增长，这实质上反映了动态元件建立磁场或电场时吸收电能的物理过程；
一阶电路的零状态响应分析归纳
2.零状态响应取决于电路的独立源和电路本身特性，
也是通过时间常数 τ来体现其特性的。 RL一阶电路的时间常数 τ=L/R；
3.在零状态响应公式中的 (∞)符号，代表换路后的新稳态值，根据电路的不同情况一般稳态值也各不相同。
8.2.3 一阶电路的全响应电路中既有外输入激励 (即有独立源的作用 )，动态元件上又存在原始能量 (换路前 uC和 iL不为零 )，当电路发生换路时,在外激励和原始能量的共同作用下所引起的电路响应称为全响应 。
上述两电路为 RC和 RL典型的一阶全响应电路。
R1
＋
S
iC
uC－
（ t=0）＋
－
US C R2
R2
＋
S
iL
uL
－
(t=0)
＋
－
US L
R1
RC和 RL全响应电路的解可表示为：
全响应 = 零输入响应 ＋ 零状态响应图示电路在换路前已达稳态，且 UC(0-)=12V，试求 t ≥ 0时的 uC(t）和 iC(t)。
＋
S
iC
uC－
（ t=0）＋
－
2KΩ1mF
1KΩ
9V
根据换路定律可得
V12)0()0( CC uu
电路的时间常数 τ
s32101032)//( 3-321 CRR?零输入响应 uC(t)',
V12)0()'( 5.1CC t
t
eeutu
以电容电压为例，让其零输入响应用 uC(t)'表示；
uC(t)"表示零状态响应，则有：
')'()'()( CCC tututu
V66')'()'()( 5.1CCC tetututu
全响应 uC(t)：
mA9)66(101)()( 51
5.1
3
C
t.-
t
C e
dt
ed
dt
tduCti
电容电流的全响应 iC(t)：
电容电压的稳态值：
V621 29)(Cu
零状态响应 uC(t)"：
V)1(6')'( 5.1C tetu
由全响应结果可以看出，前面的常数 6为稳态分量，
后一项按指数规律变化的为暂态分量，因此,
全响应 =稳态分量 +暂态分量为什么 iC只有暂态分量而没有稳态分量？
如用 f (t) 表示电路的响应,f (0+)表示响应的初始值,f (∞) 表示响应的稳定值,τ 表示电路的时间常数，则电路的全响应可表示为：
8.2.4 一阶电路暂态分析的三要素法上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、
电流响应的三要素公式。
0)()0()()( teffftf
t
式中初始值 f (0+)、稳态值 f (∞) 和时间常数 τ称为一阶电路的三要素，按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。
由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。
显然，应用三要素法求解一阶电路的响应时，只要求出其初始值、稳态值及时间常数 τ,代入三要素法公式中即可。
已知图中 U1 = 3 V,U2 = 6 V,R1= 1 k?,R2 = 2 k?,C =
3?F,t < 0 时电路已处于稳态。用三要素法求 t ≥ 0 时的
uC(t)，并 画出变化曲线 。
R1
＋
S
iC
uC－
（ t=0）＋
－
U1 C R2＋
－
U2
先确定初始值 uC(0+)：
V2)0()0(
V2
21
23
)0(
21
12
CC
C
uu
RR
UR
u?
再确定稳态值 uC(?)：
V421 26)(
21
22?
RR
URu
C
最后确定时间常数 τ,
ms21021 21103 36
21
21
RR
RRC?
将初始值、稳态值及时间常数代入三要素公式可得
V2-4]42[4)]()0([)()( 500500 tt
t
CCCC eeeuuutu
电容电压的变化曲线为：
uC/V
uC(t)
0
0.632uC(t)
τ
2V
4V
2τ 3τ 4τ 5τ
应用三要素法求解响应的步骤：
1,确定初始值 f (0+)
初始值 f(0+)是指任一响应在换路后瞬间 t=0+ 时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法完全一样。
先作 t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或
iL(0-),这个状态即为 t＜ 0阶段的稳定状态，因此，
此时电路中电容 C视为开路，电感 L用短路线代替。
再作 t=0+等效电路。这是利用换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若 uC(0+)=U0,iL(0+)=I0，
在此电路中 C用电压源 U0代替,L用电流源 I0代替 ;
若 uC(0+) =0 或 iL(0+)=0，则 C用短路线代替,L视为开路。作 t=0+ 等效电路后，即可按一般电阻性电路来求解其它响应的初始值。
2,确定稳态值 f (∞)
作 t=∞的等效电路，暂态过程结束后，电路进入新的稳态，用此时的电路确定响应的稳态值 f(∞) 。
在此电路中，电容 C视为开路，电感 L视为短路，
可按一般电阻性电路来求各响应的稳态值。
3,确定时间常数 τ
RC电路中,τ=RC； RL电路中,τ=L/R；其中 R等于,将电路中所有独立源置零后，从 C或 L两端看进去的等效电阻,(即戴维南等效电源中的 R0)。
参看课本 P121页例题 8.5 。
8.3 一阶电路的阶跃响应学习目标：
8.3.1 单位阶跃函数
ε(t)的波形如右图示，它在 (0-,0+)
时域内发生了单位阶跃。
单位阶跃函数用 ε(t)表示,其定义如下：
理解单位阶跃函数的概念及物理意义，
明确单位阶跃响应的实质，了解单位阶跃响应在电路分析中的作用 。
ε(t) =
0 t≤ 0-
1 t≥ 0+
ε(t)
0
1
t
注意,ε(t) 在 t=0处不连续，函数值由 0跃变到 1。
单位阶跃既可以表示电压，也可以表示电流，通常在电路中用来表示开关在 t=0时的动作。
单位阶跃 ε(t)实质上反映了电路在 t=0时刻 把一个零状态电路与一个 1V或 1A的独立源相接通的 开关动作 。
＋
－
US
S
（ t=0） 零状态电路
＋
－
ε(t)
零状态电路
IS S
（ t=0）
零状态电路
ε(t) 零状态电路
ε(t-t0)的波形如右图示：
如果阶跃发生在 t=t0时刻,则可认为是 ε(t)在时间上延迟了 t0后得到的结果,此时的阶跃称为 延时单位阶跃,记作：
ε(t-t0) =
0 t < t0
ε(t-t0)
0
1
t
注意,ε(t-t0) 在 t0处不连续，函数值由 0跃变到 1。
1 t > t0
t0
下图所示矩形脉冲波 f(t)，根据阶跃函数的原理，可以将其看作是由一个 ε(t)与一个 ε(t-t0)的合成波：
f(t)'
0
1
tt
1 t2
f(t)
0
1
tt
0
ε(t)
0
1
t
－ ε(t-t0)
0
－ 1
tt0
即,f(t)=ε(t) － ε(t-t0)
ε(t-t1)
0
1
tt
1
－ ε(t-t2)
0
－ 1
tt2
即,f(t)'=ε(t-t1) － ε(t-t2)
8.3.2 单位阶跃响应已知电路中 u=5·1(t-2)V,uC(0+)=10V,求电路的阶跃响应 i。
当激励为单位阶跃函数 ε(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用 S(t)表示。
＋
－
u
R=2Ω
C=1F uC(0+)_＋
i
零状态响应分两部分,先求 uC(0+)单独作用下的初始值：
A)(15)(1210)'0( tti
A)2(15.22 )2(15')'0( tti
再求 u单独作用下的初始值：
sRC 212
时间常数 τ,
A)2(15.2)(15')'()'()( )2(5.05.0 tetetititi tt
应用叠加定理求得响应：
思考 练习
1.单位阶跃函数是如何定义的？其实质是什么？它在电路分析中有什么作用？
2.说说 (-t),(t+2)和 (t-2)各对应时间轴上的哪一点？ 。
3.试用阶跃函数分别表示下图所示的电流和电压。
i/A
0
2
t/s2 3
1
1 4
u/V
0
2
t/s2 3
1
1 4
V)4()3()1()()(
A)4()3()1(2)(
tttttu
tttti
8.4 二阶电路的零输入响应学习目标：
前面讨论的一阶电路中只含有一个动态元件,
而含有两个储能元件的电路,往往需用二阶线性常微分方程来描述,因此称为二阶电路 。
了解二阶电路的概念，熟悉二阶零输入响应的三种情况 。
R
＋
S
uC－（ t=0） ＋ －uR
C
＋i0
uL
－
LU0
图示 RLC串联的零输入响应电路,已知 uC(0+)=uC(0-)=U0，
电流 i(0+)=i(0-)=I0,电路在 t=0时开关闭合,其过渡过程可描述为
0CC2 C
2
udtduRC
dt
udLC
显然此式是一个以 uC为变量的二阶线性齐次微分方程式，其特征方程为,LCS2+RCS+1=0
特征方程 LCS2+RCS+1=0中的
2
0
21
22
LCL
R
L
RS
LCL
R 1
2 0,其中：
，）、，（即当电路中出现,00 2 CLR
时，）及，（即）、（即 02 2 0 RCLRCLR
电路的响应各不相同。
1.当
C
LR 2? 时，电路出现“过阻尼”情况，响应的波形为：
uc
ic
tm
2tm t
U0
0 u
L
在“过阻尼”状态下，电容电压单调衰减最终趋于零，始终处于放电状态，放电电流由零增大；对应 tm
时刻达到最大，之后衰减到零。显然，这种情况下
uC和 i是非振荡的，没有正、负交替状况 。电路中的原始能量全部消耗在电阻上。
2.当
C
LR 2? 时，电路出现“欠阻尼”情况，响应的波形为：
2tm
在,欠阻尼,状态下，电容电压和电路中的充、
放电电流均为减幅振荡。显然，这种情况下电场和磁场交替建立和释放，能量随着在电阻上的消耗越来越少直至消耗完毕 。
t
U0
0
uc
ic
tm
3.当
C
LR 2? 时，电路中的电压和电流仍是非振荡的但此状态下电路响应 临近 振荡，因此称为“临界阻尼”
状态。
4.当 0?R 时，电路出现“等幅振荡”情况。因为此时电路中没有消耗的因素，能量在 L和 C之间进行完全补偿交换，即在电场和交换的过程中能量始终不变，因此，这种情况属于一种理想状况。
思考 回答
1.二阶电路的零输入响应有几种情况？各种情况下响应的条件是什么？
