第一篇工程力学基础工程力学的内容和任务本节需要掌握以下内容：
1.为什么要学习工程力学？
机械在工作时其构件将受到力的作用，作用力会改变其运动状态或者使其尺寸和形状发生改变，甚至当力过大时会使构件过度变形甚至损坏，所以在设计机械的时候要正确地分析计算构件的受力情况、承载能力。工程力学为之提供重要的理论基础。
工程力学的内容工程力学通常分为两大部分：理论力学和材料力学理论力学 是研究刚体 (理想化物体，受力后形状和体积不发生改变 )机械运动一般规律的科学。内容包含静力学、运动学和动力学。本章只学习静力学的基础部分。
材料力学 研究一定材料、形状尺寸的工程构件在外力作用下变形和破坏规律，以及为保证机械或工程结构的正常工作选择适宜的材料、确定合理的结构形状和尺寸，为保证构件既安全又经济的要求，提供基本理论和基本计算方法。
工程力学研究的主要问题：
综合起来看有以下三方面：
①物体受力分析的方法及物体平衡时作用力之间的关系；
②物体的运动规律及作用于物体上的力与运动变化之间的关系；
③构件受力变形和破坏规律及承载能力本篇侧重内容
工程力学内容非常广泛和丰富，限于学时，本章仅侧重理论力学里边的静力学部分和材料力学的基本内容，运用其基础理论分析解决机械工程的实际问题。
第 1章物体的静力分析
§ 1-1 力及其性质一,力的基本知识
1,力与力系力是物体间的相互作用，其效果是使物体的运动状态发生改变 或 使物体发生变形静力学只研究 刚体,因此，只讨论物体在力的作用下整体的平衡问题。
力的单位，采用国际单位时为：
2/ smkg?
或 牛顿（ N）
力对物体的作用效果取决于力的 大小、方向与作用点我们称之为 力的三要素
2,力的基本概念
(1) 力的三要素
（ 2） 力系物体受到若干力的作用，统称力系
平面力系：各力作用线均在同一平面内根据各力作用线的关系，可分为 平面任意力系,平面平行力系 和 平面汇交力系
（ 3） 静力学公理作用于刚体上的两个力，如果大小相等、方向相反、且沿同一作用线，则它们的合力为零，此时，
刚体处于静止或作匀速直线运动。
公理一 二力平衡公理
空间力系：力的作用线分布于三维空间空间任意力系 空间平行力系 空间汇交力系只有两个力作用下处于平衡的物体二力构件不是二力构件力可以在刚体上沿其作用线移至任意一点而不改变它对刚体的作用效应公理二 加减平衡力系公理在作用于刚体的任意力系上，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。
推论,力的可传性力的三要素可以叙述为,大小、方向、作用线同一个点作用两个力的效应可用它们的合力来等效。该合力作用于同一点，方向和大小由平行四边形的对角线确定。
公理三 力的平行四边形法则
2F?
1F?
21 FFR
1F?
2F?
21 FFR
两个物体间相互作用的力，总是大小相等,方向相反,同时分别作用在两个物体上。
公理四 作用与反作用定理推论,三力平衡汇交定理刚体受到不平行的三个力作用而平衡时，这三个力的作用线一定交于同一点且位于同一平面内。
1F
2F
3F
§ 1-2 约束及约束反力
1,约束与约束反力的概念我们研究物体的运动时，可能遇到两种情况：
物体在空间的运动是不受限制的
物体在空间的运动受到某些限制显然，气球作为一个自由物体运动，其运动形式无限多 ——
自由物体。
绿色圆柱体在圆槽内的运动受到限制 —— 非自由物体。
我们把那些对非自由物体的限制称为 约束进一步考察绿色圆柱体的运动，它在圆槽内的运动形式取决于两种力的共同作用：
一是使其产生运动趋势的力，如重力、驱动力等，称之为 主动力 。
二是结构形式对其运动限制的力，称之为约束反力,简称 反力 。
约束反力实际上反映了物体间的相互作用
我们将上述对非自由体运动限制的约束反力称为 理想约束力
无法限制非自由体运动的物体间相互作用的其他约束称为 非理想约束力如摩擦力
2,常见的理想约束及其约束力的简化按照牛顿第三定律，约束力是一对作用力与反作用力，
它们一定大小相等、方向相反、分别作用在构成运动副的两个刚体上。
下面我们讨论几种常见的理想约束：
1、支撑（承）面约束
2、转动铰约束力
nF?
nF?
nxF?
nyF?
nyF?
nxF?
固定铰支座
aF?
nF?
活动铰支座
3、滑移铰约束力
nF?
nM?
5、连杆约束力
4、柔索约束力
nF?
两端为圆柱铰
6、齿轮副约束力 节圆公切线连心线
7、球铰约束
x
F
F
z
F
y
F
8、固定端约束
Ax
F
A
F
Az
F
Ay
F
Az
M
Ay
M
Ax
M
AM
Ax
F
Ay
F
A
F
A
M AM
§ 1-3、物体的受力分析与受力图
1、主动力和约束反力使物体具有运动趋势的力称为物体所受的 主动力限制物体运动的力为 约束反力主动力与约束反力都是物体所受的外力，研究物体的平衡状态就是研究外力之间的关系静力学分析就是讨论物体处于静力平衡时的主动力和约束反力
2、受力分析与受力图受力分析就是分析物体所受的所有主动力和约束反力对于一个物体系统，各个物体之间的作用力为对于整个系统来讲为内力，要对其中某个物体作受力分析时，
需要将该物体从系统中分离出来，此时，其他物体对该物体的作用力均为该物体的外力对于被分离出来的物体、即受力分析对象，画出其承受的所有主动力和约束反力称为该物体的受力图
45
A A
CC
B B
gm?
T?
BN?
P?
A BC
A BC
P?
45
A BC
P?
45
AR? BR?
BR?
AX?
AY?
P?
A B
C
B
C
P?
A
C
P?
A B
C
D C
D
CF
BF
CF?
AF
CF
DF
CF?
P?
AX?
AY?
AM?
例,根据约束的 类型 画出研究对象的受力图
例 1,画出 AB杆的受力图
(a)
A
B
C
W
D
答案：
AF DF
BF(b)
C
B
A
W
D
例 2,画出滑轮,CD杆,AB杆和整体受力图
W
A
B
C
D
答案：
W
W
1、研究滑轮
AxF
AyF
2、研究 CD杆
CF
DF
A
B
C
3、研究 AB杆
BxF
ByF
CF 'AxF
'AyF
4、研究整体
W
W
C
B
A
BxF
ByF
DF
研究整体时，不画物体间的内力
（ 1） 取分离体,根据问题的要求确定 研究对象,将它从周围物体的约束中分离出来，单独画出研究对象的轮廓图形；
（ 2） 画已知力,载荷，特意指明的重力等，
不特意指明重力的构件都是不考虑重力的；
（ 3） 画约束反力,确定约束类型，根据约束性质画出约束反力。
画受力图的基本步骤,
画受力图的注意事项
（ 1）首先必须明确研究对象，将它从周围物体的约束中分离出来，单独画出这个物体的轮廓图形；
（ 2）研究对象的运动或平衡，是受其他物体作用的结果，
必须画出周围所有物体对它的作用力，即所受的一切主动力和约束反力；
（ 3）研究对象对周围物体的作用力不要画出；
（ 4）不要单凭感性判断去画，要根据约束性质画出反力，
确定反力的方向时，可借助于以下各点：
确定反力的方向时，可借助于以下各点：
* 是否与二力构件相连,是,则由二力构件的分离体图确定二力构件的连接点受力方向，而它的相反方向（反作用力的方向）就是所求方向 ;
* 研究对象 是否是三力构件,是，则已知两个受力方向，可利用三力平衡汇交定理确定方向 ;
* 根据主动力系和约束的性质确定反力方向 ;
* 有时可考虑 用结构的整体分析 确定反力方向,
结构的全面受力分析可参考以下步骤：
* 整体结构如果只有三处约束，其中两个方向已知，
可用三力平衡汇交定理确定方向。只有在原图上进行整体分析时才可不用拆除约束,设想已经去掉了 ;
* 对各单件分析时，首先找出二力构件进行分析 ;
再找出可利用三力平衡汇交定理的三力构件，确定反力方向 ;
* 最后分析复杂受力构件，未知方向的力按给定坐标方向分解
A B
C
D
EF
P
RBRA
P
TG
B
RB
D
A B
D
C
P
E
TE
A
D
C
TC
RA
TF
RD
RD’
例：
三力平衡汇交点
E
§ 1-4 平面力系
力系分类平面力系空间力系平面特殊力系平面任意力系（平面一般力系）
平面汇交力系平面力偶系平面平行力系空间特殊力系空间任意力系空间汇交力系空间力偶系空间平行力系解决的问题：力系的合成与平衡问题
1.4.1 平面汇交力系
1,平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的结果是一个合力，其大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过诸力的汇交点。即合力等于诸分力的向量和（或几何和）。
R12
F1 F
1
F2
F2
Fn Fn
R
R 力多边形的封闭边几何法,用力多边形法则求合力的方法各力的汇交点
RRRR
F1
F2
F2
F2
F2
FnFnFnFnF
n
力多边形法则,把各力向量首尾相接后得到开口多边形的封闭边，
然后由第一个力的起点指向最后一个力的终点所构成的向量即为各力的合力。这种求合力的方法为 力多边形法则
n
i
in FFFFR
1
21?
用几何法作力多边形时，应当注意以下几点：
1 要选择恰当的 长度比例尺 和 力的比例尺 。按长度比例尺画出轮廓图，按力的比例尺画出各力的大小，并准确地画出各力的方向。只有这样，才能从图上准确地表示出合力的大小和方向。
2 作力多边形时,可以任意变换力的次序,虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结果并不改变。
3 力多边形中诸力应 首尾相连 。合力的方向则是从第一个力的起点指向最后一个力的终点。
F1 F
1
F2
Fn
Fn
R
力多边形的封闭边各力的汇交点
F1
F2F2F2RR
RR
F1
F2
FnR
物体在平面汇交力系作用下平衡的必要与充分条件是：
合力 R等于零。
R=?F=0
2,平面汇交力系平衡的几何条件
A
B
C
D
F1
F2
F3F
4
F4
F3
F2
F1
平面汇交力系平衡的几何条件是,力多边形封闭。
F1 F1
F2
F2
F2
各力的汇交点
F3 F3 F
3
F4
F4
F4
其次,任选一点 e,作向量 ef 平行且等于重力 G
例题 3 已知钢梁的重量 G=6kN,?=30?。 试求平衡时钢丝绳的约束反力
(4)分析讨论,从力三角形可以看到,在重力 G不变的情况下,角?越大,钢丝绳反力也随之增大,因此,起吊重物时应将钢丝绳放长一些,使夹 角 2?较小些,这样钢丝绳才不易被拉断,
各力的汇交点? 解,
(1)选择钢梁为研究对象,
(2)画受力图,
(3)作力多边形,求未知量,
首先选择力比例尺,1厘米长度代表 1kN.
再从 e和 f两点分别作两条直线,与图中的力 SA,SB相平行,他们交于 h点,于是得到封闭的力三角形 efh
根据力多边形法则,按诸力首尾相接的顺序,标出 fh和 he的指向,则向量 he,fh代表力 SB,SA 。 按比例关系量出 SA,SB的大小即可。
注意应用 三力平衡汇交定理定理：
若刚体在三个力的作用下处于平衡，且其中二力相交于一点时，则第三个力的作用线必通过同一点 。
O
A
F1
B
F2C
F3
R12
证明方法,
1 利用力的可传性原理找到任意两个力的交点
2 利用平行四边形法则在交点合成一个合力
3 该合力与第三个力满足二力平衡公理，必定共线，即三力平衡必汇交于一点各力的汇交点
例 4 刚架如图所示，在 B点受一水平力作用。设 P=20kN，刚架的重量略去不计。求 A,D处的约束反力 。
解,
（ 1）选刚架为研究对象选择长度比例尺
l=2m/cm，画出刚架的轮廓图形。
（ 3）作力多边形,求未知量 选择比例尺?F=5kN/cm作封闭的力三角形，如图 2-8c所示。量得,RA=22.4kN,RD=10kN
两反力的指向由力三角形闭合的条件确定如图所示。或根据三角形关系计算得到。
各力的汇交点
（ 2）画受力图 刚架受水平主动力 P,D点 约束反力 RD 和 A点 约束反力 RA三个力 作用。 受力如图所示。
2,平面汇交力系合成及平衡的解析法
1 力在坐标轴上的投影
A
B
y
O xa b O
y
x
A
B
F
Fx
Fy
a bX
b1
a1
Y
s i n
c o s
FY
FX
思考题：写出各轴上的投影计算式，判定正负。
s i n
c o s
FY
FX
2 合力投影定理合力在任意轴上的投影，等于诸分力在同一轴上投影的代数和 。
2222 )()( YXR RR yx
O x
X
Y
R
Rtg
x
y?
y
B
C
D
R
a
A
b d c
X1 X
2
X3
Rx
Ry
Y1Y2
Y3
XR x YR y
3平面汇交力系合成的解析法 F1 F2
F3
例 5 如图 2-11所示，作用于吊环螺钉上的四个力 F1,F2，
F3,F4构成平面汇交力系。
已知各力的大小方向 F1
=360N,?1=60° ； F2
=550N,?2 =0° ； F3
=380N,?3 =30° ； F4
=300N,?4=70° 。 试用解析法求合力的大小和方向 。
F 1 F 2 F 3 F 4
X F 1 cos α 1 F 2 cos α 2 F 3 cos α 3 F 4 cos α 4
Y F 1 sin α 1 F 2 sin α 2 F 3 sin α 3 F 4 sin α 4
各力的汇交点解：
N1 1 6 2
3 4 2.03 0 08 6 6.03 8 05 5 05.03 6 0
70co s3 0 030co s3 8 00co s5 5 060co s3 6 0
co sco sco sco s
0000
44332211
4321
aFaFaFaF
XXXXR X
'0
2222
0000
44332211
4321
547
1 3 3.0
1 1 6 2
1 6 0
N1 1 7 3)1 6 0()1 1 6 2(
N1 6 070s i n3 0 030s i n3 8 00s i n5 5 060s i n3 6 0
s i ns i ns i ns i n
a
R
R
tga
RRR
aFaFaFaF
YYYYR
x
y
yx
y
可得又因为 Rx为正,Ry为负，故合力 R在第四象限，指向如图所示
4、平面汇交力系平衡方程及其应用
0)()( 22 YXR
0X
0Y
例 2-4 曲柄冲压机如图所示,冲压工件时冲头 B受到工件的阻力 Q=30kN.试求当?=12o时连杆 AB所受的力及导轨的约束反力,
各力的汇交点
}
平面汇交力系平衡的解析条件是诸力在 x轴和 y轴上投影的代数和分别等于零，称为平面汇交力系平衡方程 。
解,
（ 1） 根据题意，选取冲头 B为研究对象
（ 2） 画受力图 作用于冲头 B上的力有工件的阻力 Q，导轨的约束反力 N，连杆 AB给冲头的力 SAB。 AB是二力杆，所以 SAB的方向必沿连杆 AB的轴线。冲头 B的受力是一个平面汇交平衡力系
00 aSNX AB s i n,
00 aSQY AB c o s,
kN7.309 78.0 3012c os 30c os 0 aQS AB
kN38.6208.07.30
12s i n7.30s i n 0
aSN AB
各力的汇交点
（ 3） 列平衡方程 选坐标轴如图所示。由 平衡方程 得：
计算结果 SAB为正值，表明假设的指向与实际指向相同。
而连杆受的力与力 SAB等值反向，即连杆受压力 。
解得,
解,
(1)选钢架为研究对象,
(2)画受力图 约束反力 RA 指向如图 2-13所示,
例 6 用解析法求解例 4
0
54
4,0
0
54
8,0
AD
A
RRY
RPX
kN4.2225 PR A
kN1051 AD RR
力的值为负值,表示假设的指向与实际指向相反,
各力的汇交点? (3)列平衡方程 选坐标轴如图所示,由 平衡方程有,
(4)求未知量 解得解,这是一个物体系统的平衡问题。如果首先取被压物或托板作为研究对象，它们上面没有已知力，就不能算出需求的力。因此应先取销钉 A作为研究对象,再求出托板给被压物体的力。
销钉 A的受力图 如图示。
活塞通过水平推杆，给销钉 A
的力 P沿水平方向向左。连杆
AB,AC为二力杆，所以力 SAB
和 SAC 分别沿连杆 AB,AC轴线
，指向暂先假设如图所示。
取坐标轴如图所示，列平衡方程：
例 7简易压榨机如图所示。试求当连杆 AB,AC与铅垂线成?角时，托板给被压物体的力。
列方程求解：
ACAB SS?
s in2 PSS ACAB
00
00
c o sc o s,
s i ns i n,
ACAB
ACAB
SSY
PSSX
由于?＜ 90°,所以 SAB,SAC为正值，表示连杆假设的指向与实际指向相同。连杆 AB,AC所受的力分别与力 SAB和 SAC等值反向，
可见连杆 AB,AC都 受压力，如图 2-14b所示。
通过以上例题可以总结出求解平面汇交力系平衡问题的主要步骤如下：
（ 1）选取研究对象。 对于较复杂的问题，要选两个甚至更多的研究对象，才能逐步解决。
（ 2）画受力图。
（ 3）列平衡方程。 先选坐标轴，然后进行投影计算。计算力的投影时要注意正负号。最后列平衡方程求解未知量。
（ 4）必要时应分析或讨论计算结果 。
课堂练习课堂练习,
求图示液压式夹紧机构求图示液压式夹紧机构在某一特定时刻在某一特定时刻给工件的夹紧力？给工件的夹紧力？
例 8 图示 简支梁 上作用一 分布载荷,其单位长度上受力的大小称为 载荷集度 (单位为牛顿 /米 )，其左端的集度为零，右端集度为 q。载荷的长度为 l，载荷的方向垂直向下。求支承处对梁的约束力。
首先在 O 点建立参考基第二步作受力分析
主动力为分布载荷（忽略重力），且为一 平行力系
约束反力：
O 为固定铰支座,A 为活动铰支座。
q
l
d x x
x
q
y
q
O
A
oxF
oyF
AF
画出其反力
q
l
d x x
x
q
y
q
O
A
oxF
oyF
AF
第三步，求主动力的合力在坐标 x 处的载荷集度为 qx/l。在此处取的一微元 dx，梁在微元段 d x 受的力近似为 F(x) = qxdx/l。梁由 x=0 到 x=l 的分布载荷合力为
F qxl x ql
l
d
0 2
将该力系中心的位置坐标记为 xC
F
cx
x F qx l x ql ql lC
l
1 3 2 23
2
0
2
d?
n
i
iiR
n
i
iiR
n
i
iiR
)zF(zF
)yF(yF
)xF(xF
1
1
1
oxF
oyF
AF
Fcx
x
y
l
最后，利用平面力系的平衡方程求得 3 个未知的约束反力：
0
1
n
i
iOz )F(M
0322 lqllFFxlF AyCAy
F ix
i
n
1
0 FOx? 0
Fiy
i
n
1
0 02 qlFFFFF AyOyAyOy
3/qlF Ay? 6/qlF Oy ＝
由：
由：
由：
y
q
E
A
C
( a)
B D
x
q
[例 9]图示一结构由 AB,BC 与 CE 三个构件构成。 E 处有一滑轮，细绳通过该轮悬挂一重为 12 kN 的重物。 A为固定铰支座,B 为滑动铰支座,C
,D 与 E 为圆柱铰。 AD = BD = l1= 2m,CD = DE = l2= 1.5m。不计杆件与滑轮的重量，求支座处的反力。
分析,系统主动力只有重力 G
G
约束反力有 4个 显然无法直接求解
TF AxF
AyF
BF如果我们先将滑轮分离出来，由于它承受平面汇交力系，可以求得绳的拉力。
考虑滑轮的平衡，令滑轮的半径为 r，有：
0)(
1
n
i
iEz FM
0
T GrrF kN12T GF
如图 a 所示建立参考基这时，我们再对系统进行分析，如 b 图未知力只有 3 个，可以利用平面力系平衡方程求解：
By
F
q
G
q
Ax
F
q
Ay
F
q
( b )
E
B D
T
F
q
0)(
1
n
i
iAz FM
02 T211 FlGlFl By
将 FT 与 G 的关系代入
kN5.102
1
21 G
l
llF
By
By
F
q
G
q
Ax
F
q
Ay
F
q
( b )
E
B D
T
F
q
0
1
n
i
ixF
0T FF Ax
kN12T FF Ax
0
1
n
i
iyF
0 GFF AyBy
kN5.1 ByAy FGF
小 结本章主要内容是运用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成与平衡。 重点是用解析法解平衡问题,应熟练掌握,
1,平面汇交力系只能合成一个合力 R,合力等于诸分力的几何和，即 R=∑F
(1) 在几何法中,力多边形的封闭边表示合力 R的大小和方向,
(2) 在解析法中,合力的大小和方向可按下列公式计算
xYRRtg a
YXRRR
X
Y
yx 2222
X
Y
R
R
tg
YXRRR
x
y
yx
2222
式中?表示合力 R与 x 轴间所夹的锐角。合力 R 的指向由 Rx,
Ry 的符号判定。
2.平面汇交力系平衡的必要与充分条件是合力 R为零
(1) 在几何法中，平面汇交力系平衡的几何条件是力多边形自行封闭。
(2) 在解析法中，平面汇交力系的平衡方程是,∑X=0
∑Y=0
利用这两个平衡方程，可求出两个未知量。它是解决平面汇交力系平衡问题的基本方程。
(3) 解平面汇交力系平衡问题的方法和步骤：
1）选取研究对象 。对于较复杂的问题，要选两个甚至更多的研究对象，才能逐步解决。
2）画受力图 。
3) 列平衡方程 。先选坐标轴，然后进行投影计算。计算力的投影时要注意正负号。最后列平衡方程求解未知量。
4）必要时应分析或讨论计算结果 。
1.4.2 力矩和平面力偶系一,力矩及合力矩定理
1、力矩的概念,力矩 （力对点之矩）是为了描述刚体运动中的 转动效应
O
P
r?
F?FrFM
O
)(
式中,O 为参考系中的某一点，称为 矩心
)(OPr 位置点的矢径对为刚体上某一点?
构成的平面垂直于为一矢量 FrM,,
力矩的大小：
FdFrFM Os i n)(?
d
定义：
2.合力矩定理
力系与其合力等效，对于使物体转动的效果，这种性质依然存在，即合力对于一点 O之矩，等于各分力对点 O之矩的代数和，这一普遍规律称为合力矩定理。可用下式表示。
式中,为合力 的 n个分力
00( ) ( )
n
i
i
M F M F
( 1,2,,)iF i n?
( 1,2,,)iF i n? F
三、力偶和力偶矩
1、力偶的概念
大小相等,方向相反,作用线相互平行 的两力构成一对力偶无法再简化的简单力系之一
力偶作用面,由一对力 F 所组成的平面；
力偶臂,构成力偶的一对力的作用线间的距离，用 d 表示；
力偶三要素,大小、作用面、转动方向。
d
2、力偶矩用以衡量力偶对刚体的转动效应
F?
F
P
Q平面有一对力偶，将它们对 O 点取矩
O
Pr?
Qr?
根据力对点之矩，力偶对 O 之矩为：
FrrFrFr
FrFrM
QPQP
QP
)()(
QP rrr
所在平面垂直于称为力偶矩矢量 F,r,FrM
M
d
FdM?由力对点之矩可知
3、力偶矩的特点：
力偶矩与矩心无关；
力偶对刚体的作用完全取决于力偶矩的大小；
力偶可在刚体上任意移动，只要不改变转动方向，
说明力偶矩是一自由矢量
FdM?
力偶的等效性,在不改变力偶三要素的前提下，力偶可在其作 用面内任意移动，因此，只要力偶矩大小不变，可改变力与力偶臂大小，而不改变力偶对刚体的效应。
F
M
F?
d
F
M
F?
d
F
M
F?
d/?
F
M
F?
d
(a) (b ) (c ) (d )
4、力偶系
n
i
iMM
1
刚体上作用多对力偶，构成力偶系，有矢量和四、力的作用线平移定理力的平移
F
A B
F’
F”
力的平移定理
,},'{}{ BA BMFF?
F’
A B
MB
rBA
FrMFF B BA,'
力的作用线平移定理若将作用于刚体上的力,平行于自身 移到刚体上任意一新点，而要 不改变 原力对该刚体的作用效果，则必须附加一力偶，其力偶矩 等于 原力对该新点的矩。
1.4.3、平面任意力系
YAX
A
P
Q
RB
A B
P
A B
Q
定义：如果作用在物体上诸力的作用线都任意分布在同一平面内但并不汇交于同一点，
这种力系称为平面任意力系
A
B
A
B
r0? A
B
处理的基本原理,力线平移定理
定理：作用在刚体上的力 F可以平行移动到任一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力 F 对平移点之矩 。
)( Fmm B 0co s?Frm?
m
F
F
′
F"
F′F
o x?
y
1,平面任意力系向一点简化
设物体上作用一平面力系 F1,F2,,Fn,如图所示。在力系所在平面内任选一点 O,称为简化中心。
原力系的主矩等于原力系中各力对 O点之矩的代数和 。
结论,
平面力系向作用面内任一点
O简化，可得到一个力 R′和一个力偶 Lo。
R′=F1+F2+··+Fn=?F
Lo=m1+m2+··+mn
=mo(F1)+mo(F2)+··mo(Fn)
=?mo(F)
d1
d2 dn
F1
F2 F
no
简化中心简化结果：
主矢：
主矩：
R′ =?F Lo=?mo(F)
Rx′ =X1+X2+··+Xn =? X
Ry′ =Y1+Y2+··+Yn =? Y
注意,力系的主向量
R′只是原力系的向量和，
所以它与简化中心的选择无关。而力系对于简化中心的主矩 Lo 显然与简化中心的选择有关 。
R’
主矢
m2
F2
F1m1
Fnm
n L
0
主矩简化结果的分析 合力矩定理简化结果：
（ 1）若 R′=0,Lo?0
则原力系简化为一个力偶，力偶矩等于原力系对于简化中心的主矩。
（ 2） 若 R′? 0,Lo=0
则 R′即为原力系的合力 R，通过简化中心。
（ 3）若 R′?0,Lo?0
则力系仍然可以简化为一个合力。
d=L0 /R′
合力矩定理 若平面力系可以合成为一个合力时，则其合力对于作用面内任一点之矩，等于力系中各分力对于同一点之矩的代数和 。
例 4－ 1,如图示，求合力作用线的位置。
2
0
3
2
00 3
1
3 ql
x
l
qdxx
l
qdxxq lll
x
根据合力矩定理得,
l
ql
ql
Q
ql
x
qlQ
Q
ql
x
qlQx
c
c
c
3
2
2
1
3
3
2
1
3
3
1
22
2
2
故解：分布力对 A点矩,
)()( 0 FmRm o
2,平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件力系的主向量 R′和力系的主矩
Lo都等于零。即
0)()( 2222 YXRRR yx
0)( FmL oo
0)(
0
0
Fm
Y
X
o
力系中所有各力在两个任选坐标轴的每个轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于平面内任意一点之矩的代数和也等于零 。
取矩点一般式：
例 2-9,060
AB=240cm,HC=80cm,
AH=130cm,G=325kN
求,小车钢丝绳的拉力和铁道对车轮的反力上料小车
解,小车为研究对象,画受力图,包括重力 G,
绳拉力 S和约束反力 RA,RB,S的方向沿绳,
RA,RB 垂直于斜面指向小车,
选坐标轴 如图,列平衡方程,
0c o s,0)(
0c o s,0
0s i n,0
GHCRABFM
GRRY
GSX
BH
BA
计算力 G对 H点之矩时,可将 G分解为两个力,再应用合力矩定理计算分力对 H点之力矩的代数和,
kN3.1 0 82.545.03 2 5c o s
kN2.545.03 2 5
2 4 0
80c o s
kN2 8 28 6 6.03 2 5s i n
BA
B
RGR
G
AB
HCR
GS
例 2-10
车刀固定在刀架上，
l=60mm,
切削力
Py=18kN,
Pz=7.2kN
求固定端
A的约束反力解：
以车刀为研究对象画受力图选坐标轴列平衡方程,
特殊情况 平面平行力系的平衡方程
x
y
F1 F2 Fn
0)(
0
Fm
Y
A
0)(
0)(
Fm
Fm
B
A
例 2-11 桥式吊车，起吊物重
W=30kN,工字钢横梁单位长度重 q=4.2N/cm,l=5m.x=l/4
求 A与 B的约束反力解,(1)建立力学模型
(2)选梁为研究对象
(3)建立坐标系，画受力图
(4)列方程求未知量
4
,
0
2
,0)(
0,0
l
xlqQ
xW
l
QlRFm
QWRRY
BA
BA
解得：
kN55.2355.810.230)
42
1(
8,5 5 k NN8 5 5 0
4
10305 0 02.4
2
1
42
1 3
WqlQWR
WqlR
A
B
将分布力 q简化为集中力 Q=ql
RBRA
例 2-12 如图一车轴，已知
P1=P2=P,l,a等几何尺寸 。
求 A,B处的支座反力。
解,(1)建立力学模型
(2)选车轴为研究对象
(3)建立坐标系，画受力图
(4)列方程求未知量
0)(
:0)(
0)(
:0)(
12
21
alPaPlR
Fm
alPaPlR
Fm
A
B
B
A
解得：
PR
PR
A
B
RBRA
例 2-13 水 平 外 伸 梁,若 均 布 载 荷
q=20kN/m,
P=20kN,力偶距 m=16kN·m,a=0.8m,求
A,B点的约束反力 。
解,选梁为研究对象,画出受力图作用于梁上的力有 P,均布载荷 q
的合力 Q（ Q=qa,作用在分布载荷区段的中点）、以及距为 m的力偶和支座反力 RA,RB。 显然它们是一个平面力系。
4 k N212208.020
kN122028.0
2
20
8.0
162
2
BA
B
a
B
RPaqR
aR
P
q
a
mR
b
）得值代入式（将
）得由式（
)(02
2
:0
)(0
:0
baRap
a
qam
Fm
aRRPaq
Y
B
A
BA
）（
RA RB取坐标轴 如图,列平衡方程,
