7.1 市场经济中的蛛网模型
7.2 减肥计划 —— 节食与运动
7.3 差分形式的阻滞增长模型
7.4 按年龄分组的种群增长第七章 差分方程模型
7.1 市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降 减少产量增加产量 价格上涨 供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛 网 模 型
g
x0
y0 P0
f
x
y
0
xk~第 k时段商品数量； yk~第 k时段商品价格消费者的需求关系
)( kk xfy?
生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数
f与 g的交点 P0(x0,y0) ~ 平衡点一旦 xk=x0，则 yk=y0,
xk+1,xk+2,…=x 0,yk+1,yk+2,…=y 0
)(1 kk yhx
)( 1 kk xgy
x
y
0
f g
y0
x0
P0
设 x1偏离 x0
x1x2
P2y
1 P1
y2 P
3
P4
x3
y3
32211 xyxyx
0321 PPPP
00,yyxx kk
P0是稳定平衡点
P1
P2
P3 P
4
P0是不稳定平衡点
gf KK?
x
y
0
y0
x0
P0
f g
)( kk xfy? )(1 kk yhx )( 1 kk xgy
00,yyxx kk
gf KK?
曲线斜率蛛 网 模 型
0321 PPPP
)( kk xfy?
)(1 kk yhx
在 P0点附近用直线近似曲线
)0()( 00 xxyy kk
)0()( 001 yyxx kk
)( 001 xxxx kk )()( 0101 xxxx kk
1
P0稳定
P0不稳定
0xxk?
kx
fK gK/1
)/1(
)/1(
1
方 程 模 型
gf KK?
gf KK?
方程模型与蛛网模型的一致
)( 00 xxyy kk
~ 商品数量减少 1单位,价格上涨幅度
)( 001 yyxx kk
~ 价格上涨 1单位,(下时段 )供应的增量考察?,? 的含义
~ 消费者对需求的敏感程度
~ 生产者对价格的敏感程度
小,有利于经济稳定
小,有利于经济稳定结果解释
xk~第 k时段商品数量； yk~第 k时段商品价格
1 经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法
1,使? 尽量小，如?=0
以行政手段控制价格不变
2,使? 尽量小，如? =0
靠经济实力控制数量不变
x
y
0
y0
g
f
x
y
0 x0
g
f
结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直
]2/)[( 0101 yyyxx kkk
模型的推广
生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。
)( 00 xxyy kk
生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变
,2,1,)1(22 012 kxxxx kkk
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即 k,xk?x0的条件
)(1 kk yhx
2 11 kkk yyhx
4
8)( 2
2,1
012 )1(22 xxxx kkk
方程通解 kk
k ccx 2211
(c1,c2由初始条件确定 )
1,2~特征根，即方程 的根 02 2
平衡点稳定，即 k,xk?x0的条件,1
2,1
2平衡点稳定条件比原来的条件 放宽了1
22,1
模型的推广
7.2 减肥计划 —— 节食与运动背景? 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持
通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析
体重变化由体内能量守恒破坏引起
饮食（吸收热量）引起体重增加
代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
体重指数 BMI=w(kg)/l2(m2),18.5<BMI<25 ~
正常； BMI>25 ~ 超重 ; BMI>30 ~ 肥胖,
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量 —
— 每 8000千卡增加体重 1千克；
2）代谢引起的体重减少正比于体重 ——
每周每公斤体重消耗 200千卡 ~ 320千卡 (因人而异 ),
相当于 70千克的人每天消耗 2000千卡 ~ 3200千卡；
3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；
4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.5
千克，每周吸收热量不要小于 10000千卡。
某甲体重 100千克，目前每周吸收 20000千卡热量，
体重维持不变。现欲减肥至 75千克。
第一阶段：每周减肥 1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（ 10000千卡）；
第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标
2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。
1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。
减肥计划
3）给出达到目标后维持体重的方案。
)()1()()1( kwkckwkw
千卡）千克 /(8 0 0 01
确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡基本模型
w(k) ~ 第 k周 (末 )体重 c(k) ~第 k周吸收热量
~ 代谢消耗系数 (因人而异 )?
1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收 20000千卡 w=100千克不变
wcww 0 2 5.0
1 0 08 0 0 0
2 0 0 0 0?
w
c
第一阶段,w(k)每周减 1千克,c(k)减至下限 10000千卡
1)1()( kwkw
k2 0 01 2 0 0 0
)()1()()1( kwkckwkw
第一阶段 10周,每周减 1千克，第 10周末体重 90千克
10?k
kwkw )0()(
)1(1)0()1( kwkc
8 0 0 01
025.0
9,1,0,2001 2 0 0 0)1( kkkc吸收热量为
1）不运动情况的两阶段减肥计划
]1)([1)1( kwkc
1 0 0 0 0 mC
])1()1(1[)()1()( 1 nmn Ckwnkw
第二阶段：每周 c(k)保持 Cm,w(k)减至 75千克代入得以 1 0 0 0 0,8000 1,025.0 mC
50]50)([975.0)( kwnkw n
mmn CCkw ])([)1(
1）不运动情况的两阶段减肥计划
)()1()()1( kwkckwkw基本模型
mCkwkw )()1()1(
nnkwkw 求，要求已知 75)(,90)(
50)5090(975.075 n
第二阶段：每周 c(k)保持 Cm,w(k)减至 75千克
50]50)([975.0)( kwnkw n
第二阶段 19周,每周吸收热量保持 10000千卡,体重按减少至 75千克。 )19,,2,1(50975.040)( nnw
n
19
975.0lg
)40/25l g (n
)0 2 8.0()0 2 5.0( t 24,0 0 3.0 tt 即取运动?t=24 (每周 跳舞 8小时或自行车 10小时 ),14周即可。
2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量?(千卡 ),
跑步 跳舞 乒乓 自行车 (中速 ) 游泳 (50米 /分 )
7.0 3.0 4.4 2.5 7.9
t~每周运动时间 (小时 ) )()( )1()()1( kwt kckwkw
基本模型
6.44)6.4490(972.075 n 14?n
mmn CCkwnkw ])([)1()(
3）达到目标体重 75千克后维持不变的方案
)()()1()()1( kwtkckwkw
每周吸收热量 c(k)保持某常数 C，使体重 w不变
wtCww )(
wtC )(
)(1 5 0 0 075025.08000 千卡C? 不运动
)(1 6 8 0 075028.08000 千卡C? 运动 (内容同前 )
)1()( Nxrxtx
,2,1),1(1 kNyryyy kkkk
7.3 差分形式的阻滞增长模型连续形式 的阻滞增长模型 (Logistic模型 )
t,x?N,x=N是 稳定平衡点 (与 r大小无关 )
离散形式
x(t) ~某种群 t 时刻的数量 (人口 )
yk ~某种群第 k代的数量 (人口 )
若 yk=N,则 yk+1,yk+2,…= N
讨论平衡点的稳定性，即 k,yk?N？
y*=N 是平衡点
kk yNr
rx
)1(
1 rb记
)1()1(1 Nyryyy kkkk
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
kkk yNr
ryry
)1(1)1(1
)2()1(1 kkk xbxx
一阶 (非线性 )差分方程
(1)的平衡点 y*=N
讨论 x* 的稳定性变量代换
(2)的平衡点
br
rx 11
1
*
(1)的平衡点 x*—— 代数方程 x=f(x)的根稳定性判断
)2())(()( ***1 xxxfxfx kk(1)的近似线性方程
x*也是 (2)的平衡点
1)( * xf x*是 (2)和 (1)的稳定平衡点
1)( * xf x*是 (2)和 (1)的不稳定平衡点补充知识一阶非线性差分方程 )1()(
1 kk xfx 的平衡点及稳定性
)21()( ** xbxf
1)( * xf
0
y
x
xy?
)(xfy?
4/b
*x 2/1 1
)1()( xbxxfx
)1(1 kkk xbxx 的平衡点及其稳定性平衡点
bx
11*
稳定性
31 b
2/1/11* bx
*xx k?（单调增）
0x
1x
1x 2x
x* 稳定
21)1( b
)1)((3 * xfb x
* 不 稳定另一平衡点为 x=0
1 rb
1)0( bf
不稳定
b 2
3)3(?b
0 1/2 1
y
4/b
xy?
)(xfy?
0x 1x *x 2x x
32)2( b
2/1/11* bx
*xx
k?（振荡地）
y
0 x
xy?
)(xfy?
0x 1x 2x*x2/1 1
4/b
*xx
k?（不）
)1(1 kkk xbxx 的平衡点及其稳定性
)1(1 kkk xbxx
初值 x0=0.2
数值计算结果
bx
11*b <3,x?
b=3.3,x?两个极限点
b=3.45,x?4个极限点
b=3.55,x?8个极限点
0.4118100
0.411899
0.411898
0.411897
0.411896
0.411895
0.411894
0.411893
0.411892
0.411891
0.37963
0.33662
0.27201
0.20000
b=1.7k
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6049
0.6317
0.4160
0.2000
b=2.6
0.8236
0.4794
0.8236
0.4794
0.8236
0.4794
0.8236
0.4794
0.8236
0.4794
0.4820
0.8224
0.5280
0.2000
b=3.3
0.8469
0.4327
0.8530
0.4474
0.8469
0.4327
0.8530
0.4474
0.8469
0.4327
0.4322
0.8532
0.5520
0.2000
b=3.45
0.8127
0.3548
0.8874
0.5060
0.8278
0.3703
0.8817
0.5405
0.8127
0.3548
0.3987
0.8711
0.5680
0.2000
b=3.55
))(( xffx?
)(),( *1*2*2*1 xfxxfx
b
bbbx
2
321 2*
2,1
( * ))())(()( )2(12 kkkk xfxffxfx)(1 kk xfx
倍周期收敛 —— x*不稳定情况的进一步讨论
*xx k?（不） *
212*12,xxxx kk子序列单周期不收敛 2倍周期收敛
(*)的平衡点
bx
11*
10 *2**1 xxx
x*不稳定，研究 x1*,x2*的稳定性
)1()( xbxxf )]1(1)[1( xbxxbxb
3.3?b
)()())(())(( *2*1)2()2( *
2*1
xfxfxfxf xxxx
)21)(21())(( *2*12,)2( *
2*1
xxbxf xxx
1))(( * 2,1)2(xf
倍周期收敛
*
212
*
12,xxxx kk
4 4 9.361b
)21()( xbxf
b
bbbx
2
321 2*
2,1
的稳定性
2)2( )]([])([ xfxf
x1* x2*x*
b=3.4
y=f(2)(x)
y=
x
x0
倍周期收敛 的进一步讨论
1) ) '((45.3 * 2,1)2( xfb
出现 4个收敛子序列 x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3
)()4(4 kk xfx平衡点及其稳定性需研究
5 4 4.34 4 9.3 b 时有 4个稳定平衡点
2n倍周期收敛,n=1,2,… bn~ 2n倍周期收敛的上界
b0=3,b1=3.449,b2=3.544,… n,bn?3.57
x1*,x2* (及 x*)不稳定
b>3.57,不存在任何收敛子序列 混沌现象
4倍周期收敛
)1(1 kkk xbxx 的收敛、分岔及混沌现象
b
7.4 按年龄分组的种群增长
不同年龄组的繁殖率和死亡率不同
建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模
种群按年龄大小等分为 n个年龄组，记 i=1,2,…,n
时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记 k=1,2,…
以雌性个体数量为对象
第 i 年龄组 1雌性个体在 1时段内的 繁殖率 为 bi
第 i 年龄组在 1时段内的死亡率为 di,存活率 为 si=1- di
1,,2,1),()1(1 nikxskx iii?
假设与建模
xi(k)~时段 k第 i 年龄组的种群数量
)()1( kLxkx
)0()( xLkx k?
Tn kxkxkxkx )](),(),([)( 21
~按年龄组的分布向量预测任意时段种群按年龄组的分布
00
0
000
1
2
1
121
n
nn
s
s
s
bbbb
L
~Leslie矩阵 (L矩阵 )
)()1(
1
1 kxbkx i
n
i
i?
(设至少 1个 bi>0)
稳定状态分析的数学知识
nkk?,3,2,1 L矩阵存在 正单特征根?1，
若 L矩阵存在 bi,bi+1>0,则 nk
k,,3,2,1
)0()( xLkx k? 11 )],([ PdiagPL n
P的第 1列是 x*
)0()0,0,1()(lim 1
1
xPP d i a gkx k
k
T
n
nssssssx?
1
1
121
2
1
21
1
1*,,,,1
特征向量
*
1
)(lim cxkx
kk
,c是由 bi,si,x(0)决定的常数且解释
L对角化
11 )],([ Pd i a gPL knkk
*cx?
*)()1 xckx k
)()1()2 kxkx
稳态分析 —— k充分大种群按年龄组的分布 *1 )(l i m cxkx kk
~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，
x*称稳定分布,与初始分布无关。
~ 各年龄组种群数量按同一倍数增减,?称固有增长率
Tnssssssx 121211*,,,1
)()1( kxkx ii
)()1( kLxkx与基本模型 比较
3）?=1时
*)()1( cxkxkx ~ 各年龄组 种群数量不变
~ 1个个体在整个存活期内的繁殖数量为 1
1121121nn sssbsbb
稳态分析
T
nssssx ],,,,1[ 1211
*
,)()4
*ckx k
~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比
（与 si 的定义 比较） )()1(
1 kxskx iii
1,,2,1),()(1 nikxskx iii?
3）?=1时 ** xLxT
nssssssx 121211*,,,1
00
0
000
1
2
1
121
n
nn
s
s
s
bbbb
L
7.2 减肥计划 —— 节食与运动
7.3 差分形式的阻滞增长模型
7.4 按年龄分组的种群增长第七章 差分方程模型
7.1 市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降 减少产量增加产量 价格上涨 供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛 网 模 型
g
x0
y0 P0
f
x
y
0
xk~第 k时段商品数量； yk~第 k时段商品价格消费者的需求关系
)( kk xfy?
生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数
f与 g的交点 P0(x0,y0) ~ 平衡点一旦 xk=x0，则 yk=y0,
xk+1,xk+2,…=x 0,yk+1,yk+2,…=y 0
)(1 kk yhx
)( 1 kk xgy
x
y
0
f g
y0
x0
P0
设 x1偏离 x0
x1x2
P2y
1 P1
y2 P
3
P4
x3
y3
32211 xyxyx
0321 PPPP
00,yyxx kk
P0是稳定平衡点
P1
P2
P3 P
4
P0是不稳定平衡点
gf KK?
x
y
0
y0
x0
P0
f g
)( kk xfy? )(1 kk yhx )( 1 kk xgy
00,yyxx kk
gf KK?
曲线斜率蛛 网 模 型
0321 PPPP
)( kk xfy?
)(1 kk yhx
在 P0点附近用直线近似曲线
)0()( 00 xxyy kk
)0()( 001 yyxx kk
)( 001 xxxx kk )()( 0101 xxxx kk
1
P0稳定
P0不稳定
0xxk?
kx
fK gK/1
)/1(
)/1(
1
方 程 模 型
gf KK?
gf KK?
方程模型与蛛网模型的一致
)( 00 xxyy kk
~ 商品数量减少 1单位,价格上涨幅度
)( 001 yyxx kk
~ 价格上涨 1单位,(下时段 )供应的增量考察?,? 的含义
~ 消费者对需求的敏感程度
~ 生产者对价格的敏感程度
小,有利于经济稳定
小,有利于经济稳定结果解释
xk~第 k时段商品数量； yk~第 k时段商品价格
1 经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法
1,使? 尽量小，如?=0
以行政手段控制价格不变
2,使? 尽量小，如? =0
靠经济实力控制数量不变
x
y
0
y0
g
f
x
y
0 x0
g
f
结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直
]2/)[( 0101 yyyxx kkk
模型的推广
生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。
)( 00 xxyy kk
生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变
,2,1,)1(22 012 kxxxx kkk
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即 k,xk?x0的条件
)(1 kk yhx
2 11 kkk yyhx
4
8)( 2
2,1
012 )1(22 xxxx kkk
方程通解 kk
k ccx 2211
(c1,c2由初始条件确定 )
1,2~特征根，即方程 的根 02 2
平衡点稳定，即 k,xk?x0的条件,1
2,1
2平衡点稳定条件比原来的条件 放宽了1
22,1
模型的推广
7.2 减肥计划 —— 节食与运动背景? 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持
通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析
体重变化由体内能量守恒破坏引起
饮食（吸收热量）引起体重增加
代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
体重指数 BMI=w(kg)/l2(m2),18.5<BMI<25 ~
正常； BMI>25 ~ 超重 ; BMI>30 ~ 肥胖,
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量 —
— 每 8000千卡增加体重 1千克；
2）代谢引起的体重减少正比于体重 ——
每周每公斤体重消耗 200千卡 ~ 320千卡 (因人而异 ),
相当于 70千克的人每天消耗 2000千卡 ~ 3200千卡；
3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；
4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.5
千克，每周吸收热量不要小于 10000千卡。
某甲体重 100千克，目前每周吸收 20000千卡热量，
体重维持不变。现欲减肥至 75千克。
第一阶段：每周减肥 1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（ 10000千卡）；
第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标
2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。
1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。
减肥计划
3）给出达到目标后维持体重的方案。
)()1()()1( kwkckwkw
千卡）千克 /(8 0 0 01
确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡基本模型
w(k) ~ 第 k周 (末 )体重 c(k) ~第 k周吸收热量
~ 代谢消耗系数 (因人而异 )?
1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收 20000千卡 w=100千克不变
wcww 0 2 5.0
1 0 08 0 0 0
2 0 0 0 0?
w
c
第一阶段,w(k)每周减 1千克,c(k)减至下限 10000千卡
1)1()( kwkw
k2 0 01 2 0 0 0
)()1()()1( kwkckwkw
第一阶段 10周,每周减 1千克，第 10周末体重 90千克
10?k
kwkw )0()(
)1(1)0()1( kwkc
8 0 0 01
025.0
9,1,0,2001 2 0 0 0)1( kkkc吸收热量为
1）不运动情况的两阶段减肥计划
]1)([1)1( kwkc
1 0 0 0 0 mC
])1()1(1[)()1()( 1 nmn Ckwnkw
第二阶段：每周 c(k)保持 Cm,w(k)减至 75千克代入得以 1 0 0 0 0,8000 1,025.0 mC
50]50)([975.0)( kwnkw n
mmn CCkw ])([)1(
1）不运动情况的两阶段减肥计划
)()1()()1( kwkckwkw基本模型
mCkwkw )()1()1(
nnkwkw 求，要求已知 75)(,90)(
50)5090(975.075 n
第二阶段：每周 c(k)保持 Cm,w(k)减至 75千克
50]50)([975.0)( kwnkw n
第二阶段 19周,每周吸收热量保持 10000千卡,体重按减少至 75千克。 )19,,2,1(50975.040)( nnw
n
19
975.0lg
)40/25l g (n
)0 2 8.0()0 2 5.0( t 24,0 0 3.0 tt 即取运动?t=24 (每周 跳舞 8小时或自行车 10小时 ),14周即可。
2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量?(千卡 ),
跑步 跳舞 乒乓 自行车 (中速 ) 游泳 (50米 /分 )
7.0 3.0 4.4 2.5 7.9
t~每周运动时间 (小时 ) )()( )1()()1( kwt kckwkw
基本模型
6.44)6.4490(972.075 n 14?n
mmn CCkwnkw ])([)1()(
3）达到目标体重 75千克后维持不变的方案
)()()1()()1( kwtkckwkw
每周吸收热量 c(k)保持某常数 C，使体重 w不变
wtCww )(
wtC )(
)(1 5 0 0 075025.08000 千卡C? 不运动
)(1 6 8 0 075028.08000 千卡C? 运动 (内容同前 )
)1()( Nxrxtx
,2,1),1(1 kNyryyy kkkk
7.3 差分形式的阻滞增长模型连续形式 的阻滞增长模型 (Logistic模型 )
t,x?N,x=N是 稳定平衡点 (与 r大小无关 )
离散形式
x(t) ~某种群 t 时刻的数量 (人口 )
yk ~某种群第 k代的数量 (人口 )
若 yk=N,则 yk+1,yk+2,…= N
讨论平衡点的稳定性，即 k,yk?N？
y*=N 是平衡点
kk yNr
rx
)1(
1 rb记
)1()1(1 Nyryyy kkkk
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
kkk yNr
ryry
)1(1)1(1
)2()1(1 kkk xbxx
一阶 (非线性 )差分方程
(1)的平衡点 y*=N
讨论 x* 的稳定性变量代换
(2)的平衡点
br
rx 11
1
*
(1)的平衡点 x*—— 代数方程 x=f(x)的根稳定性判断
)2())(()( ***1 xxxfxfx kk(1)的近似线性方程
x*也是 (2)的平衡点
1)( * xf x*是 (2)和 (1)的稳定平衡点
1)( * xf x*是 (2)和 (1)的不稳定平衡点补充知识一阶非线性差分方程 )1()(
1 kk xfx 的平衡点及稳定性
)21()( ** xbxf
1)( * xf
0
y
x
xy?
)(xfy?
4/b
*x 2/1 1
)1()( xbxxfx
)1(1 kkk xbxx 的平衡点及其稳定性平衡点
bx
11*
稳定性
31 b
2/1/11* bx
*xx k?（单调增）
0x
1x
1x 2x
x* 稳定
21)1( b
)1)((3 * xfb x
* 不 稳定另一平衡点为 x=0
1 rb
1)0( bf
不稳定
b 2
3)3(?b
0 1/2 1
y
4/b
xy?
)(xfy?
0x 1x *x 2x x
32)2( b
2/1/11* bx
*xx
k?（振荡地）
y
0 x
xy?
)(xfy?
0x 1x 2x*x2/1 1
4/b
*xx
k?（不）
)1(1 kkk xbxx 的平衡点及其稳定性
)1(1 kkk xbxx
初值 x0=0.2
数值计算结果
bx
11*b <3,x?
b=3.3,x?两个极限点
b=3.45,x?4个极限点
b=3.55,x?8个极限点
0.4118100
0.411899
0.411898
0.411897
0.411896
0.411895
0.411894
0.411893
0.411892
0.411891
0.37963
0.33662
0.27201
0.20000
b=1.7k
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6154
0.6049
0.6317
0.4160
0.2000
b=2.6
0.8236
0.4794
0.8236
0.4794
0.8236
0.4794
0.8236
0.4794
0.8236
0.4794
0.4820
0.8224
0.5280
0.2000
b=3.3
0.8469
0.4327
0.8530
0.4474
0.8469
0.4327
0.8530
0.4474
0.8469
0.4327
0.4322
0.8532
0.5520
0.2000
b=3.45
0.8127
0.3548
0.8874
0.5060
0.8278
0.3703
0.8817
0.5405
0.8127
0.3548
0.3987
0.8711
0.5680
0.2000
b=3.55
))(( xffx?
)(),( *1*2*2*1 xfxxfx
b
bbbx
2
321 2*
2,1
( * ))())(()( )2(12 kkkk xfxffxfx)(1 kk xfx
倍周期收敛 —— x*不稳定情况的进一步讨论
*xx k?（不） *
212*12,xxxx kk子序列单周期不收敛 2倍周期收敛
(*)的平衡点
bx
11*
10 *2**1 xxx
x*不稳定，研究 x1*,x2*的稳定性
)1()( xbxxf )]1(1)[1( xbxxbxb
3.3?b
)()())(())(( *2*1)2()2( *
2*1
xfxfxfxf xxxx
)21)(21())(( *2*12,)2( *
2*1
xxbxf xxx
1))(( * 2,1)2(xf
倍周期收敛
*
212
*
12,xxxx kk
4 4 9.361b
)21()( xbxf
b
bbbx
2
321 2*
2,1
的稳定性
2)2( )]([])([ xfxf
x1* x2*x*
b=3.4
y=f(2)(x)
y=
x
x0
倍周期收敛 的进一步讨论
1) ) '((45.3 * 2,1)2( xfb
出现 4个收敛子序列 x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3
)()4(4 kk xfx平衡点及其稳定性需研究
5 4 4.34 4 9.3 b 时有 4个稳定平衡点
2n倍周期收敛,n=1,2,… bn~ 2n倍周期收敛的上界
b0=3,b1=3.449,b2=3.544,… n,bn?3.57
x1*,x2* (及 x*)不稳定
b>3.57,不存在任何收敛子序列 混沌现象
4倍周期收敛
)1(1 kkk xbxx 的收敛、分岔及混沌现象
b
7.4 按年龄分组的种群增长
不同年龄组的繁殖率和死亡率不同
建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模
种群按年龄大小等分为 n个年龄组，记 i=1,2,…,n
时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记 k=1,2,…
以雌性个体数量为对象
第 i 年龄组 1雌性个体在 1时段内的 繁殖率 为 bi
第 i 年龄组在 1时段内的死亡率为 di,存活率 为 si=1- di
1,,2,1),()1(1 nikxskx iii?
假设与建模
xi(k)~时段 k第 i 年龄组的种群数量
)()1( kLxkx
)0()( xLkx k?
Tn kxkxkxkx )](),(),([)( 21
~按年龄组的分布向量预测任意时段种群按年龄组的分布
00
0
000
1
2
1
121
n
nn
s
s
s
bbbb
L
~Leslie矩阵 (L矩阵 )
)()1(
1
1 kxbkx i
n
i
i?
(设至少 1个 bi>0)
稳定状态分析的数学知识
nkk?,3,2,1 L矩阵存在 正单特征根?1，
若 L矩阵存在 bi,bi+1>0,则 nk
k,,3,2,1
)0()( xLkx k? 11 )],([ PdiagPL n
P的第 1列是 x*
)0()0,0,1()(lim 1
1
xPP d i a gkx k
k
T
n
nssssssx?
1
1
121
2
1
21
1
1*,,,,1
特征向量
*
1
)(lim cxkx
kk
,c是由 bi,si,x(0)决定的常数且解释
L对角化
11 )],([ Pd i a gPL knkk
*cx?
*)()1 xckx k
)()1()2 kxkx
稳态分析 —— k充分大种群按年龄组的分布 *1 )(l i m cxkx kk
~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，
x*称稳定分布,与初始分布无关。
~ 各年龄组种群数量按同一倍数增减,?称固有增长率
Tnssssssx 121211*,,,1
)()1( kxkx ii
)()1( kLxkx与基本模型 比较
3）?=1时
*)()1( cxkxkx ~ 各年龄组 种群数量不变
~ 1个个体在整个存活期内的繁殖数量为 1
1121121nn sssbsbb
稳态分析
T
nssssx ],,,,1[ 1211
*
,)()4
*ckx k
~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比
（与 si 的定义 比较） )()1(
1 kxskx iii
1,,2,1),()(1 nikxskx iii?
3）?=1时 ** xLxT
nssssssx 121211*,,,1
00
0
000
1
2
1
121
n
nn
s
s
s
bbbb
L
