第三章
n维随机向量及其概率分布在随机现象中往往涉及多个随机变量。例如 在打一般地，我们称定义在同一概率空间上的 n个随因此,n维随机向量 是一 维随机变量的推广。由机变量的整体 X=(X1,X2,…,Xn)为 n维随机向量,
靶时,命中点的位置是由一对 r.v(两个坐标 )来确定的。飞机的重心在空中的位置是由三个 r.v (三个坐标）来确定的等等,
于从二维推广到多维，一般无实质性的困难，我们将重点讨论二维随机变量,特别要关注多维与一维情形的对照,
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 1 连续型随机向量及其概率密度
§ 1 连续型随机向量及其概率密度一。定义称 n维随机向量 X=(X1,X2,…,Xn)是连续型的，如果存在非负可积函数 ),...,,(
21 nxxxp
（定义域为 nR
},...,2,1,|),...,,{( 21 nibxaxxxD iiin
都有
nnDn dxdxxxxpDxxxp,..),.,,,,()),.,,,,(( 12121
（ 1。 1）
），它对任意 n维长方体一维连续型随机变量 X的概率密度
0)(?xp
1)(
dxxp
ba dxxp )(
)( bXaP
)(xp
二。性质（与一维随机变量比较）
二维连续型随机变量
（ X,Y）,X,Y的联合概率密度
0),(?yxp
1),( d xd yyxp
}),{( DYXP?
2
),(
RD
dx dyyxp
),( yxp
（ 1。 2）
（ 1。 3）
三。多 维随机向量的 两个最基本的分布
（一）均匀分布设 G是平面上的有界闭区域,其面积为 A.若 n维随机向量 X=(X1,X2,…,Xn)具有概率密度则称 X=(X1,X2,…,Xn)在 G上服从 均匀分布,
向有界闭区域 G上投掷一质点,若质点落在 G内任一小区域 B的概率与小区域的测度成正比,而与 B的位置无关,
则质点的坐标 (X1,X2,…,Xn)在 G上服从均匀分布,
几何概型中讨论的概率计算问题，其假定的实质都是一个
n维区域上的 均匀分布,
（ 1。 4）
Gxxx
GxxxA
xxxp
n
n
n ),.,,,,(,0
),.,,,,(,/1
),.,,,,(
21
21
21
若二维随机向量 （ X,Y） 具有概率密度
2
1
1
22
21
)[()1(2 1e x p {
12
1),(
xyxp
]})())((2 2
2
2
2
2
1
1
yyx
则称 （ X,Y） 服从参数为的 二维正态分布,
,,,,2121
记作 （ X,Y） ～ N( ),,,,
2121
（二）多维正态分布这里只写出二维正态分布的定义：
（ 1。 5）
其中 均为常数,且,,,,2121
1,0,0 21
对于连续型 r.v ( X,Y ),如果联合概率密度为则 ( X,Y )关于 X的 边缘概率密度 为
( X,Y )关于 Y的 边缘概率密度 为
dyyxpxp X ),()(
dxyxpyp Y ),()(
（四）边缘概率密度及其与联合概率密度的关系
),( yxp
（ 1。 6a）
（ 1。 6b）
由此可见，由联合概率密度可确定边缘概率密度。
必须指出对于 n维随机向量 (X1,X2,…,Xn) 有关于
),.,,,,(),.,,,,(,)1(2121?nkkkkkk iiiiii xxxxxx
的边缘概率密度。
例 1。 1 设随机向量 （ X,Y） 的概率密度为
其他,0
10,,1
),(
xxy
yxp
求边缘 概率密度 )(),( ypxp
YX
解：
dyyxpxP X ),()(
10,21
xxdyx
x
dxyxpyP Y ),()(
11,111 yydx
y
例 1.2 设二维随机向量 （ X,Y） 在
}11,1/),{( 2 xyxYXD
上服从均匀分布，
（ 1）写出它的联合概率密度；
（ 2）求它的两个边缘概率密度；
（ 3）求 }),{(
1DYXP?
其中,}
2
10,
2
10/),{(
1 yxYXD
解,（ 1）
,34)1(2 10 21 1 1 2 xdydxA x
DYX
DYXyxp
),(,0
),(,4/3),(
（ 2）
dyyxpxP X ),()( 11),1(4
3
4
3 21
2 xxdyx
dxyxpyP Y ),()( 10,2343 yydx
y
y
（ 3）
1
),(}),{( 1
DD
d x d yyxpDYXP
dxxdydx
x
)
2
1(
4
3
4
3 22/1
0
2/1
0
2/1
2 32
5?
从而说明，二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布，
这是一个以后经常要用到的 重要的结论 。 还能看出，由两个边缘概率密度不能确定联合概率密度。
(证明见 P.87)
定理,如果 ),,,,(~),(
222121NYX
则 ),(~),,(~
222211 NYNX
注意,积分的实际区域是 与 的交集。D
1D
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 2 离散型随机向量及其概率分布
§ 2 离散型随机向量及其概率分布一。定义称 n维随机向量 X= (X1,X2,…,Xn)是离散型的,
二维离散型随机向量（ X,Y），
,)},(),{( ijji pyxYXP,...2,1,?ji
（ 2。 1）
如果它只能取至多可列个不同的点。
X,Y的联合分布列为：
,)( kk pxXP
k=1,2,…
一维 离散型 随机变量
X的分布列
,0?kp
k
kp 1
k=1,2,…
二维离散型随机向量 （ X,Y）
X,Y的联合分布列
,),( ijji pyYxXP
i,j =1,2,…
i j
ij
ij
p
jip
1
,2,1,,0?
（ 2。 2）
（ 2。 3）
二。性质如果二维离散型随机向量 ( X,Y ),X,Y
的联合分布列为则 (X,Y)关于 X 的边缘分布列为：
,2,1,)( ippxXP
j
ijii
,2,1,)( jppyYP
i
ijji
(X,Y)关于 Y 的边缘分布列为
,2,1,,),( jipyYxXP ijji
（ 2。 4a）
（ 2。 4b）
例 2。 1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X为三次抛掷中，
正面出现的次数，而 Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求 X,Y的联合分布列与边缘分布列。
解,（ X,Y） 可取值 (0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
列表如下
8
1)
2
1()
2
1( 300
3 C
P(X=0,Y=3)=P(X=0)
P(X=1,Y=1)=P(X=1)=3/8
P(X=2,Y=1)=P(X=2)=3/8
P(X=3,Y=0)=P(X=3)=1/8
，同理由此，不难求得边缘分布列,
P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,
P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=3/8+3/8=6/8,
P(Y=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3)=1/8+1/8=2/8.
我们常将边缘分布列写在联合分布列表格的边缘上，
由此得出边缘分布这个名词,
由联合分布列可以确定边缘分布列 ;但由边缘分布列一般不能确定联合分布列,
三。多项分布对于二项分布，有：
pqnkqpC knkkn 1;,.,,,1,0, )( kXP
上式可写成对称的形式：
pqnkknkkqp
kk
n kk 1;,,...,1,0,,
!!
!
2121
21
21
)},(),{( 2121 kkXXP?
作为对称形式的推广，
)},...,,(),...,,{( 2121 rr kkkXXXP?
rk
r
kk
r
ppp
kkk
n,..
!!,..!
!
21
21
21
（ 2。 5）
其中
rkkk,...,,21
为非负整数,1,
1 1
r
i
n
i
ii pnk
则称
),...;( 1 rppn 的 多项分布),...,,( 21 rXXX 服从参数为多项分布的背景：
在独立重复试验中，每次试验有 r种可能的结果，
用 ),...,,(
21 rXXX
表示 n次试验中，各种结果依次发生的次数。则
),...,,( 21 rXXX
服从多项分布。
例 2。 2 盒中有 10个白球，其中 2红,3白,5黑，
有放回地抽取 7次，每次取一个，若记
X=取到的红球数,Y=取到的白球数求 X,Y的联合分布列。
解,)},(),{(
21 kkYXP?
2121 7
2121
)105()10 3()10 2()!7(!! !7 kkkkkkkk
其中 7,70,70
2121 kkkk
用多项分布的结论可得：
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 3 联合分布函数一。定义 设 X=(X1,X2,…,Xn)是 n维随机向量,称
nR
上的 n元函数
),...,,(),...,,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF
（ 3。 1）为 X的 联合分布函数 。
§ 3 联合分布函数二。性质对于二维随机向量的联合分布函数 F(x,y)，有如下性质：
0),(),(,1),()2( xFyFF
1),(0)1( yxF
关于每个变量右连续,),()3( yxF
),()4( yxF
关于每个变量单调不减,
),(),(),,(),(
},{)5(
11122122
2121
yxFyxFyxFyxF
yYyxXxP
（ 3。 2）
由性质（ 5）可计算二维随机变量落于矩形区域的概率。
对连续型 r.v(X,Y)，概率密度与分布函数之间有如下关系：
在 p (x,y)的连续点
x y d u d vvupyxF ),(),(
yx
yxFyxp
),(),( 2 （ 3。 3）
（ 3。 4）
三。边缘分布函数对任意 r.v (X,Y),X和 Y的联合分布函数为则 (X,Y)关于 X的边 缘 分布函数为
(X,Y)关于 Y的边 缘 分布函数为
),( yxF
),(lim)( yxFxF yX
)y,x(Flim)y(F xY
),( xF
),( yF
（ 3。 5a）
（ 3。 5b）
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 4 独立性两随机变量独立的定义是：一。定义设 X,Y是两个 r.v，若对任意的 x,y,有
)()(),( yYPxXPyYxXP
则称 X,Y相互 独立,
（两事件 A,B独立的定义是：若 P(AB)=P(A)P(B)则称事件 A,B独立。因此,两随机变量独立的定义是 两事件独立定义的自然推广）,
§ 4 独立性随机变量的 独立性 是概率论中的一个重要概念。
（ 4。 1）
定义可推广到 n个随机变量的相互独立。
若 (X,Y)是连续型 r.v,上述独立性的定义分布函数等于两个边缘分布函数的乘积,
这表明，两个 r.v相互 独立时，它们的联合
)()(),( yFxFyxF YX?
则称 X,Y相互 独立,
用分布函数表示,即设 X,Y是两个 r.v，
若对任意的 x,y,有
)()(),( ypxpyxp YX?
几乎处处成立，则称 X,Y相互 独立,
等价于：对任意的 x,y,有
（ 4。 2）
（ 4。 3）
,几乎处处成立”的含义是：在平面上除去测度为 0的集合外，处处成立,
若 (X,Y)是离散型 r.v,
)()(),( jiji yYPxXPyYxXP
则称 X和 Y相互 独立,
对 (X,Y)的所有可能取值 (xi,yj),有则上述独立性的定义等价于：
),( yxp其中 是 X,Y的联合概率密度，
分别是 X和 Y的)(),( ypxp
YX
边缘概率密度,
（ 4。 4）
x>0
y >0
解：
yyx
Y edxxeyp
0
)()(
例 4。 1 设 (X,Y)的概率密度为
其它,0
0,0,
),(
)( yxxe
yxp
yx
问 X和 Y是否独立？
)()(),( ypxpyxp YX?对一切 x,y,均有：
故 X,Y 独立。
xyx
X xedyxexp
0
)()(
解,0<x<1
0<y<1
由于存在面积不为 0的区域，
)()(),( ypxpyxp YX?
故 X和 Y不独立,
1 )1(22)( xX xdyxp
ydxyp yY 22)(
0
若 (X,Y)的概率密度为
其它,0
10,0,2
),(
yyx
yxp
情况又怎样？
),,,,(~),( 222121NYX
2
1
1
22
21
)[()1(2 1e x p {
12
1),(
xyxp
]})())((2 2
2
2
2
2
1
1
yyx
如前所述，如果即其概率密度为：
从而可知,服从二元正态分布的随机向量（ X,Y），
X与 Y相互独立的充要条件 是参数 =0?
),(~),,(~ 222211 NYNX则有其中 均为常数,且,,,,2121
1,0,0 21
例 4。 2 甲乙两人约定中午 12时 30分在某地会面,如果甲来到的时间在 12:15到 12:45之间是均匀分布,乙独立地到达,而且到达时间在 12:00到 13:00之间是均匀分布,
试求先到的人等待另一人到达的时间不超过 5分钟的概率,
又甲先到的概率是多少？
解,设 X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻以 12点为起点,以分为单位。
X~U(15,45),Y~U(0,60)
其他,0
4515,
30
1
)(
x
xp X
其它,0
600,
60
1
)(
y
yp Y
依题意由 X,Y独立，可得
其他,0
600,4515,
1 80 0
1
),(
yx
yxp
因此，先到的人等待另一人不超过 5
分钟时间的概率为：
甲先到的概率为：
P( |X-Y | 5)?
P( X<Y )
6
1
1800
145
15
5
5
d y d x
x
x
2
1
1 8 0 0
145
15
60 d y d x
x
x
y
0 15 45
10
60
40
5yx
5yx
x
y
0 15 45
10
60
40
yx?
例 4。 3 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X为三次抛掷中，正面出现的次数，而 Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，判定随机变量 X和 Y是否相互独立？
解,从 例 2。 1已得 X和 Y的联合分布律和边缘分布律：
)1()0()1,0( YPXPYXP
因此 X和 Y不 相互 独立,
比如第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 5 随机变量函数的分布（ Ⅱ ）
设有 n维随机向量
),...,,( 21 nXXXX? 及 m个 n元函数
mixxxgy nii,...,2,1),,...,,( 21
如何由 X的联合分布求 m维随机向量 ),...,,(
21 mYYYY?的联合分布？
§ 5 随机变量函数的分布（ Ⅱ ）
一。问题的一般提法主要讨论两类问题：
（一）已知（ X,Y）的联合分布求 ),( YXgZ?
的分布，这里 Z是一维随机变量。
（二）已知（ X,Y）的联合分布求二维随机向量
),(
),(
YXgV
YXfU 的联合分布。
1。 Z=X+Y
离散型随机变量：
)()( kYXPkZP
k
i
ikYiXP
0
)),((
k
i
ikYiXp
0
),(
如 X,Y相互独立，
)( kZP? )()(
0
ikYpiXp
k
i
（ 5。 1）
（一）已知（ X,Y）的联合分布求 ),( YXgZ?
的分布，这里 Z是一维随机变量。
讨论几种常用的函数形式：
例 5。 1
YXpnBYpnBX,),,(~),,(~ 21
独立，求 YXZ 的分布列。
解：
k
i
iknikik
n
inii
n qpCqpCkZP
0
)(2
2
1
1
)(
k
i
knnkik
n
i
n qpCC
0
21
21
knnkk nn qpC 21
21
),(~ 21 pnnBZ
用类似的方法可以证明：当
)(~),(~ 21 PYPX
YX,独立，则 )(~ 21 PYXZ
两个结论都可推广到有限个相互独立的随机变量之和。
因此，二项分布关于参数 n，泊松分布关于参数?
有再生性。
用分布函数法：
)()()( zYXPzZPzF Z
zyx
d x d yyxp ),(
xz dyyxpdx ),(
zxyu duxuxpdx ),(
当 X,Y相互独立时，
连续型随机变量：设（ X,Y）的概率密度为
)(zpZ),( yxp,Z=X+Y,求
z dxxuxpdu ),(
dxxzxpzp Z ),()(
dxxzpxpzp YXZ )()()(
其对称形式为：
dyypyzpzp YXZ )()()(
（ 5。 2）
称为 卷积公式 。
确定积分限,
解,
即
1
z x
x 10
x
应先找出使被积函数不为 0的区域：
由卷积公式例 5.2 若 X和 Y 独立,具有共同的概率密度
，求 Z=X+Y的概率密度,
其他,0
10,1
)(
x
xp
dxxzpxpzp YXZ )()()(
10
10
xz
x
如图示,
于是
1
z x
x 10
x
dxxzpxpzp YXZ )()()(
其他,0
21,2
10,
)(
1
1
0
z
z
Z
zzdx
zzdx
zp
用类似的方法可以证明：
此结论 可以推广到 n个独立随机变量之和的情形：
1。若 X和 Y 独立,具有相同的分布 N(0,1),则 Z=X+Y
服从正态分布 N(0,2).
2。若
X和 Y 独立,则这一性质称正态分布关于参数 和参数 具有再生性。2?
),(~ 2iii uN?若,各 相互独立，则
),(~
1
2
1 1
n
i i
n
i
n
i ii
uN?
X iX
X
),(~),,(~ 222211 NYNX
),(~ 222121 NYXZ
2。
)()()( zYXPzZPzF Z
zyx
d x d yyxp ),(
zx dyyxpdx ),(
zuxy duuxxpdx ),( z dxuxxpdu ),(
dxzxxpzp Z ),()(
3,22 YXZ
)()()( 22 zYXPzZPzF Z当,0?z
2
0 0
)s i n,c os(),(
22
z
zyx
r drrrpddx dyyxp
如果 )1,0(~),1,0(~ NYNX 且 X,Y独立，
YXZ
20 0 )s i n,c o s()( zZ r d rrrpdzF
r d red rz 2/2
0 0
2
2
1
z r drre0 2/2
0,0
0,
)(
2/2
z
zze
zp
z
Z
服从瑞利分布。
即当 )1,0(~),1,0(~ NYNX 时，
22 YXZ
（瑞利分布）
由 ),()( zYzXPzMP
)()( zYPzXP
即
)()()( zFzFzF YXM? （ 5。 3）
设 X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 )(xF
X
和 )(yF
Y
的分布函数。
求 ),ma x( YXM?
及 ),m in( YXN?
，
4。 及 的分布
),ma x( YXM? ),m in( YXN?
类似地，由
)(1)( zNPzNP
),(1 zYzXP
)()(1 zYPzXP
即
)](1) ] [(1[1)( zFzFzF YXN
（ 5。 4）
公式（ 5。 3），（ 5。 4）都能推广到 n个相互独立
,)()(
1
n
i
XM zFzF i
n
i
XN zFzF i
1
)](1[1)(
的随机变量。 即有
（二）已知（ X,Y）的联合概率密度求的联合概率密度。
),(
),(
yxgV
yxfU
记
},),(|),{(* DVUyxD
D D
dx dyyxpdudvvup
*
),(),(
D
d u d vvuJvuyvuxp ),()],(),,([
（用重积分换元公式）
其中 ),(),,( vuyvux 是 ),(),,( yxgvyxfu
的反函数，
vyvx
uyuxvuJ
//
//),( 是雅可比式。
JvuyvuxPvuP )],(),,([),( （ 5。 5）
例 5。 3 设
YXNYNX,),1,0(~),1,0(~
独立。
s in
c os
RY
RX,20,0R
求（ 1） 的联合概率密度。
)},{(?R
（ 2） )(),(?
prp R
解：
s in
c o s
ry
rx
xy
yxr
/ar ct an
22
),()],(),,([),( rJryrxprp?
其他,0
20,0,
2
1 2/2
rre r
其他,0
0,
2
1
),()(
2/2
0
2/ 22 rredre
drprp
rr
R
还可以证明：本题的逆命题也成立。
其他,0
20,
2
1
2
1
),()( 0
2/2
drre
drrpp
r
本例结果说明：如果
YXNYNX,),1,0(~),1,0(~
独立。
s in
c os
RY
RX
则
,R 也独立。且 R 服从瑞利分布，
在 )2,0(? 上服从均匀分布。
作为上例结果的一个直接应用，在处理某些实际当 )1,0(~
2 UU
时,);2,0(~2
2 UU
（ 2）令
)2s in ()ln2(
)2c o s ()ln2(
2
2/1
1
2
2/1
1
UUY
UUX
问题时，常常需要产生两个相互独立均服从标准正态分布的随机变量，如何做到这一点呢？步骤如下：
（ 1）先产生两个相互独立的都在（ 0,1）上服从均匀分布的随机变量
1U
和 ；
2U
（ 3）设,)ln2(
2/11UZ
由 })ln2{()(
2/11 zUPzF Z
当 0?z
12/1 2/22 )( zez dueUP
2/21 ze
0,0
0,)( 2/
2
z
zzezp z
Z
因此，由上例结论之逆可知 X,Y独立且两者都服从标准正态分布。
，说明 Z服从瑞利分布例 5。 4 设 X,Y相互独立，都服从参数为 1
的指数分布，而
,/,YXVYXU
求 ),( VU 的联合概率密度。
解：
其他,0
0,0,
),(
)( yxe
yxp
yx
yxv
yxu
/?
)1/(
)1/(
vuy
vuvx
2
2
)1/()1/(1
)1/()1/(
vuv
vuvvJ
由
其它,0
0,0,
)1()],(),,([),(
2
vu
v
ue
Jvuyvuxpvup
u
不难得到：
0,)( uueup uU
0,)1( 1)( 2 vvvp V
因此,U,V是相互独立的。
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 6 n维正态分布一。 n维正态分布的定义 如果
)]()(
2
1e xp[
)2(
1),.,,,,( 1
2/12/21
xxxxxp
nn
（ 6。 1）
则称 n维随机向量 服从 n维正态分布,),...,,(
21 nxxxx
其中 ),...,,(
21 n
是参数向量，
nnij )(?
是 n阶正定矩阵。
§ 6 n维正态分布二。 n维正态分布的性质
n维正态分布有许多良好的性质，在此不加证明地加以叙述。
定理 1 如果 ),(~NX
B,
为可逆矩阵，则
),(~ BBBNBXY
比如,
,)3,2,1(),,(~,,NZYX
330
230
004 则 ))4(,1(~ NX
)
33
23
,
3
2
(~
N
Z
Y
定理 2 如果 ),(~NX 且为分块对角阵，则
)2(
)1(
0
0
),,(~ )1()1()1(NX ),(~ )2()2()2(NX
定理 3 如果 ),(~NX 且为方阵，则
2
1
2
1
2221
1211,,
X
XX
),(~ 11)1(1NX
其中
2211,
比如
,)3,2,1(),,(~,,NZYX
987
654
321 则 ))1(,1(~ NX
)
54
21
,
2
1
(~
N
Y
X
实际上，定理 3的结论并不限于向量前面的部分向量成立（见 P。 110），以下结论也同样成立：
98
65
3
2
~),5,2(~
Z
Y
NY
97
31
3
1
~
Z
X
定理 4 如果 ),(~NX
则 ),(~ AAANAXY
)1(,nmA nm
且,)( mAR?
其中 Y是 m维随机向量。
定理 4是定理 1的推广。
定理 5 在 ),(~NX 中，各
ix
相互独立的充要条件是? 为对角阵。
三。 )(
2 n? 分布的背景如前所述，如果
),1,0(~ NX 则
),2/1,2/1()1(~ 22X
一般地，如设各 独立同分布,由
ix
)1,0(N
n
i
i nnxY
1
22 )()2/1,2/(~?
分布关于参数 的再生性可得：),(
Y的概率密度为：
0,0
0,
)2/(2
1 2/12/
2/
y
yey
n
yn
n
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 7 顺序统计量的分布一。定义设
nXXX,...,,21
是相互独立且与 X同分布的随机变量,F(x)是 X的分布函数，对每个
将它们从小到大排序：
)(...)()( )()2()1( nXXX
称这样得到的 n个新的随机变量
)(),...,(),( )()2()1( nXXX
为
nXXX,...,,21
的 顺序统计量 。
§ 7 顺序统计量的分布值得注意的是
nXXX,...,,21
独立同分布，而
)(),...,(),( )()2()1( nXXX 既不独立，分布也不相同。
二。求
)(kX
的分布按顺序统计量的定义
},,...,,m ax { 21)( nn XXXX?
}.,...,,m in { 21)1( nXXXX?
),.,,,()()( 1)()( xXxXPxXPxF nnX n
nn xFxXPxXP )]([)(),,,( 1
)(1)()( )1()1()1( xXPxXPxF X
),...,(1 1 xXxXP n
)(),..(1 1 xXPxXP n
nxF )](1[1
1。求
)()1(,nXX
（ 7。 1）
（ 7。 2）
2。
)(kX
分布的一般求法
（ 1）分布函数法 记
nkxXPxG kk,...,2,1),()( )(
则
)()( )( xXPxG kk
中至少有 k个小于或等于 x）
nxxxp,...,,( 21?
n
ki
nxxxP,...,( 21
中恰有 i个小于或等于 x）
ini
n
ki
i
n xXPxXPC
)]([)]([
nkxFxFC ini
n
ki
i
n,.,,,2,1,)](1[)]([
记
,)( pxF?
并注意到
p knkxF knk dtttdttt 0 1)(0 1 )1()1(
n
ki
inii
n ppCn
knk )1(
!
)!()!1(逐次分部积分
)(0 1 )1()!()!1( !)( xF knkk dtttknk nxG
nkxFxFxpknk nxg knkk,...,2,1,)](1[)]()[()!()!1( !)( 1
特别，当 k=n时，
)()( )(0 1 xFdttnxG nxF nn
当 k=1时，
nxF n xFdttnxG )](1[1)1()( )(
0
1
1
（ 7。 3）
nk XXXPxxXxP,...,,()( 21)(
恰有 (k-1)个落入 ),,( x 恰有 1个落入
),( xxx
恰有 (n-k)个落入
)),( xx
（ 2）微元密度法
)!(!1)!1( ! knn n
)()](1[)]()([)]([ 11 xoxxFxFxxFxF knk
（由多项分布的结论）
)( xg k
0limx
x
xxXxP k
)( )(
nkxFxFxpknk n knk,...,2,1,)](1[)]()[()!()!1( ! 1
3。求
),( )()( 21 kk XX
的分布
)( 21 kk?
用微元密度法及与上页类似的推导，可得：
),( yxg
0
0
lim
y
x
yx
yyXyxxXxP kk
),( )()(
21
)()!1()!1( !
2121 knkkk
n
yxypxpyFxFyFxF knkkk ),()()](1[)]()([)]([ 2121 11
特别，当 nkk
21,1
时，
yx
yxypxpxFyFnnyxg n
,0
),()()]()()[1(),( 2
（ 7。 4）
（ 7。 5）
),...,( )(11)1(1 nnnn xxXxxxXxP
11
111
..,
)]()(.,,[)]()([!1!1!1 !21 nnn
xxx
xFxxFxFxxFnn
),...,,( 21 nxxxg?
ni
xi
,...2,1
0
lim
n
nnnn
xx
xxXxxxXxP
.,,
),.,,,(
1
)(11)1(1?
其它,0
.,,),(),,,(! 211 nn xxxxpxpn
（ 7。 6）
4。求
),...,,( )()2()1( nXXX
的分布
),...,,( 21 nxxxp )(),..,()( 21 nxPxPxp?
),...,,( 21 nXXX
注意,的概率密度为例 7。 1
nXXX,...,,21
独立同分布 ),1,0(U
求极差
)1()( XXR n
的概率密度。
解：
yx
yxxynnyxg n
,0
10,))(1(),( 2
)()()( )1()( rXXPrRPrF nR
rxy
n dyxynn 2))(1(
1 210 ))(1(1 rx nr dyxynndx )1(1 rnrr nn
其它,0
10),1()1(
)(
2 rrrnn
rp
n
R
已知由公式 （ 7。 5） 可得：
解：
),...,,( 21 nxxxp
其他,0
,.,,,2,1,0,)...( 21 nixe ixxxn n
),...,,( )()2()1( nxxxp?
其他,0
.,,0,! 21)...( 21 nxxxn xxxen n
例 7。 2 已知
nXXX,...,,21
独立同分布 ),(?E 而
)1()(
)1()2(2
)1(1
............
nnn
XXY
XXY
XY
求证：
nYYY,...,,21
相互独立。（ *）
（ *）式的线性逆变换为：
nn
YYYX
YYX
YX
.,,
...,,,,,,,,,
21)(
21)2(
1)1(
,1 J ),...,,( 21 nyyyP?
其他,0
,.,,,2,1,0,! )]...(...)([ 21211 njyen jyyyyyyn n
其他,0
,.,,,2,1,0,! ]...)1([ 21 njyen jyynnyn n
)( jY yp j
关于
jY),...,,( 21 nYYY
0 0 111].,.)1([,.....!..,21 njjyynnyn dydydydyen n
njyejn jyjn j,.,,,2,1,0,)1( )1(
其他,0
,.,,,2,1,0,!
)(
]...)1([
1
21 njyen
yp j
yynnynn
j
jY
n
j
),...,,( 21 nyyyP
n
j
jY yp j
1
)(
即各
jY
相互独立。
的边缘概率密度为因此，
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 8 条件分布
§ 8 条件分布一。离散型设 （ X,Y）是 二维离散型随机向量，对于固定的
,0)( jyYP
}{
},{
}/{
j
ji
ji yYP
yYxXP
yYxXP
,j
jyY?
,...2,1?i,
,j
ij
p
p
为在 条件下随机变量 X的 条件分布列,
i
ijj pP
（ 8。 1）
其中如果 则称二。连续型由于连续型随机变量取任一点的概率为零，上述定义不适用。因此，不能直接用条件概率公式来讨论。可以从 条件分布函数 出发进行分析。
记作
)|( yYxXP
或
)|(/ yxF YX
)|(| yxF YX )|(lim
0 yYyXP
因此，
条件分布函数的定义：
设对任意
,0)(,0 yYyP
如果
)|(lim 0 yYyxXP
存在，
jyY?
为 (X,Y) 在 条件下关于 X的条件则称此极限分布函数。
=
0lim?
}{
},{
yYyP
yYyxXP
=
=
0lim?
)()(
),(),(
yFyF
yxFyxF
YY
dyydF
yyxF
Y /)(
/),(
x
YY
x
dy
yp
yup
yp
duyup
)(
),(
)(
),(
)(
),()|(
| yp
yxpyxp
Y
YX
（ 8。 2）
)|(| yxp YX称 为（ X,Y）在条件 下，关于 X的 条件概率密度 。 yY?
因此,二元正态分布的条件分布仍服从正态分布。
))1(),((~| 2221
1
2
2
xNXY
可以证明：如果 ),,,,(~),( 2
22121NYX
则还能证明：如果
2221
1211
)2(
)1(
)2(
)1(
,,
X
X
X
则
)),((~| 1.22)1()1(11121)2()1()2( xNXX
其中
1211121221.22
作业,见习题集第三章。
n维随机向量及其概率分布在随机现象中往往涉及多个随机变量。例如 在打一般地，我们称定义在同一概率空间上的 n个随因此,n维随机向量 是一 维随机变量的推广。由机变量的整体 X=(X1,X2,…,Xn)为 n维随机向量,
靶时,命中点的位置是由一对 r.v(两个坐标 )来确定的。飞机的重心在空中的位置是由三个 r.v (三个坐标）来确定的等等,
于从二维推广到多维，一般无实质性的困难，我们将重点讨论二维随机变量,特别要关注多维与一维情形的对照,
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 1 连续型随机向量及其概率密度
§ 1 连续型随机向量及其概率密度一。定义称 n维随机向量 X=(X1,X2,…,Xn)是连续型的，如果存在非负可积函数 ),...,,(
21 nxxxp
（定义域为 nR
},...,2,1,|),...,,{( 21 nibxaxxxD iiin
都有
nnDn dxdxxxxpDxxxp,..),.,,,,()),.,,,,(( 12121
（ 1。 1）
），它对任意 n维长方体一维连续型随机变量 X的概率密度
0)(?xp
1)(
dxxp
ba dxxp )(
)( bXaP
)(xp
二。性质（与一维随机变量比较）
二维连续型随机变量
（ X,Y）,X,Y的联合概率密度
0),(?yxp
1),( d xd yyxp
}),{( DYXP?
2
),(
RD
dx dyyxp
),( yxp
（ 1。 2）
（ 1。 3）
三。多 维随机向量的 两个最基本的分布
（一）均匀分布设 G是平面上的有界闭区域,其面积为 A.若 n维随机向量 X=(X1,X2,…,Xn)具有概率密度则称 X=(X1,X2,…,Xn)在 G上服从 均匀分布,
向有界闭区域 G上投掷一质点,若质点落在 G内任一小区域 B的概率与小区域的测度成正比,而与 B的位置无关,
则质点的坐标 (X1,X2,…,Xn)在 G上服从均匀分布,
几何概型中讨论的概率计算问题，其假定的实质都是一个
n维区域上的 均匀分布,
（ 1。 4）
Gxxx
GxxxA
xxxp
n
n
n ),.,,,,(,0
),.,,,,(,/1
),.,,,,(
21
21
21
若二维随机向量 （ X,Y） 具有概率密度
2
1
1
22
21
)[()1(2 1e x p {
12
1),(
xyxp
]})())((2 2
2
2
2
2
1
1
yyx
则称 （ X,Y） 服从参数为的 二维正态分布,
,,,,2121
记作 （ X,Y） ～ N( ),,,,
2121
（二）多维正态分布这里只写出二维正态分布的定义：
（ 1。 5）
其中 均为常数,且,,,,2121
1,0,0 21
对于连续型 r.v ( X,Y ),如果联合概率密度为则 ( X,Y )关于 X的 边缘概率密度 为
( X,Y )关于 Y的 边缘概率密度 为
dyyxpxp X ),()(
dxyxpyp Y ),()(
（四）边缘概率密度及其与联合概率密度的关系
),( yxp
（ 1。 6a）
（ 1。 6b）
由此可见，由联合概率密度可确定边缘概率密度。
必须指出对于 n维随机向量 (X1,X2,…,Xn) 有关于
),.,,,,(),.,,,,(,)1(2121?nkkkkkk iiiiii xxxxxx
的边缘概率密度。
例 1。 1 设随机向量 （ X,Y） 的概率密度为
其他,0
10,,1
),(
xxy
yxp
求边缘 概率密度 )(),( ypxp
YX
解：
dyyxpxP X ),()(
10,21
xxdyx
x
dxyxpyP Y ),()(
11,111 yydx
y
例 1.2 设二维随机向量 （ X,Y） 在
}11,1/),{( 2 xyxYXD
上服从均匀分布，
（ 1）写出它的联合概率密度；
（ 2）求它的两个边缘概率密度；
（ 3）求 }),{(
1DYXP?
其中,}
2
10,
2
10/),{(
1 yxYXD
解,（ 1）
,34)1(2 10 21 1 1 2 xdydxA x
DYX
DYXyxp
),(,0
),(,4/3),(
（ 2）
dyyxpxP X ),()( 11),1(4
3
4
3 21
2 xxdyx
dxyxpyP Y ),()( 10,2343 yydx
y
y
（ 3）
1
),(}),{( 1
DD
d x d yyxpDYXP
dxxdydx
x
)
2
1(
4
3
4
3 22/1
0
2/1
0
2/1
2 32
5?
从而说明，二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布，
这是一个以后经常要用到的 重要的结论 。 还能看出，由两个边缘概率密度不能确定联合概率密度。
(证明见 P.87)
定理,如果 ),,,,(~),(
222121NYX
则 ),(~),,(~
222211 NYNX
注意,积分的实际区域是 与 的交集。D
1D
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 2 离散型随机向量及其概率分布
§ 2 离散型随机向量及其概率分布一。定义称 n维随机向量 X= (X1,X2,…,Xn)是离散型的,
二维离散型随机向量（ X,Y），
,)},(),{( ijji pyxYXP,...2,1,?ji
（ 2。 1）
如果它只能取至多可列个不同的点。
X,Y的联合分布列为：
,)( kk pxXP
k=1,2,…
一维 离散型 随机变量
X的分布列
,0?kp
k
kp 1
k=1,2,…
二维离散型随机向量 （ X,Y）
X,Y的联合分布列
,),( ijji pyYxXP
i,j =1,2,…
i j
ij
ij
p
jip
1
,2,1,,0?
（ 2。 2）
（ 2。 3）
二。性质如果二维离散型随机向量 ( X,Y ),X,Y
的联合分布列为则 (X,Y)关于 X 的边缘分布列为：
,2,1,)( ippxXP
j
ijii
,2,1,)( jppyYP
i
ijji
(X,Y)关于 Y 的边缘分布列为
,2,1,,),( jipyYxXP ijji
（ 2。 4a）
（ 2。 4b）
例 2。 1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X为三次抛掷中，
正面出现的次数，而 Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求 X,Y的联合分布列与边缘分布列。
解,（ X,Y） 可取值 (0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
列表如下
8
1)
2
1()
2
1( 300
3 C
P(X=0,Y=3)=P(X=0)
P(X=1,Y=1)=P(X=1)=3/8
P(X=2,Y=1)=P(X=2)=3/8
P(X=3,Y=0)=P(X=3)=1/8
，同理由此，不难求得边缘分布列,
P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,
P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=3/8+3/8=6/8,
P(Y=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3)=1/8+1/8=2/8.
我们常将边缘分布列写在联合分布列表格的边缘上，
由此得出边缘分布这个名词,
由联合分布列可以确定边缘分布列 ;但由边缘分布列一般不能确定联合分布列,
三。多项分布对于二项分布，有：
pqnkqpC knkkn 1;,.,,,1,0, )( kXP
上式可写成对称的形式：
pqnkknkkqp
kk
n kk 1;,,...,1,0,,
!!
!
2121
21
21
)},(),{( 2121 kkXXP?
作为对称形式的推广，
)},...,,(),...,,{( 2121 rr kkkXXXP?
rk
r
kk
r
ppp
kkk
n,..
!!,..!
!
21
21
21
（ 2。 5）
其中
rkkk,...,,21
为非负整数,1,
1 1
r
i
n
i
ii pnk
则称
),...;( 1 rppn 的 多项分布),...,,( 21 rXXX 服从参数为多项分布的背景：
在独立重复试验中，每次试验有 r种可能的结果，
用 ),...,,(
21 rXXX
表示 n次试验中，各种结果依次发生的次数。则
),...,,( 21 rXXX
服从多项分布。
例 2。 2 盒中有 10个白球，其中 2红,3白,5黑，
有放回地抽取 7次，每次取一个，若记
X=取到的红球数,Y=取到的白球数求 X,Y的联合分布列。
解,)},(),{(
21 kkYXP?
2121 7
2121
)105()10 3()10 2()!7(!! !7 kkkkkkkk
其中 7,70,70
2121 kkkk
用多项分布的结论可得：
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 3 联合分布函数一。定义 设 X=(X1,X2,…,Xn)是 n维随机向量,称
nR
上的 n元函数
),...,,(),...,,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF
（ 3。 1）为 X的 联合分布函数 。
§ 3 联合分布函数二。性质对于二维随机向量的联合分布函数 F(x,y)，有如下性质：
0),(),(,1),()2( xFyFF
1),(0)1( yxF
关于每个变量右连续,),()3( yxF
),()4( yxF
关于每个变量单调不减,
),(),(),,(),(
},{)5(
11122122
2121
yxFyxFyxFyxF
yYyxXxP
（ 3。 2）
由性质（ 5）可计算二维随机变量落于矩形区域的概率。
对连续型 r.v(X,Y)，概率密度与分布函数之间有如下关系：
在 p (x,y)的连续点
x y d u d vvupyxF ),(),(
yx
yxFyxp
),(),( 2 （ 3。 3）
（ 3。 4）
三。边缘分布函数对任意 r.v (X,Y),X和 Y的联合分布函数为则 (X,Y)关于 X的边 缘 分布函数为
(X,Y)关于 Y的边 缘 分布函数为
),( yxF
),(lim)( yxFxF yX
)y,x(Flim)y(F xY
),( xF
),( yF
（ 3。 5a）
（ 3。 5b）
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 4 独立性两随机变量独立的定义是：一。定义设 X,Y是两个 r.v，若对任意的 x,y,有
)()(),( yYPxXPyYxXP
则称 X,Y相互 独立,
（两事件 A,B独立的定义是：若 P(AB)=P(A)P(B)则称事件 A,B独立。因此,两随机变量独立的定义是 两事件独立定义的自然推广）,
§ 4 独立性随机变量的 独立性 是概率论中的一个重要概念。
（ 4。 1）
定义可推广到 n个随机变量的相互独立。
若 (X,Y)是连续型 r.v,上述独立性的定义分布函数等于两个边缘分布函数的乘积,
这表明，两个 r.v相互 独立时，它们的联合
)()(),( yFxFyxF YX?
则称 X,Y相互 独立,
用分布函数表示,即设 X,Y是两个 r.v，
若对任意的 x,y,有
)()(),( ypxpyxp YX?
几乎处处成立，则称 X,Y相互 独立,
等价于：对任意的 x,y,有
（ 4。 2）
（ 4。 3）
,几乎处处成立”的含义是：在平面上除去测度为 0的集合外，处处成立,
若 (X,Y)是离散型 r.v,
)()(),( jiji yYPxXPyYxXP
则称 X和 Y相互 独立,
对 (X,Y)的所有可能取值 (xi,yj),有则上述独立性的定义等价于：
),( yxp其中 是 X,Y的联合概率密度，
分别是 X和 Y的)(),( ypxp
YX
边缘概率密度,
（ 4。 4）
x>0
y >0
解：
yyx
Y edxxeyp
0
)()(
例 4。 1 设 (X,Y)的概率密度为
其它,0
0,0,
),(
)( yxxe
yxp
yx
问 X和 Y是否独立？
)()(),( ypxpyxp YX?对一切 x,y,均有：
故 X,Y 独立。
xyx
X xedyxexp
0
)()(
解,0<x<1
0<y<1
由于存在面积不为 0的区域，
)()(),( ypxpyxp YX?
故 X和 Y不独立,
1 )1(22)( xX xdyxp
ydxyp yY 22)(
0
若 (X,Y)的概率密度为
其它,0
10,0,2
),(
yyx
yxp
情况又怎样？
),,,,(~),( 222121NYX
2
1
1
22
21
)[()1(2 1e x p {
12
1),(
xyxp
]})())((2 2
2
2
2
2
1
1
yyx
如前所述，如果即其概率密度为：
从而可知,服从二元正态分布的随机向量（ X,Y），
X与 Y相互独立的充要条件 是参数 =0?
),(~),,(~ 222211 NYNX则有其中 均为常数,且,,,,2121
1,0,0 21
例 4。 2 甲乙两人约定中午 12时 30分在某地会面,如果甲来到的时间在 12:15到 12:45之间是均匀分布,乙独立地到达,而且到达时间在 12:00到 13:00之间是均匀分布,
试求先到的人等待另一人到达的时间不超过 5分钟的概率,
又甲先到的概率是多少？
解,设 X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻以 12点为起点,以分为单位。
X~U(15,45),Y~U(0,60)
其他,0
4515,
30
1
)(
x
xp X
其它,0
600,
60
1
)(
y
yp Y
依题意由 X,Y独立，可得
其他,0
600,4515,
1 80 0
1
),(
yx
yxp
因此，先到的人等待另一人不超过 5
分钟时间的概率为：
甲先到的概率为：
P( |X-Y | 5)?
P( X<Y )
6
1
1800
145
15
5
5
d y d x
x
x
2
1
1 8 0 0
145
15
60 d y d x
x
x
y
0 15 45
10
60
40
5yx
5yx
x
y
0 15 45
10
60
40
yx?
例 4。 3 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X为三次抛掷中，正面出现的次数，而 Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，判定随机变量 X和 Y是否相互独立？
解,从 例 2。 1已得 X和 Y的联合分布律和边缘分布律：
)1()0()1,0( YPXPYXP
因此 X和 Y不 相互 独立,
比如第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 5 随机变量函数的分布（ Ⅱ ）
设有 n维随机向量
),...,,( 21 nXXXX? 及 m个 n元函数
mixxxgy nii,...,2,1),,...,,( 21
如何由 X的联合分布求 m维随机向量 ),...,,(
21 mYYYY?的联合分布？
§ 5 随机变量函数的分布（ Ⅱ ）
一。问题的一般提法主要讨论两类问题：
（一）已知（ X,Y）的联合分布求 ),( YXgZ?
的分布，这里 Z是一维随机变量。
（二）已知（ X,Y）的联合分布求二维随机向量
),(
),(
YXgV
YXfU 的联合分布。
1。 Z=X+Y
离散型随机变量：
)()( kYXPkZP
k
i
ikYiXP
0
)),((
k
i
ikYiXp
0
),(
如 X,Y相互独立，
)( kZP? )()(
0
ikYpiXp
k
i
（ 5。 1）
（一）已知（ X,Y）的联合分布求 ),( YXgZ?
的分布，这里 Z是一维随机变量。
讨论几种常用的函数形式：
例 5。 1
YXpnBYpnBX,),,(~),,(~ 21
独立，求 YXZ 的分布列。
解：
k
i
iknikik
n
inii
n qpCqpCkZP
0
)(2
2
1
1
)(
k
i
knnkik
n
i
n qpCC
0
21
21
knnkk nn qpC 21
21
),(~ 21 pnnBZ
用类似的方法可以证明：当
)(~),(~ 21 PYPX
YX,独立，则 )(~ 21 PYXZ
两个结论都可推广到有限个相互独立的随机变量之和。
因此，二项分布关于参数 n，泊松分布关于参数?
有再生性。
用分布函数法：
)()()( zYXPzZPzF Z
zyx
d x d yyxp ),(
xz dyyxpdx ),(
zxyu duxuxpdx ),(
当 X,Y相互独立时，
连续型随机变量：设（ X,Y）的概率密度为
)(zpZ),( yxp,Z=X+Y,求
z dxxuxpdu ),(
dxxzxpzp Z ),()(
dxxzpxpzp YXZ )()()(
其对称形式为：
dyypyzpzp YXZ )()()(
（ 5。 2）
称为 卷积公式 。
确定积分限,
解,
即
1
z x
x 10
x
应先找出使被积函数不为 0的区域：
由卷积公式例 5.2 若 X和 Y 独立,具有共同的概率密度
，求 Z=X+Y的概率密度,
其他,0
10,1
)(
x
xp
dxxzpxpzp YXZ )()()(
10
10
xz
x
如图示,
于是
1
z x
x 10
x
dxxzpxpzp YXZ )()()(
其他,0
21,2
10,
)(
1
1
0
z
z
Z
zzdx
zzdx
zp
用类似的方法可以证明：
此结论 可以推广到 n个独立随机变量之和的情形：
1。若 X和 Y 独立,具有相同的分布 N(0,1),则 Z=X+Y
服从正态分布 N(0,2).
2。若
X和 Y 独立,则这一性质称正态分布关于参数 和参数 具有再生性。2?
),(~ 2iii uN?若,各 相互独立，则
),(~
1
2
1 1
n
i i
n
i
n
i ii
uN?
X iX
X
),(~),,(~ 222211 NYNX
),(~ 222121 NYXZ
2。
)()()( zYXPzZPzF Z
zyx
d x d yyxp ),(
zx dyyxpdx ),(
zuxy duuxxpdx ),( z dxuxxpdu ),(
dxzxxpzp Z ),()(
3,22 YXZ
)()()( 22 zYXPzZPzF Z当,0?z
2
0 0
)s i n,c os(),(
22
z
zyx
r drrrpddx dyyxp
如果 )1,0(~),1,0(~ NYNX 且 X,Y独立，
YXZ
20 0 )s i n,c o s()( zZ r d rrrpdzF
r d red rz 2/2
0 0
2
2
1
z r drre0 2/2
0,0
0,
)(
2/2
z
zze
zp
z
Z
服从瑞利分布。
即当 )1,0(~),1,0(~ NYNX 时，
22 YXZ
（瑞利分布）
由 ),()( zYzXPzMP
)()( zYPzXP
即
)()()( zFzFzF YXM? （ 5。 3）
设 X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 )(xF
X
和 )(yF
Y
的分布函数。
求 ),ma x( YXM?
及 ),m in( YXN?
，
4。 及 的分布
),ma x( YXM? ),m in( YXN?
类似地，由
)(1)( zNPzNP
),(1 zYzXP
)()(1 zYPzXP
即
)](1) ] [(1[1)( zFzFzF YXN
（ 5。 4）
公式（ 5。 3），（ 5。 4）都能推广到 n个相互独立
,)()(
1
n
i
XM zFzF i
n
i
XN zFzF i
1
)](1[1)(
的随机变量。 即有
（二）已知（ X,Y）的联合概率密度求的联合概率密度。
),(
),(
yxgV
yxfU
记
},),(|),{(* DVUyxD
D D
dx dyyxpdudvvup
*
),(),(
D
d u d vvuJvuyvuxp ),()],(),,([
（用重积分换元公式）
其中 ),(),,( vuyvux 是 ),(),,( yxgvyxfu
的反函数，
vyvx
uyuxvuJ
//
//),( 是雅可比式。
JvuyvuxPvuP )],(),,([),( （ 5。 5）
例 5。 3 设
YXNYNX,),1,0(~),1,0(~
独立。
s in
c os
RY
RX,20,0R
求（ 1） 的联合概率密度。
)},{(?R
（ 2） )(),(?
prp R
解：
s in
c o s
ry
rx
xy
yxr
/ar ct an
22
),()],(),,([),( rJryrxprp?
其他,0
20,0,
2
1 2/2
rre r
其他,0
0,
2
1
),()(
2/2
0
2/ 22 rredre
drprp
rr
R
还可以证明：本题的逆命题也成立。
其他,0
20,
2
1
2
1
),()( 0
2/2
drre
drrpp
r
本例结果说明：如果
YXNYNX,),1,0(~),1,0(~
独立。
s in
c os
RY
RX
则
,R 也独立。且 R 服从瑞利分布，
在 )2,0(? 上服从均匀分布。
作为上例结果的一个直接应用，在处理某些实际当 )1,0(~
2 UU
时,);2,0(~2
2 UU
（ 2）令
)2s in ()ln2(
)2c o s ()ln2(
2
2/1
1
2
2/1
1
UUY
UUX
问题时，常常需要产生两个相互独立均服从标准正态分布的随机变量，如何做到这一点呢？步骤如下：
（ 1）先产生两个相互独立的都在（ 0,1）上服从均匀分布的随机变量
1U
和 ；
2U
（ 3）设,)ln2(
2/11UZ
由 })ln2{()(
2/11 zUPzF Z
当 0?z
12/1 2/22 )( zez dueUP
2/21 ze
0,0
0,)( 2/
2
z
zzezp z
Z
因此，由上例结论之逆可知 X,Y独立且两者都服从标准正态分布。
，说明 Z服从瑞利分布例 5。 4 设 X,Y相互独立，都服从参数为 1
的指数分布，而
,/,YXVYXU
求 ),( VU 的联合概率密度。
解：
其他,0
0,0,
),(
)( yxe
yxp
yx
yxv
yxu
/?
)1/(
)1/(
vuy
vuvx
2
2
)1/()1/(1
)1/()1/(
vuv
vuvvJ
由
其它,0
0,0,
)1()],(),,([),(
2
vu
v
ue
Jvuyvuxpvup
u
不难得到：
0,)( uueup uU
0,)1( 1)( 2 vvvp V
因此,U,V是相互独立的。
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 6 n维正态分布一。 n维正态分布的定义 如果
)]()(
2
1e xp[
)2(
1),.,,,,( 1
2/12/21
xxxxxp
nn
（ 6。 1）
则称 n维随机向量 服从 n维正态分布,),...,,(
21 nxxxx
其中 ),...,,(
21 n
是参数向量，
nnij )(?
是 n阶正定矩阵。
§ 6 n维正态分布二。 n维正态分布的性质
n维正态分布有许多良好的性质，在此不加证明地加以叙述。
定理 1 如果 ),(~NX
B,
为可逆矩阵，则
),(~ BBBNBXY
比如,
,)3,2,1(),,(~,,NZYX
330
230
004 则 ))4(,1(~ NX
)
33
23
,
3
2
(~
N
Z
Y
定理 2 如果 ),(~NX 且为分块对角阵，则
)2(
)1(
0
0
),,(~ )1()1()1(NX ),(~ )2()2()2(NX
定理 3 如果 ),(~NX 且为方阵，则
2
1
2
1
2221
1211,,
X
XX
),(~ 11)1(1NX
其中
2211,
比如
,)3,2,1(),,(~,,NZYX
987
654
321 则 ))1(,1(~ NX
)
54
21
,
2
1
(~
N
Y
X
实际上，定理 3的结论并不限于向量前面的部分向量成立（见 P。 110），以下结论也同样成立：
98
65
3
2
~),5,2(~
Z
Y
NY
97
31
3
1
~
Z
X
定理 4 如果 ),(~NX
则 ),(~ AAANAXY
)1(,nmA nm
且,)( mAR?
其中 Y是 m维随机向量。
定理 4是定理 1的推广。
定理 5 在 ),(~NX 中，各
ix
相互独立的充要条件是? 为对角阵。
三。 )(
2 n? 分布的背景如前所述，如果
),1,0(~ NX 则
),2/1,2/1()1(~ 22X
一般地，如设各 独立同分布,由
ix
)1,0(N
n
i
i nnxY
1
22 )()2/1,2/(~?
分布关于参数 的再生性可得：),(
Y的概率密度为：
0,0
0,
)2/(2
1 2/12/
2/
y
yey
n
yn
n
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 7 顺序统计量的分布一。定义设
nXXX,...,,21
是相互独立且与 X同分布的随机变量,F(x)是 X的分布函数，对每个
将它们从小到大排序：
)(...)()( )()2()1( nXXX
称这样得到的 n个新的随机变量
)(),...,(),( )()2()1( nXXX
为
nXXX,...,,21
的 顺序统计量 。
§ 7 顺序统计量的分布值得注意的是
nXXX,...,,21
独立同分布，而
)(),...,(),( )()2()1( nXXX 既不独立，分布也不相同。
二。求
)(kX
的分布按顺序统计量的定义
},,...,,m ax { 21)( nn XXXX?
}.,...,,m in { 21)1( nXXXX?
),.,,,()()( 1)()( xXxXPxXPxF nnX n
nn xFxXPxXP )]([)(),,,( 1
)(1)()( )1()1()1( xXPxXPxF X
),...,(1 1 xXxXP n
)(),..(1 1 xXPxXP n
nxF )](1[1
1。求
)()1(,nXX
（ 7。 1）
（ 7。 2）
2。
)(kX
分布的一般求法
（ 1）分布函数法 记
nkxXPxG kk,...,2,1),()( )(
则
)()( )( xXPxG kk
中至少有 k个小于或等于 x）
nxxxp,...,,( 21?
n
ki
nxxxP,...,( 21
中恰有 i个小于或等于 x）
ini
n
ki
i
n xXPxXPC
)]([)]([
nkxFxFC ini
n
ki
i
n,.,,,2,1,)](1[)]([
记
,)( pxF?
并注意到
p knkxF knk dtttdttt 0 1)(0 1 )1()1(
n
ki
inii
n ppCn
knk )1(
!
)!()!1(逐次分部积分
)(0 1 )1()!()!1( !)( xF knkk dtttknk nxG
nkxFxFxpknk nxg knkk,...,2,1,)](1[)]()[()!()!1( !)( 1
特别，当 k=n时，
)()( )(0 1 xFdttnxG nxF nn
当 k=1时，
nxF n xFdttnxG )](1[1)1()( )(
0
1
1
（ 7。 3）
nk XXXPxxXxP,...,,()( 21)(
恰有 (k-1)个落入 ),,( x 恰有 1个落入
),( xxx
恰有 (n-k)个落入
)),( xx
（ 2）微元密度法
)!(!1)!1( ! knn n
)()](1[)]()([)]([ 11 xoxxFxFxxFxF knk
（由多项分布的结论）
)( xg k
0limx
x
xxXxP k
)( )(
nkxFxFxpknk n knk,...,2,1,)](1[)]()[()!()!1( ! 1
3。求
),( )()( 21 kk XX
的分布
)( 21 kk?
用微元密度法及与上页类似的推导，可得：
),( yxg
0
0
lim
y
x
yx
yyXyxxXxP kk
),( )()(
21
)()!1()!1( !
2121 knkkk
n
yxypxpyFxFyFxF knkkk ),()()](1[)]()([)]([ 2121 11
特别，当 nkk
21,1
时，
yx
yxypxpxFyFnnyxg n
,0
),()()]()()[1(),( 2
（ 7。 4）
（ 7。 5）
),...,( )(11)1(1 nnnn xxXxxxXxP
11
111
..,
)]()(.,,[)]()([!1!1!1 !21 nnn
xxx
xFxxFxFxxFnn
),...,,( 21 nxxxg?
ni
xi
,...2,1
0
lim
n
nnnn
xx
xxXxxxXxP
.,,
),.,,,(
1
)(11)1(1?
其它,0
.,,),(),,,(! 211 nn xxxxpxpn
（ 7。 6）
4。求
),...,,( )()2()1( nXXX
的分布
),...,,( 21 nxxxp )(),..,()( 21 nxPxPxp?
),...,,( 21 nXXX
注意,的概率密度为例 7。 1
nXXX,...,,21
独立同分布 ),1,0(U
求极差
)1()( XXR n
的概率密度。
解：
yx
yxxynnyxg n
,0
10,))(1(),( 2
)()()( )1()( rXXPrRPrF nR
rxy
n dyxynn 2))(1(
1 210 ))(1(1 rx nr dyxynndx )1(1 rnrr nn
其它,0
10),1()1(
)(
2 rrrnn
rp
n
R
已知由公式 （ 7。 5） 可得：
解：
),...,,( 21 nxxxp
其他,0
,.,,,2,1,0,)...( 21 nixe ixxxn n
),...,,( )()2()1( nxxxp?
其他,0
.,,0,! 21)...( 21 nxxxn xxxen n
例 7。 2 已知
nXXX,...,,21
独立同分布 ),(?E 而
)1()(
)1()2(2
)1(1
............
nnn
XXY
XXY
XY
求证：
nYYY,...,,21
相互独立。（ *）
（ *）式的线性逆变换为：
nn
YYYX
YYX
YX
.,,
...,,,,,,,,,
21)(
21)2(
1)1(
,1 J ),...,,( 21 nyyyP?
其他,0
,.,,,2,1,0,! )]...(...)([ 21211 njyen jyyyyyyn n
其他,0
,.,,,2,1,0,! ]...)1([ 21 njyen jyynnyn n
)( jY yp j
关于
jY),...,,( 21 nYYY
0 0 111].,.)1([,.....!..,21 njjyynnyn dydydydyen n
njyejn jyjn j,.,,,2,1,0,)1( )1(
其他,0
,.,,,2,1,0,!
)(
]...)1([
1
21 njyen
yp j
yynnynn
j
jY
n
j
),...,,( 21 nyyyP
n
j
jY yp j
1
)(
即各
jY
相互独立。
的边缘概率密度为因此，
第三章
n维随机向量及其概率分布
§ 8 条件分布
§ 8 条件分布一。离散型设 （ X,Y）是 二维离散型随机向量，对于固定的
,0)( jyYP
}{
},{
}/{
j
ji
ji yYP
yYxXP
yYxXP
,j
jyY?
,...2,1?i,
,j
ij
p
p
为在 条件下随机变量 X的 条件分布列,
i
ijj pP
（ 8。 1）
其中如果 则称二。连续型由于连续型随机变量取任一点的概率为零，上述定义不适用。因此，不能直接用条件概率公式来讨论。可以从 条件分布函数 出发进行分析。
记作
)|( yYxXP
或
)|(/ yxF YX
)|(| yxF YX )|(lim
0 yYyXP
因此，
条件分布函数的定义：
设对任意
,0)(,0 yYyP
如果
)|(lim 0 yYyxXP
存在，
jyY?
为 (X,Y) 在 条件下关于 X的条件则称此极限分布函数。
=
0lim?
}{
},{
yYyP
yYyxXP
=
=
0lim?
)()(
),(),(
yFyF
yxFyxF
YY
dyydF
yyxF
Y /)(
/),(
x
YY
x
dy
yp
yup
yp
duyup
)(
),(
)(
),(
)(
),()|(
| yp
yxpyxp
Y
YX
（ 8。 2）
)|(| yxp YX称 为（ X,Y）在条件 下，关于 X的 条件概率密度 。 yY?
因此,二元正态分布的条件分布仍服从正态分布。
))1(),((~| 2221
1
2
2
xNXY
可以证明：如果 ),,,,(~),( 2
22121NYX
则还能证明：如果
2221
1211
)2(
)1(
)2(
)1(
,,
X
X
X
则
)),((~| 1.22)1()1(11121)2()1()2( xNXX
其中
1211121221.22
作业,见习题集第三章。
