第 4章 相量分析法
4.1 复数及其运算
4.3 相量分析法
4.4 复功率
4.2 相量和复阻抗本章学习目的及要求熟悉复数的几种表达方式及其加减乘除运算规则；掌握正弦量的相量表示法、相量的性能及其运算方法；
掌握复阻抗和复导纳的概念；学会用相量图进行正弦量的辅助分析；正确理解正弦交流电路中几种功率的分析。
4.1 复数及其运算学习目标,复数的运算是相量分析的基础，了解复数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，理解复数进行加减乘除运算的规则。
4.1.1 复数及其表示方法复数 A在复平面上是一个点，
＋ j
0?
a2
＋ 1
a1
A
原点指向复数的箭头称为它的 模,
模 a与正向实轴之间的夹角称为复数 A的 幅角 ；
A在实轴上的投影是它的 实部 ； A在虚轴上的投影称为其 虚部 。 复数 A的 代数表达式 为,A=a1+ja2
由图又可得出复数 A的模值 a和幅角 ψ 分别为：
1
22
2
2
1 a r c t a n a
aaaa，
a
由图还可得出复数 A与模复数还可以表示为 指数形式 和 极坐标形式,
41.53s i n5
31.53c o s5
2
1
a
a
又可得到复数 A的 三角函数式 为：
＋ j
0?
a2
＋ 1
a1
A
a a及幅角 ψ 之间的关系为
A=acosψ +jasinψ
A=ae jψ 或 A=a /ψ
复数的几种表示方法可以相互转换。
已知复数 A的模 a=5，幅角 ψ =53.1°,试写出复数 A的极坐标形式和代数形式表达式。
极坐标形式为,A=5/53.1°
s i n
c o s
2
1
aa
aa
代数表达形式 为,A=3+j4
4.1.2 复数运算法则显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；
复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。
设有两个复数分别为：
A,B加、减、乘、除时的运算公式
21
21
jbbbB
jaaaA
b
a
/
/
ba
ba
b
a
B
A
abBA
bajbaBA
bajbaBA
/
/
)()(
)()(
2211
2211
在复数运算当中，一定要根据复数所在象限正确写出幅角的值。如：
)1 8 03/4( a r c t a n9.1 2 6/5 43
)3/4a r c t a n1 8 0(9.1 2 6/5 43
)3/4a r c t a n(1.53/5 43
)3/4( a r c t a n1.53/5 43
AjA
AjA
AjA
AjA
第三象限第二象限第四象限第一象限代数形式中虚部数值前面的 j是旋转因子,一个复数乘以 j相当于在复平面上逆时针旋转 90° ；除以 j相当于在复平面上顺时针旋转 90° （数学课程中旋转因子是用 i表示，电学中为了区别于电流而改为 j)。
1,已知复数 A=4+j5,B=6-j2。试求 A+B、
A-B,A× B,A÷ B。
2,已知复数 A=17/24°,B=6/-65° 。试求
A+B,A-B,A× B,A÷ B。
7.69/01.1)4.18(3.51/32.64.6
9.32/4.40)4.18(3.51/32.64.6
4.18/32.626 3.51/4.654
1 0 6/28.772)]2(5[)64(
7.16/4.10310)25()64(
BA
BA
jBjA
jjBA
jjBA
第 2题自己练习。
4.2 相量和复阻抗学习目标,了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相量表示法；初步了解相量图的画法；掌握复阻抗的概念。
4.2.1 相量与正弦量相对应的复电压和复电流称之为 相量 。
为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号,·”。
例如 正弦量 i=14.1sin(ωt+36.9° )A，若用相量表示，
其最大值相量为：
A9.36/1.14 mI
有效值相量为,A9.36/10I
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需对应正弦量的两要素即可。即 模值 对应正弦量的 有效值 （或最大值）,幅角 对应正弦量的 初相 。
按照各个正弦量的 大小 和 相位 关系用 初始位置的有向线段 画出的若干个相量的图形，称为 相量图 。
把它们表示为相量，并且画在相量图中。例
，,222111 s i n2 s i n2 tUutUu已知用有效值相量表示，即,U1 = U1 ψ1
U2 = U2 ψ2画在相量图中：
1?
2?
U2
U1
也可以把复平面省略，直接画作
1?
2?
U2
U1
虚线可以不画利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正弦量之间的加、减运算及其电路分析。
U
。，求,21222111 s i n2 s i n2 uuutUutUu
利用相量图辅助分析，
1?
2?
U2
U1
根据平行四边形法则，
由相量图可以清楚地看出：
2211
2211
2
2211
2
2211
c osc os
s i ns i n
a r c t a n
)s i ns i n()c osc os(
UU
UU
UUUUU
U1cosψ1+U2cosψ 2
U1sinψ1+U2sinψ 2
利用相量图分析计算 同频率正弦量 之间的加、减运算，显然能起到 化隐含为浅显的目的,根据相量与正弦量之间的 对应 关系,u=Umsin(ωt +φ)
4.2.2 复阻抗如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用复数表示时，我们称之为复数形式的电阻电抗，简称 复阻抗 。各元件复阻抗的代数形式如下：
，只有虚部没有实部。单一电容元件的复阻抗
，只有虚部没实部；单一电感元件的复阻抗
，只有实部没有虚部；单一电阻元件的复阻抗
C
L
jXZ
jXZ
RZ
如果 几个理想元件相串联 时，它们复阻抗的模和幅角可由以下三角形求出：
R
XL
|Z|
RL串联电路
R
XC
|Z|
RC串联电路 R
XL-XC
|Z|
RLC串联电路
1,把下列正弦量表示为有效值相量：
V)30c os (2220 3
V)90s i n (2220 2
A)45s i n (10 1
tu
tu
ti
）（
）（
）（
V60/220
V135/220
A45/07.7
U
U
I
思考 练习
2,指出下列各式的错误并改正：
V60/3 8 0 3
A)9.36s i n (2109.36/10 2
A)22 2 0)
4
s i n (22 2 0 1 45
U
tI
etu j
）（
）（
）（
正弦量和相量之间只有对应没有相等。
电压单位是 V！
相量上面要加符号,·”！
I
4.3 相量分析法
4.3.1,串联电路的相量模型分析
RL串相量图
UL
RC串相量图
UC
UR
UC
UC U
RLC串相量图
U
I
I
UR
UR
U
串联电路中，各元件上通过的电流相同，因此在相量分析中，应以电流为参考相量（参考相量画在正向实轴位置上）。
UL
ULC
UR
I
UL
U
RL串相量模型
UR
I
UC
U
RC串相量模型
UR
I
ULU
RLC串相量模型
UC
由相量图可以看出,RL串联电路中总电压 超前电流一个 φ角 ； RC串联电路中总电压 滞后 电流一个
φ角 ； RLC三元件相串联的电路中，若 UL>UC，则总电压 超前 电流 一个 φ角,若 UL<UC，则总 电压 滞后 电流 一个 φ角，若 UL=UC时,总电压与电流 同相,相位差 φ=0，电路出现 串联谐振 （后面专门讨论）。
I
RL串相量图
UL
RC串相量图
UC
UR
UC
UC U
RLC串相量图
U
I
I
UR
UR
U
UL
ULC
串联电路阻抗的一般表达式：
幅角。是串联电路中复阻抗的的模，称为串联电路中复阻抗其中
a r c t a n
)(
/
a r c t a n
)()(
CL
2
CL
2
CL
2
CL
2
CL
R
XX
XXRZ
Z
R
XX
XXRXXjRZ
若串联电路中只有两个元件相串联时，代入上式仍旧适用 。 参看前面的阻抗三角形 。
11
由阻抗三角形可以看出：感性电路为正三角形，
总电压超前电流；容性电路为倒三角形，总电压滞后电流；若纯电阻性时，虽然电路中含有动态元件 L和
C，仍旧会出现电压和电流同相的特殊情况，此时电路中总的复阻抗等于电阻 R。
4.3.2 并联电路的相量模型分析
IL>IC时的相量图，
电压超前总电流。
IC
U
'?
在 RLC并联电路中，各元件两端加的电压相同，因此在相量分析中，应以电压为参考相量。
IR
I
IL
U
RLC并联电路相量模型
IC
IR
IL
IC
ILC I
IL<IC时的相量图，
电压滞后总电流。
IC
U'? IR
IL
ILC I
IL
当 IL=IC时，电路出现 并联谐振,此时电路中 阻抗最大,且为 纯电阻性 。
以感性的并联电路为例，来讨论一下并联电路的 复导纳 （即电阻和电纳总的作用效果的复数表示形式），复导纳用 Y表示,Y=G+j(BC-BL）,式中的 G是电导（电阻的倒数）； BC是容纳（容抗的倒数）； BL是感纳（感抗的倒数）。
由复导纳的复数表达式又可得出：
'/
/)a r c t a n (/)( 22
Y
GBBBBGY LCLC
G
BC-BL
|Y|
'? RLC并联电路的导纳三角形显然，在感性电路中，
电路中的电纳 BL>BC，电路呈感性，导纳三角形为倒三角形；若电路呈容性，导纳三角形即为正三角形。
4.3.3 应用实例
1.据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）；
EeIiUu
jXCjXLRR CL
、、
、、
在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下：
2.根据相量模型列出相量方程式或画出相量图；
3.用相量分析法或相量图求解；
4.将结果变换成要求的形式。
例 1 下图中已知,I1=10A,UAB =100V，求：
A,UO 的读数。
解题方法有两种,1.利用复数进行相量分析；
A A B
C2
5j5
UO
C1
10j
2I?
I?1
I?
2.利用相量图分析求解。
V45/4.141100)10(10)(
A0/10101010
A45/14.14
45/07.7
0/100
55
0/100
A90/10V0/100
ABC1O
21
2
1AB
jUjXIU
jjIII
j
I
IU
则：；则，作为电路参考相量，设：
利用复数进行相量分析：
A A BC2
5j5
UO
C1
10j
2I?
I?1
I?
已知,I1=10A、
UAB =100V，
求,A,UO的读数。
A的读数是 10安培,UO的读数是 141.4伏特。
，，，
电路呈感性。，
相位差：
电路中电流有效值：
由阻抗三角形可得：
，
V1.1 4 3/8V9.36/24V1.53/21
A )1.532 5 0 0s i n (28.0
1.53)15/20(a r c t a n
A8.025/20/
25)1030(15
10
402 5 0 0
10
300 1 2.02 5 0 0
CLR
22
6
CL
UUU
ti
ui
ZUI
Z
XX
利用相量图分析求解：
例 2
UR
I
ULU
电路的相量模型
UC
R
jXL
-jXC
下图中已知 R=15Ω,L=12mH,C=40μF，端电压 u=28.3sin(2500t)V，求,i及各元件电压。
I? UR
UC
U
UL
UL+UC
由电压三角形可导出阻抗三角形为：
R
XL-XC|Z|
1,一个 110V,60W的白炽灯接到 50Hz,220V的正弦电源上，可以用一个电阻、一个电感或一个电容和它串联。试分别求所需的 R,L,C的值。如果换接到
220V直流电源上，这三种情况的结果分别如何？
思考 练习白炽灯的灯丝电阻为：
20260110'
22
N
N
P
UR
2 0 2V1 1 01 1 02 2 0R RU 同，即：，分压相同，阻值也相白炽灯和电阻相串联时，电路为纯电阻性质，因此总电压有效值等于两个分电压有效值之和，所以：
H11.1
314545.0
191
V191110220 A545.0
110
60
L
22
L
I
U
L
U
U
P
I
N
N,
白炽灯和电感相串联时，电路为 RL串联，有：
)
11
(
1
)()2(
)(s i n2/u ( t )
)
1
()1(
CL
LC
XX
j
R
Y
BBGYR L C
tIZ
C
LjRZR L C
i
，并联电路：
，串联电路：
μF09.9314191 545.0 V191110220
C
22
CU
ICU,
白炽灯和电容相串联时，电路为 RC串联，有：
如果换接到 220V直流电源上，电阻的情况不变；
但直流电路中电感元件相当于短路，所以无论接多大的电感,220V电压都会全部加在白炽灯上，白炽灯就会因过电压而烧损；电容元件在直流电路中相当于开路，因此无论接多大的电容，白炽灯中均无电流。
2.判断下列结论的正确性：
4.4 复功率学习目标,正确区分正弦电路中的瞬时功率、有功功率、无功功率、视在功率、复功率和功率因数的概念，熟练掌握其分析计算的方法。
4.4.1 正弦交流电路中的功率设一个无源二端网络的端口电压、电流为：
u=Umsin(ω t+ψ u)
i=Imsin(ω t+ψ i)
1,电路吸收的瞬时功率：
)](2s i n [s i n)](2c o s [1c o s
)22s i n (s i n)22c o s (c o sc o s
)22c o s (c o s
)2c o s ()c o s (
)s i n (2)s i n (2
uu
uu
u
iuiu
iu
tUItUI
tUItUIUI
tUIUI
tUIUI
tItUuip
上式说明瞬时功率有两个分量，第一项与电阻元件的瞬时功率相似，始终大于或等于零，是 网络吸收能量 的瞬时功率，其平均值为 UIcos φ 。第二项与电感元件或电容元件的瞬时功率相似，其值正负交替，是 网络与外部电源交换能量 的瞬时功率，它的最大值为 UIsin φ 。
2,电路吸收的平均功率：
平均功率也就是有功功率，数值上等于瞬时功率在一个周期内的平均值，即：
c o s 1 0 UIp d tTP T3,电路吸收的无功功率：
无功功率反映了,只交换而不消耗”的电路现象，
其中“无功”二字不能理解为“无用”，感性电路中的无功功率就是吸收电能建立磁场的那部分功率，用 QL表示，恒为正值；容性电路中的无功功率是建立电场储存电能的那部分功率用 QC表示，即：
s i nCL UIQQQQ的单位是乏尔（ var)
QL和 QC一正一负，说明两元件之间的无功功率具有 相互补偿作用，即 L建立磁场时 C恰逢放电，
C建立电场时 L恰逢释放磁场能，
L和 C之间的能量交换可以互补 。
电力设备的容量一般由其额定电压和额定电流的乘积来决定，称为视在功率，用 S表示：
222CL2 )( QPQQPUIS
为了区别于有功功率和无功功率，视在功率的单位用
“伏安 (VA)”或“千伏安 (KVA)”。
由上式又可看出视在功率 S和有功功率 P、无功功率 Q三者之间存在着相当勾股弦定理的数量关系，因此可以把这种数量关系用一个三角形来表示：
P
QL-QCS
显然功率三角形和阻抗三角形、
电压三角形是相似三角形。
只有电阻元件上才消耗有功功率！
P
QL-QCS
4.4.2 复功率根据功率三角形可以导出复功率：
*
2
CL
2
//
)/a r c t a n (/)(
s i nc o s/
IUUIUI
PQQQP
j U IUIjQPSS
iu
复功率是一个辅助计算功率的复数，它的模是视在功率，它的辐角的余弦等于电路中总电压与电流之间的相位差角，其实部是有功功率，虚部是无功功率复功率将正弦稳态电路的三个功率统一在一个公式中，只要计算出电路中的电压相量和电流相量，各种功率就可以很方便的计算出来。复功率的单位仍用视在功率的单位 【 VA】 。
4.4.3 功率因数的提高
c o s c o sc o s SPSUIP 可得：：由功率因数是电力技术经济中的一个重要指标。负载功率因数过低，电源设备的容量不能得到充分利用；另外在功率一定、电压一定的情况下，负载功率因数越低，则通过输电线路上的电流 I=P/(Ucosφ)越大，因此造成供电线路上的功率损耗增大。显然，提高功率因数对国民经济的发展具有非常重要的意义。 提高功率因数的意义是什么？如何提高？
提高功率因数的意义：
1,提高发配电设备的利用率；
2,减少输电线上的电压降和功率损失。
尽量减少感性设备的空载和轻载，或在感性设备两端并联适当的电容。
A66.860s i n10s i n
s i ns i n
A5.5220105.79314
11
11C
6
C
I
III
CUI
一台功率为 1.1kW的感应电动机,接在 220V,50 Hz的电路中,电动机需要的电流为 10A,求,(1)电动机的功率因数；
(2)若在电动机两端并联一个 79.5μF的电容器,电路的功率因数为多少？
（ 1）
60 5.010220 10001.1c o s 1,UIP
（ 2） 设未并联电容前电路中的电流为 I1；并联电容后，
电动机中的电流不变，仍为 I1，但电路中的总电流发生了变化，由 I1变成 I。电流相量关系为：
画电路相量图分析：
C1 III
U
I
IC
co sco s 11 II?
I1
11sin?I
1?
IC
sinI
8 4 5.0c o s
3.325 3 5.0a r c s i n
5 3 5.0
91.5
16.3
s i n
A91.516.35
A55.01060c o s10c o s
A16.35.566.8s i n
X
22
11
C11X
I
I
I
I
III
U
I
IC
co sco s 11 II?
I1
11sin?I
1?
IC
sinI
可见,电路并联了电容 C后,功率因数由原来的 0.5提高到了 0.845,电源利用率得以提高 。
。，）（；，
A03/6 V012/2 2 02
A1 0 0/8 V70/48)1(
IU
IU
1,RL串联电路接到 220V的直流电源时功率为 1.2KW,接在
220V,50 Hz的电源时功率为 0.6KW,试求它的 R,L值 。
2,判断下列结论是否正确,(1)S=I 2Z*； （ 2） S=U 2Y*
3,已知无源一端口：
试求：复阻抗,阻抗角,复功率,视在功率,有功功率,无功功率和功率因数 。
分析,RL在直流下相当纯电阻,所以 R=2202÷ 1200≈40.3Ω;
工频下：
mH129.0
31486.3
156
V;156)3.4086.3(220A86.3
3.40
600
L
22
L
I
U
L
U
R
P
I,
复功率 S=48× 8/70° -100° =384/-30° ≈333-j192(VA); S=384VA
φ=-30° (电路呈容性 )； S=384VA； P=333W； Q=192var;
cosφ=cos(-30° )=0.866 自练 (2)
解 (1),Z=48÷ 8/70° -100° =6/-30° Ω；
本章作业,习题 4.1,4.2,4.4,4.5,4.6,4.9、
4.12,4.16,4.20,4.21
4.1 复数及其运算
4.3 相量分析法
4.4 复功率
4.2 相量和复阻抗本章学习目的及要求熟悉复数的几种表达方式及其加减乘除运算规则；掌握正弦量的相量表示法、相量的性能及其运算方法；
掌握复阻抗和复导纳的概念；学会用相量图进行正弦量的辅助分析；正确理解正弦交流电路中几种功率的分析。
4.1 复数及其运算学习目标,复数的运算是相量分析的基础，了解复数的代数式、三角式和极坐标式及其相互转换，理解复数进行加减乘除运算的规则。
4.1.1 复数及其表示方法复数 A在复平面上是一个点，
＋ j
0?
a2
＋ 1
a1
A
原点指向复数的箭头称为它的 模,
模 a与正向实轴之间的夹角称为复数 A的 幅角 ；
A在实轴上的投影是它的 实部 ； A在虚轴上的投影称为其 虚部 。 复数 A的 代数表达式 为,A=a1+ja2
由图又可得出复数 A的模值 a和幅角 ψ 分别为：
1
22
2
2
1 a r c t a n a
aaaa，
a
由图还可得出复数 A与模复数还可以表示为 指数形式 和 极坐标形式,
41.53s i n5
31.53c o s5
2
1
a
a
又可得到复数 A的 三角函数式 为：
＋ j
0?
a2
＋ 1
a1
A
a a及幅角 ψ 之间的关系为
A=acosψ +jasinψ
A=ae jψ 或 A=a /ψ
复数的几种表示方法可以相互转换。
已知复数 A的模 a=5，幅角 ψ =53.1°,试写出复数 A的极坐标形式和代数形式表达式。
极坐标形式为,A=5/53.1°
s i n
c o s
2
1
aa
aa
代数表达形式 为,A=3+j4
4.1.2 复数运算法则显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；
复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。
设有两个复数分别为：
A,B加、减、乘、除时的运算公式
21
21
jbbbB
jaaaA
b
a
/
/
ba
ba
b
a
B
A
abBA
bajbaBA
bajbaBA
/
/
)()(
)()(
2211
2211
在复数运算当中，一定要根据复数所在象限正确写出幅角的值。如：
)1 8 03/4( a r c t a n9.1 2 6/5 43
)3/4a r c t a n1 8 0(9.1 2 6/5 43
)3/4a r c t a n(1.53/5 43
)3/4( a r c t a n1.53/5 43
AjA
AjA
AjA
AjA
第三象限第二象限第四象限第一象限代数形式中虚部数值前面的 j是旋转因子,一个复数乘以 j相当于在复平面上逆时针旋转 90° ；除以 j相当于在复平面上顺时针旋转 90° （数学课程中旋转因子是用 i表示，电学中为了区别于电流而改为 j)。
1,已知复数 A=4+j5,B=6-j2。试求 A+B、
A-B,A× B,A÷ B。
2,已知复数 A=17/24°,B=6/-65° 。试求
A+B,A-B,A× B,A÷ B。
7.69/01.1)4.18(3.51/32.64.6
9.32/4.40)4.18(3.51/32.64.6
4.18/32.626 3.51/4.654
1 0 6/28.772)]2(5[)64(
7.16/4.10310)25()64(
BA
BA
jBjA
jjBA
jjBA
第 2题自己练习。
4.2 相量和复阻抗学习目标,了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相量表示法；初步了解相量图的画法；掌握复阻抗的概念。
4.2.1 相量与正弦量相对应的复电压和复电流称之为 相量 。
为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号,·”。
例如 正弦量 i=14.1sin(ωt+36.9° )A，若用相量表示，
其最大值相量为：
A9.36/1.14 mI
有效值相量为,A9.36/10I
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需对应正弦量的两要素即可。即 模值 对应正弦量的 有效值 （或最大值）,幅角 对应正弦量的 初相 。
按照各个正弦量的 大小 和 相位 关系用 初始位置的有向线段 画出的若干个相量的图形，称为 相量图 。
把它们表示为相量，并且画在相量图中。例
，,222111 s i n2 s i n2 tUutUu已知用有效值相量表示，即,U1 = U1 ψ1
U2 = U2 ψ2画在相量图中：
1?
2?
U2
U1
也可以把复平面省略，直接画作
1?
2?
U2
U1
虚线可以不画利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正弦量之间的加、减运算及其电路分析。
U
。，求,21222111 s i n2 s i n2 uuutUutUu
利用相量图辅助分析，
1?
2?
U2
U1
根据平行四边形法则，
由相量图可以清楚地看出：
2211
2211
2
2211
2
2211
c osc os
s i ns i n
a r c t a n
)s i ns i n()c osc os(
UU
UU
UUUUU
U1cosψ1+U2cosψ 2
U1sinψ1+U2sinψ 2
利用相量图分析计算 同频率正弦量 之间的加、减运算，显然能起到 化隐含为浅显的目的,根据相量与正弦量之间的 对应 关系,u=Umsin(ωt +φ)
4.2.2 复阻抗如果把正弦交流电路中各元件的电阻或电抗用复数表示时，我们称之为复数形式的电阻电抗，简称 复阻抗 。各元件复阻抗的代数形式如下：
，只有虚部没有实部。单一电容元件的复阻抗
，只有虚部没实部；单一电感元件的复阻抗
，只有实部没有虚部；单一电阻元件的复阻抗
C
L
jXZ
jXZ
RZ
如果 几个理想元件相串联 时，它们复阻抗的模和幅角可由以下三角形求出：
R
XL
|Z|
RL串联电路
R
XC
|Z|
RC串联电路 R
XL-XC
|Z|
RLC串联电路
1,把下列正弦量表示为有效值相量：
V)30c os (2220 3
V)90s i n (2220 2
A)45s i n (10 1
tu
tu
ti
）（
）（
）（
V60/220
V135/220
A45/07.7
U
U
I
思考 练习
2,指出下列各式的错误并改正：
V60/3 8 0 3
A)9.36s i n (2109.36/10 2
A)22 2 0)
4
s i n (22 2 0 1 45
U
tI
etu j
）（
）（
）（
正弦量和相量之间只有对应没有相等。
电压单位是 V！
相量上面要加符号,·”！
I
4.3 相量分析法
4.3.1,串联电路的相量模型分析
RL串相量图
UL
RC串相量图
UC
UR
UC
UC U
RLC串相量图
U
I
I
UR
UR
U
串联电路中，各元件上通过的电流相同，因此在相量分析中，应以电流为参考相量（参考相量画在正向实轴位置上）。
UL
ULC
UR
I
UL
U
RL串相量模型
UR
I
UC
U
RC串相量模型
UR
I
ULU
RLC串相量模型
UC
由相量图可以看出,RL串联电路中总电压 超前电流一个 φ角 ； RC串联电路中总电压 滞后 电流一个
φ角 ； RLC三元件相串联的电路中，若 UL>UC，则总电压 超前 电流 一个 φ角,若 UL<UC，则总 电压 滞后 电流 一个 φ角，若 UL=UC时,总电压与电流 同相,相位差 φ=0，电路出现 串联谐振 （后面专门讨论）。
I
RL串相量图
UL
RC串相量图
UC
UR
UC
UC U
RLC串相量图
U
I
I
UR
UR
U
UL
ULC
串联电路阻抗的一般表达式：
幅角。是串联电路中复阻抗的的模，称为串联电路中复阻抗其中
a r c t a n
)(
/
a r c t a n
)()(
CL
2
CL
2
CL
2
CL
2
CL
R
XX
XXRZ
Z
R
XX
XXRXXjRZ
若串联电路中只有两个元件相串联时，代入上式仍旧适用 。 参看前面的阻抗三角形 。
11
由阻抗三角形可以看出：感性电路为正三角形，
总电压超前电流；容性电路为倒三角形，总电压滞后电流；若纯电阻性时，虽然电路中含有动态元件 L和
C，仍旧会出现电压和电流同相的特殊情况，此时电路中总的复阻抗等于电阻 R。
4.3.2 并联电路的相量模型分析
IL>IC时的相量图，
电压超前总电流。
IC
U
'?
在 RLC并联电路中，各元件两端加的电压相同，因此在相量分析中，应以电压为参考相量。
IR
I
IL
U
RLC并联电路相量模型
IC
IR
IL
IC
ILC I
IL<IC时的相量图，
电压滞后总电流。
IC
U'? IR
IL
ILC I
IL
当 IL=IC时，电路出现 并联谐振,此时电路中 阻抗最大,且为 纯电阻性 。
以感性的并联电路为例，来讨论一下并联电路的 复导纳 （即电阻和电纳总的作用效果的复数表示形式），复导纳用 Y表示,Y=G+j(BC-BL）,式中的 G是电导（电阻的倒数）； BC是容纳（容抗的倒数）； BL是感纳（感抗的倒数）。
由复导纳的复数表达式又可得出：
'/
/)a r c t a n (/)( 22
Y
GBBBBGY LCLC
G
BC-BL
|Y|
'? RLC并联电路的导纳三角形显然，在感性电路中，
电路中的电纳 BL>BC，电路呈感性，导纳三角形为倒三角形；若电路呈容性，导纳三角形即为正三角形。
4.3.3 应用实例
1.据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）；
EeIiUu
jXCjXLRR CL
、、
、、
在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下：
2.根据相量模型列出相量方程式或画出相量图；
3.用相量分析法或相量图求解；
4.将结果变换成要求的形式。
例 1 下图中已知,I1=10A,UAB =100V，求：
A,UO 的读数。
解题方法有两种,1.利用复数进行相量分析；
A A B
C2
5j5
UO
C1
10j
2I?
I?1
I?
2.利用相量图分析求解。
V45/4.141100)10(10)(
A0/10101010
A45/14.14
45/07.7
0/100
55
0/100
A90/10V0/100
ABC1O
21
2
1AB
jUjXIU
jjIII
j
I
IU
则：；则，作为电路参考相量，设：
利用复数进行相量分析：
A A BC2
5j5
UO
C1
10j
2I?
I?1
I?
已知,I1=10A、
UAB =100V，
求,A,UO的读数。
A的读数是 10安培,UO的读数是 141.4伏特。
，，，
电路呈感性。，
相位差：
电路中电流有效值：
由阻抗三角形可得：
，
V1.1 4 3/8V9.36/24V1.53/21
A )1.532 5 0 0s i n (28.0
1.53)15/20(a r c t a n
A8.025/20/
25)1030(15
10
402 5 0 0
10
300 1 2.02 5 0 0
CLR
22
6
CL
UUU
ti
ui
ZUI
Z
XX
利用相量图分析求解：
例 2
UR
I
ULU
电路的相量模型
UC
R
jXL
-jXC
下图中已知 R=15Ω,L=12mH,C=40μF，端电压 u=28.3sin(2500t)V，求,i及各元件电压。
I? UR
UC
U
UL
UL+UC
由电压三角形可导出阻抗三角形为：
R
XL-XC|Z|
1,一个 110V,60W的白炽灯接到 50Hz,220V的正弦电源上，可以用一个电阻、一个电感或一个电容和它串联。试分别求所需的 R,L,C的值。如果换接到
220V直流电源上，这三种情况的结果分别如何？
思考 练习白炽灯的灯丝电阻为：
20260110'
22
N
N
P
UR
2 0 2V1 1 01 1 02 2 0R RU 同，即：，分压相同，阻值也相白炽灯和电阻相串联时，电路为纯电阻性质，因此总电压有效值等于两个分电压有效值之和，所以：
H11.1
314545.0
191
V191110220 A545.0
110
60
L
22
L
I
U
L
U
U
P
I
N
N,
白炽灯和电感相串联时，电路为 RL串联，有：
)
11
(
1
)()2(
)(s i n2/u ( t )
)
1
()1(
CL
LC
XX
j
R
Y
BBGYR L C
tIZ
C
LjRZR L C
i
，并联电路：
，串联电路：
μF09.9314191 545.0 V191110220
C
22
CU
ICU,
白炽灯和电容相串联时，电路为 RC串联，有：
如果换接到 220V直流电源上，电阻的情况不变；
但直流电路中电感元件相当于短路，所以无论接多大的电感,220V电压都会全部加在白炽灯上，白炽灯就会因过电压而烧损；电容元件在直流电路中相当于开路，因此无论接多大的电容，白炽灯中均无电流。
2.判断下列结论的正确性：
4.4 复功率学习目标,正确区分正弦电路中的瞬时功率、有功功率、无功功率、视在功率、复功率和功率因数的概念，熟练掌握其分析计算的方法。
4.4.1 正弦交流电路中的功率设一个无源二端网络的端口电压、电流为：
u=Umsin(ω t+ψ u)
i=Imsin(ω t+ψ i)
1,电路吸收的瞬时功率：
)](2s i n [s i n)](2c o s [1c o s
)22s i n (s i n)22c o s (c o sc o s
)22c o s (c o s
)2c o s ()c o s (
)s i n (2)s i n (2
uu
uu
u
iuiu
iu
tUItUI
tUItUIUI
tUIUI
tUIUI
tItUuip
上式说明瞬时功率有两个分量，第一项与电阻元件的瞬时功率相似，始终大于或等于零，是 网络吸收能量 的瞬时功率，其平均值为 UIcos φ 。第二项与电感元件或电容元件的瞬时功率相似，其值正负交替，是 网络与外部电源交换能量 的瞬时功率，它的最大值为 UIsin φ 。
2,电路吸收的平均功率：
平均功率也就是有功功率，数值上等于瞬时功率在一个周期内的平均值，即：
c o s 1 0 UIp d tTP T3,电路吸收的无功功率：
无功功率反映了,只交换而不消耗”的电路现象，
其中“无功”二字不能理解为“无用”，感性电路中的无功功率就是吸收电能建立磁场的那部分功率，用 QL表示，恒为正值；容性电路中的无功功率是建立电场储存电能的那部分功率用 QC表示，即：
s i nCL UIQQQQ的单位是乏尔（ var)
QL和 QC一正一负，说明两元件之间的无功功率具有 相互补偿作用，即 L建立磁场时 C恰逢放电，
C建立电场时 L恰逢释放磁场能，
L和 C之间的能量交换可以互补 。
电力设备的容量一般由其额定电压和额定电流的乘积来决定，称为视在功率，用 S表示：
222CL2 )( QPQQPUIS
为了区别于有功功率和无功功率，视在功率的单位用
“伏安 (VA)”或“千伏安 (KVA)”。
由上式又可看出视在功率 S和有功功率 P、无功功率 Q三者之间存在着相当勾股弦定理的数量关系，因此可以把这种数量关系用一个三角形来表示：
P
QL-QCS
显然功率三角形和阻抗三角形、
电压三角形是相似三角形。
只有电阻元件上才消耗有功功率！
P
QL-QCS
4.4.2 复功率根据功率三角形可以导出复功率：
*
2
CL
2
//
)/a r c t a n (/)(
s i nc o s/
IUUIUI
PQQQP
j U IUIjQPSS
iu
复功率是一个辅助计算功率的复数，它的模是视在功率，它的辐角的余弦等于电路中总电压与电流之间的相位差角，其实部是有功功率，虚部是无功功率复功率将正弦稳态电路的三个功率统一在一个公式中，只要计算出电路中的电压相量和电流相量，各种功率就可以很方便的计算出来。复功率的单位仍用视在功率的单位 【 VA】 。
4.4.3 功率因数的提高
c o s c o sc o s SPSUIP 可得：：由功率因数是电力技术经济中的一个重要指标。负载功率因数过低，电源设备的容量不能得到充分利用；另外在功率一定、电压一定的情况下，负载功率因数越低，则通过输电线路上的电流 I=P/(Ucosφ)越大，因此造成供电线路上的功率损耗增大。显然，提高功率因数对国民经济的发展具有非常重要的意义。 提高功率因数的意义是什么？如何提高？
提高功率因数的意义：
1,提高发配电设备的利用率；
2,减少输电线上的电压降和功率损失。
尽量减少感性设备的空载和轻载，或在感性设备两端并联适当的电容。
A66.860s i n10s i n
s i ns i n
A5.5220105.79314
11
11C
6
C
I
III
CUI
一台功率为 1.1kW的感应电动机,接在 220V,50 Hz的电路中,电动机需要的电流为 10A,求,(1)电动机的功率因数；
(2)若在电动机两端并联一个 79.5μF的电容器,电路的功率因数为多少？
（ 1）
60 5.010220 10001.1c o s 1,UIP
（ 2） 设未并联电容前电路中的电流为 I1；并联电容后，
电动机中的电流不变，仍为 I1，但电路中的总电流发生了变化，由 I1变成 I。电流相量关系为：
画电路相量图分析：
C1 III
U
I
IC
co sco s 11 II?
I1
11sin?I
1?
IC
sinI
8 4 5.0c o s
3.325 3 5.0a r c s i n
5 3 5.0
91.5
16.3
s i n
A91.516.35
A55.01060c o s10c o s
A16.35.566.8s i n
X
22
11
C11X
I
I
I
I
III
U
I
IC
co sco s 11 II?
I1
11sin?I
1?
IC
sinI
可见,电路并联了电容 C后,功率因数由原来的 0.5提高到了 0.845,电源利用率得以提高 。
。，）（；，
A03/6 V012/2 2 02
A1 0 0/8 V70/48)1(
IU
IU
1,RL串联电路接到 220V的直流电源时功率为 1.2KW,接在
220V,50 Hz的电源时功率为 0.6KW,试求它的 R,L值 。
2,判断下列结论是否正确,(1)S=I 2Z*； （ 2） S=U 2Y*
3,已知无源一端口：
试求：复阻抗,阻抗角,复功率,视在功率,有功功率,无功功率和功率因数 。
分析,RL在直流下相当纯电阻,所以 R=2202÷ 1200≈40.3Ω;
工频下：
mH129.0
31486.3
156
V;156)3.4086.3(220A86.3
3.40
600
L
22
L
I
U
L
U
R
P
I,
复功率 S=48× 8/70° -100° =384/-30° ≈333-j192(VA); S=384VA
φ=-30° (电路呈容性 )； S=384VA； P=333W； Q=192var;
cosφ=cos(-30° )=0.866 自练 (2)
解 (1),Z=48÷ 8/70° -100° =6/-30° Ω；
本章作业,习题 4.1,4.2,4.4,4.5,4.6,4.9、
4.12,4.16,4.20,4.21
