第五章 微分方程模型 I
5.1 传染病模型
5.2 经济增长模型
5.3 正规战与游击战
5.4 药物在体内的分布与排除
5.5 香烟过滤嘴的作用
5.6 人口预测和控制
5.7 烟雾的扩散与消失
5.8 万有引力定律的发现动态模型
描述对象特征随时间 (空间 )的演变过程
分析对象特征的变化规律
预报对象特征的未来性态
研究控制对象特征的手段
根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模
根据建模目的和问题分析作出简化假设
按照内在规律或用类比法建立微分方程
5.1 传染病模型问题? 描述传染病的传播过程
分析受感染人数的变化规律
预报传染病高潮到来的时刻
预防传染病蔓延的手段
按照传播过程的一般规律，
用机理分析方法建立模型已感染人数 (病人 ) i(t)
每个病人每天有效接触
(足以使人致病 )人数为?
模型 1
假设
ttititti )()()(?
若有效接触的是病人，
则不能使病人数增加必须区分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 )
建模
0)0( ii
i
dt
di
it
teiti?
0)(?
sidtdi
1)()( tits
模型 2 区分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 )
假设 1）总人数 N不变，病人和健康人的 比例分别为 )(),( tsti
2）每个病人每天有效接触人数为?,且 使接触的健康人致病建模
ttNitstittiN )()]([)]()([?
0
)0(
)1(
ii
ii
dt
di
~ 日接触率
SI 模型
te
i
ti
1
1
1
1
)(
0
0
)0(
)1(
ii
ii
dt
di
模型 2
1/2
tm
i
i0
1
0 t
11ln
0
1
i
t m?
tm~传染病高潮到来时刻
(日接触率 ) tm?
1 it
Logistic 模型病人可以治愈！
t=tm,di/dt 最大模型 3 传染病无免疫性 ——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设
SIS 模型
3）病人每天治愈的比例为 ~日 治愈率
ttNittitNstittiN )()()()]()([建模
/?
~ 日接触率
1/? ~感染期
~ 一个感染期内 每个病人的有效接触人数，称为 接触数 。
0
)0(
)1(
ii
iii
dt
di
1,0
1,
1
1
)(
i
)]11([ iidtdi
模型 3
i0
i0
接触数?=1 ~ 阈值
/?
1 )(ti
形曲线增长按 Sti )(?
感染期内 有效接触感染的健康者人数不超过病人数小0
1
i
1-1/?
i0
iiidtdi )1(
模型 2(SI模型 )如何看作模型 3(SIS模型 )的特例
i
di/dt
0 1
>1
0 t
i
>1
1-1/?
i
0 t
1
di/dt < 0
模型 4 传染病有免疫性 ——病人治愈后即移出感染系统，称 移出者 SIR模型假设 1）总人数 N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 )(),(),( trtsti
2）病人的日接触率?,日 治愈率?,
接触数? =? /?
建模 1)()()( trtits
需建立 的两个方程)(),(),( trtsti
ttNittitNstittiN )()()()]()([
模型 4 SIR模型很小）通常 000 )0((1 rrsi
无法求出的解析解
)(),( tsti
在相平面 上研究解的性质
is~
ttitNststtsN )()()]()([?
00
)0(,)0( ssii
si
dt
ds
isi
dt
di
00
1
1
ii
sds
di
ss
0
00 ln
1)()(
s
ssissi
模型 4
00
)0(,)0( ssii
si
dt
ds
isi
dt
di
/?
消去 dt
SIR模型
}1,0,0),{( isisisD
相轨线 的定义域)(si
相轨线
1
1
s
i
0
D在 D内作相轨线的图形，进行分析 )(si
s
i
1
0 1
D
模型 4 SIR模型相轨线 及其分析)(si
00
)0(,)0( ssii
si
dt
ds
isi
dt
di
00
1
1
ii
sds
di
ss
0
00 ln
1)()(
s
ssissi
0ln1
0
00
s
ssiss
满足
miis,/1?
传染病蔓延传染病不蔓延
s(t)单调减?相轨线的方向
0, it
P1?
s0?/1
im
s
P1,s0>1/ i(t)先升后降至 0
P2,s0<1/ i(t)单调降至 0
1/?~
阈值
P3
P4
P2
S0
ss
ss
0
0 lnln?
模型 4 SIR模型预防传染病蔓延的手段
(日接触率 ) 卫生水平?
(日 治愈率 ) 医疗水平?
传染病不蔓延的条件 ——s0<1/?
的估计
0ln1
0
00
s
ssis
0i忽略
降低 s0 提高 r0
1000 ris
提高阈值 1/? 降低?(=?/?),
群体免疫模型 4 SIR模型被传染人数的估计
0ln1
0
00
s
ssis
记被传染人数比例
ssx 0
0)211( 2
00
sxsx
0)1ln (1
0
sxx?
)1(2 00 ssx
2?x
x<<s0
i
0
s?/1
P1
0s s
i0?0,s0?1
小,s01
提高阈值 1/降低 被传染人数比例 x
s0 - 1/? =?
5.2 经济增长模型增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术
建立产值与资金、劳动力之间的关系
研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大
调节资金与劳动力的增长率，使经济 (生产率 )增长
1,道格拉斯 (Douglas)生产函数产值
Q(t)
))(),(()( 0 tLtKFftQ? F为待定函数资金 K(t) 劳动力 L(t)
技术 f(t) = f0
)(/ 0 ygfLQz 10,)(yyg
0, LQKQ
模型假设静态模型 ),(),(
0 LKFfLKQ?
每个劳动力的产值 LQz?
每个劳动力的投资 LKy?
z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
y
g(y)
0
1,道格拉斯 (Douglas)生产函数含义？0,
2
2
2
2
LQKQ
)/(0 LKLfQ?
Douglas生产函数 1
0),( LKfLKQ
1
0),( LKfLKQ
QK ~ 单位资金创造的产值
QL ~ 单位劳动力创造的产值
~ 资金在产值中的份额 1-? ~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯 (Douglas)生产函数
0,1,0,),( 00 fLKfLKQ
1,Douglas生产函数
1,QLQQKQ LK
QLQKQ LK
0,0 LSKS
1,QLQQKQ LK
r
w
L
K
1
w?,r?,
K/L?
求资金与劳动力的分配比例 K/L(每个劳动力占有的资金 ),使效益 S最大资金和劳动力创造的效益 wLrKQS
资金来自贷款，利率 r 劳动力付工资 w
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）
1K
L
Q
Q
L
K
w
r
Q
Q
L
K?
LyK
L
Ky,
3) 经济 (生产率 )增长的条件 (动态模型 )
要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长,K(t),L(t)应满足的条件模型假设
投资增长率与产值成正比
(用一定比例扩大再生产 )
劳动力相对增长率为常数
)(0 yLgfQyyg?)( Lyf
dt
dK
0?
0, Q
dt
dK
LdtdL teLtL?0)(?
Ly
dt
dyL
dt
dK
Lyf
dt
dK
0?
LydtdyLdtdK
yfy
dt
dy
0
Bernoulli方程
1
1
)1(01
0
0 )()( tefyfty
00
1
0000000,,/ QKLKfQLKy?
0
0
0
1
0 K
Kfy
1
1
)1(
0
00 ])1(1[)( te
K
Kf
ty?
)(
1
1
/
10 )1(
00
Ae
KKdt
dQ t
成立当 A
KK
t ),
/
1)(1l n (
)1(
10
00
yyg
yLgfQ
)(
)(0 dt
dLygf
dt
dyygLf
dt
dQ )()(
00
成立A 0?
产值 Q(t)增长 dQ/dt > 03) 经济增长的条件
])1([ 10120 yfLyf
)()( 000 LKfyfLLyftZ
)(0
/
100 )1(
00
Be
KKdt
dy
dt
dZ t?
成立B 0? 成立时当 B
KK,1/0 00
劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长 dZ/dt>0
3) 经济增长的条件
dt
dyyf
dt
dZ 1
0
5.3 正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战 Lanchester提出预测战役结局的模型
0),(),()(
0),(),()(
tvyyxgty
tuxyxftx
一般模型
每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力
每方非战斗减员率与本方兵力成正比
甲乙双方的增援率为 u(t),v(t)
f,g 取决于战争类型
x(t) ~甲方兵力,y(t) ~乙方兵力模型假设模型
)(
)(
tvybxy
tuxayx
正规战争模型
甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战
xx prbbxg,
忽略非战斗减员
假设没有增援
00
)0(,)0( yyxx
bxy
ayx
f(x,y)=?ay,a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py,ry ~射击率,py ~命中率
)(ty
)(tx
0
ak
0?k
0?k
bk?
0?k
正规战争模型 为判断战争的结局，不求 x(t),y(t)而在相平面上讨论 x 与 y 的关系
00 )0(,)0( yyxx
bxy
ayx
ay
bx
dx
dy?
2
0
2
0 bxayk
kbxay 22
000 yxk 时平方律模型甲方胜 0k
平局 0k
yy
xx
pr
pr
a
b
x
y
2
0
0
乙方胜游击战争模型 双方都用游击部队作战
甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加
忽略非战斗减员
假设没有增援
yrxxxx ssrprdd xyyxg /,),(
00
)0(,)0( yyxx
d x yy
c x yx
f(x,y)=?cxy,c~ 乙方每个士兵的杀伤率
c = ry py
ry~射击率
py ~命中率
py=sry /sx
sx ~ 甲方活动面积
sry ~ 乙方射击有效面积
)(ty
cm
0 dm? )(tx
0?m
0?m
0?m
游击战争模型
00 )0(,)0( yyxx
d x yy
c x yx
00 dxcym
mdxcy
乙方胜时
000 yxm
yryy
xrxx
ssr
ssr
c
d
x
y
0
0
线性律模型甲方胜 0m
平局 0m
c
d
dx
dy?
)(ty
)(tx0
乙方胜,0?n
平局,0?n
甲方胜,0?n
00
)0(,)0( yyxx
bxy
c x yx
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
0
2
0
2
2
2
bxcyn
nbxcy
0
2
0
0 2
cx
b
x
y?
乙方胜
0?n
1 0 0)/( 200?xy
0
2
0
0 2
xsr
spr
x
y
ryy
xxx?
乙方必须 10倍于甲方的兵力设 x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,
sx=1(km2),sry=1(m2)
5.4 药物在体内的分布与排除
药物进入机体形成 血药浓度 (单位体积血液的药物量 )
血药浓度需保持在一定范围内 ——给药方案设计
药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学
建立 房室模型 ——药物动力学的基本步骤
房室 ——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布 (血药浓度为常数 )，在房室间按一定规律转移
本节讨论 二室模型 ——中心室 (心、肺、肾等 )和周边室 (四肢、肌肉等 )
中心室 周边室给药排除
)(0 tf
1
11 )(),(
V
txtc
2
22 )(),(
V
txtc
12k
21k
13k
)()( 02211131121 tfxkxkxktx
模型假设? 中心室 (1)和周边室 (2),容积不变
药物在房室间转移速率及向体外排除速率，
与该室血药浓度成正比
药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外模型建立
2,1
~
~)(
~)(
i
V
tc
tx
i
i
i
容积浓度药量给药速率~0f 2211122 )( xkxktx
tt
tt
eBeAtc
eBeAtc
222
111
)(
)(
1321
132112
kk
kkk
221112
2
1
2
1
0
221
1
2
113121
)(
)(
)()(
ckck
V
V
tc
V
tf
ck
V
V
ckktc
2,1),()( itcVtx iii
线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立
)(
)(
)(
])()[(
)(
)(
2
120
2
2121
1
0
1
tt
tt
ee
V
kD
tc
ekek
V
D
tc
0)0(,)0(,0)( 2
1
0
10 cV
Dctf
几种常见的给药方式
1.快速静脉注射 t=0 瞬时 注射剂量 D0
的药物进入中心室,血药浓度立即为 D0/V1
221112
2
1
2
1
0
221
1
2
113121
)(
)(
)()(
ckck
V
V
tc
V
tf
ck
V
V
ckktc
1321
132112
kk
kkk
给药速率 f0(t)
和初始条件
1
221
13121
21
221
13121
2
21321
012
222
113
0
111
)(
,
)(
0,)(
0,)(
B
Vk
kkV
BA
Vk
kkV
A
Tt
Vkk
kk
eBeAtc
Tt
Vk
k
eBeAtc
tt
tt
0)0(,0)0(,)( 2100 ccktf
2.恒速静脉滴注
221112
2
1
2
1
0
221
1
2
113121
)(
)(
)()(
ckck
V
V
tc
V
tf
ck
V
V
ckktc
t >T,c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零药物以速率 k0进入中心室0 Tt
0010 xkf?
)(0 tx
吸收室 中心室
00
0010
)0(
)(
Dx
xktx?
tktt EeBeAetc 01)(
1
tkeDtx 01
00 )(
tkekDtxktf 01
0100010 )()(
3.口服或肌肉注射相当于药物 ( 剂量 D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量 x0(t)
221112
2
1
2
1
0
221
1
2
113121
)(
)(
)()(
ckck
V
V
tc
V
tf
ck
V
V
ckktc
EBAcc,,0)0(,0)0( 21
tt BeAetctc )()(~
11
参数估计 各种给药方式下的 c1(t),c2(t) 取决于参数 k
12,k21,k13,V1,V2
t=0快速静脉注射 D0,在 ti(i=1,2,?n)测得 c1(ti)
])()[()()( 2121
1
0
1
tt ekek
V
Dtc
充分大设 t,
由较大的 用最小二乘法定 A,?)(,
1 ii tct
由较小的 用最小二乘法定 B,?)(~,
1 ii tct
tt Aee
V
kDtc
)(
)()(
1
210
1
211312 kkk
BAVDc
1
0
1 )0(
0 11130 )( dttcVkD
0,,21 cct
1321
132112
kk
kkk
BAVkD
1130
AB
BAk
)(
13
13
21 kk
参数估计进入中心室的药物全部排除
过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系
人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。
模型分析
分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。
设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，
吸烟方式和外部环境认为是不变的。
问题
5.5 香烟过滤嘴的作用模型假设定性分析
QvaMl,,,,21 Qlb Qu
1） l1~烟草长,l2~过滤嘴长,l = l1+ l2，
毒物量 M均匀分布，密度 w0=M/l1
2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是 a′:a,a′+a=1
3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的 (单位时间 )吸收率分别是 b和?
4）烟雾沿香烟穿行速度是常数 v，香烟燃烧速度是常数 u,v >>u
Q ~ 吸一支烟毒物进入人体总量
v
x
lxlxq
lxxbqxxqxq
,,)(
,0,)()()(
1
1
lxlxq
v
lxxq
v
b
dx
dq
1
1
),(
0),(
ulTdttlqQ T /,),(0 1
模型建立
xx
)(xq )( xxq
x
v
0 x
1l
l
t=0,x=0，点燃香烟
0)0,( wxw?
00
0)0(
uwH
aHq
q(x,t) ~ 毒物流量
w(x,t) ~ 毒物密度
1) 求 q(x,0)=q(x)
lxleeaH
lxeaH
xq
v
lx
v
bl
v
bx
1
)(
0
10
,
0,
)(
11?
),()( tutuwtH?
lxleetaH
lxutetaH
txq
v
lx
v
utlb
v
utxb
1
)()(
1
)(
,)(
,)(
),(
11?
v
l
v
utlb
eetutauwtlq 21
)(
),(),(
t时刻，香烟燃至 x=ut
1) 求 q(x,0)=q(x)
2) 求 q(l,t)
tv txqbtxwttxw ),(),(),(
0
)(
)0,(
),(
wxw
etuta u w
v
b
t
w
v
utxb
aaae
a
w
tutw v
buta
1,1),(
'
0
3) 求 w(ut,t)
v
a b u t
v
b u t
v
l
v
bl
aeeee
a
a uwtlq 210),(?
v
bla
v
lul
ee
ba
vawdttlqQ 121 '/
0
0 1),(
v
l
v
utlb eetutauwtlq 21 )(),(),(
v
buta
aeawtutw
'
0 1),(
r
er
v
blar r 1)(,1?),(2 ra M eQ
v
l
4) 计算 Q
11 vblar
结果分析 ),(2 ra M eQ vl rervblar
r
1)(,' 1?
2/1)( rr
v
blaaM eQ vl
2
1 1
2?
烟草 为什么有作用?
1） Q与 a,M成正比,aM是毒物集中在 x=l 处的吸入量
2) ~过滤嘴因素,?,l2 ~ 负指数 作用
v
le 2
v
laM e 2 是毒物集中在 x=l1 处的吸入量
3）?(r)~ 烟草的吸收作用
b,l1~ 线性 作用
v
bla
v
bl
ee
ba
vawQ 12 '0
2 1'
v
lb
e
Q
Q 2)(
2
1
vblavl ee
ba
vawQ 12 '0
1 1
带过滤嘴不带过滤嘴
21 QQb
结果分析
4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较,w0,b,
a,v,l 均相同，吸至 x=l1扔掉提高?-b 与加长 l2，效果相同
5.6 人口预测和控制
)(),(,0),0( tNtrFtF m
r
Ftrp
),(
年龄分布对于人口预测的重要性
只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程的人口）年龄人口分布函数 rtrF?(~),(
人口密度函数~),( trp 人口总数~)( tN
最高年龄~)(mr
),(),( trptrtprp
1
1
,),(),(
)],(),([)],(),([
drdtdttrptr
trpdttrpdttrpdttdrrp
人口发展方程 死亡率~),( tr?
drtrp ),(
人数年龄
]
,[,
dr
rrt
死亡人数内),( dttt?
人数年龄
]
,[,
1
1
drdrr
drrdtt
1drdt?
一阶偏微分方程
dr d ttrptr ),(),( drdttdrrp ),( 1
0),(),0(
0),()0,(
),(),(
0
ttftp
rrprp
trptr
t
p
r
p
人口发展方程
~已知函数（人口调查）
~生育率（控制人口手段）
0 t
r
)(0 rp
rt?
)(tf
rt?
rt?
)(),( rtr
rtertf
rtetrp
trp
r
r
tr
dss
dss
,)(
0,)(
),(
0
)(
)(
0
r dstsptrF 0 ),(),(
mr dstsptN 0 ),()(
21 ),(),(),()( rr drtrptrktrbtf
),()(),( trhttrb
21 1),(rr drtrh
21 ),()( rr drtrbt?
生育率的分解性别比函数女性 )(~),( trk
生育数女性 )(~),( trb 育龄区间~],[ 21 rr
21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf?
~总和生育率
h~生育模式
)(),( rhtrh?
0 1r 2r r
rtertf
rtetrp
trp
r
r
tr
dss
dss
,)(
0,)(
),(
0
)(
)(
0
21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf?
人口发展方程和生育率
)(t? ~总和生育率 ——控制生育的多少
),( trh ~生育模式 ——控制生育的早晚和疏密
),(),( trptrtprp)(tf
)(0 rp
),( trp
)(t?
正反馈系统
滞后作用很大
mr drtrrptNtR 0 ),()(1)(
t drtr detS
t
0
),()(
)(/)()( tStRt
mr drtrptN 0 ),()(
人口指数
1）人口总数
2）平均年龄
3）平均寿命
t时刻出生的人，死亡率按?(r,t) 计算的平均存活时间
4）老龄化指数控制生育率 控制 N(t)不过大控制?(t)不过高
5.7 烟雾的扩散与消失现象和问题炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。
不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，
区域缩小，最后烟雾消失。
建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。
问题分析无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。
观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。
g r a d Ckq
模型假设
1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。
2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。
3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。
模型建立 1）烟雾浓度 的变化规律),,,( tzyxC
热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比
21 QQ?
2
2
2
2
2
2
)]([
z
C
y
C
x
Ckg r a d Cd i vk
t
C
V
dVttzyxCtzyxCQ )],,,(),,,([2
ttt
s
dtdnqQ1?
VS
n?
1Q
q?
流量通过 ],[ ttt
内烟雾改变量?
s V
dVqd i vdnq
曲面积分的奥氏公式
g r a d Ckq
1）烟雾浓度 的变化规律),,,( tzyxC
kt
zyx
e
kt
QtzyxC 4
2
3
222
)4(
),,,(
),,()0,,,( zyxQzyxC
0,,,,2
2
2
2
2
2
tzyx
z
C
y
C
x
Ck
t
C
初始条件
Q~炮弹释放的烟雾总量? ~单位强度的点源函数
对任意 t,C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC?
仅当 t,对任意点 (x,y,z),C?0
1）烟雾浓度 的变化规律),,,( tzyxC
00 )( IlI?
)()( lIlCdldI
2）穿过烟雾光强的变化规律光强的减少与烟雾浓度成正比方向的烟雾浓度沿方向的光强沿
llC
llI
~)(
~)(
00 )( Ill 的光强为未进入烟雾?
ll dssCeIlI 0 )(
0)(
1),,,( dztzyxCe
观测结果为暗仪器灵敏度，当,1/~ 0II
3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限烟雾浓度连续变化烟雾中光强连续变化
ll dssCeIlI 0 )(
0)(
仪器
z
-?
设光源在 z=-?,仪器在 z=?,则观测到的 明暗界限为不透光区域有扩大、
缩小、消失的过程穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。
~不透光区域边界
tk
Qkttr
4
ln4)(?
kt
yx
ektQ 4
22
4
adxe ax?2
4）不透光区域边界的变化规律
1),,,( dztzyxCe
kt
zyx
e
kt
QtzyxC 4
2
3
222
)4(
),,,(
很小） (?
1
1ln1),,,( dztzyxC
kt
yx
ektQdztzyxC 4
22
4),,,(
222 ryx
对任意 t,不透光区域边界是圆周不透光区域边界半径
)(
41
最大值，
e
Qrr
ek
Qtt
m
0,42 rkQtt
r(t)
rm
0 t1 t2 t
tk
Qkttr
4
ln4)(?
结果分析
112 7.2 tett
观测到不透光区域边界达到最大的时刻 t1，可以预报烟雾消失的时刻 t2
mrtQ,,,1 1tk
5.8 万有引力定律的发现背景航海业发展 天文观测精确,地心说”动摇哥白尼：“日心说” 伽里略：落体运动开普勒：行星运动三定律 变速运动的计算方法牛顿：一切运动有力学原因 牛顿运动三定律牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）
开普勒三定律牛顿运动第二定律 万有引力定律
,自然科学之数学原理,(1687)
模型假设极坐标系 (r,?) 太阳 (0,0)
1,行星轨道
)1(,,c o s1 222
2
eababpe pr
a~长半轴,b~短半轴,e~离心率
Ar?2/2
3,行星运行周期 T 32 aT
rmf
行星位置：向径 ))(),(()( ttrtr O (太阳 )
P (行星 )
r r?
2,单位时间 扫过面积为常数 Ar?
m ~ 行星质量
~ 绝对常数
4,行星运行受力 f?
模型建立
O (太阳 )
P (行星 )
r r?
向径 的基向量r?
jiu
jiu r
c o ss i n
s i nc o s
ruu?
rurr
r
r
uu
uu
urrurrr
ururr
r
r
)2()( 2
Ar?2/2
32
4,2
r
rA
r
A 02 rr
rurrr )( 2
c o s1 e
pr
3
2 )(4
,s i n2 pr rpArpAer rupr
Ar
2
24
rmf
r
rrr
pr
mAf
002
2
,4
rurr
模型建立
r
rrr
pr
mAf
002
2
,4
万有引力定律
02 rr
k M mf
需证明 4A2/p =kM
（与哪一颗行星无关）
A~单位时间 扫过面积r?
32 aT
abTA
O (太阳 )
P (行星 )
r r?
kM /4 2
(习题 ) // 22?pA
)1(,,c o s1 222
2
eababpe pr
5.1 传染病模型
5.2 经济增长模型
5.3 正规战与游击战
5.4 药物在体内的分布与排除
5.5 香烟过滤嘴的作用
5.6 人口预测和控制
5.7 烟雾的扩散与消失
5.8 万有引力定律的发现动态模型
描述对象特征随时间 (空间 )的演变过程
分析对象特征的变化规律
预报对象特征的未来性态
研究控制对象特征的手段
根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模
根据建模目的和问题分析作出简化假设
按照内在规律或用类比法建立微分方程
5.1 传染病模型问题? 描述传染病的传播过程
分析受感染人数的变化规律
预报传染病高潮到来的时刻
预防传染病蔓延的手段
按照传播过程的一般规律，
用机理分析方法建立模型已感染人数 (病人 ) i(t)
每个病人每天有效接触
(足以使人致病 )人数为?
模型 1
假设
ttititti )()()(?
若有效接触的是病人，
则不能使病人数增加必须区分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 )
建模
0)0( ii
i
dt
di
it
teiti?
0)(?
sidtdi
1)()( tits
模型 2 区分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 )
假设 1）总人数 N不变，病人和健康人的 比例分别为 )(),( tsti
2）每个病人每天有效接触人数为?,且 使接触的健康人致病建模
ttNitstittiN )()]([)]()([?
0
)0(
)1(
ii
ii
dt
di
~ 日接触率
SI 模型
te
i
ti
1
1
1
1
)(
0
0
)0(
)1(
ii
ii
dt
di
模型 2
1/2
tm
i
i0
1
0 t
11ln
0
1
i
t m?
tm~传染病高潮到来时刻
(日接触率 ) tm?
1 it
Logistic 模型病人可以治愈！
t=tm,di/dt 最大模型 3 传染病无免疫性 ——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设
SIS 模型
3）病人每天治愈的比例为 ~日 治愈率
ttNittitNstittiN )()()()]()([建模
/?
~ 日接触率
1/? ~感染期
~ 一个感染期内 每个病人的有效接触人数，称为 接触数 。
0
)0(
)1(
ii
iii
dt
di
1,0
1,
1
1
)(
i
)]11([ iidtdi
模型 3
i0
i0
接触数?=1 ~ 阈值
/?
1 )(ti
形曲线增长按 Sti )(?
感染期内 有效接触感染的健康者人数不超过病人数小0
1
i
1-1/?
i0
iiidtdi )1(
模型 2(SI模型 )如何看作模型 3(SIS模型 )的特例
i
di/dt
0 1
>1
0 t
i
>1
1-1/?
i
0 t
1
di/dt < 0
模型 4 传染病有免疫性 ——病人治愈后即移出感染系统，称 移出者 SIR模型假设 1）总人数 N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 )(),(),( trtsti
2）病人的日接触率?,日 治愈率?,
接触数? =? /?
建模 1)()()( trtits
需建立 的两个方程)(),(),( trtsti
ttNittitNstittiN )()()()]()([
模型 4 SIR模型很小）通常 000 )0((1 rrsi
无法求出的解析解
)(),( tsti
在相平面 上研究解的性质
is~
ttitNststtsN )()()]()([?
00
)0(,)0( ssii
si
dt
ds
isi
dt
di
00
1
1
ii
sds
di
ss
0
00 ln
1)()(
s
ssissi
模型 4
00
)0(,)0( ssii
si
dt
ds
isi
dt
di
/?
消去 dt
SIR模型
}1,0,0),{( isisisD
相轨线 的定义域)(si
相轨线
1
1
s
i
0
D在 D内作相轨线的图形，进行分析 )(si
s
i
1
0 1
D
模型 4 SIR模型相轨线 及其分析)(si
00
)0(,)0( ssii
si
dt
ds
isi
dt
di
00
1
1
ii
sds
di
ss
0
00 ln
1)()(
s
ssissi
0ln1
0
00
s
ssiss
满足
miis,/1?
传染病蔓延传染病不蔓延
s(t)单调减?相轨线的方向
0, it
P1?
s0?/1
im
s
P1,s0>1/ i(t)先升后降至 0
P2,s0<1/ i(t)单调降至 0
1/?~
阈值
P3
P4
P2
S0
ss
ss
0
0 lnln?
模型 4 SIR模型预防传染病蔓延的手段
(日接触率 ) 卫生水平?
(日 治愈率 ) 医疗水平?
传染病不蔓延的条件 ——s0<1/?
的估计
0ln1
0
00
s
ssis
0i忽略
降低 s0 提高 r0
1000 ris
提高阈值 1/? 降低?(=?/?),
群体免疫模型 4 SIR模型被传染人数的估计
0ln1
0
00
s
ssis
记被传染人数比例
ssx 0
0)211( 2
00
sxsx
0)1ln (1
0
sxx?
)1(2 00 ssx
2?x
x<<s0
i
0
s?/1
P1
0s s
i0?0,s0?1
小,s01
提高阈值 1/降低 被传染人数比例 x
s0 - 1/? =?
5.2 经济增长模型增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术
建立产值与资金、劳动力之间的关系
研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大
调节资金与劳动力的增长率，使经济 (生产率 )增长
1,道格拉斯 (Douglas)生产函数产值
Q(t)
))(),(()( 0 tLtKFftQ? F为待定函数资金 K(t) 劳动力 L(t)
技术 f(t) = f0
)(/ 0 ygfLQz 10,)(yyg
0, LQKQ
模型假设静态模型 ),(),(
0 LKFfLKQ?
每个劳动力的产值 LQz?
每个劳动力的投资 LKy?
z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
y
g(y)
0
1,道格拉斯 (Douglas)生产函数含义？0,
2
2
2
2
LQKQ
)/(0 LKLfQ?
Douglas生产函数 1
0),( LKfLKQ
1
0),( LKfLKQ
QK ~ 单位资金创造的产值
QL ~ 单位劳动力创造的产值
~ 资金在产值中的份额 1-? ~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯 (Douglas)生产函数
0,1,0,),( 00 fLKfLKQ
1,Douglas生产函数
1,QLQQKQ LK
QLQKQ LK
0,0 LSKS
1,QLQQKQ LK
r
w
L
K
1
w?,r?,
K/L?
求资金与劳动力的分配比例 K/L(每个劳动力占有的资金 ),使效益 S最大资金和劳动力创造的效益 wLrKQS
资金来自贷款，利率 r 劳动力付工资 w
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）
1K
L
Q
Q
L
K
w
r
Q
Q
L
K?
LyK
L
Ky,
3) 经济 (生产率 )增长的条件 (动态模型 )
要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长,K(t),L(t)应满足的条件模型假设
投资增长率与产值成正比
(用一定比例扩大再生产 )
劳动力相对增长率为常数
)(0 yLgfQyyg?)( Lyf
dt
dK
0?
0, Q
dt
dK
LdtdL teLtL?0)(?
Ly
dt
dyL
dt
dK
Lyf
dt
dK
0?
LydtdyLdtdK
yfy
dt
dy
0
Bernoulli方程
1
1
)1(01
0
0 )()( tefyfty
00
1
0000000,,/ QKLKfQLKy?
0
0
0
1
0 K
Kfy
1
1
)1(
0
00 ])1(1[)( te
K
Kf
ty?
)(
1
1
/
10 )1(
00
Ae
KKdt
dQ t
成立当 A
KK
t ),
/
1)(1l n (
)1(
10
00
yyg
yLgfQ
)(
)(0 dt
dLygf
dt
dyygLf
dt
dQ )()(
00
成立A 0?
产值 Q(t)增长 dQ/dt > 03) 经济增长的条件
])1([ 10120 yfLyf
)()( 000 LKfyfLLyftZ
)(0
/
100 )1(
00
Be
KKdt
dy
dt
dZ t?
成立B 0? 成立时当 B
KK,1/0 00
劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长 dZ/dt>0
3) 经济增长的条件
dt
dyyf
dt
dZ 1
0
5.3 正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战 Lanchester提出预测战役结局的模型
0),(),()(
0),(),()(
tvyyxgty
tuxyxftx
一般模型
每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力
每方非战斗减员率与本方兵力成正比
甲乙双方的增援率为 u(t),v(t)
f,g 取决于战争类型
x(t) ~甲方兵力,y(t) ~乙方兵力模型假设模型
)(
)(
tvybxy
tuxayx
正规战争模型
甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战
xx prbbxg,
忽略非战斗减员
假设没有增援
00
)0(,)0( yyxx
bxy
ayx
f(x,y)=?ay,a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py,ry ~射击率,py ~命中率
)(ty
)(tx
0
ak
0?k
0?k
bk?
0?k
正规战争模型 为判断战争的结局，不求 x(t),y(t)而在相平面上讨论 x 与 y 的关系
00 )0(,)0( yyxx
bxy
ayx
ay
bx
dx
dy?
2
0
2
0 bxayk
kbxay 22
000 yxk 时平方律模型甲方胜 0k
平局 0k
yy
xx
pr
pr
a
b
x
y
2
0
0
乙方胜游击战争模型 双方都用游击部队作战
甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加
忽略非战斗减员
假设没有增援
yrxxxx ssrprdd xyyxg /,),(
00
)0(,)0( yyxx
d x yy
c x yx
f(x,y)=?cxy,c~ 乙方每个士兵的杀伤率
c = ry py
ry~射击率
py ~命中率
py=sry /sx
sx ~ 甲方活动面积
sry ~ 乙方射击有效面积
)(ty
cm
0 dm? )(tx
0?m
0?m
0?m
游击战争模型
00 )0(,)0( yyxx
d x yy
c x yx
00 dxcym
mdxcy
乙方胜时
000 yxm
yryy
xrxx
ssr
ssr
c
d
x
y
0
0
线性律模型甲方胜 0m
平局 0m
c
d
dx
dy?
)(ty
)(tx0
乙方胜,0?n
平局,0?n
甲方胜,0?n
00
)0(,)0( yyxx
bxy
c x yx
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
0
2
0
2
2
2
bxcyn
nbxcy
0
2
0
0 2
cx
b
x
y?
乙方胜
0?n
1 0 0)/( 200?xy
0
2
0
0 2
xsr
spr
x
y
ryy
xxx?
乙方必须 10倍于甲方的兵力设 x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,
sx=1(km2),sry=1(m2)
5.4 药物在体内的分布与排除
药物进入机体形成 血药浓度 (单位体积血液的药物量 )
血药浓度需保持在一定范围内 ——给药方案设计
药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学
建立 房室模型 ——药物动力学的基本步骤
房室 ——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布 (血药浓度为常数 )，在房室间按一定规律转移
本节讨论 二室模型 ——中心室 (心、肺、肾等 )和周边室 (四肢、肌肉等 )
中心室 周边室给药排除
)(0 tf
1
11 )(),(
V
txtc
2
22 )(),(
V
txtc
12k
21k
13k
)()( 02211131121 tfxkxkxktx
模型假设? 中心室 (1)和周边室 (2),容积不变
药物在房室间转移速率及向体外排除速率，
与该室血药浓度成正比
药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外模型建立
2,1
~
~)(
~)(
i
V
tc
tx
i
i
i
容积浓度药量给药速率~0f 2211122 )( xkxktx
tt
tt
eBeAtc
eBeAtc
222
111
)(
)(
1321
132112
kk
kkk
221112
2
1
2
1
0
221
1
2
113121
)(
)(
)()(
ckck
V
V
tc
V
tf
ck
V
V
ckktc
2,1),()( itcVtx iii
线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立
)(
)(
)(
])()[(
)(
)(
2
120
2
2121
1
0
1
tt
tt
ee
V
kD
tc
ekek
V
D
tc
0)0(,)0(,0)( 2
1
0
10 cV
Dctf
几种常见的给药方式
1.快速静脉注射 t=0 瞬时 注射剂量 D0
的药物进入中心室,血药浓度立即为 D0/V1
221112
2
1
2
1
0
221
1
2
113121
)(
)(
)()(
ckck
V
V
tc
V
tf
ck
V
V
ckktc
1321
132112
kk
kkk
给药速率 f0(t)
和初始条件
1
221
13121
21
221
13121
2
21321
012
222
113
0
111
)(
,
)(
0,)(
0,)(
B
Vk
kkV
BA
Vk
kkV
A
Tt
Vkk
kk
eBeAtc
Tt
Vk
k
eBeAtc
tt
tt
0)0(,0)0(,)( 2100 ccktf
2.恒速静脉滴注
221112
2
1
2
1
0
221
1
2
113121
)(
)(
)()(
ckck
V
V
tc
V
tf
ck
V
V
ckktc
t >T,c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零药物以速率 k0进入中心室0 Tt
0010 xkf?
)(0 tx
吸收室 中心室
00
0010
)0(
)(
Dx
xktx?
tktt EeBeAetc 01)(
1
tkeDtx 01
00 )(
tkekDtxktf 01
0100010 )()(
3.口服或肌肉注射相当于药物 ( 剂量 D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量 x0(t)
221112
2
1
2
1
0
221
1
2
113121
)(
)(
)()(
ckck
V
V
tc
V
tf
ck
V
V
ckktc
EBAcc,,0)0(,0)0( 21
tt BeAetctc )()(~
11
参数估计 各种给药方式下的 c1(t),c2(t) 取决于参数 k
12,k21,k13,V1,V2
t=0快速静脉注射 D0,在 ti(i=1,2,?n)测得 c1(ti)
])()[()()( 2121
1
0
1
tt ekek
V
Dtc
充分大设 t,
由较大的 用最小二乘法定 A,?)(,
1 ii tct
由较小的 用最小二乘法定 B,?)(~,
1 ii tct
tt Aee
V
kDtc
)(
)()(
1
210
1
211312 kkk
BAVDc
1
0
1 )0(
0 11130 )( dttcVkD
0,,21 cct
1321
132112
kk
kkk
BAVkD
1130
AB
BAk
)(
13
13
21 kk
参数估计进入中心室的药物全部排除
过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系
人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。
模型分析
分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。
设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，
吸烟方式和外部环境认为是不变的。
问题
5.5 香烟过滤嘴的作用模型假设定性分析
QvaMl,,,,21 Qlb Qu
1） l1~烟草长,l2~过滤嘴长,l = l1+ l2，
毒物量 M均匀分布，密度 w0=M/l1
2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是 a′:a,a′+a=1
3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的 (单位时间 )吸收率分别是 b和?
4）烟雾沿香烟穿行速度是常数 v，香烟燃烧速度是常数 u,v >>u
Q ~ 吸一支烟毒物进入人体总量
v
x
lxlxq
lxxbqxxqxq
,,)(
,0,)()()(
1
1
lxlxq
v
lxxq
v
b
dx
dq
1
1
),(
0),(
ulTdttlqQ T /,),(0 1
模型建立
xx
)(xq )( xxq
x
v
0 x
1l
l
t=0,x=0，点燃香烟
0)0,( wxw?
00
0)0(
uwH
aHq
q(x,t) ~ 毒物流量
w(x,t) ~ 毒物密度
1) 求 q(x,0)=q(x)
lxleeaH
lxeaH
xq
v
lx
v
bl
v
bx
1
)(
0
10
,
0,
)(
11?
),()( tutuwtH?
lxleetaH
lxutetaH
txq
v
lx
v
utlb
v
utxb
1
)()(
1
)(
,)(
,)(
),(
11?
v
l
v
utlb
eetutauwtlq 21
)(
),(),(
t时刻，香烟燃至 x=ut
1) 求 q(x,0)=q(x)
2) 求 q(l,t)
tv txqbtxwttxw ),(),(),(
0
)(
)0,(
),(
wxw
etuta u w
v
b
t
w
v
utxb
aaae
a
w
tutw v
buta
1,1),(
'
0
3) 求 w(ut,t)
v
a b u t
v
b u t
v
l
v
bl
aeeee
a
a uwtlq 210),(?
v
bla
v
lul
ee
ba
vawdttlqQ 121 '/
0
0 1),(
v
l
v
utlb eetutauwtlq 21 )(),(),(
v
buta
aeawtutw
'
0 1),(
r
er
v
blar r 1)(,1?),(2 ra M eQ
v
l
4) 计算 Q
11 vblar
结果分析 ),(2 ra M eQ vl rervblar
r
1)(,' 1?
2/1)( rr
v
blaaM eQ vl
2
1 1
2?
烟草 为什么有作用?
1） Q与 a,M成正比,aM是毒物集中在 x=l 处的吸入量
2) ~过滤嘴因素,?,l2 ~ 负指数 作用
v
le 2
v
laM e 2 是毒物集中在 x=l1 处的吸入量
3）?(r)~ 烟草的吸收作用
b,l1~ 线性 作用
v
bla
v
bl
ee
ba
vawQ 12 '0
2 1'
v
lb
e
Q
Q 2)(
2
1
vblavl ee
ba
vawQ 12 '0
1 1
带过滤嘴不带过滤嘴
21 QQb
结果分析
4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较,w0,b,
a,v,l 均相同，吸至 x=l1扔掉提高?-b 与加长 l2，效果相同
5.6 人口预测和控制
)(),(,0),0( tNtrFtF m
r
Ftrp
),(
年龄分布对于人口预测的重要性
只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程的人口）年龄人口分布函数 rtrF?(~),(
人口密度函数~),( trp 人口总数~)( tN
最高年龄~)(mr
),(),( trptrtprp
1
1
,),(),(
)],(),([)],(),([
drdtdttrptr
trpdttrpdttrpdttdrrp
人口发展方程 死亡率~),( tr?
drtrp ),(
人数年龄
]
,[,
dr
rrt
死亡人数内),( dttt?
人数年龄
]
,[,
1
1
drdrr
drrdtt
1drdt?
一阶偏微分方程
dr d ttrptr ),(),( drdttdrrp ),( 1
0),(),0(
0),()0,(
),(),(
0
ttftp
rrprp
trptr
t
p
r
p
人口发展方程
~已知函数（人口调查）
~生育率（控制人口手段）
0 t
r
)(0 rp
rt?
)(tf
rt?
rt?
)(),( rtr
rtertf
rtetrp
trp
r
r
tr
dss
dss
,)(
0,)(
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0
)(
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0
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mr dstsptN 0 ),()(
21 ),(),(),()( rr drtrptrktrbtf
),()(),( trhttrb
21 1),(rr drtrh
21 ),()( rr drtrbt?
生育率的分解性别比函数女性 )(~),( trk
生育数女性 )(~),( trb 育龄区间~],[ 21 rr
21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf?
~总和生育率
h~生育模式
)(),( rhtrh?
0 1r 2r r
rtertf
rtetrp
trp
r
r
tr
dss
dss
,)(
0,)(
),(
0
)(
)(
0
21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf?
人口发展方程和生育率
)(t? ~总和生育率 ——控制生育的多少
),( trh ~生育模式 ——控制生育的早晚和疏密
),(),( trptrtprp)(tf
)(0 rp
),( trp
)(t?
正反馈系统
滞后作用很大
mr drtrrptNtR 0 ),()(1)(
t drtr detS
t
0
),()(
)(/)()( tStRt
mr drtrptN 0 ),()(
人口指数
1）人口总数
2）平均年龄
3）平均寿命
t时刻出生的人，死亡率按?(r,t) 计算的平均存活时间
4）老龄化指数控制生育率 控制 N(t)不过大控制?(t)不过高
5.7 烟雾的扩散与消失现象和问题炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。
不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，
区域缩小，最后烟雾消失。
建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。
问题分析无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。
观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。
g r a d Ckq
模型假设
1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。
2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。
3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。
模型建立 1）烟雾浓度 的变化规律),,,( tzyxC
热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比
21 QQ?
2
2
2
2
2
2
)]([
z
C
y
C
x
Ckg r a d Cd i vk
t
C
V
dVttzyxCtzyxCQ )],,,(),,,([2
ttt
s
dtdnqQ1?
VS
n?
1Q
q?
流量通过 ],[ ttt
内烟雾改变量?
s V
dVqd i vdnq
曲面积分的奥氏公式
g r a d Ckq
1）烟雾浓度 的变化规律),,,( tzyxC
kt
zyx
e
kt
QtzyxC 4
2
3
222
)4(
),,,(
),,()0,,,( zyxQzyxC
0,,,,2
2
2
2
2
2
tzyx
z
C
y
C
x
Ck
t
C
初始条件
Q~炮弹释放的烟雾总量? ~单位强度的点源函数
对任意 t,C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC?
仅当 t,对任意点 (x,y,z),C?0
1）烟雾浓度 的变化规律),,,( tzyxC
00 )( IlI?
)()( lIlCdldI
2）穿过烟雾光强的变化规律光强的减少与烟雾浓度成正比方向的烟雾浓度沿方向的光强沿
llC
llI
~)(
~)(
00 )( Ill 的光强为未进入烟雾?
ll dssCeIlI 0 )(
0)(
1),,,( dztzyxCe
观测结果为暗仪器灵敏度，当,1/~ 0II
3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限烟雾浓度连续变化烟雾中光强连续变化
ll dssCeIlI 0 )(
0)(
仪器
z
-?
设光源在 z=-?,仪器在 z=?,则观测到的 明暗界限为不透光区域有扩大、
缩小、消失的过程穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。
~不透光区域边界
tk
Qkttr
4
ln4)(?
kt
yx
ektQ 4
22
4
adxe ax?2
4）不透光区域边界的变化规律
1),,,( dztzyxCe
kt
zyx
e
kt
QtzyxC 4
2
3
222
)4(
),,,(
很小） (?
1
1ln1),,,( dztzyxC
kt
yx
ektQdztzyxC 4
22
4),,,(
222 ryx
对任意 t,不透光区域边界是圆周不透光区域边界半径
)(
41
最大值，
e
Qrr
ek
Qtt
m
0,42 rkQtt
r(t)
rm
0 t1 t2 t
tk
Qkttr
4
ln4)(?
结果分析
112 7.2 tett
观测到不透光区域边界达到最大的时刻 t1，可以预报烟雾消失的时刻 t2
mrtQ,,,1 1tk
5.8 万有引力定律的发现背景航海业发展 天文观测精确,地心说”动摇哥白尼：“日心说” 伽里略：落体运动开普勒：行星运动三定律 变速运动的计算方法牛顿：一切运动有力学原因 牛顿运动三定律牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）
开普勒三定律牛顿运动第二定律 万有引力定律
,自然科学之数学原理,(1687)
模型假设极坐标系 (r,?) 太阳 (0,0)
1,行星轨道
)1(,,c o s1 222
2
eababpe pr
a~长半轴,b~短半轴,e~离心率
Ar?2/2
3,行星运行周期 T 32 aT
rmf
行星位置：向径 ))(),(()( ttrtr O (太阳 )
P (行星 )
r r?
2,单位时间 扫过面积为常数 Ar?
m ~ 行星质量
~ 绝对常数
4,行星运行受力 f?
模型建立
O (太阳 )
P (行星 )
r r?
向径 的基向量r?
jiu
jiu r
c o ss i n
s i nc o s
ruu?
rurr
r
r
uu
uu
urrurrr
ururr
r
r
)2()( 2
Ar?2/2
32
4,2
r
rA
r
A 02 rr
rurrr )( 2
c o s1 e
pr
3
2 )(4
,s i n2 pr rpArpAer rupr
Ar
2
24
rmf
r
rrr
pr
mAf
002
2
,4
rurr
模型建立
r
rrr
pr
mAf
002
2
,4
万有引力定律
02 rr
k M mf
需证明 4A2/p =kM
（与哪一颗行星无关）
A~单位时间 扫过面积r?
32 aT
abTA
O (太阳 )
P (行星 )
r r?
kM /4 2
(习题 ) // 22?pA
)1(,,c o s1 222
2
eababpe pr
