用Matlab软件求解微分方程
1．解析解
（1）一阶微分方程求的通解：dsolve('Dy=1+y^2','x')
求的通解：dsolve('Dy=1+x^2-y','x')
求的特解：dsolve('Dy=1+y^2',’y(0)=1’,'x')
（2）高阶微分方程求解其中，，命令为：
dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-0.5^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')
求的通解，命令为：
dsolve('D3y-2*Dy+y-4*x=0','x')
输出为：
ans=8+4*x+C1*exp(x)+C2*exp(-1/2*(5^(1/2)+1)*x)+C3*exp(1/2*(5^(1/2)-1)*x)
（3）一阶微分方程组求的通解：[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','x')
输出为,f =exp(3*x)*(cos(4*x)*C1+sin(4*x)*C2)
g =-exp(3*x)*(sin(4*x)*C1-cos(4*x)*C2)
若再加上初始条件，则求特解：
[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1','x')
输出为,f =exp(3*x)*sin(4*x)
g =exp(3*x)*cos(4*x)
2．数值解
（1）一阶微分方程
现以步长h=0.1用“4阶龙格—库塔公式”求数值解：
先建立“函数M—文件”：function f=eqs1(x,y)
f=y-2*x/y;
再命令,格式为：
[自变量,因变量]=ode45(‘函数文件名’,节点数组,初始值)
命令为,[x,y]=ode45('eqs1',0:0.1:1,1)
若还要画图，就继续命令,plot(x,y)
（2）一阶微分方程组
只须向量化，即可用前面方法：
function f=eqs2(x,y)
f=[cos(x)+2*y(1)-y(2);sin(x)-y(1)+2*y(2)];
将此函数文件，以文件名eqs2保存后，再下命令：
[x,y]=ode45('eqs2',0:0.1:1,[0.2;0.3])
（注：输出的y是矩阵，第i列为函数的数值解）
要画图，继续命令：hold on,plot(x,y(:,1)),plot(x,y(:,2)),hold off
（3）高阶微分方程先化成一阶微分方程组，再用前面方法。
上机练习：
准备：令，化成
用机器,函数文件eqs3内容？
命令？
画图？
1．解析解
（1）一阶微分方程求的通解：dsolve('Dy=1+y^2','x')
求的通解：dsolve('Dy=1+x^2-y','x')
求的特解：dsolve('Dy=1+y^2',’y(0)=1’,'x')
（2）高阶微分方程求解其中，，命令为：
dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-0.5^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')
求的通解，命令为：
dsolve('D3y-2*Dy+y-4*x=0','x')
输出为：
ans=8+4*x+C1*exp(x)+C2*exp(-1/2*(5^(1/2)+1)*x)+C3*exp(1/2*(5^(1/2)-1)*x)
（3）一阶微分方程组求的通解：[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','x')
输出为,f =exp(3*x)*(cos(4*x)*C1+sin(4*x)*C2)
g =-exp(3*x)*(sin(4*x)*C1-cos(4*x)*C2)
若再加上初始条件，则求特解：
[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1','x')
输出为,f =exp(3*x)*sin(4*x)
g =exp(3*x)*cos(4*x)
2．数值解
（1）一阶微分方程
现以步长h=0.1用“4阶龙格—库塔公式”求数值解：
先建立“函数M—文件”：function f=eqs1(x,y)
f=y-2*x/y;
再命令,格式为：
[自变量,因变量]=ode45(‘函数文件名’,节点数组,初始值)
命令为,[x,y]=ode45('eqs1',0:0.1:1,1)
若还要画图，就继续命令,plot(x,y)
（2）一阶微分方程组
只须向量化，即可用前面方法：
function f=eqs2(x,y)
f=[cos(x)+2*y(1)-y(2);sin(x)-y(1)+2*y(2)];
将此函数文件，以文件名eqs2保存后，再下命令：
[x,y]=ode45('eqs2',0:0.1:1,[0.2;0.3])
（注：输出的y是矩阵，第i列为函数的数值解）
要画图，继续命令：hold on,plot(x,y(:,1)),plot(x,y(:,2)),hold off
（3）高阶微分方程先化成一阶微分方程组，再用前面方法。
上机练习：
准备：令，化成
用机器,函数文件eqs3内容？
命令？
画图？
