第九章 随机系统建 模
9.1 传送系统的效率
9.2 报童的诀窍
9.3 随机存贮策略
9.4 轧钢中的浪费
9.5 随机人口模型确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型 统计回归模型 马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型传送带挂钩产品工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
背景在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高 传送带效率 的途径
9.1 传送系统的效率问题分析
进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的 生产周期相同,即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。
可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的 比例,作为衡量传送带效率的数量指标。
工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，
并且在一个周期内 任一时刻的可能性相同 。
模型假设
1） n个工作台 均匀排列,n个工人生产相互独立，
生产周期是常数；
2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是 等可能 的；
3）一周期内 m个均匀排列的挂钩 通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；
4）每人在生产完一件产品时都 能且只能触到一只挂钩,若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；
若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。
模型建立
定义 传送带效率 为一周期内运走的产品数（记作 s,
待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
若求出一周期内每只挂钩非空的概率 p，则 s=mp
为确定 s，从 工人 考虑还是从 挂钩 考虑，哪个方便？
设每只挂钩为空的概率为 q，则 p=1-q如何求概率设每只挂钩不被一工人触到的概率为 r，则 q=rn
设每只挂钩被一工人触到的概率为 u，则 r=1-u
u=1/m p=1-(1-1/m)n D=m[1-(1-1/m)n]/n
一周期内有 m个挂钩通过每一工作台的上方模型解释若 (一周期运行的 )挂钩数 m远大于工作台数 n,则
)]2 )1(1(1[ 2mnnmnnmD
传送带效率 (一周期内运走产品数与生产总数之比） ])11(1[ nmnmD
定义 E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）
提高效率的途径：
增加 m
习题 1
当 n远大于 1时,E? n/2m ~ E与 n成正比，与 m成反比若 n=10,m=40,
D?87.5% (89.4%)
m
n
2
11
9.2 报童的诀窍问题报童售报,a (零售价 ) > b(购进价 ) > c(退回价 )
售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
每天购进多少份可使收入最大？
分析购进太多?卖不完退回?赔钱购进太少?不够销售?赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的期望建模
设每天购进 n 份,日平均收入为 G(n)
调查需求量的随机规律 —— 每天需求量为 r 的概率 f(r),r=0,1,2…
准备
))((
)(
rncbrn
rbarnr
赔退回赚售出
nbannr )( 赚售出
n
r nr
rnfbarfrncbrbanG
0 1
)()()()])(()[()(
求 n 使 G(n) 最大
已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
n n drrnpbadrrprncbrbanG 0 )()()()])(()[()(
dndG
求解 将 r视为连续变量 概率密度）()()( rprf?
0?dndG
cb
ba
drrp
drrp
n
n
)(
)(
0
n n drrpbadrrpcb 0 )()()()(
n drrpbannpba )()()()(
n drrpcbnnpba 0 )()()()(
cb
ba
drrp
drrp
n
n
)(
)(
0结果解释
nn PdrrpPdrrp 20 1 )(,)(
n
P1 P2
cb
ba
P
P
2
1
取 n使
a-b ~售出一份赚的钱
b-c ~退回一份赔的钱
ncbnba )(,)(
0 r
p
9.3 随机存贮策略问题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；
周末根据库存决定是否订货，供下周销售。
（ s,S) 存贮策略制订下界 s,上界 S，当周末库存小于 s 时订货，
使下周初的库存达到 S; 否则，不订货。
考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订
（ s,S) 存贮策略,使 (平均意义下 )总费用最小模型假设
每次订货费 c0,每件商品购进价 c1,每件商品一周贮存费 c2,每件商品缺货损失费 c3 (c1<c3)
每周销售量 r 随机、连续，概率密度 p(r)
周末库存量 x,订货量 u,周初库存量 x+u
每周贮存量按 x+u-r 计
0)(
0),(
)( 10
uxL
uuxLucc
uJ
x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()(
建模与求解 （ s,S) 存贮策略
0 usx
确定 (s,S),使目标函数 —— 每周总费用的平均值最小平均费用订货费 c0,购进价 c1,贮存费 c2,缺货费 c3,销售量 r
Suxusx,0
s ~ 订货点,S ~ 订货值
12
130
)(
)(
cc
cc
drrp
drrp
S
S
ux ux drrpcdrrpccdudJ 0 321 )()(
建模与求解
1）设 x<s,求 u 使
J(u) 最小，确定 S
S S drrpccdrrpcc 0 1321 )()()()(
Sux
0 1)( drrp
0?dudJ
ScSc 23,
建模与求解
x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()(
0)(
0),()( 10
uxL
uuxLuccuJ
S
P1 P2
0 r
p
2
1
P
P
2）对库存 x，
确定订货点 s
)()(101 SLxSccJ若订货 u,u+x=S,总费用为
)(2 xLJ?若不订货,u=0,总费用为
12 JJ?
)()(1 xIxLxc记
)()( 0 SIcxI订货点 s 是 的最小正根建模与求解
x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()(
0)(
0),()( 10
uxL
uuxLuccuJ
)()()( 10 SLxSccxL
不订货 )()(
101 SLSccxLxc
)()( 0 SIcxI
)()( 0 SIcxI 最小正根的 图解法
J(u)在 u+x=S处达到最小
x
I(x)
0 S
I(S)
s
I(S)+c0
I(x)在 x=S处达到最小值 I(S)
I(x)图形建模与求解
x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()(
0)(
0),()( 10
uxL
uuxLuccuJ
)()( 1 xLxcxI
J(u)与 I(x)相似
I(S)
)()( 0 SIcxI 的最小正根 s
9.4 轧钢中的浪费轧制钢材两道工序
粗轧 (热轧 ) ~ 形成钢材的雏形
精轧 (冷轧 ) ~ 得到钢材规定的长度粗轧钢材长度正态分布均值可以调整方差由设备精度确定粗轧钢材长度大于规定切掉多余部分粗轧钢材长度小于规定 整根报废随机因素影响精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小背景分析 设已知精轧后钢材的规定长度为 l，
粗轧后钢材长度的均方差为?
记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作 x~N(m,? 2)
切掉多余部分的概率
)( lxPP
整根报废的概率
)( lxPP
PPm,
存在最佳的 m使总的浪费最小 l
P
PPm,
0
p(概率密度 )
m xP′ m
P
P′
l l dxxxpdxxplxW )()()(
l dxxlpdxxxp )()(
建模 选择合适的目标函数切掉多余部分的浪费整根报废的浪费总浪费 = +
lPm
粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧 N根 成品材 PN根成品材长度 l PN总长度 mN
N
l P NmN? lPm
共浪费长度 mN-lPN
lPmPN l P NmN
)(
)(
mP
mmJ?记
2
2
2
)(
2
1)(,)()(?
mx
l
expdxxpmP
选择合适的目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度 lPm
N
l P NmN
得到一根成品材平均浪费长度更合适的目标函数优化模型：求 m 使 J(m) 最小（已知 l,? ）
建模粗轧 N根 得成品材 PN根
,? mxy lm,
)()(
J
2
2
2
1
)(
)()(
y
z
ey
dyyz
)(
)(
mP
mmJ?
2
2
2
)(
2
1
)(
)()(
mx
l
exp
dxxpmP
z
)(
)()(
z
zzJ
)()(
J
求解求 z 使 J(z) 最小（已知?）
求解
)(
)()(
z
zzJ
0)()()( zzz?
)(/)( zzz
)()( zz
0?
dz
dJ
2
2
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1
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y
z
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)(
zzzF
zzF
简表)()()( zzzF
z
*z
例 设 l=2(米 ),?=20(厘米 )，
求 m 使浪费最小。
=l/?=10 z*=-1.78
*=?-z*=11.78
m*=?*?=2.36(米 )
求解
1.253 0.876 0.656 0.516 0.420 0.355
0
227.0
-3.0
0.5
56.79
-2.5
1.0
18.10
-2.0
1.5
7.206
-1.5
2.0 2.5
3.477 1.680
-1.0 -0.5z
z
F(z)
F(z)
zzF)(
1.0 2.00-1.0-2.0
10
5
F(z)
z
9.5 随机人口模型背景? 一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区 平均生育率平均死亡率 确定性模型一个家族或村落 出生概率死亡概率 随机性模型对象 X(t) ~ 时刻 t 的人口,随机变量,
Pn(t) ~概率 P(X(t)=n),n=0,1,2,…
研究 Pn(t)的变化规律；得到 X(t)的期望和方差若 X(t)=n,对 t到 t+?t的出生和死亡概率作以下假设
1)出生一人的概率与?t成正比，记 bn?t ;
出生二人及二人以上的概率为 o(?t).
2)死亡一人的概率与?t成正比，记 dn?t ;
死亡二人及二人以上的概率为 o(?t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
bn与 n成正比，记 bn=?n,?~出生概率 ；
dn与 n成正比，记 dn=?n,?~死亡概率 。
进一步假设模型假设
)()1)((
)()()( 1111
totdtbtP
tdtPtbtPttP
nnn
nnnnn
建模 为得到 Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，
考察 Pn(t+?t) =P(X(t +?t)=n).
事件 X(t +?t)=n的分解
X(t)=n-1,?t内出生一人
X(t)=n+1,?t内死亡一人
X(t)=n,?t内没有出生和死亡其它 (出生或死亡二人，
出生且死亡一人,… …)
概率 Pn(t+?t)
Pn-1(t),bn-1?t
Pn+1(t),dn+1?t
Pn(t),1-bn?t -dn?t
o(?t)
)()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn
)()()()( 1111 tPdbtPdtPbdtdP nnnnnnnn
~一组递推微分方程 —— 求解的困难和不必要
0
0
,0
,1
)0(
nn
nn
P n (t=0时已知人口为 n0)
转而考察 X(t)的期望和方差
bn=?n,dn=?n
微分方程建模
1
)()()()(
n
n tEtnPdt
dE
)()(
)()1(
)()1(
1
2
1
1
1
1
tPn
tPnn
tPnn
dt
dE
n
n
n
n
n
n
1
)()(
n
n tnPtE
X(t)的期望求解
)()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn基本方程
1
)()1(
k
k tPkk?
n-1=k
1n
n
dt
dPn
dt
dE
n+1=k
)()1(
1
tPkk
k
k?
求解
0)0(
)()(
nE
tE
dt
dE
rtextx 0)(?比较：确定性指数增长模型
)()()( 2
1
2 tEtPntD
n
n
X(t)的方差
E(t)-?(t)
-? = r D(t)?
rentE rt,)( 0
E(t)+?(t)E
t0
n0
, D(t)?
]1[)( )()(0?
tt eentD
X(t)大致在 E(t)?2?(t) 范围内（? (t) ~均方差）
r ~ 增长概率
r ~ 平均增长率
9.1 传送系统的效率
9.2 报童的诀窍
9.3 随机存贮策略
9.4 轧钢中的浪费
9.5 随机人口模型确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型 统计回归模型 马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型传送带挂钩产品工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
背景在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高 传送带效率 的途径
9.1 传送系统的效率问题分析
进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的 生产周期相同,即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。
可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的 比例,作为衡量传送带效率的数量指标。
工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，
并且在一个周期内 任一时刻的可能性相同 。
模型假设
1） n个工作台 均匀排列,n个工人生产相互独立，
生产周期是常数；
2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是 等可能 的；
3）一周期内 m个均匀排列的挂钩 通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；
4）每人在生产完一件产品时都 能且只能触到一只挂钩,若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；
若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。
模型建立
定义 传送带效率 为一周期内运走的产品数（记作 s,
待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
若求出一周期内每只挂钩非空的概率 p，则 s=mp
为确定 s，从 工人 考虑还是从 挂钩 考虑，哪个方便？
设每只挂钩为空的概率为 q，则 p=1-q如何求概率设每只挂钩不被一工人触到的概率为 r，则 q=rn
设每只挂钩被一工人触到的概率为 u，则 r=1-u
u=1/m p=1-(1-1/m)n D=m[1-(1-1/m)n]/n
一周期内有 m个挂钩通过每一工作台的上方模型解释若 (一周期运行的 )挂钩数 m远大于工作台数 n,则
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传送带效率 (一周期内运走产品数与生产总数之比） ])11(1[ nmnmD
定义 E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）
提高效率的途径：
增加 m
习题 1
当 n远大于 1时,E? n/2m ~ E与 n成正比，与 m成反比若 n=10,m=40,
D?87.5% (89.4%)
m
n
2
11
9.2 报童的诀窍问题报童售报,a (零售价 ) > b(购进价 ) > c(退回价 )
售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
每天购进多少份可使收入最大？
分析购进太多?卖不完退回?赔钱购进太少?不够销售?赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的期望建模
设每天购进 n 份,日平均收入为 G(n)
调查需求量的随机规律 —— 每天需求量为 r 的概率 f(r),r=0,1,2…
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求 n 使 G(n) 最大
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2
1
取 n使
a-b ~售出一份赚的钱
b-c ~退回一份赔的钱
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0 r
p
9.3 随机存贮策略问题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；
周末根据库存决定是否订货，供下周销售。
（ s,S) 存贮策略制订下界 s,上界 S，当周末库存小于 s 时订货，
使下周初的库存达到 S; 否则，不订货。
考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订
（ s,S) 存贮策略,使 (平均意义下 )总费用最小模型假设
每次订货费 c0,每件商品购进价 c1,每件商品一周贮存费 c2,每件商品缺货损失费 c3 (c1<c3)
每周销售量 r 随机、连续，概率密度 p(r)
周末库存量 x,订货量 u,周初库存量 x+u
每周贮存量按 x+u-r 计
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建模与求解 （ s,S) 存贮策略
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确定 (s,S),使目标函数 —— 每周总费用的平均值最小平均费用订货费 c0,购进价 c1,贮存费 c2,缺货费 c3,销售量 r
Suxusx,0
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12
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建模与求解
1）设 x<s,求 u 使
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建模与求解
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2）对库存 x，
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J(u)在 u+x=S处达到最小
x
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I(x)在 x=S处达到最小值 I(S)
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J(u)与 I(x)相似
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9.4 轧钢中的浪费轧制钢材两道工序
粗轧 (热轧 ) ~ 形成钢材的雏形
精轧 (冷轧 ) ~ 得到钢材规定的长度粗轧钢材长度正态分布均值可以调整方差由设备精度确定粗轧钢材长度大于规定切掉多余部分粗轧钢材长度小于规定 整根报废随机因素影响精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小背景分析 设已知精轧后钢材的规定长度为 l，
粗轧后钢材长度的均方差为?
记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作 x~N(m,? 2)
切掉多余部分的概率
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整根报废的概率
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PPm,
存在最佳的 m使总的浪费最小 l
P
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m xP′ m
P
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建模 选择合适的目标函数切掉多余部分的浪费整根报废的浪费总浪费 = +
lPm
粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧 N根 成品材 PN根成品材长度 l PN总长度 mN
N
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共浪费长度 mN-lPN
lPmPN l P NmN
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简表)()()( zzzF
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*z
例 设 l=2(米 ),?=20(厘米 )，
求 m 使浪费最小。
=l/?=10 z*=-1.78
*=?-z*=11.78
m*=?*?=2.36(米 )
求解
1.253 0.876 0.656 0.516 0.420 0.355
0
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0.5
56.79
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1.0
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1.5
7.206
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9.5 随机人口模型背景? 一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区 平均生育率平均死亡率 确定性模型一个家族或村落 出生概率死亡概率 随机性模型对象 X(t) ~ 时刻 t 的人口,随机变量,
Pn(t) ~概率 P(X(t)=n),n=0,1,2,…
研究 Pn(t)的变化规律；得到 X(t)的期望和方差若 X(t)=n,对 t到 t+?t的出生和死亡概率作以下假设
1)出生一人的概率与?t成正比，记 bn?t ;
出生二人及二人以上的概率为 o(?t).
2)死亡一人的概率与?t成正比，记 dn?t ;
死亡二人及二人以上的概率为 o(?t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
bn与 n成正比，记 bn=?n,?~出生概率 ；
dn与 n成正比，记 dn=?n,?~死亡概率 。
进一步假设模型假设
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)()()( 1111
totdtbtP
tdtPtbtPttP
nnn
nnnnn
建模 为得到 Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，
考察 Pn(t+?t) =P(X(t +?t)=n).
事件 X(t +?t)=n的分解
X(t)=n-1,?t内出生一人
X(t)=n+1,?t内死亡一人
X(t)=n,?t内没有出生和死亡其它 (出生或死亡二人，
出生且死亡一人,… …)
概率 Pn(t+?t)
Pn-1(t),bn-1?t
Pn+1(t),dn+1?t
Pn(t),1-bn?t -dn?t
o(?t)
)()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn
)()()()( 1111 tPdbtPdtPbdtdP nnnnnnnn
~一组递推微分方程 —— 求解的困难和不必要
0
0
,0
,1
)0(
nn
nn
P n (t=0时已知人口为 n0)
转而考察 X(t)的期望和方差
bn=?n,dn=?n
微分方程建模
1
)()()()(
n
n tEtnPdt
dE
)()(
)()1(
)()1(
1
2
1
1
1
1
tPn
tPnn
tPnn
dt
dE
n
n
n
n
n
n
1
)()(
n
n tnPtE
X(t)的期望求解
)()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn基本方程
1
)()1(
k
k tPkk?
n-1=k
1n
n
dt
dPn
dt
dE
n+1=k
)()1(
1
tPkk
k
k?
求解
0)0(
)()(
nE
tE
dt
dE
rtextx 0)(?比较：确定性指数增长模型
)()()( 2
1
2 tEtPntD
n
n
X(t)的方差
E(t)-?(t)
-? = r D(t)?
rentE rt,)( 0
E(t)+?(t)E
t0
n0
, D(t)?
]1[)( )()(0?
tt eentD
X(t)大致在 E(t)?2?(t) 范围内（? (t) ~均方差）
r ~ 增长概率
r ~ 平均增长率
