1 - 1
主讲,于 朝 江
Email,yuchaojiang@swust.edu.cn
数理统计基础
1 - 2
第 1章 统计模型与统计量
1.1 随机数据
1.2 样本与样本分布
1.3 统计量与抽样分布
1.4 常用分布第 2章 点估计
2.1 基本概念
2.2 无偏估计的方差下界
2.3 UMVU估计与充分完备统计量
2.4 极大似然估计
2.5 矩方法与最小二乘法
2.6 贝叶斯估计第 3章 区间估计
3.1 置信区间与置信限
3.2 单参数分布族的置信区间
3.3 存在讨厌参数时的置信区间构造
3.4 渐近置信区间
3.5 顺序统计量的应用第 4章 假设检验
4.1 基本概念
4.2 常用分布族的参数假设检验
4.3 似然比检验
4.4 双正态总体参数的假设检验
4.7 秩检验第 5章 实用线性模型
5.2 方差分析
5.3 线性回归分析课程内容介绍
1 - 3
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科,是重要的一个数学分支。概率论是研究随机现象发生可能性的大小的一门学科，而数理统计则是研究大量随机现象数量规律的一门学科。它们之间联系密切但也有根本差别,数理统计的方法在自然科学、工程技术研究及社会科学领域中应用极其广泛。
1 - 4
一、问题的引入,
例 考察某纺织厂某天生产的细纱的强力，由于原材料及生产过程中许多随机因素的影响，每支细纱的强力一般是不同的。用 ω表一支细纱,则 X(ω)表示这支细纱的强力，当 ω变动时就得一随机变量 X。
。如何验证假设是否正确～假定） ),(2 2NX
。，如何估计～假定） 22 ),(3NX
1) 如何求出（或近似求出） X 的分布函数 F(X)；
4） 如何找出影响强力的主要因素 。
这些都是属于数理统计研究解决的问题。
1 - 5
二、数理统计的概念数理统计：研究大量 随机现象 数量规律的一门科学。
三、中心任务、基本内容、统计步骤
1,中心任务：由局部推断整体。
2,基本内容：
1）分布函数的估计
近似作图理论推导前人经验
2）未知参数的估计（点估计、区间估计）
3）统计假设检验（检验分布、检验参数）
4）一事物诸性质间的关系（回归分析）
5）分析影响事物的因素（方差分析）
3,统计步骤,
1）叙述性工作
2）分析性工作
3）推断性工作
1 - 6
第 1章 统计模型与统计量统计学分析处理的对象是带有随机性的数据，
由于数据来源的广泛性、多样性及获取方法的不同，
随机数据的形态是很丰富的。为对数据进行定性、
定量的分析处理，首先要对它们建立一定的数学模型，在此基础上再选用适当的数学方法进行整理加工。概率论是研究随机现象的数学理论，因此在统计学中将随机数据看成是有一定分布的随机变量，
这样建立起来的数学模型就是统计数学模型，或简称为统计模型。
1 - 7
1.1 随机数据
1.1.1 随机数据的例子试验中考察对象受各种随机因素的影响，检测出的数据为随机数据。例如：
例 1.1.1 (见教材 p1) 10只灯泡的寿命。
例 1.1.2 (见教材 p2) 10只灯泡的寿命为正品、次品。
例 1.1.3 (见教材 p2) 5组不同情况的居民的收入。
例 1.1.4 (见教材 p2) 三个反应时间树脂的各 3次试验强度。
1 - 8
1.1.2 数据的简单处理几种常用的对单一来源的一维数据作简单加工处理的方法
1.频率直方图：
频率分布直方图是用样本分组界值做为横坐标，以频率与组距的比值做为纵坐标，做出的统计图表，并以邻界的样本与其频率与组距的比值做成长方形，可细致地反应数据散布的特点。
1 - 9
11 nnn xxr）求极差
.)2 1 bxax nnn 的数与略大于的数适当选取略小于根据数据量的大小分成若干个等长的小区间：
.),(),(),(),( 11211 btttttta kii,、、、,
nnn
nn
n
xxxx
xxxx
xx
21
211
1
,m a x
,m i n
,
最大值取这组数据的最小值和设数据为
1 - 10
（ 4）在 OX轴上截取各子区间，并以各子区间为底，以
.
1
i
i
ii
i
f
S
tt
f
频率数据落在该子区间内的就等于形的面积为高作小矩形，各小矩?
（见教材 P4对例 1.1.1中的数据处理）
注意,各小长方形面积的和为 1
（ 3）把所有数据逐个分到各子区间内，并计算数据落在各子区间内的
),,1(,ki
n
nfn i
ii及频率频数
1 - 11
例 1.在自动机床加工制造零件的过程中,随机地抽取一些样品,测量它们的尺寸,记录在专用表格上。设共抽取 250个零件，测得的零件尺寸与规定尺寸的偏差的频率分布表为：
0 0 0.12 5 0
0 0 4.01]30,25[
0 2 0.05]25,20[
0 5 2.013]20,15[
1 0 4.026]15,10[
1 4 4.036]10,5[
1 8 0.045]50[
1 8 8.047]05[
1 4 0.035]510[
0 9 2.023]1015[
0 4 4.011]1520[
0 2 4.06]2025[
0 0 8.02]2530[
计总
，
，
，
，
，
，
，
频率频数区间（微米）
零件尺寸偏差
ii
m?
，则直方图为其中 250 ii m
xx?)(?
1 - 12
,1)1
1
n
i
iXnX均值：
nnnn
n
xxx
xxx
21
21
:
,,
:)2
记为
，后依从小到大的顺序重排将数据中位数则数据的中位数定义为：
为偶数当的中间两个的算术平均为奇数当的中间一个
nnix
nnixx
ni
ni
.,,1,;,,1,~
2.中心位置,刻画数据中心位置的量主要有
1 - 13
3.数据的离散程度,刻画数据离散 程度 的量主要有
n
i
i
n
i
i XX
n
SXX
n 1
22
1
22 )(
1
1
)(
1
1
或
）样本方差
.,
2
22 SS 或
））样本均方差（标准差
1
)3
nnn XXr
数据的极差
1 - 14
1.2 样本与样本分布
1.2.1 总体与总体分布
1,总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。 组成总体的元素称为个体。
从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。
1 - 15
2,总体分布,常用的分布有离散型,0— 1分布，几何分布，超几何分布，
二项分布，泊松分布。
连续型：均匀分布，指数分布，柯西分布，
正态分布,Γ— 分布,β— 分布。
1 - 16
1.2.2 样本与样本分布如果满足：个体样本：来自总体的部分,1,,nXX?
,1
,21
,,
,,,
n
n
xx
XXX
记为：
值，的一次实现为样本观测而称则 称为容量为 的简单随机样本，简称样本 。n
相互独立。独立性：
与总体同分布同分布性：
,1,,)2(
.),,1()1(
n
i
XX
niX
1 - 17
显然，样本联合分布函数或密度函数为
n
i
in xfxxf
1
1
* )(),,(?或
n
i
in xFxxF
1
1
* )(),,(?
...,)(,)(~,,1 xFxfXXX
iid
n 或?
可记为：的随机样本来自总体,1,,nXXX?
1 - 18
n
i
in
n
x
xfxxf
XX
x
xe
xfX
1
1
*
,1
)(),,(
,,,
00
0
1
)(~2.
的分布密度为样本设例
00
0
1 1
i
i
x
n
x
xe
i
n
i
的分布为样本,1,,nXX
n
i
xn
i
in
i
exFxxF
11
1
* )1()(),,(
1 - 19
1.2.3 统计模型及其意义统计模型可分为两大类：
1,参数模型：总体的分布 F 一般为已知,F为一个或有限多个参数决定，对总体（样本）分布的推断可转化为对一个或有限多个参数的推断。
2,非参数模型：总体的分布为未知不能用一个或有限多个参数来推断总体分布，只能对总体分布的特性作一些基本的假定推断。
1 - 20
根据统计学原理从一定统计模型和样本出发进行推断，将所得信息量化，采用适当数学方法作深入的分析 。
统计模型的意义：
1 - 21
1.2.4 指数族定义 1.2.1
.),,(,
)()()(e x p)(),(
),,(
1
1
,1
n
j
n
j
j
n
xxx
xhbxTCxf
XXX
维的）为未知参数（可以是多其中密度函数的分布设样本
为指数型分布族。无关的函数，就称为与
、
无关的函数为与
f
njxhxT
x
kjbC
j
j
),2,1()()(
.
),2,1()(,)(
1 - 22
1T)(?c )(1?b 2T )(2?b
i
in xxf
2
222 )(2
1e x p
)2(
1);(?
22
2
2
2
22 2
1e xp
2e xp)2(
1
i ii in xx
n
例见教材例 1.2.1,
1 - 23
指数族的性质：
常用分布族中也有不属于指数族的，
如 P19例 1.2.3,是否为指数族主要是看是否能表示为定义 1.2.1中的形式
),(?xf
1.指数族分布的支撑集与参数 无关 ;
2.指数族分布有较好的解析性质（求偏导数运算与求积分运算可交换顺序）,
(见教材 P19引理 1.2.1)
1 - 24
1.3 统计量与抽样分布
1.3.1统计量与抽样分布统计量 定义：
的一个统计量。是总体称如果不含未知参数，则的函数样本
X
XXg
XXgXX
n
nn
),,(
),,(,,
,1
1,1
统计量是样本的 不含任何未知参数 的函数，
是统计量。不是统计量，而如 XX 3?
1 - 25
常用的几个统计量,
n
i
i XXns
1
22 )(
1
12.样本方差
n
i
iXnX
1
11.样本均值
n
i
i XXns
1
2)(
1
13.样本标准差
n
i
k
ik kXnA
1
.,2,1,1
4.样本 K阶原点矩
n
i
k
iik kXXnB
1
.,2,1,)(1
5.样本 K阶中心矩
1 - 26
1.3.2 充分统计量例 （见教材 P22例 1.3.2）
的条件分布样本给定时，或多维的）统计量，当为一个（一维设
,1
,1
,,
),,(
n
n
XX
T
XXTT
定义 1.3.1
与 无关，则称 为关于 的充分估计量；
即是样本关于统计量的条件分布与参数 无关。充分统计量简单地说，就是,不损失信息,的统计量。
T?
1 - 27
.,212211 nn XXXTXXXT
如下两个统计量一个样本，我们来研究的是来自两点分布设例?,1,,.3,1 BXX n
显然,的分布为二项分布,当 取中任意一个数 时，样本 的条件分布为,
1T ),(?nB
),,0( n? t X
1T
x
t
n
t
ntTP
tTxXP
tTxXP
in
in
,
)1(
)1(
)(
),(
)(
1
1
1
1
1 - 28
nn TPTP 1)0(,)1( 22
计算结果表明,是充分统计量1T
另外统计量 仅可以取两个值,0 与 1，且2T
)0,,( 211 TxXxXp nn
)0(/)0,,,( 2211 TPTxXxXp nn
于是在 下，样本 的条件分布为0
2?T X
计算结果表明,是充分统计量2T
1 - 29
1.3.3 因子分解定理用定义 1.3.1验证一个统计量是否是充分统计量是不太方便的下面介绍一个判别是否为充分统计量的使用方面的准则。
定理 1.3.1（因子分解定理）
无关。与表示为样本的函数，仅通过其中当且仅当的）充分统计量，为（关于则为未知参数。其中的频率函数为设样本
)(
);)((
)();)(();(
)(
,),,(,);(
),,(
1
,1
xh
TxTg
xhxTgxf
XTT
xxxxf
XXX
n
n
1 - 30
联合密度函数为：的一个样本，其样本的分布是来自设例 )(),,(.4,1?PP oi s s onXXX n
n
i
i
n
x
nn xexXxXp
n
i
i
1
11 )!(),,(
1
的充分统计量。是由因子分解定理知,
n
i
ixxT
1
)(
)(][)( )( xhexXP nxT则上式可改写为：
1
11
)!()()(
n
i
i
n
i
i xxhxxT取
1 - 31
定理 1.3.2
为充分统计量。则
，的分布族满足定义设样本
),,(
1.21.,,
,1
1
k
n
TTT
XX
即指数族为充分统计量
1.3.4 经验分布函数与顺序统计量定义 1.3.2 样本的经验分布函数定义为
x
nixXX
n
xF iiin },,1,{#
1
)(：
其中 {·} 表示集合 {·}中元素的个数#
1 - 32
经验分布满足分布函数的一般性质,
.1)(?lim,0)(?lim.)2(
)(?.)1(
xFxF
xxF
n
x
n
x
n ；的单调非降左连续函数为
1 - 33
定理 1.3.3（格里文科）
。一致收敛于在实轴上以概率则为经验分布函数，设样本
)(1)(?
1)0)()(?s u p( l i m
)(?,~,,
1
xFxF
xFxFP
xFFi i dXX
n
n
xn
nn
这个定理等价于：
。则有记
1)0l i m(
,)()(?s u p
n
n
n
x
n
DP
xFxFD
1 - 34
定义 1.3.3
称为顺序统计量。则为：
按从小到大的顺序重排样本
),,,(
,
,,
21
21
1
nnnn
nnnn
n
XXX
XXX
XX
设总体的分布函数为 F(x),密度函数 f (x) 则
.
,)()(!
),,,()1(
1
1
21
n
n
nnnn
xx
xfxfn
XXX
密度函数为：
的联合分布的
1 - 35
1)()(
,)()2(
n
n
nn
xFxfn
xFX
密度为的分布函数为
1
1
))(1()(
,))(1(1)3(
n
n
n
xFxfn
xFX
密度为的分布函数为;))(1()()(
)!()!1(
!
)4(
1 knk
nk
xFxFxf
knk
n
X
的密度
1 - 36
1)()()(
)!()!1()!1(
!?
k
lk xFxfxflnklk
n
lklniklkl xxxFxFxF ))(1())()(( 1
的联合密度为lkXX nlnk?)()5(,
可以证明：
定理 1.3.4 顺序统计量是充分统计量。充分统计量的一对一变换仍是充分统计量。
1 - 37
该样本的次序统计量。
为的充分统计量。其中为证明
nnn
n
i ninnn
XX
XXTX
,,
),(),(),(
1
21
*
11
分布的一个样本，
是来自两参数指数设例,1,,5,nXX?
)(
1
e x p
!
),;,,(
1
11
n
i
nin
nnn
nX
n
xxp
其中 称为门限参数,称为尺度参数。R R?
1 - 38
nnn
n
i
nin
nnn
nnn
XX
nX
n
xxp
XX
1
1
11
1
,)(
1
e x p
!
),;,,(
),,(
的联合密度函数证明：用一系列一对一变换来研究此问题，
易写出次序统计量
1 - 39
1
122
11
))(1(
nnnn
nn
n
xxy
xxny
nxy
作变换
.!/11 nJ?其雅可比行列式为
,11 ni ini ni yx，在此变换下
1 - 40
n
n
i
in
n
yyny
ny
yyp
,,0,
,)(
1
e x p
1
),;,,(
21
1
)()1(2
的联合密度函数为由此可得,1,,nYY?
1 - 41
nnn
nn
yyyT
yyU
yyU
yU
yy
121
122
322
21
11
再作变换
111
2,1
nni i Tyy
J
，在此变换下其雅可比行列式
1 - 42
tuuny
nty
n
n
211
1
,,0,
)(
1
e x p
1
),,,(
,,,
2,113
,12,11
tuuyp
TUUY
n
nn
的联合密度函数由此可得因而 的边际密度函数可求得),( 11?nTY
1 - 43
tuuny
ntytuuyp
n
nn
211
12,113
,,0,
)(
1
e x p
1
),,,(
t
u
n
t
u
t
n
n
dududu
ntytyp
31
22
0
1
114
)(
1
ex p
1
),(
因而 的边际密度函数可求得),( 11?nTY
)!2(
)(
1
e xp
1 2
1?
n
t
nty
n
n
1 - 44
tuu
t
n
typ
tuuyp
n
n
n
21
2
4
213
,,0
)!2(
),(
),,,,(
的充分统计量。、是
（无关，所以、上式右端与
),11?nTY
的条件密度函数为
，时和在给定，最后
21
111
,,?
n
n
UU
tTyY
),|,,( 21 tyuuh n
1 - 45
的充分统计量。、仍是所以是一对一变换，
又因为
),(
)1(
*
11
*
111
11
nn
nnn
n
TX
TXnT
nXY
1 - 46
1.4 常用分布统计量的分布称为抽样分布，或称诱导分布，它在研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性等方面十分重要。在统计学中常用的分布很多。本节主要介绍正态分布及由正态样本产生的一些统计量的抽样分布。
1.4.1正态分布正态分布 是统计学中应用最为广泛的一个分布（族）。它的一些基本性质我们在概率论中已经学过了，我们直接给出：
),( 2N
1 - 47
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
n
XVa r
n
X
n
Va rXVa r
XE
n
X
n
EXE
N
Xn
U
Ni i dXX
1
2
2
1
11
2
1
)(
11
)(
)(
11
)(
)1,0(
)(
),,(,,
～则
～设?
推论
不相关。当且仅当它们之间两两互独立，个正态分布随机变量相
～
的任一线性组合则
～独立设
n
aaNXa
XX
niNXXX
n
i
i i
iiiiii
n
iiin
)2(
,
,,)1(
,,1,),(,,,
1
22
,1
2
1
引理 1.4.1
1 - 48
引理 1.4.
,,,1,
)(
,,,1,),(,,21
niXpY
npP
niNXXX
j jiji
ij
iin
换阶正交矩阵，作线性变为一个
～独立设
,,,2
,),0(,),(
.,,1
,/1,)2(
.,,1
,,
,,,1,)1(
222/1
1
2
ni
NYnNY
nj
np
ni
pNY
niY
i
ijj
j
jiji
i
～～
时当
～
相互独立，则
（证明见教材 P29~P30）
1 - 49
曲线图分布的密度函数 )(2 yf
定义 1.4.2 （?2— 分布）
..
),1,0(,,
22
1
22
1
分布—的称为自由度为～则
～设
nX
NXX
n
n
i
i
i i d
n
0,0
0,
)2/(2
1
)(
2
1
2
2/2
y
yey
nyf
yn
n分布的密度函数—?
1?n
4?n
10?n
20?n
1 - 50
i i
yx n
i
i
n
Yn
dxdxx
yPyFXX
2 1
22/
222
1
2
2
1
e x p)2(
)()(
对
1
121
1212
1211
s i n
c o ss i n
c o sc o ss i n
c o sc o sc o s
nn
nnn
n
n
rx
rx
rx
rx
作变换
.,),,(
),,,(
),,( 2
1
1
2
11
1
11
1
n
i
in
n
n
n xrJr
rD
xxD
1 - 51
2/1
2
0
2
1
1
22/2
2
e x p
2
1
e x p)2()(
y
n
yx
n
i
i
n
dr
r
rC
dxdxxyP
i i
2
1
2
2/
2
2/
2/
0
2
112
11
)2/(2
1}{
);(,
2
2
1
2
2
2
e x p,1}{l i m
,.,,
yn
n
n
nn
y
n
ey
ny
yP
nyf
n
C
n
dr
r
rCyP
Cr
又应为常数无关积分区域与因?
（也可用数学归纳法推证）
1 - 52
2/
0
2
)21();();( nity
n
itdyenyfnt?
的特征函数为可以求得
)21()21()( 2/ tttm n矩母函数
nmmV a r
nmE
n
n
2)0()0(
)0(
22
2
.
,
2
21
2
2
2
1
21
21
nn
nn
KK
KK
～则且相互独立，～～设引理 1.4.3
1 - 53
定理 1.4.1
.)1(
)1()(
,),(,,
2
1
222
22
2
1
n
i i
n
snXs
nXXs
Ni i dXX
～且，独立与则样本方差
～?
( 引理 1.4.3、定理 1.4.1的证明见教材 P32 )
定义 1.4.2
1.4.3 t分布
n
n
tT
tn
nK
X
T
KXKNX
～记为：
分布，得的分布定义为具自由度则相互独立与且～～设
,,,)1,0(
2
2/)1(21
)2/(
2)1();(
n
n n
x
nn
nnxft
分布的密度为
1 - 54
n
kZnxf?令的计算,);(
2
0
2222
)(
nz
nn dxnzPnzkP
z
n
k
zZPz
其他,0
0,)
2
(
)2/(
2
)2)(()()(
21
2
2
2
zez
n
n
n
nznzfzFz
nz
n
Z
zexpX x
z
,
2
1)( 2 2～
1 - 55
x
n
x
nn
n
dzzxpzznxf
n
t
,1
)2/(
2)1(
)()(),(
2/)1(
2
t 分布,与标准正态分布有相似之处。
)1,0(
2
,30,
3,)2()v a r (;2,0)(
Nt
n
n
n
nnnt
ntE
n
n
n
～
时当更确切的说当当
。它没有任何正整数阶矩，分布分布就是标准柯西，时当 tn 1?
5?n
n
2?n
1?n
1 - 56
定理 1.4.2
1
2
2
1
)(
,),(,,
n
n
t
S
Xn
TSX
Ni i dXX
～为样本方差，则，为样本均值
～设
,1,1,0,,2 1222
nS
nN
n
X
nNX
～～～证明：
相互独立与且 22 1 Sn
n
X
.
)(
1
1
1
2
2
n
t
S
Xn
nS
n
n
X
～
1 - 57
1.4.4 F 分布定义 1.4.3
.),(
,
,
,
2
1
21
2
2
2
1
mn
mn
FFFmn
mK
nK
F
KK
KK
～分布，记为的的分布定义为具自由度相互独立，则与且
～～设
0,0
0,
)1)(
2
()(
)/)(
2
(
),;(
2/)(
2
1
22/
,
x
x
x
m
nm
xmn
mn
mnxf
F
mnn
n
n
mn
的密度函数为
)10,(?
)10,10(
)10,5(
)10,1(
1 - 58
,11 nKU?令证明：
0,0
0,)(
)2/(2
0
)(
)(
1
1
2
1
2
12/
2
1
1
1
2
1
u
ueu
n
n
nnuf
uf
nun
n
n
u
n?
0,0
0,)(
)2/(2
0
)(
)(
2
2
2
1
2
22/
2
2
2
2
2
2
u
ueu
m
m
mmuf
uf
mum
m
m
u
m?
,22 mKU?令
1 - 59
110 1121 )()(),;(,21 duxufufumnxfUUF uu?
0,0
0,
)1)(
2
()(
)/)(
2
(
2/)(
2
1
22/
x
x
x
m
nm
xmn
mn
mnn
n
n
22
22
)(
mn
k
m
k
n
n
m
mFEkF
k
k
k阶原点矩的
.,2 时存在当 mkn
1 - 60
,,
1,,
1
nm
mn FF注：
,,
1,,
1,,
,,
1
1}{1}
1
{
nm
mn
mn
nm
F
F
FFP
F
FP
1}1{}1{,,,,nmnm FFPFFP
nmmn FFFF,,~
1~ 则设证明：
1 - 61;
.
2
)1()1(
.
/1/1
)(
,,,)2(
1,12
2
22
2
2
21
2
2
2
1
mn
Y
X
YX
w
mn
w
F
S
S
F
mn
SmSn
S
t
mnS
YX
T
～
称为混合样本方差其中～
就有假定进一步
则且两样本独立
～～若
.
),,(,,),,(,,22212111 NYYNXX
i i d
m
i i d
n;//)1( 1,12
2
2
2
1
2
mn
Y
X F
S
SF ～
1 - 62
1.4.5 Γ分布可作如下讨论：，分布记为 ),(G?
1
1
1
.0
,0
,0,
)(
),;(
1
称为“刻度参数”
称为“形状参数”其中
xe
x
xf x
定义 1.4.4 具有下列密度函数的分布称为 Γ 分布：
1 - 63
.)(
,,)(2
)(21
)(1
)1(
有两个拐点此时后又下凸先下凸，后上凸时，当先上凸，后下凸；时，当是严格减函数；时，当形状，将改变密度函数曲线的时，改变固定
xp
xp
xp
xp
2
)(,)(
)(
)()2)(1(
2
XV a rXE
kkk
EX
kX
kk
k?
阶矩为的变量）（
1 - 64
（ 4）在数理统计中常用的两个重要子族：
。即记为即得指数分布令中在指数分布族
)(),1()(
,1),(:
EGE
G
。即分布即得令中在分布族
2
22
2
1
,
2
,
2
1
,
2
),(:
n
nn
n
G
n
G
注意：
分布的可加性是在刻度参数
λ相同的条件下方成立，否则将失去可加性。
),(
,,,1,),(
)1()(
:)3(
11
nn
i
ii
GXX
X
niGX
ittf
～
间相互独立，则其和为且各
～若设分布的特征函数为分布的可加性
1 - 65
1.4.6 β 分布
),(
0,0
,10
,)1(
)()(
)(
),;(
11
ba
ba
x
xx
ba
ba
baxf
ba
记为为形状参数。其中
可以作如下讨论：
（ 1）参数 a 与 b 的变化将导致其密度曲线的变化：
.
2
1
.,11
.
2
1
.,11
2
1
处达到最小值在形曲线呈时和处达到最大值在曲线呈单峰状时和
ba
a
xUba
ba
a
xba
)5.0,5.0(),(?ba
)2,2(),(?ba )2,3(),(?ba定义 1.4.5 具有下列密度函数的分布称为 β 分布：
1 - 66
).1,0()1,1(),1,0(
,)1,0(,11
UU
ba
即记为上的均匀分布分布就是时和
)()(
)()(
)1()1)((
)1()1(
:)2(
kbaa
baka
kbababa
kaaa
XE
kX
k
阶原点矩为的变量?
)1()()(,)( 2 baba
abXV a r
ba
aXE
（ 3）引理 1.4.6
).,(2,1,),( 21
21
1
21
～则～
相互独立，、设随机变量
XX
X
iGX
XX
ii
1 - 67
.
2
,
2
~
1
,~)4(,?
mn
m
nX
m
nX
FX mn?则设随机变量
.)11()2(;)1(
,,,)3,1(~1
9
1
91
2
ZPZXZ
XXNX
i
i 求的分布写出是它的一个样本，设总体例?
)39,9(~39)()()(
9)()()(:
2
9
1
2
9
1
9
1
9
1
NZXV a rXV a rZV a r
XEXEZE
i
i
i
i
i
i
i
i解
5 8 7 1.0)92(929 9
39
911
39
9)11(
22
查表
ZPZPZP
1 - 68
2
10
10
1
2
2
~
3.0
10,,1,)1,0(~
3.0
:
i
i
i
X
iN
X
故因解?
163.0 44.13.044.1 21010
1
22
210
1
2
PXPXP
i
i
i
i
,1.0162102 P分布表得查
10
1
2
2
,101
}44.1{:
,)3.0,0(,,2
i
iXP
NXX
求的样本是取自设例?
1 - 69
.:
,),(,,3
2
2
,1
的期望与方差样本方差求的样本是取自设例
S
NXX n
22
2
1
2
2
2
2
2
1
22
)(
1)()(
11
.)1(:
SE
nESE
n
S
n
E
Sn
n
n
～解?
1
2
)v a r (
)1(2)v a r ()v a r (
)1(1
v a r
4
2
2
1
2
4
2
2
2
n
S
nS
n
S
n
n
1 - 70
).10),.,,,P ( m i n (( 3 )
);15),.,,,P ( m a x (( 2 )
1 ) ;|12-XP ( |( 1 )
,,,,5
)4,12(~.4
51
51
54321
XX
XX
XXXXX
NX
下列概率：求
，的样本：本容量为中抽取样 在总体例
7 3 6 4.018 6 8 2.021)1 1 8.1(2
54
1
54
12
112
,)1,0(~
54
12
,)
4
5
,12(~)1(
X
PXP
N
X
NX?解：
1 - 71
2 9 2 3.0)9 3 3 1 9.0(1
)]5.1([1)]15([1
)15()15()15(1
)15,.,,,15,15(1
)15),.,,,m a x ((1
)15),.,,,P ( m a x (( 2 )
5
55
521
521
51
51
XP
XPXPXP
XXXP
XXP
XX
.4 2 1 5.0)8 4 1 3.0()]1([)]1(1[
)]10(1[)]10([
)10()10()10(
)10),.,,,P ( m i n (( 3 )
555
55
521
51
XPXP
XPXPXP
XX
1 - 72
的概率。：样本均值不超过求测得个样品，随机抽取总体设例
20.10
.4.0
16),10(~5 2
S
NX?
1
2,:
nt
nS
X
～
为未知解
9 7 5.0)2(2
164.0
10
164.0
1020.10
164.0
10
20.10
15
反查表
t
X
P
X
PXP
第 1章结束
主讲,于 朝 江
Email,yuchaojiang@swust.edu.cn
数理统计基础
1 - 2
第 1章 统计模型与统计量
1.1 随机数据
1.2 样本与样本分布
1.3 统计量与抽样分布
1.4 常用分布第 2章 点估计
2.1 基本概念
2.2 无偏估计的方差下界
2.3 UMVU估计与充分完备统计量
2.4 极大似然估计
2.5 矩方法与最小二乘法
2.6 贝叶斯估计第 3章 区间估计
3.1 置信区间与置信限
3.2 单参数分布族的置信区间
3.3 存在讨厌参数时的置信区间构造
3.4 渐近置信区间
3.5 顺序统计量的应用第 4章 假设检验
4.1 基本概念
4.2 常用分布族的参数假设检验
4.3 似然比检验
4.4 双正态总体参数的假设检验
4.7 秩检验第 5章 实用线性模型
5.2 方差分析
5.3 线性回归分析课程内容介绍
1 - 3
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科,是重要的一个数学分支。概率论是研究随机现象发生可能性的大小的一门学科，而数理统计则是研究大量随机现象数量规律的一门学科。它们之间联系密切但也有根本差别,数理统计的方法在自然科学、工程技术研究及社会科学领域中应用极其广泛。
1 - 4
一、问题的引入,
例 考察某纺织厂某天生产的细纱的强力，由于原材料及生产过程中许多随机因素的影响，每支细纱的强力一般是不同的。用 ω表一支细纱,则 X(ω)表示这支细纱的强力，当 ω变动时就得一随机变量 X。
。如何验证假设是否正确～假定） ),(2 2NX
。，如何估计～假定） 22 ),(3NX
1) 如何求出（或近似求出） X 的分布函数 F(X)；
4） 如何找出影响强力的主要因素 。
这些都是属于数理统计研究解决的问题。
1 - 5
二、数理统计的概念数理统计：研究大量 随机现象 数量规律的一门科学。
三、中心任务、基本内容、统计步骤
1,中心任务：由局部推断整体。
2,基本内容：
1）分布函数的估计
近似作图理论推导前人经验
2）未知参数的估计（点估计、区间估计）
3）统计假设检验（检验分布、检验参数）
4）一事物诸性质间的关系（回归分析）
5）分析影响事物的因素（方差分析）
3,统计步骤,
1）叙述性工作
2）分析性工作
3）推断性工作
1 - 6
第 1章 统计模型与统计量统计学分析处理的对象是带有随机性的数据，
由于数据来源的广泛性、多样性及获取方法的不同，
随机数据的形态是很丰富的。为对数据进行定性、
定量的分析处理，首先要对它们建立一定的数学模型，在此基础上再选用适当的数学方法进行整理加工。概率论是研究随机现象的数学理论，因此在统计学中将随机数据看成是有一定分布的随机变量，
这样建立起来的数学模型就是统计数学模型，或简称为统计模型。
1 - 7
1.1 随机数据
1.1.1 随机数据的例子试验中考察对象受各种随机因素的影响，检测出的数据为随机数据。例如：
例 1.1.1 (见教材 p1) 10只灯泡的寿命。
例 1.1.2 (见教材 p2) 10只灯泡的寿命为正品、次品。
例 1.1.3 (见教材 p2) 5组不同情况的居民的收入。
例 1.1.4 (见教材 p2) 三个反应时间树脂的各 3次试验强度。
1 - 8
1.1.2 数据的简单处理几种常用的对单一来源的一维数据作简单加工处理的方法
1.频率直方图：
频率分布直方图是用样本分组界值做为横坐标，以频率与组距的比值做为纵坐标，做出的统计图表，并以邻界的样本与其频率与组距的比值做成长方形，可细致地反应数据散布的特点。
1 - 9
11 nnn xxr）求极差
.)2 1 bxax nnn 的数与略大于的数适当选取略小于根据数据量的大小分成若干个等长的小区间：
.),(),(),(),( 11211 btttttta kii,、、、,
nnn
nn
n
xxxx
xxxx
xx
21
211
1
,m a x
,m i n
,
最大值取这组数据的最小值和设数据为
1 - 10
（ 4）在 OX轴上截取各子区间，并以各子区间为底，以
.
1
i
i
ii
i
f
S
tt
f
频率数据落在该子区间内的就等于形的面积为高作小矩形，各小矩?
（见教材 P4对例 1.1.1中的数据处理）
注意,各小长方形面积的和为 1
（ 3）把所有数据逐个分到各子区间内，并计算数据落在各子区间内的
),,1(,ki
n
nfn i
ii及频率频数
1 - 11
例 1.在自动机床加工制造零件的过程中,随机地抽取一些样品,测量它们的尺寸,记录在专用表格上。设共抽取 250个零件，测得的零件尺寸与规定尺寸的偏差的频率分布表为：
0 0 0.12 5 0
0 0 4.01]30,25[
0 2 0.05]25,20[
0 5 2.013]20,15[
1 0 4.026]15,10[
1 4 4.036]10,5[
1 8 0.045]50[
1 8 8.047]05[
1 4 0.035]510[
0 9 2.023]1015[
0 4 4.011]1520[
0 2 4.06]2025[
0 0 8.02]2530[
计总
，
，
，
，
，
，
，
频率频数区间（微米）
零件尺寸偏差
ii
m?
，则直方图为其中 250 ii m
xx?)(?
1 - 12
,1)1
1
n
i
iXnX均值：
nnnn
n
xxx
xxx
21
21
:
,,
:)2
记为
，后依从小到大的顺序重排将数据中位数则数据的中位数定义为：
为偶数当的中间两个的算术平均为奇数当的中间一个
nnix
nnixx
ni
ni
.,,1,;,,1,~
2.中心位置,刻画数据中心位置的量主要有
1 - 13
3.数据的离散程度,刻画数据离散 程度 的量主要有
n
i
i
n
i
i XX
n
SXX
n 1
22
1
22 )(
1
1
)(
1
1
或
）样本方差
.,
2
22 SS 或
））样本均方差（标准差
1
)3
nnn XXr
数据的极差
1 - 14
1.2 样本与样本分布
1.2.1 总体与总体分布
1,总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。 组成总体的元素称为个体。
从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。
1 - 15
2,总体分布,常用的分布有离散型,0— 1分布，几何分布，超几何分布，
二项分布，泊松分布。
连续型：均匀分布，指数分布，柯西分布，
正态分布,Γ— 分布,β— 分布。
1 - 16
1.2.2 样本与样本分布如果满足：个体样本：来自总体的部分,1,,nXX?
,1
,21
,,
,,,
n
n
xx
XXX
记为：
值，的一次实现为样本观测而称则 称为容量为 的简单随机样本，简称样本 。n
相互独立。独立性：
与总体同分布同分布性：
,1,,)2(
.),,1()1(
n
i
XX
niX
1 - 17
显然，样本联合分布函数或密度函数为
n
i
in xfxxf
1
1
* )(),,(?或
n
i
in xFxxF
1
1
* )(),,(?
...,)(,)(~,,1 xFxfXXX
iid
n 或?
可记为：的随机样本来自总体,1,,nXXX?
1 - 18
n
i
in
n
x
xfxxf
XX
x
xe
xfX
1
1
*
,1
)(),,(
,,,
00
0
1
)(~2.
的分布密度为样本设例
00
0
1 1
i
i
x
n
x
xe
i
n
i
的分布为样本,1,,nXX
n
i
xn
i
in
i
exFxxF
11
1
* )1()(),,(
1 - 19
1.2.3 统计模型及其意义统计模型可分为两大类：
1,参数模型：总体的分布 F 一般为已知,F为一个或有限多个参数决定，对总体（样本）分布的推断可转化为对一个或有限多个参数的推断。
2,非参数模型：总体的分布为未知不能用一个或有限多个参数来推断总体分布，只能对总体分布的特性作一些基本的假定推断。
1 - 20
根据统计学原理从一定统计模型和样本出发进行推断，将所得信息量化，采用适当数学方法作深入的分析 。
统计模型的意义：
1 - 21
1.2.4 指数族定义 1.2.1
.),,(,
)()()(e x p)(),(
),,(
1
1
,1
n
j
n
j
j
n
xxx
xhbxTCxf
XXX
维的）为未知参数（可以是多其中密度函数的分布设样本
为指数型分布族。无关的函数，就称为与
、
无关的函数为与
f
njxhxT
x
kjbC
j
j
),2,1()()(
.
),2,1()(,)(
1 - 22
1T)(?c )(1?b 2T )(2?b
i
in xxf
2
222 )(2
1e x p
)2(
1);(?
22
2
2
2
22 2
1e xp
2e xp)2(
1
i ii in xx
n
例见教材例 1.2.1,
1 - 23
指数族的性质：
常用分布族中也有不属于指数族的，
如 P19例 1.2.3,是否为指数族主要是看是否能表示为定义 1.2.1中的形式
),(?xf
1.指数族分布的支撑集与参数 无关 ;
2.指数族分布有较好的解析性质（求偏导数运算与求积分运算可交换顺序）,
(见教材 P19引理 1.2.1)
1 - 24
1.3 统计量与抽样分布
1.3.1统计量与抽样分布统计量 定义：
的一个统计量。是总体称如果不含未知参数，则的函数样本
X
XXg
XXgXX
n
nn
),,(
),,(,,
,1
1,1
统计量是样本的 不含任何未知参数 的函数，
是统计量。不是统计量，而如 XX 3?
1 - 25
常用的几个统计量,
n
i
i XXns
1
22 )(
1
12.样本方差
n
i
iXnX
1
11.样本均值
n
i
i XXns
1
2)(
1
13.样本标准差
n
i
k
ik kXnA
1
.,2,1,1
4.样本 K阶原点矩
n
i
k
iik kXXnB
1
.,2,1,)(1
5.样本 K阶中心矩
1 - 26
1.3.2 充分统计量例 （见教材 P22例 1.3.2）
的条件分布样本给定时，或多维的）统计量，当为一个（一维设
,1
,1
,,
),,(
n
n
XX
T
XXTT
定义 1.3.1
与 无关，则称 为关于 的充分估计量；
即是样本关于统计量的条件分布与参数 无关。充分统计量简单地说，就是,不损失信息,的统计量。
T?
1 - 27
.,212211 nn XXXTXXXT
如下两个统计量一个样本，我们来研究的是来自两点分布设例?,1,,.3,1 BXX n
显然,的分布为二项分布,当 取中任意一个数 时，样本 的条件分布为,
1T ),(?nB
),,0( n? t X
1T
x
t
n
t
ntTP
tTxXP
tTxXP
in
in
,
)1(
)1(
)(
),(
)(
1
1
1
1
1 - 28
nn TPTP 1)0(,)1( 22
计算结果表明,是充分统计量1T
另外统计量 仅可以取两个值,0 与 1，且2T
)0,,( 211 TxXxXp nn
)0(/)0,,,( 2211 TPTxXxXp nn
于是在 下，样本 的条件分布为0
2?T X
计算结果表明,是充分统计量2T
1 - 29
1.3.3 因子分解定理用定义 1.3.1验证一个统计量是否是充分统计量是不太方便的下面介绍一个判别是否为充分统计量的使用方面的准则。
定理 1.3.1（因子分解定理）
无关。与表示为样本的函数，仅通过其中当且仅当的）充分统计量，为（关于则为未知参数。其中的频率函数为设样本
)(
);)((
)();)(();(
)(
,),,(,);(
),,(
1
,1
xh
TxTg
xhxTgxf
XTT
xxxxf
XXX
n
n
1 - 30
联合密度函数为：的一个样本，其样本的分布是来自设例 )(),,(.4,1?PP oi s s onXXX n
n
i
i
n
x
nn xexXxXp
n
i
i
1
11 )!(),,(
1
的充分统计量。是由因子分解定理知,
n
i
ixxT
1
)(
)(][)( )( xhexXP nxT则上式可改写为：
1
11
)!()()(
n
i
i
n
i
i xxhxxT取
1 - 31
定理 1.3.2
为充分统计量。则
，的分布族满足定义设样本
),,(
1.21.,,
,1
1
k
n
TTT
XX
即指数族为充分统计量
1.3.4 经验分布函数与顺序统计量定义 1.3.2 样本的经验分布函数定义为
x
nixXX
n
xF iiin },,1,{#
1
)(：
其中 {·} 表示集合 {·}中元素的个数#
1 - 32
经验分布满足分布函数的一般性质,
.1)(?lim,0)(?lim.)2(
)(?.)1(
xFxF
xxF
n
x
n
x
n ；的单调非降左连续函数为
1 - 33
定理 1.3.3（格里文科）
。一致收敛于在实轴上以概率则为经验分布函数，设样本
)(1)(?
1)0)()(?s u p( l i m
)(?,~,,
1
xFxF
xFxFP
xFFi i dXX
n
n
xn
nn
这个定理等价于：
。则有记
1)0l i m(
,)()(?s u p
n
n
n
x
n
DP
xFxFD
1 - 34
定义 1.3.3
称为顺序统计量。则为：
按从小到大的顺序重排样本
),,,(
,
,,
21
21
1
nnnn
nnnn
n
XXX
XXX
XX
设总体的分布函数为 F(x),密度函数 f (x) 则
.
,)()(!
),,,()1(
1
1
21
n
n
nnnn
xx
xfxfn
XXX
密度函数为：
的联合分布的
1 - 35
1)()(
,)()2(
n
n
nn
xFxfn
xFX
密度为的分布函数为
1
1
))(1()(
,))(1(1)3(
n
n
n
xFxfn
xFX
密度为的分布函数为;))(1()()(
)!()!1(
!
)4(
1 knk
nk
xFxFxf
knk
n
X
的密度
1 - 36
1)()()(
)!()!1()!1(
!?
k
lk xFxfxflnklk
n
lklniklkl xxxFxFxF ))(1())()(( 1
的联合密度为lkXX nlnk?)()5(,
可以证明：
定理 1.3.4 顺序统计量是充分统计量。充分统计量的一对一变换仍是充分统计量。
1 - 37
该样本的次序统计量。
为的充分统计量。其中为证明
nnn
n
i ninnn
XX
XXTX
,,
),(),(),(
1
21
*
11
分布的一个样本，
是来自两参数指数设例,1,,5,nXX?
)(
1
e x p
!
),;,,(
1
11
n
i
nin
nnn
nX
n
xxp
其中 称为门限参数,称为尺度参数。R R?
1 - 38
nnn
n
i
nin
nnn
nnn
XX
nX
n
xxp
XX
1
1
11
1
,)(
1
e x p
!
),;,,(
),,(
的联合密度函数证明：用一系列一对一变换来研究此问题，
易写出次序统计量
1 - 39
1
122
11
))(1(
nnnn
nn
n
xxy
xxny
nxy
作变换
.!/11 nJ?其雅可比行列式为
,11 ni ini ni yx，在此变换下
1 - 40
n
n
i
in
n
yyny
ny
yyp
,,0,
,)(
1
e x p
1
),;,,(
21
1
)()1(2
的联合密度函数为由此可得,1,,nYY?
1 - 41
nnn
nn
yyyT
yyU
yyU
yU
yy
121
122
322
21
11
再作变换
111
2,1
nni i Tyy
J
，在此变换下其雅可比行列式
1 - 42
tuuny
nty
n
n
211
1
,,0,
)(
1
e x p
1
),,,(
,,,
2,113
,12,11
tuuyp
TUUY
n
nn
的联合密度函数由此可得因而 的边际密度函数可求得),( 11?nTY
1 - 43
tuuny
ntytuuyp
n
nn
211
12,113
,,0,
)(
1
e x p
1
),,,(
t
u
n
t
u
t
n
n
dududu
ntytyp
31
22
0
1
114
)(
1
ex p
1
),(
因而 的边际密度函数可求得),( 11?nTY
)!2(
)(
1
e xp
1 2
1?
n
t
nty
n
n
1 - 44
tuu
t
n
typ
tuuyp
n
n
n
21
2
4
213
,,0
)!2(
),(
),,,,(
的充分统计量。、是
（无关，所以、上式右端与
),11?nTY
的条件密度函数为
，时和在给定，最后
21
111
,,?
n
n
UU
tTyY
),|,,( 21 tyuuh n
1 - 45
的充分统计量。、仍是所以是一对一变换，
又因为
),(
)1(
*
11
*
111
11
nn
nnn
n
TX
TXnT
nXY
1 - 46
1.4 常用分布统计量的分布称为抽样分布，或称诱导分布，它在研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性等方面十分重要。在统计学中常用的分布很多。本节主要介绍正态分布及由正态样本产生的一些统计量的抽样分布。
1.4.1正态分布正态分布 是统计学中应用最为广泛的一个分布（族）。它的一些基本性质我们在概率论中已经学过了，我们直接给出：
),( 2N
1 - 47
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
n
XVa r
n
X
n
Va rXVa r
XE
n
X
n
EXE
N
Xn
U
Ni i dXX
1
2
2
1
11
2
1
)(
11
)(
)(
11
)(
)1,0(
)(
),,(,,
～则
～设?
推论
不相关。当且仅当它们之间两两互独立，个正态分布随机变量相
～
的任一线性组合则
～独立设
n
aaNXa
XX
niNXXX
n
i
i i
iiiiii
n
iiin
)2(
,
,,)1(
,,1,),(,,,
1
22
,1
2
1
引理 1.4.1
1 - 48
引理 1.4.
,,,1,
)(
,,,1,),(,,21
niXpY
npP
niNXXX
j jiji
ij
iin
换阶正交矩阵，作线性变为一个
～独立设
,,,2
,),0(,),(
.,,1
,/1,)2(
.,,1
,,
,,,1,)1(
222/1
1
2
ni
NYnNY
nj
np
ni
pNY
niY
i
ijj
j
jiji
i
～～
时当
～
相互独立，则
（证明见教材 P29~P30）
1 - 49
曲线图分布的密度函数 )(2 yf
定义 1.4.2 （?2— 分布）
..
),1,0(,,
22
1
22
1
分布—的称为自由度为～则
～设
nX
NXX
n
n
i
i
i i d
n
0,0
0,
)2/(2
1
)(
2
1
2
2/2
y
yey
nyf
yn
n分布的密度函数—?
1?n
4?n
10?n
20?n
1 - 50
i i
yx n
i
i
n
Yn
dxdxx
yPyFXX
2 1
22/
222
1
2
2
1
e x p)2(
)()(
对
1
121
1212
1211
s i n
c o ss i n
c o sc o ss i n
c o sc o sc o s
nn
nnn
n
n
rx
rx
rx
rx
作变换
.,),,(
),,,(
),,( 2
1
1
2
11
1
11
1
n
i
in
n
n
n xrJr
rD
xxD
1 - 51
2/1
2
0
2
1
1
22/2
2
e x p
2
1
e x p)2()(
y
n
yx
n
i
i
n
dr
r
rC
dxdxxyP
i i
2
1
2
2/
2
2/
2/
0
2
112
11
)2/(2
1}{
);(,
2
2
1
2
2
2
e x p,1}{l i m
,.,,
yn
n
n
nn
y
n
ey
ny
yP
nyf
n
C
n
dr
r
rCyP
Cr
又应为常数无关积分区域与因?
（也可用数学归纳法推证）
1 - 52
2/
0
2
)21();();( nity
n
itdyenyfnt?
的特征函数为可以求得
)21()21()( 2/ tttm n矩母函数
nmmV a r
nmE
n
n
2)0()0(
)0(
22
2
.
,
2
21
2
2
2
1
21
21
nn
nn
KK
KK
～则且相互独立，～～设引理 1.4.3
1 - 53
定理 1.4.1
.)1(
)1()(
,),(,,
2
1
222
22
2
1
n
i i
n
snXs
nXXs
Ni i dXX
～且，独立与则样本方差
～?
( 引理 1.4.3、定理 1.4.1的证明见教材 P32 )
定义 1.4.2
1.4.3 t分布
n
n
tT
tn
nK
X
T
KXKNX
～记为：
分布，得的分布定义为具自由度则相互独立与且～～设
,,,)1,0(
2
2/)1(21
)2/(
2)1();(
n
n n
x
nn
nnxft
分布的密度为
1 - 54
n
kZnxf?令的计算,);(
2
0
2222
)(
nz
nn dxnzPnzkP
z
n
k
zZPz
其他,0
0,)
2
(
)2/(
2
)2)(()()(
21
2
2
2
zez
n
n
n
nznzfzFz
nz
n
Z
zexpX x
z
,
2
1)( 2 2～
1 - 55
x
n
x
nn
n
dzzxpzznxf
n
t
,1
)2/(
2)1(
)()(),(
2/)1(
2
t 分布,与标准正态分布有相似之处。
)1,0(
2
,30,
3,)2()v a r (;2,0)(
Nt
n
n
n
nnnt
ntE
n
n
n
～
时当更确切的说当当
。它没有任何正整数阶矩，分布分布就是标准柯西，时当 tn 1?
5?n
n
2?n
1?n
1 - 56
定理 1.4.2
1
2
2
1
)(
,),(,,
n
n
t
S
Xn
TSX
Ni i dXX
～为样本方差，则，为样本均值
～设
,1,1,0,,2 1222
nS
nN
n
X
nNX
～～～证明：
相互独立与且 22 1 Sn
n
X
.
)(
1
1
1
2
2
n
t
S
Xn
nS
n
n
X
～
1 - 57
1.4.4 F 分布定义 1.4.3
.),(
,
,
,
2
1
21
2
2
2
1
mn
mn
FFFmn
mK
nK
F
KK
KK
～分布，记为的的分布定义为具自由度相互独立，则与且
～～设
0,0
0,
)1)(
2
()(
)/)(
2
(
),;(
2/)(
2
1
22/
,
x
x
x
m
nm
xmn
mn
mnxf
F
mnn
n
n
mn
的密度函数为
)10,(?
)10,10(
)10,5(
)10,1(
1 - 58
,11 nKU?令证明：
0,0
0,)(
)2/(2
0
)(
)(
1
1
2
1
2
12/
2
1
1
1
2
1
u
ueu
n
n
nnuf
uf
nun
n
n
u
n?
0,0
0,)(
)2/(2
0
)(
)(
2
2
2
1
2
22/
2
2
2
2
2
2
u
ueu
m
m
mmuf
uf
mum
m
m
u
m?
,22 mKU?令
1 - 59
110 1121 )()(),;(,21 duxufufumnxfUUF uu?
0,0
0,
)1)(
2
()(
)/)(
2
(
2/)(
2
1
22/
x
x
x
m
nm
xmn
mn
mnn
n
n
22
22
)(
mn
k
m
k
n
n
m
mFEkF
k
k
k阶原点矩的
.,2 时存在当 mkn
1 - 60
,,
1,,
1
nm
mn FF注：
,,
1,,
1,,
,,
1
1}{1}
1
{
nm
mn
mn
nm
F
F
FFP
F
FP
1}1{}1{,,,,nmnm FFPFFP
nmmn FFFF,,~
1~ 则设证明：
1 - 61;
.
2
)1()1(
.
/1/1
)(
,,,)2(
1,12
2
22
2
2
21
2
2
2
1
mn
Y
X
YX
w
mn
w
F
S
S
F
mn
SmSn
S
t
mnS
YX
T
～
称为混合样本方差其中～
就有假定进一步
则且两样本独立
～～若
.
),,(,,),,(,,22212111 NYYNXX
i i d
m
i i d
n;//)1( 1,12
2
2
2
1
2
mn
Y
X F
S
SF ～
1 - 62
1.4.5 Γ分布可作如下讨论：，分布记为 ),(G?
1
1
1
.0
,0
,0,
)(
),;(
1
称为“刻度参数”
称为“形状参数”其中
xe
x
xf x
定义 1.4.4 具有下列密度函数的分布称为 Γ 分布：
1 - 63
.)(
,,)(2
)(21
)(1
)1(
有两个拐点此时后又下凸先下凸，后上凸时，当先上凸，后下凸；时，当是严格减函数；时，当形状，将改变密度函数曲线的时，改变固定
xp
xp
xp
xp
2
)(,)(
)(
)()2)(1(
2
XV a rXE
kkk
EX
kX
kk
k?
阶矩为的变量）（
1 - 64
（ 4）在数理统计中常用的两个重要子族：
。即记为即得指数分布令中在指数分布族
)(),1()(
,1),(:
EGE
G
。即分布即得令中在分布族
2
22
2
1
,
2
,
2
1
,
2
),(:
n
nn
n
G
n
G
注意：
分布的可加性是在刻度参数
λ相同的条件下方成立，否则将失去可加性。
),(
,,,1,),(
)1()(
:)3(
11
nn
i
ii
GXX
X
niGX
ittf
～
间相互独立，则其和为且各
～若设分布的特征函数为分布的可加性
1 - 65
1.4.6 β 分布
),(
0,0
,10
,)1(
)()(
)(
),;(
11
ba
ba
x
xx
ba
ba
baxf
ba
记为为形状参数。其中
可以作如下讨论：
（ 1）参数 a 与 b 的变化将导致其密度曲线的变化：
.
2
1
.,11
.
2
1
.,11
2
1
处达到最小值在形曲线呈时和处达到最大值在曲线呈单峰状时和
ba
a
xUba
ba
a
xba
)5.0,5.0(),(?ba
)2,2(),(?ba )2,3(),(?ba定义 1.4.5 具有下列密度函数的分布称为 β 分布：
1 - 66
).1,0()1,1(),1,0(
,)1,0(,11
UU
ba
即记为上的均匀分布分布就是时和
)()(
)()(
)1()1)((
)1()1(
:)2(
kbaa
baka
kbababa
kaaa
XE
kX
k
阶原点矩为的变量?
)1()()(,)( 2 baba
abXV a r
ba
aXE
（ 3）引理 1.4.6
).,(2,1,),( 21
21
1
21
～则～
相互独立，、设随机变量
XX
X
iGX
XX
ii
1 - 67
.
2
,
2
~
1
,~)4(,?
mn
m
nX
m
nX
FX mn?则设随机变量
.)11()2(;)1(
,,,)3,1(~1
9
1
91
2
ZPZXZ
XXNX
i
i 求的分布写出是它的一个样本，设总体例?
)39,9(~39)()()(
9)()()(:
2
9
1
2
9
1
9
1
9
1
NZXV a rXV a rZV a r
XEXEZE
i
i
i
i
i
i
i
i解
5 8 7 1.0)92(929 9
39
911
39
9)11(
22
查表
ZPZPZP
1 - 68
2
10
10
1
2
2
~
3.0
10,,1,)1,0(~
3.0
:
i
i
i
X
iN
X
故因解?
163.0 44.13.044.1 21010
1
22
210
1
2
PXPXP
i
i
i
i
,1.0162102 P分布表得查
10
1
2
2
,101
}44.1{:
,)3.0,0(,,2
i
iXP
NXX
求的样本是取自设例?
1 - 69
.:
,),(,,3
2
2
,1
的期望与方差样本方差求的样本是取自设例
S
NXX n
22
2
1
2
2
2
2
2
1
22
)(
1)()(
11
.)1(:
SE
nESE
n
S
n
E
Sn
n
n
～解?
1
2
)v a r (
)1(2)v a r ()v a r (
)1(1
v a r
4
2
2
1
2
4
2
2
2
n
S
nS
n
S
n
n
1 - 70
).10),.,,,P ( m i n (( 3 )
);15),.,,,P ( m a x (( 2 )
1 ) ;|12-XP ( |( 1 )
,,,,5
)4,12(~.4
51
51
54321
XX
XX
XXXXX
NX
下列概率：求
，的样本：本容量为中抽取样 在总体例
7 3 6 4.018 6 8 2.021)1 1 8.1(2
54
1
54
12
112
,)1,0(~
54
12
,)
4
5
,12(~)1(
X
PXP
N
X
NX?解：
1 - 71
2 9 2 3.0)9 3 3 1 9.0(1
)]5.1([1)]15([1
)15()15()15(1
)15,.,,,15,15(1
)15),.,,,m a x ((1
)15),.,,,P ( m a x (( 2 )
5
55
521
521
51
51
XP
XPXPXP
XXXP
XXP
XX
.4 2 1 5.0)8 4 1 3.0()]1([)]1(1[
)]10(1[)]10([
)10()10()10(
)10),.,,,P ( m i n (( 3 )
555
55
521
51
XPXP
XPXPXP
XX
1 - 72
的概率。：样本均值不超过求测得个样品，随机抽取总体设例
20.10
.4.0
16),10(~5 2
S
NX?
1
2,:
nt
nS
X
～
为未知解
9 7 5.0)2(2
164.0
10
164.0
1020.10
164.0
10
20.10
15
反查表
t
X
P
X
PXP
第 1章结束
