第 二 章 简单 模型示范
2.1 公平的席位分配
2.2 录像机计数器的用途
2.3 双层玻璃窗的功效
2.4 汽车刹车距离
2.5 划艇比赛的成绩
2.6 实物交换
2.7 核军备竞赛
2.8 启帆远航
2.9 量纲分析与无量纲化
2.1 公平的席位分配系别 学生 比例 20席的分配人数 （ %） 比例 结果甲 103 51.5
乙 63 31.5
丙 34 17.0
总和 200 100.0 20.0 20
21席的分配比例 结果
10.815
6.615
3.570
21.000 21
问题三个系学生共 200名（甲系 100，乙系 60，丙系 40），代表会议共 20席，按比例分配，三个系分别为 10,6,4席。
现因学生转系,三系人数为 103,63,34,问 20席如何分配。
若增加为 21席，又如何分配。
比例加惯例对丙系公平吗
（ ）
甲 10.3
乙 6.3
丙 3.4
（ ）
甲 10
乙 6
丙 4
11
7
3
―公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数 席位
A方 p1 n1
B方 p2 n2
当 p1/n1= p2/n2 时，分配公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对 A的 绝对不公平度
p1=150,n1=10,p1/n1=15
p2=100,n2=10,p2/n2=10
p1=1050,n1=10,p1/n1=105
p2=1000,n2=10,p2/n2=100
p1/n1–p2/n2=5
但后者对 A的 不公平程度已大大降低 !
虽二者 的 绝对不公平度相同若 p1/n1> p2/n2,对 不公平A
p1/n1–p2/n2=5
公平分配方案应使 rA,rB 尽量小设 A,B已分别有 n1,n2 席，若增加 1席，问应分给 A,还是 B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2,即对 A不公平
),(
/
//
21
22
2211 nnr
np
npnp
A?
~ 对 A的 相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义 rB(n1,n2)
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即
―公平”分配方法 若 p
1/n1> p2/n2,定义
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2,则这席应给 A
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2,
3）若 p1/n1> p2/(n2+1)，
应计算 rB(n1+1,n2)
应计算 rA(n1,n2+1)
若 rB(n1+1,n2) < rA(n1,n2+1),则这席应给应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2
问,p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？
A
否 !
若 rB(n1+1,n2) >rA(n1,n2+1),则这席应给 B
当 rB(n1+1,n2) < rA(n1,n2+1),该席给 A
rA,rB的定义
)1()1( 11
2
1
22
2
2
nn
p
nn
p
该席给 A
否则,该席给 B
,2,1,
)1(
2
i
nn
p
Q
ii
i
i
定义 该席给 Q值 较大的一方推广到 m方分配席位该席给 Q值最大的一方 Q 值方法
mi
nn
p
Q
ii
i
i,2,1,)1(
2
计算,
三系用 Q值方法重新分配 21个席位按人数比例的整数部分已将 19席分配完毕甲系,p1=103,n1=10
乙系,p2= 63,n2= 6
丙系,p3= 34,n3= 3
用 Q值方法分配第 20席和第 21席第 20席
3.96
43
34,5.94
76
63,4.96
1110
1 0 3 2
3
2
2
2
1 QQQ
第 21席
32
2
1,,4.801211
103 QQQ?
同上 Q3最大,第21席 给丙系甲系 11席，乙系 6席，丙系 4席Q值方法分配结果 公平吗？
Q1最大,第 20席 给甲系进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则已知,m方人数分别为 p1,p2,…,pm,记总人数为
P= p1+p2+…+ pm,待分配的总席位为 N。
设理想情况下 m方分配的席位分别为 n1,n2,…,nm
(自然应有 n1+n2+…+ nm=N)，
记 qi=Npi /P,i=1,2,…,m,
ni 应是 N和 p1,…,pm 的函数，即 ni = ni (N,p1,…,pm )
若 qi均为整数，显然应 ni=qi
qi=Npi /P不全为整数时,ni应满足的准则：
记 [qi]– =floor(qi) ~ 向? qi方向取整；
[qi]+ =ceil(qi) ~ 向? qi方向取整,
1) [qi]–? ni? [qi]+ (i=1,2,…,m),
2) ni (N,p1,…,pm )? ni (N+1,p1,…,pm) (i=1,2,…,m)
即 ni 必取 [qi]–,[qi]+ 之一即当总席位增加时,ni不应减少
―比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）
Q值方法满足 2）,但不满足 1） 。 令人遗憾！
问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为
4450，问剩下的一段还能否录下 1小时的节目？
要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。
思考 计数器读数是均匀增长的吗？
2.2 录像机计数器的用途经试验，一盘标明 180分钟的录像带从头走到尾，时间用了 184分，计数器读数从 0000变到 6061。
录像机计数器的工作原理主动轮压轮
0000左轮盘 右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向录像带运动 右轮盘半径增大右轮转速不是常数录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢问题分析观察 计数器读数增长越来越慢！
模型假设
录像带的运动速度是常数 v ；
计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；
录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w；
空右轮盘半径记作 r ；
时间 t=0 时读数 n=0,
建模目的 建立 时间 t与读数 n之间的关系
（设 v,k,w,r为已知参数）
模型建立建立 t与 n的函数关系有多种方法
1,右轮盘转第 i 圈的半径为 r+wi,m圈的总长度等于录 像 带在时间 t内移动的长度 vt,所以
knm?
n
v
rkn
v
wkt 222
m
i
vtwir
1
)(2?
2,考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即
w v trw k nr ])[( 22?
n
v
rkn
v
wkt 222
3,考察 t到 t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有
v d tk d nw k nr2)(
模型建立思 考
n
v
rkn
v
wkt 222
3种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。
模型中有待定参数,,,,kvwr
一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
m
i
vtwir
1
)(2?
w v trw k nr ])[( 22?
v d tk d nw k nr2)(
思 考参数估计 另一种确定参数的方法 ——测试分析将模型改记作,2 bnant 只需估计 a,b
理论上，已知 t=184,n=6061,再有一组 (t,n)数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 80
n 0000 1141 2019 2760 3413
t 100 120 140 160 184
n 4004 4545 5051 5525 6061
用最小二乘法可得
.1045.1
,1061.2
2
6
b
a
模 型 检 验应该另外测试一批数据检验模型：
bnant 2 )1045.1,1061.2( 26 ba
模 型 应 用回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分，
剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。
揭示了,t 与 n 之间呈二次函数关系” 这一普遍规律，
当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。
2d
墙室内
T1
室外
T2
d d
墙
l
室内
T1
室外
T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设热量传播只有传导，没有对流
T1,T2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律
d
TkQ
Q1
Q2
Q ~单位时间单位面积传导的热量
T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数
2.3 双层玻璃窗的功效
d d
墙
l
室内
T1
室外
T2
Q1
Ta T
b
记双层玻璃窗传导的热量 Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度
Tb~外层玻璃的内侧温度
k1~玻璃的热传导系数
k2~空气 的热传导系数
d
TTk
l
TTk
d
TTkQ bbaa 2
12
1
11
d
lh
k
khs
sd
TTkQ
,,
)2( 2
121
11
建模记单层玻璃窗传导的热量 Q2
d
TTkQ
2
21
12
2d
墙室内
T1
室外
T2
Q2
双层与单层窗传导的热量之比
d
lh
k
khs
sQ
Q
,,
2
2
2
1
2
1
21 QQ?
k1=4?10-3 ~8?10-3,k2=2.5?10-4,k1/k2=16 ~32
对 Q1比 Q2的减少量作最保守的估计，
取 k1/k2 =16 d
lh
hQ
Q?
,
18
1
2
1
)2(
21
11?
sd
TTkQ
建模
h
Q1/Q2
420
0.06
0.030.02
6
模型应用取 h=l/d=4,则 Q1/Q2=0.03
即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少 97%的热量损失。
结果分析
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数 k2,而这要求空气非常干燥、不流通。
房间通过天花板、墙壁 … … 损失的热量更多。
d
lh
hQ
Q?
,18
1
2
1
双层窗的功效不会如此之大
2.4 汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：
背景与问题
正常驾驶条件下,车速每增 10英里 /小时，
后面与前车的距离应增一个车身的长度。
实现这个规则的简便办法是,2秒准则”,
后车司机从前车经过某一标志开始默数
2秒钟后到达同一标志,而不管车速如何判断,2秒准则” 与,车身”规则是否一样；建立数学模型,寻求更好的驾驶规则 。
问题分析常识：刹车距离与车速有关
10英里 /小时 (?16公里 /小时 )车速下 2秒钟行驶
29英尺 (? 9米 ) >>车身的平均长度 15英尺 (=4.6米 )
―2秒准则”与,10英里 /小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间 司机状况 制动系统 灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候 … …
最大制动力与车质量成正比，
使汽车作匀减速运动。
车速常数反应距离制动距离常数假 设 与 建 模
1,刹车距离 d 等于反应距离 d1
与制动距离 d2 之和
2,反应距离 d1与车速 v成正比
3,刹车时使用最大制动力 F，
F作功等于汽车动能的改变 ;
vtd 11?
F d2= m v2/2 F? m
21 kvvtd
t1为反应时间
21 ddd
且 F与车的质量 m成正比
22 kvd?
反应时间 t1的经验估计值为 0.75秒参数估计
利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
21 kvvtd模 型最小二乘法? k=0.06 计算刹车距离、刹车时间车速
(英里 /小时 ) (英尺 /秒 )
实际刹车距离
（英尺）
计算刹车距离
（英尺）
刹车时间
（秒）
20 29.3 42（ 44） 39.0 1.5
30 44.0 73.5（ 78） 76.6 1.8
40 58.7 116（ 124） 126.2 2.1
50 73.3 173（ 186） 187.8 2.5
60 88.0 248（ 268） 261.4 3.0
70 102.7 343（ 372） 347.1 3.6
80 117.3 464（ 506） 444.8 4.3
―2秒准则”应修正为,t 秒准则”
221 06.075.0 vvkvvtd模 型车速
(英里 /小时 )
刹车时间
（秒）
20 1.5
30 1.8
40 2.1
50 2.5
60 3.0
70 3.6
80 4.3
车速（英里 /小时） 0~10 10~40 40~60 60~80
t（秒） 1 2 3 4
2.5 划艇比赛的成绩赛艇 2000米成绩 t (分 )
种类 1 2 3 4 平均单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21
双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88
四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32
八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84
艇长 l 艇宽 b
(米 ) (米 ) l/b
7.93 0.293 27.0
9.76 0.356 27.4
11.75 0.574 21.0
18.28 0.610 30.0
空艇重 w0(kg)
浆手数 n
16.3
13.6
18.1
14.7
对四种赛艇（ 单人、双人、四人、八人） 4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
问题准备 调查赛艇的尺寸和重量 l /b,w0/n 基本不变问题分析
前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力
前进动力 ~ 浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量 艇重浸没面积
对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定
运用合适的物理定律建立模型模型假设
1）艇形状相同 (l/b为常数 ),w0与 n成正比
2） v是常数，阻力 f与 sv2成正比符号：艇速 v,浸没面积 s,浸没体积 A,空艇重 w0,
阻力 f,浆手数 n,浆手功率 p,浆手体重 w,艇重 W
艇的静态特性艇的动态特性
3） w相同,p不变,p与 w成正比 浆手的特征模型建立
f sv2? p w? v (n/s)1/3?
s1/2 A1/3? A W(=w0+nw) n s n2/3?
v n1/9? 比赛成绩 t n – 1/9
np fv?
模型检验
n t
1 7.21
2 6.88
4 6.32
8 5.84
bant?
11.021.7 nt
nbat l o gl o g
最小二乘法利用 4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n – 1/ 9 进行检验?
t
n1 2 4 8
7.21
6.88
6.32
5.84
与模型巧合！
问题甲有物品 X,乙有物品 Y,双方为满足更高的需要，
商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
y
x
p.
用 x,y分别表示甲 (乙 )占有
X,Y的数量。设交换前甲占有 X的数量为 x0,乙占有 Y的数量为 y0,作图：
若不考虑双方对 X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)
都是一种交换方案：甲占有 (x,y),乙占有 (x0 -x,y0 -y)
x
y
yo
0 xo?
2.6 实物交换
x
y
yo
y1
y2
0 x1 x2 xo
p1
p2
.
.
甲的无差别曲线分析与建模如果甲占有 (x1,y1)与占有 (x2,y2)
具有同样的满意程度，即 p1,p2
对甲是无差别的，
M
N
将 所有与 p1,p2无差别的点连接起来，得到一条 无差别曲线 MN,
线上各点的满意度相同,线的形状反映对 X,Y的偏爱程度，
N1
M1
p3(x3,y3).
比 MN各点满意度更高的点如 p3，在另一条无差别曲线 M1N1上。
于是形成一族无差别曲线（无数条）。
y?
x?
p1.
y?
x?
p2.
c1?
y
0 x
f(x,y)=c1
无差别曲线族的性质：
单调减 (x增加,y减小 )? 下凸 (凸向原点 )? 互不相交在 p1点占有 x少,y多，
宁愿以较多的?y换取较少的?x;
在 p2点占有 y少,x多，
就要以较多的?x换取较少的?y。
甲的无差别曲线族记作
f(x,y)=c1 c1~满意度
（ f ~等满意度曲线）
x
y
O
g(x,y)=c2
c2?
乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）
双方的交换路径
x
y
yo
O xo
f=c1
O‘x’
y’
g=c2
乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系 x’O’y’,且反向）
甲的无差别曲线族 f=c1
A
Bp?
P’?
双方满意的交换方案必在 AB（交换路径）上因为在 AB外的任一点 p’,
(双方 )满意度低于 AB上的点 p
两族曲线切点连线记作 AB
A
B
p
交换方案的进一步确定交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y)
0?x?x0,0?y?y0矩形内任一点交换路径 AB
双方的无差别曲线族 等价交换原则
X,Y用货币衡量其价值，设交换前 x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为
C
D
(x0,0),(0,y0) 两点的连线 CD
AB与 CD的交点 p
设 X单价 a,Y单价 b,则等价交换下 ax+by=s (s=ax0=by0)
y
yo
0 x
o
.
,x
2.7 核军备竞赛
冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。
随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。
在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。
当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。
估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。
背景以双方 (战略 )核导弹数量描述核军备的大小。
假定双方采取如下同样的 核威慑战略：
认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；
乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，
给对方重要目标以毁灭性的打击。
在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。
摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。
模型假设图的模型
y=f(x)~甲方有 x枚导弹，乙方所需的最少导弹数
x=g(y)~乙方有 y枚导弹，甲方所需的最少导弹数当 x=0时 y=y0,y0~乙方的 威慑值
xyy 0
x
y
y0
0
xyxfyy 00 )(
y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数
x1x0
y1 P(xm,ym)
x=g(y)
x
y
0
y0
y=f(x)y=f(x)
乙安全区甲安全区双方安全区
P~平衡点 (双方最少导弹数 )
乙安全线精细模型乙方 残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。
sx个基地未摧毁,y–x个基地未攻击。x<y
甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个,
y0=sx+y–x
x=y y
0=sy
乙的 x–y个被攻击 2次,s2(x–y)个未摧毁；
y –(x–y)=2y– x个被攻击 1次,s(2y–x )个未摧毁
y0= s2(x–y)+ s(2y– x )
x=2y y0=s2y
y<x<2y
xssss yy 21)2( 0
y= y0+(1-s)x
y=y0/s
y=y0/s2
yxa s
y
s
yy
/
00
a~交换比 (甲乙导弹数量比 )
x=a y,
精细模型
x=y,y=y0/s x=2y,y=y0/s2
y0~威慑值 s~残存率
y=f(x)
y是一条上凸的曲线
y0变大，曲线上移、变陡
s变大,y减小，曲线变平
a变大,y增加，曲线变陡x
y
0
y0
x<y,y= y0+(1-s)x
x=y x=2y
y<x<2y,
xssss yy 21)2( 0
甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值 y0变大
x
y
0
y0
x0
P(xm,ym)
x=g(y)y=f(x)
mmmm yyxx,
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
),( mm yxP
（其它因素不变）
乙安全线 y=f(x)上移模型解释平衡点 P?P′
甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线 y=f(x)不变甲方残存率变大威慑值 x 0和交换比不变
x减小，甲安全线
x=g(y)向 y轴靠近
mmmm yyxx,
x
y
0
y0
x0
P(xm,ym)
x=g(y)y=f(x)
),( mm yxP
模型解释甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少
P?P′
双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标
(x,y仍为双方核导弹的数量 )
双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加
y0减小? y下移且变平
x
y
0
y0
x0
P(xm,ym)
x=g(y)
y=f(x) P?
P?
a 变大? y增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析
PP
模型解释乙安全线 y=f(x)
PP
帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向简化问题
A B
风向北航向帆船海面上东风劲吹，设帆船要从 A点驶向正东方的 B点，
确定起航时的航向?,帆?
以及帆的朝向?
2.8 启帆远航模型分析? 风 (通过帆 )对船的推力 w
风对船体部分的阻力 p
推力 w的分解
w
p
阻力 p的分解
w=w1+w2
w1 w
2
w1=f1+f2
f1
f2
p2p
1
p=p1+p2
模型假设
w与帆迎风面积 s1成正比,p与船迎风面积
s2成正比，比例系数相同且 s1远大于 s2，
f1~航行方向的推力
p1 ~航行方向的阻力
w1=wsin(?-?)
f1=w1sin?=wsin? sin(?-?)
p1=pcos?
模型假设
w
p
w1 w
2
f1
f2
p2p
1
w2与帆面平行，可忽略
f2,p2垂直于船身，可由舵抵消模型建立
w=ks1,p=ks2
船在正东方向速度分量 v1=vcos?
航向速度 v与力 f=f1-p1成正比
v=k1(f1-p1) v1
v
2) 令? =? /2,
v1=k1 [w(1-cos?)/2 -pcos?]cos?
求?使 v1最大 （ w=ks1,p=ks2）
1) 当?固定时求?使 f1最大
f1=w[cos(?-2?)-cos?]/2
=? /2 时 f1=w(1-cos?)/2最大
= k1(f1-p1)cos?
f1=w1sin?=wsin? sin(?-?) p1=pcos?
求?,?,使 v1最大模型建立 v1=vcos?
w
p
w1 w
2
f1
f2
p2p
1
v1
v
模型求解
60o<? < 75o1< t < 2
cos)cos1(21 tkv ])
2
1( c o s
4
1[ 2
22 tttk
v1最大
2
),21(
2
1c o s
1
2
s
st
t
备注?只讨论起航时的航向，是静态模型
航行过程中终点 B将不在正东方记 t=1+2s2/s1,k2=k1w/2
=( k1w/2)[1-(1+2p/w)cos?]cos?
w=ks1,p=ks2
1/4<cos?<1/2
模型求解 v1=k1 [w(1-cos?)/2 -pcos?]cos?
s1>> s2
2.9 量纲分析与无量纲化物理量的量纲长度 l 的量纲记 L=[l]
质量 m的量纲记 M=[m]
时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中基本量纲
L,M,T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1
导出量纲
2
21
r
mmkf?
加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
引力常数 k 的量纲 [k]
对无量纲量?,[?]=1(=L0M0T0)
2.9.1 量纲齐次原则
=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致量纲分析 ~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动
)1(321 glmt?
321 ][][][][ glmt?
l
mg
m
求摆动周期 t 的表达式设物理量 t,m,l,g
之间有关系式
1,?2,?3 为待定系数,?为无量纲量
2/1
2/1
0
3
2
1
g
lt
(1)的量纲表达式
g
lt?2?
对比
3321 2 TLMT
12
0
0
3
32
1
对 x,y,z的两组测量值 x1,y1,z1和 x2,y2,z2，
p1 = f( x1,y1,z1),p2 = f( x2,y2,z2 )
2
1
2
1
p
p
p
p
为什么假设这种形式
321 glmt?
设 p= f(x,y,z)
),,(
),,(
),,(
),,(
222
111
222
111
czbyaxf
czbyaxf
zyxf
zyxf?
x,y,z的量纲单位缩小 a,b,c倍
zyxzyxf?),,(
p= f(x,y,z)的形式为
),,(),,,( 22221111 czbyaxfpczbyaxfp
000201
001010100
4
321
)(
)()()(
TMLTML
TMLTMLTML
y
yyy
0002 41243 TMLTML yyyyy
201
001
010
100
][
][
][
][
TMLg
TMLl
TMLm
TMLt
单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式 0),,,(?glmtf
02
0
0
41
2
43
yy
y
yy
glt 12
)/( gltT
Tyyyy
y
)1,1,0,2(
),,,( 4321
基本解
4321 yyyy glmt
y1~y4 为待定常数,?为无量纲量
0)(F
设 f(q1,q2,?,qm) = 0
mjXq n
i
a
ij
ij,,2,1,][
1
ys = (ys1,ys2,…,y sm)T,s = 1,2,…,m-r
F(? 1,?2,…,?m-r ) = 0 与 f (q1,q2,?,qm) =0 等价,F未定
Pi定理 (Buckingham)
是与量纲单位无关的物理定律,X1,X2,?,Xn 是基本量纲,n?m,q1,q2,?,qm 的量纲可表为
,}{ mnijaA
量纲矩阵记作
rA?r a n k若线性齐次方程组 0?Ay 有 m-r 个基本解，记作
m
j
y
js
sjq
1
为 m-r 个相互独立的无量纲量,且则
)()()()()()(
)(201002
)(100100
)(121311
fsvlg
T
M
L
A
[g] = LT-2,[l] = L,[?] = L-3M,
[v] = LT-1,,[s] = L2,[f] = LMT-2
量纲分析示例,波浪对航船的阻力航船阻力 f
mj
Xq
n
i
a
ij
ij
,,2,1
,][
1
航船速度 v,船体尺寸 l,浸没面积 s,
海水密度?,重力加速度 g。
mnijaA }{
m=6,n=3
0),,,,,(?fsvlg0),,,( 21?mqqqf?
T
T
T
y
y
y
)1,0,0(
)0,1,0(
)0,0,1(
3
2
1
flg
sl
vlg
131
3
2
2
2
1
2
1
1
,1,3,1
,0,2,0
,0,2/1,2/1
Ay=0 有 m-r=3个基本解
rank A = 3rank A = r
Ay=0 有 m-r个基本解
ys = (ys1,ys2,…,ysm)T
s = 1,2,…,m-r
m
j
y
js
sjq
1
m-r 个无量纲量
0),,,( 21?mqqqf? 0),,,,,(?fsvlg
F(?1,?2,?3 ) = 0与
(g,l,?,v,s,f) = 0 等价
flg
sl
vlg
131
3
2
2
2
1
2
1
1
为得到阻力 f 的显式表达式 F=0 ),(
213
未定
m
j
y
js
sjq
1
F(? 1,?2,…,?m-r ) = 0 与
f (q1,q2,?,qm) =0 等价
22121
3,),,(
l
s
gl
vglf
量纲分析法的评注
物理量的选取
基本量纲的选取
基本解的构造
结果的局限性
(…) = 0 中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数 n; 选哪些基本量纲有目的地构造 Ay=0 的基本解
方法的普适性函数 F和无量纲量未定不需要特定的专业知识
2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用例,航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力
gvlsf,,,,,?
~模型船的参数 (均已知 )
2
1
1
2
11
1
1
2111
3
11
,
),(
l
s
lg
v
glf
可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力 221
21
3
,
),(
l
s
gl
v
glf
111111,,,,,gvlsf?
~原型船的参数
(f1未知，其他已知 )注意：二者的?相同
2211,
1gg?
l
l
v
v 121 )(? 211 )(
l
l
s
s?
3
1
3
11
l
l
f
f?
311 )(
l
l
f
f?
)( 1
按一定尺寸比例造模型船，
量测 f，可算出 f1 ~ 物理模拟
221
21
3
,
),(
l
s
gl
v
glf
2
1
1
2
11
1
1
2111
3
11
,
),(
l
s
lg
v
glf
2.9.3 无量纲化例：火箭发射
2
21
1 )( rx
mmkxm
vxx
rx
gr
x
)0(,0)0(
)(
2
2
),,;( gvrtxx?
m1
m2
x
r
v
0
g
星球表面竖直发射。初速 v,星球半径 r,表面重力加速度 g
研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律
t=0 时 x=0,火箭质量 m1,星球质量 m2
牛顿第二定律，万有引力定律
)0( xgx
grkm 22?
——3个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数
[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2
变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的 量纲用 参数 r,v,g的组合,分别构造与 x,t具有相同 量纲的 xc,tc （特征尺度）
—无量纲变量tx,
vrtrx cc /,如
),,;( gvrtxx?利用新变量,,tx 将被简化
cc t
tt
x
xx,令
xc,tc的不同构造
vrtrx cc /,1）令
cc t
tt
x
xx,
的不同简化结果 ),,;( gvrtxx?
x
r
v
td
xd
r
v
x
xv
td
xd
vx
2
2
22
),,;( gvrtxx? );(?txx为无量纲量
rvttrxx /,/
vxx
rx
gr
x
)0(,0)0(
)( 2
2
1)0(,0)0(
,
)1(
1
2
2
xx
rg
v
x
x
gvtgvx cc /,/23）令
),,;( gvrtxx?
1)0(,0)0(
,
)1(
1
2
2
xx
rg
v
x
x
);(?txx?
为无量纲量
),,;( gvrtxx?
grtrx cc /,2）令
rg
v
x
x
x
x
2
2
,)0(
0)0(
)1(
1
);(?txx?
为无量纲量
)/(8 0 0 08.9106 3 7 0 3 smrg
1） 2） 3）
的共同点 只含 1个参数 ——无量纲量?
);(?txx?解重要差别
rg
v 2考察无量纲量
v 1
在 1） 2） 3）中能否忽略以?为因子的项？
1)0(,0)0(
,
)1(
1
2
2
xx
rg
v
x
x
1) 忽略?项无解x 不能忽略?项
1)0(,0)0(
,0
)1(
1
2
xx
x
tttx
2
)(
2
1)0(,0)0(
,1
xx
x
0)0(,0)0(
,
)1(
1
2
xx
x
x
rg
v
x
x
x
x
2
2
,)0(
0)0(
)1(
1
2)
1)0(,0)0(
,
)1(
1
2
2
xx
rg
v
x
x
3)
忽略?项
0)(?tx
不能忽略?项忽略?项
0)( tx
vx
x
gx
)0(
0)0(
tttx
2
)(
2
gvtgvx cc /,/2
cc t
tt
x
xx,
vtgttx 2
2
1)(
火箭发射过程中引力 m1g不变即 x+r? r
vxx
rx
gr
x
)0(,0)0(
)(
2
2
原问题可以忽略?项vtgttx 2
2
1)(
是原问题的近似解为什么 3)能忽略?项，得到原问题近似解，而 1) 2)不能?
vrtrx cc /,1）令
grtrx cc /,2）令
gvtgvx cc /,/23）令火箭到达最高点时间为 v/g,高度为 v2/2g,
cc tttxxx /,/
大体上具有单位尺度
)1( 项可以忽略
cxx
1,tx
)1( 项不能忽略林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学
2.1 公平的席位分配
2.2 录像机计数器的用途
2.3 双层玻璃窗的功效
2.4 汽车刹车距离
2.5 划艇比赛的成绩
2.6 实物交换
2.7 核军备竞赛
2.8 启帆远航
2.9 量纲分析与无量纲化
2.1 公平的席位分配系别 学生 比例 20席的分配人数 （ %） 比例 结果甲 103 51.5
乙 63 31.5
丙 34 17.0
总和 200 100.0 20.0 20
21席的分配比例 结果
10.815
6.615
3.570
21.000 21
问题三个系学生共 200名（甲系 100，乙系 60，丙系 40），代表会议共 20席，按比例分配，三个系分别为 10,6,4席。
现因学生转系,三系人数为 103,63,34,问 20席如何分配。
若增加为 21席，又如何分配。
比例加惯例对丙系公平吗
（ ）
甲 10.3
乙 6.3
丙 3.4
（ ）
甲 10
乙 6
丙 4
11
7
3
―公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数 席位
A方 p1 n1
B方 p2 n2
当 p1/n1= p2/n2 时，分配公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对 A的 绝对不公平度
p1=150,n1=10,p1/n1=15
p2=100,n2=10,p2/n2=10
p1=1050,n1=10,p1/n1=105
p2=1000,n2=10,p2/n2=100
p1/n1–p2/n2=5
但后者对 A的 不公平程度已大大降低 !
虽二者 的 绝对不公平度相同若 p1/n1> p2/n2,对 不公平A
p1/n1–p2/n2=5
公平分配方案应使 rA,rB 尽量小设 A,B已分别有 n1,n2 席，若增加 1席，问应分给 A,还是 B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2,即对 A不公平
),(
/
//
21
22
2211 nnr
np
npnp
A?
~ 对 A的 相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义 rB(n1,n2)
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即
―公平”分配方法 若 p
1/n1> p2/n2,定义
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2,则这席应给 A
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2,
3）若 p1/n1> p2/(n2+1)，
应计算 rB(n1+1,n2)
应计算 rA(n1,n2+1)
若 rB(n1+1,n2) < rA(n1,n2+1),则这席应给应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2
问,p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？
A
否 !
若 rB(n1+1,n2) >rA(n1,n2+1),则这席应给 B
当 rB(n1+1,n2) < rA(n1,n2+1),该席给 A
rA,rB的定义
)1()1( 11
2
1
22
2
2
nn
p
nn
p
该席给 A
否则,该席给 B
,2,1,
)1(
2
i
nn
p
Q
ii
i
i
定义 该席给 Q值 较大的一方推广到 m方分配席位该席给 Q值最大的一方 Q 值方法
mi
nn
p
Q
ii
i
i,2,1,)1(
2
计算,
三系用 Q值方法重新分配 21个席位按人数比例的整数部分已将 19席分配完毕甲系,p1=103,n1=10
乙系,p2= 63,n2= 6
丙系,p3= 34,n3= 3
用 Q值方法分配第 20席和第 21席第 20席
3.96
43
34,5.94
76
63,4.96
1110
1 0 3 2
3
2
2
2
1 QQQ
第 21席
32
2
1,,4.801211
103 QQQ?
同上 Q3最大,第21席 给丙系甲系 11席，乙系 6席，丙系 4席Q值方法分配结果 公平吗？
Q1最大,第 20席 给甲系进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则已知,m方人数分别为 p1,p2,…,pm,记总人数为
P= p1+p2+…+ pm,待分配的总席位为 N。
设理想情况下 m方分配的席位分别为 n1,n2,…,nm
(自然应有 n1+n2+…+ nm=N)，
记 qi=Npi /P,i=1,2,…,m,
ni 应是 N和 p1,…,pm 的函数，即 ni = ni (N,p1,…,pm )
若 qi均为整数，显然应 ni=qi
qi=Npi /P不全为整数时,ni应满足的准则：
记 [qi]– =floor(qi) ~ 向? qi方向取整；
[qi]+ =ceil(qi) ~ 向? qi方向取整,
1) [qi]–? ni? [qi]+ (i=1,2,…,m),
2) ni (N,p1,…,pm )? ni (N+1,p1,…,pm) (i=1,2,…,m)
即 ni 必取 [qi]–,[qi]+ 之一即当总席位增加时,ni不应减少
―比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）
Q值方法满足 2）,但不满足 1） 。 令人遗憾！
问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为
4450，问剩下的一段还能否录下 1小时的节目？
要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。
思考 计数器读数是均匀增长的吗？
2.2 录像机计数器的用途经试验，一盘标明 180分钟的录像带从头走到尾，时间用了 184分，计数器读数从 0000变到 6061。
录像机计数器的工作原理主动轮压轮
0000左轮盘 右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向录像带运动 右轮盘半径增大右轮转速不是常数录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢问题分析观察 计数器读数增长越来越慢！
模型假设
录像带的运动速度是常数 v ；
计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；
录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w；
空右轮盘半径记作 r ；
时间 t=0 时读数 n=0,
建模目的 建立 时间 t与读数 n之间的关系
（设 v,k,w,r为已知参数）
模型建立建立 t与 n的函数关系有多种方法
1,右轮盘转第 i 圈的半径为 r+wi,m圈的总长度等于录 像 带在时间 t内移动的长度 vt,所以
knm?
n
v
rkn
v
wkt 222
m
i
vtwir
1
)(2?
2,考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即
w v trw k nr ])[( 22?
n
v
rkn
v
wkt 222
3,考察 t到 t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有
v d tk d nw k nr2)(
模型建立思 考
n
v
rkn
v
wkt 222
3种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。
模型中有待定参数,,,,kvwr
一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
m
i
vtwir
1
)(2?
w v trw k nr ])[( 22?
v d tk d nw k nr2)(
思 考参数估计 另一种确定参数的方法 ——测试分析将模型改记作,2 bnant 只需估计 a,b
理论上，已知 t=184,n=6061,再有一组 (t,n)数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 80
n 0000 1141 2019 2760 3413
t 100 120 140 160 184
n 4004 4545 5051 5525 6061
用最小二乘法可得
.1045.1
,1061.2
2
6
b
a
模 型 检 验应该另外测试一批数据检验模型：
bnant 2 )1045.1,1061.2( 26 ba
模 型 应 用回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分，
剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。
揭示了,t 与 n 之间呈二次函数关系” 这一普遍规律，
当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。
2d
墙室内
T1
室外
T2
d d
墙
l
室内
T1
室外
T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设热量传播只有传导，没有对流
T1,T2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律
d
TkQ
Q1
Q2
Q ~单位时间单位面积传导的热量
T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数
2.3 双层玻璃窗的功效
d d
墙
l
室内
T1
室外
T2
Q1
Ta T
b
记双层玻璃窗传导的热量 Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度
Tb~外层玻璃的内侧温度
k1~玻璃的热传导系数
k2~空气 的热传导系数
d
TTk
l
TTk
d
TTkQ bbaa 2
12
1
11
d
lh
k
khs
sd
TTkQ
,,
)2( 2
121
11
建模记单层玻璃窗传导的热量 Q2
d
TTkQ
2
21
12
2d
墙室内
T1
室外
T2
Q2
双层与单层窗传导的热量之比
d
lh
k
khs
sQ
Q
,,
2
2
2
1
2
1
21 QQ?
k1=4?10-3 ~8?10-3,k2=2.5?10-4,k1/k2=16 ~32
对 Q1比 Q2的减少量作最保守的估计，
取 k1/k2 =16 d
lh
hQ
Q?
,
18
1
2
1
)2(
21
11?
sd
TTkQ
建模
h
Q1/Q2
420
0.06
0.030.02
6
模型应用取 h=l/d=4,则 Q1/Q2=0.03
即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少 97%的热量损失。
结果分析
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数 k2,而这要求空气非常干燥、不流通。
房间通过天花板、墙壁 … … 损失的热量更多。
d
lh
hQ
Q?
,18
1
2
1
双层窗的功效不会如此之大
2.4 汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：
背景与问题
正常驾驶条件下,车速每增 10英里 /小时，
后面与前车的距离应增一个车身的长度。
实现这个规则的简便办法是,2秒准则”,
后车司机从前车经过某一标志开始默数
2秒钟后到达同一标志,而不管车速如何判断,2秒准则” 与,车身”规则是否一样；建立数学模型,寻求更好的驾驶规则 。
问题分析常识：刹车距离与车速有关
10英里 /小时 (?16公里 /小时 )车速下 2秒钟行驶
29英尺 (? 9米 ) >>车身的平均长度 15英尺 (=4.6米 )
―2秒准则”与,10英里 /小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间 司机状况 制动系统 灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候 … …
最大制动力与车质量成正比，
使汽车作匀减速运动。
车速常数反应距离制动距离常数假 设 与 建 模
1,刹车距离 d 等于反应距离 d1
与制动距离 d2 之和
2,反应距离 d1与车速 v成正比
3,刹车时使用最大制动力 F，
F作功等于汽车动能的改变 ;
vtd 11?
F d2= m v2/2 F? m
21 kvvtd
t1为反应时间
21 ddd
且 F与车的质量 m成正比
22 kvd?
反应时间 t1的经验估计值为 0.75秒参数估计
利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
21 kvvtd模 型最小二乘法? k=0.06 计算刹车距离、刹车时间车速
(英里 /小时 ) (英尺 /秒 )
实际刹车距离
（英尺）
计算刹车距离
（英尺）
刹车时间
（秒）
20 29.3 42（ 44） 39.0 1.5
30 44.0 73.5（ 78） 76.6 1.8
40 58.7 116（ 124） 126.2 2.1
50 73.3 173（ 186） 187.8 2.5
60 88.0 248（ 268） 261.4 3.0
70 102.7 343（ 372） 347.1 3.6
80 117.3 464（ 506） 444.8 4.3
―2秒准则”应修正为,t 秒准则”
221 06.075.0 vvkvvtd模 型车速
(英里 /小时 )
刹车时间
（秒）
20 1.5
30 1.8
40 2.1
50 2.5
60 3.0
70 3.6
80 4.3
车速（英里 /小时） 0~10 10~40 40~60 60~80
t（秒） 1 2 3 4
2.5 划艇比赛的成绩赛艇 2000米成绩 t (分 )
种类 1 2 3 4 平均单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21
双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88
四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32
八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84
艇长 l 艇宽 b
(米 ) (米 ) l/b
7.93 0.293 27.0
9.76 0.356 27.4
11.75 0.574 21.0
18.28 0.610 30.0
空艇重 w0(kg)
浆手数 n
16.3
13.6
18.1
14.7
对四种赛艇（ 单人、双人、四人、八人） 4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
问题准备 调查赛艇的尺寸和重量 l /b,w0/n 基本不变问题分析
前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力
前进动力 ~ 浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量 艇重浸没面积
对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定
运用合适的物理定律建立模型模型假设
1）艇形状相同 (l/b为常数 ),w0与 n成正比
2） v是常数，阻力 f与 sv2成正比符号：艇速 v,浸没面积 s,浸没体积 A,空艇重 w0,
阻力 f,浆手数 n,浆手功率 p,浆手体重 w,艇重 W
艇的静态特性艇的动态特性
3） w相同,p不变,p与 w成正比 浆手的特征模型建立
f sv2? p w? v (n/s)1/3?
s1/2 A1/3? A W(=w0+nw) n s n2/3?
v n1/9? 比赛成绩 t n – 1/9
np fv?
模型检验
n t
1 7.21
2 6.88
4 6.32
8 5.84
bant?
11.021.7 nt
nbat l o gl o g
最小二乘法利用 4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n – 1/ 9 进行检验?
t
n1 2 4 8
7.21
6.88
6.32
5.84
与模型巧合！
问题甲有物品 X,乙有物品 Y,双方为满足更高的需要，
商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
y
x
p.
用 x,y分别表示甲 (乙 )占有
X,Y的数量。设交换前甲占有 X的数量为 x0,乙占有 Y的数量为 y0,作图：
若不考虑双方对 X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)
都是一种交换方案：甲占有 (x,y),乙占有 (x0 -x,y0 -y)
x
y
yo
0 xo?
2.6 实物交换
x
y
yo
y1
y2
0 x1 x2 xo
p1
p2
.
.
甲的无差别曲线分析与建模如果甲占有 (x1,y1)与占有 (x2,y2)
具有同样的满意程度，即 p1,p2
对甲是无差别的，
M
N
将 所有与 p1,p2无差别的点连接起来，得到一条 无差别曲线 MN,
线上各点的满意度相同,线的形状反映对 X,Y的偏爱程度，
N1
M1
p3(x3,y3).
比 MN各点满意度更高的点如 p3，在另一条无差别曲线 M1N1上。
于是形成一族无差别曲线（无数条）。
y?
x?
p1.
y?
x?
p2.
c1?
y
0 x
f(x,y)=c1
无差别曲线族的性质：
单调减 (x增加,y减小 )? 下凸 (凸向原点 )? 互不相交在 p1点占有 x少,y多，
宁愿以较多的?y换取较少的?x;
在 p2点占有 y少,x多，
就要以较多的?x换取较少的?y。
甲的无差别曲线族记作
f(x,y)=c1 c1~满意度
（ f ~等满意度曲线）
x
y
O
g(x,y)=c2
c2?
乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）
双方的交换路径
x
y
yo
O xo
f=c1
O‘x’
y’
g=c2
乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系 x’O’y’,且反向）
甲的无差别曲线族 f=c1
A
Bp?
P’?
双方满意的交换方案必在 AB（交换路径）上因为在 AB外的任一点 p’,
(双方 )满意度低于 AB上的点 p
两族曲线切点连线记作 AB
A
B
p
交换方案的进一步确定交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y)
0?x?x0,0?y?y0矩形内任一点交换路径 AB
双方的无差别曲线族 等价交换原则
X,Y用货币衡量其价值，设交换前 x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为
C
D
(x0,0),(0,y0) 两点的连线 CD
AB与 CD的交点 p
设 X单价 a,Y单价 b,则等价交换下 ax+by=s (s=ax0=by0)
y
yo
0 x
o
.
,x
2.7 核军备竞赛
冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。
随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。
在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。
当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。
估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。
背景以双方 (战略 )核导弹数量描述核军备的大小。
假定双方采取如下同样的 核威慑战略：
认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；
乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，
给对方重要目标以毁灭性的打击。
在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。
摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。
模型假设图的模型
y=f(x)~甲方有 x枚导弹，乙方所需的最少导弹数
x=g(y)~乙方有 y枚导弹，甲方所需的最少导弹数当 x=0时 y=y0,y0~乙方的 威慑值
xyy 0
x
y
y0
0
xyxfyy 00 )(
y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数
x1x0
y1 P(xm,ym)
x=g(y)
x
y
0
y0
y=f(x)y=f(x)
乙安全区甲安全区双方安全区
P~平衡点 (双方最少导弹数 )
乙安全线精细模型乙方 残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。
sx个基地未摧毁,y–x个基地未攻击。x<y
甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个,
y0=sx+y–x
x=y y
0=sy
乙的 x–y个被攻击 2次,s2(x–y)个未摧毁；
y –(x–y)=2y– x个被攻击 1次,s(2y–x )个未摧毁
y0= s2(x–y)+ s(2y– x )
x=2y y0=s2y
y<x<2y
xssss yy 21)2( 0
y= y0+(1-s)x
y=y0/s
y=y0/s2
yxa s
y
s
yy
/
00
a~交换比 (甲乙导弹数量比 )
x=a y,
精细模型
x=y,y=y0/s x=2y,y=y0/s2
y0~威慑值 s~残存率
y=f(x)
y是一条上凸的曲线
y0变大，曲线上移、变陡
s变大,y减小，曲线变平
a变大,y增加，曲线变陡x
y
0
y0
x<y,y= y0+(1-s)x
x=y x=2y
y<x<2y,
xssss yy 21)2( 0
甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值 y0变大
x
y
0
y0
x0
P(xm,ym)
x=g(y)y=f(x)
mmmm yyxx,
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
),( mm yxP
（其它因素不变）
乙安全线 y=f(x)上移模型解释平衡点 P?P′
甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线 y=f(x)不变甲方残存率变大威慑值 x 0和交换比不变
x减小，甲安全线
x=g(y)向 y轴靠近
mmmm yyxx,
x
y
0
y0
x0
P(xm,ym)
x=g(y)y=f(x)
),( mm yxP
模型解释甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少
P?P′
双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标
(x,y仍为双方核导弹的数量 )
双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加
y0减小? y下移且变平
x
y
0
y0
x0
P(xm,ym)
x=g(y)
y=f(x) P?
P?
a 变大? y增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析
PP
模型解释乙安全线 y=f(x)
PP
帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向简化问题
A B
风向北航向帆船海面上东风劲吹，设帆船要从 A点驶向正东方的 B点，
确定起航时的航向?,帆?
以及帆的朝向?
2.8 启帆远航模型分析? 风 (通过帆 )对船的推力 w
风对船体部分的阻力 p
推力 w的分解
w
p
阻力 p的分解
w=w1+w2
w1 w
2
w1=f1+f2
f1
f2
p2p
1
p=p1+p2
模型假设
w与帆迎风面积 s1成正比,p与船迎风面积
s2成正比，比例系数相同且 s1远大于 s2，
f1~航行方向的推力
p1 ~航行方向的阻力
w1=wsin(?-?)
f1=w1sin?=wsin? sin(?-?)
p1=pcos?
模型假设
w
p
w1 w
2
f1
f2
p2p
1
w2与帆面平行，可忽略
f2,p2垂直于船身，可由舵抵消模型建立
w=ks1,p=ks2
船在正东方向速度分量 v1=vcos?
航向速度 v与力 f=f1-p1成正比
v=k1(f1-p1) v1
v
2) 令? =? /2,
v1=k1 [w(1-cos?)/2 -pcos?]cos?
求?使 v1最大 （ w=ks1,p=ks2）
1) 当?固定时求?使 f1最大
f1=w[cos(?-2?)-cos?]/2
=? /2 时 f1=w(1-cos?)/2最大
= k1(f1-p1)cos?
f1=w1sin?=wsin? sin(?-?) p1=pcos?
求?,?,使 v1最大模型建立 v1=vcos?
w
p
w1 w
2
f1
f2
p2p
1
v1
v
模型求解
60o<? < 75o1< t < 2
cos)cos1(21 tkv ])
2
1( c o s
4
1[ 2
22 tttk
v1最大
2
),21(
2
1c o s
1
2
s
st
t
备注?只讨论起航时的航向，是静态模型
航行过程中终点 B将不在正东方记 t=1+2s2/s1,k2=k1w/2
=( k1w/2)[1-(1+2p/w)cos?]cos?
w=ks1,p=ks2
1/4<cos?<1/2
模型求解 v1=k1 [w(1-cos?)/2 -pcos?]cos?
s1>> s2
2.9 量纲分析与无量纲化物理量的量纲长度 l 的量纲记 L=[l]
质量 m的量纲记 M=[m]
时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中基本量纲
L,M,T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1
导出量纲
2
21
r
mmkf?
加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
引力常数 k 的量纲 [k]
对无量纲量?,[?]=1(=L0M0T0)
2.9.1 量纲齐次原则
=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致量纲分析 ~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动
)1(321 glmt?
321 ][][][][ glmt?
l
mg
m
求摆动周期 t 的表达式设物理量 t,m,l,g
之间有关系式
1,?2,?3 为待定系数,?为无量纲量
2/1
2/1
0
3
2
1
g
lt
(1)的量纲表达式
g
lt?2?
对比
3321 2 TLMT
12
0
0
3
32
1
对 x,y,z的两组测量值 x1,y1,z1和 x2,y2,z2，
p1 = f( x1,y1,z1),p2 = f( x2,y2,z2 )
2
1
2
1
p
p
p
p
为什么假设这种形式
321 glmt?
设 p= f(x,y,z)
),,(
),,(
),,(
),,(
222
111
222
111
czbyaxf
czbyaxf
zyxf
zyxf?
x,y,z的量纲单位缩小 a,b,c倍
zyxzyxf?),,(
p= f(x,y,z)的形式为
),,(),,,( 22221111 czbyaxfpczbyaxfp
000201
001010100
4
321
)(
)()()(
TMLTML
TMLTMLTML
y
yyy
0002 41243 TMLTML yyyyy
201
001
010
100
][
][
][
][
TMLg
TMLl
TMLm
TMLt
单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式 0),,,(?glmtf
02
0
0
41
2
43
yy
y
yy
glt 12
)/( gltT
Tyyyy
y
)1,1,0,2(
),,,( 4321
基本解
4321 yyyy glmt
y1~y4 为待定常数,?为无量纲量
0)(F
设 f(q1,q2,?,qm) = 0
mjXq n
i
a
ij
ij,,2,1,][
1
ys = (ys1,ys2,…,y sm)T,s = 1,2,…,m-r
F(? 1,?2,…,?m-r ) = 0 与 f (q1,q2,?,qm) =0 等价,F未定
Pi定理 (Buckingham)
是与量纲单位无关的物理定律,X1,X2,?,Xn 是基本量纲,n?m,q1,q2,?,qm 的量纲可表为
,}{ mnijaA
量纲矩阵记作
rA?r a n k若线性齐次方程组 0?Ay 有 m-r 个基本解，记作
m
j
y
js
sjq
1
为 m-r 个相互独立的无量纲量,且则
)()()()()()(
)(201002
)(100100
)(121311
fsvlg
T
M
L
A
[g] = LT-2,[l] = L,[?] = L-3M,
[v] = LT-1,,[s] = L2,[f] = LMT-2
量纲分析示例,波浪对航船的阻力航船阻力 f
mj
Xq
n
i
a
ij
ij
,,2,1
,][
1
航船速度 v,船体尺寸 l,浸没面积 s,
海水密度?,重力加速度 g。
mnijaA }{
m=6,n=3
0),,,,,(?fsvlg0),,,( 21?mqqqf?
T
T
T
y
y
y
)1,0,0(
)0,1,0(
)0,0,1(
3
2
1
flg
sl
vlg
131
3
2
2
2
1
2
1
1
,1,3,1
,0,2,0
,0,2/1,2/1
Ay=0 有 m-r=3个基本解
rank A = 3rank A = r
Ay=0 有 m-r个基本解
ys = (ys1,ys2,…,ysm)T
s = 1,2,…,m-r
m
j
y
js
sjq
1
m-r 个无量纲量
0),,,( 21?mqqqf? 0),,,,,(?fsvlg
F(?1,?2,?3 ) = 0与
(g,l,?,v,s,f) = 0 等价
flg
sl
vlg
131
3
2
2
2
1
2
1
1
为得到阻力 f 的显式表达式 F=0 ),(
213
未定
m
j
y
js
sjq
1
F(? 1,?2,…,?m-r ) = 0 与
f (q1,q2,?,qm) =0 等价
22121
3,),,(
l
s
gl
vglf
量纲分析法的评注
物理量的选取
基本量纲的选取
基本解的构造
结果的局限性
(…) = 0 中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数 n; 选哪些基本量纲有目的地构造 Ay=0 的基本解
方法的普适性函数 F和无量纲量未定不需要特定的专业知识
2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用例,航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力
gvlsf,,,,,?
~模型船的参数 (均已知 )
2
1
1
2
11
1
1
2111
3
11
,
),(
l
s
lg
v
glf
可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力 221
21
3
,
),(
l
s
gl
v
glf
111111,,,,,gvlsf?
~原型船的参数
(f1未知，其他已知 )注意：二者的?相同
2211,
1gg?
l
l
v
v 121 )(? 211 )(
l
l
s
s?
3
1
3
11
l
l
f
f?
311 )(
l
l
f
f?
)( 1
按一定尺寸比例造模型船，
量测 f，可算出 f1 ~ 物理模拟
221
21
3
,
),(
l
s
gl
v
glf
2
1
1
2
11
1
1
2111
3
11
,
),(
l
s
lg
v
glf
2.9.3 无量纲化例：火箭发射
2
21
1 )( rx
mmkxm
vxx
rx
gr
x
)0(,0)0(
)(
2
2
),,;( gvrtxx?
m1
m2
x
r
v
0
g
星球表面竖直发射。初速 v,星球半径 r,表面重力加速度 g
研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律
t=0 时 x=0,火箭质量 m1,星球质量 m2
牛顿第二定律，万有引力定律
)0( xgx
grkm 22?
——3个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数
[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2
变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的 量纲用 参数 r,v,g的组合,分别构造与 x,t具有相同 量纲的 xc,tc （特征尺度）
—无量纲变量tx,
vrtrx cc /,如
),,;( gvrtxx?利用新变量,,tx 将被简化
cc t
tt
x
xx,令
xc,tc的不同构造
vrtrx cc /,1）令
cc t
tt
x
xx,
的不同简化结果 ),,;( gvrtxx?
x
r
v
td
xd
r
v
x
xv
td
xd
vx
2
2
22
),,;( gvrtxx? );(?txx为无量纲量
rvttrxx /,/
vxx
rx
gr
x
)0(,0)0(
)( 2
2
1)0(,0)0(
,
)1(
1
2
2
xx
rg
v
x
x
gvtgvx cc /,/23）令
),,;( gvrtxx?
1)0(,0)0(
,
)1(
1
2
2
xx
rg
v
x
x
);(?txx?
为无量纲量
),,;( gvrtxx?
grtrx cc /,2）令
rg
v
x
x
x
x
2
2
,)0(
0)0(
)1(
1
);(?txx?
为无量纲量
)/(8 0 0 08.9106 3 7 0 3 smrg
1） 2） 3）
的共同点 只含 1个参数 ——无量纲量?
);(?txx?解重要差别
rg
v 2考察无量纲量
v 1
在 1） 2） 3）中能否忽略以?为因子的项？
1)0(,0)0(
,
)1(
1
2
2
xx
rg
v
x
x
1) 忽略?项无解x 不能忽略?项
1)0(,0)0(
,0
)1(
1
2
xx
x
tttx
2
)(
2
1)0(,0)0(
,1
xx
x
0)0(,0)0(
,
)1(
1
2
xx
x
x
rg
v
x
x
x
x
2
2
,)0(
0)0(
)1(
1
2)
1)0(,0)0(
,
)1(
1
2
2
xx
rg
v
x
x
3)
忽略?项
0)(?tx
不能忽略?项忽略?项
0)( tx
vx
x
gx
)0(
0)0(
tttx
2
)(
2
gvtgvx cc /,/2
cc t
tt
x
xx,
vtgttx 2
2
1)(
火箭发射过程中引力 m1g不变即 x+r? r
vxx
rx
gr
x
)0(,0)0(
)(
2
2
原问题可以忽略?项vtgttx 2
2
1)(
是原问题的近似解为什么 3)能忽略?项，得到原问题近似解，而 1) 2)不能?
vrtrx cc /,1）令
grtrx cc /,2）令
gvtgvx cc /,/23）令火箭到达最高点时间为 v/g,高度为 v2/2g,
cc tttxxx /,/
大体上具有单位尺度
)1( 项可以忽略
cxx
1,tx
)1( 项不能忽略林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学
