汪仁官第二章 随机变量及其概率分布第三章 n维随机向量及其概率分布第四章 随机变量的数字特征第五章 母函数与特征函数及极限定理第一章 古典概型与概率测度的公理概 率 论 引 论通过本课程的学习，要牢固掌握概率论的基础理论和基本方法，为学习,数理统计,,,随机过程,
等后继课程打好坚实的基础,还要初步学会用概率论的思想去处理随机现象，要具有较强的分析和解决实际问题的能力。
“概率论,是近代数学中具有独特思想和特殊方法的一个重要分支，其理论严谨，内容丰富，应用广泛，发展迅速,是目前最活跃的数学学科之一。
概率论的主要任务是对不同类型的随机现象建立不同的数学模型，研究它们各自的规律和相互关系。
1-3
§ 1 随机试验 样本空间和随机事件
（ 3）进行一次试验之前，不能确定这次试验会出现哪一个结果。
一,随机试验随机试验有如下特点：
（ 2）每次试验可能出现的结果不止一个，
试验前所有可能的结果是明确的；
（ 1）试验可以在相同条件下重复进行；
第一章古典概型与概率测度的公理化
1-4
,将一枚硬币抛掷三次,观察正面出现的次数 。
2E
,记录某城市 120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。3E
4E
,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
例如 以下都是随机试验。
设对应于 的样本空间为,则
KE K? };,{1 TH
};3,2,1,0{2,,,} ;3,2,1,0{3 }.0|{4 tt
1E,抛掷一枚硬币，观察正面 H、反面 T出现的情况。
二,样本空间称随机试验 E的所有可能结果组成的集合为 E的样本空间，记为 。称样本空间的元素，即 E的每个结果，
为样本点。
1-5
三,随机事件一般来说，我们称试验 E的样本空间的子集为 E
的 随机事件,简称事件。通常用大写的英文字母 A，
B,C等来表示。
严格地说，事件是指样本空间中满足某些条件的子集，另一些子集必须被排除在外 (详见教材第一章 § 10 P.36-40)。幸而这种不被容许的子集在实际应用中几乎不会遇到。今后，每当我们讲到一个事件时，都假定它是容许考虑的那种子集，其全体构成的集合，记作 F。
1-6
由一个样本点组成的单点集称为 基本事件 。 例如,试验 1有两个基本事件 {H}和 {T}；试验 2有四个基本事件 {0},{1},{2},{3}；试验 3有无穷可数个基本事件；试验 4有无穷不可数个基本事件 。
在每次试验中,当且尽当这一子集中的一个样本点出现时,称这一 事件发生 。 样本空间包含所有的样本点,在每次试验中它总是发生的,称为 必然事件 。 空集不包含任何样本点,它在每次试验中都不发生,称为 不可能事件 。
1-7
§ 2 事件的关系与运算集合是数学中非常基本而重要的概念 。 用集合的观点来观察和处理事件,对我们理解事件的关系与运算至关重要 。
（一）事件运算的基本规则一,事件的关系与运算
4,对偶公式 (德 —摩根律 ):
n
i
i
n
i
i AA
1
__
_ _ _ _ _ _
1
n
i
i
n
i
i AA
1
___
_ _ _ _ _ _
1
(2.1)
1,结合律 2.交换律 3,分配律 (详见 P.13)
1-8
关系的内含
A发生且 B不发生
A,B不能同时发生且 A,B中至少有一发生
（ A、
B对立记作 ）
A,B不能同时发生
（ A,B互不相容）
A,B同时发生（交或积）
A,B中至少有一发生（并或和）
A包含 B且 B包含 A（相等）
A发生必导致 B发生（包含）
事件的关系
BA?
BA?
BA?
BA?
AB
BAAB,?
)( BABA
BA?
事件的关系
1-9
例 2.1 设 A,B,C为三个事件,用 A,B,C的运算
CBAD?
（ 2） A,B,C中至少有一个发生；
（ 3） A,B,C中至少有两个发生
CBAD
BCACABD
（ 1） A发生,而 B与 C不发生；
表示下列事件 D，如果 D发生意味着
1-10
§ 3 频率与概率,概率的加法公式一,频率如果在相同的条件下,试验独立重复地进行了 n
次,在这 n次试验中,事件 A发生的次数 称为事件 A发生的频数 。 比值 称为事件 A 发生的频率,记作
n/?
)(Afn
由定义可见，频率具有如下性质：;1)(0 Af n（ 1） ;1)(nf（ 2)
（ 3）若 两两互不相容，则
kAAA,...,,21
k
i
k
i
inin AfAf
1 1
)()(
1-11
直观的感觉是能用事件 A发生的频率来表示 A在一次试验中发生的可能性的大小,但是否果真如此呢？ 某些人作过投掷硬币的试验记录 (见 P.40),从表中提供的数据可见频率在某一稳定值附近摆动,
而且随着 n的增大,摆动的幅度将越来越小 。
设 P是定义在可测集合 F上的函数,即它是一个从 F到全体实数的映射：
二,概率
F ),()(P
1-12
P 还必须满足以下三条基本性质：
11
)()(
n
n
n
n APAP
.1)(P（ 2）
规范性。
（ 3）若 且各 互不相容，则
nA
（
nA
F,n=1,2,…
完全可加性。
（ 1）任取?A,0)(?AP（ F,非负性。
称这样的 P为可测空间 F ) 上的一个概率测度 （ 简称为 概率 ） 。 称 F,P)为一概率空间,
,(?
,(?
1-13
由第五章强大数定律可知：当 n趋于无穷时,
事件发生的频率几乎必然收敛于事件发生的概率,
即,,这就为通过频率来把握概率奠定了基础 。
1)l i m(
PnP n
n
1-14
三,概率的性质由概率的定义可推出以下重要结论：
（ 1）;0)(P
(3.1)
(3.2)
(3.3)
（ 3）单调性：若 BA F,,AB?
)()()( BPAPBAP
F,且则有
F,}1,{ nAn
.,,,.,,21 nAAA
)()( lim
1
n
nn
n APAP
即
（ 4）连续性。若 且则
)()( l i ml i m n
nnn
APAP
（ 2）有限可加性：若 都属于 F且两两互不相容，则 nAAA,...,21
k?
k
n
k APAP
1
)()(
n
k 1
1-15
连续性的另一等价形式为：
且,,,,.,,21 nAAA
)()( lim
1
n
nn
n APAP
则由性质 （ 2） 和性质 （ 4） 可见,从概率的完全可加性可以推出概率的有限可加性和概率的连续性 。
反之,由概率的有限可加性和概率的连续性也可以推出概率的完全可加性 （ 证略 ）,
)(1)( APAP（ 5）对任一事件 A，有 (3.4)
F,}1,{ nAn
1-16
证,),( ABBABA
)( ABBA且,ABB?
)()()( ABBPAPBAP
)()()( ABPBPAP
(3.5)
四,概率的加法公式
（一）两个事件的加法公式：
)()()()( ABPBPAPBAP
对任意两个事件 A,B，有
1-17
（二）三个事件的加法公式
)()()()( CPBPAPCBAP
)()()()( A B CPBCPACPABP
（三） 若当公式
,)1(.,,)( 1321
1
n
n
n
i
i SSSSAP
niii
iiik
k
k
AAAPS
...1 21
21
)...(
其中
(3.7)
(3.6)
将加法公式推广到 n个事件的情况，则有如下著名的若当公式：
1-18
§ 4 古典概型一,关于古典概型
其中 n,m 分别为样本空间 及事件 A
中所包含的基本事件的个数。
这样的试验称为等可能概型。
它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，
因此也称为古典概型。
古典概型计算概率的 基本公式 是,(4.1)
n
mAP?)(
如果（ 1）试验的样本空间 只包含有限个元素；
（ 2）试验中 每个基本事件发生的可能性相等。
1-19
研究古典概型的常用工具是排列和组合。
古典概型是今后研究离散型随机变量的基础。
二,几个例子例 4.1 将一枚硬币抛掷三次,
（ 1） 设事件 为,恰有一次出现正面,,求
（ 2） 设事件 为,至少有一次出现正面,,求
1A );( 1AP
2A ).( 2AP
解,（ 1） ;8/32/3)( 3
1AP
（ 2）
.8/78/11)(1)( 22 APAP
1-20
例 4.2 一口袋装有 6只球,其中 4只白球,2只红球 。
从袋中取球两次,每次随机地取一只 。 考虑放回抽样和不放回抽样两种抽球方式 。 求：
（ 1） 取到的两只球都是白球的概率；
（ 2） 取到的两只球颜色相同的概率；
（ 3） 取到的两只球中至少有一只是白球的概率 。
解,（ 1） 取到的两只球都是白球的概率；
放回抽样,
不放回抽样：
9
4
6
4
6
4)(AP
5
2
5
3
6
4)(AP
1-21
（ 2）取到的两只球颜色相同的概率；
不放回抽样：
（ 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
放回抽样,
.98911)()( BPCP
不放回抽样：
15
14)()( BPCP
9
5
9
1
9
4
6
2
6
2
6
4
6
4)( BAP
15
7
15
1
15
6
5
1
6
2
5
3
6
4)( BAP
放回抽样,
9
1
6
2
6
2)(BP
1-22
解：设 A=恰好取到 m件次品，则
nNmn MNmM CCCAP /)(
如设
,,21 NMNNM,,
211 nnnnm
则结果可写成对称的形式：
n
N
n
N
n
N CCCAP /)( 2211?
其中,,
2121 nnnNNN
例 4.3 设有 N件产品,其中有 M件次品,现从中随机地取 n 件,求其中恰好取到 m 件次品的概率？
)( nm?
1-23
一般地，如设有 N件物品，其中第 类有件,
i iN
),.,,,2,1( ki?
NN
k
i
i
1
则事件 A=恰好有 件属于第 类其概率为
in
i ),.,,,2,1( ki?
,/...)( 2211 nNnNnNnN CCCCAP kk?
其中 nnk
i
i
1
例如，在桥牌比赛中，南家拿到 4张黑桃且其他花色都是 3张的概率为
13523313413 /)( CCC
1-24
例 4.4 将 n只球随机地放入 N 个盒子中去，
试求每个盒子至多有一只球的概率。
)( nN?
解：
n
n
N
n N
A
N
nNNNp )1),,,(1(
从上例的结果可方便地解决如下,生日问题,,
n人中至少有两人生日相同的概率是多少？
答案,
n
nA
p
)365(
1 3 6 5
1-25
)1),,,(1)((
]1)1(1),,,[2)(1(.)(
kbababa
kbababaaBP
（ 2）当 B发生时，第 i人取到的是白球，它可以是 a只白球中的任一只，有 a种取法。 因此，
ba
a
A
Aa
k
ba
k
ba
1
1.
结果表明：即使是不放回抽样,P(B)的值仍与抽球的先后次序 i无关。
例 4.5袋中有 a只白球,b只红球,k个人依次在袋中取一只球（ 1）作放回抽样（ 2）作不放回抽样，求第
i(i=1,2,…,k) 人取到白球 (记为事件 B)的概率,)( bak
解：
ba
aBP
)(
（ 1）显然有
1-26
按若当公式：,)1(.,,)(
1321 nn ssssBP
其中
1! )!1()( 11 nnnAnPs
,!21! )!2()( 22122 nnCAAPCs nn,!1!1.,,nnCs nnn
!
1)1(...
!3
1
!2
11)( 1
nBP
n
i
解：记 B = 至少有一匹配成对,= 第 对卡片匹配成对,则
iA
ni,...,2,1?,
1
n
i
iAB
例 4.6匹配问题 两套各标上 1至 n号码的卡片被随机地匹配,问至少有一匹配成对的概率为多少？
1-27
三 。 可重复组合数
（ 1）不可重复，跟次序有关,m
nA
（ 2）可重复，跟次序有关,mn
mnC（ 4）可重复，跟次序无关：
（ 3）不可重复，跟次序无关,m
mnC 1
从 n种不同的元素中取 m个元素有多少个不同的结果？ 按照是否可以重复及是否跟次序有关可分成下列四种情况：
1-28
对于比较陌生的情况（ 4），
我们先分析一下 n = 4,m = 5的情况。
考虑 4只有序的匣子，共装有 5个不可分辩的球。
不难看出，一个可重复组合，对应到一种球在匣中的分配情况。如果再把球对应到,0”，把匣中的隔板对应到,1”，可以发现，这种 0-1向量总是 8
维的，不论是何种情况，总有 5个,0”和 3个,1”。
更重要的是全体球的分配情况与全体这种 0 -1向量之间是一一对应的。 比如
1-29
例如，要判定在 的展开式中，有多少种不同的项？ 它实际上是一个 n=3,m=5的可重复组合数的问题，其项数为
5)( zyx
00101010?
OO O O O
10010100?
OO O OO
至此，得到了问题的答案：从 4种不同的元素中取 5个元素的可重复组合数是 5
8C
从而，从 n 种不同的元素中取 m个元素的可重复组合数是
m mnC 1
21575 153 CC
1-30
§ 5 几何概型古典概型要求样本空间中基本事件的总数是有限的,对于基本事件的总数无限又具有等可能性的情况,
一般可用几何方法去求解 。
例 5.1（ 约会问题 ） 两人相约某天 5点至 6点会面 。
先到者等候另一人 20分钟,过时就离去 。 试求这两人能会面的概率 。
1-31
解,以 x,y分别表示两人到达的时刻，则会面的充要条件为,20 yx 记
},600,600|),{( yxyxG
}.),(,20|),{( Gyxyxyxg
两人能会面的概率为：
9
5
60
4060)(
2
22
G
g
S
SAP
其中 分别为区域 g和 G的面积。
Gg SS,
1-32
一般地，对于几何概型，我们有如下的计算公式：
若全体试验结果的图形表示为 G且机会均等，而有利于事件 A的试验结果的图形表示为 g，
其中 S(.)表示图形的测度，视具体情况为面积、长度、或体积。
对于几何概型,在使用,随机,,,任取,,
,等可能,,,均匀,等术语时,更应该注意含义的明确性 。 在概率论发展史上有著名的,贝特朗悖论,,它因,均匀,含义的不明确而引起 。
则规定 （ 5。 1）
)(
)()(
GS
gSAP?
1-33
§ 6 条件概率与乘法公式这里称 为在 A发生条件下,B的条件概率。)|( ABP
)(/)()|( APABPABP? （ 6.1）
在古典概型的情况下,我们来证明一个基本关系式 (设 ):
0)(?AP
证：设共有 n个试验结果，而 A由其中的 m 个构成，
B 由其中的 个构成，它们的公共部分，
即 有 个。
21 KK?
BA?
1K
一。 条件概率
1-34
按 的含意及 古典概型的计算公式 有)|( ABP
)|( ABP,1
m
K?
在一般情况下,我们用来定义条件概率,
)(/)()|( APABPABP?
再对上式右边的分子分母同除以 n，即得
)|( ABP
)(
)(
/
/11
AP
ABP
nm
nK
m
K
1-35
例如，盒中有 5个球（ 3白 2红），无放回地每次取一个，记 A=第一次取到白球,B=第二次取到白球，
那么，在第一次取到白球的前提下，第二次抽取时，
总共还有四个球，其中有两个是白球，
因此 =2/4=0.5,)|( ABP
根据前面的讨论 0.6,
53)( BP
由此可见，在一般情况下，
).()|( BPABP?
1-36
三 。 条件概率的性质条件概率具有概率的全部性质，比如：
（ 2）当各 两两互不相容时，有
iB
11
)/()/(
i
i
i
i ABPABP?
(6.4)
如果 由条件概率公式可得称为概率的乘法公式 。
)/()()|()()( BAPBPABPAPABP
（ 6。 2）
,0)(,0)( BPAP
(6.3) （ 1）,1)/( AP 0)/(?AP?,1)/(0 ABP
二。乘法公式
1-37
)|(1)|( ABPABP（ 3） (6.5)
（ 4）条件概率的加法公式：
(6.6)
)|)(( 21 ABBP?
)|()|()|( 2121 ABBPABPABP
)...( 21 nAAAP (6.8) )...|(),,,|()( 121121 nn AAAAPAAPAP
如果,0)...(
121nAAAP
则
（ 5）条件概率的乘法公式：如果,0)(?ABP
(6.7)则 )|()|()()( ABCPABPAPA B CP?
1-38
§ 7 独立性称两个事件 A,B相互独立,如果事实上,要判断两事件是否相互独立,通常由实际问题的背景来确定,上面的公式则作为独立性的结果来使用 。
)()/( BPABP?显然,当 A,B相互独立时,,
)()()( BPAPABP? (7.1)
一。两个事件的独立性的定义
1-39
例 7.1 甲,乙同时向一敌机炮击 。 已知甲击中敌机的概率为 0.6,乙击中敌机的概率为 0.5,求敌机被击中的概率,
解,记 A=甲击中,B=乙击中,C=敌机被击中。
则 ),()()()()( ABPBPAPBAPCP
按题意可知,A,B相互独立,因此，
)()()()()( BPAPBPAPCP
=0.6+0.5-(0.6)(0.5)=0.8
1-40
2,定理 若四对事件 中有一对独立或不独立,则另外三对也独立或不独立 。,,;,;,;,BABABABA
证,不妨设 A,B独立，先求证 A,也独立。B
注意到 且ABABA ABA?
)()()( ABPAPBAP )()()( BPAPAP
)](1)[( BPAP )()( BPAP?
用类似的方法可证 也独立 。.,;,BABA
据此，例 7.1中更简便的做法是：
8.0)5.0()4.0(1)()(1)(1 BPAPBAP
)(1)(1)()(
_______
PBAPBAPCP BA
1-41
三 。 多个事件的独立性的定义
)()()()(
)()()(
)()()(
)()()(
CPBPAPA B CP
CPBPBCP
CPAPACP
BPAPABP
(7.2)
称事件 A,B,C
相互独立，如果有类似地，称 n个事件相互独立，如果对任意自然数 有
nAAA,...,21
)(),,,()().,,( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP?
其中 是满足的任意 k个自然数。 )2( nKK
kiii,...,,21 nii,..1 21
1-42
不难算出,上述公式中包含等式的个数有：
12)11(.,,0132 nCCCCC nnnnnnnn
如果事件 A,B,C仅满足公式 (7.2)中的前三个等式，则称事件 A,B,C两两独立。
可举出事件 A,B,C两两独立,并不相互独立的实例 (P.24-25).
1-43
解,设共需 n个开关并联,第 i个开关闭合，
例 7.2 当某一情况 C发生时,一电路闭合并发出警报 。 设可以借用多个开关并联以改善系统的可靠性 。 已知各开关是否闭合相互独立,每个开关具有 0.96的可靠性 。 在
C发生时,若开关正常,每一个都应闭合,若至少一个开关闭合了,警报就发出 。 如果需要有一个可靠性至少为 0.9999的系统,问至少要用多少只开关并联？
iA ni,.,,,2,1?
)(1)(
________ _
11
n
i
i
n
i
i APAP
n
i
iAP
1
)(1
1
n
i
iAP
1
)(,9999.0)04.0(1 n
,86.2
04.0lg
4n 因此，至少要用 3只开关。
1-44
§ 8 全概公式与逆概公式一。 全概公式如果事件组满足：
（ 1） 两两互不相容，即在每次试验中，
它们至多有一个发生。且
nAAA,...,21
niAP i,.,,,2,1,0)(
（ 2） 即在每次试验中,它们至少有一个发生 。,
1
n
i
iA
则称事件组 为一 完备事件组,
也称它为 样本空间 的一个划分 。
nAAA,...,21
并且对任一事件 B，皆有?
n
i
ii ABPAPBP
1
)/()()( (8.1)
1-45
特别，当 AA 时，
(8.2))/()()/()()( ABPAPABPAPBP
全概公式?
n
i
ii ABPAPBP
1
)/()()( 的证明
iBA
证：
)()(
11
n
i
i
n
i
i BAABBB
且各 互不相容，
n
i
ii
n
i
i
n
i
i ABPAPBAPBAPBP
111
)/()()())(()(?
1-46
例 8.1 甲,乙,丙三人向同一飞机射击 。 设他们的命中率分别为 0.4,0.5,0.7,又设若只一人射中,飞机坠毁的概率为 0.2,若两人射中,飞机坠毁的概率为 0.6，
若三人射中,飞机必坠毁 。 求飞机坠毁的概率 。
记 B=飞机坠毁,恰好有 人射中,=0,1,2，
3,则 是一个完备事件组。
解：
iA i
i
3210,,,AAAA
再记 =甲射中,=乙射中,=丙射中，则
1C 2
C
3C
1-47
由此，根据概率的加法公式与乘法公式可得：
,09.0)( 0?AP,36.0)( 1?AP,41.0)( 2?AP,14.0)( 3?AP
再由题设条件有：
1)|(,6.0)|(,2.0)|(,0)|( 3210 ABPABPABPABP
于是，由全概公式可得：
4 5 8.0)/()()(
3
0
i
ii ABPAPBP
,3210 CCCA?
),( 3213213211 CCCCCCCCCA
),( 3213213212 CCCCCCCCCA
3213 CCCA?
1-48
例 8.2 袋中装有 100个球,其中 70个是红的,30个是白的 。 先从中任取 20个球放入另一个空的小口袋中,
再从这小口袋中任取 5个 。 问：这 5个球中恰有 2个红球的概率是多少？
解,记 B=所取的 5个球中恰有 2个红球,小口袋的 20个球中恰有 个红球，,
iA
i 20,.,,,2,1,0?i
则,/)( 20
10032070 CCCAP iii 20,.,,,2,1,0?i
其他,0
172,/
)/(
5
20
3
20
2 iCCC
ABP iii
1-49
17
2
15
95
5
1 0 0
17
27
3
30
2
68
2
70)(
i
ii
CC
CCCCBP
利用组合公式
),(,nmkCCCC km knknkmmn
得
5
100
3
30
2
70
C
CC
由全概公式可得：
,)/()()(
17
2
5
20
20
1 0 0
3
20
220
3070
20
0
i
ii
ii
i
ii CC
CCCCABPAPBP
1-50
本题的另一分析：
因抽球的随机性，在抽出的 20个球中，红球和白球的比例仍为 70%和 30%，因此，从这 20个球中任抽 5个，相当于从原先的 100个球中任抽 5个。
从而恰好抽到 2个红球的概率为,
./ 5100330270 CCC
1-51
二 。 逆概公式设 是一个完备事件组，则对任一事件 B,有
nAAA,...,21
)0)((?BP
nj
ABPAP
ABPAP
BAP n
i
ii
jj
j,...2,1,
)|()(
)|()(
)|(
1
(8.3)
证：由条件概率和全概公式，得：
nj
ABPAP
ABPAP
BP
BAP
BAP n
i
ii
jjj
j,.,,2,1,
)|()(
)|()(
)(
)(
)|(
1
1-52
必须指出，运用好全概公式和逆概公式来计算复杂事件概率的关键在于找出一个 合适的完备事件组。
全概公式用于求（一般意义上的）概率，
逆概公式用于求条件概率。
1-53
例 8.3 对以往数据的分析表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为 98%,而当机器发生某种故障时,
其合格率为 55%。 每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为 95%,试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少？
解：设 A为事件,产品合格,B为事件,机器调整良好,。
由题意知,95.0)(,55.0)|(,98.0)|( BPBAPBAP
,05.0)(?BP
由逆概公式
97.005.055.095.098.0 95.098.0
)()|()()|(
)()|()|(
BPBAPBPBAP
BPBAPABP
等后继课程打好坚实的基础,还要初步学会用概率论的思想去处理随机现象，要具有较强的分析和解决实际问题的能力。
“概率论,是近代数学中具有独特思想和特殊方法的一个重要分支，其理论严谨，内容丰富，应用广泛，发展迅速,是目前最活跃的数学学科之一。
概率论的主要任务是对不同类型的随机现象建立不同的数学模型，研究它们各自的规律和相互关系。
1-3
§ 1 随机试验 样本空间和随机事件
（ 3）进行一次试验之前，不能确定这次试验会出现哪一个结果。
一,随机试验随机试验有如下特点：
（ 2）每次试验可能出现的结果不止一个，
试验前所有可能的结果是明确的；
（ 1）试验可以在相同条件下重复进行；
第一章古典概型与概率测度的公理化
1-4
,将一枚硬币抛掷三次,观察正面出现的次数 。
2E
,记录某城市 120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。3E
4E
,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
例如 以下都是随机试验。
设对应于 的样本空间为,则
KE K? };,{1 TH
};3,2,1,0{2,,,} ;3,2,1,0{3 }.0|{4 tt
1E,抛掷一枚硬币，观察正面 H、反面 T出现的情况。
二,样本空间称随机试验 E的所有可能结果组成的集合为 E的样本空间，记为 。称样本空间的元素，即 E的每个结果，
为样本点。
1-5
三,随机事件一般来说，我们称试验 E的样本空间的子集为 E
的 随机事件,简称事件。通常用大写的英文字母 A，
B,C等来表示。
严格地说，事件是指样本空间中满足某些条件的子集，另一些子集必须被排除在外 (详见教材第一章 § 10 P.36-40)。幸而这种不被容许的子集在实际应用中几乎不会遇到。今后，每当我们讲到一个事件时，都假定它是容许考虑的那种子集，其全体构成的集合，记作 F。
1-6
由一个样本点组成的单点集称为 基本事件 。 例如,试验 1有两个基本事件 {H}和 {T}；试验 2有四个基本事件 {0},{1},{2},{3}；试验 3有无穷可数个基本事件；试验 4有无穷不可数个基本事件 。
在每次试验中,当且尽当这一子集中的一个样本点出现时,称这一 事件发生 。 样本空间包含所有的样本点,在每次试验中它总是发生的,称为 必然事件 。 空集不包含任何样本点,它在每次试验中都不发生,称为 不可能事件 。
1-7
§ 2 事件的关系与运算集合是数学中非常基本而重要的概念 。 用集合的观点来观察和处理事件,对我们理解事件的关系与运算至关重要 。
（一）事件运算的基本规则一,事件的关系与运算
4,对偶公式 (德 —摩根律 ):
n
i
i
n
i
i AA
1
__
_ _ _ _ _ _
1
n
i
i
n
i
i AA
1
___
_ _ _ _ _ _
1
(2.1)
1,结合律 2.交换律 3,分配律 (详见 P.13)
1-8
关系的内含
A发生且 B不发生
A,B不能同时发生且 A,B中至少有一发生
（ A、
B对立记作 ）
A,B不能同时发生
（ A,B互不相容）
A,B同时发生（交或积）
A,B中至少有一发生（并或和）
A包含 B且 B包含 A（相等）
A发生必导致 B发生（包含）
事件的关系
BA?
BA?
BA?
BA?
AB
BAAB,?
)( BABA
BA?
事件的关系
1-9
例 2.1 设 A,B,C为三个事件,用 A,B,C的运算
CBAD?
（ 2） A,B,C中至少有一个发生；
（ 3） A,B,C中至少有两个发生
CBAD
BCACABD
（ 1） A发生,而 B与 C不发生；
表示下列事件 D，如果 D发生意味着
1-10
§ 3 频率与概率,概率的加法公式一,频率如果在相同的条件下,试验独立重复地进行了 n
次,在这 n次试验中,事件 A发生的次数 称为事件 A发生的频数 。 比值 称为事件 A 发生的频率,记作
n/?
)(Afn
由定义可见，频率具有如下性质：;1)(0 Af n（ 1） ;1)(nf（ 2)
（ 3）若 两两互不相容，则
kAAA,...,,21
k
i
k
i
inin AfAf
1 1
)()(
1-11
直观的感觉是能用事件 A发生的频率来表示 A在一次试验中发生的可能性的大小,但是否果真如此呢？ 某些人作过投掷硬币的试验记录 (见 P.40),从表中提供的数据可见频率在某一稳定值附近摆动,
而且随着 n的增大,摆动的幅度将越来越小 。
设 P是定义在可测集合 F上的函数,即它是一个从 F到全体实数的映射：
二,概率
F ),()(P
1-12
P 还必须满足以下三条基本性质：
11
)()(
n
n
n
n APAP
.1)(P（ 2）
规范性。
（ 3）若 且各 互不相容，则
nA
（
nA
F,n=1,2,…
完全可加性。
（ 1）任取?A,0)(?AP（ F,非负性。
称这样的 P为可测空间 F ) 上的一个概率测度 （ 简称为 概率 ） 。 称 F,P)为一概率空间,
,(?
,(?
1-13
由第五章强大数定律可知：当 n趋于无穷时,
事件发生的频率几乎必然收敛于事件发生的概率,
即,,这就为通过频率来把握概率奠定了基础 。
1)l i m(
PnP n
n
1-14
三,概率的性质由概率的定义可推出以下重要结论：
（ 1）;0)(P
(3.1)
(3.2)
(3.3)
（ 3）单调性：若 BA F,,AB?
)()()( BPAPBAP
F,且则有
F,}1,{ nAn
.,,,.,,21 nAAA
)()( lim
1
n
nn
n APAP
即
（ 4）连续性。若 且则
)()( l i ml i m n
nnn
APAP
（ 2）有限可加性：若 都属于 F且两两互不相容，则 nAAA,...,21
k?
k
n
k APAP
1
)()(
n
k 1
1-15
连续性的另一等价形式为：
且,,,,.,,21 nAAA
)()( lim
1
n
nn
n APAP
则由性质 （ 2） 和性质 （ 4） 可见,从概率的完全可加性可以推出概率的有限可加性和概率的连续性 。
反之,由概率的有限可加性和概率的连续性也可以推出概率的完全可加性 （ 证略 ）,
)(1)( APAP（ 5）对任一事件 A，有 (3.4)
F,}1,{ nAn
1-16
证,),( ABBABA
)( ABBA且,ABB?
)()()( ABBPAPBAP
)()()( ABPBPAP
(3.5)
四,概率的加法公式
（一）两个事件的加法公式：
)()()()( ABPBPAPBAP
对任意两个事件 A,B，有
1-17
（二）三个事件的加法公式
)()()()( CPBPAPCBAP
)()()()( A B CPBCPACPABP
（三） 若当公式
,)1(.,,)( 1321
1
n
n
n
i
i SSSSAP
niii
iiik
k
k
AAAPS
...1 21
21
)...(
其中
(3.7)
(3.6)
将加法公式推广到 n个事件的情况，则有如下著名的若当公式：
1-18
§ 4 古典概型一,关于古典概型
其中 n,m 分别为样本空间 及事件 A
中所包含的基本事件的个数。
这样的试验称为等可能概型。
它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，
因此也称为古典概型。
古典概型计算概率的 基本公式 是,(4.1)
n
mAP?)(
如果（ 1）试验的样本空间 只包含有限个元素；
（ 2）试验中 每个基本事件发生的可能性相等。
1-19
研究古典概型的常用工具是排列和组合。
古典概型是今后研究离散型随机变量的基础。
二,几个例子例 4.1 将一枚硬币抛掷三次,
（ 1） 设事件 为,恰有一次出现正面,,求
（ 2） 设事件 为,至少有一次出现正面,,求
1A );( 1AP
2A ).( 2AP
解,（ 1） ;8/32/3)( 3
1AP
（ 2）
.8/78/11)(1)( 22 APAP
1-20
例 4.2 一口袋装有 6只球,其中 4只白球,2只红球 。
从袋中取球两次,每次随机地取一只 。 考虑放回抽样和不放回抽样两种抽球方式 。 求：
（ 1） 取到的两只球都是白球的概率；
（ 2） 取到的两只球颜色相同的概率；
（ 3） 取到的两只球中至少有一只是白球的概率 。
解,（ 1） 取到的两只球都是白球的概率；
放回抽样,
不放回抽样：
9
4
6
4
6
4)(AP
5
2
5
3
6
4)(AP
1-21
（ 2）取到的两只球颜色相同的概率；
不放回抽样：
（ 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
放回抽样,
.98911)()( BPCP
不放回抽样：
15
14)()( BPCP
9
5
9
1
9
4
6
2
6
2
6
4
6
4)( BAP
15
7
15
1
15
6
5
1
6
2
5
3
6
4)( BAP
放回抽样,
9
1
6
2
6
2)(BP
1-22
解：设 A=恰好取到 m件次品，则
nNmn MNmM CCCAP /)(
如设
,,21 NMNNM,,
211 nnnnm
则结果可写成对称的形式：
n
N
n
N
n
N CCCAP /)( 2211?
其中,,
2121 nnnNNN
例 4.3 设有 N件产品,其中有 M件次品,现从中随机地取 n 件,求其中恰好取到 m 件次品的概率？
)( nm?
1-23
一般地，如设有 N件物品，其中第 类有件,
i iN
),.,,,2,1( ki?
NN
k
i
i
1
则事件 A=恰好有 件属于第 类其概率为
in
i ),.,,,2,1( ki?
,/...)( 2211 nNnNnNnN CCCCAP kk?
其中 nnk
i
i
1
例如，在桥牌比赛中，南家拿到 4张黑桃且其他花色都是 3张的概率为
13523313413 /)( CCC
1-24
例 4.4 将 n只球随机地放入 N 个盒子中去，
试求每个盒子至多有一只球的概率。
)( nN?
解：
n
n
N
n N
A
N
nNNNp )1),,,(1(
从上例的结果可方便地解决如下,生日问题,,
n人中至少有两人生日相同的概率是多少？
答案,
n
nA
p
)365(
1 3 6 5
1-25
)1),,,(1)((
]1)1(1),,,[2)(1(.)(
kbababa
kbababaaBP
（ 2）当 B发生时，第 i人取到的是白球，它可以是 a只白球中的任一只，有 a种取法。 因此，
ba
a
A
Aa
k
ba
k
ba
1
1.
结果表明：即使是不放回抽样,P(B)的值仍与抽球的先后次序 i无关。
例 4.5袋中有 a只白球,b只红球,k个人依次在袋中取一只球（ 1）作放回抽样（ 2）作不放回抽样，求第
i(i=1,2,…,k) 人取到白球 (记为事件 B)的概率,)( bak
解：
ba
aBP
)(
（ 1）显然有
1-26
按若当公式：,)1(.,,)(
1321 nn ssssBP
其中
1! )!1()( 11 nnnAnPs
,!21! )!2()( 22122 nnCAAPCs nn,!1!1.,,nnCs nnn
!
1)1(...
!3
1
!2
11)( 1
nBP
n
i
解：记 B = 至少有一匹配成对,= 第 对卡片匹配成对,则
iA
ni,...,2,1?,
1
n
i
iAB
例 4.6匹配问题 两套各标上 1至 n号码的卡片被随机地匹配,问至少有一匹配成对的概率为多少？
1-27
三 。 可重复组合数
（ 1）不可重复，跟次序有关,m
nA
（ 2）可重复，跟次序有关,mn
mnC（ 4）可重复，跟次序无关：
（ 3）不可重复，跟次序无关,m
mnC 1
从 n种不同的元素中取 m个元素有多少个不同的结果？ 按照是否可以重复及是否跟次序有关可分成下列四种情况：
1-28
对于比较陌生的情况（ 4），
我们先分析一下 n = 4,m = 5的情况。
考虑 4只有序的匣子，共装有 5个不可分辩的球。
不难看出，一个可重复组合，对应到一种球在匣中的分配情况。如果再把球对应到,0”，把匣中的隔板对应到,1”，可以发现，这种 0-1向量总是 8
维的，不论是何种情况，总有 5个,0”和 3个,1”。
更重要的是全体球的分配情况与全体这种 0 -1向量之间是一一对应的。 比如
1-29
例如，要判定在 的展开式中，有多少种不同的项？ 它实际上是一个 n=3,m=5的可重复组合数的问题，其项数为
5)( zyx
00101010?
OO O O O
10010100?
OO O OO
至此，得到了问题的答案：从 4种不同的元素中取 5个元素的可重复组合数是 5
8C
从而，从 n 种不同的元素中取 m个元素的可重复组合数是
m mnC 1
21575 153 CC
1-30
§ 5 几何概型古典概型要求样本空间中基本事件的总数是有限的,对于基本事件的总数无限又具有等可能性的情况,
一般可用几何方法去求解 。
例 5.1（ 约会问题 ） 两人相约某天 5点至 6点会面 。
先到者等候另一人 20分钟,过时就离去 。 试求这两人能会面的概率 。
1-31
解,以 x,y分别表示两人到达的时刻，则会面的充要条件为,20 yx 记
},600,600|),{( yxyxG
}.),(,20|),{( Gyxyxyxg
两人能会面的概率为：
9
5
60
4060)(
2
22
G
g
S
SAP
其中 分别为区域 g和 G的面积。
Gg SS,
1-32
一般地，对于几何概型，我们有如下的计算公式：
若全体试验结果的图形表示为 G且机会均等，而有利于事件 A的试验结果的图形表示为 g，
其中 S(.)表示图形的测度，视具体情况为面积、长度、或体积。
对于几何概型,在使用,随机,,,任取,,
,等可能,,,均匀,等术语时,更应该注意含义的明确性 。 在概率论发展史上有著名的,贝特朗悖论,,它因,均匀,含义的不明确而引起 。
则规定 （ 5。 1）
)(
)()(
GS
gSAP?
1-33
§ 6 条件概率与乘法公式这里称 为在 A发生条件下,B的条件概率。)|( ABP
)(/)()|( APABPABP? （ 6.1）
在古典概型的情况下,我们来证明一个基本关系式 (设 ):
0)(?AP
证：设共有 n个试验结果，而 A由其中的 m 个构成，
B 由其中的 个构成，它们的公共部分，
即 有 个。
21 KK?
BA?
1K
一。 条件概率
1-34
按 的含意及 古典概型的计算公式 有)|( ABP
)|( ABP,1
m
K?
在一般情况下,我们用来定义条件概率,
)(/)()|( APABPABP?
再对上式右边的分子分母同除以 n，即得
)|( ABP
)(
)(
/
/11
AP
ABP
nm
nK
m
K
1-35
例如，盒中有 5个球（ 3白 2红），无放回地每次取一个，记 A=第一次取到白球,B=第二次取到白球，
那么，在第一次取到白球的前提下，第二次抽取时，
总共还有四个球，其中有两个是白球，
因此 =2/4=0.5,)|( ABP
根据前面的讨论 0.6,
53)( BP
由此可见，在一般情况下，
).()|( BPABP?
1-36
三 。 条件概率的性质条件概率具有概率的全部性质，比如：
（ 2）当各 两两互不相容时，有
iB
11
)/()/(
i
i
i
i ABPABP?
(6.4)
如果 由条件概率公式可得称为概率的乘法公式 。
)/()()|()()( BAPBPABPAPABP
（ 6。 2）
,0)(,0)( BPAP
(6.3) （ 1）,1)/( AP 0)/(?AP?,1)/(0 ABP
二。乘法公式
1-37
)|(1)|( ABPABP（ 3） (6.5)
（ 4）条件概率的加法公式：
(6.6)
)|)(( 21 ABBP?
)|()|()|( 2121 ABBPABPABP
)...( 21 nAAAP (6.8) )...|(),,,|()( 121121 nn AAAAPAAPAP
如果,0)...(
121nAAAP
则
（ 5）条件概率的乘法公式：如果,0)(?ABP
(6.7)则 )|()|()()( ABCPABPAPA B CP?
1-38
§ 7 独立性称两个事件 A,B相互独立,如果事实上,要判断两事件是否相互独立,通常由实际问题的背景来确定,上面的公式则作为独立性的结果来使用 。
)()/( BPABP?显然,当 A,B相互独立时,,
)()()( BPAPABP? (7.1)
一。两个事件的独立性的定义
1-39
例 7.1 甲,乙同时向一敌机炮击 。 已知甲击中敌机的概率为 0.6,乙击中敌机的概率为 0.5,求敌机被击中的概率,
解,记 A=甲击中,B=乙击中,C=敌机被击中。
则 ),()()()()( ABPBPAPBAPCP
按题意可知,A,B相互独立,因此，
)()()()()( BPAPBPAPCP
=0.6+0.5-(0.6)(0.5)=0.8
1-40
2,定理 若四对事件 中有一对独立或不独立,则另外三对也独立或不独立 。,,;,;,;,BABABABA
证,不妨设 A,B独立，先求证 A,也独立。B
注意到 且ABABA ABA?
)()()( ABPAPBAP )()()( BPAPAP
)](1)[( BPAP )()( BPAP?
用类似的方法可证 也独立 。.,;,BABA
据此，例 7.1中更简便的做法是：
8.0)5.0()4.0(1)()(1)(1 BPAPBAP
)(1)(1)()(
_______
PBAPBAPCP BA
1-41
三 。 多个事件的独立性的定义
)()()()(
)()()(
)()()(
)()()(
CPBPAPA B CP
CPBPBCP
CPAPACP
BPAPABP
(7.2)
称事件 A,B,C
相互独立，如果有类似地，称 n个事件相互独立，如果对任意自然数 有
nAAA,...,21
)(),,,()().,,( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP?
其中 是满足的任意 k个自然数。 )2( nKK
kiii,...,,21 nii,..1 21
1-42
不难算出,上述公式中包含等式的个数有：
12)11(.,,0132 nCCCCC nnnnnnnn
如果事件 A,B,C仅满足公式 (7.2)中的前三个等式，则称事件 A,B,C两两独立。
可举出事件 A,B,C两两独立,并不相互独立的实例 (P.24-25).
1-43
解,设共需 n个开关并联,第 i个开关闭合，
例 7.2 当某一情况 C发生时,一电路闭合并发出警报 。 设可以借用多个开关并联以改善系统的可靠性 。 已知各开关是否闭合相互独立,每个开关具有 0.96的可靠性 。 在
C发生时,若开关正常,每一个都应闭合,若至少一个开关闭合了,警报就发出 。 如果需要有一个可靠性至少为 0.9999的系统,问至少要用多少只开关并联？
iA ni,.,,,2,1?
)(1)(
________ _
11
n
i
i
n
i
i APAP
n
i
iAP
1
)(1
1
n
i
iAP
1
)(,9999.0)04.0(1 n
,86.2
04.0lg
4n 因此，至少要用 3只开关。
1-44
§ 8 全概公式与逆概公式一。 全概公式如果事件组满足：
（ 1） 两两互不相容，即在每次试验中，
它们至多有一个发生。且
nAAA,...,21
niAP i,.,,,2,1,0)(
（ 2） 即在每次试验中,它们至少有一个发生 。,
1
n
i
iA
则称事件组 为一 完备事件组,
也称它为 样本空间 的一个划分 。
nAAA,...,21
并且对任一事件 B，皆有?
n
i
ii ABPAPBP
1
)/()()( (8.1)
1-45
特别，当 AA 时，
(8.2))/()()/()()( ABPAPABPAPBP
全概公式?
n
i
ii ABPAPBP
1
)/()()( 的证明
iBA
证：
)()(
11
n
i
i
n
i
i BAABBB
且各 互不相容，
n
i
ii
n
i
i
n
i
i ABPAPBAPBAPBP
111
)/()()())(()(?
1-46
例 8.1 甲,乙,丙三人向同一飞机射击 。 设他们的命中率分别为 0.4,0.5,0.7,又设若只一人射中,飞机坠毁的概率为 0.2,若两人射中,飞机坠毁的概率为 0.6，
若三人射中,飞机必坠毁 。 求飞机坠毁的概率 。
记 B=飞机坠毁,恰好有 人射中,=0,1,2，
3,则 是一个完备事件组。
解：
iA i
i
3210,,,AAAA
再记 =甲射中,=乙射中,=丙射中，则
1C 2
C
3C
1-47
由此，根据概率的加法公式与乘法公式可得：
,09.0)( 0?AP,36.0)( 1?AP,41.0)( 2?AP,14.0)( 3?AP
再由题设条件有：
1)|(,6.0)|(,2.0)|(,0)|( 3210 ABPABPABPABP
于是，由全概公式可得：
4 5 8.0)/()()(
3
0
i
ii ABPAPBP
,3210 CCCA?
),( 3213213211 CCCCCCCCCA
),( 3213213212 CCCCCCCCCA
3213 CCCA?
1-48
例 8.2 袋中装有 100个球,其中 70个是红的,30个是白的 。 先从中任取 20个球放入另一个空的小口袋中,
再从这小口袋中任取 5个 。 问：这 5个球中恰有 2个红球的概率是多少？
解,记 B=所取的 5个球中恰有 2个红球,小口袋的 20个球中恰有 个红球，,
iA
i 20,.,,,2,1,0?i
则,/)( 20
10032070 CCCAP iii 20,.,,,2,1,0?i
其他,0
172,/
)/(
5
20
3
20
2 iCCC
ABP iii
1-49
17
2
15
95
5
1 0 0
17
27
3
30
2
68
2
70)(
i
ii
CC
CCCCBP
利用组合公式
),(,nmkCCCC km knknkmmn
得
5
100
3
30
2
70
C
CC
由全概公式可得：
,)/()()(
17
2
5
20
20
1 0 0
3
20
220
3070
20
0
i
ii
ii
i
ii CC
CCCCABPAPBP
1-50
本题的另一分析：
因抽球的随机性，在抽出的 20个球中，红球和白球的比例仍为 70%和 30%，因此，从这 20个球中任抽 5个，相当于从原先的 100个球中任抽 5个。
从而恰好抽到 2个红球的概率为,
./ 5100330270 CCC
1-51
二 。 逆概公式设 是一个完备事件组，则对任一事件 B,有
nAAA,...,21
)0)((?BP
nj
ABPAP
ABPAP
BAP n
i
ii
jj
j,...2,1,
)|()(
)|()(
)|(
1
(8.3)
证：由条件概率和全概公式，得：
nj
ABPAP
ABPAP
BP
BAP
BAP n
i
ii
jjj
j,.,,2,1,
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1
1-52
必须指出，运用好全概公式和逆概公式来计算复杂事件概率的关键在于找出一个 合适的完备事件组。
全概公式用于求（一般意义上的）概率，
逆概公式用于求条件概率。
1-53
例 8.3 对以往数据的分析表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为 98%,而当机器发生某种故障时,
其合格率为 55%。 每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为 95%,试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少？
解：设 A为事件,产品合格,B为事件,机器调整良好,。
由题意知,95.0)(,55.0)|(,98.0)|( BPBAPBAP
,05.0)(?BP
由逆概公式
97.005.055.095.098.0 95.098.0
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BPBAPBPBAP
BPBAPABP
