第五章母函数与特征函数及极限定理
§ 1 母函数
§ 1 母函数一。非负整值随机变量的母函数（这是离散型随机
（一）定义 设 X为非负整值随机变量，它的
,...2,1,0,)( kpkXP k
称
0
)(
k
k
k zpzg
概率分布为：
（ 1。 1）
为 X的概率母函数，简称 母函数 。
由母函数的定义可见，知道了 X的分布列，就知变量经常遇到的情形）
道了 X的母函数。
......)( 10 kk zpzppzg
反之，如果知道了 X的母函数，由可得
),...,0(),0( 10 gpgp,...1,0,
!
)0()( k
k
gp k
k
即
,...1,0,
!
)0()( k
k
gp k
k
因此，分布列和母函数是一一对应的。
（ 1。 2）
（二）几种常见分布的母函数
（ 1） ),1(~ pBX
0
)(
k
k
k zpzg
pzqpzp )1( （ 1。 3）
0
)(
k
k
k zpzg
（ 2）
),(~ pnBX
n
k
n
k
knkk
n
kknkk
n qpzCzqpC
0 0
)(nqpz )(
（ 1。 4）
（ 3）
)(~ pGX
1 1
11 )()(
k k
kkk qzpzpzqzg
qz
pz
1
（ 4）
)(~?PX
00 !
)(
!
)(
k
k
k
k
k
k
zeze
k
zg
)1( ze?
（ 1。 5）
（ 1。 6）
三。母函数的性质这一重要性质为求各相互独立随机变量之和的分布列提供了另一种方法。
定理 设 为相互独立的非负
nXXX,...,,21
)(),...,(),( 21 zgzgzg n
整值随机变量，
为它们的母函数，则
n
i
iXY
1
的母函数为
n
i
i zgzg
1
)()(
（ 1。 7） （证略）
例 1。 1 设 ),1(~ pBX
i
，求 X的分布。
n
i
iXX
1
，各
iX
相互独立。
.)()(,)( ni pzqzgpzqzg
解：
),(~ pnBX?
例 1。 2 设 )(~ pGX
i
，求 X的分布。
n
i
iXX
1
，各
iX
相互独立。
n
i qz
pzzg
qz
pzzg )
1
()(,
1
)(
解：
nnn qzzp )1( （泰勒展开）
0
)(
!
)1),,,(1(
k
knn qz
k
knnnzp （见 P。 58）
0
1
1 )(
k
kn
kn
nn qzCzp
nk
knknn
k
nt
ntn
t
nn
tkn
zqpCqzCzp 1111 )(
,...1,,)( 11 nnkqpCkXP nknnk
即
),(~ 1 pnBX?
例 1。 3 掷三颗骰子，求总点数为 9的概率。
设
iX
为第 i 颗骰子的点数,3,2,1?i
则总点数为：
,321 XXXX
解：
6,.,,,2,1;6,.,,,2,1,61)( ikkXP i?
k
k
zzg?
6
1 6
1)(
)1(6
)1( 6
z
zz
iX
所以,的母函数为：
X 的母函数为：
318126
3
3
3 )1)(331(
6)(
zzzzzzg
0
13
13
18126
3
3
3 )()331(
6
)(
k
k
k qzCzzz
zzg
2 1 6
25)3(
6
1)9( 2
83 CXP
9z 的糸数包括两项：
,633?
k=6时为
2
2636
1
C
k=0时为必须指出：用母函数处理问题是，经常要用到泰勒展开式。
四。母函数与数字特征的关系定理 设随机变量 X的期望、方差和母函数分别为
)(),(),( zgXDXE
，则有：
（ 1）
);1()( gXE
（ 2）,)]1([)1()1()(
2gggXD
证：
1
1
0
.)(,)(
k
k
k
k
k
k zkpzgzpzg?
从而有：
1
).()1(
k
k XEkpg
（ 1）
（ 2）只需证明：
).1()1()( 2 ggXE
（ 1。 8）
（ 1。 9）
1
2)1()(
k
k
k zpkkzg?
1 1
222
k k
k
k
k
k zkpzpk
)()()1( 2 XEXEg )1()( 2 gXE
)1()1()( 2 ggXE
即
2)]1([)1()1()( gggXD
五。母函数的期望表示
0
)(
k
k
k zpzg
)( XzE?
因此,X的母函数，实际上就是 Xz 的期望。
例 1。 4 设非负整数值随机变量 X的母函数为 g(z)，求 X+1及 2X的母函数解：
0
)(
k
k
k zpzg?
)()()( 1 XXX zzEzzEzE因此,)(zzg?
).(])[()( 222 zgzEzE XX
第五章母函数与特征函数及极限定理
§ 2 特征函数
§ 2 特征函数母函数只适用于非负整值的随机变量，对于一。定义一般的随机变量有特征函数。
因此，特征函数是一个实变复值的函数，而母函数是一个实变实值的函数。
对任一随机变量 X，称
teEtf itX ),()(
为 X的 特征函数 。
（ 2。 1）
（ 3）若
)( kXE 存在，则对任取的 ),,(t
)(tf k 阶可导，且 )()0()( kkk XEif? （ 2。 2）
（ 5）若各
niX i,...,2,1,? 相互独立，其对应的特征函数为
),(tfi
则
n
i
iXX
1
的特征函数为
n
i
i tftf
1
)()(
（ 2。 4）
（ 2） 是非负定的；)(tf
（ 4） a+bX的特征函数为 ).(btfe
ita
（ 2。 3）
二。性质 (不加证明 ),设 是 X的特征函数，则有：
（ 1） )(,1)0(,1)( tfftf
)(tf
在
),(
上一致连续 ;
（ 6）分布函数 和特征函数 一一对应 ;)(xF )(tf
三。几种常见分布的特征函数
（ 1）
),(~ pnBX
因此,X的特征函数 nitpeqtf )()(
itititi peqpeqetf 10)(
对于
),1(~ pBX i
（ 7）分布函数 列的收敛与特征函数 列的收敛是一一对应的 ;
即
)()(lim)()(lim tftfxFxF nnnn
（ 2。 5）
其中
)(),( tftf n
是
)(),( tFxF n
对应的特征函数 。
（ 2）
)(~?PX
00 !
)(
!
)(
k
kit
k
k
i tk
k
ee
k
eetf
)1( itit ee eee
（ 3）
),(~ 2NX
先求
)1,0(~ NX
的特征函数
)(tf
dxeetf xitx 2/2
2
1)(
dxetxitx x 2/2
2
1)s i n( co s
dxetx x 2/2
2
1co s
dxetxxtf x 2/2
2
1s i n)(
)(ttf
解方程组：
,0)()( ttftf
得
Cetf t 2/2)(
，由
,1)0(?f
2/2)( tetf
当
),(~ 2NX
时，
)1,0(~ NXY
即
,YX
因此,X 的特征函数为
2/22 titue
四。特征函数与数字特征的关系
)()0()( kkk XEif?
由,易得：
（ 1）
)0()( fiXE
（ 2）
2)]0([)0()( ffXD
例 2。 1 设
（ 2。 6）
（ 2。 7）
),(~ pnBX
，用特征函数计算
)(),( XDXE
解,X的特征函数 nitpeqtf )()(
,)()( 1 itnit epeqnpitf,)0( npif
itnit epeqipnntf 2222 )()1()(
,)( 12 itnit epeqnpi
nppnnf 2)1()0(
2)]0([)0()( ffXD npqnpnp 2
例 2。 2 设
),(~ 2NX
用特征函数计算
)(),( XDXE
解：
,)( 2/22 tituetf
,)()( 2/2 22 tituetitfif )0(
)0()( fiXE
同理可得：
222222 )(,)0( XDf
第五章母函数与特征函数及极限定理
§ 3 积分极限定理
§ 3 积分极限定理 （证略）
定理 设
,),,1(~
1
n
i
ini XSpBX
则当n 时，
)1,0(~ N
npq
npS n?
即任取
, ba 都有
)(lim b
npq
npSaP n
n
)()(21 2/2 abdxeb
a
x
（ 3。 1）
)( b
n p q
npSaP n )()( ab
（ 3。 2）
（ 2）当 n足够大时，有近似公式：
（ 1）二项分布的极限分布为正态分布，即
),(~lim npqnpNS nn
定理说明,
例 3。 1 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3米，现从中随机地抽出 100根，问至少有 30
根短于 3米的概率是多少？
解,设
,0
,1
iX
第 i根木材短于 3米第 i根木材不短于 3米 100,...,2,1,?i
100
1
100
i
iXS
令则 ),2.0,1(~ BX
i
)30(1)30( 100100 SPSP
)
4
2030(1 1 0 0
npq
npSP
故有
)5.2(1 062.0?
例 3。 2 设某单位设臵一台电话总机，共有 2000个电话分机。设每个电话分机有 1%的可能要使用外线，
通话是相互独立的。问总机需要多少条外线才能以
90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？
设
iX
表示某一时刻第
i
台分机在线，
)20 0 0,.,,,2,1(?i
则
).01.0,1(~ BX i?
2000
1
2000
i
iXS
令再设要设臵外线 a条，按题意
)0( 20 00 aSP
)
99.01.2000
01.2000
99.01.2000
01.20000( 2 0 0 0
a
n p q
npSP
9.0)45.4 20()49.4()45.4 20( aa
查标准正态分布函数表，得 7.2528.145.420a
因此，要设臵外线 26条。
第五章母函数与特征函数及极限定理
§ 4 中心 极限定理
§ 4 中心 极限定理
（ 4。 1）
（证略）
积分极限定理是本定理在
),1(~ PBX i
时的特殊情形。此时，
pqp,
一。 林德伯格 —— 列维定理设
...,...,,21 nXXX
是独立同分布的随机变量序列，
,0)(,)( 2 ii XDXE
则当n 时，
.
1
n
i
in XS
)1,0(~ N
n
nS n
即任取 x,有
)()(lim xx
n
nSP n
n
具体使用时主要有两种形式：
)()()(
n
na
n
nbbSaP
n
（ 4。 2）
))(())(()(
anbnb
n
SaP n
（ 4。 3）
林德伯格 —— 列维定理的条件可放宽到各
iX
独立且满足林德伯格条件（不要求同分布），详见林德伯格 —— 费歇定理（ P。 193~194）
若 n足够大，则有相互例 4。 1 假设生产线上组装每件成品的时间服从指数分布，统计资料表明该生产线每件成品的组装时间平均为 10分钟，各件产品的组装时间相互独立，
（ 1）求组装 100件成品需要 15至 20小时的概率？
（ 2）以 95%的概率在 16小时之内最多可以组装多少件产品？
解,设第 件成品需用的时间为,
i iT
按题意
,
1 0 0
1
1 0 0?
i
iTS
.1 0 0)(,10)( 2 ii TDTE
则（ 1）
)60206015( 100 SP
)1 0 010 101 0 01 2 0 01 0 010 101 0 09 0 0( 1 00 nnSP
1)1()2()1()2(
8185.18413.9772,
设 16小时内最多可组装 n件产品，按题意有：
95.0)
10
10960()6016(
n
n
n
nSPSP n
n?
,95.0)
10
109 6 0(
n
n
查标准正态分布函数表，得
81,645.1
10
10960 n
n
n
第五章母函数与特征函数及极限定理
§ 5 大数定律与强大数定律
§ 5 大数定律与强大数定律一。 大数定律其等价形式为：
)(0))(11(
1 1
nXEnXnP
n
k
n
k
kk?
定理（切比雪夫 ） 设 }1,{?nX
n
是相互独立的随机变量序列，
,)( CXD k? 则对任,0 有
)(0))(( nn SESP nn?
（ 5。 1）
若对一切 k有
n
k
kn XS
1
推论 1 当各
kX
同分布且设
)(,)( kk XDXE?
，则有
0)1(lim
1
n
k
kn XnP
这说明只要 n足够大，用随机变量的算术平均值代替随机变量的均值是合理的。
（ 5。 2）
这说明只要试验次数足够多，用事件 A发生的频率代替事件 A发生的概率是合理的。
推论 2 当各
kX
同分布且设
0)(lim
p
n
nP A
n
),1(~ pBX k
并设
An
为 n次试验中事件 A发生的次数，则有
（ 5。 3）
定理（柯尔莫哥洛夫 ） 设 }1,{?nX
n
是相互独立的随机变量序列，
1)0)(( n SESP nn
（ 5。 4）
若满足
n
k
kn XS
1
1
2,
)(
n
n
n
XD 则有二。强大数定律三。三种收敛形式
}1,{?nX n随机变量序列收敛于随机变量 X，有三种收敛形式：
n,时，
（ 1）当 )()(,xFxFn
nX
，称,依分布收敛 于 X”
中心极限定理是依分布收敛。
（ 2）如果满足
,0)(limXXP nn
称,依概率收敛 于 X”
大数定律是依概率收敛。
（ 3）如果满足
,1)lim( XXP nn
称,依概率 1收敛 于 X”
强大数定律是依概率 1收敛。
可以证明：依概率 1收敛
反之不成立。
作业,见习题集第五章。
依概率收敛 依分布收敛
§ 1 母函数
§ 1 母函数一。非负整值随机变量的母函数（这是离散型随机
（一）定义 设 X为非负整值随机变量，它的
,...2,1,0,)( kpkXP k
称
0
)(
k
k
k zpzg
概率分布为：
（ 1。 1）
为 X的概率母函数，简称 母函数 。
由母函数的定义可见，知道了 X的分布列，就知变量经常遇到的情形）
道了 X的母函数。
......)( 10 kk zpzppzg
反之，如果知道了 X的母函数，由可得
),...,0(),0( 10 gpgp,...1,0,
!
)0()( k
k
gp k
k
即
,...1,0,
!
)0()( k
k
gp k
k
因此，分布列和母函数是一一对应的。
（ 1。 2）
（二）几种常见分布的母函数
（ 1） ),1(~ pBX
0
)(
k
k
k zpzg
pzqpzp )1( （ 1。 3）
0
)(
k
k
k zpzg
（ 2）
),(~ pnBX
n
k
n
k
knkk
n
kknkk
n qpzCzqpC
0 0
)(nqpz )(
（ 1。 4）
（ 3）
)(~ pGX
1 1
11 )()(
k k
kkk qzpzpzqzg
qz
pz
1
（ 4）
)(~?PX
00 !
)(
!
)(
k
k
k
k
k
k
zeze
k
zg
)1( ze?
（ 1。 5）
（ 1。 6）
三。母函数的性质这一重要性质为求各相互独立随机变量之和的分布列提供了另一种方法。
定理 设 为相互独立的非负
nXXX,...,,21
)(),...,(),( 21 zgzgzg n
整值随机变量，
为它们的母函数，则
n
i
iXY
1
的母函数为
n
i
i zgzg
1
)()(
（ 1。 7） （证略）
例 1。 1 设 ),1(~ pBX
i
，求 X的分布。
n
i
iXX
1
，各
iX
相互独立。
.)()(,)( ni pzqzgpzqzg
解：
),(~ pnBX?
例 1。 2 设 )(~ pGX
i
，求 X的分布。
n
i
iXX
1
，各
iX
相互独立。
n
i qz
pzzg
qz
pzzg )
1
()(,
1
)(
解：
nnn qzzp )1( （泰勒展开）
0
)(
!
)1),,,(1(
k
knn qz
k
knnnzp （见 P。 58）
0
1
1 )(
k
kn
kn
nn qzCzp
nk
knknn
k
nt
ntn
t
nn
tkn
zqpCqzCzp 1111 )(
,...1,,)( 11 nnkqpCkXP nknnk
即
),(~ 1 pnBX?
例 1。 3 掷三颗骰子，求总点数为 9的概率。
设
iX
为第 i 颗骰子的点数,3,2,1?i
则总点数为：
,321 XXXX
解：
6,.,,,2,1;6,.,,,2,1,61)( ikkXP i?
k
k
zzg?
6
1 6
1)(
)1(6
)1( 6
z
zz
iX
所以,的母函数为：
X 的母函数为：
318126
3
3
3 )1)(331(
6)(
zzzzzzg
0
13
13
18126
3
3
3 )()331(
6
)(
k
k
k qzCzzz
zzg
2 1 6
25)3(
6
1)9( 2
83 CXP
9z 的糸数包括两项：
,633?
k=6时为
2
2636
1
C
k=0时为必须指出：用母函数处理问题是，经常要用到泰勒展开式。
四。母函数与数字特征的关系定理 设随机变量 X的期望、方差和母函数分别为
)(),(),( zgXDXE
，则有：
（ 1）
);1()( gXE
（ 2）,)]1([)1()1()(
2gggXD
证：
1
1
0
.)(,)(
k
k
k
k
k
k zkpzgzpzg?
从而有：
1
).()1(
k
k XEkpg
（ 1）
（ 2）只需证明：
).1()1()( 2 ggXE
（ 1。 8）
（ 1。 9）
1
2)1()(
k
k
k zpkkzg?
1 1
222
k k
k
k
k
k zkpzpk
)()()1( 2 XEXEg )1()( 2 gXE
)1()1()( 2 ggXE
即
2)]1([)1()1()( gggXD
五。母函数的期望表示
0
)(
k
k
k zpzg
)( XzE?
因此,X的母函数，实际上就是 Xz 的期望。
例 1。 4 设非负整数值随机变量 X的母函数为 g(z)，求 X+1及 2X的母函数解：
0
)(
k
k
k zpzg?
)()()( 1 XXX zzEzzEzE因此,)(zzg?
).(])[()( 222 zgzEzE XX
第五章母函数与特征函数及极限定理
§ 2 特征函数
§ 2 特征函数母函数只适用于非负整值的随机变量，对于一。定义一般的随机变量有特征函数。
因此，特征函数是一个实变复值的函数，而母函数是一个实变实值的函数。
对任一随机变量 X，称
teEtf itX ),()(
为 X的 特征函数 。
（ 2。 1）
（ 3）若
)( kXE 存在，则对任取的 ),,(t
)(tf k 阶可导，且 )()0()( kkk XEif? （ 2。 2）
（ 5）若各
niX i,...,2,1,? 相互独立，其对应的特征函数为
),(tfi
则
n
i
iXX
1
的特征函数为
n
i
i tftf
1
)()(
（ 2。 4）
（ 2） 是非负定的；)(tf
（ 4） a+bX的特征函数为 ).(btfe
ita
（ 2。 3）
二。性质 (不加证明 ),设 是 X的特征函数，则有：
（ 1） )(,1)0(,1)( tfftf
)(tf
在
),(
上一致连续 ;
（ 6）分布函数 和特征函数 一一对应 ;)(xF )(tf
三。几种常见分布的特征函数
（ 1）
),(~ pnBX
因此,X的特征函数 nitpeqtf )()(
itititi peqpeqetf 10)(
对于
),1(~ pBX i
（ 7）分布函数 列的收敛与特征函数 列的收敛是一一对应的 ;
即
)()(lim)()(lim tftfxFxF nnnn
（ 2。 5）
其中
)(),( tftf n
是
)(),( tFxF n
对应的特征函数 。
（ 2）
)(~?PX
00 !
)(
!
)(
k
kit
k
k
i tk
k
ee
k
eetf
)1( itit ee eee
（ 3）
),(~ 2NX
先求
)1,0(~ NX
的特征函数
)(tf
dxeetf xitx 2/2
2
1)(
dxetxitx x 2/2
2
1)s i n( co s
dxetx x 2/2
2
1co s
dxetxxtf x 2/2
2
1s i n)(
)(ttf
解方程组：
,0)()( ttftf
得
Cetf t 2/2)(
，由
,1)0(?f
2/2)( tetf
当
),(~ 2NX
时，
)1,0(~ NXY
即
,YX
因此,X 的特征函数为
2/22 titue
四。特征函数与数字特征的关系
)()0()( kkk XEif?
由,易得：
（ 1）
)0()( fiXE
（ 2）
2)]0([)0()( ffXD
例 2。 1 设
（ 2。 6）
（ 2。 7）
),(~ pnBX
，用特征函数计算
)(),( XDXE
解,X的特征函数 nitpeqtf )()(
,)()( 1 itnit epeqnpitf,)0( npif
itnit epeqipnntf 2222 )()1()(
,)( 12 itnit epeqnpi
nppnnf 2)1()0(
2)]0([)0()( ffXD npqnpnp 2
例 2。 2 设
),(~ 2NX
用特征函数计算
)(),( XDXE
解：
,)( 2/22 tituetf
,)()( 2/2 22 tituetitfif )0(
)0()( fiXE
同理可得：
222222 )(,)0( XDf
第五章母函数与特征函数及极限定理
§ 3 积分极限定理
§ 3 积分极限定理 （证略）
定理 设
,),,1(~
1
n
i
ini XSpBX
则当n 时，
)1,0(~ N
npq
npS n?
即任取
, ba 都有
)(lim b
npq
npSaP n
n
)()(21 2/2 abdxeb
a
x
（ 3。 1）
)( b
n p q
npSaP n )()( ab
（ 3。 2）
（ 2）当 n足够大时，有近似公式：
（ 1）二项分布的极限分布为正态分布，即
),(~lim npqnpNS nn
定理说明,
例 3。 1 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3米，现从中随机地抽出 100根，问至少有 30
根短于 3米的概率是多少？
解,设
,0
,1
iX
第 i根木材短于 3米第 i根木材不短于 3米 100,...,2,1,?i
100
1
100
i
iXS
令则 ),2.0,1(~ BX
i
)30(1)30( 100100 SPSP
)
4
2030(1 1 0 0
npq
npSP
故有
)5.2(1 062.0?
例 3。 2 设某单位设臵一台电话总机，共有 2000个电话分机。设每个电话分机有 1%的可能要使用外线，
通话是相互独立的。问总机需要多少条外线才能以
90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？
设
iX
表示某一时刻第
i
台分机在线，
)20 0 0,.,,,2,1(?i
则
).01.0,1(~ BX i?
2000
1
2000
i
iXS
令再设要设臵外线 a条，按题意
)0( 20 00 aSP
)
99.01.2000
01.2000
99.01.2000
01.20000( 2 0 0 0
a
n p q
npSP
9.0)45.4 20()49.4()45.4 20( aa
查标准正态分布函数表，得 7.2528.145.420a
因此，要设臵外线 26条。
第五章母函数与特征函数及极限定理
§ 4 中心 极限定理
§ 4 中心 极限定理
（ 4。 1）
（证略）
积分极限定理是本定理在
),1(~ PBX i
时的特殊情形。此时，
pqp,
一。 林德伯格 —— 列维定理设
...,...,,21 nXXX
是独立同分布的随机变量序列，
,0)(,)( 2 ii XDXE
则当n 时，
.
1
n
i
in XS
)1,0(~ N
n
nS n
即任取 x,有
)()(lim xx
n
nSP n
n
具体使用时主要有两种形式：
)()()(
n
na
n
nbbSaP
n
（ 4。 2）
))(())(()(
anbnb
n
SaP n
（ 4。 3）
林德伯格 —— 列维定理的条件可放宽到各
iX
独立且满足林德伯格条件（不要求同分布），详见林德伯格 —— 费歇定理（ P。 193~194）
若 n足够大，则有相互例 4。 1 假设生产线上组装每件成品的时间服从指数分布，统计资料表明该生产线每件成品的组装时间平均为 10分钟，各件产品的组装时间相互独立，
（ 1）求组装 100件成品需要 15至 20小时的概率？
（ 2）以 95%的概率在 16小时之内最多可以组装多少件产品？
解,设第 件成品需用的时间为,
i iT
按题意
,
1 0 0
1
1 0 0?
i
iTS
.1 0 0)(,10)( 2 ii TDTE
则（ 1）
)60206015( 100 SP
)1 0 010 101 0 01 2 0 01 0 010 101 0 09 0 0( 1 00 nnSP
1)1()2()1()2(
8185.18413.9772,
设 16小时内最多可组装 n件产品，按题意有：
95.0)
10
10960()6016(
n
n
n
nSPSP n
n?
,95.0)
10
109 6 0(
n
n
查标准正态分布函数表，得
81,645.1
10
10960 n
n
n
第五章母函数与特征函数及极限定理
§ 5 大数定律与强大数定律
§ 5 大数定律与强大数定律一。 大数定律其等价形式为：
)(0))(11(
1 1
nXEnXnP
n
k
n
k
kk?
定理（切比雪夫 ） 设 }1,{?nX
n
是相互独立的随机变量序列，
,)( CXD k? 则对任,0 有
)(0))(( nn SESP nn?
（ 5。 1）
若对一切 k有
n
k
kn XS
1
推论 1 当各
kX
同分布且设
)(,)( kk XDXE?
，则有
0)1(lim
1
n
k
kn XnP
这说明只要 n足够大，用随机变量的算术平均值代替随机变量的均值是合理的。
（ 5。 2）
这说明只要试验次数足够多，用事件 A发生的频率代替事件 A发生的概率是合理的。
推论 2 当各
kX
同分布且设
0)(lim
p
n
nP A
n
),1(~ pBX k
并设
An
为 n次试验中事件 A发生的次数，则有
（ 5。 3）
定理（柯尔莫哥洛夫 ） 设 }1,{?nX
n
是相互独立的随机变量序列，
1)0)(( n SESP nn
（ 5。 4）
若满足
n
k
kn XS
1
1
2,
)(
n
n
n
XD 则有二。强大数定律三。三种收敛形式
}1,{?nX n随机变量序列收敛于随机变量 X，有三种收敛形式：
n,时，
（ 1）当 )()(,xFxFn
nX
，称,依分布收敛 于 X”
中心极限定理是依分布收敛。
（ 2）如果满足
,0)(limXXP nn
称,依概率收敛 于 X”
大数定律是依概率收敛。
（ 3）如果满足
,1)lim( XXP nn
称,依概率 1收敛 于 X”
强大数定律是依概率 1收敛。
可以证明：依概率 1收敛
反之不成立。
作业,见习题集第五章。
依概率收敛 依分布收敛
