第 9章 非正弦周期电流电路
9.2 谐波分析和频谱
9.1非正弦周期信号
9.3 非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率
9.4 非正弦周期信号作用下的线性电路分析本章学习目的与要求了解非正弦周期量与正弦周期量之间存在的特定关系；理解和掌握非正弦周期信号的谐波分析法；明确非正弦周期量的有效值与各次谐波有效值的关系及其平均功率计算式；掌握简单线性非正弦周期电流电路的分析与计算方法。
9.1 非正弦周期信号学习目标,掌握谐波的概念，理解非正弦周期信号与各次谐波之间的关系。
9.1.1 非正弦周期信号的产生
1.电路中含有非线性元件（如二极管半波整流电路）
D
R
输入正弦波输出半波整流
2.实验室中的信号发生器或示波器中的水平扫描电压输出周期性锯齿波示波器输入正弦波
3.一个电路中同时有几个不同频率的激励共同作用时交流电源
＋ UCC
＋
uS
－
直流电源输出波为非正弦波
4.计算机内的脉冲信号
T t
9.1.2 非正弦周期信号随时间按非正弦规律变化的周期性电压和电流。定义
t
u(t)
0
上图所示的周期性方波电压，是一个典型的非正弦周期信号波，它实际上可以看作是一系列大小不同的、频率成整数倍的正弦波的合成波。
t
u(t)
0
以一个周期的情况为例进行分析：
u1
u1与方波同频率,
称为方波的基波
u3
u3的频率是方波的 3倍,
称为方波的三次谐波。
u1和 u3的合成波,
显然较接近方波
U1m
1/3U1m
t
u(t)
0
u5的频率是方波的 5倍,称为方波的五次谐波。
u13和 u5的合成波,
显然更接近方波
1/5U1m
u135
u5
由上述分析可得，如果再叠加上一个 7次谐波、
9次谐波 …… 直到叠加无穷多个，其最后结果肯定与周期性方波电压的波形相重合。
即：一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波，
叠加以后可构成一个非正弦周期波。
分析中的 u1,u3,u5等等，这些振幅不同、频率分别是非正弦周期波频率 k次倍的正弦波统称为非正弦周期波的 谐波,并按照 k是非正弦周期波频率的倍数分别称为 1次谐波 (基波 ),3次谐波 …… 。
k为奇数的谐波一般称为非正弦周期函数的 奇次谐波 ； k为偶数时则称为非正弦周期波的 偶次谐波 。
而把 2次以上的谐波均称为 高次谐波 。
电路中产生非正弦波的原因是什么？举例说明。
稳恒直流电和正弦交流电有谐波吗？什么样的波形才具有谐波？
“只要电源是正弦的，电路中各部分的响应也一定是正弦波”。
这种说法对吗？
试述基波、高次谐波、奇次谐波和偶次谐波的概念？
9.2 谐波分析和频谱学习目标,理解谐波和频谱的概念，熟悉非正弦波的谐波表达式，掌握波形对称性与谐波成分的关系，理解波形,平滑性,的概念。
9.2.1 非正弦周期信号的傅里叶级数表达式由上节内容可得：方波信号实际上是由振幅按 1，
1/3,1/5,… 规律递减、频率按基波频率的 1,3,5
… 奇数倍递增的 u1,u3,u5等正弦波的合成波。因此方波电压的 谐波展开式 可表示为：
tUtUtUtu mmm 5s i n513s i n31s i n)( 111
谐波展开式从数学的概念上可称为非正弦周期信号的 傅里叶级数表达式 。
)7s i n715s i n513s i n31( s i n4)( ttttAtu
傅里叶级数表达式中的 A是方波的最大值 。
参看课本上 P132页中的表 9.1，表中所示的一些典型非正弦周期信号的的傅里叶级数表达式表明，它们也都是由一系列正弦谐波合成而得。所不同的是,不同的非正弦周期信号波，它们各自所包含的谐波成分各不相同 。
寻找一个已知非正弦周期波所包含的谐波，并把它们用傅里叶级数进行表达的过程，我们称为 谐波分析 。
9.2.2 非正弦周期信号的频谱非正弦周期信号各次谐波振幅分别用线段表示在座标系中，所构成的图形称为 振幅频谱图 。
非正弦周期信号用傅里叶级数表达式表示还不够直观，而用频谱图进行表示时，各次谐波分量的相对大小就会一目了然。
1m
4 UA?
0?
3
1mU
3
5
1mU
5
图中每一条谱线代表一个相应频率的谐波分量，谱线的 高度表示该谐波的振幅大小 。显然，频谱图可以非常直观地表示出非正弦周期信号所包含的谐波以及各次谐波所占的,比重,
如果把振幅频谱的顶端用虚线连接起来，则该虚线就称为振幅频谱的 包络线 。参看课本图 9.3(a)。
9.2.3 波形的对称性与谐波成分的关系观察表 9.1中各波形可发现：方波、等腰三角波只含有 sin项的奇次谐波；锯齿波和全波整流都含有直流成分，且锯齿波还包含 sin项的各偶次谐波，全波整流则包含 cos项的各偶次谐波 …… 。
显然，非正弦周期信号的谐波成分与其波形有关！
谐波分析一般都是根据已知波形来进行的，而非正弦周期信号的波形本身就已经决定了该非正弦波所含有的谐波。根据波形的特点我们解释几个名词：
奇函数,其特点是波形对 原点对称 。奇函数的傅里叶级数中 只含有 sin项,不存在直流和偶次谐波。
偶函数,特点是波形对 纵轴对称 。偶函数的傅里叶级数表达式中 只含有 cos项,一般还包含直流成分。
奇谐波函数,特点是波形的后半周与前半周具有 镜像对称性,也称为 奇次对称性,奇谐波函数的傅里叶级数表达式中只含有 奇次谐波 。
偶谐波函数,特点是波形的 前、后半周变化相同 。也称为 偶次对称性,偶谐波函数的傅里叶级数表达式中一般只包含 偶次谐波 。
零次谐波,非正弦周期波中的 直流分量 称为零次谐波。偶次谐波中一般包含零次谐波。
t
u(t)
0
观察方波波形，它不但具有对原点对称的特点，
还具有奇次对称性，因此在它的傅里叶级数展开式中只含有 sin项中的各奇次谐波 。
观察全波整流波的波形，它不但具有对纵轴对称的特点，还具有偶次对称性，因此在它的傅里叶级数展开式中 只含有 cos项中的各偶次谐波,且包含零次谐波成分。
t
u(t)
0
掌握了波形与谐波成分之间的上述关系，无疑给谐波分析的步骤带来简化，根据波形的对称性会很快找出相应的谐波。
9.2.4 波形的平滑性与谐波成分的关系观察表 9.1中的波形 1方波和波形 2等腰三角波，不难发现它们都是奇函数且具有奇次对称性，因此它们的傅里叶级数表达式中都是仅只含 sin项的奇次谐波。
进一步 观察又可看出，方波中含有的高效谐波成分比较严重，而等腰三角波中含有的高次谐波成分相对较轻。 什么原因呢？
观察波形，方波在一个周期内发生两次正、负之间的 跃变,即波形 极不平滑 ；而等腰三角波则总是在正、负半周均按直线规律上升或下降，整个周期内并没有发生跃变，因此其平滑性较方波好得多。
归纳,非正弦周期波中含有的高次谐波成分是否严重，取决于它们波形的平滑性。即愈不平滑的波形所含有的高次谐波愈严重。
9.3 非正弦周期信号的有效值、
平均值和平均功率学习目标,熟悉非正弦波有效值的计算式，了解它与正弦量有效值的区别和联系；掌握非正弦量平均值的含义及平均功率的计算。
9.3.1 非正弦周期量的有效值和平均值非正弦周期量的有效值定义与正弦交流电有效值的定义完全相同,与非正弦周期量 热效应相同 的直流电的数值，称为该非正弦周期函数的 有效值 。
实验和理论都可以证明,非正弦周期量的有效值：
222120222120 UUUUIIII 或即非正弦周期量的有效值等于它的各次谐波有效值平方和的开方。
正弦量的平均值是按半个周期来计算的，即：
dttfTf Tav
0
)(1
非正弦周期量的平均值要按一个周期进行计算。
若非正弦周期量若为奇函数，其平均值一定为零；若为偶谐波函数，其平均值一定为正值 …… 。
mmav FFf 6 3 7.0
2
理论和实践都可以证明,非正弦量的平均值,
显然，非正弦周期量的平均值在分析计算时，数值上就等于它的傅里叶级数表达式中的零次谐波。
非正弦周期量的波形特点，还常常用波形因数和波顶因数来描述。
波形因数等于非正弦周期量的有效值与平均值之比：
平均值有效值?
iK
波顶因数等于非正弦周期量的最大值与有效值之比：
有效值最大值?
AK
波形因数 Ki和波顶因数 KA均大于 1，一般情况下波顶因数大于波形因数。 即非正弦量的波形顶部越尖时，这两个因数越大，而非正弦周期量波形顶部越趋于平坦时，这两个因数越小。
9.3.2 非正弦周期量的平均功率非正弦周期量通过负载时也要消耗功率，此功率与非正弦量的各次谐波有关。即：
21022211100 c o sc o s PPPIUIUIUP
显然，只有同频率的正弦谐波电压和电流才能构成平均功率。
已知有源二端网络的端口电压和电流分别为：
A)502s i n (4 2 4.0)20s i n (7 0 7.01[
V)102s i n (6.56)30s i n (8550[
tti
ttu
求电路所消耗的平均功率。
W5.782.93.1950
)5010c o s (
2
4 0 4.06.56)]20(30c o s [
2
7 0 7.085150
210
PPP
P
9.4 非正弦周期信号作用下的线性电路分析学习目标,了解在一定条件下，非正弦周期信号作用下的线性电路的分析方法，掌握较为简单的非正弦周期电流电路的计算。
非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤
1.将电路中的激励展开成傅里叶级数表达式；
2.将激励分解为直流和一系列正弦谐波 (一般计算至
3~5次谐波即可 )；
3.对各次谐波单独作用时的响应分别进行求解；
4.求解出的响应均用解析式进行表示；
5.将电路响应中的各次谐波分量进行叠加后即为待求响应。
已知电路中：
A851,4 3
85126
0180
Z
85126)
5.22314
10
05.0314(10
1
1m
1m
6
1
U
I
jZ
零次谐波电压单独作用时，由于直流下 C相当开路，因此 I0=0；
V,)185s i n (20 t?
)453s i n (60s i n1 8 040)( tttu s
f=50Hz，求 i(t)和电流有效值 I。
一次谐波电压单独作用时，应先求出电路中的复阻抗，然后再求一次谐波电流三次谐波电压单独作用时：
A456
010
4560
Z
010)
5.223143
10
05.03143(10
3
3m
3m
6
3
U
I
jZ
A7.6039.0
7.782.51
1820
7.782.51)
5.223 1 45
10
05.03 1 45(10
5
5m
5m
6
5
Z
U
I
jZ
五次谐波电压单独作用时：
A)7.605s i n (39.0)453s i n (6)85s i n (43.1
)( 531
ttt
iiiti
电流解析式根据叠加定理可求得：
4,37 A)
2
39.0()
2
6()
2
1,43( 222I
电流的有效值：
其中三次谐波电压、电流同相，说明电路在三次谐波作用下发生了串联谐振。
计算非正弦量作用下的电路时应注意的问题
1.当直流分量单独作用时，遇电容元件按开路处理，
遇电感元件则要按短路处理；
2.任意正弦分量单独作用时的计算原则与单相正弦交流电路的计算方法完全相同，只是必须注意,不同谐波频率下电感和电容上的电抗各不相同 。
3.用相量分析法计算出来的各次谐波分量是不能直接进行叠加的，必须根据相量与正弦量的对应关系表示成正弦量的解析式后再进行叠加。
4.不同频率的各次谐波响应是不能画在同一个相量图上，也不能出现在同一个相量表达式中。
非正弦周期量的有效值和平均值如何计算？
非正弦周期电流电路的分析计算中，应注意哪些问题？
零次谐波单独作用下电感和电容分别作何处理？
不同正弦谐波下
L和 C上的电抗相同吗？
不同频率的电压、
电流能否作用后产生平均功率？
9.2 谐波分析和频谱
9.1非正弦周期信号
9.3 非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率
9.4 非正弦周期信号作用下的线性电路分析本章学习目的与要求了解非正弦周期量与正弦周期量之间存在的特定关系；理解和掌握非正弦周期信号的谐波分析法；明确非正弦周期量的有效值与各次谐波有效值的关系及其平均功率计算式；掌握简单线性非正弦周期电流电路的分析与计算方法。
9.1 非正弦周期信号学习目标,掌握谐波的概念，理解非正弦周期信号与各次谐波之间的关系。
9.1.1 非正弦周期信号的产生
1.电路中含有非线性元件（如二极管半波整流电路）
D
R
输入正弦波输出半波整流
2.实验室中的信号发生器或示波器中的水平扫描电压输出周期性锯齿波示波器输入正弦波
3.一个电路中同时有几个不同频率的激励共同作用时交流电源
＋ UCC
＋
uS
－
直流电源输出波为非正弦波
4.计算机内的脉冲信号
T t
9.1.2 非正弦周期信号随时间按非正弦规律变化的周期性电压和电流。定义
t
u(t)
0
上图所示的周期性方波电压，是一个典型的非正弦周期信号波，它实际上可以看作是一系列大小不同的、频率成整数倍的正弦波的合成波。
t
u(t)
0
以一个周期的情况为例进行分析：
u1
u1与方波同频率,
称为方波的基波
u3
u3的频率是方波的 3倍,
称为方波的三次谐波。
u1和 u3的合成波,
显然较接近方波
U1m
1/3U1m
t
u(t)
0
u5的频率是方波的 5倍,称为方波的五次谐波。
u13和 u5的合成波,
显然更接近方波
1/5U1m
u135
u5
由上述分析可得，如果再叠加上一个 7次谐波、
9次谐波 …… 直到叠加无穷多个，其最后结果肯定与周期性方波电压的波形相重合。
即：一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波，
叠加以后可构成一个非正弦周期波。
分析中的 u1,u3,u5等等，这些振幅不同、频率分别是非正弦周期波频率 k次倍的正弦波统称为非正弦周期波的 谐波,并按照 k是非正弦周期波频率的倍数分别称为 1次谐波 (基波 ),3次谐波 …… 。
k为奇数的谐波一般称为非正弦周期函数的 奇次谐波 ； k为偶数时则称为非正弦周期波的 偶次谐波 。
而把 2次以上的谐波均称为 高次谐波 。
电路中产生非正弦波的原因是什么？举例说明。
稳恒直流电和正弦交流电有谐波吗？什么样的波形才具有谐波？
“只要电源是正弦的，电路中各部分的响应也一定是正弦波”。
这种说法对吗？
试述基波、高次谐波、奇次谐波和偶次谐波的概念？
9.2 谐波分析和频谱学习目标,理解谐波和频谱的概念，熟悉非正弦波的谐波表达式，掌握波形对称性与谐波成分的关系，理解波形,平滑性,的概念。
9.2.1 非正弦周期信号的傅里叶级数表达式由上节内容可得：方波信号实际上是由振幅按 1，
1/3,1/5,… 规律递减、频率按基波频率的 1,3,5
… 奇数倍递增的 u1,u3,u5等正弦波的合成波。因此方波电压的 谐波展开式 可表示为：
tUtUtUtu mmm 5s i n513s i n31s i n)( 111
谐波展开式从数学的概念上可称为非正弦周期信号的 傅里叶级数表达式 。
)7s i n715s i n513s i n31( s i n4)( ttttAtu
傅里叶级数表达式中的 A是方波的最大值 。
参看课本上 P132页中的表 9.1，表中所示的一些典型非正弦周期信号的的傅里叶级数表达式表明，它们也都是由一系列正弦谐波合成而得。所不同的是,不同的非正弦周期信号波，它们各自所包含的谐波成分各不相同 。
寻找一个已知非正弦周期波所包含的谐波，并把它们用傅里叶级数进行表达的过程，我们称为 谐波分析 。
9.2.2 非正弦周期信号的频谱非正弦周期信号各次谐波振幅分别用线段表示在座标系中，所构成的图形称为 振幅频谱图 。
非正弦周期信号用傅里叶级数表达式表示还不够直观，而用频谱图进行表示时，各次谐波分量的相对大小就会一目了然。
1m
4 UA?
0?
3
1mU
3
5
1mU
5
图中每一条谱线代表一个相应频率的谐波分量，谱线的 高度表示该谐波的振幅大小 。显然，频谱图可以非常直观地表示出非正弦周期信号所包含的谐波以及各次谐波所占的,比重,
如果把振幅频谱的顶端用虚线连接起来，则该虚线就称为振幅频谱的 包络线 。参看课本图 9.3(a)。
9.2.3 波形的对称性与谐波成分的关系观察表 9.1中各波形可发现：方波、等腰三角波只含有 sin项的奇次谐波；锯齿波和全波整流都含有直流成分，且锯齿波还包含 sin项的各偶次谐波，全波整流则包含 cos项的各偶次谐波 …… 。
显然，非正弦周期信号的谐波成分与其波形有关！
谐波分析一般都是根据已知波形来进行的，而非正弦周期信号的波形本身就已经决定了该非正弦波所含有的谐波。根据波形的特点我们解释几个名词：
奇函数,其特点是波形对 原点对称 。奇函数的傅里叶级数中 只含有 sin项,不存在直流和偶次谐波。
偶函数,特点是波形对 纵轴对称 。偶函数的傅里叶级数表达式中 只含有 cos项,一般还包含直流成分。
奇谐波函数,特点是波形的后半周与前半周具有 镜像对称性,也称为 奇次对称性,奇谐波函数的傅里叶级数表达式中只含有 奇次谐波 。
偶谐波函数,特点是波形的 前、后半周变化相同 。也称为 偶次对称性,偶谐波函数的傅里叶级数表达式中一般只包含 偶次谐波 。
零次谐波,非正弦周期波中的 直流分量 称为零次谐波。偶次谐波中一般包含零次谐波。
t
u(t)
0
观察方波波形，它不但具有对原点对称的特点，
还具有奇次对称性，因此在它的傅里叶级数展开式中只含有 sin项中的各奇次谐波 。
观察全波整流波的波形，它不但具有对纵轴对称的特点，还具有偶次对称性，因此在它的傅里叶级数展开式中 只含有 cos项中的各偶次谐波,且包含零次谐波成分。
t
u(t)
0
掌握了波形与谐波成分之间的上述关系，无疑给谐波分析的步骤带来简化，根据波形的对称性会很快找出相应的谐波。
9.2.4 波形的平滑性与谐波成分的关系观察表 9.1中的波形 1方波和波形 2等腰三角波，不难发现它们都是奇函数且具有奇次对称性，因此它们的傅里叶级数表达式中都是仅只含 sin项的奇次谐波。
进一步 观察又可看出，方波中含有的高效谐波成分比较严重，而等腰三角波中含有的高次谐波成分相对较轻。 什么原因呢？
观察波形，方波在一个周期内发生两次正、负之间的 跃变,即波形 极不平滑 ；而等腰三角波则总是在正、负半周均按直线规律上升或下降，整个周期内并没有发生跃变，因此其平滑性较方波好得多。
归纳,非正弦周期波中含有的高次谐波成分是否严重，取决于它们波形的平滑性。即愈不平滑的波形所含有的高次谐波愈严重。
9.3 非正弦周期信号的有效值、
平均值和平均功率学习目标,熟悉非正弦波有效值的计算式，了解它与正弦量有效值的区别和联系；掌握非正弦量平均值的含义及平均功率的计算。
9.3.1 非正弦周期量的有效值和平均值非正弦周期量的有效值定义与正弦交流电有效值的定义完全相同,与非正弦周期量 热效应相同 的直流电的数值，称为该非正弦周期函数的 有效值 。
实验和理论都可以证明,非正弦周期量的有效值：
222120222120 UUUUIIII 或即非正弦周期量的有效值等于它的各次谐波有效值平方和的开方。
正弦量的平均值是按半个周期来计算的，即：
dttfTf Tav
0
)(1
非正弦周期量的平均值要按一个周期进行计算。
若非正弦周期量若为奇函数，其平均值一定为零；若为偶谐波函数，其平均值一定为正值 …… 。
mmav FFf 6 3 7.0
2
理论和实践都可以证明,非正弦量的平均值,
显然，非正弦周期量的平均值在分析计算时，数值上就等于它的傅里叶级数表达式中的零次谐波。
非正弦周期量的波形特点，还常常用波形因数和波顶因数来描述。
波形因数等于非正弦周期量的有效值与平均值之比：
平均值有效值?
iK
波顶因数等于非正弦周期量的最大值与有效值之比：
有效值最大值?
AK
波形因数 Ki和波顶因数 KA均大于 1，一般情况下波顶因数大于波形因数。 即非正弦量的波形顶部越尖时，这两个因数越大，而非正弦周期量波形顶部越趋于平坦时，这两个因数越小。
9.3.2 非正弦周期量的平均功率非正弦周期量通过负载时也要消耗功率，此功率与非正弦量的各次谐波有关。即：
21022211100 c o sc o s PPPIUIUIUP
显然，只有同频率的正弦谐波电压和电流才能构成平均功率。
已知有源二端网络的端口电压和电流分别为：
A)502s i n (4 2 4.0)20s i n (7 0 7.01[
V)102s i n (6.56)30s i n (8550[
tti
ttu
求电路所消耗的平均功率。
W5.782.93.1950
)5010c o s (
2
4 0 4.06.56)]20(30c o s [
2
7 0 7.085150
210
PPP
P
9.4 非正弦周期信号作用下的线性电路分析学习目标,了解在一定条件下，非正弦周期信号作用下的线性电路的分析方法，掌握较为简单的非正弦周期电流电路的计算。
非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤
1.将电路中的激励展开成傅里叶级数表达式；
2.将激励分解为直流和一系列正弦谐波 (一般计算至
3~5次谐波即可 )；
3.对各次谐波单独作用时的响应分别进行求解；
4.求解出的响应均用解析式进行表示；
5.将电路响应中的各次谐波分量进行叠加后即为待求响应。
已知电路中：
A851,4 3
85126
0180
Z
85126)
5.22314
10
05.0314(10
1
1m
1m
6
1
U
I
jZ
零次谐波电压单独作用时，由于直流下 C相当开路，因此 I0=0；
V,)185s i n (20 t?
)453s i n (60s i n1 8 040)( tttu s
f=50Hz，求 i(t)和电流有效值 I。
一次谐波电压单独作用时，应先求出电路中的复阻抗，然后再求一次谐波电流三次谐波电压单独作用时：
A456
010
4560
Z
010)
5.223143
10
05.03143(10
3
3m
3m
6
3
U
I
jZ
A7.6039.0
7.782.51
1820
7.782.51)
5.223 1 45
10
05.03 1 45(10
5
5m
5m
6
5
Z
U
I
jZ
五次谐波电压单独作用时：
A)7.605s i n (39.0)453s i n (6)85s i n (43.1
)( 531
ttt
iiiti
电流解析式根据叠加定理可求得：
4,37 A)
2
39.0()
2
6()
2
1,43( 222I
电流的有效值：
其中三次谐波电压、电流同相，说明电路在三次谐波作用下发生了串联谐振。
计算非正弦量作用下的电路时应注意的问题
1.当直流分量单独作用时，遇电容元件按开路处理，
遇电感元件则要按短路处理；
2.任意正弦分量单独作用时的计算原则与单相正弦交流电路的计算方法完全相同，只是必须注意,不同谐波频率下电感和电容上的电抗各不相同 。
3.用相量分析法计算出来的各次谐波分量是不能直接进行叠加的，必须根据相量与正弦量的对应关系表示成正弦量的解析式后再进行叠加。
4.不同频率的各次谐波响应是不能画在同一个相量图上，也不能出现在同一个相量表达式中。
非正弦周期量的有效值和平均值如何计算？
非正弦周期电流电路的分析计算中，应注意哪些问题？
零次谐波单独作用下电感和电容分别作何处理？
不同正弦谐波下
L和 C上的电抗相同吗？
不同频率的电压、
电流能否作用后产生平均功率？
