飞机如何定价----方程求解
§2—1 问题的实际背景全球飞机制造业的两大巨头：
波音（美国）； 空中客车（欧洲：法、德、英等）。
看书 P7
§2—2 问题及其数学模型
1．问题提出某大型的飞机制造公司，研发了一种新型客机，投放市场，如何定价？
2．问题分析
开办公司就是为了赢利，具体到本问题，就是确定合适的飞机价格使利润最大。主要考虑的因素有：飞机的制造成本；公司的生产能力；飞机的销售数量；同行（即竞争对手）的行为；市场占有率；等等。
3．假设及建立模型
（1）几个大的飞机制造公司共同垄断市场，并在价格上形成联合。
（2）本模型只考虑一种型号的飞机。
（3）该型飞机在全球的总销售量N是由飞机的单价p（即价格）决定的。根据以往对销售规律、需求规律的统计分析，该公司预测得到，N依赖于p的规律为
（4）因为几大公司形成联合，所以，在总销售量N中，各个公司所占的比例（以下简称：市场占有率）与P无关。故假设该公司的市场占有率是常数h。
（5）假设该公司具有足够的生产能力满足需求。需求量（即销售量）记为，则有
（6）进过评估得，该公司该型飞机的制造成本C为
（7）利润R等于制造成本减去销售收入，即
建立模型的目标是：求p使R最大。根据上述七条假设可得如下数学模型：
(1)式其中，h为常数，P为自变量，R为因变量。
4．模型求解
根据“微积分学”，一元函数在时取得最大值。根据模型(1)式，可得下面方程
怎样求这个方程的根？ 暂停！
§2—3 方程求根的数值方法
求方程f(x)=0的根，用传统的数学表达式推演而得到准确根，这样的方法只能解极少数简单方程。对于大量的由实际问题而产生的方程，就得用数值方法借助计算机给出近似根。
1．图形放大法
图象与x轴交点（的横坐标）即为根。借助计算机，逐步画图，就可得近似根。
例：求的全部实根，精度
解：看书p11之图。从第一个图得根在[-2,2]；第二个图得根在[-2,-1]；第三个图得根在[-1.7,-1.5]；依次放大画图。
根在[-1.55,-1.53]；根在[-1.545,-1.542]；根在[-1.5438,-1.5435]
结果：只有一个实根
，误差为 0.00015,
2．数值迭代逼近法
（1）区间迭代法已知[a,b]为有根区间：一分为二，比较三个数
的正负，根据“介值定理”确定哪一半有根；重复多次。
例：求的全部实根。
解：[-2,2]为有根区间，一分为二 [-2,0],[0,2]，
，故 [-2,0]内有根。
再一分为二 [-2,-1],[-1,0]，
，故 [-2,-1]内有根。
再一分为二 [-2,-1.5],[-1.5,-1],略。
**（2）点迭代法一般迭代法：将适当变形为，在根的邻近找一个点作为初始点，作迭代，若数列收敛，则极限值就是准确根。
例：求的全部实根。
解：方程变形为，
取作迭代，得数列
0,-1.55000000000000
1,-1.54506186001005
2,-1.54398759072923
3,-1.54375394694797
4,-1.54370313434730
5,-1.54369208380942
6,-1.54368968058527
7,-1.54368915794256
8,-1.54368904428051
9,-1.54368901956179
10,-1.54368901418607
11,-1.54368901301698
12,-1.54368901276274
牛顿迭代法：方程，求导，在根的邻近找一个点作为初始点，作迭代
例：求的全部实根。
解：，
取作迭代，得数列
0,-1.55000000000000
1,-1.54375068436854
2,-1.54368901864621
3,-1.54368901269208
4,-1.54368901269208
5,-1.54368901269208
§2—4 飞机的最优价格
（ 上接 §2—2 最后“暂停”处 ）
现在来求解方程(2)式的根：其中h是常数，在这里必须给具体数据，不妨取h=0.5,
看书 略
§2—5 操练
两个题：操练一比操练二简单。
§2—1 问题的实际背景全球飞机制造业的两大巨头：
波音（美国）； 空中客车（欧洲：法、德、英等）。
看书 P7
§2—2 问题及其数学模型
1．问题提出某大型的飞机制造公司，研发了一种新型客机，投放市场，如何定价？
2．问题分析
开办公司就是为了赢利，具体到本问题，就是确定合适的飞机价格使利润最大。主要考虑的因素有：飞机的制造成本；公司的生产能力；飞机的销售数量；同行（即竞争对手）的行为；市场占有率；等等。
3．假设及建立模型
（1）几个大的飞机制造公司共同垄断市场，并在价格上形成联合。
（2）本模型只考虑一种型号的飞机。
（3）该型飞机在全球的总销售量N是由飞机的单价p（即价格）决定的。根据以往对销售规律、需求规律的统计分析，该公司预测得到，N依赖于p的规律为
（4）因为几大公司形成联合，所以，在总销售量N中，各个公司所占的比例（以下简称：市场占有率）与P无关。故假设该公司的市场占有率是常数h。
（5）假设该公司具有足够的生产能力满足需求。需求量（即销售量）记为，则有
（6）进过评估得，该公司该型飞机的制造成本C为
（7）利润R等于制造成本减去销售收入，即
建立模型的目标是：求p使R最大。根据上述七条假设可得如下数学模型：
(1)式其中，h为常数，P为自变量，R为因变量。
4．模型求解
根据“微积分学”，一元函数在时取得最大值。根据模型(1)式，可得下面方程
怎样求这个方程的根？ 暂停！
§2—3 方程求根的数值方法
求方程f(x)=0的根，用传统的数学表达式推演而得到准确根，这样的方法只能解极少数简单方程。对于大量的由实际问题而产生的方程，就得用数值方法借助计算机给出近似根。
1．图形放大法
图象与x轴交点（的横坐标）即为根。借助计算机，逐步画图，就可得近似根。
例：求的全部实根，精度
解：看书p11之图。从第一个图得根在[-2,2]；第二个图得根在[-2,-1]；第三个图得根在[-1.7,-1.5]；依次放大画图。
根在[-1.55,-1.53]；根在[-1.545,-1.542]；根在[-1.5438,-1.5435]
结果：只有一个实根
，误差为 0.00015,
2．数值迭代逼近法
（1）区间迭代法已知[a,b]为有根区间：一分为二，比较三个数
的正负，根据“介值定理”确定哪一半有根；重复多次。
例：求的全部实根。
解：[-2,2]为有根区间，一分为二 [-2,0],[0,2]，
，故 [-2,0]内有根。
再一分为二 [-2,-1],[-1,0]，
，故 [-2,-1]内有根。
再一分为二 [-2,-1.5],[-1.5,-1],略。
**（2）点迭代法一般迭代法：将适当变形为，在根的邻近找一个点作为初始点，作迭代，若数列收敛，则极限值就是准确根。
例：求的全部实根。
解：方程变形为，
取作迭代，得数列
0,-1.55000000000000
1,-1.54506186001005
2,-1.54398759072923
3,-1.54375394694797
4,-1.54370313434730
5,-1.54369208380942
6,-1.54368968058527
7,-1.54368915794256
8,-1.54368904428051
9,-1.54368901956179
10,-1.54368901418607
11,-1.54368901301698
12,-1.54368901276274
牛顿迭代法：方程，求导，在根的邻近找一个点作为初始点，作迭代
例：求的全部实根。
解：，
取作迭代，得数列
0,-1.55000000000000
1,-1.54375068436854
2,-1.54368901864621
3,-1.54368901269208
4,-1.54368901269208
5,-1.54368901269208
§2—4 飞机的最优价格
（ 上接 §2—2 最后“暂停”处 ）
现在来求解方程(2)式的根：其中h是常数，在这里必须给具体数据，不妨取h=0.5,
看书 略
§2—5 操练
两个题：操练一比操练二简单。
