§6—1 §6—2 §6—4 医用薄膜的渗透率
1．问题提出某种医用薄膜允许某一种物质的分子穿透它。为了测试穿透能力，现用面积为S的医用薄膜将一个容器分割，两边分别装满包含该物质的浓度不同的溶液，这样，该物质的分子就会从高浓度溶液穿过医用薄膜向低浓度溶液扩散。通过单位面积薄膜的分子扩散速度与两边溶液的浓度之差成正比，比例系数K表征了该物质分子穿透该医用薄膜的能力，称为渗透率。定时测量某一边的浓度，可以确定渗透率K的值，请你们建立数学模型，给出计算K的方法，并利用下面一组实验数据做数值实验。
医用薄膜两侧的溶液体积均是1000，医用薄膜的面积是10，测试得如下数据（其中时刻t的单位是“百秒”，浓度C的单位是“”）：
t,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C：4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59,
2．问题假设
（1）在薄膜的每侧，该物质分子在溶液中均匀分布；
（2）当两侧的浓度不等时，物质分子总是从高浓度向低浓度穿透扩散；
（3）通过单位面积薄膜的分子扩散速度与两边溶液的浓度之差成正比；
（4）薄膜是双向同性的，即从任何一侧向另一侧渗透的性能相同。
3．符号说明
K,薄膜的渗透率；
,分别是薄膜两侧的溶液体积；
S,分割两侧溶液的薄膜面积；
,分别是薄膜两侧在初始时刻的溶液浓度；
,分别是薄膜两侧在时刻的溶液浓度；
4．问题分析
先用机理分析的方法，确定的函数表达式（式中含待定参数）；再用测试分析的方法，借助题给数据，确定那些待定参数。
（1）在时间段内，某一侧物质增加量为
同一时间段，从另一侧渗透过来的物质量是
二者相等，得 (1)式
（2）初始时刻，物质总量是
任意t时刻，物质总量是
二者相等，得 (2)式将(2)式代入(1)式得
再结合初值 ，解微分方程得
5．数学模型记，得
根据此模型，再利用测量所得数据，用最小二乘法估算参数的值，从而可得K的值。
5．数值实验利用题给数据，用最小二乘法估算参数的值，并给出节点处的总误差 Matlab程序如下。
先建立并保存函数文件：文件名syp79hswj 内容为：
function f=syp79hswj(a,x0)
f=a(1)+a(2)*exp(-a(3)*x0);
再做下面主程序(文件名syp79)：
clear
x0=1:10;y0=[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];
for i=1:10
plot(x0(i),y0(i),'+')
end
cscz=[1,1,1];
a=lsqcurvefit('syp79hswj',cscz,x0,y0)
x=0:0.2:11;f=syp79hswj(a,x);plot(x,f)
f=syp79hswj(a,x0);
wc=sqrt(sum((f-y0).^2))
执行得：a=6.9811,b= -2.9918,c=0.2031
节点处总误差=0.0077
由=0.2031得K=10.155
§6—5 曲面拟合
前面是关于一元函数的最小二乘，称为曲线拟合。推而广之，关于二元函数的最小二乘，称为曲面拟合。
是依赖于两个自变量的二元函数，采集到的数据是，通过建立数学模型已经得到函数结构，此函数中含有几个待定参数，现在的任务是：确定参数的值，使得在节点处的总误差达到最小。对于二元情况，用Matlab求解的方法与一元情况几乎相同。
例：经济增长模型，其中Q、K、L分别是生产值、资金、劳动力，是待定参数（这个模型可以初步反映资本主义早期的经济规律）。书P85给出了美国马萨诸塞洲1900—1926年的关于此模型中Q、K、L的统计数据。请估计参数的值。
先建立并保存函数文件：文件名syp85hswj 内容为：
function f=syp85hswj(a,x0)
f=a(1)*x0(1,:).^a(2).*x0(2,:).^a(3);
（其中，数组a对应，矩阵x0的第1、第2行分别对应K的数组、L的数组）
再做下面主程序(文件名syp85)：
clear
x0=[1.04,1.06,1.16,1.22,1.27,1.37,1.44,1.53,1.57,2.05,2.51,2.63,2.74,2.82,3.24,3.24,3.61,4.10,4.36,4.77,4.75,4.54,4.54,4.58,4.58,4.58,4.54;1.05,1.08,1.18,1.22,1.17,1.30,1.39,1.47,1.31,1.43,1.58,1.59,1.66,1.68,1.65,1.62,1.86,1.93,1.96,1.95,1.90,1.58,1.67,1.82,1.60,1.61,1.64];
z0=[1.05,1.18,1.29,1.30,1.30,1.42,1.50,1.52,1.46,1.60,1.69,1.81,1.93,1.95,2.01,2.00,2.09,1.96,2.20,2.12,2.16,2.08,2.24,2.56,2.34,2.45,2.58];
cscz=[0.1,0.1,0.1];
a=lsqcurvefit('syp85hswj',cscz,x0,z0)
f=syp85hswj(a,x0);
wc=sqrt(sum((f-z0).^2))
x=1:0.2:4.8;y=1:0.1:2;[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=a(1)*X.^a(2).*Y.^a(3);
Mesh(X,Y,Z)
执行得,a =1.2247 0.4612 -0.1278
即分别为1.2247、0.4612、-0.1278
节点（共27个）处的总误差 0.6504
1．问题提出某种医用薄膜允许某一种物质的分子穿透它。为了测试穿透能力，现用面积为S的医用薄膜将一个容器分割，两边分别装满包含该物质的浓度不同的溶液，这样，该物质的分子就会从高浓度溶液穿过医用薄膜向低浓度溶液扩散。通过单位面积薄膜的分子扩散速度与两边溶液的浓度之差成正比，比例系数K表征了该物质分子穿透该医用薄膜的能力，称为渗透率。定时测量某一边的浓度，可以确定渗透率K的值，请你们建立数学模型，给出计算K的方法，并利用下面一组实验数据做数值实验。
医用薄膜两侧的溶液体积均是1000，医用薄膜的面积是10，测试得如下数据（其中时刻t的单位是“百秒”，浓度C的单位是“”）：
t,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C：4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59,
2．问题假设
（1）在薄膜的每侧，该物质分子在溶液中均匀分布；
（2）当两侧的浓度不等时，物质分子总是从高浓度向低浓度穿透扩散；
（3）通过单位面积薄膜的分子扩散速度与两边溶液的浓度之差成正比；
（4）薄膜是双向同性的，即从任何一侧向另一侧渗透的性能相同。
3．符号说明
K,薄膜的渗透率；
,分别是薄膜两侧的溶液体积；
S,分割两侧溶液的薄膜面积；
,分别是薄膜两侧在初始时刻的溶液浓度；
,分别是薄膜两侧在时刻的溶液浓度；
4．问题分析
先用机理分析的方法，确定的函数表达式（式中含待定参数）；再用测试分析的方法，借助题给数据，确定那些待定参数。
（1）在时间段内，某一侧物质增加量为
同一时间段，从另一侧渗透过来的物质量是
二者相等，得 (1)式
（2）初始时刻，物质总量是
任意t时刻，物质总量是
二者相等，得 (2)式将(2)式代入(1)式得
再结合初值 ，解微分方程得
5．数学模型记，得
根据此模型，再利用测量所得数据，用最小二乘法估算参数的值，从而可得K的值。
5．数值实验利用题给数据，用最小二乘法估算参数的值，并给出节点处的总误差 Matlab程序如下。
先建立并保存函数文件：文件名syp79hswj 内容为：
function f=syp79hswj(a,x0)
f=a(1)+a(2)*exp(-a(3)*x0);
再做下面主程序(文件名syp79)：
clear
x0=1:10;y0=[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];
for i=1:10
plot(x0(i),y0(i),'+')
end
cscz=[1,1,1];
a=lsqcurvefit('syp79hswj',cscz,x0,y0)
x=0:0.2:11;f=syp79hswj(a,x);plot(x,f)
f=syp79hswj(a,x0);
wc=sqrt(sum((f-y0).^2))
执行得：a=6.9811,b= -2.9918,c=0.2031
节点处总误差=0.0077
由=0.2031得K=10.155
§6—5 曲面拟合
前面是关于一元函数的最小二乘，称为曲线拟合。推而广之，关于二元函数的最小二乘，称为曲面拟合。
是依赖于两个自变量的二元函数，采集到的数据是，通过建立数学模型已经得到函数结构，此函数中含有几个待定参数，现在的任务是：确定参数的值，使得在节点处的总误差达到最小。对于二元情况，用Matlab求解的方法与一元情况几乎相同。
例：经济增长模型，其中Q、K、L分别是生产值、资金、劳动力，是待定参数（这个模型可以初步反映资本主义早期的经济规律）。书P85给出了美国马萨诸塞洲1900—1926年的关于此模型中Q、K、L的统计数据。请估计参数的值。
先建立并保存函数文件：文件名syp85hswj 内容为：
function f=syp85hswj(a,x0)
f=a(1)*x0(1,:).^a(2).*x0(2,:).^a(3);
（其中，数组a对应，矩阵x0的第1、第2行分别对应K的数组、L的数组）
再做下面主程序(文件名syp85)：
clear
x0=[1.04,1.06,1.16,1.22,1.27,1.37,1.44,1.53,1.57,2.05,2.51,2.63,2.74,2.82,3.24,3.24,3.61,4.10,4.36,4.77,4.75,4.54,4.54,4.58,4.58,4.58,4.54;1.05,1.08,1.18,1.22,1.17,1.30,1.39,1.47,1.31,1.43,1.58,1.59,1.66,1.68,1.65,1.62,1.86,1.93,1.96,1.95,1.90,1.58,1.67,1.82,1.60,1.61,1.64];
z0=[1.05,1.18,1.29,1.30,1.30,1.42,1.50,1.52,1.46,1.60,1.69,1.81,1.93,1.95,2.01,2.00,2.09,1.96,2.20,2.12,2.16,2.08,2.24,2.56,2.34,2.45,2.58];
cscz=[0.1,0.1,0.1];
a=lsqcurvefit('syp85hswj',cscz,x0,z0)
f=syp85hswj(a,x0);
wc=sqrt(sum((f-z0).^2))
x=1:0.2:4.8;y=1:0.1:2;[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=a(1)*X.^a(2).*Y.^a(3);
Mesh(X,Y,Z)
执行得,a =1.2247 0.4612 -0.1278
即分别为1.2247、0.4612、-0.1278
节点（共27个）处的总误差 0.6504
